3.3.2　从函数观点看一元二次不等式（第1课时 一元二次不等式的解法）（教学课件）-2024-2025学年高一数学考试满分全攻略同步备课备考系列（苏教版2019必修一）

苏教版2019高一数学（必修一）第三章 不等式 第一课时　一元二次不等式的解法 3.3.2　从函数观点看一元二次不等式 目录/CONTENTS 新知探究 情景导入 学习目标 课堂小结 分层练习 错因分析 学习目标 1.理解一元二次方程、二次函数、一元二次不等式的关系. 2.能借助二次函数求解一元二次不等式，并能用集合表示一元二次不等式的解集. 3.从函数观点认识不等式，感悟数学知识之间的关联，认识函数的重要性，重点提升数学抽象和数学运算素养. 我们来看下面的问题： 某杂志以每册 2 元的价格发行时，发行量为 10 万册经过调查若单册价格每提高 0.2 元，则发行量就减少 5000 册要使杂志社的销售收入大于 22.4 万元，每册杂志的价格应定在怎样的范围内? 设每册杂志价格提高 x 元，则发行量减少0.5×＝万册，杂志社的销售收人为 (2＋x)(10－)万元. 根据题意，得 (2＋x)(10－) ＞22.4， 化简，得 5x2－10x＋4.8 ＜ 0. 情景导入 一、一元二次不等式的概念 只含有一个未知数，并且未知数最高次数是 2 的_______________叫作一元二次不等式. 整式不等式 我们知道，一元二次方程和相应的二次函数有着密切的联系，一元二次方程的根就是相应二次函数的图象与x轴交点的横坐标.那么， ● 一元二次不等式和相应的二次函数是否也有内在的联系? 新知探究 二、一元二次不等式和相应的二次函数的对应关系 (1) 关系：(a＞0) 判别式 ∆＝b2－4ac ∆＞0 ∆＝0 ∆＜0 方程 ax2＋bx＋c＝0的根 有两个相异的实数根 x1，x2 (x1＜x2) 有两个相等的实数根 x1＝x2＝－ 没有实数根 判别式 ∆＝b2－4ac ∆＞0 ∆＝0 ∆＜0 二次函数 y＝ax2＋bx＋c的图象 判别式 ∆＝b2－4ac ∆＞0 ∆＝0 ∆＜0 ax2＋bx＋c＞0的解集 (－∞，x1) ∪ (x2，＋∞) (－∞，－) ∪ (－，＋∞) R ax2＋bx＋c＜0的解集 (x1＜x2) ∅ ∅ 当a＜0 时，通过不等式两边同乘以－1，可将问题转化为二次项系数为正的情形，利用表上表解决. 例 1 解下列不等式： (1) x2－7x＋12＞0； (2) －x2－2x＋3≥0； 课本例题 解 方程 x2－7x＋12＝0 的解为 x1＝3，x2＝4. 根据 y＝x2－7x＋12 的图象 可得原不等式的{ x∣x＜3 或 x＞4}. 解 不等式两边同乘以－1，得 x2＋2x－3≤0. 对 于二次项系数为负数的不等式，可以先把二次项系数化成正数，然后再求解. 方程 x2＋2x－3＝0 的解为 x1＝－3，x2＝1. 根据 y ＝ x2＋2x－3 的图象， 可得原不等式的解集为 { x∣－3≤x≤1). (3) x2－2x＋1＜0； 解 方程 x2－2x＋1＝0 有两个相同的解x1＝x2＝1. 根据 y＝x2－2x＋1的图象， 可得原不等式的解集为∅. (4) x2－2x＋2＞0. 解 因为∆＜0，所以方程 x2－2x＋2＝0 无实数解. 根据 y＝x2－2x＋2 的图象， 可得原不等式的解集为 R . 1. (1) 不等式(x－1)(x－3)＞0的解集为( )。 A.{ x∣x＜1} B.{ x∣x＞3} C.{ x∣x＜1 或 x＞3} D.{ x∣1＜x＜3} (2) 不等式－x2＋2x－4＞0 的解集为( ). A. R B. ∅ C. { x∣x＞0，x∈R} D.{ x∣x＜0，x∈R}. C B 课本练习 2. 解下列不等式： (1) x2＋4x－12＞0； 解：该不等式可化为(x＋6)(x－2)＞0， 解得 x＜－6或 x＞2， 故原不等式的解集为 { x∣x＜－6 或 x＞2}. (2) x2－x＋1≤0； 解：该不等式可化为(x－)2＋≤0 ， 无解， 故原不等式的解集为∅. (3) 2x2－5x＋3＜0； 解：该不等式可化为 (x－1)(2x－3) ＜0， 解得 1＜x＜ ， 故原不等式的解集为 { x∣ 1＜x＜ }. (4) 3x2－x－4＞0； 解：该不等式可化为 (x＋1)(3x－4) ＞0， 解得 x＜－1或 x＞ ， 故原不等式的解集为 { x∣ x＜－1或 x＞ }. (5) 2x2＋4x＋3＞0； 解：该不等式可化为 2(x＋1)2＋1＞0， 恒成立， 故原不等式的解集为R. (6) 9x2－6x＋1≤0. 解：该不等式可化为(3x－1)2 ≤0， 解得 x＝， 故原不等式的解集为{ x∣x＝ }. 3. 解下列不等式： (1) －6x2－x＋2＜0； 解：不等式可变形为 6x2＋x－2＞0 ， 对应方程的两根分别为和－， 由 y＝6x2＋x－2的图象知解集为 { x∣x ＜－ 或 x＞ } (2) 1－4x2≥4x＋2； 解：不等式可变形为4x2＋4x＋1＜0， 即(2x＋1)2＜0， 显然无解， 即解集为∅. (3) 1－3x＜x2； 解：不等式可变形为 x2＋3x－1＞0， 对应方程的两根为 x1，2＝＝ ， 由 y＝x2＋3x－1的图象知解集为 { x∣x ＜ 或 x ＞ }. (4) (x－2)(x＋2) ＞1. 解：不等式可变形为 x2－5＞0， 对应方程的两根为 x1＝－，x2＝， 由 y＝x2－5 的图象知解集为 { x∣x＜－ 或 x＞ }. 4. 当 x 是什么实数时，函数 y＝－x2＋5x＋14 的值是： (1) 0? 解： －x2＋5x＋14＝0 x2－5x－14＝0 (x－7)(x＋2) ＝0 x1＝7，x2＝－2 (2) 正数? 解： －x2＋5x＋14＞0 x2－5x－14＜0 (x－7)(x＋2) ＜0 －2＜x＜7 (3) 负数? 解： －x2＋5x＋14＜0 x2－5x－14＞0 (x－7)(x＋2) ＞0 x＞7 或 x＜－2. 5. (1)已知集合 M＝{x|－4≤x≤7，N＝{x|x2－x－6＞0}， 求M∩N； 解：∵集合M ＝ {x∣－4≤x≤7}， N ＝ {x|x2－x－6＞0} ＝ {x∣x＜－2或 x＞3}， ∴ M∩N ＝{x∣－4≤x＜－2 或 3＜ x≤7}； (2) 已知集合 A＝{x|x2－4x＋3＜0}，B＝{x|(x－2)(x－5) ＜0}，求 A∪B. 解：∵集合A＝{x|x2－4x＋3＜0} ＝{x∣1＜x＜3}， B＝{x|(x－2)(x－5)＜0} ＝{x∣2＜x＜5}， ∴ A∪B ＝{x∣1＜x＜5}. 错因分析 易错点　随意消项致错 A 一、选择题 1.不等式6x2＋x－2≤0的解集为(　　) 解析　因为6x2＋x－2≤0⇔(2x－1)(3x＋2)≤0， 分层练习-基础 20 D 3.如果关于x的不等式x2<ax＋b的解集是{x|1<x<3}，那么ba等于(　　) A.－81 B.81 C.－64 D.64 解析　不等式x2<ax＋b可化为x2－ax－b<0，其解集是{x|1<x<3}， B 故1和3是x2－ax－b＝0的两根， 解得a＝4，b＝－3. 所以ba＝(－3)4＝81.故选B. B 4.在R上定义运算“⊙”：a⊙b＝ab＋2a＋b，则满足x⊙(x－2)<0的实数x的取值范围为(　　) A.{x|0<x<2} B.{x|－2<x<1} C.{x|x<－2或x>1} D.{x|－1<x<2} 解析　根据给出的定义得， x⊙(x－2)＝x(x－2)＋2x＋(x－2)＝x2＋x－2＝(x＋2)(x－1)， 又x⊙(x－2)<0， 则(x＋2)(x－1)<0， 故不等式的解集是{x|－2<x<1}. A 5.若一元二次不等式ax2＋bx＋c<0的解集为{x|x<－3或x>5}，则ax2－bx＋c<0的解集为(　　) A.{x|x<－5或x>3} B.{x|－5<x<3} C.{x|x<－3或x>5} D.{x|－3<x<5} 解析　由题意知－3和5是ax2＋bx＋c＝0的两根， 由根与系数的关系得： 代入得ax2＋2ax－15a<0， 又由解集的形式知a<0，∴x2＋2x－15>0， ∴(x－3)(x＋5)>0 ∴x>3或x<－5. 4 故a＋b＝4. 7.不等式－1<x2＋2x－1≤2的解集是________________________________. 解析　由－1＜x2＋2x－1≤2， {x|－3≤x<－2或0<x≤1} ∴－3≤x<－2或0<x≤1. 8.若一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的两根为2，－1，则当a＜0时，不等式 ax2＋bx＋c≥0的解集为_______________. [－1，2] 解析　由题意ax2＋bx＋c＝a(x－2)(x＋1)， 故原不等式可化为a(x－2)(x＋1)≥0， 又∵a＜0，∴(x－2)(x＋1)≤0， 所求解集为[－1，2]. 三、解答题 9.解下列不等式： (1)2x2＋5x－3<0；(2)－3x2＋6x≤2； (2)原不等式等价于3x2－6x＋2≥0. (3)4x2－4x＋1>0；(4)－x2＋6x－10>0. 作出函数y＝4x2－4x＋1的图象如图③. ③ (4)原不等式可化为x2－6x＋10<0， ∵Δ＝36－40＝－4<0， ∴方程x2－6x＋10＝0无实根， ∴原不等式的解集为∅. 10.已知不等式x2＋x－6<0的解集为A，不等式x2－2x－3<0的解集为B. (1)求A∩B； (2)若不等式x2＋ax＋b<0的解集为A∩B，求不等式ax2＋bx＋3<0的解集. 解　(1)由x2＋x－6<0得－3<x<2. ∴A＝{x|－3<x<2}.由x2－2x－3<0，得－1<x<3， ∴B＝{x|－1<x<3}.∴A∩B＝{x|－1<x<2}. (2)由已知得－1和2为x2＋ax＋b＝0的两根， ∴不等式ax2＋bx＋3＜0为－x2－2x＋3<0，即x2＋2x－3>0， 解得x<－3或x>1. ∴所求不等式的解集为{x|x<－3或x>1}. BC 11.(多选题)下列不等式的解集为R的是(　　) B中，Δ＝62－4×10＜0，解集为R； C中，不等式可化为x2－x＋2＞0，Δ＝(－1)2－4×2＜0，解集为R； D中不等式化为2x2－3x＋3<0，Δ＝(－3)2＋4×2×3＜0，解集为∅. 分层练习-巩固 30 ∴m的取值范围是{m|m<0}. (－∞，0) 13.解关于x的不等式x2－(a＋a2)x＋a3>0(a∈R). 解　原不等式可化为(x－a)(x－a2)>0. 当a<0时，a<a2，原不等式的解集为{x|x<a或x>a2}； 当a＝0时，a2＝a，原不等式的解集为{x|x≠0，x∈R}； 当0<a<1时，a2<a，原不等式的解集为{x|x<a2或x>a}； 当a＝1时，a2＝a，原不等式的解集为{x|x≠1，x∈R}； 当a>1时，a<a2，原不等式的解集为{x|x<a或x>a2}. 综上所述，当a<0或a>1时，原不等式的解集为{x|x<a或x>a2}； 当0<a<1时，原不等式的解集为{x|x<a2或x>a}； 当a＝1时，原不等式的解集为{x|x≠1，x∈R}； 当a＝0时，原不等式的解集为{x|x≠0，x∈R}. 又f(1)＝a－b＋c＞0，f(－1)＝a＋b＋c＜0， 作出函数y＝ax2－bx＋c的简图如图. ③⑤ ∴b＜0，而f(0)＝c＞0， 故③⑤正确. 分层练习-拓展 1.掌握1个知识点——一元二次不等式的解法 (1)图象法：由一元二次方程、一元二次不等式及二次函数的关系，可以得到解一元二次不等式的一般步骤： ①化不等式为标准形式：ax2＋bx＋c＞0(a＞0)或ax2＋bx＋c＜0(a＞0)； ②求方程ax2＋bx＋c＝0(a＞0)的根，并画出对应函数y＝ax2＋bx＋c图象的简图； ③由图象得出不等式的解集. (2)代数法：将所给不等式化为一般式后借助分解因式或配方求解. 当m＜n时，若(x－m)(x－n)＞0，则可得{x|x＞n或x＜m}；若(x－m)(x－n)＜0，则可得{x|m＜x＜n}. 有口诀如下：大于取两边，小于取中间. 课堂小结 2.突破1个重难点——含参数的一元二次不等式的解法 在解含参数的一元二次型的不等式时，往往要对参数进行分类讨论，为了做到分类“不重不漏”，讨论需从如下三个方面进行考虑 (1)关于不等式类型的讨论：二次项系数a＞0，a＜0，a＝0. (2)关于不等式对应的方程根的讨论：两根(Δ＞0)，一根(Δ＝0)，无根(Δ＜0). (3)关于不等式对应的方程根的大小的讨论：x1＞x2，x1＝x2，x1＜x2. 3.规避1个易误点 当二次项系数小于0时，需两边同乘－1，化为正的. 课堂小结 原不等式可化为eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－2≠0，,（x－1）（x－3）≥0)) 或x－2＝0， 解得x≥3或x≤1或x＝2. 所以原不等式的解集为{x|x≥3或x≤1或x＝2}． 23．解不等式：(x2－4x＋4)(x2－4x＋3)≥0. 所以原不等式的解集为. A.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|－\f(2,3)≤x≤\f(1,2))) B.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|x<－\f(2,3)或x≥\f(1,2))) C.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|x≥\f(1,2))) D.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|x≤－\f(2,3))) ∴(x－t)<0⇔t<x<. 2.若0<t<1，则关于x的不等式(x－t)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,t)))<0的解集是(　　) A.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(\f(1,t)<x<t)))) B.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(x>\f(1,t)或x<t)))) C.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(x<\f(1,t)或x>t)))) D.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(t<x<\f(1,t))))) 解析　∵0<t<1，∴>1，∴>t. 由根与系数的关系得 ⇒ 则所以a＝2，b＝2. 解析　由题意知－eq \f(1,2)，b为方程ax2－3x－2＝0的两根，且a＞0， 二、填空题 6.若不等式ax2－3x－2>0的解集为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|x<－\f(1,2)或x>b))，则a＋b＝________. 得 解方程3x2－6x＋2＝0，得x1＝，x2＝. 作出函数y＝3x2－6x＋2的图象，如图②，由图可得原不等式的解集为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|x≤\f(3－\r(3),3)或x≥\f(3＋\r(3),3))). 解　(1)方程2x2＋5x－3＝0的两实根为x1＝－3，x2＝eq \f(1,2)，作出函数y＝2x2＋5x－3的图象，如图①. 由图可得原不等式的解集为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|－3<x<\f(1,2))). 解　(3)∵方程4x2－4x＋1＝0有两个相等的实根x1＝x2＝eq \f(1,2). 由图可得原不等式的解集为. ∴解得 解析　A中，Δ＝(2eq \r(5))2－4eq \r(5)>0，解集不为R； A.x2＋2eq \r(5)x＋eq \r(5)>0 B.x2＋6x＋10>0 C.－x2＋x－2<0 D.2x2－3x＋4<1 ∴方程(mx－1)(x－2)＝0的两个实数根为eq \f(1,m)和2，且eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m<0，,\f(1,m)<2，))解得m<0， 解析　∵不等式(mx－1)(x－2)>0的解集为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(\f(1,m)<x<2))))， 12.已知关于x的不等式(mx－1)(x－2)>0，若此不等式的解集为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(\f(1,m)<x<2))))，则实数m的取值范围是_______________. 不妨设y＝f(x)＝ax2－bx＋c， 又∵对称轴x＝－＞0， 解析　由不等式解集可知函数y＝ax2－bx＋c的图象开口向下，即a＜0，且图象与x轴的两交点的横坐标分别为－eq \f(1,2)，2. 14.若不等式ax2－bx＋c＞0的解集为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|－\f(1,2)＜x＜2))，对于系数a，b，c有下列结论：①a＞0，②b＞0，③c＞0，④a＋b＋c＞0，⑤a－b＋c＞0 则其中正确的结论有________(填序号). $$