精品解析：四川省达州市渠县中学2024-2025学年九年级上学期10月月考数学试题

四川省渠县中学2024年秋季第一次月考 初三年级数学试卷 审题：备课组 陈建华 题卡审查：年级组 徐辉 本试卷卷面总分150分，考试时间为120分钟 一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，满分40分） 1. 下列图形中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（     ） A. B. C. D. 2. 要使有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 3. 在一个不透明的袋子里装有红球、黄球共个，这些球除颜色外都相同．小明通过多次实验发现，摸出红球的频率稳定在左右，则袋子中红球的个数最有可能是（ ） A. B. C. D. 4. 在平面直角坐标系中，将点向左平移3个单位长度后在y轴上，则点M的坐标是（　　） A. B. C. D. 5. 如图，已知直线l1：y＝3x+1和直线l2：y＝mx+n交于点P（a，﹣8），则关于x的不等式3x+1＜mx+n的解集为（ ） A. x＞﹣3 B. x＜﹣3 C. x＜﹣8 D. x＞﹣8 6. 如图所示，矩形的对角线相交于点．若，则四边形的周长是（ ） A. 12 B. 10 C. 18 D. 24 7. 如图，在中，的平分线交于点，过点A作，垂足为点，若，，则的长为（ ） A. 8 B. 13 C. 16 D. 18 8. 根据表格，判断关于的方程的一个解的取值范围为（ ） x 1.1 1.2 1.3 1.4 -0.59 0.84 2.29 3.76 A. B. C. D. 9. 关于x的分式方程无解，则k的值为（ 　） A. ±3 B. 3 C. －3 D. 无法确定 10. 如图，正方形和正方形的顶点在同一直线上，且，给出下列结论：①，②，③④，其中正确的个数为（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，满分20分．） 11. 已知（m﹣1）x|m|+1﹣3x+1=0是关于x的一元二次方程，则m=__． 12. 如图，在中，以点为圆心，适当长为半径作弧，分别交于点，再分别以点为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧交于点，作射线交于点，连接，若，，，则的长为______． 13. 如图，正方形的对角线相交于点O，以O为顶点的正方形的两边分别交正方形的边于点．记的面积为的面积为，若正方形的边长，则的大小为____________． 14. 如图，将一矩形纸片ABCD折叠，使两个顶点A，C重合，折痕为FG．若AB=4，BC=8，则△ABF的面积为_____． 15. 如图，在直角坐标系中，直线分别交x轴，y轴于A，B两点，C为的中点，点D在第二象限，且四边形为矩形，P是上一个动点，过点P作于H，Q是点B关于点A的对称点，则的最小值为________． 三、解答题（本大题共10个小题，满分90分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或步骤） 16. 选择适当方法解下列方程： （1）； （2）． 17. 先化简，再求值：，其中． 18. 某校为落实国家“双减”政策，丰富课后服务内容，为学生开设五类社团活动（要求每人必须参加且只参加一类活动）：A．音乐社团；B．体育社团；C．美术社团；D．文学社团；E．电脑编程社团，该校为了解学生对这五类社团活动的喜爱情况，随机抽取部分学生进行了调查统计，并根据调查结果，绘制了如图所示的两幅不完整的统计图． 根据图中信息，解答下列问题： （1）此次调查一共随机抽取了___________名学生，补全条形统计图（要求在条形图上方注明人数）； （2）扇形统计图中圆心角___________度； （3）现从“文学社团”里表现优秀的甲、乙、丙、丁四名同学中随机选取两名参加演讲比赛，请用列表或画树状图的方法求出恰好选中甲和乙两名同学的概率． 19. 如图，网格中每个小正方形的边长均为1，的顶点均在小正方形的格点上． （1）将向下平移3个单位长度得到，画出； （2）将绕点顺时针旋转90度得到，画出； （3）在（2）的运动过程中请计算出扫过的面积． 20. 在一个不透明的盒子里装有颜色不同的黑、白两种球共个，小颖做摸球试验，她将盒子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中，不断重复上述过程，下表是“摸到白色球”的频率折线统计图． （1）请估计：当很大时，摸到白球的概率将会接近 （精确到），假如你摸一次，你摸到白球的概率为 ； （2）试估算盒子里白、黑两种颜色的球各有多少个？ （3）在（）条件下，如果要使摸到白球的概率为，需要往盒子里再放入多少个白球？ 21. 若关于x的一元二次方程（k﹣1）x2﹣4x﹣1＝0有两个实数根． （1）求k的取值范围； （2）若方程的两根x1，x2，满足（x1+1）（x2+1）＝4，求k的值． 22. 如图，在四边形中，O为对角线的中点，过点O作直线分别与四边形的边交于两点，连接． （1）求证：四边形为平行四边形； （2）当平分时， ①求证：四边形为菱形； ②当四边形是矩形时，若，求的长． 23. 公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔4月份到6月份的销量，该品牌头盔4月份销售150个，6月份销售216个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同． （1）求该品牌头盔销售量的月增长率； （2）若此种头盔的进价为30元/个，测算在市场中，当售价为40元/个时，月销售量为600个，若在此基础上售价每上涨0.2元/个，则月销售量将减少2个，为使月销售利润达到10000元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元/个？ 24. 如图，直线BC交x轴于点C，交y轴于点B，与直线交于点A，点A的横坐标为2，，ABO的面积为1． （1）求a的值和直线BC的解析式； （2）若直线与y轴交于点D，当ABD的面积为4时，求m的值； （3）若点P为直线BC上的一点，点Q为坐标平面内一点，是否存在符合条件的点P、Q，使点O，A，P，Q为顶点的四边形为菱形，若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 25. 综合与实践 问题情境： 数学兴趣小组在探究与正方形有关的动点问题时，如图2，在正方形内取一点E，使，将点E绕点C逆时针旋转得到点，射线，交于点F． 特例研究： 启智小组在探究过程中遵循由特殊到一般的探究规律：如图1，发现点E在对角线中点O处时，点F与点B重合，此时四边形的形状为正方形． 探究发现： （1）博学小组发现，如图2，只要，四边形的形状都是正方形，请证明； （2）奋发小组受博学小组的启发，进一步深入探究，如图3，取中点G，连接，，，又发现：在点E运动过程中，与始终保持特定的数量关系，请写出此数量关系，并说明理由； 拓展应用： （3）在（2）的条件下，已知，，直接写出的长度． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 四川省渠县中学2024年秋季第一次月考 初三年级数学试卷 审题：备课组 陈建华 题卡审查：年级组 徐辉 本试卷卷面总分150分，考试时间为120分钟 一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，满分40分） 1. 下列图形中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（     ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义对各选项分析判断即可得解． 【详解】解：A、该图形是不轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意； B、该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； C、该图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意； D、该图形既是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合． 2. 要使有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 【答案】A 【解析】 【分析】根据二次根式和分式有意义的条件列出不等式组求解． 【详解】解：由题意可得 ， 解得：且，即， 故选：A． 【点睛】本题考查二次根式和分式有意义的条件，理解二次根式的被开方数须为非负数，分式的分母不能为零是解题关键． 3. 在一个不透明的袋子里装有红球、黄球共个，这些球除颜色外都相同．小明通过多次实验发现，摸出红球的频率稳定在左右，则袋子中红球的个数最有可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设袋子中红球有x个，根据摸出红球的频率稳定在0.25左右列出关于x的方程，求出x的值即可得答案． 【详解】解：设袋子中红球有x个， 根据题意，得： 解得 答：袋子中红球有5个． 故选：A． 【点睛】本题主要考查利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率． 4. 在平面直角坐标系中，将点向左平移3个单位长度后在y轴上，则点M的坐标是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据点平移的性质可得出平移后的坐标，再根据点在y轴上可知，求出a的值即可得出M点的坐标． 【详解】解：将点向左平移3个单位长度后得， ∵点在y轴上， ∴， 解得， ∴， ∴点M的坐标是． 故选：B． 【点睛】本题考查的是坐标与图形变化﹣平移，熟知横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减是解题的关键． 5. 如图，已知直线l1：y＝3x+1和直线l2：y＝mx+n交于点P（a，﹣8），则关于x的不等式3x+1＜mx+n的解集为（ ） A. x＞﹣3 B. x＜﹣3 C. x＜﹣8 D. x＞﹣8 【答案】B 【解析】 【分析】先把点P坐标代入l1求出a，然后观察函数图象即可. 【详解】解：∵直线l1：y＝3x+1和直线l2：y＝mx+n交于点P（a，﹣8）， ∴3a+1＝﹣8， 解得：a＝﹣3， 观察图象知：关于x的不等式3x+1＜mx+n的解集为x＜﹣3， 故选B． 【点睛】一元一次不等式和一次函数是本题的考点，根据题意求出a的值是解题的关键. 6. 如图所示，矩形的对角线相交于点．若，则四边形的周长是（ ） A. 12 B. 10 C. 18 D. 24 【答案】A 【解析】 【分析】由已知条件先证明四边形是平行四边形，再由矩形的性质得出，即四边形是菱形，即可求出四边形的周长． 【详解】解：，， 四边形是平行四边形， 四边形是矩形， ，，， ， 四边形是菱形， ， 四边形的周长． 故选：A． 【点睛】本题考查了矩形的性质、菱形的判定与性质；熟练掌握矩形的性质，证明四边形是菱形是解决问题的关键． 7. 如图，在中，的平分线交于点，过点A作，垂足为点，若，，则的长为（ ） A. 8 B. 13 C. 16 D. 18 【答案】D 【解析】 【分析】首先利用平行四边形的性质及角平分线的性质得到，然后利用等腰三角形的三线合一的性质得到，利用勾股定理求得，即可求得答案． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ， ， 的平分线交于点E， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， 故选：D． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质及等腰三角形的判定与性质的知识，解题的关键是证得，难度不大． 8. 根据表格，判断关于的方程的一个解的取值范围为（ ） x 1.1 1.2 1.3 1.4 -0.59 0.84 2.29 3.76 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了用列举法估算一元二次方程的近似解，具体方法是：给出一些未知数的值，计算方程两边结果，当两边结果愈接近时，说明未知数的值愈接近方程的根．根据表中数据可得：和时，代数式的值一个小于，一个大于，从而可判断当的某个值时，代数式的值为． 【详解】解：当时，， 当时，， 所以方程的一个解的取值范围为：， 故选：B． 9. 关于x的分式方程无解，则k的值为（ 　） A. ±3 B. 3 C. －3 D. 无法确定 【答案】B 【解析】 【分析】先将分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程无解，得到x-3=0，即x=3，代入整式方程计算即可求出k的值． 【详解】去分母得：x=2x−6+k， 由分式方程无解，得到x−3=0，即x=3， 把x=3代入整式方程得：3=2×3−6+k，k=3， 故选B. 【点睛】此题考查分式方程的解，解题关键在于掌握运算法则. 10. 如图，正方形和正方形的顶点在同一直线上，且，给出下列结论：①，②，③④，其中正确的个数为（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】B 【解析】 【分析】①根据正方形的性质和平角的定义可求∠COD；②根据正方形的性质可求OE，再根据线段的和差关系可求AE的长；③作DH⊥AB于H，作FG⊥CO交CO的延长线于G，根据含45°的直角三角形的性质可求FG，根据勾股定理可求CF，BD，即可求解；④根据三角形面积公式即可求解． 【详解】解：①∵∠AOC=90°，∠DOE=45°， ∴∠COD=180°-∠AOC-∠DOE=45°，故正确； ②∵EF=， ∴OE=2． ∵AO=AB=3， ∴AE=AO+OE=2+3=5，故正确； ③作DH⊥AB于H，作FG⊥CO交CO的延长线于G， 则FG=1， CF=＝＝， BH=3-1=2， DH=3+1=4， BD=，故错误； ④△COF的面积S△COF=×3×1=，故错误； 故选：B． 【点睛】本题考查了正方形的性质，含45°的直角三角形的性质，三角形面积，勾股定理，平角的定义，综合性较强，有一定的难度，正确作出辅助线是解题的关键． 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，满分20分．） 11. 已知（m﹣1）x|m|+1﹣3x+1=0是关于x的一元二次方程，则m=__． 【答案】-1 【解析】 【详解】∵方程(m−1)x|m|+1−3x+1=0是关于x的一元二次方程， ∴|m|=1，m−1≠0， 解得：m=−1. 故答案为−1. 12. 如图，在中，以点为圆心，适当长为半径作弧，分别交于点，再分别以点为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧交于点，作射线交于点，连接，若，，，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查基础作图的方法，平行四边形的性质和勾股定理，熟练掌握基本作图作角平分线的方法，平行四边形的性质和勾股定理是解题的关键； 根据题意可知，根据平行四边形的性质得到，进而由平行线+角平分线模型可得： ，，利用勾股定理逆定理求得为直角三角形，证明，进而求解； 【详解】解：根据作法可知，平分， ， ∵，， ∴ 四边形为平行四边形， ， ，， ， ， ， 在中，，，， ， 为直角三角形，， ， ， 在中，， 故答案为： 13. 如图，正方形的对角线相交于点O，以O为顶点的正方形的两边分别交正方形的边于点．记的面积为的面积为，若正方形的边长，则的大小为____________． 【答案】9 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，根据正方形的性质得出，推出，证出可得答案． 【详解】解：∵四边形和四边形都是正方形， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：9． 14. 如图，将一矩形纸片ABCD折叠，使两个顶点A，C重合，折痕为FG．若AB=4，BC=8，则△ABF的面积为_____． 【答案】6． 【解析】 【详解】试题分析：∵将一矩形纸片ABCD折叠，使两个顶点A，C重合，折痕为FG，∴FG是AC的垂直平分线，∴AF=CF，设AF=FC=x，在Rt△ABF中，有勾股定理得：，，解得：x=5，即CF=5，BF=8﹣5=3，∴△ABF的面积为×3×4=6，故答案为6． 考点：翻折变换（折叠问题）． 15. 如图，在直角坐标系中，直线分别交x轴，y轴于A，B两点，C为的中点，点D在第二象限，且四边形为矩形，P是上一个动点，过点P作于H，Q是点B关于点A的对称点，则的最小值为________． 【答案】## 【解析】 【分析】先根据直线先确定和的长，再证明四边形是矩形，得出，再证明四边形是平行四边形，则，在中，是定值，所以只要的值最小就可以，当、、在同一直线上时，的值最小，利用平行四边形的性质求出即可． 【详解】解：如图，连接， 直线分别交轴，轴于，两点， ，， 是的中点， ， ， 四边形是矩形， ， ， 四边形是平行四边形， ， ， 要使的值最小，只需、、三点共线即可， 点是点关于点的对称点， ， 又点， 根据勾股定理可得， 此时，， 即的最小值为； 故答案为：． 【点睛】本题考查了一次函数点的坐标的求法、矩形的判定及性质、三角形面积的求法和三点共线及最值，勾股定理，解题的关键是作辅助线进行求解，综合性强． 三、解答题（本大题共10个小题，满分90分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或步骤） 16. 选择适当方法解下列方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】（1）根据因式分解法可以解答此方程； （2）根据配方法可以解答此方程． 【小问1详解】 解：， ， 或， 解得：，； 【小问2详解】 解：， ， ， ， 或， 解得：，． 【点睛】本题考查解一元二次方程，解答本题的关键是明确解一元二次方程的方法． 17. 先化简，再求值：，其中． 【答案】 【解析】 【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将计算m的值代入化简结果中求值可得． 【详解】解： ∵ ∴当时，原式． 【点睛】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则． 18. 某校为落实国家“双减”政策，丰富课后服务内容，为学生开设五类社团活动（要求每人必须参加且只参加一类活动）：A．音乐社团；B．体育社团；C．美术社团；D．文学社团；E．电脑编程社团，该校为了解学生对这五类社团活动的喜爱情况，随机抽取部分学生进行了调查统计，并根据调查结果，绘制了如图所示的两幅不完整的统计图． 根据图中信息，解答下列问题： （1）此次调查一共随机抽取了___________名学生，补全条形统计图（要求在条形图上方注明人数）； （2）扇形统计图中圆心角___________度； （3）现从“文学社团”里表现优秀的甲、乙、丙、丁四名同学中随机选取两名参加演讲比赛，请用列表或画树状图的方法求出恰好选中甲和乙两名同学的概率． 【答案】（1）200， 补全条形统计图如图， （2）54 （3）恰好选中甲、乙两名同学的概率为． 【解析】 【分析】（1）用B类型社团的人数除以其人数占比即可求出参与调查的总人数；用总人数减去A、B、D、E四个类型社团的人数得到C类型社团的人数，即可补全条形统计图； （2）用乘以C类型社团的人数占比即可求出扇形统计图中的度数； （3）先画出树状图得到所有等可能性的结果数，再找到恰好选中甲和乙两名同学的结果数，最后依据概率计算公式求解即可． 【小问1详解】 解：(人)， C类型社团的人数为(人)， 故答案为：200； 【小问2详解】 解：， 故答案为：54； 【小问3详解】 解：画树状图如下： ∵共有12种等可能的结果，其中恰好选中甲、乙两名同学的结果有2种， ∴恰好选中甲、乙两名同学的概率为． 【点睛】本题主要考查了条形统计图与扇形统计图信息相关联，树状图法或列表法求解概率，正确读懂统计图并画出树状图或列出表格是解题的关键． 19. 如图，网格中每个小正方形的边长均为1，的顶点均在小正方形的格点上． （1）将向下平移3个单位长度得到，画出； （2）将绕点顺时针旋转90度得到，画出； （3）在（2）的运动过程中请计算出扫过的面积． 【答案】（1）解：即为所求： （2）解：即为所求： （3） 【解析】 【分析】（1）先作出点A、B、C平移后的对应点，、，然后顺次连接即可； （2）先作出点A、B绕点顺时针旋转90度的对应点，，然后顺次连接即可； （3）证明为等腰直角三角形，求出，，根据旋转过程中扫过的面积等于的面积加扇形的面积即可得出答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， 根据旋转可知，， ∴， ∴在旋转过程中扫过的面积为． 【点睛】本题主要考查了平移、旋转作图，勾股定理逆定理，扇形面积计算，解题的关键是作出平移或旋转后的对应点． 20. 在一个不透明的盒子里装有颜色不同的黑、白两种球共个，小颖做摸球试验，她将盒子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中，不断重复上述过程，下表是“摸到白色球”的频率折线统计图． （1）请估计：当很大时，摸到白球的概率将会接近 （精确到），假如你摸一次，你摸到白球的概率为 ； （2）试估算盒子里白、黑两种颜色的球各有多少个？ （3）在（）条件下，如果要使摸到白球的概率为，需要往盒子里再放入多少个白球？ 【答案】（1），； （2）估算盒子里白、黑两种颜色的球分别有个、个； （3）需要往盒子里再放入个白球． 【解析】 【分析】（）根据统计图容易得出结果； （）由摸到白球的概率将会接近，则白球，故黑球； （）设需要往盒子里再放入个白球； 根据题意得出方程，解方程即可； 本题考查了利用频率估计概率、概率公式，解分式方程，掌握知识点的应用是解题的关键． 【小问1详解】 解：根据统计图可知：当很大时，摸到白球的概率将会接近，假如你摸一次，你摸到白球的概率为， 故答案为：，； 【小问2详解】 解：∵摸到白球的概率将会接近， ∴摸到白球（个）， ∴黑球（个）， 答：估算盒子里白、黑两种颜色的球分别有个、个； 【小问3详解】 解：设需要往盒子里再放入个白球， 根据题意得：， 解得：， 经检验：是原分式方程的解， 答：需要往盒子里再放入个白球． 21. 若关于x的一元二次方程（k﹣1）x2﹣4x﹣1＝0有两个实数根． （1）求k的取值范围； （2）若方程的两根x1，x2，满足（x1+1）（x2+1）＝4，求k的值． 【答案】（1）k≥﹣3且k≠1 （2）2 【解析】 【分析】（1）由方程有两个实数根，结合根的判别式，即可得出关于k的一元一次不等式，并使k﹣1≠0，即可得出结论． （2）根据一元二次方程的根与系数的关系可以得到x1+x2＝，x1x2＝﹣，再将它们代入（x1+1）（x2+1）＝4，即可求出k的值． 【小问1详解】 解：（1 ）∵关于x的一元二次方程（k﹣1）x2﹣4x﹣1＝0有两个实数根． ∴k﹣1≠0，∆＝b2﹣4ac≥0，即（﹣4）2﹣4×（k﹣1）×（﹣1）≥0， ∴k≥﹣3且k≠1． 【小问2详解】 解：∵关于x的一元二次方程（k﹣1）x2﹣4x﹣1＝0的两根为x1，x2， ∴x1+x2＝，x1x2＝﹣． ∵（x1+1）（x2+1）＝4， ∴（x1+x2）+x1x2+1＝4，即﹣+1＝4， 整理，得：k﹣1＝1， 解得：k＝2， 经检验，k＝2是方程的解， ∴k＝2． ∴k的值为2． 【点睛】本题主要考查了根与系数的关系，解题关键是熟练运用根与系数关系列出方程或不等式． 22. 如图，在四边形中，O为对角线的中点，过点O作直线分别与四边形的边交于两点，连接． （1）求证：四边形为平行四边形； （2）当平分时， ①求证：四边形为菱形； ②当四边形是矩形时，若，求的长． 【答案】（1） 证明：∵，为对角线的中点， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形； （2）①∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴平行四边形为菱形； ②3 【解析】 【分析】（1）根据全等三角形的性质得到，根据平行四边形的判定定理即可得到结论； （2）①根据角平分线的定义得到，根据平行线的性质得到，得到，根据菱形的判定定理得到平行四边形为菱形； ②根据菱形的性质得到，根据勾股定理得到即可得到结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：① 略 ②∵四边形是矩形， ∴，， 而， ∴，，， 在中，根据勾股定理，得， ∴， 解得． 故的长为3． 【点睛】本题考查了矩形的性质、菱形的判定和性质，全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质，解决本题的关键是证明． 23. 公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔4月份到6月份的销量，该品牌头盔4月份销售150个，6月份销售216个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同． （1）求该品牌头盔销售量的月增长率； （2）若此种头盔的进价为30元/个，测算在市场中，当售价为40元/个时，月销售量为600个，若在此基础上售价每上涨0.2元/个，则月销售量将减少2个，为使月销售利润达到10000元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元/个？ 【答案】（1）月增长率为 （2）该品牌头盔的实际售价应定为每个50元 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设该品牌头盔销售量的月增长率为x，根据该品牌头盔4月份及6月份的月销售量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论； （2）设该品牌头盔的实际售价为y元，根据月销售利润每个头盔的利润月销售量，即可得出关于y的一元二次方程，解之取其正值即可求出结论． 【小问1详解】 解： 设该品牌头盔销售量的月增长率为x， 由题意得：， 解得：（不合题意，舍去）． 答：该品牌头盔销售量的月增长率为． 【小问2详解】 解：设该品牌头盔的实际售价为y元， 由题意得：， 整理得：， 解得：（不合题意，舍去）， 答：该品牌头盔的实际售价应定为每个50元． 24. 如图，直线BC交x轴于点C，交y轴于点B，与直线交于点A，点A的横坐标为2，，ABO的面积为1． （1）求a的值和直线BC的解析式； （2）若直线与y轴交于点D，当ABD的面积为4时，求m的值； （3）若点P为直线BC上的一点，点Q为坐标平面内一点，是否存在符合条件的点P、Q，使点O，A，P，Q为顶点的四边形为菱形，若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1），；（2）或；（3）存在，或或或 【解析】 【分析】（1）设A点的坐标为，由△ABO的面积为1及可求得BO，从而得点B的坐标，再由易得点C的坐标，用待定系数法即可求得BC的解析式； （2）由可得点D的坐标，由可求得BD的长，根据点B的坐标可得点D的坐标，从而求得m的值； （3）分三种情形讨论：①以AP为对角线；②以OP为对角线；③以OA为对角线时；利用菱形的性质即可求得点Q的坐标． 【详解】（1）设A点的坐标为， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴∠CBO=∠ACO=45゜, ∴OC=BO=1 ∴C(-1，0) 设BC的解析式为y=kx+b，其中k≠0 把B、C两点的坐标分别代入y=kx+b中，得： ∴ ∴BC的解析式为， ∵当时， ∴， 又∵A在直线上， ∴； （2）∵直线与y轴交于点D， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴D点坐标为或， ∴或； （3）若四边形OAQP为菱形 ①以AP为对角线，如图，连接OQ、QB、QC， ∴，且AP平分OQ． ∵OB=OC， ∴OQ平分BC， ∴BC与OQ相互垂直平分， ∴四边形OBQC是菱形 ∵OB⊥OC， ∴四边形OBQC是正方形， ∴Q点坐标为； ②以OP为对角线，如图， 此时OQ∥BC， ∴OQ表达式为， ∴， ∴， ∵可设Q点的坐标为， ∴， ∴， ∴或， ③以OA为对角线时，如图， 此时OQ∥BC， ∴OQ表达式为， 设Q点的坐标为， ∵， ∴， 即， 解得， ∴， 综上，四边形OAQP为菱形时Q的坐标为或或或． 【点睛】本题是一次函数与几何图形的综合问题，考查待定系数法求一次函数的解析式，菱形的性质，涉及分类讨论的数学思想，这也是本题解答的关键． 25. 综合与实践 问题情境： 数学兴趣小组在探究与正方形有关的动点问题时，如图2，在正方形内取一点E，使，将点E绕点C逆时针旋转得到点，射线，交于点F． 特例研究： 启智小组在探究过程中遵循由特殊到一般的探究规律：如图1，发现点E在对角线中点O处时，点F与点B重合，此时四边形的形状为正方形． 探究发现： （1）博学小组发现，如图2，只要，四边形的形状都是正方形，请证明； （2）奋发小组受博学小组的启发，进一步深入探究，如图3，取中点G，连接，，，又发现：在点E运动过程中，与始终保持特定的数量关系，请写出此数量关系，并说明理由； 拓展应用： （3）在（2）的条件下，已知，，直接写出的长度． 【答案】 （1）证明：四边形是正方形， ， ， ∵点E绕点C逆时针旋转得到点， ∴, ∵， ， ， ， ∴, ∴四边形的形状都是矩形， ∵， ∴四边形是正方形． （2），理由如下： 连接， ∵四边形是正方形，是的中点， ∴是的中点，，， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵四边形是正方形，是的中点， ∴，，， ∵是的中点， ∴， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∵是的中点， ∴， ∴， ∴． （3） 【解析】 【分析】1）先证明，再利用正方形的判定定理证明即可； （2）利用正方形的性质，勾股定理，直角三角形的特征量，等腰直角三角形的特点，推理证明即可． （3）取的中点M，取的中点N，连接，，，，利用三角形中位线定理，正方形的性质，勾股定理，等腰三角形的三线合一性质，计算即可． 【详解】（1）略 （2）略 （3）取的中点M，取的中点N， 连接，，，， ∴, ∵， ∴， 根据（2）得，， ∴，，， ∴，，， ∵四边形是正方形，是的中点，， ∴，，， ∴， ∴， 过点M作于点Q， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． ． 【点睛】本题考查了正方形的判定和性质，勾股定理，特殊角的三角函数值，直角三角形的特征量，三角形全等的判定和性质，等腰三角形的三线合一性质，熟练掌握正方形性质，勾股定理，特殊角的三角函数值，三线合一性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $