精品解析：湖北省荆州市沙市中学2024-2025学年高一上学期10月期中考试数学试题

2024—2025学年度上学期2024级 期中考试数学试卷 考试时间：2024年10月25日 一、单选题 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】化简集合，再求交集即可. 【详解】，或，. 故选：C 【点睛】本题考查不等式的解法和集合的运算，属于基础题. 2. 下列选项中，表示的是同一函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用同一函数的定义对每一选项的函数分析得解. 【详解】A. 函数定义域为R，函数的定义域为,两个函数的定义域不同，所以它们不是同一函数； B. 两函数的定义域相同，但是对应关系不同，所以它们不是同一函数； C. 函数的定义域为，函数的定义域为，两个函数的定义域不同，所以它们不是同一函数； D. 两函数的定义域都是R,函数，所以两函数的对应关系相同，所以两函数是同一函数. 故选D 【点睛】本题主要考查同一函数的定义及判断，考查函数定义域的求法，意在考查学生对该知识的理解掌握水平. 3. 已知函数的值域是，则实数m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次函数的图像和性质可求得答案 【详解】解：由于， 所以当时，取得最大值， 由，解得或， 所以当时，函数的值域为，且， 因为二次函数的图像开口向下， 所以要使函数在上的值域为，只需， 故选：C 4. 我国著名数学家华罗庚先生曾说：”数缺形时少直观，形缺数时难入微”．在数学的学习和研究过程中，常用函数图像来研究函数的性质，也经常用函数解析式来分析函数的图像特征，函数在[﹣2，2]上的图像大致是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先根据奇偶性定义判定函数是偶函数，从而排除选项CD；再根据的值排除选项A即可作出判断选择B． 【详解】定义域为R， ， 则是偶函数，其图象关于y轴轴对称，排除选项CD； 又因为，则排除选项A，选B. 故选：B． 5. 函数，若对任意、（），都有成立，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意得出函数在上单调递减，再利用分段函数的单调性列不等式组即可得出结果. 【详解】由对任意、（），都有成立，可知在上单调递减， 所以，解得，即实数a的取值范围为. 故选：C. 6. 若对任意满足的正数，都有成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 由题意知利用基本不等式求出，解不等式即可求解. 【详解】若对任意满足的正数，都有成立， 则， 当且仅当即时等号成立，所以， 所以，即，即，解得或， 所以实数的取值范围是， 故选：C 【点睛】关键点点睛：本题的关键点是由不等式恒成立转化为， 再由再利用基本不等式可以求出最值，变形很关键，最后解分式不等式需要先移项，注意分母不为，避免出错. 7. 若函数在定义域上的值域为，则称为“函数”.已知函数是“函数”，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据“函数”的定义可得值域为，再求分段函数的值域，由集合的包含关系列出不等式组，求解即可. 【详解】由题意可知的定义域为，值域为， 而，，所以的值域为. 当时，单调递增，此时值域为； 当时，，抛物线开口向上，对称轴为直线， 故此时单调递增，值域为. 因此，解得. 故选：C. 8. 已知函数满足，且当时，，若存在，使得，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，探讨函数的单调性，再结合赋值法求出，并由单调性脱去法则，转化为二次方程在上有解即得. 【详解】任取，且，则，而当时，，于是， 又，因此， 则函数是增函数，而， 于是，令，得，令，得， 令，得，令，得， 令，得，即有，因此， 原问题即在有解，令， 则在时有解，从而，， 所以a的取值范围是. 故选：D 【点睛】关键点睛：涉及由抽象的函数关系求函数值，根据给定的函数关系，在对应的区间上赋值，再不断变换求解即可. 二、多选题 9. 已知，则下列不等式一定成立的是（    ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】由不等式的性质可判断，，，作差可判断. 【详解】对于，因为，，所以，故正确； 对于，因为，所以，故正确； 对于，因为， 又，所以，即，故不正确； 对于，因为，所以， 又，所以，故正确. 故选：. 10. 若定义在上的函数满足，则下列说法成立的是（ ） A. 无理数，， B. 对任意有理数m，有 C. ， D. ， 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据函数的解析式逐项判断可得答案. 【详解】对于A，若x为有理数，则为无理数，所以，，A错误； 对于B，对任意有理数m，则，x同为有理数或无理数，所以成立，B正确； 对于C，若x为有理数，则，若x为无理数， 则，C正确； 对于D，比如，，则，D正确． 故选：BCD. 11. 高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过x的最大整数，则称为高斯函数，如.设函数，则下列说法错误的是（ ） A. 的图象关于轴对称 B. 的最大值为1，没有最小值 C. D. 在上是增函数 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据的定义，结合的解析式，作出函数图象，即可结合选项逐一进行判断即可． 【详解】因为， 画出的图象如下： A选项，可以看出此函数不是偶函数，不关于轴对称，A错误； B选项，无最大值，有最小值0，B错误； C选项，因为， 故， ， 因为， 所以，故，C正确； D选项，由图象可知在上不是增函数，D错误. 故选：ABD 三、填空题 12. 函数的定义域为_______. 【答案】 【解析】 【分析】函数的定义域满足，解得答案. 【详解】函数的定义域满足，解得且. 故答案为：. 13. 若“”为假命题，则实数a的取值范围为___________. 【答案】 【解析】 【分析】由原命题为假，其否定为真得到在上恒成立，结合对应函数的单调性求右侧的最大值，即可得参数范围. 【详解】由题设命题为假，则为真， 所以，即在上恒成立， 又在上递增，故， 所以. 故答案为： 14. 设，若非空集合满足，则实数的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】由题意直接代入，然后解一元二次不等式，通过分别判断两一元二次不等式的方程的，从而进行求解即可. 【详解】由，可得， 即， 由，可得在上恒成立， 即，解得， 又集合A是非空集合，所以在上有解， 则，解得或， 综合可得：． 故答案为： 四、解答题 15. 已知全集，集合，集合，集合． （1）求， （2）若，求实数的取值范围． 【答案】（1）或， （2）或 【解析】 【分析】（1）先解不等式得出集合、，再由集合的运算可得结果； （2）因为，所以，分和两种情况求解即可. 【小问1详解】 根据题意：集合， 集合或 或， 【小问2详解】 因为，所以， 若，则 若，则，得时，可得， 实数的取值范围为或 . 16. 随着我国经济发展，医疗消费需求增长，人们健康观念转变以及人口老龄化进程加快等影响，医疗器械市场近年来一直保持了持续增长的趋势．某医疗器械公司为了进一步增加市场力，计划改进技术生产某产品．已知生产该产品的年固定成本为300万元，最大产能为100台，每生产台，需另投入成本万元，且，由市场调研知，该产品每台的售价为200万元，且全年内生产的该产品当年能全部销售完． （1）写出年利润万元关于年产量台的函数解析式（利润＝销售收入－成本）； （2）当该产品的年产量为多少时，公司所获利润最大？最大利润是多少？ 【答案】（1）； （2）年产量为60台时，公司所获利润最大，最大利润是1680万元 【解析】 【分析】（1）分和两种情况，进行求解利润； （2）时，可利用二次函数的特点求最大利润值，时，利用基本不等式求最值，最后要对两个最值比较，得出最大利润． 【小问1详解】 当时，； 当时，， ． 【小问2详解】 若，当时，万元； 若， ， 当且仅当时，即时，万元， 由于，故该产品的年产量为60台时，公司所获利润最大， 最大利润是1680万元． 17. 《见微知著》谈到：从一个简单的经典问题出发，从特殊到一般，由简单到复杂，从部分到整体，由低维到高维，知识与方法上的类比是探索发展的重要途径，是发现新问题、新结论的重要方法． 例如，已知，求证：． 证明：原式． 波利亚在《怎样解题》中也指出：“当你找到第一个蘑菇或作出第一个发现后，再四处看看，他们总是成群生长．”类似上述问题，我们有更多的式子满足以上特征． 请根据上述材料解答下列问题： （1）已知，求的值； （2）若，解方程； （3）若正数满足，求的最小值． 【答案】（1）1 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由题意把代入式中可求值； （2）将代入方程可求解； （3）由已知条件可得，利用基本不等式求出的最小值即可． 【小问1详解】 ． 【小问2详解】 原方程可化为： 即： ，即，解得：． 【小问3详解】 ，当且仅当，即时，等号成立， 有最小值，此时有最大值， 从而有最小值，即有最小值． 18. 定义：若函数对于其定义域内的某一数，有，则称是的一个不动点.已知函数. （1）当，时，求函数的不动点； （2）若对任意的实数b，函数恒有两个不动点，求实数a的取值范围； （3）在（2）的条件下，若图象上两个点A、B的横坐标是函数的不动点，且线段AB的中点C在函数的图象上，求实数b的最小值. 【答案】（1）和3 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）按照不动点的定义计算即可； （2）方程有两个不等实根，，得到关于的二次函数，再利用判别式求解即可； （3）求出点C坐标，代入，结合，得到，借助二次函数求出最小值即可. 【小问1详解】 当，时，由，解得或， 故所求的不动点为和3. 【小问2详解】 令，则① 由题意，方程①恒有两个不等实根，所以， 即对任意的恒成立， 则，∴. 【小问3详解】 依题意设，，则AB中点C的坐标为， 又AB的中点在直线上， ∴，∴， 又，是方程①的两个根，∴，即， ∴， ∵，∴.所以时，b的最小值为. 19. 已知是定义在上的奇函数，其中，且. （1）求的值； （2）判断在上的单调性，并用单调性的定义证明； （3）设，若对任意的，总存在，使得成立，求非负实数的取值范围. 【答案】（1）， （2） 在上单调递减. 证明如下： 设，则， 因为，则， 所以， 所以在上单调递减. （3） 【解析】 【分析】（1）利用奇函数的性质，结合，求得到的值，检验即可； （2）利用函数单调性的定义判断并证明即可； （3）记在区间内的值域为，在区间内的值域为，将问题转化为时求非负实数的取值范围，利用单调性求出的值域，分，，和四种情况讨论，结合单调性求出的值域，即可得到答案． 【小问1详解】 因为是定义在上的奇函数，所以，解得， 又因为，所以，解得， 所以，，则为奇函数， 所以，. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由（2）可知在上单调递减，所以， 记在区间内的值域为. 当时，在上单调递减， 则，得在区间内的值域为. 因为，所以对任意的，总存在，使得成立. 当时，在上单调递减， 则，得在区间内的值域为， 因为，所以对任意的，总存在，使得成立. 当时，在上单调递减，在上单调递增， 则，得在区间内的值域为，所以无解， 当时，在上单调递减，在上单调递增， 则，得在区间内的值域为，不符合题意. 综上，非负实数的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024—2025学年度上学期2024级 期中考试数学试卷 考试时间：2024年10月25日 一、单选题 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 下列选项中，表示的是同一函数的是（ ） A. B. C. D. 3. 已知函数的值域是，则实数m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 4. 我国著名数学家华罗庚先生曾说：”数缺形时少直观，形缺数时难入微”．在数学的学习和研究过程中，常用函数图像来研究函数的性质，也经常用函数解析式来分析函数的图像特征，函数在[﹣2，2]上的图像大致是（　　） A. B. C. D. 5. 函数，若对任意、（），都有成立，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 6. 若对任意满足的正数，都有成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 若函数在定义域上的值域为，则称为“函数”.已知函数是“函数”，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数满足，且当时，，若存在，使得，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题 9. 已知，则下列不等式一定成立的是（    ） A. B. C. D. 10. 若定义在上的函数满足，则下列说法成立的是（ ） A. 无理数，， B. 对任意有理数m，有 C. ， D. ， 11. 高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过x的最大整数，则称为高斯函数，如.设函数，则下列说法错误的是（ ） A. 的图象关于轴对称 B. 的最大值为1，没有最小值 C. D. 在上是增函数 三、填空题 12. 函数的定义域为_______. 13. 若“”为假命题，则实数a的取值范围为___________. 14. 设，若非空集合满足，则实数的取值范围是__________. 四、解答题 15. 已知全集，集合，集合，集合． （1）求， （2）若，求实数的取值范围． 16. 随着我国经济发展，医疗消费需求增长，人们健康观念转变以及人口老龄化进程加快等影响，医疗器械市场近年来一直保持了持续增长的趋势．某医疗器械公司为了进一步增加市场力，计划改进技术生产某产品．已知生产该产品的年固定成本为300万元，最大产能为100台，每生产台，需另投入成本万元，且，由市场调研知，该产品每台的售价为200万元，且全年内生产的该产品当年能全部销售完． （1）写出年利润万元关于年产量台的函数解析式（利润＝销售收入－成本）； （2）当该产品的年产量为多少时，公司所获利润最大？最大利润是多少？ 17. 《见微知著》谈到：从一个简单的经典问题出发，从特殊到一般，由简单到复杂，从部分到整体，由低维到高维，知识与方法上的类比是探索发展的重要途径，是发现新问题、新结论的重要方法． 例如，已知，求证：． 证明：原式． 波利亚在《怎样解题》中也指出：“当你找到第一个蘑菇或作出第一个发现后，再四处看看，他们总是成群生长．”类似上述问题，我们有更多的式子满足以上特征． 请根据上述材料解答下列问题： （1）已知，求的值； （2）若，解方程； （3）若正数满足，求的最小值． 18. 定义：若函数对于其定义域内的某一数，有，则称是的一个不动点.已知函数. （1）当，时，求函数的不动点； （2）若对任意的实数b，函数恒有两个不动点，求实数a的取值范围； （3）在（2）的条件下，若图象上两个点A、B的横坐标是函数的不动点，且线段AB的中点C在函数的图象上，求实数b的最小值. 19. 已知是定义在上的奇函数，其中，且. （1）求的值； （2）判断在上的单调性，并用单调性的定义证明； （3）设，若对任意的，总存在，使得成立，求非负实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $