3.3.1 从函数观点看一元二次方程（教学课件）-2024-2025学年高一数学考试满分全攻略同步备课备考系列（苏教版2019必修一）

苏教版2019高一数学（必修一）第三章 不等式 3.3从函数观点看一元二次方程和一元二次不等式 3.3.1　从函数观点看一元二次方程 目录/CONTENTS 新知探究 情景导入 学习目标 课堂小结 分层练习 错因分析 学习目标 1.了解一元二次方程的根与二次函数零点的关系. 2.会用函数的图象判断一元二次方程的根的情况. 3.通过用二次函数的图象判断一元二次方程的根的情况，提升直观想象素养、逻辑推理素养. 情景导入 我们知道，一次函数、一元一次方程、一元一次不等式之间有着密切的联系. 例如，可以借助函数 y＝2x－3 的图象来求解 2x－3＝0，2x－3＞0，2x－3＜0. 反过来，也可以通过求解 2x－3＝0，2x－3＞0， 2x－3＜0，来深人理解函数 y＝2x－3的性质，那么 ●怎样从函数观点进一步解决方程、不等式的问题? 新知探究 从函数的观点看，方程 x2－2x－3＝0的两个根 x1＝－1，x2＝3，就是二次函数 y＝x2－2x－3 当函数值取零时自变量x的值，即二次函数 y＝x2－2x－3 的图象与x轴交点的横坐标. 这时，我们称－1，3 为二次函数 y＝x2－2x－3 的零点. 一、二次函数的零点 一般地，一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0 (a≠0) 的根就是二次函数 y＝ax2＋bx＋c (a≠0) 当函数值取零时_______________，即二次函数 y＝ax2＋bx＋c (a≠0) 的图象与______________________，也称为二次函数 y＝ax2 ＋bx＋c (a≠0)的零点. 自变量x的值 x轴交点的横坐标 归纳总结 二、一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根、 二次函数 y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象、 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的零点之间的关系. 归纳总结 (1) 关系 (当a＞0时). 判别式 ∆＝b2－4ac ∆＞0 ∆＝0 ∆＜0 方程 ax2＋bx＋c＝0的根 有两个相异的实数根 x1，2＝ 有两个相等的实数根 x1＝x2＝－ 没有实数根 判别式 ∆＝b2－4ac ∆＞0 ∆＝0 ∆＜0 二次函数 y＝ax2＋bx＋c的图象 判别式 ∆＝b2－4ac ∆＞0 ∆＝0 ∆＜0 二次函数 y＝ax2＋bx＋c的零点 有两个零点 x1，2＝ 有一个零点x＝－ 无零点 当a＜0时，一元二次方程 ax2＋ba＋c＝0 的根次函数 y＝ax2＋bx＋c 的图象次函数 y＝ax2＋bx＋c 的零点之间的关系请同学们自行完成(见练习 1). 例 1 求证：二次函数 y＝2x2＋3x－7 有两个零点. 分析 要证明二次函数 y＝x2＋3x－7 有两个零点，只需证明元二次方程 2x2＋3x－7＝0有两个不相等的实数根即可. 课本例题 证明：考察一元二次方程 2x2＋3x－7＝0. 因为 ∆＝32－4×2×(－7) ＝65＞0， 所以方程 2x2＋3x－7＝0 有两个不相等的实数根. 因此，二次函数 y＝2x2＋3x－7有两个零点. 例 2 判断二次函数 y＝x2－2x－1在区间(2，3)上是否存在零点. 解：根据求根公式可得一元二次方程 x2－2x－1＝0 的两个根分别为 x1＝1＋，x2＝1－. 因为 1＜ ＜2， 所以 1＜1＋＜ 3. 因此，二次函数y＝x2－2x－1在区间(2，3)上存在零点. 课本例题 1. 当 a ＜ 0 时，请填下表： 判别式 ∆＝b2－4ac ∆＞0 ∆＝0 ∆＜0 方程 ax2＋bx＋c＝0的根 有两个相异的实数根 x1，2＝ 有两个相等的实数根 x1＝x2＝－ 没有实数根 课本练习 判别式 ∆＝b2－4ac ∆＞0 ∆＝0 ∆＜0 二次函数 y＝ax2＋bx＋c的图象 判别式 ∆＝b2－4ac ∆＞0 ∆＝0 ∆＜0 二次函数 y＝ax2＋bx＋c的零点 有两个零点 x1，2＝ 有一个零点x＝－ 无零点 2. 画出二次函数 y＝x2－x－2 的图象，并指出该函数的零点. 解：二次函数 y＝x2－x－2 图象如下： 由 x2－x－2＝0 得，x＝－1或x＝2. 故所求零点为－1，2. 3. 求下列二次函数的零点： (1) y＝(x＋1)(x－1)； (2) y＝x2－4x； 解：令 y＝0，得x1＝－l，x2＝1， 所以函数的零点为－1和 1. 解：令 y＝0，即 x2－4x＝0，得x(x－4)＝0， 解得x1＝0，x2＝4， 所以函数的零点为 0 和 4 . (3) y＝－3x2－9； (4) y＝－x2＋2x－1. 解：令 y＝－3x2－9＝0， 方程无实数根，所以函数无零点. 解：令 y＝－x2＋2x－1＝0，即x2－2x＋1＝0， 得 (x－1)2＝0，解得 x＝1. 所以函数的零点为1. D 易错点　忽略对参数的分类讨论而致错 错因分析 C 一、选择题 1.函数y＝－x2＋x＋2的零点个数是(　　) A.0 B.1 C.2 D.3 解析　由－x2＋x＋2＝0得Δ＝1＋8＝9>0， ∴方程有两个实根，即函数有两个零点. 分层练习-基础 19 2.已知关于x的方程x2－ax＋3＝0的一个根大于1，另一个根小于1，则实数a的取值范围是(　　) A.(4，＋∞) B.(－∞，4) C.(－∞，2) D.(2，＋∞) 解析　∵关于x的方程x2－ax＋3＝0的一个根大于1，另一个根小于1， ∴令y＝x2－ax＋3，其图象开口向上， 只需y|x＝1＝1－a＋3＝4－a<0，得a>4. 故选A. A 3.若二次函数y＝ax2＋2x＋1(a≠0)有一个正零点和一个负零点，则有(　　) A.a<0 B.a>0 C.a<－1 D.a>1 解析　法一　由y＝ax2＋2x＋1(a≠0)的图象过(0，1)点，知要使函数的图象与x轴的交点分别在y轴的左、右两侧，则a<0. A 法二　由方程ax2＋2x＋1＝0有两相异号实根，设两根为x1，x2， C 4.若关于x的方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个实根1，2，则函数y＝cx2＋bx＋a的零点为(　　) 解析　∵1和2是ax2＋bx＋c＝0的两根， B 5.若二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)满足y|x＝1＝0，且a>b>c，则该函数的零点个数为(　　) A.1 B.2 C.0 D.不能确定 解析　由y|x＝1＝a＋b＋c＝0，又a>b>c， ∴a>0，c<0，∴Δ＝b2－4ac>0， ∴函数的零点有2个. 二、填空题 6.函数y＝x2－mx－2的一个零点是－1，则m＝________，另一个零点是________. 解析　由y|x＝－1＝1＋m－2＝0得m＝1， ∴y＝x2－x－2，由x2－x－2＝0得x1＝－1或x2＝2. 1 2 7.已知函数y＝ax2＋2ax＋c(a≠0)的一个零点为1，则它的另一个零点为________. －3 解析　由题意知ax2＋2ax＋c＝0的一个根为1，设另一根为x0. 则1＋x0＝－2，∴x0＝－3. 0 8.函数y＝x2－5x－6在区间[1，4]上的零点个数是________. 解析　由x2－5x－6＝0得x1＝－1，x2＝6. 即函数的零点是－1，6， ∴函数在区间[1，4]上的零点个数为0. 三、解答题 9.已知二次函数y＝－x2－x＋a只有一个零点，求实数a的值. 解　二次函数y＝－x2－x＋a只有一个零点，即方程－x2－x＋a＝0有两个相等的实数根， ∴Δ＝1＋4a＝0. 10.已知函数y＝ax2＋2ax＋1有两个零点x1，x2且x1∈(0，1)，x2∈(－4，－2)，求实数a的取值范围. 解　∵y＝ax2＋2ax＋1有两个零点，则函数的图象过(0，1)且与x轴有两个交点，又x1∈(0，1)，x2∈(－4，－2)， 11.若函数y＝ax2－2(a＋1)x＋a－1有且仅有一个零点，则实数a＝___________. 当a≠0时，ax2－2(a＋1)x＋a－1＝0为一元二次方程，且有两个相等的实数根， 分层练习-巩固 27 B 12.在R上定义运算⊙：a⊙b＝ab＋2a＋b，则y＝x⊙(x－2)的零点为(　　) A.0和2 B.－2和1 C.－1和2 D.－2和0 解析　由题意y＝x(x－2)＋2x＋(x－2)＝x2＋x－2＝(x＋2)(x－1)， 令y＝0， ∴x＝－2或x＝1. 13.若二次函数y＝x2＋2x－m＋1没有零点，试说明关于x的方程x2＋mx＋12m＝1一定有实数根. 解　由题意知，关于x的方程x2＋2x－m＋1＝0没有实数根， ∴此方程的判别式Δ＝22－4×1×(－m＋1)<0，解得m<0. 而方程x2＋mx＋12m＝1的根的判别式 Δ′＝m2－4×1×(12m－1)＝m2－48m＋4， ∵m<0，∴m2>0，－48m>0， ∴m2－48m＋4>0，即Δ′>0， ∴方程x2＋mx＋12m＝1有两个不相等的实数根，即一定有实数根. ABD 14.(多选题)函数y1＝(x－2)(x－5)－1有两个零点x1，x2，且x1<x2，下列关于x1，x2的式子错误的是(　 　) A.x1<2且2<x2<5 B.x1>2且x2>5 C.x1<2且x2>5 D.2<x1<5且x2>5 解析　令y2＝(x－2)(x－5)，则y1＝y2－1， ∴函数y1＝(x－2)(x－5)－1的零点就是函数y2＝(x－2)·(x－5)与函数y＝1图象的交点的横坐标. 在同一坐标系内画出y2＝(x－2)(x－5)的图象与 y＝1的图象如图所示，结合图象知只有C正确. 分层练习-拓展 1.掌握1个概念——函数的零点 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的零点就是方程y＝0的实数根，也就是二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴交点的横坐标，所以函数的零点是一个数而不是一个点，在写函数零点时，所写的一定是一个数，而不是一个坐标. 2.提升1个素养——数形结合 结合二次函数图象理解一元二次方程的根与函数的零点的关系. 课堂小结 11．已知集合A＝{x|ax2＋2x＋a＝0，a∈R}，若集合A有且仅有2个子集，则实数a的取值是(　　) A．1 B．0，1 C．－1，1 D．－1，0，1 集合A有且仅有2个子集，说明集合A只含有一个元素．集合A＝{x|ax2＋2x＋a＝0，a∈R}，当a＝0时，A＝{0}，满足题意．当a≠0时，Δ＝4－4a2＝0，解得a＝±1.当a＝1时，集合A＝{－1}，满足题意；当a＝－1时，A＝{1}，满足题意．所以a＝0或a＝±1，故选D. 则x1x2＝<0，且Δ＝4－4a>0，∴a<0. A.1，2 B.－1，－2 C.1， D.－1，－ ∴－＝3，＝2. 则y＝cx2＋bx＋a＝aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(c,a)x2＋\f(b,a)x＋1))＝a(2x2－3x＋1)＝a(x－1)(2x－1)，故零点为1，eq \f(1,2). ∴a＝－. 即a的取值范围是. ∴ ∴a<－， 0或－ ∴Δ＝4(a＋1)2－4a(a－1)＝12a＋4＝0，∴a＝－eq \f(1,3). 综上，实数a的值为0或－. 解析　当a＝0时，由y＝0得－2x－1＝0，即x＝－eq \f(1,2)，符合题意； $$