精品解析：重庆市西南大学附属中学校2024-2025学年高一上学期定时检测（一）（10月）数学试题

西南大学附中高2027届高一上定时检测（一） 数 学 试 题 （满分：150分；考试时间：120分钟） 注意事项： 1. 答题前，考生先将自己的姓名、班级、考场/座位号、准考证号填写在答题卡上. 2. 答选择题时，必须使用2B铅笔填涂；答非选择题时，必须使用0.5毫米的黑色签字笔书写；必须在题号对应的答题区域内作答，超出答题区域书写无效保持答卷清洁、完整. 3. 考试结束后，将答题卡交回（试题卷学生保存，以备评讲）. 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 集合，，那么集合（ ） A. B. C. D. 2. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 若“”是“”必要不充分条件，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 4. 不等式的解集为（ ） A. 或 B. 或 C. D. 5. 下面命题正确的是（ ） A. 使成立的一个充分不必要条件是 B. “”是“”的充要条件； C. 已知，则“”是“”的充要条件 D. 已知，则“”是“”必要不充分条件 6. 已知关于的不等式的解集为，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 7. 已知全集为有理数集，将划分为两个非空子集与，且满足，，中的每一个元素都小于中的每一个元素，则称为优分割．对于任一优分割，下列选项中一定不成立的是（ ） A. 没有最大元素，有一个最小元素 B. 没有最大元素，也没有最小元素 C. 有一个最大元素，有一个最小元素 D. 有一个最大元素，没有最小元素 8. 已知，则最小值为（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 在下列四个命题中，正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 10. 已知，且，则下列结论正确的是（ ） A. 的最大值为 B. 的最大值为4 C. 的最小值为 D. 的最小值为0 11. 群论，是代数学的分支学科，在抽象代数中．有重要地位，且群论的研究方法也对抽象代数的其他分支有重要影响，例如一般一元五次及以上的方程没有根式解就可以用群论知识证明．群的概念则是群论中最基本的概念之一，其定义如下：设G是一个非空集合，“．”是G上的一个代数运算，如果该运算满足以下条件： ①对所有的a、，有； ②、b、，有； ③，使得，有，e称为单位元； ④，，使，称a与b互为逆元． 则称G关于“·”构成一个群．则下列说法正确有（ ） A. 关于数的乘法构成群 B. 自然数集N关于数的加法构成群 C. 实数集R关于数的乘法构成群 D. 关于数的加法构成群 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 集合，则的子集个数为_______________个． 13. 已知集合，若，则实数的取值范围是_______________． 14. 定义集合的“长度”是，其中a，R.已知集合，，且M，N都是集合的子集，若集合的“长度”大于，则的取值范围是______. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 我们定义关于x的不等式，为“飞升不等式”． （1）当时，求“飞升不等式”的解集； （2）若存在，使“飞升不等式”成立，求实数a的取值范围． 16. 已知集合，，． （1）求，； （2）求． 17. 已知集合，集合，命题，命题，命题． （1）若命题是真命题，求实数的取值范围； （2）若命题“和有且仅有一个是真命题”是假命题，求实数的取值范围． 18. 已知正实数x，y满足． （1）求的最小值； （2）求的最小值； （3）若，求的最小值． 19. 已知函数. （1）若，，函数的最小值为0，求a的值； （2）若，不等式有且仅有四个整数解，求实数的取值范围； （3）当时，对，，若存在实数m使得成立，求m的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 西南大学附中高2027届高一上定时检测（一） 数 学 试 题 （满分：150分；考试时间：120分钟） 注意事项： 1. 答题前，考生先将自己的姓名、班级、考场/座位号、准考证号填写在答题卡上. 2. 答选择题时，必须使用2B铅笔填涂；答非选择题时，必须使用0.5毫米的黑色签字笔书写；必须在题号对应的答题区域内作答，超出答题区域书写无效保持答卷清洁、完整. 3. 考试结束后，将答题卡交回（试题卷学生保存，以备评讲）. 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 集合，，那么集合（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由与，求出两集合的交集即可. 【详解】因为， 又， 所以. 故选：D. 2. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】特称命题的否定是全称命题，再将结论变为否定即可. 【详解】，的否定是：，， 故选：C. 3. 若“”是“”的必要不充分条件，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合不等式进行判断即可． 【详解】由得， 是的必要不充分条件， ， 故选：B． 4. 不等式的解集为（ ） A. 或 B. 或 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】不等式等价变形为，分，两种情况求解可得解集. 【详解】由，得， 当，即时，则不等式成立， 当，即时，， 不等式组可变为，解得且， 综上所述：不等式的解集为. 故选：D. 5. 下面命题正确的是（ ） A. 使成立的一个充分不必要条件是 B. “”是“”的充要条件； C. 已知，则“”是“”充要条件 D. 已知，则“”是“”的必要不充分条件 【答案】D 【解析】 【分析】而根据充分、必要条件的概念逐一进行判断即可. 【详解】对A：若，则，但不成立，所以“”不是“”的充分条件，故A错误； 对B：由，由或，所以“”与“”不等价，故B错误； 对C：由或，故“” 不是“”的充要条件，故C错误； 对D：由或，而，所以“”是“”必要不充分条件，故D正确. 故选：D 6. 已知关于的不等式的解集为，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据一元二次不等式解集与对应方程的根的关系可得，，再由基本不等式计算即可得出结论. 【详解】由不等式的解集为， 所以是方程的两根，且， ，可得， ， 当且仅当，即时等号成立. 所以的取值范围为. 故选：A. 7. 已知全集为有理数集，将划分为两个非空的子集与，且满足，，中的每一个元素都小于中的每一个元素，则称为优分割．对于任一优分割，下列选项中一定不成立的是（ ） A. 没有最大元素，有一个最小元素 B. 没有最大元素，也没有最小元素 C. 有一个最大元素，有一个最小元素 D. 有一个最大元素，没有最小元素 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，依次举例对四个选项逐项判定，即可求解. 【详解】由题意，将无理数集划分为两个非空的子集与，且满足，，中的每一个元素都小于中的每一个元素， 对于A中，若集合， 则集合没有最大元素，中有一个最小元素，所以A正确； 对于B中，若集合 则集合没有最大元素，中也没有最小元素，所以B正确； 对于D中，若集合 则集合中有一个最大元素，中没有最小元素，所以D正确； 对于C中，无论怎样“优分割”，都不可能使得集合中有最大元素，且中有最小元素， 所以C不正确. 故选：C. 8. 已知，则的最小值为（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】将原式配凑为，利用基本不等式求解即可. 【详解】，，， ， 当且仅当，即时等号成立. 所以的最小值为6. 故选：C. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 在下列四个命题中，正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】由不等式的性质可判断A；利用作差法判断BCD. 【详解】对于A，由不等式的性质可得若，则，故A正确； 对于B，， 因为，所以，所以，即，故B正确； 对于C，若，则， 所以，当且仅当时等号成立，故C错误； 对于D，，则，即，故D正确. 故选：ABD 10. 已知，且，则下列结论正确的是（ ） A. 的最大值为 B. 的最大值为4 C. 的最小值为 D. 的最小值为0 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用基本不等式判断A，利用基本不等式“1”的妙用判断B，利用完全平方公式与基本不等式判断C，利用代入消元法，结合基本不等式判断D，从而得解. 【详解】对于A，因为，，且，所以， 当且仅当时取等号，所以的最大值为，故A正确； 对于B，， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为9，显然其最大值不可能为4，故B错误； 对于C，因为， 所以，当且仅当时，等号成立， 所以最小值为，故C正确； 对于D，由，，且，可知，， 所以， 当且仅当，即，时，等号成立， 所以的最小值为0，故D正确. 故选：ACD. 11. 群论，是代数学的分支学科，在抽象代数中．有重要地位，且群论的研究方法也对抽象代数的其他分支有重要影响，例如一般一元五次及以上的方程没有根式解就可以用群论知识证明．群的概念则是群论中最基本的概念之一，其定义如下：设G是一个非空集合，“．”是G上的一个代数运算，如果该运算满足以下条件： ①对所有的a、，有； ②、b、，有； ③，使得，有，e称为单位元； ④，，使，称a与b互为逆元． 则称G关于“·”构成一个群．则下列说法正确的有（ ） A. 关于数的乘法构成群 B. 自然数集N关于数的加法构成群 C. 实数集R关于数的乘法构成群 D. 关于数的加法构成群 【答案】AD 【解析】 【分析】根据“”运算的定义，结合集合中元素与集合的关系判断，对每个选项逐一判断即要可． 【详解】对于A选项，对所有的、，有，且满足①乘法结合律； ②，使得，有； ③，，有，故A正确； 对于B选项，①自然数满足加法结合律； ②，使得，有； 但是对于，，不存在，使，故B错误； 对于C选项，对所有的、，有， ①实数满足加法结合律； ②，使得，有； 但对于，，不存在，使，故C错误； 对于D选项，对所有的、，可设，，，，，， 则， ①满足加法结合律，即、、，有； ②，使得，有； ③，设，，，，使，故D正确． 故选：AD． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 集合，则的子集个数为_______________个． 【答案】8 【解析】 【分析】确定集合，根据集合中元素的个数确定子集的个数. 【详解】由题意：的值可以为：4，8，16，所以，有3个元素. 故集合有：个. 故答案：8 13. 已知集合，若，则实数的取值范围是_______________． 【答案】 【解析】 【分析】根据，故或，即可利用分式不等式的求解得答. 【详解】由于，若， 故或， 故或， 解得， 故答案为： 14. 定义集合的“长度”是，其中a，R.已知集合，，且M，N都是集合的子集，若集合的“长度”大于，则的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】根据区间长度定义得到关于的范围，再根据并集的区间长度大于，分类讨论得到关于的不等式，解出即可. 【详解】因为都是集合的子集， 所以，解得， 又，可知集合M的“长度”为，， 要使集合的“长度”大于， 若，则，所以， 又，所以； 若，则，所以， 又，所以； 则的取值范围是. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：本题的关键是充分理解区间长度的定义，再根据并集的含义得到不等式组，结合分类讨论的思想即可. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 我们定义关于x的不等式，为“飞升不等式”． （1）当时，求“飞升不等式”的解集； （2）若存在，使“飞升不等式”成立，求实数a的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据一元二次不等式的求解，利用因式分解，即可求解； （2）分离参数可得对有解，即可求解的范围得解. 【小问1详解】 因为，所以不等式即为，即， 于是，所以，故“飞升不等式”的解集为． 【小问2详解】 不等式对有解，即不等式对有解， 而， 又时，不存，使得,不合题意，故． 16. 已知集合，，． （1）求，； （2）求． 【答案】（1）或， （2）答案见解析 【解析】 【分析】（1）解一元二次不等式确定，再由集合的交并补运算即可求解； （2）通过讨论，，，，，即可求解. 【小问1详解】 因为或， 所以 由于， 所以， ． 【小问2详解】 因为，， ①当，即时，，所以 ②当，即时，． （i）若，即时，； （ii）若，即时，； （iii）若，则； （iv）若，则． 17. 已知集合，集合，命题，命题，命题． （1）若命题是真命题，求实数的取值范围； （2）若命题“和有且仅有一个是真命题”是假命题，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由题意确定，即可求解； （2）通过真真和假假两种情况讨论即可求解. 【小问1详解】 因为命题为真命题，所以，故，故， 于是．因为，所以，即． 【小问2详解】 ①为真命题时，则，由于，所以，故， 于是．由知，所以； ②命题为真命题时， （i）时，，符合题意； （ii）时，，即，此时且； 故命题为真命题时，有； 由命题“和有且仅有一个是真命题”是假命题可知， 由两种情况：真真和假假， 所以，当真真时a不存在；当假假时． 综上所述，实数的取值范围． 18. 已知正实数x，y满足． （1）求的最小值； （2）求的最小值； （3）若，求的最小值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由，得，因为x，y为正数，所以．将原式变形得，再利用均值不等式求最值即可； （2）由（1）知，所以，再利用均值不等式求最值即可； （3）由（1）知，，再化简结合均值不等式求最值即可. 【小问1详解】 因为， 所以，即． 由于x，y为正数，所以，所以． 于是 当且仅当时等号成立， 所以的最小值为． 【小问2详解】 由（1）知，所以， 故 ， 当且仅当时等号成立, 故的最小值为． 【小问3详解】 由（1）知， 所以 ， 取等条件： 故的最小值为． 19. 已知函数. （1）若，，函数的最小值为0，求a的值； （2）若，不等式有且仅有四个整数解，求实数的取值范围； （3）当时，对，，若存在实数m使得成立，求m的最小值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）代入已知条件，分类讨论的取值情况，利用判别式法即可得解； （2）先分析得的两个实根满足，进而得到，从而利用二次函数的性质得到关于的不等式组，解之即可得解； （3）根据题意分析得，，进而得到，再多次利用换元法，结合基本不等式即可得解. 【小问1详解】 当，时，， 由题意得，函数的值域， （i）时，不符合题意； （ii）时，，即；此时满足题意， 综上，. 【小问2详解】 因为，不等式转化为， 因为有四个整数解， 则必有两个不相等实数根，记为，且， 又因为当时，， 当时，， 的图象开口向上，对称轴为，所以， 故不等式的解集中的四个整数解为，所以， 所以，故 【小问3详解】 因为当时，对，， 由题设，有，则， 又，， 故存在使成立，则， 所以， 令，则，， 令，则，且， 故， 当且仅当，即，，时，等号成立， 所以，即的最小值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$