精品解析：辽宁省营口市第一中学2024—-2025学年上学期10月月考九年级数学试卷

营口市第一中学 质量检测考试 九年级 数学试卷 （考试时间：90分钟 满分：120分） 一、选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1. 下列方程中，属于一元二次方程是（ ） A. B. C. D. 2. 二次函数的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 3. 将一元二次方程化成（a，b为常数）的形式，则a，b的值分别是（ ） A. ，21 B. ，11 C. 4，21 D. ，69 4. 对于二次函数，下列说法错误的是（ ） A. 其最小值为2 B. 其图象与y轴没有公共点 C. 当时，y随x的增大而减小 D. 其图象的对称轴是y轴 5. 是关于x的一元二次方程的一个根，则的值为（ ） A. 2021 B. 2022 C. 2023 D. 2024 6. 下列各图象中有可能是函数的图象（ ） A. B. C. D. 7. 某班同学毕业时，都将自己的照片向本班其他同学送一张留念，全班一共送了张，如果全班有名同学，根据题意，列出方程为(　　) A. B. C. D. 8. 已知二次函数的图像上有三点A（1，），B（2，），C（-2，），则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 9. 抛物线与坐标轴的交点个数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 10. 已知二次函数的图象如图所示，对称轴为．下列结论中，正确的是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（共5小题，满分15分，每小题3分） 11. 已知关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则__________． 12. 将抛物线向上平移1个单位长度，再向右平移3个单位长度，得到抛物线解析式为___________． 13. 已知，是方程的两根，则___________ 14. 抛物线与轴交点的纵坐标为 ___________ 15. 如图，抛物线与轴负半轴交于点，点为线段上一动点，点的坐标为，连接，以为底边向右侧作等腰直角，若点恰好在抛物线上，则长为___________． 三、解答题（共3小题，16题8分，17题5分，18题5分，19题6分，满分24分） 16. 解方程 （1）． （2）． 17. 若关于x的一元二次方程有实数根，求k的取值范围． 18. 过原点的二次函数顶点为，求该抛物线解析式 19. 为进一步发展基础教育，自年以来，某县加大了教育经费的投入，年该县投入教育经费万元．年投入教育经费万元．假设该县这两年投入教育经费的年平均增长率相同．求这两年该县投入教育经费的年平均增长率． 四、解答题（共3小题，20、21题9分，22题8分，满分26分） 20. 如图，直线和抛物线都经过点． （1）求m的值和抛物线的解析式； （2）不等式的解集为___________ （3）不等式的解集为___________． 21. 杂技团进行杂技表演，演员从跷跷板右端A处弹跳到人梯顶端椅子B处，其身体看成一点的路线是抛物线的一部分，如图所示． 求演员弹跳离地面的最大高度； 已知人梯高米，在一次表演中，人梯到起跳点A的水平距离是4米，问这次表演是否成功？请说明理由． 22. 某超市销售一种饮料，平均每天可售出100箱，每箱利润12元，为了扩大销售，增加利润，超市准备适当降价．据测算，每箱每降价1元，平均每天可多售出20箱．能否使每天销售该饮料获利达到1500元？若能，请求出每箱应降价多少元；若不能，请说明理由． 五、解答题（共2小题，2题12分，2题13分，满分25分） 23. 对抛物线，定义：点叫做该抛物线的焦点，直线叫做该抛物线的准线，且该抛物线上任意一点到焦点的距离与它到准线的距离相等．运用上述材料解决以下问题：如图，已知抛物线的图象与x轴交于O，A两点，且过点． （1）求抛物线C的解析式和点A坐标； （2）若将抛物线C的图象向左平移4个单位，再向上平移4个单位得到抛物线D的图象． ①抛物线D的解析式为_______． ②设M为抛物线D上任意一点，轴于点N，求的最小值； 24. 抛物线：与x轴交于A、B两点，与y交于，且． （1）直接写出抛物线G的解析式：___________； （2）如图1，点在抛物线G上，点P是抛物线G上一个动点，且在直线的下方，过点P作x轴的平行线交直线于点Q，当线段取最大值时，求点P的坐标； （3）如图2，点N在y轴左侧的抛物线G上，且横坐标为，点M也在y轴左侧的抛物线G上，若，求点M的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 营口市第一中学 质量检测考试 九年级 数学试卷 （考试时间：90分钟 满分：120分） 一、选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1. 下列方程中，属于一元二次方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义逐个判断即可． 【详解】A. ，是二元一次方程，故本选项不符合题意； B. ，是一元二次方程，故本选项符合题意； C. ，整理得，是一元一次方程，故本选项不符合题意； D. ，是分式方程，不是整式方程，故本选项不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，能熟记一元二次方程的定义是解此题的关键，注意：只含有一个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是2的整式方程，叫一元二次方程． 2. 二次函数的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据顶点式的顶点坐标为，对照求二次函数的顶点坐标即可． 【详解】解：二次函数， 顶点坐标为， 故选：A． 【点睛】本题考查了利用二次函数的顶点式求顶点坐标，熟练掌握顶点式的顶点坐标为，是解题的关键，属于中考常考题型． 3. 将一元二次方程化成（a，b为常数）的形式，则a，b的值分别是（ ） A. ，21 B. ，11 C. 4，21 D. ，69 【答案】A 【解析】 【分析】根据配方法步骤解题即可． 【详解】解： 移项得， 配方得， 即， ∴a=-4，b=21． 故选：A 【点睛】本题考查了配方法解一元二次方程，解题关键是配方：在二次项系数为1时，方程两边同时加上一次项系数一半的平方． 4. 对于二次函数，下列说法错误的是（ ） A. 其最小值为2 B. 其图象与y轴没有公共点 C. 当时，y随x的增大而减小 D. 其图象的对称轴是y轴 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次函数的图像与性质即可判断． 【详解】A选项，已知二次函数的图象开口向上，故二次函数有最小值为2，正确； B选项，其图象与y轴交于点，错误； C、D选项，其图象的对称轴为y轴，开口方向向上，所以当时，y随x的增大而减小，C、D选项正确． 故选B． 【点睛】此题主要考查二次函数的图像与性质，解题的关键是熟知的图像与性质． 5. 是关于x的一元二次方程的一个根，则的值为（ ） A. 2021 B. 2022 C. 2023 D. 2024 【答案】C 【解析】 【分析】把代入一元二次方程，可得，再代入，即可求解． 【详解】解：∵是关于x的一元二次方程的一个根， ∴， ∴， ∴． 故选：C 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的解的定义，熟练掌握能使方程左右两边同时成立的未知数的值是方程的解是解题的关键． 6. 下列各图象中有可能是函数的图象（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】从和两种情况进行分析图象的开口方向和顶点坐标，选出正确的答案． 【详解】解：当时，开口向上，顶点在轴的正半轴； 当时，开口向下，顶点在轴的负半轴， 故选：． 【点睛】本题考查的是二次函数系数与图象的关系，熟练掌握二次函数的有关性质：开口方向、对称轴、顶点坐标与系数的关系是解题的关键． 7. 某班同学毕业时，都将自己的照片向本班其他同学送一张留念，全班一共送了张，如果全班有名同学，根据题意，列出方程为(　　) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】如果全班有名同学，那么每名同学要送出张，共有名学生，那么总共送的张数应该是张，即可列出方程． 【详解】解：全班有名同学， 每名同学要送出张； 又是互送照片，根据题意，列出方程为． 故选：C． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，计算全班共送多少张，首先确定一个人送出多少张是解题关键． 8. 已知二次函数的图像上有三点A（1，），B（2，），C（-2，），则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由抛物线解析式可知，抛物线的对称轴为x＝−1，图像开口向上，A、B两点在对称轴右边，y随x的增大而增大，故y1＜y2；A、B、C三点中，C点离对称轴最近，故y3最小． 【详解】解：由二次函数y＝3（x＋1）2−8可知，对称轴为x＝−1，开口向上， A（1，y1），B（2，y2）两点在对称轴右边，y随x的增大而增大， 由1＜2得y1＜y2， A、B、C三点中，C点离对称轴最近， y3最小，即， 故选：B． 【点睛】本题考查二次函数的增减性：当二次项系数a＞0时，在对称轴的左边，y随x的增大而减小，在对称轴的右边，y随x的增大而增大；a＜0时，在对称轴的左边，y随x的增大而增大，在对称轴的右边，y随x的增大而减小，熟练掌握二次函数增减性并灵活运用是解决问题的关键． 9. 抛物线与坐标轴的交点个数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】先计算自变量为0对应的函数值得到抛物线与轴的交点坐标，再解方程得抛物线与轴的交点坐标，从而可对各选项进行判断． 【详解】当时，，则抛物线与轴的交点坐标为， 当时，，解得，抛物线与轴的交点坐标为， 所以抛物线与坐标轴有2个交点． 故选C． 【点睛】本题考查了抛物线与轴的交点：把求二次函数是常数，与轴的交点坐标问题转化为解关于的一元二次方程． 10. 已知二次函数的图象如图所示，对称轴为．下列结论中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由抛物线开口方向得到a>0，由对称轴得到b=a>0，由抛物线与y轴的交点得到c<0，则abc<0；a+b>0；当x=1时，y<0，则a+b+c<0，把a=b代入得2b+c<0；根据抛物线的对称性得到抛物线与x轴的另一个交点的横坐标小于-2，则x=-2时，y<0，所以4a-2b+c<0，即4ab+c<2b． 【详解】解：∵抛物线的开口向上，∴，∵对称轴是直线，代入对称轴公式得：，所以，抛物线与轴交点在负半轴上，故，∴abc＜0；a+b＞0； 由此可知A项和B项错误； 观察图形，当时，对应点的纵坐标为负，代入函数得，，即，知C项错误； 观察图形，横轴上的数字1所在位置介于对称轴和抛物线与轴的交点之间，根据对称性，横轴上的数字应介于对称轴和抛物线与轴另一交点之间，即当时，函数值为负，代入函数式得，，故D项正确． 故选：D 【点睛】本题考查了二次函数的图象与系数的关系:二次函数的图象为抛物线，当a>0，抛物线开口向上，对称轴为直线x=-，抛物线与y轴的交点坐标为(0,c)；当-4ac>0,抛物线与x轴有两个交点;当-4ac=0,抛物线与x轴有一个交点;当- 4ac<0，抛物线与x轴没有交点． 二、填空题（共5小题，满分15分，每小题3分） 11. 已知关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】利用判别式的意义得到，然后解关于c的方程即可． 【详解】∵，，， 根据题意得， 解得， 故答案为：． 【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程（）的根与有如下关系：当＞0时，方程有两个不相等的实数根；当=0时，方程有两个相等的实数根；当＜0时，方程无实数根． 12. 将抛物线向上平移1个单位长度，再向右平移3个单位长度，得到抛物线解析式为___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据“左加右减、上加下减”的平移规律进行解答即可． 【详解】解：抛物线向上平移1个单位长度，得到抛物线的解析式为， 再向右平移3个单位长度，得到抛物线解析式为． 故答案为：． 【点睛】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，解题的关键是熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减． 13. 已知，是方程的两根，则___________ 【答案】3 【解析】 【分析】直接利用根与系数的关系求解． 【详解】解：中，，，， ，是方程的两根， ， 故答案为：3． 【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系，熟记根与系数的关系是解题关键． 14. 抛物线与轴交点的纵坐标为 ___________ 【答案】 【解析】 【分析】将代入解析式求出y值即可． 【详解】解：将代入，得：， 与轴交点的纵坐标为． 故答案为：． 【点睛】本题考查二次函数图象与纵坐标轴的交点，解题的关键是掌握轴上的点的横坐标为0． 15. 如图，抛物线与轴负半轴交于点，点为线段上一动点，点的坐标为，连接，以为底边向右侧作等腰直角，若点恰好在抛物线上，则长为___________． 【答案】5 【解析】 【分析】过点C作轴于点E，交的延长线于点F，设点，证明，推出，，进而求出点C的坐标，即可求出的长度． 【详解】解：由已知得， 令，解方程， 得：，， 点A的坐标为． 如图，过点C作轴于点E，过点D作交的延长线于点F，设点， 是等腰直角三角形， ，， 轴，， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ，， ， 即， 解得，， 点C在点的右侧， ， ， 点C的坐标为， ， 点B的横坐标为， 的长度为， 故答案为：5． 【点睛】本题考查了二次函数的图像和性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，坐标与图形，解题的关键是掌握所学的知识，正确作出辅助线，从而进行解题． 三、解答题（共3小题，16题8分，17题5分，18题5分，19题6分，满分24分） 16. 解方程 （1）． （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据公式法解一元二次方程，即可求解； （2）根据因式分解法解一元二次方程，即可求解． 【小问1详解】 解：， ∴，， ∴， 解得：； 【小问2详解】 解：， ∴， ∴或， 解得：． 【点睛】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． 17. 若关于x的一元二次方程有实数根，求k的取值范围． 【答案】且 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义以及一元二次方程的根的判别式，即可求解． 【详解】解：是一元二次方程， ， ． 有实数根， ， 解得， k的取值范围为且． 【点睛】本题考查一元二次方程的定义以及一元二次方程的根的判别式，解题的关键是掌握一元二次方程中，二次项的系数不能为0；时，方程有实数根． 18. 过原点的二次函数顶点为，求该抛物线解析式 【答案】 【解析】 【分析】设抛物线解析式为，将点代入，即可求解． 【详解】解：依题意，设抛物线解析式为，将点代入，得 解得：， ∴抛物线解析式为， 即 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，熟练掌握待定系数法求解析式是解题的关键． 19. 为进一步发展基础教育，自年以来，某县加大了教育经费的投入，年该县投入教育经费万元．年投入教育经费万元．假设该县这两年投入教育经费的年平均增长率相同．求这两年该县投入教育经费的年平均增长率． 【答案】该县投入教育经费的年平均增长率为20% 【解析】 【分析】设该县投入教育经费的年平均增长率为x，根据2014年该县投入教育经费6000万元和2016年投入教育经费8640万元列出方程，再求解即可； 【详解】解：设该县投入教育经费的年平均增长率为x，根据题意得： 6000（1+x）2=8640 解得：x1=0.2=20%，x2=-2.2（不合题意，舍去）， 经检验，x=20%符合题意， 答：该县投入教育经费的年平均增长率为20%； 【点睛】此题考查了一元二次方程的应用，掌握增长率问题是本题的关键，若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a（1±x）2=b． 四、解答题（共3小题，20、21题9分，22题8分，满分26分） 20. 如图，直线和抛物线都经过点． （1）求m的值和抛物线的解析式； （2）不等式的解集为___________ （3）不等式的解集为___________． 【答案】（1） （2）或 （3）或 【解析】 【分析】（1）分别把点代入直线和抛物线，利用待定系数法解得； （2）根据图象可知，的图象上的范围是或，即为不等式解集； （3）根据图象可知，的图象上的范围是或，即为不等式解集； 【小问1详解】 解：把点分别代入直线和抛物线得： 所以； 【小问2详解】 令中，解得：或， 二次函数开口向上， 由图可知当时，解集为：或； 【小问3详解】 直线和抛物线交点是点． 由图可知：时， 解得：或． 【点睛】主要考查了用待定系数法求函数解析式和二次函数的图象的性质．要具备读图的能力． 21. 杂技团进行杂技表演，演员从跷跷板右端A处弹跳到人梯顶端椅子B处，其身体看成一点的路线是抛物线的一部分，如图所示． 求演员弹跳离地面的最大高度； 已知人梯高米，在一次表演中，人梯到起跳点A的水平距离是4米，问这次表演是否成功？请说明理由． 【答案】(1) ； （2）能成功； 当x=4时，y=-×42+3×4+1=3.4=BC， 所以这次表演成功． 【解析】 【分析】（1）将抛物线解析式整理成顶点式，可得最大值，即为最大高度； （2）将x=4代入抛物线解析式，计算函数值是否等于3.4进行判断. 【详解】(1)y=-x2+3x+1=-+ ∵-＜0， ∴函数的最大值是． 答：演员弹跳的最大高度是米． （2）略 (2) 【点睛】此题将用待定系数法求二次函数解析式、动点问题和最小值问题相结合，考查了同学们的应变能力和综合思维能力，是一道好题． 22. 某超市销售一种饮料，平均每天可售出100箱，每箱利润12元，为了扩大销售，增加利润，超市准备适当降价．据测算，每箱每降价1元，平均每天可多售出20箱．能否使每天销售该饮料获利达到1500元？若能，请求出每箱应降价多少元；若不能，请说明理由． 【答案】 不能，理由如下： 设每箱饮料降价x元，若每天销售该饮料获利达到1500元，则： ， 整理，得：， ， 该方程无实数根， 即不能使每天销售该饮料获利达到1500元． 【解析】 【分析】设每箱饮料降价x元，则商场日销售量箱，每箱利润为元，由此列一元二次方程，判断方程是否有解即可． 【详解】略 【点睛】本题考查了一元二次方程在实际生活中的应用，正确列出一元二次方程是解题的关键． 五、解答题（共2小题，2题12分，2题13分，满分25分） 23. 对抛物线，定义：点叫做该抛物线的焦点，直线叫做该抛物线的准线，且该抛物线上任意一点到焦点的距离与它到准线的距离相等．运用上述材料解决以下问题：如图，已知抛物线的图象与x轴交于O，A两点，且过点． （1）求抛物线C的解析式和点A坐标； （2）若将抛物线C的图象向左平移4个单位，再向上平移4个单位得到抛物线D的图象． ①抛物线D的解析式为_______． ②设M为抛物线D上任意一点，轴于点N，求的最小值； 【答案】（1）， （2）①；② 【解析】 【分析】（1）把点代入，待定系数法求解析式，令，解方程，即可求得点的坐标； （2）①根据二次函数的平移规律，得出解析式即可求解； ②设抛物线的焦点为，延长交直线于点，连结、，交抛物线于点，由抛物线焦点和准线的性质可得，可知，又，故当点与点重合时，的值最小，由勾股定理可得的最小值，即可求解． 【小问1详解】 解：把代入得： ， 解得：， 抛物线的解析式为， 在中，令得或， ； 【小问2详解】 ①解：根据题意，抛物线解析式为 故答案为：． ②， 抛物线的焦点为，，准线为， 设抛物线的焦点为，延长交直线于点，连结、，交抛物线于点，如图： 由抛物线焦点和准线的性质可得， ， ， ； ， 当点与点重合时，的值最小， 此时的值最小． ，，， ， ， 的最小值为． 【点睛】本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法，新定义等知识，解题的关键是读懂新定义，能熟练应用抛物线上任意一点到焦点的距离与它到准线的距离相等解决问题． 24. 抛物线：与x轴交于A、B两点，与y交于，且． （1）直接写出抛物线G的解析式：___________； （2）如图1，点在抛物线G上，点P是抛物线G上一个动点，且在直线的下方，过点P作x轴的平行线交直线于点Q，当线段取最大值时，求点P的坐标； （3）如图2，点N在y轴左侧的抛物线G上，且横坐标为，点M也在y轴左侧的抛物线G上，若，求点M的坐标． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据点C的坐标和可求得点A和点B的坐标，采用待定系数法可求得抛物线的解析式； （2）根据在抛物线上求得其坐标，再根据点求得直线的解析式，点P在抛物线上设其坐标为，过点P作x轴的平行线交直线于点Q可求得Q点坐标，此时可用点的坐标表示线段的长度并求得取最大值，可解的对应P点坐标； （3）根据点N在y轴左侧的抛物线G上，且横坐标为求得其坐标值，点M在y轴左侧的抛物线G上，设，再设直线CM的解析式为将点、代入求得直线CM的解析式为，过点N作轴则点，求得的长度，利用三角形等面积公式求得m的值． 【小问1详解】 解：∵点在直线上，且， ∴，， 又∵抛物线：关于y轴对称， ∴，， ∴得 那么抛物线G的解析式： 【小问2详解】 ∵在抛物线上， ∴得则， 直线的过原点，设解析式为，将点得， ∵点P在抛物线上 ∴设其坐标为， 又∵ ∴点， ∴ ∴当时，PQ取得最大值，此时， 【小问3详解】 ∵点N在y轴左侧的抛物线G上，且横坐标为， ∴ 又∵点M在y轴左侧的抛物线G上， ∴设， 设直线的解析式为将点代入得， ∴得， ∴直线的解析式为， 如图过点N作轴，交于点E，则点， ∴ ∵解得或(舍去）， ∴点M的坐标． 【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，二次函数综合应用，结合三角形面积公式求对应点的坐标，解题的关键是要将三角形面积拆开并用点的相关坐标点表示，此题是二次函数部分的压轴题，题目较难，解题的关键要会用点的坐标表示线段长度． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $