3.2.2　基本不等式的应用（教学课件）-2024-2025学年高一数学考试满分全攻略同步备课备考系列（苏教版2019必修一）

苏教版2019高一数学（必修一）第三章 不等式 3.2.2　基本不等式的应用 3.2基本不等式≤ (a，b≥0) 目录/CONTENTS 新知探究 情景导入 学习目标 课堂小结 分层练习 错因分析 学习目标 1.进一步熟练掌握基本不等式，能够通过拼凑、变形等利用基本不等式求最值. 2.能够利用基本不等式解决实际问题. 3.通过学习掌握基本不等式及其应用，重点提升数学运算、逻辑推理、数学建模素养. 基本不等式 ≤ (a，b＞0) 常用于证明一些不等式以及求某些函数的最大值或最小值. 情景导入 例 3 用长为 4a 的铁丝围成一个矩形，怎样才能使所围矩形的面积最大? 解： 设矩形长为 x (0＜x＜ 2a)，则宽为 2a－x， 矩形面积为 S＝x(2a－x)， 且 x＞0，2a－x＞0. 由基本不等式，得 ≤＝a. 上式当且仅当 x＝2a－x，即 x＝a 时，等号成立.由此可知， 当x＝a时，S＝(2a－x)取得最大值 a2. 答： 将铁丝围成正方形时面积最大，最大面积为 a2. 课本例题 例 4 某工厂建造一个无盖的长方体贮水池，其容积为4 800 m，深度为 3m. 如果池底每平方米的造价为 150 元，池壁每平方米的造价为 120 元，怎样设计水池能使总造价最低? 最低总造价为多少元? 解 设总造价为 y 元 (y＞0，池底的一边长为 x m (a＞0)， 则另一边长为m，即 m. 课本例题 由题中条件可得 y ＝150×＋2×120×3×(x＋)＝ 150×1600＋720 (x＋) 由题意知 x＞0，及x＋≥2＝80 (当且仅当 x ＝40时，等号成立)， 所以 y≥150×1600＋720×80＝ 297 600，且x＝40时，取得等号. 答 ：当水池设计成底面边长为 40 m 的正方形时，总造价最低为297 600 元. (1) 和 a＋b 为定值时，积 ab 有最大值 (如例 3)； ab 为定值时和 a＋b有最小值 (如例 4). (2) 取等号的条件 (当且仅当 a＝b时， ＝). 对于正数 a，b，在运用基本不等式时，应注意： 归纳总结 例 5 如图3-2-2，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC ＝b，BC＝a，且＋＝1. 当△ABC 的面积最小时，求 a，b 的值. 解 由题意知 a＞0，b＞0，由基本不等式，得 ＋ ≥2. 课本例题 因为＋＝1，所以1≥2，故 ab＞8. 于是，S△ABC＝ ab ≥ 4， 当且仅当，即 a＝2，b＝4时，等号成立. 因此，当△ABC的面积最小时，a＝2， b＝4. 例 6 如图 ，一份印刷品的排版面积(矩形)为 A，它的两边都留有宽为 a 的空白，顶部和底部都留有宽为的空白如何选择纸张的尺寸，才能使纸的用量最少? 解 设纸张的面积为 S，排版矩形的长和宽分别是 x，y (x＞0，y＞0)，则 xy＝A. 课本例题 S＝ (x＋2a)(y＋2b) ＝ xy＋2bx ＋2ay＋4ab ≥ xy＋2＋4ab＝ A＋4＋4ab ＝(＋2)2. 当且仅当 2bx＝2ay，即 x＝，y＝时，S 有最小值(＋2)2， 此时纸张的长和宽分别为 ＋2a 和 ＋2b. 答 ：当纸张的长和宽分别为 ＋2a 和 ＋2b时，纸张的用量最少. 1. 若m＞0，n＞0，mn＝81，则m＋n的最小值是( ). A. 4 B. 4 C. 9 D. 18 D 课本练习 2. 若直角三角形的面积为 50，则两条直角边的和的最小值是( ). A. 5 B.10 C. 10 D.20 D 3. 设 x＞0，y＞0，且 2x＋5y＝20，求xy的最大值. 解：∵ x＞0，y＞0，且 2x＋5y＝20. ∴ 20≥2，化为：xy≤10， 当且仅当2x＝5y＝10时取等号. ∴ xy 的最大值为10. 解：如图所示，矩形ABCD为横截面设圆木的半径为r，∠CAB＝α ，(0＜α＜)， 4. 将一段圆木制成横截面是矩形的柱子，怎样加工才能使横截面的面积最大? 故 AB＝2rcosα，BC＝2rsinα， 故 S＝4r2sinαcosα＝2r2sin2α≤2r2， 故当α＝45°时，sin2α 取得最大值1， 此时面积 S 取得最大值 S＝2r2. 5. 如图，质量是 W 的重物挂在杆上距支点 a 处. 质量均的杆子每单位长度的质量为 m. 杠杆应当多长，才能使得加在另一端用来平衡重物的力 F最小? 解：设杠杆长为x米时，在另一端用来平衡重物的 力F最小，杆子质量均匀且每单位长度的质量为m， 故杆的质量为 x×m. 则 W×a＋x×mg× ＝F·x，∴ F＝＋＝( －)2 ＋. 当且仅当 ＝ 时，即x＝ 时，力 F有最小值； 所以杠杆应当为 时，才能使得加在另一端用来平衡重物的力F最小。 错因分析 易错点1　忽略等号成立的条件而致错 A 9 错因分析 易错点2　多次应用基本不等式而致错 C 错因分析 B 分层练习-基础 17 2.已知a>0，b>0，3a＋b＝2ab，则a＋b的最小值为(　　) C 3.欲用一段长为30 m的篱笆围成一个一边靠墙的面积最大的矩形菜园，墙长18 m，则这个矩形的长、宽分别为(　　) 解析　设矩形的长为x m，宽为y m，则x＋2y＝30， A C 4.将一根铁丝切割成三段做一个面积为2 m2、形状为直角三角形的框架，在下列四种长度的铁丝中，选用最合理(够用且浪费最少)的是(　　) A.6.5 m B.6.8 m C.7 m D.7.2 m ∵要求够用且浪费最少，故选C. C ∴9m≤54，即m≤6，故选C. 二、填空题 6.已知x，y都是正数. (1)如果xy＝15，则x＋y的最小值是________； (2)如果x＋y＝15，则xy的最大值是________. 5 7.某公司租地建仓库，每月土地占用费y1与仓库到车站的距离成反比，而每月库存货物的运费y2与到车站的距离成正比.如果在距离车站10千米处建仓库，这两项费用y1和y2分别为2万元和8万元，那么要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站________千米处. ∴k1＝20，k2＝0.8. 三、解答题 9.已知x，y都是正数. (1)若3x＋2y＝12，求xy的最大值； 当且仅当3x＝2y，即x＝2，y＝3时，等号成立. ∴xy的最大值为6. 解　∵3x＋2y＝12， 解　设总费用为y元. 由题意得 所以这次租车的总费用最少是280元，此时的车速为70 km/h. BC 11.(多选题)若正实数a，b满足a＋b＝1，则下列说法正确的是(　　) 当且仅当a＝b时等号成立. 分层练习-巩固 29 当且仅当a＝b时等号成立，∴C正确； 又a2＋b2≥2ab， ∴B正确； 20 12.在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长x为________m，面积最大为________m2. 当且仅当x＝20时，等号成立， 即当x＝20 m时，面积最大，最大值为400 m2. 400 13.设计用32 m2的材料制造某种长方体车厢(无盖)，按交通法规定厢宽为2 m，求车厢的最大容积. 解　设车厢的长为b m，高为a m. 设a＋1＝t， 当且仅当t＝3，即a＝2，b＝4时等号成立. 故车厢的最大容积是16 m3. 解析　正数x，y满足x＋y＝1，即有(x＋2)＋(y＋1)＝4， 分层练习-拓展 感受·理解 1. 证明下列不等式： (1) a2＋b2≥2a＋2b－2； 证明：∵a2＋1＞2a，b2＋1＞2b， ∴ a2＋b2＋2≥2a＋2b， 即 a2＋b2≥2a＋2b－2. 习题3.2 (2) ()2 ≤ ； 证明：∵ 2ab≤a2＋b2， ∴ ()2＝a2＋2ab＋b2 ≤＝， 即 ()2 ≤ . (3) 若 a，b ∈(0，＋∞)，则 ≤ . 证明：∵ a，b∈(0，＋∞)， ∴ 2≤a＋b， 从而 ≤1，故 ＝≤. 2. 设 x＞0，y＞0，且 xy＝4，求的最小值. 解：∵ x＞0，y＞0，xy＝4， ∴ y＝，∴ ＋＝ ＋ ≥2 ＝1， 当且仅当 ＝ ， xy＝4，x＞0，y＞0. 即x＝y＝2 时取等号. ∴ ＋ 的最小值是1. 3. 证明： (1) x2＋ ≥1； 证明：∵ x2＋1＞0， ∴ x2＋＝(x2＋1)＋－1≥2－1＝1， 即 x2＋ ≥1. 当且仅当 x2＋1＝ ， 即 x＝0 时，取得等号. (2) ＞2； 证明：∵＝＝＋ ≥2 ＝ 2， 当且仅当 ＝ 时，等号成立. ∵ 对任意的实数x， ≠，∴ ＞2. 4. 求 1＋2x2＋ 的最小值. 解：1＋2x2＋ ≥1＋2 ＝9；当且仅当 2x2＝ 即 x＝±时等号成立. ∴ 1＋2x2＋ 的最小值为9. 5. 设 a，b 是正实数，求证：(a＋)(b＋)≥4. 解：∵ a＞0，b＞0，∴ a＋ ≥2 ＝2，当且仅当 a＝，即 a＝1 时取等号. ∴ b＋ ≥2 ＝2，当且仅当 b ＝，即 b＝1 时取等号. ∴ (a＋)(b＋) ≥2×2 ＝4，当且仅当 a＝b＝1时取等号. 综上， (a＋)(b＋)≥4. 6. 如图，墙角线互相垂直，长为 a m 的木棒AB的两个端 点分别在这两墙角线上，如何放置木棒才能使围成区域的面积最大? 解：如图，设 AO＝a m，BO＝y m. ∵OA⊥OB，∴ OA2＋OB2＝AB2∴ x2＋y2＝a2 ∵(x－y)2≥0，∴ x2－2xy＋y2≥0，∴ x2＋y2≥2xy ∴ xy≤ (x2＋y2)， 即xy的最大值为 (x2＋y2)， ∵当 x＝y 时， (x－y)2＝0，∴当 x＝y 时， xy＝ (x2＋y2)， 即当 x＝y 时，xy 的值最大， ∵ S△AOB＝xy.∴当 x＝y 时，S△AOB面积最大， 由 x2＋x2＝a2 得 x＝a∴ 当OB＝OA＝a m 时，木棒围成区域的面积最大. 7. 已知 a，b，c，d 都是正数，且 a＜b，c＜d，求证： ＜ . 证明：设点A(b，a)，B(－c,－c)，C(－d，－d)， ∵a＞0，b＞0，c＞0，d＞0， ∴点A在第一象限，点B在第三象限，点C第三象限， 且点B、点C都在直线 y＝x上， ∵c＜d，∴点B在点C的右上方，∵a＜b，∴点A在直线y＝x (第一象限内)的下方， 在直角坐标系中表示出点A、点B、点C， 的几何意义是点A与点B连线的斜率， 的几何意义是点A与点C连线的斜率， 由图象可以看出直线AC的斜率更大，则 ＜ . 思考·运用 8. 当 x≠0时，求 x＋ 的取值范围. 解：当x＞0时，x＋ ≥2 ＝4，∴当且仅当 x＝ 即 x＝2 时等号成立； 当 x＜0时， －x＞0，∴ －x－ ≥2 ＝4 ∴ x＋ ≤－4 ∴当且仅当－x＝－ 即 x＝－2 时等号成立， ∴ 综上所述， x＋ 的取值范围为： (－∞，－4)∪(4，＋∞) 9. 如图，电路中电源的电动势为E，内阻为 r，R1为固定电阻，R2是一个滑动变阻器. 已知 R2消耗的电功率为 P＝()2R2. 当R2调至何值时， ()2R2 最大? 最大值是多少? 解：∵P＝()2R2 ＝ ＝， 且 ≥2 ＝2； ∴P≤，当且仅当， 即 r＋R1＝ R2时取等号，∴当 r＋R1＝ R2， P取得最大值，最大值是. 10. 某种产品的两种原料相继提价，产品生产者决定根据这两种原料提价的百分比，对产品分两次提价， 现在有三种提价方案： 方案甲：第一次提价 p%，第二次提价 q%； 方案乙：第一次提价 q%，第二次提价 p%； 方案丙：第一次提价 %，第二次提价%. 其中p＞q＞0，比较上述三种方案，哪一种提价少?哪一种提价多? 解：设提价前的价格为1，那么两次提价后的价格为， 方案甲：(1＋p %)(1＋q%)＝1＋p%＋q%＋0.01pq%； 方案乙：(1＋q%)(1＋p%) ＝ 1＋p%＋q% ＋0.01pq%； 10. 某种产品的两种原料相继提价，产品生产者决定根据这两种原料提价的百分比，对产品分两次提价， 现在有三种提价方案： 方案甲：第一次提价 p%，第二次提价 q%； 方案乙：第一次提价 q%，第二次提价 p%； 方案丙：第一次提价 %，第二次提价%. 其中p＞q＞0，比较上述三种方案，哪一种提价少?哪一种提价多? 方案丙：(1＋%) (1＋%) ＝1＋p% ＋q% ＋(%) ＝1＋ p%＋q% ＋0.01 ×()2%； ∵ ()2 ≥pq，且 p＞q＞0， ∴ 上式“＝”不成立；∴ 方案乙提价少，方案丙提价多. 探究·拓展 11. (阅读题)甲乙两同学分别解“设 x∈[0，＋∞)，求函数 y＝2x2＋1的最小值”的过程如下：甲：y＝2x2＋1≥2＝2x，又x≥1，所以2x＞2 . 乙：因为y＝2x2－1在区间[1，＋∞)上的图象随着x增大而逐渐上升，即y随x增大而增大，所以y的最小值是 2×12＋1＝3.试判断谁错，错在何处? 解：甲的解法错误，乙的解法正确. 甲同学的解法：利用基本不等式法求最小值，∵ 2x2＋1 ≥ 2 ＝ 2， 但由于2x，不是定值，且未考虑取等的问题，所以解法错误. 乙同学的解法：∵ y＝2x2＋1在[1，＋∞) 上单调递增， ∴ y＝2x2＋1的最小值是 2×12＋1＝3，解法正确. 综上所述：甲同学的解析错误，基本不等式应用错误. 掌握1种方法——利用基本不等式求最值的方法 (1)利用基本不等式求最值要把握下列三个条件： ①一正——各项为正数； ②二定——和或积为定值； ③三相等——等号一定能取到. (2)利用基本不等式求最值的关键是获得定值条件，要采用“拆项、添项、配凑、变形”等方法创建应用基本不等式的条件. 课堂小结 ∵当0＜x≤3时，y＝x＋eq \f(16,x)的值随着自变量x的增大而减小， ∴当x＝3时，y取得最小值，最小值为3＋eq \f(16,3)＝eq \f(25,3).故选A. 24．已知0＜x≤3，则y＝x＋eq \f(16,x)的最小值为(　　) A.eq \f(25,3) B．8 C．20 D．10 25．已知正数x，y满足x＋2y＝2，则eq \f(x＋8y,xy)的最小值为________． 因为x，y为正数，且x＋2y＝2，所以eq \f(x＋8y,xy)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,y)＋\f(8,x)))·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,2)＋y))＝eq \f(x,2y)＋eq \f(8y,x)＋5≥2eq \r(\f(x,2y)·\f(8y,x))＋ 5＝9，当且仅当x＝4y＝eq \f(4,3)时，等号成立，所以eq \f(x＋8y,xy)的最小值为9. 26．已知x>0，y＞0且x＋y＝1，则p＝x＋eq \f(1,x)＋y＋eq \f(1,y)的最小值为(　　) A．3 B．4 C．5 D．6 p＝x＋eq \f(x＋y,x)＋y＋eq \f(x＋y,y)＝3＋eq \f(y,x)＋eq \f(x,y)≥3＋2eq \r(\f(y,x)·\f(x,y))＝5，当且仅当x＝y＝eq \f(1,2)时，等号成立． 当且仅当x－1＝eq \f(1,x－1)，即x＝2时，等号成立. 解析　eq \f(x2－x＋1,x－1)＝eq \f(x（x－1）＋1,x－1)＝x＋eq \f(1,x－1)＝x－1＋eq \f(1,x－1)＋ 1≥2eq \r(（x＋1）·\f(1,x－1))＋1＝3， 一、选择题 1.若eq \f(x2－x＋1,x－1)(x>1)在x＝t处取得最小值，则t等于(　　) A.1＋eq \r(2) B.2 C.3 D.4 则a＋b＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2b)＋\f(1,2a)))(a＋b)＝2＋eq \f(3a,2b)＋eq \f(b,2a)≥ 2＋2eq \r(\f(3a,2b)·\f(b,2a))＝2＋eq \r(3)，当且仅当b＝eq \r(3)a时等号成立， 则a＋b的最小值为2＋. A.eq \r(3) B.2 C.2＋eq \r(3) D.3＋eq \r(3) 解析　根据题意，3a＋b＝2ab⇒eq \f(3,2b)＋eq \f(1,2a)＝1， A.15 m， m B.15 m， m C.7 m， m D.7 m， m 当且仅当x＝2y，即x＝15，y＝eq \f(15,2)时取等号. 所以S＝xy＝eq \f(1,2)x·(2y)≤eq \f(1,2) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x＋2y,2)))eq \s\up12(2)＝eq \f(225,2)， ∴ab＝4，l＝a＋b＋eq \r(a2＋b2)≥2eq \r(ab)＋eq \r(2ab)＝4＋2eq \r(2)≈6.828(m). 解析　设两直角边长分别为a，b，直角三角形的框架的周长为l，则eq \f(1,2)ab＝2， 解析　由已知可得6＝1， ∴2a＋b＝6(2a＋b) 当且仅当eq \f(2a,b)＝eq \f(2b,a)，即a＝b＝18时等号成立， ＝6eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(5＋\f(2a,b)＋\f(2b,a)))≥6×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(5＋2\r(\f(2a,b)·\f(2b,a))))＝54， 5.已知a>0，b>0，eq \f(2,a)＋eq \f(1,b)＝eq \f(1,6)，若不等式2a＋b≥9m恒成立，则m的最大值为(　　) A.8 B.7 C.6 D.5 (2)xy≤eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x＋y,2)))eq \s\up12(2)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(15,2)))eq \s\up12(2)＝eq \f(225,4)，当且仅当x＝y＝eq \f(15,2)时等号成立， 即xy的最大值是. 解析　(1)x＋y≥2eq \r(xy)＝2eq \r(15)，当且仅当x＝y＝eq \r(15)时等号成立，即x＋y的最小值是2eq \r(15). 2 由题意知2＝，8＝10k2， ∴y1＋y2＝eq \f(20,d)＋0.8d≥2eq \r(16)＝8，当且仅当eq \f(20,d)＝0.8d，即d＝5时，等号成立. 解析　设仓库与车站的距离为d，则y1＝eq \f(k1,d)，y2＝k2d， 当且仅当x＝eq \f(1,x)，即x＝1时，等号成立， 所以的最大值为. 所以a≥. 解析　因为x>0，所以eq \f(x,x2＋3x＋1)＝eq \f(1,x＋\f(1,x)＋3)≤eq \f(1,2\r(x·\f(1,x))＋3)＝eq \f(1,5)， 8.若对任意x>0，eq \f(x,x2＋3x＋1)≤a恒成立，则实数a的取值范围是________. ∴xy＝×3x·2y≤×＝6， 解　∵x＋2y＝3，∴1＝＋， ≥1＋2＝1＋， 当且仅当eq \f(x,3y)＝eq \f(2y,3x)，即x＝3eq \r(2)－3，y＝3－eq \f(3\r(2),2)时取等号， ∴＋的最小值为1＋. ∴eq \f(1,x)＋eq \f(1,y)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)＋\f(1,y))) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,3)＋\f(2y,3)))＝eq \f(1,3)＋eq \f(2,3)＋eq \f(x,3y)＋eq \f(2y,3x) (2)若x＋2y＝3，求＋的最小值. 10.某人准备租一辆车从甲地出发去乙地，已知从出发点到目的地的距离为100 km，按交通法规定：这段公路车速限制在40～100(单位：km/h)之间.假设目前油价为7.2 元/L，汽车的耗油率为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3＋\f(x2,360)))L/h，其中x(单位：km/h)为汽车的行驶速度，耗油率指汽车每小时的耗油量.租车需付给司机每小时的工资为76.4元，不考虑其他费用，这次租车的总费用最少是多少？此时的车速x是多少？(注：租车总费用＝耗油费＋司机的工资) ＝＋2x(40≤x≤100). 当且仅当eq \f(9 800,x)＝2x，即x＝70时取等号. 因为y＝eq \f(9 800,x)＋2x≥2eq \r(\f(9 800,x)·2x)＝280， y＝76.4×＋7.2×× 解析　∵a>0，b>0, 且a＋b＝1， ∴ab≤＝， ∴ab有最大值，∴A错误； (eq \r(a)＋eq \r(b))2＝a＋b＋2eq \r(ab)＝1＋2eq \r(ab)≤1＋(a＋b)＝2， A.ab有最小值eq \f(1,4) B.eq \r(a)＋eq \r(b)有最大值eq \r(2) C.eq \f(1,a)＋eq \f(1,b)有最小值4 D.a2＋b2有最小值eq \f(\r(2),2) ≥2＋2＝4， ∴a2＋b2≥＝＝， 即a＝b时，a2＋b2有最小值eq \f(1,2)，故D错误. 当且仅当a＝b＝eq \f(1,2)时等号成立，即eq \r(a)＋eq \r(b)≤eq \r(2)， ＋＝(a＋b)＝2＋＋ 即y＝40－x，矩形花园的面积S＝x(40－x)≤eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x＋40－x,2)))eq \s\up12(2)＝400， 解析　设矩形花园的宽为y，则eq \f(x,40)＝eq \f(40－y,40)， 则V＝2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(20－2t－\f(18,t)))≤2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(20－2\r(2t·\f(18,t))))＝16， 由已知得2b＋2ab＋4a＝32，即b＝eq \f(16－2a,a＋1)， ∴V＝a··2＝2·. ＝eq \f(1,4) eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(5＋\f(x＋2,y＋1)＋\f(4（y＋1）,x＋2)))≥eq \f(1,4) eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(5＋2\r(\f(x＋2,y＋1)·\f(4（y＋1）,x＋2))))＝eq \f(1,4)×(5＋4)＝eq \f(9,4)， 当且仅当x＝2y＝时，取得最小值. 则eq \f(4,x＋2)＋eq \f(1,y＋1)＝eq \f(1,4)[(x＋2)＋(y＋1)]eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,x＋2)＋\f(1,y＋1))) 14.已知正数x，y满足x＋y＝1，则eq \f(4,x＋2)＋eq \f(1,y＋1)的最小值为________. $$