精品解析：重庆市巴蜀中学教育集团2024-2025学年高二上学期10月月考数学试题

重庆市巴蜀中学教育集团 高2026届高二（上）月考数学试题 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、班级、学校在答题卡上填写清楚. 2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试卷上作答无效. 3.考试结束后，请将答题卡交回，试卷自行保存.满分150分，考试用时120分钟. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 2. 平面内，动点的坐标满足方程，则动点的轨迹方程为（ ） A. B. C. D. 3. 以点为圆心，且过原点的圆的方程是（ ） A. B. C. D. 4. 已知圆：，圆：，则两圆的公共弦所在直线的方程为（ ） A. B. C. D. 5. 直线过点，且与圆：相交所形成的长度为的弦的条数为（ ） A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 6. 若点关于直线：（，）的对称点为，则（ ） A. B. C. 3 D. 5 7. 已知椭圆：的左，右焦点分别为，，过且斜率为3直线交于，两点，则的内切圆半径为（ ） A. B. C. D. 8. 点是椭圆上的点，以为圆心的圆与轴相切于椭圆的焦点，与轴相交于，两点，若是直角三角形，则该椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分. 9. 以下四个命题中正确的是（ ） A. 过点且在轴上的截距是在轴上截距的倍的直线的方程为 B. 向量是直线的一个方向向量 C. 直线与直线之间的距离是 D. 直线的倾斜角的范围是 10. 已知点是左、右焦点为，的椭圆上的动点，则（ ） A. 若，则的面积为 B. 使为直角三角形的点有6个 C. 的最大值为 D. 若，则的最大、最小值分别为和 11. 已知点、，动点满足，点的轨迹为曲线，点是直线：上一点，过点作曲线的切线，切点为，直线与轴的交点为，则（ ） A. 曲线的方程为 B. 点到直线距离的最小值为 C. 的最小值为 D. 的最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 圆C：在点处的切线方程为_____. 13. 已知椭圆：的一个顶点为，焦距为4，则的值为______； 14. 已知为曲线上的动点，则的最大值为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知直线：，：. （1）若，求的值. （2）设直线过的定点为，直线过的定点为，且当时直线与的交点为，求中边上的高所在直线的方程. 16. 椭圆：的左、右焦点分别为、，为该椭圆的一个顶点，且椭圆的离心率为. （1）求椭圆的方程； （2）、为椭圆上的两点，且为的重心，求直线的斜率. 17. 如图，在四棱锥中， 平面分别是棱的中点. （1）证明：平面； （2）求平面与平面的夹角的余弦值. 18. 已知点为线段的中点，，点为圆上动点. （1）求点的轨迹曲线的方程； （2）过点的直线与（1）中曲线交于不同的两点，（异于坐标原点）， （i）求直线斜率的取值范围； （ii）直线，的斜率分别为、，判断是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由. 19. 法国著名数学家加斯帕尔·蒙日在研究圆锥曲线时发现：椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点的轨迹是以椭圆的中心为圆心，（为椭圆的长半轴长，为椭圆的短半轴长）为半径的圆，这个圆被称为蒙日圆.已知椭圆：，，分别为椭圆的左、右焦点，椭圆的蒙日圆为圆. （1）求圆的方程； （2）已知点是椭圆上的任意一点，点为坐标原点，直线与圆相交于、两点，求证：； （3）过点作互相垂直的直线、，其中交圆于、两点，交椭圆于、两点，求四边形面积的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 重庆市巴蜀中学教育集团 高2026届高二（上）月考数学试题 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、班级、学校在答题卡上填写清楚. 2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试卷上作答无效. 3.考试结束后，请将答题卡交回，试卷自行保存.满分150分，考试用时120分钟. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据直线的倾斜角和斜率的关系，即可得答案. 【详解】设直线的的倾斜角为，且， 直线的斜率，所以， 故选：C 2. 平面内，动点的坐标满足方程，则动点的轨迹方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据椭圆的定义求解即可. 【详解】由题意，点到两个定点，的距离之和等于常数， 故根据椭圆的定义可知：此点的轨迹为焦点在轴上的椭圆，且，， 故，故椭圆的标准方程为. 故选：B 3. 以点为圆心，且过原点的圆的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出圆心到原点的距离即可求解. 【详解】由题意，圆心坐标为点，半径为， 则圆的方程为. 故选：D. 4. 已知圆：，圆：，则两圆的公共弦所在直线的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据两圆的公共弦所在直线的特点，两圆方程相减即可得解. 【详解】圆：，圆： 两圆方程相减得公共弦所在直线的方程为：. 故选：B 5. 直线过点，且与圆：相交所形成的长度为的弦的条数为（ ） A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 【答案】C 【解析】 【分析】根据过圆内的弦长最长为直径，最短时点与圆心连线为弦心距求出范围即可判断. 【详解】由题设，圆的圆心为，且半径， 而，即点在圆内，且圆心到该点的距离， 当直线与、的连线垂直时，弦长最短为， 故长度为的弦的条数为1条. 故选：C 6. 若点关于直线：（，）的对称点为，则（ ） A. B. C. 3 D. 5 【答案】D 【解析】 【分析】根据两点关于直线对称，利用斜率关系求直线斜率，再由中点在直线上得解. 【详解】直线的斜率为，直线为线段的中垂线，从而， 又线段的中点在上，故，解得. 故选：D. 7. 已知椭圆：的左，右焦点分别为，，过且斜率为3直线交于，两点，则的内切圆半径为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据点斜式求出直线的方程与椭圆联立可以两交点纵坐标，根据椭圆的性质以及三角形面积公式可求的半径. 【详解】依题意，直线的方程为即， 联立解得，所以，从而， 的周长为，面积为， 又，所以. 故选：A 8. 点是椭圆上的点，以为圆心的圆与轴相切于椭圆的焦点，与轴相交于，两点，若是直角三角形，则该椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由圆M与x轴相切与焦点F，设，则，所以圆的半径为，利用是直角三角形，即可求出椭圆的离心率． 【详解】圆与轴相切于焦点，轴，可设， 在椭圆上，，解得：，圆的半径为； 作轴，垂足为， ，， 为直角三角形，，， ，即，又，所以， 故选：D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分. 9. 以下四个命题中正确的是（ ） A. 过点且在轴上的截距是在轴上截距的倍的直线的方程为 B. 向量是直线的一个方向向量 C. 直线与直线之间的距离是 D. 直线的倾斜角的范围是 【答案】BD 【解析】 【分析】根据直线截距式及其适用条件可判断A选项，根直线方向向量的概念可判断B选项；根据平行线间距离公式可判断C选项；根据斜率与倾斜角的关系可判断D选项. 【详解】A选项：当直线过原点时，方程为， 当直线不过原点时，设方程为，则，解得，所以直线方程为， 综上，所求直线方程为或，故A选项错误； B选项：由方向向量的定义知正确； C选项：直线，即为， 故直线与直线之间的距离为，故C选项错误； D选项：直线的斜率， 所以倾斜角的范围是，故D选项正确； 故选：BD. 10. 已知点是左、右焦点为，的椭圆上的动点，则（ ） A. 若，则的面积为 B. 使为直角三角形的点有6个 C. 的最大值为 D. 若，则的最大、最小值分别为和 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据焦点三角形面积的相关结论即可判断A；结合椭圆性质可判断B；结合椭圆定义可求线段和差的最值，判断CD. 【详解】A选项：由椭圆方程，所以，，所以， 所以的面积为，故A错误； B选项：当或时为直角三角形，这样的点有4个， 设椭圆的上下顶点分别为，，则，，，同理， 知，所以当位于椭圆的上、下顶点时也为直角三角形， 其他位置不满足，满足条件的点有6个，故B正确； C选项：由于， 所以当最小即时，取得最大值，故C正确； D选项：因为， 又， 的最大、最小值分别为和， 当点位于的延长线上时取最大值， 当位置的延长线上时取最小值，故D正确. 故选：BCD 11. 已知点、，动点满足，点的轨迹为曲线，点是直线：上一点，过点作曲线的切线，切点为，直线与轴的交点为，则（ ） A. 曲线的方程为 B. 点到直线距离的最小值为 C. 的最小值为 D. 的最小值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据条件化简即可得圆的方程判断A，根据圆心到直线的距离及圆的性质判断B，根据切线及圆的几何性质判断C，利用求最小值判断D. 【详解】A选项：设，则由得，化简得：， 故曲线的方程为，A选项正确； B选项：：的圆心到直线的距离为， 所以直线与相离，从而圆上动点到直线距离的最小值为，从而B选项错误； C选项：中，，故C正确； D选项：对直线：，令，可得，即， 因为，所以， 所以， 当且仅当在线段与圆的交点时取得最小值，故D正确. 故选：ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 圆C：在点处的切线方程为_____. 【答案】 【解析】 【分析】求出圆经过点的直径所在直线的斜率即可得切线斜率，进而求出方程. 【详解】依题意，点在圆C：上，而圆心， 直线的斜率，因此圆C在点处切线斜率为1， 所以所求切线方程为，即. 故答案为： 13. 已知椭圆：的一个顶点为，焦距为4，则的值为______； 【答案】或 【解析】 【分析】代入点求出，再由焦距得出，根据分类讨论求解. 【详解】将代入椭圆方程：，解得； 故椭圆方程为， 由焦距为4，得，. 由题意知，且，方程可化为， 若椭圆焦点在轴上，故，，则有，解得； 若椭圆焦点在轴上，，，则有，解得； 综上所述，或. 故答案为：或 14. 已知为曲线上的动点，则的最大值为______. 【答案】## 【解析】 【分析】化简曲线方程，三角换元，利用三角恒等变换化简后求最值即可. 【详解】曲线即， 由于在曲线上，令， 则， （其中，，不妨设）， ，又，， 当时取得最大值. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知直线：，：. （1）若，求的值. （2）设直线过的定点为，直线过的定点为，且当时直线与的交点为，求中边上的高所在直线的方程. 【答案】（1）或 （2）. 【解析】 【分析】（1）两直线平行可得，解方程再检验即可得解； （2）求出两点，再由直线方程联立求出，根据直线垂直得斜率，即可求出直线方程. 【小问1详解】 ，解得或 当时，：，：满足； 当时，：，：, 即满足； 故或. 【小问2详解】 由直线：可知过定点， 由：可知过定点， 当时，联立与的方程得， 解得， ，从而， 又直线过点， 故直线的方程为，即. 16. 椭圆：的左、右焦点分别为、，为该椭圆的一个顶点，且椭圆的离心率为. （1）求椭圆的方程； （2）、为椭圆上的两点，且为的重心，求直线的斜率. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据已知条件求得，从而求得椭圆的方程. （2）根据重心坐标公式求得点的坐标，利用点差法求得直线的斜率. 【小问1详解】 由题.：. 【小问2详解】 设，，线段中点，而， 则为的重心， ，从而， 所以，即， ，均在椭圆上， ，作差并化简得可得，即， 代入点坐标得， ， 在椭圆内部，所求直线存在， 故直线的斜率为. 【点睛】本题通过椭圆的标准方程确定和直线斜率的求解，考查了学生对椭圆的基本性质、重心的计算以及斜率公式的熟练掌握．解题过程中，椭圆的参数求解和直线的斜率计算环环相扣，体现了代数与几何的结合．通过两点间坐标的差值计算直线的斜率（点差法），体现了解析几何中的代数计算方法． 17. 如图，在四棱锥中， 平面分别是棱的中点. （1）证明：平面； （2）求平面与平面的夹角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析； （2）； 【解析】 【分析】（1）根据题意分析四边形为平行四边形，从而证明; （2）构建空间直角坐标系，根据空间向量平面与平面的夹角的余弦值. 【小问1详解】 连接，如图所示， 因为分别为棱的中点，所以且， 又因为所以且， 所以四边形为平行四边形， 所以, 因为平面,平面, 所以平面 【小问2详解】 以为坐标原点，如图所示构建空间直角坐标系， 则 设面的法向量为 则 令则 设面的法向量为 则 令则 设平面与平面的夹角为， ， 故平面与平面的夹角的余弦值. 18. 已知点为线段的中点，，点为圆上动点. （1）求点的轨迹曲线的方程； （2）过点的直线与（1）中曲线交于不同的两点，（异于坐标原点）， （i）求直线斜率的取值范围； （ii）直线，的斜率分别为、，判断是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由. 【答案】（1） （2）（i）；（ii）是，5 【解析】 【分析】（1）设，，利用相关点法即可求出轨迹方程； （2）设直线的方程为，，，联立直线和曲线的方程，消去后，利用韦达定理及可求出斜率的取值范围，利用斜率公式及韦达定理可求出. 【小问1详解】 设，，由中点坐标公式得， 因为点为圆上动点， 所以， 所以， 整理得曲线的方程为. 【小问2详解】 设直线的方程为，，， 联立直线和曲线的方程：， 消去得：， （i）因为直线与曲线交于异于坐标原点的两点，， 所以， 解得. （ii）, 代入韦达得：， 所以是定值5. 19. 法国著名数学家加斯帕尔·蒙日在研究圆锥曲线时发现：椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点的轨迹是以椭圆的中心为圆心，（为椭圆的长半轴长，为椭圆的短半轴长）为半径的圆，这个圆被称为蒙日圆.已知椭圆：，，分别为椭圆的左、右焦点，椭圆的蒙日圆为圆. （1）求圆的方程； （2）已知点是椭圆上的任意一点，点为坐标原点，直线与圆相交于、两点，求证：； （3）过点作互相垂直的直线、，其中交圆于、两点，交椭圆于、两点，求四边形面积的取值范围. 【答案】（1） （2）证明：如图， 设，则， 又、， ， 同理， ， . （3） 【解析】 【分析】（1）根据蒙日圆定义及椭圆方程直接得解； （2）设，根据椭圆方程，焦点坐标直接计算，再由圆的几何性质计算即可得证； （3）分类讨论，当斜率存在且不为0时，根据可得，分别求出，利用换元法求出的取值范围即可. 【小问1详解】 椭圆：中，， 所以所求圆的方程为； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 ①当斜率不存在，斜率为0时，方程为，原点到的距离为， 所以，， 所以四边形面积； ②当斜率存在，斜率不为0时，设的方程为， 则的方程为即， 则原点到的距离为， 所以， 设、，联立与的方程，即， 消去得， 由于在椭圆内部，所以直线与必相交且， 所以 ， 因为, 所以四边形面积， 令，则， 故 ， ，， 令，则， 则在单调递减， 当时；当时，，所以. 综上：. 【点睛】关键点点睛：表示出四边形的面积后，能够恰当经过两次换元，转化为二次函数求最值，是解题的关键，对运算能力要求较高. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $