3.2.1 基本不等式的证明（教学课件）-2024-2025学年高一数学考试满分全攻略同步备课备考系列（苏教版2019必修一）

苏教版2019高一数学（必修一）第三章 不等式 3.2.1　基本不等式的证明　 3.2基本不等式≤ (a，b≥0) 目录/CONTENTS 新知探究 情景导入 学习目标 课堂小结 分层练习 错因分析 学习目标 3.通过学习掌握基本不等式及其简单应用，重点发展数学运算、逻辑推理素养. 情景导入 把一个物体放在天平的一个盘子上，在另一个盘子上放砝码使天平平衡，称得物体的质量为 a .如果天平制造得不精确，天平的两臂长略有不同(其他因素不计)，那么 a 并非物体的实际质量. 不过，我们可作第二次测量：把物体调换到天平的另一个盘子上，此时称得物体的质量为 b. 那么如何合理地表示物体的质量呢? 简单的做法是，把两次称得物体的质量“平均”一下，以 A＝ 表示物体的质量. 这样的做法合理吗? 设天平的两臂长分别为 l1，l2，物体实际质量为 M，根据力学原理有 l1M ＝ l2a， l2M ＝ l1b. 将上述两个等式的两边分别相乘，得 l1l2M2＝l1l2ab， 所以 M＝. 算术平均数与几何平均数 由此可知，物体的实际质量是. 对于正数 a，b，我们把 称为 a，b 的算术平均数， 称为 a，b 的几何平均数. ● 两个正数 a，b 的算术平均数和几何平均数之间具有怎样的大小关系? 新知探究 当a＞0，b＞0时，我们可以尝试作出长度为 和 的两条线段，再比较这两条线段的长. 如图，AB是⊙O 的直径，AC＝a，CB＝b，过点 C作CD⊥AB 交⊙O 的半圆于点 D，连接 AD，BD，易知 △ACD∽△DCB，故 ＝，得CD＝. 而OD＝，且CD≤OD， 所以 ≤ 当且仅当点 C与点O 重合，即 a＝b 时，等号成立. 也就是说，两个正数的几何平均数不大于它们的算术平均数，当两个正数相等时，两者相等. 下面证明上述猜想是正确的. 证法 1 对于正数 a，b，有 － ＝ (a＋b－2) ＝ [()2＋()2－2] ＝ (－)2. 因为(－)2 ≥ 0，所以≥0 ， 即≤ . 当且仅当 ＝ ，即a＝b时，等号成立. 证法 2 对于正数 a，b，要证 ≤ . 只要证 2≤ a＋b， 只要证 0≤a－2＋b， 只要证 0≤(－)2. 因为最后一个不等式成立， 所以 ≤ 成立， 当且仅当 a＝b 时，等号成立. 证法 3 对于正数 a，b，有 (－)2≥0， ⇒ a＋b－2≥0， ⇒ a＋b≥2， ⇒ ≥a＋b. 当且仅当 a＝b 时，等号成立. (1) 公式： ① 条件：a，b是正数； ② 结论：____________； ③ 等号成立：当且仅当 a＝b 时. 一、基本不等式 ≤ 当 a，b≥0时，这个不等式仍然成立. 我们把不等式≤ (a，b≥0) 称为基本不等式. 归纳总结 (2) 本质： 基本不等式表明，两个正数的算术平均数 不小于它们的几何平均数 . (3) 变形式： 当 a，b∈R 时，由(a－b)2≥0可得 a2＋b2≥2ab，a2＋b2＋2ab≥4ab， 即 ≥ab，()2≥ab， 当且仅当 a＝b时，其中的等号成立. 当 a＞0，b＞0 时，请用基本不等式证明这两个不等式. 从而得到： 当 a，b∈R 时， ab≤ (当且仅当 a＝b 时，等号成立)； ab≤()2 (当且仅当 a＝b 时，等号成立). 这两个不等式通常可以直接使用. 例 1 设 a，b 为正数，证明下列不等式成立： (1) ＋ ≥2； (2) a＋b＋＋ ≥4； 课本例题 证明：（1） 因为 a，b 为正数，所以 ， 也为正数. 由基本不等式，得 ＋ ≥2 ＝2， 当且仅当 ＝ ，即 a＝b 时，取得等号. 所以原不等式成立. 证明：（2） 因为 a，b 为正数，所以 ， 也为正数. 由基本不等式，得 a＋≥2 ＝2， b＋≥2 ＝2 课本例题 例 1 设 a，b 为正数，证明下列不等式成立： (1) ＋ ≥2； (2) a＋b＋＋ ≥4； 所以 a＋b＋＋ ≥4， 当且仅当 a＝，b＝ 时，即a＝b＝1时，取得等号. 因此，原不等式成立. 例 2 设 y＝x＋，x∈(－2，＋∞)，求y的最小值. 解：因为 x＞－2，所以 x＋2＞0. 由基本不等式，得 x＋ ＝ (x＋2)＋－2 ≥2＝6， 当且仅当 x＋2＝ ，即 x＝2时，等号成立. 因此，当 x＝2 时，y的最小值为6. 课本例题 1. 计算下列两个数的算术平均数与几何平均数 (其中p＞0)： (1) 2，8； (2) 3，12； (3) p，9p； (4) 2，2p2. 解：(1) 2，8 的算术平均数为5，几何平均数为4； (2) 3，12 的算术平均数为，几何平均数为6； 课本练习 (3) p，9p的算术平均数为5p，几何平均数为3p； (4) 2，2p2的算术平均数为1＋p2，几何平均数为2p； 2. 如图，我国古代的“弦图”是由四个全等的直角三角形围成的. 设直角三角形的直角边长为 a，b，根据图示，大正方形的面积与四个小直角三角形的面积之和存在不等关系，用 a，b 表示这种关系. 解：由题意，直角三角形的斜边长为， 则大正方形面积 S1＝a2＋b2 四个直角三角形的面积为 S2 ＝ 4×ab ＝2ab， 则 a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时，等号成立. 3. 证明： (1) a＋ ≥3(a＞1)； 证明：∵a＞1， ∴a＋＝a－1＋ ＋1≥2 ＋1 ＝3， 当且仅当a－1＝， 即a＝2 (a＞1)时等号成立； (2) x＋ ≤－2 (x＜0). 证明：∵ x＜0， ∴ x＋＝－(－x＋)≤－2 ＝－2， 当且仅当－x＝， 即x＝－1 (x＜1)时等号成立； 4. 求 4x2＋ 的最小值. 解：由4x2， 均大于0， ∴ 4x2＋ ≥2 ＝2 ＝12， 当且仅当 4x2＝ 时取得最小值，故x＝， 即 4x2＋ 是的最小值为12，此时x为. 5. 设 0° ＜ α ＜ 90°利用直角三角形三边关系，证明 1 ＜ sinα ＋ cosα ≤ . 证明：∵ 0°＜α＜90°， ∴ 0°＜2α＜180°， ∴ sin2α∈(0，1]， ∴ 1＋sin2α∈ (1，2]， ∴ (sinα＋cosα)2∈ (1，2]， ∴ 1＜ (sinα＋cosα)2≤2， ∴ 1＜ (sinα＋cosα)2≤2，得证. 易错点1　忽略应用基本不等式的前提而致错 错因分析 D 分层练习-基础 21 故y有最大值为－4. C A.最大值为0 B.最小值为0 C.最大值为－4 D.最小值为－4 解析　∵x<0， 3.已知x>0，y>0，且x＋y＝8，则(1＋x)(1＋y)的最大值为(　　) A.16 B.25 C.9 D.36 解析　因为x>0，y>0，且x＋y＝8， B 当且仅当x＝y＝4时“＝”成立， 故(1＋x)(1＋y)的最大值为25. A 解析　∵b>a>0，∴a2＋b2>2ab， A.r>q>p B.q>p>r C.q>r>p D.r＝q>p BC 5.(多选题)下列求最值正确的是(　　) 解析　A中，没有考虑x<0的情况，错误； 即x＝0时，取等号，正确； 二、填空题 6.已知x>0，y>0，2x＋3y＝6，则xy的最大值为______. 解析　因为x>0，y>0，2x＋3y＝6， ①② 7.设a，b为非零实数，给出下列不等式： 解析　由不等式a2＋b2≥2ab，可知①正确； 当a＝1，b＝－1时，可知④不正确. 16 ∵x>－1，∴x＋1>0， ∴原不等式成立. C 11.三国时期赵爽在《勾股方圆图注》中对勾股定理的证明可用现代数学表述为如图所示，我们利用该图证明(　　) A.如果a>b，b>c，那么a>c B.如果a>b>0，那么a2>b2 C.对任意正实数a和b，有a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时等号成立 D.如果a>b，c>0那么ac>bc 解析　可将直角三角形的两直角边长取作a，b，斜边为c(c2＝a2＋b2).则外围的正方形的面积为c2，也就是a2＋b2，四个直角三角形所在的阴影面积之和刚好为2ab. 对任意正实数a和b，有a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时等号成立. 分层练习-巩固 32 ABC 12.(多选题)已知a，b>0，则下列不等式中成立的是(　　 ) 当且仅当a＝b时，等号成立，B成立； 当且仅当a＝b时，等号成立，C成立； 当且仅当a＝b时，等号成立，D不成立. 解　4x(3－2x)＝2[2x(3－2x)]≤ ∵a>b>c，∴a－b>0，b－c>0， 当且仅当a－b＝b－c， 即2b＝a＋c时取等号， 当且仅当x＝y＝1时，等号成立， 解　充分条件但不是必要条件，理由如下： 分层练习-拓展 当且仅当x＝y时，等号成立. 课堂小结 1.掌握基本不等式eq \r(ab)≤eq \f(a＋b,2)(a≥0，b≥0). 2.能灵活应用基本不等式解决一些证明、比较大小问题. 23．求2＋x＋eq \f(5,x)(x<0)的最值． ∵x<0，∴－x>0，∴2＋x＋eq \f(5,x)＝2－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－x－\f(5,x))).又∵－x－eq \f(5,x)≥2eq \r(（－x）·\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5,x))))＝2 eq \r(5)，∴2＋x＋eq \f(5,x)＝2－(－x－eq \f(5,x))≤2－2 eq \r(5)，当且仅当－x＝－eq \f(5,x)，且x<0，即x＝－eq \r(5)时，等号成立． 即2＋x＋eq \f(5,x)的最大值为2－2　eq \r(5). 解析　此不等式等号成立的条件为a2＝eq \f(4,a2)，即a＝±eq \r(2)，故选D. 一、选择题 1.不等式a2＋eq \f(4,a2)≥4中等号成立的条件是(　　) A.a＝4 B.a＝eq \r(2) C.a＝－eq \r(2) D.a＝±eq \r(2) 当且仅当－x＝eq \f(1,－x)时，即x＝－1时“＝”成立. ∴y＝－eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(（－x）＋\f(1,（－x）)))－2≤－2eq \r(（－x）·\f(1,－x))－2＝－4， 2.已知y＝x＋eq \f(1,x)－2(x<0)，则y有(　　) 所以(1＋x)(1＋y)＝1＋x＋y＋xy＝9＋xy≤9＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x＋y,2)))eq \s\up12(2)＝9＋42＝25， ∴>. 又∵>， ∴>>，即r>q>p. ∴2(a2＋b2)>(a＋b)2，∴eq \f(a2＋b2,2)>eq \f(（a＋b）2,4)， 4.设p＝eq \r(ab)，q＝eq \f(a＋b,2)，r＝eq \r(\f(a2＋b2,2))(b>a>0)，则下列关系式正确的是(　　) B中，y＝eq \f(x,x2＋1)＝eq \f(1,x＋\f(1,x))≤eq \f(1,2\r(x·\f(1,x)))＝eq \f(1,2)，当且仅当x＝eq \f(1,x)，即x＝1时取等号，正确； A.y＝x＋eq \f(4,x)的最小值为4 B.y＝eq \f(x,x2＋1)(x>0)的最大值为eq \f(1,2) C.y＝x－1＋eq \f(1,x＋1)(x>－1)的最小值为0 D.y＝eq \r(x2＋4)＋eq \f(1,\r(x2＋4))的最小值为2 D中，当eq \r(x2＋4)＝eq \f(1,\r(x2＋4))时，x无解，故取不到2，错误. ≥2eq \r(（x＋1）·\f(1,x＋1))－2＝0，当且仅当x＋1＝eq \f(1,x＋1)， C中，y＝x－1＋eq \f(1,x＋1)＝x＋1＋eq \f(1,x＋1)－2 所以xy＝(2x·3y)≤· ＝×＝， 当且仅当2x＝3y，即x＝eq \f(3,2)，y＝1时，xy取到最大值eq \f(3,2). eq \f(a2＋b2,2)＝eq \f(2（a2＋b2）,4)＝eq \f(（a2＋b2）＋（a2＋b2）,4) ≥eq \f(a2＋b2＋2ab,4)＝eq \f(（a＋b）2,4)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))eq \s\up12(2)，可知②正确； 当a＝b＝－1时，eq \f(a＋b,2)＝－1，eq \f(ab,a＋b)＝－eq \f(1,2)，可知③不正确； ①eq \f(a2＋b2,2)≥ab；②eq \f(a2＋b2,2)≥eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))eq \s\up12(2)；③eq \f(a＋b,2)≥eq \f(ab,a＋b)；④eq \f(a,b)＋eq \f(b,a)≥2.其中恒成立的是________(填序号). 解析　eq \f(（x＋10）（x＋2）,x＋1)＝eq \f(（x＋1＋9）（x＋1＋1）,x＋1) ＝ ＝(x＋1)＋＋10， 当且仅当x＋1＝eq \f(9,x＋1)，即x＝2时，等号成立. ∴(x＋1)＋eq \f(9,x＋1)＋10≥2eq \r(（x＋1）·\f(9,x＋1))＋10＝16， 8.已知x>－1，则eq \f(（x＋10）（x＋2）,x＋1)的最小值为________. eq \f(b2,a)＋a≥2eq \r(\f(b2,a)·a)＝2beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(当且仅当\f(a2,b)＝a，即a＝b时等号成立))， ∴＋b＋＋a≥2a＋2b， ∴eq \f(a2,b)＋eq \f(b2,a)≥a＋b(当且仅当a＝b时等号成立). 证明　∵a，b>0，∴eq \f(a2,b)＋b≥2eq \r(\f(a2,b)·b)＝2aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(当且仅当\f(a2,b)＝b，即a＝b时等号成立))， 三、解答题 9.已知a>0，b>0，求证：eq \f(a2,b)＋eq \f(b2,a)≥a＋b. 当且仅当x＋eq \f(1,2)＝eq \f(1,x＋\f(1,2))，即x＝eq \f(1,2)时，等号成立. 证明　∵x>0，∴x＋eq \f(1,2)>0，x＋eq \f(2,2x＋1)＝x＋eq \f(1,x＋\f(1,2))＝x＋eq \f(1,2)＋eq \f(1,x＋\f(1,2))－eq \f(1,2)≥2eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,2)))·\f(1,x＋\f(1,2)))－eq \f(1,2)＝eq \f(3,2). 10.设x>0，求证：x＋≥. 当且仅当a＝b＝eq \f(\r(2),2)时，等号成立，A成立； (a＋b)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)＋\f(1,b)))＝2＋eq \f(b,a)＋eq \f(a,b)≥2＋2eq \r(\f(b,a)·\f(a,b))＝4， A.a＋b＋eq \f(1,\r(ab))≥2eq \r(2) B.(a＋b)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)＋\f(1,b)))≥4 C.eq \f(a2＋b2,\r(ab))≥2eq \r(ab) D.eq \f(2ab,a＋b)>eq \r(ab) 解析　a＋b＋eq \f(1,\r(ab))≥2eq \r(ab)＋eq \f(1,\r(ab))≥2eq \r(2)， ∴≤1，≤， ∵a2＋b2≥2ab>0，∴≥2， ∵a＋b≥2，且a，b>0， 2＝， ∵0<<， ∴4x(3－2x)的最大值为. 当且仅当2x＝3－2x，即x＝eq \f(3,4)时，等号成立. 13.(1)设0<x<eq \f(3,2)，求4x(3－2x)的最大值； 解　(a－c) ＝(a－b＋b－c) ＝1＋1＋＋. ∴(a－c)的最小值为4. ∴2＋eq \f(b－c,a－b)＋eq \f(a－b,b－c)≥2＋2eq \r(\f(b－c,a－b)·\f(a－b,b－c))＝4， (2)已知a>b>c，求(a－c)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a－b)＋\f(1,b－c)))的最小值. 故由x＋y＋＋＝4，可得x＝y＝1； 又(x＋y)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)＋\f(1,y)))＝2＋eq \f(y,x)＋eq \f(x,y)≥2＋2eq \r(\f(y,x)·\f(x,y))＝4， 14.已知x＞0，y＞0，判断“x＋y＋eq \f(1,x)＋eq \f(1,y)＝4”是“(x＋y)·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)＋\f(1,y)))＝4”的什么条件？并说明理由. 因为x＋y＋eq \f(1,x)＋eq \f(1,y)≥2eq \r(x·\f(1,x))＋2eq \r(y·\f(1,y))＝4， 故“x＋y＋eq \f(1,x)＋eq \f(1,y)＝4”是“(x＋y)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)＋\f(1,y)))＝4”的充分条件但不是必要条件. 故由(x＋y)＝4，可得x＝y， 1.牢记2个不等式 (1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)；(2)≥(a，b≥0). 2.掌握两个注意点 (1)两个不等式a2＋b2≥2ab①与≥，②都是带有等号的不等式，对于“当且仅当…时，取‘＝’”这句话的含义要有正确的理解.①中，a＝b(a，b∈R)⇔a2＋b2＝2ab，②中，a＝b(a，b≥0)⇔＝. (2)在利用基本不等式证明的过程中，常需要把数、式合理地拆成两项或多项或恒等地变形配凑成适当的数、式，以便于利用基本不等式. $$