精品解析：山东省济南市平阴县实验高级中学2024-2025学年高一上学期第一次阶段性检测（10月）数学试题

高一年级第一次阶段性检测 数学试题 考试范围：人教A版必修一第一、二章、第三章第一节；考试时间：120分钟，满分150分. 注意事项： 1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息； 2.请将答案填涂在答题卡上. 第I卷（选择题） 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 已知集合，，则（ ）． A. B. C. D. 2. 命题“”的否定是（ ） A. B. C. D. 3. 下列函数与函数是同一函数的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列命题为真命题的是（ ） A. ，当时， B. 集合与集合是相同的集合 C. 若，则 D. 所有的素数都是奇数 5. 若，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 6. 函数在上是增函数，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 使 “”成立的必要不充分条件是（ ） A. B. C. 或 D. 或 8. 设函数，.用表示，中的较大者，记为，则的最小值是（ ） A. 1 B. 3 C. 0 D. 二、多选题（本大题共3个小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，有选错的得0分.） 9. 已知，则下列结论中正确的有（ ） A. 若且，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 10. 设全集，集合，则下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 11. 已知关于的不等式解集为，则（ ） A. B. 不等式的解集为 C. D. 不等式的解集为 第II卷（非选择题） 三、填空题（本大题共3个小题，每小题5分，共15分.请将答案填在答题卡对应题号的位置.） 12. 函数定义域为___________. 13. 国庆期间，高一年级要求学生从三部影片《1921》《长津湖》《革命者》中至少观看一部.其中观看了《1921》的有51人，观看了《长津湖》的有60人，观看了《革命者》的有50人，数据如图，则______，______. 14. 某种物资实行阶梯价格制度，具体见下表： 阶梯 年用量(千克) 价格(元/千克) 第一阶梯 不超过10的部分 6 第二阶梯 超过10而不超过20的部分 8 第三阶梯 超过20的部分 10 则一户居民使用该物资的年花费y(元)关于年用量x(千克)的函数关系式为___________；若某户居民使用该物资的年花费为100(元)，则该户居民的年用量为___________千克. 四、解答题（本大题共5个小题，15小题13分，16、17小题每个15分，18、19小题每个17分，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 设全集为R，集合，． （1）分别求，； （2）已知，若，求实数a的取值范围． 16. 已知函数. （1）求； （2）画出函数的图象； （3）若，求的值. 17. 已知函数，且 . （1）求函数的解析式； （2）判断函数在区间上的单调性并用定义法加以证明. 18. 设. （1）若不等式对于一切实数恒成立，求实数的取值范围； （2）解关于的不等式. 19. 学习了不等式的内容后，老师布置了这样一道题： 已知，且，求的最小值． 李雷和韩梅梅两位同学都“巧妙地用了”，但结果并不相同． 李雷的解法：由于，所以，而．那么，则最小值为． 韩梅梅的解法：由于，所以，而，则最小值为． （1）你认为哪位同学的解法正确，哪位同学的解法有错误？（错误的需说明理由） （2）为巩固学习效果，老师布置了另外两道题，请你解决： （i）已知，且，求证：； （ii）已知，求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一年级第一次阶段性检测 数学试题 考试范围：人教A版必修一第一、二章、第三章第一节；考试时间：120分钟，满分150分. 注意事项： 1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息； 2.请将答案填涂在答题卡上. 第I卷（选择题） 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 已知集合，，则（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据交集定义直接得结果. 【详解】， 故选：D. 【点睛】本题考查集合交集概念，考查基本分析求解能力，属基础题. 2. 命题“”的否定是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】全称命题的否定是特称命题，具体否定方法：修改量词，否定结论. 【详解】因为原命题“”， 所以否定为“”， 故选：C. 3. 下列函数与函数是同一函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】定义域和对应关系均相同才是同一函数，从而对四个选项一一判断，得到答案. 【详解】对于A，，对应关系不同，与函数不是同一函数； 对于B，，与函数的定义域和对应关系都相同，所以它们是同一函数； 对于C，，对应关系不同，与函数不是同一函数； 对于D，，与函数的定义域不同，所以与函数不是同一函数. 故选：B 4. 下列命题为真命题的是（ ） A. ，当时， B. 集合与集合是相同的集合 C. 若，则 D. 所有的素数都是奇数 【答案】C 【解析】 【分析】通过举反例判断AD；根据集合的表示方法即可判断B；根据不等式的性质即可判断C． 【详解】对于A，当时，，故A错误； 对于B，，，所以，故B错误； 对于C，若，则，故C正确； 对于D，2是素数，但2是偶数，故D错误； 故选：C． 5. 若，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由，根据基本不等式，即可求出结果. 【详解】因为，所以，， 因此， 当且仅当，即时，等号成立. 故选：B. 6. 函数在上是增函数，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求二次函数的对称轴，再根据单调性列不等式即可求解. 【详解】函数的对称轴为，开口向下， 若在上是增函数， 则，可得， 所以的取值范围是， 故选：A. 7. 使 “”成立的必要不充分条件是（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】A 【解析】 【分析】解不等式，求得，根据必要不充分条件的定义即可得出结果. 【详解】不等式可化为解得 则成立，反之不可以. 所以是成立的必要不充分条件. 故选：A 8. 设函数，.用表示，中的较大者，记为，则的最小值是（ ） A. 1 B. 3 C. 0 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意作出的函数图象，根据函数图象求解出的最小值. 【详解】令，解得或， 作出的图象如下图所示： 由图象可知：当时，有最小值，此时， 故选：A. 【点睛】思路点睛：求解形如（或）的函数的最小值（或最大值）的步骤： （1）根据，先求解出两个图象交点的横坐标； （2）根据图象的相对位置对图象进行取舍，由此得到（或）的函数图象； （3）直接根据函数图象确定出最大值（或最小值）. 二、多选题（本大题共3个小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，有选错的得0分.） 9. 已知，则下列结论中正确的有（ ） A. 若且，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】举反例即可说明A；由不等式的性质，即可说明B；利用作差法即可判断C；根据配方法即可判断D． 【详解】对A：当时，结论不成立，故A错误； 对于B：因为，所以，所以故B正确； 对于C：， 因为，所以，所以，即，故C正确； 对于D：等价于，成立，故D正确； 故选：BCD． 10. 设全集，集合，则下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】化简集合M，N，计算，，，即可求解. 【详解】，， ，，故A,B正确； 或，， 或，，故C错误，D正确. 故选：ABD 11. 已知关于的不等式解集为，则（ ） A. B. 不等式的解集为 C. D. 不等式的解集为 【答案】BCD 【解析】 【分析】 根据已知条件得和是方程的两个实根，且，根据韦达定理可得，根据且,对四个选项逐个求解或判断可得解. 【详解】因为关于的不等式解集为， 所以和是方程的两个实根，且，故错误； 所以，，所以， 所以不等式可化为，因为，所以，故正确； 因为，又，所以，故正确； 不等式可化为，又， 所以，即，即，解得,故正确. 故选：BCD. 【点睛】利用一元二次不等式的解集求出参数的关系是解题关键.本题根据韦达定理可得所要求的关系，属于中档题. 第II卷（非选择题） 三、填空题（本大题共3个小题，每小题5分，共15分.请将答案填在答题卡对应题号的位置.） 12. 函数定义域为___________. 【答案】且 【解析】 【分析】根据题意得到，再解不等式组即可. 【详解】由题知：，解得且. 故答案为：且. 13. 国庆期间，高一年级要求学生从三部影片《1921》《长津湖》《革命者》中至少观看一部.其中观看了《1921》的有51人，观看了《长津湖》的有60人，观看了《革命者》的有50人，数据如图，则______，______. 【答案】 ①. 27 ②. 9 【解析】 【分析】根据题意得到方程组，三式相加求出，进而求出. 【详解】由题意得，即， 三式相加得，，解得， 故. 故答案为：27，9 14. 某种物资实行阶梯价格制度，具体见下表： 阶梯 年用量(千克) 价格(元/千克) 第一阶梯 不超过10的部分 6 第二阶梯 超过10而不超过20的部分 8 第三阶梯 超过20的部分 10 则一户居民使用该物资的年花费y(元)关于年用量x(千克)的函数关系式为___________；若某户居民使用该物资的年花费为100(元)，则该户居民的年用量为___________千克. 【答案】 ①. ②. 15 【解析】 【分析】 分段讨论根据阶梯价格制度即可求出，将代入可求该户居民的年用量. 【详解】由表可得，当时，， 当时，， 当时，， ， 若某户居民使用该物资的年花费为100(元)， 可得该户居民的年用量在内，则，解得， 则该户居民的年用量为15千克. 故答案为：；15. 四、解答题（本大题共5个小题，15小题13分，16、17小题每个15分，18、19小题每个17分，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 设全集为R，集合，． （1）分别求，； （2）已知，若，求实数a的取值范围． 【答案】（1），或或； （2）. 【解析】 【分析】（1）应用集合交并补运算求集合； （2）根据题设有且集合非空，进而列不等式组求参数范围. 【小问1详解】 由题设，且或， 所以或或. 【小问2详解】 由题意，显然集合非空， 所以，可得. 16. 已知函数. （1）求； （2）画出函数的图象； （3）若，求的值. 【答案】（1）35 （2）图象见解析 （3）-1或3 【解析】 【分析】（1）代入求解，先求出，从而得到； （2）描点，连线，画出函数图象； （3）分和两种情况，得到方程，求出答案. 【小问1详解】 ∵，∴， 又∵，∴， 【小问2详解】 当时，函数图象为射线，其中， 当时，，图象为抛物线的一部分，其中， 图象如图所示： 【小问3详解】 当时，有，解得，符合； 当时，有，解得或， 但，故舍去，所以的值为3， 综上所述：的值为或3． 17. 已知函数，且 . （1）求函数的解析式； （2）判断函数在区间上的单调性并用定义法加以证明. 【答案】（1） （2）单调递增，证明见解析 【解析】 【分析】（1）直接根据题意代入求值即可； （2）根据定义法判断函数在区间上的单调性即可. 【小问1详解】 因为， 所以，所以. 【小问2详解】 函数在上单调递增，证明如下： 任取，且， 所以， 因为，所以 所以，即， 所以在上单调递增. 18. 设. （1）若不等式对于一切实数恒成立，求实数的取值范围； （2）解关于的不等式. 【答案】（1） （2） 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为或， 当时，不等式的解集为. 【解析】 【分析】（1）分、两种情况，结合一元二次函数的性质可求； （2）因式分解，根据、、以及根的大小进行分类，结合一元二次函数图象求. 【小问1详解】 不等式对于一切实数恒成立等价于对于一切实数恒成立， 当时，不等式可化为，不满足题意； 当时，，解得； 综上，实数的取值范围为. 【小问2详解】 不等式等价于，即， 当时，不等式可化为，所以不等式的解集为； 当时，不等式可化为，此时， 所以不等式的解集为； 当时，不等式可化为， ①当时，，不等式的解集为； ②当时，，不等式的解集为或； ③当时，，不等式的解集为. 综上可得：当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为或， 当时，不等式的解集为. 19. 学习了不等式的内容后，老师布置了这样一道题： 已知，且，求的最小值． 李雷和韩梅梅两位同学都“巧妙地用了”，但结果并不相同． 李雷的解法：由于，所以，而．那么，则最小值为． 韩梅梅的解法：由于，所以，而，则最小值为． （1）你认为哪位同学的解法正确，哪位同学的解法有错误？（错误的需说明理由） （2）为巩固学习效果，老师布置了另外两道题，请你解决： （i）已知，且，求证：； （ii）已知，求的最小值． 【答案】（1）韩梅梅的解法正确；李雷的解法错误，理由见解析 （2）（i）证明见解析；（ii） 【解析】 【分析】（1）在李雷的解法中，取得最小值时，，，与已知条件相矛盾，即可说明； （2）将转化为，根据基本不等式即可证明；由得，代入，结合基本不等式“1”的妙用即可求解． 【小问1详解】 韩梅梅的解法正确，李雷的解法错误； 在李雷的解法中，，等号成立时； ，等号成立时， 那么取得最小值时，， 这与已知条件是相矛盾的． 【小问2详解】 （i），且， ，当且仅当时取等号． （ii）因为，所以， 即 ， 当且仅当，即时，等号成立， 所以． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $