精品解析：四川省遂宁市第六中学2024-2025学年九年级上学期10月月考数学试题

遂宁六中2024~2025学年度上期第一学段素质监测 九年级年级数学试卷 说明：本试卷分选择题和非选择题两部分． 第Ⅰ卷（选择题） 1至 2页， 第Ⅱ卷（非选择题） 3至 4页，共 4页，满分 150分，考试时间 120分钟． 注意事项： 1．答题前，务必将自己的姓名、班级填写在答题卷规定的位置上，并在准考证号区域填涂上自己的考号． 2．答选择题时，务必使用2B铅笔规范的填涂正确选项． 3．答非选择题时，必须使用 0．5 毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卷规定的位置上． 4．考试结束后，只将答题卷交回． 第Ⅰ卷（选择题， 共 54分） 一、选择题（本大题共18小题，每小题3分，共54分．） 1. 下列方程为一元二次方程的是（ ） A. x+2y＝1 B. x2﹣2＝0 C. x＝2x3+3 D. 3x+＝1 【答案】B 【解析】 【分析】根据一元二次方程的概念：只含有一个未知数，且未知数的最高次幂为2次的整式方程即可求解． 【详解】解：选项A：x+2y＝1为二元一次方程，故选项A错误； 选项B：x2﹣2＝0为一元二次方程，符合题意； 选项C：未知数的最高次幂为3次，故选项不是一元二次方程，选项C错误； 选项D：3x+＝1不是整式方程，故选项D错误； 故选：B． 【点睛】本题考查了一元二次方程的概念，属于基础题，熟练掌握一元二次方程的概念是解题的关键． 2. 式子有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据二次根式被开方数为非负数，列不等式求解即可． 【详解】解：∵二次根式有意义的条件是被开方数为非负数，式子的被开方数为， ∴， 解得． 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次根式的加减乘除运算法则进行计算． 【详解】解：以及无法进行计算， 故选项A、B错误； ，故选项C错误； ，故选项D正确． 故选：D． 【点睛】本题主要考查二次根式的运算法则，熟练掌握运算法则是解题的关键． 4. 下列二次根式中，属于最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了最简二次根式．根据最简二次根式的定义“被开方数中不含有开方不尽的因数或因式”化简判断即可． 【详解】解：因为，，， 所以、、都不是最简二次根式， 只有是最简二次根式， 故选：A． 5. 下列二次根式中，与是同类二次根式的是（ ）. A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先把选项的根式进行化简，然后根据同类二次根式进行判断即可. 【详解】A. ，与不是同类二次根式，故选项错误； B. ，与不是同类二次根式，故选项错误； C. ，与不是同类二次根式，故选项错误； D. ，与是同类二次根式，故选项正确； 故选D. 【点睛】本题考查同类二次根式定义，解题关键在于能够对选项进行化简. 6. 一元二次方程 + 3x + 5 = 0的根的情况是 （ ） A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 无实数根 D. 不能确定 【答案】C 【解析】 【分析】根据一元二次方程根的判别式直接进行排除选项即可． 【详解】解：由一元二次方程 + 3x + 5 = 0，可得： ， ∴一元二次方程无实数根； 故选：C． 【点睛】本题主要考查一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键． 7. 若方程 是关于x的一元二次方程，则m的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义，得到，求解判断即可． 【详解】方程 是关于x的一元二次方程， 所以， 解得． 故选C． 【点睛】本题考查了一元二次方程的定义即形如，熟练掌握定义是解题的关键． 8. 若y＝﹣3，则（x+y）2021等于（　　） A. 1 B. 5 C. ﹣5 D. ﹣1 【答案】D 【解析】 【分析】直接利用二次根式中的被开方数是非负数，进而得出x的值，进而得出y的值，再利用有理数的乘方运算法则计算得出答案． 【详解】解：由题意可得：x﹣2≥0且4﹣2x≥0， 解得：x＝2， 故y＝﹣3， 则（x+y）2021＝﹣1． 故选：D． 【点睛】此题主要考查了二次根式有意义的条件以及有理数的乘方运算，正确掌握被开方数的符号是解题关键． 9. 若和最简二次根式是同类二次根式，则m的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了同类二次根式的定义，注意：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫同类二次根式．根据同类二次根式的定义得，求出m的值即可． 【详解】解：由题意得：， ， 故选：B． 10. 已知1是关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+x+1=0的一个根，则m的值是（　　） A. 1 B. ﹣1 C. 0 D. 无法确定 【答案】B 【解析】 【分析】把x＝1代入方程，即可得到一个关于m的方程，即可求解． 【详解】解：根据题意得：（m﹣1）+1+1=0， 解得：m=﹣1． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了方程的解的定义，正确理解定义是关键． 11. 方程的解是（ ） A. B. C. ， D. 【答案】C 【解析】 【分析】直接根据一元二次方程的解法进行解答即可． 【详解】由可得：； 解得：； 故选C． 【点睛】本题主要考查一元二次方程的解法，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键． 12. 用配方法解方程时，原方程应变形为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】常数项-5移项后，应该在左右两边同时加上一次项系数4的一半的平方． 【详解】解：由原方程移项，得x2+4x=5， 等式的两边同时加上一次项系数一半的平方，得x2+4x+4=5+4， 配方得（x+2）2=9． 故选：C． 【点睛】本题考查了解一元二次方程--配方法．配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1. 13. 三角形两边的长是3和4，第三边的长是方程的根，则该三角形的周长为（ ） A. 14 B. 12 C. 12或14 D. 以上都不对 【答案】B 【解析】 【分析】解方程得x＝5或x＝7，由三角形三边满足的条件可知x＝7不合题意，x＝5符合题意，由此即可求得周长． 【详解】解：解方程x2−12x＋35＝0 得x＝5或x＝7， 又3＋4＝7， 故长度为3，4，7的线段不能组成三角形， ∴x＝7不合题意， ∴三角形的周长为3＋4＋5＝12． 故选：B． 【点睛】本题考查一元二次方程的解，三角形三边满足的条件，解题关键是掌握三角形三边满足的条件． 14. 关于x的一元二次方程的根的判别式等于，则的值是( ) A. B. C. D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意列出方程，求得的值，根据一元二次方程的解取舍即可求解． 【详解】解：∵一元二次方程的根的判别式等于， ∴，且， 整理得：， 解得：或． 故选：D． 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，解一元二次方程，根据题意列出方程是解题的关键． 15. 已知一元二次方程x2﹣10x＋24＝0的两个根是菱形的两条对角线长，则这个菱形的面积为（ ） A. 6 B. 10 C. 12 D. 24 【答案】C 【解析】 【分析】利用因式分解法求出已知方程的解确定出菱形两条对角线长，进而求出菱形面积即可． 【详解】解：方程x2﹣10x＋24＝0， 分解得：（x﹣4）（x﹣6）＝0， 可得x﹣4＝0或x﹣6＝0， 解得：x＝4或x＝6， ∴菱形两对角线长为4和6， 则这个菱形的面积为×4×6＝12． 故选：C． 【点睛】此题考查了求解一元二次方程和菱形的面积公式，难度一般． 16. 若α，β是方程x2+2x﹣2021＝0的两个实数根，则α2+3α+β的值为（　　） A. 2021 B. 2019 C. ﹣2021 D. 4042 【答案】B 【解析】 【分析】根据一元二次方程的根与系数关系α+β=解答即可． 【详解】解：∵α，β是方程x2+2x﹣2021＝0的两个实数根， ∴α+β=－2，α2+2α﹣2021＝0，即α2+2α=2021， ∴α2+3α+β=α2+2α+α+β=2021－2=2019， 故选：B． 【点睛】本题考查代数式求值、一元二次方程的解、一元二次方程的根与系数关系，熟记一元二次方程的根与系数关系α+β=是解答的关键． 17. 若，则a的取值范围是（　　） A. a>0 B. a<0 C. a≥0 D. a≤0 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次根式的非负性可知，即，从而得出． 【详解】∵， ∴，即 ∴． 故选D． 【点睛】本题考查二次根式的非负性，根据二次根式的性质化简，掌握二次根式的非负性是解题的关键． 18. 如图是一个按某种规律排列的数阵： 根据数阵排列的规律，第n（n是整数，且n≥4）行从左向右数第（n-3）个数是（用含n的代数式表示）（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】观察数阵排列，可发现各数的被开方数是从1开始的连续自然数，行数中的数字个数是行数的2倍，求出n-1行的数字个数，再加上从左向右的第n-3个数，就得到所求数的被开方数，再写成算术平方根的形式即可． 【详解】由图中规律知，前（n-1）行的数据个数为2+4+6+…+2（n-1）＝n（n-1）， ∴第n（n是整数，且n≥4）行从左向右数第（n-3）个数的被开方数是：n（n-1）+n-3＝n2-3， ∴第n（n是整数，且n≥4）行从左向右数第（n-3）个数是： 故选：C． 【点睛】本题考查了数字规律的知识；解题的关键是熟练掌握数字规律、二次根式的性质，从而完成求解． 第Ⅱ卷（ 非选择题， 共 96 分） 二、填空题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分） 19. 化简：__________． 【答案】3. 【解析】 【分析】直接逆用二次根式的乘法公式进行化简即可； 【详解】解：原式==3. 故答案为 3. 【点睛】本题考查二次根式的化简，解题关键是熟练掌握二次根式的性质以及二次根式的乘法． 20. 方程x2﹣2(3x﹣2)+(x+1)=0的一般形式是______． 【答案】x2﹣5x+5=0 【解析】 【分析】首先利用整式是乘法法则去括号，然后移项、合并同类项，最后就可以得到方程的一般形式． 【详解】由x2﹣2(3x﹣2)+(x+1)=0，得:x2﹣6x+4+x+1=0， 整理，得:x2﹣5x+5=0． 故答案是：x2﹣5x+5=0． 【点评】本题主要考查了一元二次方程的一般形式，其中一般形式为ax2+bx+c=0(a，b，c是常数且a≠0)特别要注意a≠0的条件． 21. 若代数式有意义，则的取值范围为_____________． 【答案】且 【解析】 【分析】根据分式和二次根式有意义的条件确定x的取值范围即可． 【详解】解：由题意，得：， 解得：且； 故答案为：且 【点睛】本题考查分式成立的条件及二次根式有意义的条件，掌握分母不能为0和被开方数不能为负数是本题的解题关键． 22. 已知代数式x2－4与代数式x2的值互为相反数，那么x的值为______． 【答案】± 【解析】 【分析】根据相反数的性质列出关于x的方程，再利用直接开平方法求解可得． 【详解】根据题意 整理得 X=± 【点睛】本题考查相反数及解二元一次方程，熟练掌握计算法则是解题关键. 23. 实数在数轴上如图所示，化简：_____． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查代数式化简，熟练掌握绝对值和二次根式的化简是解题的关键，根据数轴得到的取值范围，从而得到，，再进行化简即可得到答案． 【详解】解：由数轴可得：， ∴，， ∴， 故答案为：1． 24. 已知，则________． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用．设，由题意得，解一元二次方程即可求解． 【详解】解：设，且， 由题意得， 整理得，即， ∴， 解得（舍去），， ∴， 故答案为：2． 25. 若非零实数m，n满足是，则的值是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数关系．根据已知判断出m，n是方程的两实数根，然后利用根与系数关系即可求解． 【详解】解：∵非零实数m，n满足是， ∴m，n是方程的两实数根， ∴，， ∴， 故答案为：． 26. 已知关于x的方程的解是，则关于x的方程的解是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程及方程的解的定义，由两个方程的结构特点进行简便计算是解题关键．把后面方程中的看作整体，相当于前面方程中的，据此求解即可． 【详解】解：关于x的方程的解是， 方程可变形为， 此方程中或， 解得：． 故答案为：． 27. 已知，则= ________ 【答案】 【解析】 【分析】 【详解】∵ ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴ 答案 -2 28. 定义，如果一元二次方程满足，那么我们称这个方程为“龙泉师一”方程．已知方程是“龙泉师一”方程，且有两个相等的实数根，则下列结论：①②③④，正确的是___________．（填序号） 【答案】② 【解析】 【分析】此题考查了根的判别式，以及一元二次方程的解，由方程有两个相等的实数根得到，再由，把表示出代入根的判别式中，变形后即可得到． 【详解】解：方程有两个相等实数根，且， ，， 将代入得：， ， 故答案为：②． 三、解答题（共66分） 29. 计算 （1）； （2）； （3）． 【答案】（1）15 （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了实数及二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法法则、零指数幂和负整数指数幂是解决问题的关键． （1）利用二次根式的乘除运算法则计算即可； （2）利用二次根式的运算法则及平方差公式计算即可； （3）先根据绝对值、有理数的乘方零指数幂和负整数指数幂的意义计算，然后合并即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ； 【小问3详解】 解： ． 30. 解方程： （1） （2）； （3） （4） （5） 【答案】（1），； （2），； （3），； （4），； （5），． 【解析】 【分析】本题主要考查解一元二次方程，掌握直接开平方法，因式分解法，公式法是解题的关键． （1）用直接开平方法，即可求解； （2）将方程左边进行因式分解，化为，得到或，再解一元一次方程即可求解； （3）将方程左边进行因式分解，化为，得到或，再解一元一次方程即可求解； （4）先整理，再求，，，，由求根公式，进行求解即可； （5）先整理，再求，，，，由求根公式，进行求解即可． 【小问1详解】 解：， 开方得， ，； 【小问2详解】 解：， 因式分解得， 或， ，； 【小问3详解】 解：， 因式分解得， 或， ，； 【小问4详解】 解：整理得， ，，， ， ， ，； 【小问5详解】 解：， 整理得， ，，， ， ， ，． 31. 先化简，再求值：，其中 【答案】， 【解析】 【分析】此题考查了分式的化简求值、二次根式的化简等知识．先根据得到，再把原式进行化简得到，把代入求值即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ， 当时， 原式 32. 已知关于x的方程 有两个不相等的实数根． （1）求k的取值范围； （2）是否存在实数k，使此方程的两个实数根的倒数和等于 0？ 若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）且 （2）不存在； 假设存在，设方程的两根分别为、，则，， ， ， ∵且， 不符合题意，舍去． 假设不成立，即不存在实数k，使方程的两个实数根的倒数和等于0． 【解析】 【分析】本题考查了根的判别式以及根与系数的关系，解题的关键是：（1）根据二次项系数非零结合根的判别式，找出关于k的一元一次不等式组；（2）根据根与系数的关系结合，列出关于k的方程； （1）由二次项系数非零及根的判别式，即可得出关于k的一元一次不等式组，解之即可得出k的取值范围； （2）假设存在，设方程的两根分别为、，根据根与系数的关系结合，即可得出关于k的方程，解之即可得出k的值，再根据（1）的结论即可得出不存在实数k，使方程的两个实数根的倒数和等于0． 【小问1详解】 解：关于的方程有两个不相等的实数根， ， 解得：且． 【小问2详解】 略 33. 我们已经学习了利用配方法解一元二次方程，其实配方法还有其他重要应用．例如：已知可取任何实数，试求二次三项式的最小值． 解：； 无论取何实数，都有， ，即的最小值为． （1）请求出的最值 （2）如图，在四边形中，，若，求四边形的面积最大值． 【答案】（1）的最大值为3； （2）四边形的面积最大值为． 【解析】 【分析】本题考查了配方法的应用．利用配方法把二次式变形为一个完全平方式和常数的和是解题的关键． （1）利用配方法把变形为，然后根据非负数的性质确定代数式的最小值； （2）利用三角形面积公式得到四边形的面积的代数式，再利用配方法将四边形的面积的代数式改写成一个完全平方式和常数的和的形式，然后根据非负数的性质即可解答． 【小问1详解】 解： ， 无论取何实数，都有， ，即的最大值为3； 【小问2详解】 解：， 四边形的面积， ， ， 四边形的面积 ． ， 当时，四边形的面积最大，最大值为． 34. 阅读材料．材料：若一元二次方程的两个根为，，则，． （1）材料理解：一元二次方程的两个根为，，则________，________． （2）类比探究：已知实数，满足，，且，求的值． （3）思维拓展：已知实数，分别满足，，且，求的值． 【答案】（1）； （2） （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程解的定义，分式的求值： （1）根据根与系数的关系求解即可； （2）由题意得出，可看作方程的两个根，据此知，，再根据进行代值计算即可； （3）先求出，进而得到可以看做是关于x的一元二次方程的两个实数根，则由根与系数的关系和方程解的定义得到，，，即，再根据进行求解即可． 【小问1详解】 解：∵一元二次方程的两个根为，， ∴，， 故答案为：；； 【小问2详解】 解：∵，，且， ∴，可看作方程的两个根， ∴，， ∴ ； 【小问3详解】 解：当时，， ∴， ∴，即， ∵，且， ∴可以看做是关于x的一元二次方程的两个实数根， ∴，，， ∴ ∴ ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 遂宁六中2024~2025学年度上期第一学段素质监测 九年级年级数学试卷 说明：本试卷分选择题和非选择题两部分． 第Ⅰ卷（选择题） 1至 2页， 第Ⅱ卷（非选择题） 3至 4页，共 4页，满分 150分，考试时间 120分钟． 注意事项： 1．答题前，务必将自己的姓名、班级填写在答题卷规定的位置上，并在准考证号区域填涂上自己的考号． 2．答选择题时，务必使用2B铅笔规范的填涂正确选项． 3．答非选择题时，必须使用 0．5 毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卷规定的位置上． 4．考试结束后，只将答题卷交回． 第Ⅰ卷（选择题， 共 54分） 一、选择题（本大题共18小题，每小题3分，共54分．） 1. 下列方程为一元二次方程的是（ ） A. x+2y＝1 B. x2﹣2＝0 C. x＝2x3+3 D. 3x+＝1 2. 式子有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列二次根式中，属于最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 5. 下列二次根式中，与是同类二次根式的是（ ）. A. B. C. D. 6. 一元二次方程 + 3x + 5 = 0的根的情况是 （ ） A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 无实数根 D. 不能确定 7. 若方程 是关于x的一元二次方程，则m的值是（ ） A. B. C. D. 8. 若y＝﹣3，则（x+y）2021等于（　　） A. 1 B. 5 C. ﹣5 D. ﹣1 9. 若和最简二次根式是同类二次根式，则m的值为（ ） A. B. C. D. 10. 已知1是关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+x+1=0的一个根，则m的值是（　　） A. 1 B. ﹣1 C. 0 D. 无法确定 11. 方程的解是（ ） A. B. C. ， D. 12. 用配方法解方程时，原方程应变形为（　　） A. B. C. D. 13. 三角形两边的长是3和4，第三边的长是方程的根，则该三角形的周长为（ ） A. 14 B. 12 C. 12或14 D. 以上都不对 14. 关于x的一元二次方程的根的判别式等于，则的值是( ) A. B. C. D. 或 15. 已知一元二次方程x2﹣10x＋24＝0的两个根是菱形的两条对角线长，则这个菱形的面积为（ ） A. 6 B. 10 C. 12 D. 24 16. 若α，β是方程x2+2x﹣2021＝0的两个实数根，则α2+3α+β的值为（　　） A. 2021 B. 2019 C. ﹣2021 D. 4042 17. 若，则a的取值范围是（　　） A. a>0 B. a<0 C. a≥0 D. a≤0 18. 如图是一个按某种规律排列的数阵： 根据数阵排列的规律，第n（n是整数，且n≥4）行从左向右数第（n-3）个数是（用含n的代数式表示）（ ）． A. B. C. D. 第Ⅱ卷（ 非选择题， 共 96 分） 二、填空题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分） 19. 化简：__________． 20. 方程x2﹣2(3x﹣2)+(x+1)=0的一般形式是______． 21. 若代数式有意义，则的取值范围为_____________． 22. 已知代数式x2－4与代数式x2的值互为相反数，那么x的值为______． 23. 实数在数轴上如图所示，化简：_____． 24. 已知，则________． 25. 若非零实数m，n满足是，则的值是______． 26. 已知关于x的方程的解是，则关于x的方程的解是_______． 27. 已知，则= ________ 28. 定义，如果一元二次方程满足，那么我们称这个方程为“龙泉师一”方程．已知方程是“龙泉师一”方程，且有两个相等的实数根，则下列结论：①②③④，正确的是___________．（填序号） 三、解答题（共66分） 29. 计算 （1）； （2）； （3）． 30. 解方程： （1） （2）； （3） （4） （5） 31. 先化简，再求值：，其中 32. 已知关于x的方程 有两个不相等的实数根． （1）求k的取值范围； （2）是否存在实数k，使此方程的两个实数根的倒数和等于 0？ 若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由． 33. 我们已经学习了利用配方法解一元二次方程，其实配方法还有其他重要应用．例如：已知可取任何实数，试求二次三项式的最小值． 解：； 无论取何实数，都有， ，即的最小值为． （1）请求出的最值 （2）如图，在四边形中，，若，求四边形的面积最大值． 34. 阅读材料．材料：若一元二次方程的两个根为，，则，． （1）材料理解：一元二次方程的两个根为，，则________，________． （2）类比探究：已知实数，满足，，且，求的值． （3）思维拓展：已知实数，分别满足，，且，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $