精品解析：辽宁省抚顺市2024-2025学年九年级上学期数学第一次月考试题

2024-2025学年度上学期阶段练习（一） 九年级数学试卷 考试时间：120分钟 试卷满分：120分 ※注意事项：考生答题时，必须将答案写在答题卡上，答案写在试卷上无效． 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列方程一定是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，掌握一元二次方程的定义是解题的关键．根据一元二次方程的定义逐项分析判断即可求解，一元二次方程定义，只含有一个未知数，并且未知数项的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程． 【详解】解：A．，不是整式方程，故该选项不正确，不符合题意； B．，含有两个未知数，不是一元二次方程，故该选项不正确，不符合题意； C．，当时，是一元二次方程，不符合题意； D．，是一元二次方程，故该选项正确，符合题意； 故选：D． 2. 把一元二次方程化为一般形式，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】将方程整理为一般式即可． 【详解】解：， ， 即． 故选：D． 【点睛】本题考查一元二次方程的一般式，掌握一元二次方程的一般式的形式为是解题的关键． 3. 已知是关于x的一元二次方程的一个根，则a的值为（） A. B. 4 C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解，掌握方程的解是满足方程的未知数的值成为解题的关键． 将代入方程得到关于a的方程求解即可． 【详解】∵是方程的根， ∴将代入得，即，解得：． 故选B． 4. 有一个人患了流感，经过两轮传染后，共有81个人患了流感，设平均每轮每人传染了个人，则下列等式成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出一元二次方程是解题的关键．设每轮传染中平均一人传染了个人，根据题意列出一元二次方程，即可求解． 【详解】解：设平均每轮每人传染了个人，依题意得， ， 故选：B． 5. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的性质，根据形如的顶点坐标为进行求解即可． 【详解】解：由抛物线可知其顶点坐标为； 故选：C． 6. 三角形两边长分别为7和4，第三边是方程的解，则这个三角形的周长是（　　） A. 13 B. 13或20 C. 12 D. 20 【答案】D 【解析】 【分析】先利用因式分解法解一元二次方程的解，可求出，，然后根据三角形的三边关系可得：不符合题意，舍去，从而根据三角形的周长公式进行计算，即可解答． 【详解】解：， ， 或， 解得：，， ∵三角形两边长分别为7和4， ∴， 不符合题意，舍去， ∴这个三角形的周长， 故选：D． 【点睛】本题考查了因式分解法解一元二次方程，三角形三边关系，准确熟练地进行计算是解题的关键． 7. 将二次函数的图象向右平移2个单位，再向下平移3个单位，得到的函数图象的表达式是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数图象的平移，根据平移的规律“左加右减，上加下减”进行求解即可得答案． 【详解】解：将二次函数的图象向右平移2个单位，再向下平移3个单位，得到的函数图象的表达式是， 故选：C． 8. 若关于x的方程的两根之和为p，两根之积为q，则关于y的方程的两根之积是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程，根与系数的关系，解题的关键是熟练掌握一元二次方程的两个根，，满足，．根据关于x的方程的两根之和为p，两根之积为q，可以得到关于y的方程的根符合，，然后整理化简，即可解答本题． 【详解】解：设关于y的方程的两根分别为，， ∵关于x的方程的两根之和为p，两根之积为q， ∴，， ∴，， 化简，得：，， 整理可得，， 故选：A． 9. 已知如图，在正方形ABCD中，点A、C的坐标分别是（﹣1，5）（2，0），点D在抛物线的图像上，则k的值是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用一线三等角，构造全等三角形，证明对应边相等，利用A，C坐标，即可得出D点坐标，代入，即可得出k的值 【详解】作DM⊥x轴于M，AN⊥DM于N， ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠ADC＝90°，AD＝DC， ∴∠ADN+∠CDM＝90°＝∠CDM+∠DCM， ∴∠ADN＝∠DCM， ∵∠AND＝∠DMC＝90°， ∴△ADN≌△DCM（AAS）， ∴AN＝DM，DN＝CM， 设D（a，b）， ∵点A、C的坐标分别是（﹣1，5）（2，0）， ∴，解得， ∴D（3，4）， ∵D在抛物线的图像上， ∴+3k＝4， ∴k=， 故选：B． 【点睛】此题主要考查了正方形的性质，三角形全等的判定和性质，二次函数图像上点的坐标特点，得出D点坐标是解题关键． 10. 对于一元二次方程，下列说法： ①若，则； ②若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根； ③若是一元二次方程的根．则 ④存在实数、，使得； 其中正确的结论有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程根与判别式的关系，公式法求解方程，方程解的含义，解题的关键是熟练掌握一元二次方程的有关性质． 根据一元二次方程根与判别式的关系，一元二次方程解的含义，逐个判断即可． 【详解】解：∵ ∴是一元二次方程的一个解，即方程有解， ∴，①正确； 方程有两个不相等的实根，则，即 方程的判别式为， ∴方程必有两个不相等的实根，②正确； 若是方程的一个根，则或， 则或 即，③正确； 由可得， 即 ∵ ∴ ∴ 所以只需要满足即可得到，④正确； 故选：D． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 方程的根是________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题主要考查了因式分解法解一元二次方程，熟练掌握因式分解法解一元二次方程是解题的关键． 将方程移项后因式分解，利用零乘积性质即可求解． 【详解】解：， 移项，得， 因式分解，得， 由零乘积性质，得或， ∴或． 故答案为：或． 12. 关于x的一元二次方程（k－1）x2－2x+1=0有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是_______． 【答案】k＜2且k≠1 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到k﹣1≠0且＝（﹣2）2﹣4（k﹣1）＞0，然后求出两个不等式的公共部分即可． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程（k－1）x2－2x+1=0有两个不相等的实数根， ∴k－1≠0且∆=（－2）2－4（k－1）＞0， 解得：k＜2且k≠1． 故答案为：k＜2且k≠1． 【点睛】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的判别式＝b2﹣4ac：当＞0，方程有两个不相等的实数根；当＝0，方程有两个相等的实数根；当＜0，方程没有实数根． 13. 抛物线经过点．则关于的一元二次方程的根是______． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查二次函数与一元二次方程的联系．先求出对称轴，利用对称性得到与x轴交点的坐标，然后根据二次函数图象与x轴的交点横坐标即为对应一元二次方程的根解题即可． 【详解】解：∵抛物线的对称轴为直线， ∴抛物线经过和， ∴关于的一元二次方程的根是，， 故答案为：，． 14. 已知，是方程的两根，则的值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】先根据一元二次方程解的定义得到，即，代入得到，再根据根与系数的关系得到，然后利用整体代入的方法计算即可． 【详解】解：是方程的根， ， ， ， ，是方程两根， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，．也考查了一元二次方程解的定义． 15. 如图，在矩形中，，，为上的动点，连接，沿折叠，得，连接，当平分时，的面积是______． 【答案】或14 【解析】 【分析】本题考查的是翻折变换的性质，勾股定理，矩形的性质等知识点，掌握翻折变换是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等是解题的关键． 过点作于．设，则，根据等腰直角三角形的性质和折叠的性质得到：，通过解方程求得的值，再根据三角形面积公式求解即可． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，， 过点作于． ∵点的对应点落在的角平分线上， ∴设，则， 又由折叠的性质知， ∴在直角中，由勾股定理得到：， 即， 解得：， ∴或4， ∴的面积或的面积， 故答案为：或14． 三、（第16题10分，第17题8分，共计18分） 16. 解方程： （1）； （2）（配方法） 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，灵活运用解方程的方法是解答本题的关键 （1）原方程运用因式分解法求解即可； （2）原方程运用配方法求解即可． 【小问1详解】 解： 或 ∴，； 【小问2详解】 解：， ， ， ， ， ， ∴，． 17. 某水果商场经销一种高档水果，原价为每千克80元，连续两次降价后售价为每千克元，若每次下降的百分率相同． （1）求每次下降的百分率． （2）在销售中发现，这种水果若每千克盈利10元，每天可售出500千克．若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克．现该商场要保证每天盈利6000元，且要尽快减少库存，那么每千克应涨价多少元？ 【答案】（1）每次下降的百分率为 （2）每千克应涨价5元 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，正确理解题意是解题的关键． （1）设每次下降的百分率为x，则连续两次降价后售价可表示为，由此得到方程，解方程即得答案； （2）设每千克应涨价y元，则每千克盈利元，日销售量为千克，由此可得方程，解方程即得答案． 【小问1详解】 解：设每次下降的百分率为x， 根据题意得， 解得，（舍去）， 答：每次下降的百分率为． 【小问2详解】 解：设每千克应涨价y元， 根据题意得， 解得，， 要尽快减少库存， ， 答：每千克应涨价5元． 四、（第18题8分，第19题8分，共计16分） 18. 已知关于的方程的两个实数根的平方和为1，求的值． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式及根与系数的关系；设、是的两个实数根，由根与系数的关系得，，再由代入即可；牢记一元二次方程根与系数的关系，灵活运用完全平方公式是解题的关键． 【详解】解：设、是的两个实数根， ∴，， ∴ 即：， ∴或， 当时，符合题意， 当时，不符合题意， ∴． 19. 已知关于的方程有两个实数根． （1）求的取值范围； （2）求函数值的取值范围． 【答案】（1）且 （2）且 【解析】 【分析】本题考查根的判别式和二次函数的性质，掌握二次函数的配方得到顶点坐标是解题的关键． （1）根据根的情况得到且，然后解题即可； （2）把二次函数配方为顶点式，根据二次函数性质解题即可． 【小问1详解】 ，， 关于的方程有两个实数根 解得且； 【小问2详解】 对称轴为，抛物线开口向上， 所以当 时，随的增大而增大． 又且， 且． 五、解答题（10分） 20. 春秋旅行社为吸引市民组团去大连旅游，推出了如下收费标准： 某单位组织员工去大连旅游，共支付给春秋旅行社旅游费用31500元，请问该单位这次共有多少员工去大连旅游？ 【答案】共有35名员工去大连旅游 【解析】 【分析】此题主要考查了一元二次方程的解法及应用，关键是表示出参加旅游每人所付费用是解决问题的关键． 首先根据共支付给春秋旅行社旅游费用31500元，确定旅游的人数的范围，然后根据每人的旅游费用人数总费用，设该单位这次共有名员工去大连旅游．即可由对话框，超过30人的人数为人，每人降低20元，共降低了元．实际每人收了元，列出方程求解． 【详解】解：设该单位这次共有名员工去大连旅游 ， ． 依题意得：． 化简得：． 解得：，． ． 不合题意，舍去， ． 答：单位这次共有35名员工去大连旅游． 六、解答题（9分） 21. 已知二次函数 （1）的最小值是0，求的值； （2）在上的函数值始终是正的，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次函数开口方向，顶点坐标，对称轴在实际问题中的运用，还考查了分类讨论的数学思想． （1）把二次函数的解析式化为顶点式，可得二次函数图象的对称轴为直线，顶点坐标为，从而得到有最小值，即可求解； （2）分两种情况讨论，即可求解． 【小问1详解】 解:∵， ∴二次函数图象的对称轴为直线，顶点坐标为． 当时，抛物线开口向上． ∴有最小值， ∵的最小值是0， ， 解得：； 【小问2详解】 解：当时，在范围内的最小函数值即为顶点纵坐标． ∴， 解得：，且不与矛盾，成立； 当时，抛物线开口向下，抛物线上的点离对称轴越远，对应的函数值越小， ∴在范围内的最小函数值为当时的函数值， 即， ∴，解得：． 此时与矛盾，舍去； 综上所述，的取值范围是． 七、解答题（10分） 22. 根据以下素材，探索完成任务． 如何改造硬纸板制作无盖纸盒？ 背景 学校手工社团小组想把一张长，宽的矩形硬纸板（如图），制作成一个高为，容积为的无盖长方体纸盒，且纸盒的长不小于（硬纸板的厚度忽略不计）． 方案 初始方案：将矩形硬纸板竖着裁剪（阴影部分），剩余纸板的四周各剪去一个同样大小的正方形（如图）． 改进方案：将矩形硬纸板竖着裁剪，横着裁剪（阴影部分），剩余纸板的四周各剪去一个同样大小的正方形（如图）． 问题解决 任务1 请通过计算判断初始方案是否可行？ 任务2 请通过计算判断改进方案是否可行？ 【答案】 任务1：初始方案不可行： 无盖长方体纸盒的底面积为， 依题意得：， 解得：， 长方体纸盒的长为， 所以不满足条件． 任务2方案可行： 依题意得：， 解得：，（不合题意，舍去）， 做成的盒子长为．满足条件，所以方案2可行． 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程和一元一次方程的应用，解题的关键是根据等量关系列出方程． 任务1：根据题意列出方程，求出x的值，算出此时盒子的长，再与32进行比较即可； 任务2：根据题意列出方程，求出y的值，再进行验证即可． 【详解】解：略． 八、解答题（12分） 23. 如图，函数的图象与轴交于，两点，与轴交于点，连接，． （1）求，，三点的坐标； （2）在函数的图象上，连接，，的面积是的面积的倍，求点的坐标； （3）在函数的图象上，在轴正半轴上，以，，，为顶点的四边形为平行四边形，直接写出点的坐标． 【答案】（1），， （2）点的坐标是，， （3），，，， 【解析】 【分析】本题考查了二次函数与四边形的综合题，涉及求函数与坐标轴的交点问题，与三角形的面积有关问题，平行四边形的性质，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）分别令，求出一元二次方程的根，即可求出点坐标，再令即可求出点坐标； （2）设，根据的面积是的面积的倍得到方程，求出y，再代入函数解析式解出x即可求出坐标； （3）分类讨论：设，，而，①当为对角线时，则；②当为对角线时，则；③当为对角线时，则，分别求解即可． 【小问1详解】 解：令，则， 解得：或， ∴，， 令，则， ∴； 【小问2详解】 解：设，， ∵的面积是的面积的倍 ∴， 解得：， ∴， ∴或， 解得：或， 所以点P的坐标为：，，； 【小问3详解】 解：设，，而， ①当为对角线时， ， 解得：（舍）或，或（舍）或 ∴或 ②当为对角线时， ， 解得：或或（舍）或 ∴或或 ③当为对角线时， 无实数根，故不成立； 综上所述，点N的坐标为，，，，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年度上学期阶段练习（一） 九年级数学试卷 考试时间：120分钟 试卷满分：120分 ※注意事项：考生答题时，必须将答案写在答题卡上，答案写在试卷上无效． 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列方程一定是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 把一元二次方程化为一般形式，正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 已知是关于x的一元二次方程的一个根，则a的值为（） A. B. 4 C. 2 D. 4. 有一个人患了流感，经过两轮传染后，共有81个人患了流感，设平均每轮每人传染了个人，则下列等式成立的是（ ） A. B. C. D. 5. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 6. 三角形两边长分别为7和4，第三边是方程的解，则这个三角形的周长是（　　） A. 13 B. 13或20 C. 12 D. 20 7. 将二次函数的图象向右平移2个单位，再向下平移3个单位，得到的函数图象的表达式是（ ） A. B. C. D. 8. 若关于x的方程的两根之和为p，两根之积为q，则关于y的方程的两根之积是（　　） A. B. C. D. 9. 已知如图，在正方形ABCD中，点A、C的坐标分别是（﹣1，5）（2，0），点D在抛物线的图像上，则k的值是（　　） A. B. C. D. 10. 对于一元二次方程，下列说法： ①若，则； ②若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根； ③若是一元二次方程的根．则 ④存在实数、，使得； 其中正确的结论有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 方程的根是________． 12. 关于x的一元二次方程（k－1）x2－2x+1=0有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是_______． 13. 抛物线经过点．则关于的一元二次方程的根是______． 14. 已知，是方程的两根，则的值为___________． 15. 如图，在矩形中，，，为上的动点，连接，沿折叠，得，连接，当平分时，的面积是______． 三、（第16题10分，第17题8分，共计18分） 16. 解方程： （1）； （2）（配方法） 17. 某水果商场经销一种高档水果，原价为每千克80元，连续两次降价后售价为每千克元，若每次下降的百分率相同． （1）求每次下降的百分率． （2）在销售中发现，这种水果若每千克盈利10元，每天可售出500千克．若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克．现该商场要保证每天盈利6000元，且要尽快减少库存，那么每千克应涨价多少元？ 四、（第18题8分，第19题8分，共计16分） 18. 已知关于的方程的两个实数根的平方和为1，求的值． 19. 已知关于的方程有两个实数根． （1）求的取值范围； （2）求函数值的取值范围． 五、解答题（10分） 20. 春秋旅行社为吸引市民组团去大连旅游，推出了如下收费标准： 某单位组织员工去大连旅游，共支付给春秋旅行社旅游费用31500元，请问该单位这次共有多少员工去大连旅游？ 六、解答题（9分） 21. 已知二次函数 （1）的最小值是0，求的值； （2）在上的函数值始终是正的，求的取值范围． 七、解答题（10分） 22. 根据以下素材，探索完成任务． 如何改造硬纸板制作无盖纸盒？ 背景 学校手工社团小组想把一张长，宽的矩形硬纸板（如图），制作成一个高为，容积为的无盖长方体纸盒，且纸盒的长不小于（硬纸板的厚度忽略不计）． 方案 初始方案：将矩形硬纸板竖着裁剪（阴影部分），剩余纸板的四周各剪去一个同样大小的正方形（如图）． 改进方案：将矩形硬纸板竖着裁剪，横着裁剪（阴影部分），剩余纸板的四周各剪去一个同样大小的正方形（如图）． 问题解决 任务1 请通过计算判断初始方案是否可行？ 任务2 请通过计算判断改进方案是否可行？ 八、解答题（12分） 23. 如图，函数的图象与轴交于，两点，与轴交于点，连接，． （1）求，，三点的坐标； （2）在函数的图象上，连接，，的面积是的面积的倍，求点的坐标； （3）在函数的图象上，在轴正半轴上，以，，，为顶点的四边形为平行四边形，直接写出点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $