精品解析：河北省沧州市泊头市第一中学2026-2027学年高二上学期调研考试二数学试题

泊头一中2025级高二上学期调研考试二 数学试题 一、单项选择题 1. 已知直线与直线平行，则（    ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】由两直线平行的充要条件直接列式求解即可. 【详解】因为直线与直线平行， 所以，解得或. 故选：D. 2. 若方程表示椭圆，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用标准的椭圆方程即可判断参数范围. 【详解】方程变形得：， 该方程要表示椭圆，则需要满足，解得：， 故选：A. 3. 设抛物线C:y2=4x的焦点为F，直线过F且与C交于A, B两点.若|AF|=3|BF|，则的方程为 A. y=x-1或y=-x+1 B. y=（X-1）或y=（x-1） C. y=（x-1）或y=（x-1） D. y=（x-1）或y=（x-1） 【答案】C 【解析】 【详解】设A(x1,y1),B(x2,y2), 又F(1,0), 则=(1-x1,-y1),=(x2-1,y2), 由题意知=3, 因此 即 又由A、B均在抛物线上知 解得 直线l的斜率为=±, 因此直线l的方程为y=(x-1)或y=-(x-1). 故选C. 4. 已知圆，直线上存在点，过点作圆的两条切线，切点为，，使得，则的取值范围（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由结合切线长定理可得，再借助圆心到直线的距离建立不等式求解. 【详解】圆的圆心为，半径， 由，得，又，则， 而直线上存在点P，满足，于是点到该直线的距离， 解得，所以的取值范围是. 故选：C 5. 已知、，若斜率存在的直线l经过点，且与线段AB有交点，则l的斜率的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先利用直线的斜率公式计算，；再结合图形，利用直线与线段有交点的条件建立不等式，即可得出结果. 【详解】由直线的斜率公式可得： ；. 结合图形，要使直线l经过点，且与线段AB有交点，l的斜率需满足或. 故选：C. 6. 在棱长为1的正方体中，P为正方体内一动点（包括表面），若，且．则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题意得点在三棱柱内，设为的中点，由，求出的取值范围可得答案． 【详解】满足的点在三棱柱内． 如图，设为的中点，连接相交于点，连接， 因为，，且，平面， 所以平面，又，所以平面，且， ，所以， 所以． 因为，所以的取值范围为． 故选：D. 【点睛】关键点点睛：本题考查空间向量的运算，根据题意确定点所在的位置是解题的关键． 7. 在矩形中，，，把边AB分成n等份，在的延长线上，以的n分之一为单位长度连续取点.过边AB上各分点和点作直线，过延长线上的对应分点和点A作直线，这两条直线的交点为P，如图建立平面直角坐标系，则点P满足的方程可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设，结合题意找出与的关系式，即可求解. 【详解】设，则，，根据题意，易得直线，直线. 由，令，得，因此边AB上各分点坐标为， 由，令，得，因此延长线上的对应分点坐标为， 结合题意，可知 ，化简得. 因此点P满足的方程为：. 故选：C. 8. 已知椭圆C：（）的左、右焦点分别为，．若椭圆C上存在点P，使得的外接圆半径是其内切圆半径的倍，则椭圆的离心率的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设，由正弦定理表示出的外接圆半径，由三角形面积公式、余弦定理、正弦面积公式表示出的内切圆半径， 根据同时结合倍角公式化简整理得到，再根据范围得到的最大值，即可列不等式求解. 【详解】设，的外接圆半径和内切圆半径分别为，, 由椭圆定义得； 由正弦定理， 由得， 由正弦面积公式得，所以 在中，由余弦定理得， 即， 所以，代入得； 又，即，则， 又因为，代入上式得 ， 又因为当为椭圆的上下顶点时，取最大值，即取最大值，所以此时取最大值， ，因此； 所以， 因为，所以，不等式整理得，解得. 二、多项选择题 9. 已知抛物线：的焦点为，为上一点，下列说法正确的是（ ） A. 的准线方程为 B. 直线与相切 C. 若，则的最小值为 D. 若，则的周长的最小值为11 【答案】BCD 【解析】 【分析】将抛物线方程化为标准式，即可求出焦点坐标与准线方程，从而判断A，联立直线与抛物线方程，消元，由判断B，设点，表示出，根据二次函数的性质判断C，根据抛物线的定义转化求出的周长的最小值，即可判断D. 【详解】解：抛物线：，即，所以焦点坐标为，准线方程为，故A错误； 由，即，解得，所以直线与相切，故B正确； 设点，所以， 所以，故C正确； 如图过点作准线，交于点，，， 所以， 当且仅当、、三点共线时取等号，故D正确； 故选：BCD 10. 法国数学家加斯帕·蒙日被称为“画法几何创始人”、“微分几何之父”．他发现与椭圆相切的两条互相垂直的切线的交点的轨迹是以该椭圆中心为圆心的圆，这个圆称为该椭圆的蒙日圆．若椭圆的蒙日圆为，过上的动点作的两条切线，分别与交于，两点，直线交于，两点，则（ ） A. 椭圆的离心率为 B. 面积的最大值为 C. 到的左焦点的距离的最小值为 D. 若动点在上，将直线，的斜率分别记为，，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】由条件可得，由此可求椭圆的离心率，由此判断A，由条件可得为圆的直径，确定面积的表达式求其最值，由此判断B，由条件确定的表达式求其范围，由此判断C，结合点差法判断D. 【详解】依题意，过椭圆的上顶点作轴的垂线，过椭圆的右顶点作轴的垂线，则这两条垂线的交点在圆上， 所以，得，所以椭圆的离心率，故A正确； 因为点，，都在圆上，且，所以为圆的直径，所以，所以面积的最大值为，故B正确； 设，的左焦点为，连接，因为，所以，又，所以， 则到的左焦点的距离的最小值为，故C不正确； 由直线经过坐标原点，易得点，关于原点对称，设，，则，，，又，所以，所以，所以， 故D正确 故选：ABD． 【点睛】椭圆的蒙日圆及其几何性质 过椭圆上任意不同两点，作椭圆的切线，若两切线垂直且相交于，则动点的轨迹为圆，此圆即椭圆的蒙日圆．椭圆的蒙日圆有如下性质： 性质1：． 性质2：平分切点弦． 性质3：的最大值为，的最小值为． 11. 如图，类似“心形”的曲线，可以看成由上部分曲线：和下部分曲线：（，．）构成，曲线的一个焦点为，是“心形”曲线上的动点，则下列说法正确的是（ ） A. 曲线的方程为（） B. 的最大值为 C. 若直线与曲线只有1个交点，则实数的最小值为 D. 曲线上的点到直线的距离的最小值是 【答案】AD 【解析】 【分析】对于A：根据题意可得，即可得方程；对于B：举反例说明即可；对于C：根据直线与圆、椭圆的位置关系分析临界条件，结合图形即可得结果；对于D：结合图形可知：曲线上的点到直线的距离的最小值即为直线与直线之间的距离，即可得结果. 【详解】由可变形为， 则上半部分表示以为圆心，1为半径的2个半圆. 对于选项A：曲线的焦点为，解得，，， 则曲线的方程为，故A正确； 对于选项B：设椭圆的上焦点，则， 当点位于的下顶点时，即， 则，故B错误； 对于选项C：联立方程，消去可得， 令，解得或， 直线与曲线只有1个交点，则实数的最小值为-3，故C不正确； 对于选项D：结合图形可知：曲线上的点到直线的距离的最小值即为直线与直线之间的距离， 且两平行线间距离为， 所以曲线上的点到直线的距离的最小值为，故D正确； 三、填空题 12. 已知圆：与圆：的公共弦所在直线恒过点，则点坐标为________． 【答案】 【解析】 【分析】将两圆方程作差得到含参数的公共弦直线方程，整理为直线系形式，令参数的系数与常数项均为，求解方程组得到定点坐标. 【详解】已知圆，圆， 两个方程相减，得，整理为直线系方程： ， 列方程组： ，解得， 因此，点的坐标为. 13. 点在椭圆的左准线上.过点P且方向向量为的光线,经直线反射后通过椭圆的左焦点,则这个椭圆的离心率为 . 【答案】 【解析】 【分析】根据对称性可知，光线经过直线反射后的直线过点且方向向量为的直线与的交点，反射后所在的直线与轴的交点即为椭圆的左焦点，从而可求,再根据点在椭圆的左准线上，求得和，则椭圆的离心率可得. 【详解】 如图,过点的方向, , 根据直线方程的点斜式得的方程为， 与的交点为， 光线经过直线反射后所在的直线方程为， 与轴的交点即为椭圆的左焦点， 得，则，所以椭圆的离心率. 故答案为：. 14. 已知双曲线的左右焦点分别为，过的直线与的右支交于两点，与轴交于点的内切圆与边相切于点，若，则与的内切圆的半径之和的最小值等于______. 【答案】2 【解析】 【分析】结合双曲线的定义、圆的切线长定理求得、，从而求得双曲线的方程，结合三角形内切圆性质得，设直线的倾斜角为，则，进而求得，，最后利用基本不等式求解最小值即可. 【详解】因为的内切圆与边相切于点，如图，，为另外两个切点， 由切线长定理可知，，， 因为在轴上，所以， 所以 ， 所以，，， 双曲线的方程为：， 如图，设两内切圆圆心分别为，，半径分别为，， 设，，与圆分别相切于点，，， 由切线长定理得 ， 而，两式相加得， 所以是双曲线的右顶点，轴，所以的横坐标为， 同理可求得的横坐标为，则， 设直线的倾斜角为，由双曲线渐近线为，倾斜角分别为， 要使直线与双曲线的右支交于两点，则，有， 在，中， 有，， 因为，所以，所以， 当且仅当即时，等号成立． 故答案为： 【点睛】结论点睛：双曲线的左右焦点分别为，为双曲线上右支上一点（除了顶点），则的内切圆圆心横坐标为，为双曲线上左支上一点（除了顶点），则的内切圆圆心横坐标为. 四、解答题 15. 已知两点，，且动点满足． （1）求点的轨迹方程； （2）过点的直线交曲线于异于点的点，当时，求直线的方程． 【答案】（1） （2） 和 【解析】 【分析】（1）设出动点的坐标，代入两点间距离公式化简得到轨迹方程. （2）利用圆的弦长公式求圆心到直线的距离，列方程求解斜率从而得到直线方程. 【小问1详解】 设动点，根据两点间距离公式有，. 又因为，两边平方得. 展开整理，化简得轨迹方程. 【小问2详解】 首先验证在曲线上，代入得，满足方程. 又曲线是圆心为，半径的圆. 若直线斜率不存在，则方程为，与仅交于点，不符合题意，故斜率存在. 设直线的斜率为，方程为，即. 由圆的弦长公式，其中为圆心到直线的距离， 代入，，解得. 由点到直线的距离公式，两边平方整理得，解得，即. 当时，直线方程为；当时，直线方程为. 经检验，两条直线均与交于异于的点，符合要求. 16. 如图，已知为正三角形，且与菱形所在的平面互相垂直，，，M是的中点. （1）求证：； （2）在线段上是否存在点P，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 【答案】（1）证明：由为正三角形，M是的中点，得， 由平面平面，平面平面，且平面， 得平面，又平面，所以. （2）点存在，. 【解析】 【分析】（1）通过面面垂直的性质定理，证明平面，可证得； （2）假设存在点P，设，由已知线面角的正弦值，利用向量法求出. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知平面，在菱形中，，则为正三角形， 由M是的中点，得，直线两两垂直， 以为原点，直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 假设在线段上存在点P，使得直线与平面所成角的正弦值为， 设，由，则，可得， 设平面的法向量，由，， 则有，令，则，得， 则，解得. 所以点存在，且. 17. 设与双曲线相交于不同两点. （1）若双曲线的开口比等轴双曲线的开口更开阔，求：实数的取值范围； （2）若双曲线的两条渐近线的夹角为，求：双曲线的标准方程； （3）在（2）的条件下，若，且两点都在双曲线的右支上，设线段的中点为，斜率为的直线经过点，设直线在轴上的截距为，求：的取值范围. 【答案】（1）； （2）或； （3）. 【解析】 【分析】（1）由双曲线离心率与双曲线开口程度关系可得答案； （2）由题设结合到角公式可得答案； （3）设 ，将直线与双曲线方程联立，然后由题设及韦达定理可得，最后由题设及不等式性质可得答案. 【小问1详解】 对于双曲线， ， 双曲线开口越开阔即双曲线离心率更大 ， 又等轴双曲线离心率为 ， ∴ ； 【小问2详解】 ， 从而双曲线渐近线为，斜率分别为， ， 因双曲线的两条渐近线的夹角为 ， ， 解得：或 ， ∴双曲线的标准方程为：或 . 【小问3详解】 设 ， 联立消去得： ， 由题设可得 ，由韦达定理可得： ， 从而：，得.由题可得，代入坐标， 可得： ，因， 则，令，则， 注意到，则. 18. 如图，在平面直角坐标系中，点，过直线：右侧的动点作于点，的平分线交x轴于点，． （1）求动点的轨迹的方程． （2）过点的直线交曲线于，两点，试问：轴正半轴上是否存在点，直线，分别交直线于，两点，使为直角？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）点存在，其坐标为 【解析】 【分析】（1）利用角平分线定理转化距离比例，代入坐标化简即可； （2）设出直线方程，利用韦达定理进行代换，利用向量垂直列出关系式，消参即可求出定点. 【小问1详解】 设，由，为的角平分线，可知， 故，即 ， 两边平方化简得：，因为点不能在轴上， 所以动点的轨迹的方程为. 【小问2详解】 假设满足条件的点存在. 设直线的方程为，. 由，消去，得， 其中， 则， 所以， ， 由知，则，同理， 又，， 因为为直角，所以， 所以， 即， 所以，解得或（舍去）， 故满足条件的点存在，其坐标为. 19. 已知抛物线：（）与直线在第一象限交于点，为坐标原点，． （1）求的方程． （2）已知点，直线与交于另外一点．若上恰有4个不同的点，，，，使得，，，的面积均为定值，求的取值范围． （3）已知点，是上异于的两点，且以为直径的圆过点，证明：直线过定点． 【答案】（1） （2） （3）设，．易知，，则，同理． 因为以为直径的圆过点，所以，所以， 整理，得．（*） 设直线：，代入，得， 则，． 代入（*）中，得，整理得． 于是直线：，过定点． 【解析】 【分析】（1）由题意确定坐标，进而可求解； （2）确定，再考虑与平行的直线：，代入，联立计算求解即可； （3）设，．通过垂直关系，得到，再设：，联立抛物线方程，结合韦达定理即可求解. 【小问1详解】 由得或所以． 由题意得，解得． 故的方程为． 【小问2详解】 由题意可知直线的方程为． 代入，得，解得或18．由（1）知，故． 因此． 考虑与平行的直线：，代入，得， 令，得．即时，与相切． 此时与直线的距离． 当在上方时，与恒有两个交点． 当在下方时，若，与有两个交点；若，与有一个交点；若，与没有交点． 因为面积相同的三角形有4个，所以． 又，所以，即的取值范围为． 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 泊头一中2025级高二上学期调研考试二 数学试题 一、单项选择题 1. 已知直线与直线平行，则（    ） A. B. C. 或 D. 或 2. 若方程表示椭圆，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 3. 设抛物线C:y2=4x的焦点为F，直线过F且与C交于A, B两点.若|AF|=3|BF|，则的方程为 A. y=x-1或y=-x+1 B. y=（X-1）或y=（x-1） C. y=（x-1）或y=（x-1） D. y=（x-1）或y=（x-1） 4. 已知圆，直线上存在点，过点作圆的两条切线，切点为，，使得，则的取值范围（ ） A. B. C. D. 5. 已知、，若斜率存在的直线l经过点，且与线段AB有交点，则l的斜率的取值范围为（ ） A. B. C. D. 6. 在棱长为1的正方体中，P为正方体内一动点（包括表面），若，且．则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 7. 在矩形中，，，把边AB分成n等份，在的延长线上，以的n分之一为单位长度连续取点.过边AB上各分点和点作直线，过延长线上的对应分点和点A作直线，这两条直线的交点为P，如图建立平面直角坐标系，则点P满足的方程可能是（ ） A. B. C. D. 8. 已知椭圆C：（）的左、右焦点分别为，．若椭圆C上存在点P，使得的外接圆半径是其内切圆半径的倍，则椭圆的离心率的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题 9. 已知抛物线：的焦点为，为上一点，下列说法正确的是（ ） A. 的准线方程为 B. 直线与相切 C. 若，则的最小值为 D. 若，则的周长的最小值为11 10. 法国数学家加斯帕·蒙日被称为“画法几何创始人”、“微分几何之父”．他发现与椭圆相切的两条互相垂直的切线的交点的轨迹是以该椭圆中心为圆心的圆，这个圆称为该椭圆的蒙日圆．若椭圆的蒙日圆为，过上的动点作的两条切线，分别与交于，两点，直线交于，两点，则（ ） A. 椭圆的离心率为 B. 面积的最大值为 C. 到的左焦点的距离的最小值为 D. 若动点在上，将直线，的斜率分别记为，，则 11. 如图，类似“心形”的曲线，可以看成由上部分曲线：和下部分曲线：（，．）构成，曲线的一个焦点为，是“心形”曲线上的动点，则下列说法正确的是（ ） A. 曲线的方程为（） B. 的最大值为 C. 若直线与曲线只有1个交点，则实数的最小值为 D. 曲线上的点到直线的距离的最小值是 三、填空题 12. 已知圆：与圆：的公共弦所在直线恒过点，则点坐标为________． 13. 点在椭圆的左准线上.过点P且方向向量为的光线,经直线反射后通过椭圆的左焦点,则这个椭圆的离心率为 . 14. 已知双曲线的左右焦点分别为，过的直线与的右支交于两点，与轴交于点的内切圆与边相切于点，若，则与的内切圆的半径之和的最小值等于______. 四、解答题 15. 已知两点，，且动点满足． （1）求点的轨迹方程； （2）过点的直线交曲线于异于点的点，当时，求直线的方程． 16. 如图，已知为正三角形，且与菱形所在的平面互相垂直，，，M是的中点. （1）求证：； （2）在线段上是否存在点P，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 17. 设与双曲线相交于不同两点. （1）若双曲线的开口比等轴双曲线的开口更开阔，求：实数的取值范围； （2）若双曲线的两条渐近线的夹角为，求：双曲线的标准方程； （3）在（2）的条件下，若，且两点都在双曲线的右支上，设线段的中点为，斜率为的直线经过点，设直线在轴上的截距为，求：的取值范围. 18. 如图，在平面直角坐标系中，点，过直线：右侧的动点作于点，的平分线交x轴于点，． （1）求动点的轨迹的方程． （2）过点的直线交曲线于，两点，试问：轴正半轴上是否存在点，直线，分别交直线于，两点，使为直角？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 19. 已知抛物线：（）与直线在第一象限交于点，为坐标原点，． （1）求的方程． （2）已知点，直线与交于另外一点．若上恰有4个不同的点，，，，使得，，，的面积均为定值，求的取值范围． （3）已知点，是上异于的两点，且以为直径的圆过点，证明：直线过定点． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $