精品解析：山东省临沂市蒙阴县第五中学2024-2025学年九年级上学期10月月考数学试题

九年级自我检测 考试时间：90分钟；分值：120分 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第I卷（选择题） 一、单选题（每小题3分，共36分） 1. 下列方程中，是关于x的一元二次方程的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程的定义，要判断一个方程是否为一元二次方程，先看它是否为整式方程，若是，再对它进行整理如果能整理为的形式，则这个方程就为一元二次方程．根据定义逐项分析即可． 【详解】解：A．是一元二次方程，符合题意； B．中含未知数的最高项的次数是1，故不是一元二次方程，不符合题意； C．中含2个未知数，故不是一元二次方程，不符合题意； D．中含2个未知数，故不是一元二次方程，不符合题意； 故选A． 2. 把方程化成一般形式后，一次项系数和常数项分别是（ ） A. 4，1 B. 6，1 C. 5，1 D. 1，6 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，将方程化为一般形式即可求解． 本题考查了一元二次方程的一般形式是：（是常数且）特别要注意的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中叫二次项，叫一次项，是常数项．其中分别叫二次项系数，一次项系数，常数项． 【详解】解：化为一般形式：， ∴一次项系数和常数项分别是，． 故选：A． 3. 方程的左边配成完全平方后所得方程为（ ） A. B. C. D. =9 【答案】A 【解析】 【分析】根据配方法的步骤对方程进行配方即可. 【详解】解：移项得：x2+6x=5， 配方可得：x2+6x+9=5+9， 即（x+3）2=14， 故选择：A． 【点睛】本题考查用配方法解一元二次方程.熟练掌握用配方法解一元二次方程的具体步骤是解决此题的关键. 4. 已知抛物线，下列结论错误的是（ ） A. 抛物线开口向上 B. 抛物线的对称轴为直线 C. 抛物线的顶点坐标为 D. 当时，y随x的增大而增大 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次函数的开口方向、对称轴、顶点坐标以及增减性对各选项分析判断即可得解． 【详解】解：抛物线中，a＞0，抛物线开口向上，因此A选项正确，不符合题意； 由解析式得，对称轴为直线，因此B选项正确，不符合题意； 由解析式得，当时，y取最小值，最小值为1，所以抛物线的顶点坐标为，因此C选项正确，不符合题意； 因为抛物线开口向上，对称轴为直线，因此当时，y随x的增大而减小，因此D选项错误，符合题意； 故选D． 【点睛】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在中，对称轴为，顶点坐标为． 5. 若，则的值为（ ） A. 2或 B. 或6 C. 6 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程，利用换元法解方程即可． 【详解】解：令，则：， 原等式可化为：， 整理，得：， 解得：， ∵， ∴，即：； 故选：D． 6. 今年1至11月，我国船舶工业保持良好发展态势，造船完工量、新接订单量、手持订单量三大指标全面增长．9月份造船完成量约为335万载重吨，11月份造船完成量约为354万载重吨若平均每月增长率为x，则可以列出方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，利用平均增长率公式，a为9月份造船完成量，b为11月份造船完成量，即可列出关于x的一元二次方程，此题得解，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 【详解】根据题意得：． 故选：C． 7. 若是抛物线上的三点，则为的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，掌握当抛物线开口方向向上时，离对称轴越远，函数值越大成为解题的关键． 先确定抛物线的对称轴，再确定抛物线开口向上，此时离对称轴越远，函数值越大，据此即可解答． 【详解】解：∵, ∴抛物线的对称轴为直线，开口向上， ∴离对称轴越远，函数值越大， ∵点离对称轴最远，点在对称轴上， ∴． 故选：B． 8. 已知一元二次方程的一个根为，则另一根为（　　） A. 1 B. 3.5 C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】设方程的另一个根为t，根据两根之积得到然后解一次方程即可． 本题考查了一元二次方程的解及根与系数的关系：若是一元二次方程的两根时， ． 【详解】解：设方程的另一个根为t， 根据题意得，解得， 故选：B． 9. 关于x的方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（　　） A. B. k>2 C. k<2且k0 D. k2且k0 【答案】C 【解析】 【分析】利用一元二次方程根的判别式，即可求解． 【详解】解：∵方程有两个不相等的实数根， ∴且， 解得：k<2且k0． 故选：C 【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程，当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根是解题的关键． 10. 将抛物线向上平移3个单位，再向左平移2个单位，得到的新抛物线的表达式为，则平移前的抛物线表达式为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数图象的平移，根据题意可知将抛物线向右平移2个单位，再向下平移3个单位，即可得出答案． 【详解】平移前的抛物线的表达式为． 故答案为：A． 11. 在同一平面直角坐标系中，一次函数和二次函数的大致图象是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与二次函数的图象，解题的关键是对参数和进行分类讨论．分当，时，当，时，当，时，当，时，四种情况讨论即可． 【详解】解：对于一次函数和二次函数的图象， ①当，时，一次函数的图象过第一、二、三象限，二次函数的图象开口向上，对称轴在轴左侧，没有选项符合； ②当，时，一次函数的图象过第一、三、四象限，二次函数的图象开口向下，对称轴在轴左侧，没有选项符合； ③当，时，一次函数的图象过第一、二、四象限，二次函数的图象开口向上，对称轴在轴右侧，选项B符合； ④当，时，一次函数的图象过第二、三、四象限，二次函数的图象开口向下，对称轴在轴右侧，没有选项符合； 故选：B． 12. 如图，小明在某次投篮中，球的运动路线是抛物线的一部分，若命中篮圈中心，则他与篮圈底的距离l是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了投球问题，实际问题与二次函数，如图，实际是求的长，而已知，所以只需求出即可，就是点的横坐标． 【详解】解：如图， 把点纵坐标代入中得： (舍去负值)，即， 所以． 故选：C． 第II卷（非选择题） 二、填空题（每小题3分，共21分） 13. 抛物线的顶点坐标是___________． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了抛物线的顶点，把抛物线的解析式化为顶点式即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴抛物线的顶点坐标是， 故答案为： 14. 若关于x的一元二次方程的一个根是，则的值为__． 【答案】2029 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．把代入方程得，然后利用整体代入的方法计算的值． 【详解】解：∵一元二次方程的一个根是， ∴， ∴， ∴ ， 故答案为：2029． 15. 如图，在宽为，长为的矩形地面上修建两条宽均为的小路（阴影），余下部分作为草地，草地面积为，根据图中数据，求得小路宽的值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．剩余部分可合成长为，宽为的矩形，利用矩形的面积公式结合草地面积为，即可得出关于的一元二次方程，求解并注意检验． 【详解】解：根据题意得：， 化简得：， 解得：，， ∵当时，， ∴舍去， 故答案为：． 16. 已知二次函数，当时，y随x的增大而减小，则m的取值范围是__________ 【答案】## 【解析】 【分析】可先求得抛物线的对称轴，以及开口方向，再由条件可求得关于的不等式，可求得答案．本题主要考查二次函数图象性质，由函数的增减性，对称轴，以及开口方向得到关于的不等式是解题的关键． 【详解】解：， 对称轴为， 抛物线开口向下， 在对称轴右侧随的增大而减小， 当时，随的增大而减小， 即， 故答案为： 17. 如图，中，，点P从点B出发向终点C以1个单位长度/s移动，点Q从点C出发向终点A以2个单位长度/s移动，P、Q两点同时出发，一点先到达终点时P、Q两点同时停止，则__________秒后，的面积等于4． 【答案】1 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，根据图形正确列出一元二次方程成为解题的关键 设t秒后 的面积等于4，然后根据三角形面积公式列出一元二次方程求解即可． 【详解】解：设t秒后的面积等于4， 由题意得：，则， ∵， ∴，整理得：， 解得：，， ∵点从点C到点A的时间为， ∴，不合题意，舍去， ∴1秒后，的面积等于4． 故答案为：1． 18. 若关于的一元二次方程，通过配方法可以化成的形式，则________． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程配方法，根据配方法的步骤：①把常数项移到等号的右边；②把二次项的系数化为1；③等式两边同时加上一次项系数一半的平方，把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数项，由此可得出，的值，即可得出答案． 【详解】解：， ， ， ，， ． 故答案为：3． 19. 已知二次函数图象的对称轴为直线，与x轴的一个交点A的坐标为，其图象如图所示，下列结论：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦关于x的一元二次方程的两个根是，．其中正确的是______（填序号）． 【答案】②③④⑥⑦ 【解析】 【分析】根据抛物线的开口方向、与x轴交点个数、对称轴、增减性逐个进行判断，得出答案． 【详解】∵二次函数的图象开口向上，与y轴的交点在y轴负半轴上， ∴， ∵二次函数的对称轴为直线， ∴， ∴， ∴，故①错误； ∵二次函数的图象与x轴有两个不同的交点， ∴，故②正确； 根据图象可知，当时，， ∴，故③正确； ∵二次函数的图象与x轴的一个交点的坐标为， ∴， ∴，故④正确； ∵， ∴，故⑤错误； 根据图象可知，当时，， ∴，故⑥正确； ∵二次函数的对称轴为直线，二次函数的图象与x轴的一个交点的坐标为， ∴二次函数的图象与x轴的另一个交点的坐标为， ∴关于x的一元二次方程的两个根是，，故⑦正确． 综上所述，正确的有②③④⑥⑦． 【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，抛物线与x轴的交点，熟练掌握抛物线的对称性是解决问题的关键． 三、解答题 20. 解下列方程： （1） （2） （3） （4） 【答案】（1），； （2），； （3），； （4）， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握一元二次方程的解法：直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法等． （1）利用因式分解法解一元二次方程即可； （2）利用因式分解法解一元二次方程即可； （3）利用公式法解一元二次方程即可； （4）利用直接开方法解一元二次方程即可． 【小问1详解】 解： 或 ∴，； 【小问2详解】 解： 或 ∴，； 【小问3详解】 解： ，， ∴，； 【小问4详解】 解： ∴，． 21. 已知函数 （为常数）． （1）求当为何值时是的二次函数？ （2）在（）的条件下，点在此函数图象上，求的值． 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（）根据二次函数的定义即可求解； （）根据（）得出二次函数的解析式，再把点代入计算即可求解； 本题考查了二次函数的定义，二次函数图象上点的坐标特征，掌握二次函数的定义是解题的关键． 【小问1详解】 解：由题意得，且， 解得， ∴当时是的二次函数； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵点在此函数图象上， ∴． 22. 阅读材料： 为了解方程，我们可以将看作一个整体，设，那么原方程可化为①，解得，． 当时，，，； 当时，，，． 故原方程的解为，，，． 解答问题： 请利用以上知识解方程：； 【答案】，，， 【解析】 【分析】设，那么原方程可化为，解方程即可． 本题考查了换元法解方程，一元二次方程的解法，熟练掌握解方程是解题的关键． 【详解】解：设，那么原方程可化为①， 解得，． 当时，， ， ∵， ； 故，； 当时，， ， ， ，． 故原方程的解为，，，． 23. 已知关于x的方程． （1）求证：此方程有两个不相等的实数根； （2）设此方程的两个根分别为，若，求m的值． 【答案】（1） 证明：根据题意可知：， ∴方程有两个不相等的实数根； （2）3 【解析】 【分析】本题考查了根据判别式判断一元二次方程根的情况、根与系数的关系．熟练掌握根的判别式和根与系数的关系，是解题关键． （1）根据根的判别式即可验证； （2）利用根与系数的关系可得，据此即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由题意得：， ∴， 解得． 24. 某商店销售某种特产商品，以每千克12元购进，按每千克16元销售时，每天可售出100千克，经市场调查发现，单价每涨1元，每天的销售量就减少10千克． （1）若该商店销售这种特产商品想要每天获利480元，并且尽可能让利于顾客，那么每千克特产商品的售价应为多少元？ （2）通过计算说明，每千克特产商品售价为多少元时，每天销售这种特产商品获利最大，最大利润是多少元？ 【答案】（1）18元 （2）销售价格定为19时，才能使平均每天获得的利润最大，最大利润是490元 【解析】 【分析】（1）设每千克水果应涨价x元，根据题意列出一元二次方程即可求出结果； （2）设销售价格为x，用含x的式子表示所获利润，然后配方，利用平方的非负性即可求出最值． 【小问1详解】 解：设每千克水果应涨价x元，根据题意，得：， 解得：，， ∵要尽可能让利于顾客，只能取， ∴售价应为（元）， 答：每千克特产商品的售价应为18元； 【小问2详解】 解：设每天获得的利润为W，销售价格为x，则 ∴销售价格定为19时，才能使平均每天获得的利润最大，最大利润是490元． 【点睛】本题考查一元二次方程和配方法的应用，掌握实际问题中的等量关系和配方法是解题的关键． 25. 如图，已知二次函数的图象经过点和点． （1）求该二次函数的解析式； （2）求该二次函数图象的对称轴及顶点坐标； （3）点（其中）与点均在该函数图象上，且这两点关于函数图象的对称轴对称，求的值及点的坐标． 【答案】（1） （2）该二次函数图象的对称轴为直线，顶点坐标为 （3） ， 点的坐标为 【解析】 【分析】（1）用待定系数法（将图像上两点坐标代入解析式即可）； （2）由（1）得出的抛物线解析式，配方确定出对称轴和顶点坐标； （3）将点代入二次函数解析式求出m的值，由于点C和点D关于抛物线的对称轴对称即可求得． 【小问1详解】 解：二次函数的图象经过点和点， 得：， 解得：， 二次函数的解析式为：； 【小问2详解】 解：， 二次函数图象的对称轴为直线，顶点坐标为； 【小问3详解】 解：点函数图象上， ， 解得：， ， 舍去， ， 点C和点D关于抛物线的对称轴对称，对称轴为直线， ． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数及二次函数的性质，正确求出二次函数的表达式是解题关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级自我检测 考试时间：90分钟；分值：120分 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第I卷（选择题） 一、单选题（每小题3分，共36分） 1. 下列方程中，是关于x的一元二次方程的是（　　） A. B. C. D. 2. 把方程化成一般形式后，一次项系数和常数项分别是（ ） A. 4，1 B. 6，1 C. 5，1 D. 1，6 3. 方程的左边配成完全平方后所得方程为（ ） A. B. C. D. =9 4. 已知抛物线，下列结论错误的是（ ） A. 抛物线开口向上 B. 抛物线的对称轴为直线 C. 抛物线的顶点坐标为 D. 当时，y随x的增大而增大 5. 若，则的值为（ ） A. 2或 B. 或6 C. 6 D. 2 6. 今年1至11月，我国船舶工业保持良好发展态势，造船完工量、新接订单量、手持订单量三大指标全面增长．9月份造船完成量约为335万载重吨，11月份造船完成量约为354万载重吨若平均每月增长率为x，则可以列出方程为（ ） A. B. C. D. 7. 若是抛物线上的三点，则为的大小关系为（ ） A. B. C. D. 8. 已知一元二次方程的一个根为，则另一根为（　　） A. 1 B. 3.5 C. 2 D. 9. 关于x的方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（　　） A. B. k>2 C. k<2且k0 D. k2且k0 10. 将抛物线向上平移3个单位，再向左平移2个单位，得到的新抛物线的表达式为，则平移前的抛物线表达式为（ ） A. B. C. D. 11. 在同一平面直角坐标系中，一次函数和二次函数的大致图象是（ ） A. B. C. D. 12. 如图，小明在某次投篮中，球的运动路线是抛物线的一部分，若命中篮圈中心，则他与篮圈底的距离l是（　　） A. B. C. D. 第II卷（非选择题） 二、填空题（每小题3分，共21分） 13. 抛物线的顶点坐标是___________． 14. 若关于x的一元二次方程的一个根是，则的值为__． 15. 如图，在宽为，长为的矩形地面上修建两条宽均为的小路（阴影），余下部分作为草地，草地面积为，根据图中数据，求得小路宽的值为__________． 16. 已知二次函数，当时，y随x的增大而减小，则m的取值范围是__________ 17. 如图，中，，点P从点B出发向终点C以1个单位长度/s移动，点Q从点C出发向终点A以2个单位长度/s移动，P、Q两点同时出发，一点先到达终点时P、Q两点同时停止，则__________秒后，的面积等于4． 18. 若关于的一元二次方程，通过配方法可以化成的形式，则________． 19. 已知二次函数图象的对称轴为直线，与x轴的一个交点A的坐标为，其图象如图所示，下列结论：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦关于x的一元二次方程的两个根是，．其中正确的是______（填序号）． 三、解答题 20. 解下列方程： （1） （2） （3） （4） 21. 已知函数 （为常数）． （1）求当为何值时是的二次函数？ （2）在（）的条件下，点在此函数图象上，求的值． 22. 阅读材料： 为了解方程，我们可以将看作一个整体，设，那么原方程可化为①，解得，． 当时，，，； 当时，，，． 故原方程的解为，，，． 解答问题： 请利用以上知识解方程：； 23. 已知关于x的方程． （1）求证：此方程有两个不相等的实数根； （2）设此方程的两个根分别为，若，求m的值． 24. 某商店销售某种特产商品，以每千克12元购进，按每千克16元销售时，每天可售出100千克，经市场调查发现，单价每涨1元，每天的销售量就减少10千克． （1）若该商店销售这种特产商品想要每天获利480元，并且尽可能让利于顾客，那么每千克特产商品的售价应为多少元？ （2）通过计算说明，每千克特产商品售价为多少元时，每天销售这种特产商品获利最大，最大利润是多少元？ 25. 如图，已知二次函数的图象经过点和点． （1）求该二次函数的解析式； （2）求该二次函数图象的对称轴及顶点坐标； （3）点（其中）与点均在该函数图象上，且这两点关于函数图象的对称轴对称，求的值及点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $