精品解析：吉林省吉林市松花江中学2024-2025学年高一上学期期中考试数学试题

吉林松花江中学（2024-2025学年度上学期）高一年级 数学学科期中试题 时间：120分钟 满分：150分 一、单项选择题（本大题有8小题，每小题5分，共40分） 1. 若集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 令，，，则三个数的大小顺序是（ ） A. B. C. D. 3. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 函数的单调递增区间为（ ） A. B. C. D. 5. 若x>1，则有（ ） A. 最小值1 B. 最大值1 C. 最小值-1 D. 最大值-1 6. 若函数是在R上的奇函数，当时，，则的值域为（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数f(x)是偶函数，且f(x)在上是增函数，若，则不等式的解集为（ ） A. {x|x>2} B. C. {或x>2} D. {或x>2} 8. 若定义上的函数满足：对任意有，若的最大值和最小值分别为，，则的值为（ ） A. 2022 B. 2018 C. 4036 D. 4044 二、多项选择题（本大题有3小题，每小题6分，共18分） 9. 某同学用二分法求函数的零点时，计算出如下结果：，，，，．下列说法正确的有（ ） A. 的零点在区间内 B. 的零点在区间内 C. 精确到0.1的近似值为1.4 D. 精确到0.1的近似值为1.5 10. 已知函数，若（其中），则的可能取值有（ ） A. B. C. 2 D. 4 11. 已知函数，若存在不相等的实数满足且，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 的取值范围为 三、填空题（本大题有3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知幂函数在上为增函数，则实数m的值是______． 13. 函数的单调递增区间是___________. 14. 已知函数在上单调递增，则实数的取值范围为______. 四、解答题 15. 计算下列各式的值： （1）； （2）． 16. 已知命题“关于的方程有两个不相等的实数根”是假命题. （1）求实数的取值集合； （2）设集合，其中，若“”是“”的充分不必要条件，求的取值范围. 17. 已知函数. （1）求的值域； （2）若对，不等式恒成立，求实数m的取值范围. 18. 天气转冷，宁波某暖手宝厂商为扩大销量，拟进行促销活动.根据前期调研，获得该产品的销售量万件与投入的促销费用万元满足关系式（为常数），而如果不搞促销活动，该产品的销售量为4万件.已知该产品每一万件需要投入成本20万元，厂家将每件产品的销售价格定为元，设该产品的利润为万元.（注：利润销售收入投入成本促销费用） （1）求出的值，并将表示为的函数； （2）促销费用为多少万元时，该产品的利润最大？此时最大利润为多少？ 19. 已知函数f（x）=log4（4x+1）+kx与g（x）=log4（a•2x﹣a），其中f（x）是偶函数． （1）求实数k的值； （2）求函数g（x）的定义域； (3)若函数f（x）与g（x）的图象有且只有一个公共点，求实数a的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 吉林松花江中学（2024-2025学年度上学期）高一年级 数学学科期中试题 时间：120分钟 满分：150分 一、单项选择题（本大题有8小题，每小题5分，共40分） 1. 若集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】解对数不等式和分式不等式得到，利用交集概念求出答案. 【详解】， 解得或， 故或， 又， 所以. 故选：D 2. 令，，，则三个数的大小顺序是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据指数函数和对数函数单调性，结合临界值可得大小关系. 【详解】，. 故选：D. 3. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】分别求出两个不等式的的取值范围，根据的取值范围判断充分必要性. 【详解】等价于，解得：；等价于，解得：，可以推出，而不能推出，所以是的必要不充分条件，所以“”是“”的必要不充分条件 故选：B 4. 函数的单调递增区间为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求出函数的定义域，再根据二次函数及复合函数的性质求解即可. 【详解】由题意可得：，解得：， 即或， 根据二次函数及复合函数的性质可知， 的单调递增区间为：. 故选：C. 5. 若x>1，则有（ ） A. 最小值1 B. 最大值1 C. 最小值-1 D. 最大值-1 【答案】A 【解析】 【分析】将给定表达式整理变形，再利用基本不等式即可作答. 【详解】因x>1，则1，当且仅当，即时取等号. 所以有最小值为1. 故选：A 6. 若函数是在R上的奇函数，当时，，则的值域为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用函数为奇函数，图象关于原点对称求值域. 【详解】当时，， 因为是R上的奇函数，所以； 当时，由于图象关于原点对称，故， 所以. 故选：A 7. 已知函数f(x)是偶函数，且f(x)在上是增函数，若，则不等式的解集为（ ） A. {x|x>2} B. C. {或x>2} D. {或x>2} 【答案】C 【解析】 【分析】利用函数的奇偶性和单调性将不等式等价为，进而可求得结果. 【详解】依题意，不等式， 又在上是增函数，所以， 即或，解得或. 故选：C. 8. 若定义上的函数满足：对任意有，若的最大值和最小值分别为，，则的值为（ ） A. 2022 B. 2018 C. 4036 D. 4044 【答案】D 【解析】 【分析】由题设条件可得，令，则为上的奇函数，由可得的值. 【详解】任意有， 取，则即， 令，则， 故， 令，则， 故，故为上的奇函数， 故即， 故， 故选：D. 二、多项选择题（本大题有3小题，每小题6分，共18分） 9. 某同学用二分法求函数的零点时，计算出如下结果：，，，，．下列说法正确的有（ ） A. 的零点在区间内 B. 的零点在区间内 C. 精确到0.1的近似值为1.4 D. 精确到0.1的近似值为1.5 【答案】BC 【解析】 【分析】根据二分法基本原理判断即可. 【详解】解：易知是增函数，因为，，所以零点在内，所以A错误，B正确， 又1.4375和1.375精确到0.1的近似数都是1.4，所以C正确，D错误． 故选：BC. 10. 已知函数，若（其中），则的可能取值有（ ） A. B. C. 2 D. 4 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据题设条件可得，根据基本不等式可求最小值. 【详解】, 因为，故， 故， 而，故即，而， 由基本不等式可得，当且仅当时等号成立， 故的可能取值为（均验证）. 故选：BCD. 11. 已知函数，若存在不相等的实数满足且，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 的取值范围为 【答案】ACD 【解析】 【分析】A选项，画出与的图象，数形结合得到，A正确；B选项，由对称性可知，；C选项，求出，，故，得到；D选项，变形得到，结合和对勾函数单调性得到取值范围. 【详解】A选项，画出与的图象如下： 要想满足，则，故A正确； B选项，由对称性可知，，故B错误， C选项，令，解得，故， 由，故，所以，故C正确； D选项，， 其中，而在上单调递减， 所以，则，故D正确. 故选：ACD. 【点睛】方法点睛：函数零点问题：将函数零点问题或方程解的问题转化为两函数的图象交点问题，将代数问题几何化，借助图象分析，大大简化了思维难度，首先要熟悉常见的函数图象，包括指数函数，对数函数，幂函数，三角函数等，还要熟练掌握函数图象的变换，包括平移，伸缩，对称和翻折等，涉及零点之和问题，通常考虑图象的对称性进行解决. 三、填空题（本大题有3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知幂函数在上为增函数，则实数m的值是______． 【答案】3 【解析】 【分析】根据幂函数的定义求得，再由单调性确定最终结论． 【详解】由题意，解得或，时，在上递减，时，在上递增，所以． 故答案为：3. 13. 函数的单调递增区间是___________. 【答案】## 【解析】 【分析】求出函数的定义域，利用复合函数法可求得函数的单调递增区间. 【详解】由得，解得， 所以函数的定义域为. 设内层函数，对称轴方程为，抛物线开口向下， 函数在区间上单调递增，在区间上单调递减， 外层函数为减函数，所以函数的单调递增区间为. 故答案为：. 14. 已知函数在上单调递增，则实数的取值范围为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据单调性可确定每一段区间内的单调性及分段处函数值的大小关系，由此可构造不等式组求得结果. 【详解】在上单调递增，，解得：， 即实数的取值范围为. 故答案为：. 四、解答题 15. 计算下列各式的值： （1）； （2）． 【答案】（1）##0.5 （2） 【解析】 【分析】（1）利用指数式的性质和运算法则求解； （2）利用对数的性质和运算法则求解. 【小问1详解】 【小问2详解】 = = = = 16. 已知命题“关于的方程有两个不相等的实数根”是假命题. （1）求实数的取值集合； （2）设集合，其中，若“”是“”的充分不必要条件，求的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由根的判别式大于0，得到不等式，求出实数的取值集合； （2）根据题意得到⫋，进而得到不等式组，求出的取值范围. 【小问1详解】 若命题“关于的方程有两个不相等的实数根”是真命题， 则，解得或， 故实数的取值集合. 【小问2详解】 ∵“”是“”的充分不必要条件， ∴⫋， 又， 故，等号不能同时取得，解得， 故的取值范围为. 17. 已知函数. （1）求的值域； （2）若对，不等式恒成立，求实数m的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）换元法转化成二次函数在给定区间求值域即可解决； （2）分离参数后，再构造函数，并求其值域，即可解决. 【小问1详解】 令，当时，， 则可将原函数转化为， 当时，；当时，. 所以在上的值域为. 【小问2详解】 令，当时，， 则关于x的不等式对恒成立，可化为 对恒成立， 所以，即， 又在上为减函数，在上为增函数， 在上的最大值为. 因此实数m的取值范围为. 18. 天气转冷，宁波某暖手宝厂商为扩大销量，拟进行促销活动.根据前期调研，获得该产品的销售量万件与投入的促销费用万元满足关系式（为常数），而如果不搞促销活动，该产品的销售量为4万件.已知该产品每一万件需要投入成本20万元，厂家将每件产品的销售价格定为元，设该产品的利润为万元.（注：利润销售收入投入成本促销费用） （1）求出的值，并将表示为的函数； （2）促销费用为多少万元时，该产品的利润最大？此时最大利润为多少？ 【答案】（1）， （2）当促销费用为7万元时，该产品的利润最大，最大利润为123万元 【解析】 【分析】（1）先由已知条件求出待定系数，写出促销费用关系式，计算销售收入、投入成本，再表达利润即可； （2）将函数关系式作配凑变形，利用基本不等式求最值. 【小问1详解】 由题知，时，， 于是，，解得. 所以，.根据题意， 即 所以 【小问2详解】 当且仅当，即时，等号成立. 所以当促销费用为7万元时，该产品的利润最大，最大利润为123万元. 19. 已知函数f（x）=log4（4x+1）+kx与g（x）=log4（a•2x﹣a），其中f（x）是偶函数． （1）求实数k的值； （2）求函数g（x）的定义域； (3)若函数f（x）与g（x）的图象有且只有一个公共点，求实数a的取值范围． 【答案】（1） （2）当a＞0时，g（x）的定义域为（log2，+∞）， 当a＜0时，g（x）的定义域为（﹣∞，log2）． （3）{a|a＞1或a=﹣3}． 【解析】 【详解】试题分析：（1）由偶函数定义得f（﹣x）=f（x），根据对数运算法则化简可得2k=﹣1，即得实数k的值；（2）解含参数不等式，一般方法为先分解因式，再讨论各因子符号，即得函数g（x）的定义域；（3）先根据对数运算法则化简方程f（x）=g（x），去掉对数，再设2x=t，转化为类二次方程有正解情况，分一次方程，二次方程中分二个相同正根与一个正根一个负根依次讨论，最后求并集得实数a的取值范围． 试题解析：解：（I）f（x）的定义域为R， ∵f（x）=log4（4x+1）+kx是偶函数， ∴f（﹣x）=f（x）恒成立， 即log4（4﹣x+1）﹣kx=log4（4x+1）+kx恒成立， ∴log4=2kx，即log4=2kx， ∴42kx=4﹣x，∴2k=﹣1，即k=﹣． （II）由g（x）有意义得a•2x﹣＞0，即a（2x﹣）＞0， 当a＞0时，2x﹣＞0，即2x＞，∴x＞log2， 当a＜0时，2x﹣＜0，即2x＜，∴x＜log2． 综上，当a＞0时，g（x）的定义域为（log2，+∞）， 当a＜0时，g（x）的定义域为（﹣∞，log2）． （III）令f（x）=g（x）得log4（4x+1）﹣x=log4（a•2x﹣）， ∴log4=log4（a•2x﹣），即2x+=a•2x﹣， 令2x=t，则（1﹣a）t2+at+1=0，， ∵f（x）与g（x）的图象只有一个交点， ∴f（x）=g（x）只有一解，∴关于t的方程（1﹣a）t2+at+1=0只有一正数解， （1）若a=1，则+1=0，t=﹣，不符合题意； （2）若a≠1，且﹣4（1﹣a）=0，即a=或a=﹣3． 当a=时，方程（1﹣a）t2+at+1=0的解为t=﹣2，不符合题意； 当a=﹣3时，方程（1﹣a）t2+at+1=0的解为t=，符合题意； （3）若方程（1﹣a）t2+at+1=0有一正根，一负根，则＜0，∴a＞1， 综上，a的取值范围是{a|a＞1或a=﹣3}． 点睛： 对于方程解的个数(或函数零点个数)问题，可利用函数的值域或最值，结合函数的单调性、草图确定其中参数范围．从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $