精品解析：广东省肇庆市颂德学校2024-2025学年九年级上学期开学训练数学试题

2024-2025学年第一学期九年级数学开学训练 注意事项： 1．本试卷必须在120分钟内完成，满分120分； 2．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡相应的位置． 3．答案全部在答题卡上完成，答在本试卷上无效． 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该选项涂黑） 1. 下列出版社的商标图案中，是轴对称图形的为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据轴对称图形的概念：一个图形沿一条直线折叠，直线两旁部分能够完全重合的图形；由此问题可求解． 【详解】解：符合轴对称图形的只有A选项，而B、C、D选项找不到一条直线能使直线两旁部分能够完全重合； 故选A． 【点睛】本题主要考查轴对称图形的识别，熟练掌握轴对称图形的概念是解题的关键． 2. 下列方程中，是一元二次方程的是（　　） A. y= x2﹣3 B. 2（x+1）=3 C. x2+3x﹣1=x2+1 D. x2=2 【答案】D 【解析】 【详解】解：A．y= x2﹣3是二元二次方程，故本选项错误； B．2（x+1）=3是一元一次方程，故本选项错误； C．x2+3x﹣1=x2+1是一元一次方程，故本选项错误； D．x2=2是一元二次方程，故本选项正确． 故选D． 【点睛】此题主要考查了一元二次方程的定义，要判断一个方程是否为一元二次方程，先看它是否为整式方程，若是，再对它进行整理．如果能整理为ax2+bx+c=0（a≠0）的形式，则这个方程就为一元二次方程． 3. 下列各组数中，不能构成直角三角形的一组是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查勾股定理的逆定理，欲判断能否构成直角三角形，只需验证两小边的平方和是否等于最长边的平方．解题关键是掌握勾股定理的逆定理：已知的三边、、满足，则是直角三角形． 【详解】解：A．∵， ∴该组能构成直角三角形，故此选项不符合题意； B．∵， ∴该组能构成直角三角形，故此选项不符合题意； C．∵， ∴该组能构成直角三角形，故此选项不符合题意； D．， ∴该组不能构成直角三角形，故此选项符合题意． 故选：D． 4. 正比例函数的图象经过的点是（） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了正比例函数上点的坐标特征的应用，把点的坐标代入，看看两边是否相等即可． 【详解】解：A、把代入函数，两边不相等，即点不在正比例函数的图象上，故本选项错误； B、把代入函数，两边相等，即点在正比例函数的图象上，故本选项正确； C、把代入函数，两边不相等，即点不在正比例函数的图象上，故本选项错误； D、把代入函数，两边不相等，即点不在正比例函数的图象上，故本选项错误； 故选：B． 5. 一元二次方程的根是（ ） A. B. C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，先移项，然后利用提公因式法分解因式，再解方程即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴ ∴， ∴或， 解得， 故选C． 6. 下表记录了八年级一班甲、乙、丙、丁四名同学最近3次数学模拟测试成绩（满分：120分）的平均数与方差：根据表中数据，可知成绩好且发挥稳定的同学是（ ） 甲 乙 丙 丁 平均数 方差 A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查利用方差判断稳定性，解题的关键是理解方差越小越稳定．据此解答即可．也考查了平均数． 【详解】解：∵，丙和丁的平均数最大， ∴成绩好且发挥稳定的同学是丁． 故选：D． 7. 如图，每个小正方形的边长为1，A、B、C是小正方形的顶点，则∠ABC的度数为（ ） A. 90° B. 60° C. 45° D. 30° 【答案】C 【解析】 【分析】根据勾股定理即可得到AB，BC，AC的长度，进行判断即可． 【详解】解：连接AC，如图： 根据勾股定理可以得到：AC=BC=，AB=． ∵（）2+（）2=（）2． ∴AC2+BC2=AB2． ∴△ABC是等腰直角三角形． ∴∠ABC=45°． 故选C． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握其性质是解题的关键． 8. 方程根的情况是（ ） A. 有实根 B. 有两个相等的实数根 C. 无实根 D. 有两个不相等的实数根 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，解题的关键是掌握：式子是一元二次方程根的判别式，则：方程有两个不等的实数根；方程有两个相等的实数根；方程无实数根．据此解答即可． 【详解】解：∵方程， 又∵， ∴方程无实根． 故选：C． 9. 小明用四根长度相同的木条制作了能够活动的菱形学具，他先活动学具成为图1所示菱形，并测得∠B＝60°，对角线AC＝20cm，接着活动学具成为图2所示正方形，则图2中对角线AC的长为（　　） A. 20cm B. 30cm C. 40cm D. 20cm 【答案】D 【解析】 【分析】如图1，图2中，连接AC．在图1中，证△ABC是等边三角形，得出AB=BC=AC=20cm．在图2中，由勾股定理求出AC即可． 【详解】解：如图1，图2中，连接AC． 图1中，∵四边形ABCD是菱形， ∴AB＝BC， ∵∠B＝60°， ∴△ABC是等边三角形， ∴AB＝BC＝AC＝20cm， 在图2中，∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝BC，∠B＝90°， ∴△ABC是等腰直角三角形， ∴AC＝AB＝20cm； 故选：D． 【点睛】本题考查菱形的性质、正方形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握菱形和正方形的性质，属于中考常考题型． 10. 小明从家出发到商场购物后返回，如图表示的是小明离家的路程（单位：）与时间（单位：）之间的函数关系．已知小明购物用时，从商场返回家的速度是从家去商场速度的倍，则的值为（ ） A. 46 B. 48 C. 50 D. 52 【答案】D 【解析】 【分析】设小明从家去商场的速度为，则他从商场返回家的速度为，根据“从家去商场和从商场返回家路程不变”列方程求解即可． 【详解】解：设小明从家去商场的速度为，则他从商场返回家的速度为， 根据题意得：， 解得：， 故选：D． 【点睛】本题考查了一次函数的图像、一元一次方程的实际应用，根据函数图象正确列出一元一次方程式解题关键． 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分．请将答案直接写在答题卡相应的位置） 11. 若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是___________． 【答案】x≥8 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件，可得x-8≥0，然后进行计算即可解答． 【详解】解：由题意得： x8≥0， 解得：x≥8． 故答案为：x≥8． 【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式是解题的关键． 12. 已知是方程的一个根，则的值是_______. 【答案】2 【解析】 【分析】由题意知x=-1是方程x2+ax+3-a=0的一个根，再根据一元二次方程的根的定义代入x=-1，求解即可． 【详解】∵x=-1是方程的根， 由一元二次方程的根的定义，可得， 1-a+3-a=0， 解此方程得到a=2． 【点睛】本题考查一元二次方程解的定义，把解代入方程易得出a的值． 13. 填上适当的数，使等式成立： _______________． 【答案】 ①. 9 ②. 3 【解析】 【分析】本题主要考查了完全平方式．先根据已知平方项和乘积二倍项确定出这两个数，再根据完全平方公式解答即可． 【详解】解：， 故答案为：9，3． 14. 某学校开展了社会实践活动，活动地点距离学校，甲、乙两同学骑自行车同时从学校出发，甲的速度是乙的倍，结果甲比乙早到，设乙同学骑自行车的速度是．则方程是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查分式方程的应用，设乙骑自行车的速度为，则甲骑自行车的速度为，根据“结果甲比乙早到”列方程即可得到结论．找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． 【详解】解：设乙骑自行车的速度为，则甲骑自行车的速度为， 根据题意得：． 故答案为：． 15. 设a，b是方程的两个实数根，则的值为______． 【答案】2018 【解析】 【分析】本题考查了根与系数的关系，牢记“两根之和等于，两根之积等于”是解题的关键．据根与系数的关系可得出，，将其代入中即可得出结论． 【详解】解：∵a，b是方程的两个实数根， ∴，， ∴， 故答案为：． 三、解答题（一）（本大题共3小题，第16题10分、第17题、第18题各7分，共24分） 16. （1）解方程：． （2）已知一次函数的图象经过点和点，求这个一次函数的解析式． 【答案】（1），；（2） 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程，求一次函数解析式， （1）将化为，然后进行因式分解，即可得解； （2）将过点和点代入得到关于、的二元一次方程组，求解即可； 解题的关键：①熟练掌握解一元二次方程的解法（直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法）并根据情况选用适当的方法求解；②掌握利用待定系数法确定函数的解析式． 【详解】解：（1）， ∴，即， ∴， ∴， ∴或， 解得：，； （2）∵一次函数的图象经过点和点， ∴， 解得：， ∴这个一次函数的解析式为． 17. 已知x＝2是关于x的一元二次方程x2+3x+m﹣2＝0的一个根．求m的值及方程的另一个根． 【答案】m=8，5 【解析】 【分析】由于x=2是方程的一个根，直接把它代入方程即可求出m的值，然后根据根与系数的关系可以求出方程的另一根． 【详解】解：∵x=2是关于x的一元二次方程x2+3x+m-2=0的一个根， ∴4+6+m-2=0， ∴m=-8， 设方程的另一个根为x2，则2+x2=-3， ∴x2=-5， ∴m的值是-8，方程的另一个根是x=-5． 【点睛】本题考查了根与系数的关系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x2=，x1•x2=，也考查了一元二次方程的解． 18. 【探究与证明】折纸操作简单，富有数学趣味，我们可以通过折纸开展数学探究，探索数学奥秘． 【动手操作】如图，将矩形纸片对折，使与重合，展平纸片，得到折痕；折叠纸片，使点落在上，并使折痕经过点，得到折痕，点，的对应点分别为，；展平纸片，连接，，．请完成： （1）观察图中，和，试猜想这三个角的大小关系； （2）证明（1）中的猜想； 【答案】（1） （2） 证明：如图， ∵将矩形纸片对折，使与重合，得到折痕；折叠纸片，使点落在上，并使折痕经过点，得到折痕，点，的对应点分别为，， ∴是的垂直平分线，是的垂直平分线，， ∴，点是的中点， ∴， ∴是等边三角形且关于对称， ∴， ∵折叠纸片，使点落在上，并使折痕经过点，得到折痕，点的对应点为， ∴关于对称， ∴线段与线段关于对称， 又∵点的对应点为，点在线段上且点是线段的中点， ∴点在线段上且点是线段的中点， ∴平分， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴． 【解析】 【分析】（1）猜想； （2）证明是等边三角形，根据等边三角形的对称性推出平分，从而得出，进一步得出结论． 【小问1详解】 解：这三个角的大小关系为：； 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查轴对称的性质，矩形的性质，垂直平分线的性质，等边三角形的判定和性质，等腰三角形三线合一性质等知识，解题的关键是熟练掌握轴对称的性质． 四、解答题二（本大题共3小题，每小题9分，共27分） 19. 某校为了普及环保知识，从七、八两个年级中各选出10名学生参加环保知识竞赛（满分100分），并对成绩进行整理分析，得到如下信息： 平均数 众数 中位数 七年级参赛学生成绩 85.5 m 87 八年级参赛学生成绩 85.5 85 n 根据以上信息，回答下列问题： （1）填空：________，________； （2）七、八年级参赛学生成绩的方差分别记为、，请判断___________（填“”“”或“”）； （3）从平均数和中位数的角度分析哪个年级参赛学生的成绩较好． 【答案】（1） （2） （3）七年级和八年级的平均成绩相同，但是七年级的中位数比八年级的大，所以七年级参赛学生的成绩较好． 【解析】 【分析】（1）找到七年级学生的10个数据中出现次数最多的即为的值，将八年级的10个数据进行排序，第5和第6个数据的平均数即为的值； （2）根据折线统计图得到七年级的数据波动较大，根据方差的意义，进行判断即可； （3）利用平均数和中位数作决策即可． 【小问1详解】 解：七年级的10个数据中，出现次数最多的是：80， ∴； 将八年级的10个数据进行排序：； ∴； 故答案为：； 【小问2详解】 由折线统计图可知：七年级的成绩波动程度较大， ∵方差越小，数据越稳定， ∴； 故答案为：． 【小问3详解】 略 【点睛】本题考查数据的分析．熟练掌握众数，中位数的确定方法，利用中位数作决策，是解题的关键． 20. 关于的一元二次方程x2+2x+k+1=0的实数解是x1和x2． （1）求k的取值范围； （2）如果x1+x2﹣x1x2＜﹣1且k为整数，求k的值． 【答案】解：（1）k≤0．（2）k的值为﹣1和0． 【解析】 【分析】（1）方程有两个实数根，必须满足△=b2-4ac≥0，从而求出实数k的取值范围； （2）先由一元二次方程根与系数的关系，得x1+x2=-2，x1x2=k+1．再代入不等式x1+x2-x1x2<-1，即可求得k的取值范围，然后根据k为整数，求出k的值． 【详解】(1)∵方程有实数根， ∴△=22−4(k+1)≥0， 解得k ≤0 故k的取值范围是k≤0． (2)根据一元二次方程根与系数的关系,得=−2,=k+1， −=−2−(k+1) 由已知,得−2−(k+1)<−1，解得k>−2 又由(1)k≤0， ∴−2<k≤0 ∵k为整数， ∴k的值为−1或0． 21. 甲、乙两个工程组同时挖掘肇佛高铁某段隧道，两组每天挖掘长度均保持不变，合作一段时间后，乙组因维修设备而停工，甲组单独完成了剩下的任务，甲、乙两组挖掘的长度之和与甲组挖掘时间（天）之间的关系如图所示． （1）求乙组停工后关于的函数解析式． （2）当甲组挖掘的总长度与乙组挖掘的总长度相等时，求乙组已停工的天数． 【答案】（1） （2）天 【解析】 【分析】本题考查一次函数的应用， （1）乙组停工后关于的函数解析式为，再将点、代入求解即可； （2）根据函数图象得出甲的工作效率，得出前天是甲乙合作共挖掘，则乙单独挖掘的长度是，再求出甲单独挖掘所用的天数，即可得出答案． 解题的关键是数形结合求出一次函数解析式． 【小问1详解】 解：乙组停工后关于的函数解析式为， ∵点、在图象上， ∴， 解得：， ∴乙组停工后关于的函数解析式为； 【小问2详解】 由题意可知，甲单独干了天，挖掘的长度是：， ∴甲的工作效率是每天：， 前天是甲乙合作共挖掘了， ∴乙单独挖掘的长度是：， ∴当甲挖掘的长度是时，工作天数是：（天）， ∴乙组已停工的天数是：（天）． 答：乙组已停工的天数是天． 五、解答题三（本大题共2小题，每题12分，共24分） 22. 如图，E、F是正方形的对角线上的两点，且． （1）判断四边形的形状并证明； （2）若，，求四边形的面积． 【答案】（1）菱形 （2）6 【解析】 【分析】（1）连接，交于点O，根据正方形的性质得出，根据，推出，则四边形是平行四边形，，得出四边形是菱形； （2）根据勾股定理可得，进而得出，根据菱形的面积公式求解即可． 【小问1详解】 解：连接，交于点O， ∵四边形为正方形， ∴， ∵， ∴，即， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形； 【小问2详解】 解：∵四边形为正方形， ∴， 根据勾股定理可得：， ∵，， ∴， ∴四边形的面积． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，菱形的判定和性质，解题的关键是掌握正方形对角线互相垂直平分且相等，对角线互相垂直的平行四边形是菱形，菱形的面积等于对角线乘积的一半． 23. 综合探究：如图，在平面直角坐标系中，直线分别与轴、轴交于点，且与直线交于点． （1）已知是线段上的点，且的面积为，求的坐标； （2）在（1）的条件下，设是射线上的点，在平面内存在点，使以为顶点的四边形是菱形，请直接写出点的坐标． 【答案】（1） （2）或或 【解析】 【分析】（1）根据在直线上，设出点坐标，表示出的面积，把已知面积代入求出的值，即可确定点的坐标； （2）在（1）的条件下，设是射线上的点，在平面内存在点，使以、、、为顶点的四边形是菱形，如图所示，分三种情况考虑：①当四边形为菱形时，由，得到四边形为正方形；②当四边形为菱形时；③当四边形为菱形时；分别求出坐标即可． 【小问1详解】 解：∵直线分别与轴、轴交于点， 当时，得：；当时，得：， ∴，， ∴， ∵是线段上的点，直线的解析为，设， 又∵的面积为， ∴， 解得：， ∴； 【小问2详解】 设直线的解析式为，过点，， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为， ∵在平面内存在点，使以、、、为顶点的四边形是菱形， 如图所示，分三种情况考虑： ①当四边形为菱形时， ∵， ∴得到四边形为正方形， ∴，， ∴； ②当四边形为菱形时， ∴与互相垂直且平分，， ∵， ∴点的纵坐标为， 设直线的解析式为，过点， ∴， ∴直线的解析式为， 当时，得：， ∴； ③当四边形为菱形时，交轴于点， ∴，，即轴， ∴点在直线上，设， ∴，， 在中，， ∴， 解得：或（负值不符合题意，舍去）， ∴； 综上所述，点的坐标是或或． 【点睛】本题是一次函数综合题，考查了坐标与图形，一次函数与坐标轴的交点，待定系数法确定一次函数解析式，菱形的性质，正方形的判定与性质，勾股定理等知识点，分类讨论思想的运用是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年第一学期九年级数学开学训练 注意事项： 1．本试卷必须在120分钟内完成，满分120分； 2．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡相应的位置． 3．答案全部在答题卡上完成，答在本试卷上无效． 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该选项涂黑） 1. 下列出版社的商标图案中，是轴对称图形的为（ ） A. B. C. D. 2. 下列方程中，是一元二次方程的是（　　） A. y= x2﹣3 B. 2（x+1）=3 C. x2+3x﹣1=x2+1 D. x2=2 3. 下列各组数中，不能构成直角三角形的一组是（ ） A. B. C. D. 4. 正比例函数的图象经过的点是（） A. B. C. D. 5. 一元二次方程的根是（ ） A. B. C. ， D. ， 6. 下表记录了八年级一班甲、乙、丙、丁四名同学最近3次数学模拟测试成绩（满分：120分）的平均数与方差：根据表中数据，可知成绩好且发挥稳定的同学是（ ） 甲 乙 丙 丁 平均数 方差 A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 7. 如图，每个小正方形的边长为1，A、B、C是小正方形的顶点，则∠ABC的度数为（ ） A. 90° B. 60° C. 45° D. 30° 8. 方程根的情况是（ ） A. 有实根 B. 有两个相等的实数根 C. 无实根 D. 有两个不相等的实数根 9. 小明用四根长度相同的木条制作了能够活动的菱形学具，他先活动学具成为图1所示菱形，并测得∠B＝60°，对角线AC＝20cm，接着活动学具成为图2所示正方形，则图2中对角线AC的长为（　　） A. 20cm B. 30cm C. 40cm D. 20cm 10. 小明从家出发到商场购物后返回，如图表示的是小明离家的路程（单位：）与时间（单位：）之间的函数关系．已知小明购物用时，从商场返回家的速度是从家去商场速度的倍，则的值为（ ） A. 46 B. 48 C. 50 D. 52 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分．请将答案直接写在答题卡相应的位置） 11. 若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是___________． 12. 已知是方程的一个根，则的值是_______. 13. 填上适当的数，使等式成立： _______________． 14. 某学校开展了社会实践活动，活动地点距离学校，甲、乙两同学骑自行车同时从学校出发，甲的速度是乙的倍，结果甲比乙早到，设乙同学骑自行车的速度是．则方程是______． 15. 设a，b是方程的两个实数根，则的值为______． 三、解答题（一）（本大题共3小题，第16题10分、第17题、第18题各7分，共24分） 16. （1）解方程：． （2）已知一次函数的图象经过点和点，求这个一次函数的解析式． 17. 已知x＝2是关于x的一元二次方程x2+3x+m﹣2＝0的一个根．求m的值及方程的另一个根． 18. 【探究与证明】折纸操作简单，富有数学趣味，我们可以通过折纸开展数学探究，探索数学奥秘． 【动手操作】如图，将矩形纸片对折，使与重合，展平纸片，得到折痕；折叠纸片，使点落在上，并使折痕经过点，得到折痕，点，的对应点分别为，；展平纸片，连接，，．请完成： （1）观察图中，和，试猜想这三个角的大小关系； （2）证明（1）中的猜想； 四、解答题二（本大题共3小题，每小题9分，共27分） 19. 某校为了普及环保知识，从七、八两个年级中各选出10名学生参加环保知识竞赛（满分100分），并对成绩进行整理分析，得到如下信息： 平均数 众数 中位数 七年级参赛学生成绩 85.5 m 87 八年级参赛学生成绩 85.5 85 n 根据以上信息，回答下列问题： （1）填空：________，________； （2）七、八年级参赛学生成绩的方差分别记为、，请判断___________（填“”“”或“”）； （3）从平均数和中位数的角度分析哪个年级参赛学生的成绩较好． 20. 关于的一元二次方程x2+2x+k+1=0的实数解是x1和x2． （1）求k的取值范围； （2）如果x1+x2﹣x1x2＜﹣1且k为整数，求k的值． 21. 甲、乙两个工程组同时挖掘肇佛高铁某段隧道，两组每天挖掘长度均保持不变，合作一段时间后，乙组因维修设备而停工，甲组单独完成了剩下的任务，甲、乙两组挖掘的长度之和与甲组挖掘时间（天）之间的关系如图所示． （1）求乙组停工后关于的函数解析式． （2）当甲组挖掘的总长度与乙组挖掘的总长度相等时，求乙组已停工的天数． 五、解答题三（本大题共2小题，每题12分，共24分） 22. 如图，E、F是正方形的对角线上的两点，且． （1）判断四边形的形状并证明； （2）若，，求四边形的面积． 23. 综合探究：如图，在平面直角坐标系中，直线分别与轴、轴交于点，且与直线交于点． （1）已知是线段上的点，且的面积为，求的坐标； （2）在（1）的条件下，设是射线上的点，在平面内存在点，使以为顶点的四边形是菱形，请直接写出点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $