精品解析：湖北省武汉市第四中学2024-2025学年高二上学期10月月考数学试题

武汉四中2024～2025学年上学期高二10月月考 数学试卷 考试时间：2024年10月10日 试卷满分：150分 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 4.考试结束后，请将答题卡上交. 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.） 1. 已知A，B，C，D，E是空间中的五个点，其中点A，B，C不共线，则“存在实数x，y，使得是“平面ABC”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】利用存在实数x，y，使得平面ABC或平面ABC，结合充分必要条件的定义即可求解. 【详解】若平面ABC，则共面，故存在实数x，y，使得，所以必要性成立； 若存在实数x，y，使得，则共面，则平面ABC或平面ABC，所以充分性不成立； 所以 “存在实数x，y，使得是“平面ABC”的必要不充分条件， 故选：B 【点睛】关键点点睛：本题考查空间向量共面的问题，理清存在实数x，y，使得平面ABC或平面ABC是解题的关键，属于基础题. 2. 图中的直线，，的斜率分别是，，，则有（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设直线，，的倾斜角分别为，，．可得，利用正切函数的单调性即可得出斜率大小关系． 【详解】设直线，，的倾斜角分别为，，． 则，所以 可得．即． 故选：． 3. 李华家养了白、灰、黑三种颜色的小兔各1只，从兔窝中每次摸取1只，有放回地摸取3次，则3次摸取的颜色不全相同的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意可知：每次摸到白、灰、黑三种颜色的概率均为，根据独立事件概率乘法公式结合对立事件运算求解. 【详解】由题意可知：每次摸到白、灰、黑三种颜色的概率均为， 记“3次摸取的颜色不全相同”为事件A，则， 所以. 故选：B. 4. 已知直线l的方向向量为，为直线l上一点，若点为直线l外一点，则P到直线l上任意一点Q的距离的最小值为（ ） A. 2 B. C. D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】根据点到直线距离的空间向量公式求出答案. 【详解】， ， ， 点到直线l的距离为. 则P到直线l上任意一点Q的距离的最小值为. 故选：C 5. 下列命题：①若向量满足，则向量的夹角是钝角；②若是空间的一组基底，且，则四点共面；③若向量是空间的一个基底，若向量，则也是空间的一个基底；④若直线的方向向量为，平面的法向量为，则直线与平面所成角的余弦值为；⑤已知向量，，则向量在向量上的投影向量是；其中正确的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】根据向量夹角、空间点共面、基底、线面角、投影向量等知识进行分析，从而确定正确答案. 【详解】①，若向量满足，可能向量的夹角是，所以①错误. ②，对于，由于， 所以四点共面，所以②正确. ③，设， 则共面，这与已知向量是空间的一个基底矛盾， 所以也是空间的一个基底，所以③正确. ④，设直线与平面所成角为，， 则，，所以④错误. ⑤，向量在向量上的投影向量是， 所以⑤正确. 所以一共有个正确. 故选：C 6. 已知某运动员每次射击击中目标的概率为80%.现采用随机模拟的方法估计某运动员射击4次，至少击中3次的概率.先由计算器给出0到9之间取整数值的随机数，指定0，1表示没有击中目标，2，3，4，5，6，7，8，9表示击中目标，以4个随机数为一组，代表射击4次的结果，经随机模拟产生了20组随机数： 7527　0293　7140　9857　0347　4373　8636 6947　7610　4281　1417　4698　0371　6233 2616　8045　6011　3661　9597　7424 根据以上数据估计该射击运动员射击4次，至少击中3次的概率为（ ） A. 0.852 B. 0.8192 C. 0.8 D. 0.75 【答案】D 【解析】 【分析】由题设模拟数据确定击中目标至少3次的随机数组，应用古典概型的概率求法求概率. 【详解】在20组随机数中含中的数至少3个（含3个或4个）， 共有15组，即模拟结果中射击4次至少击中3次的频率为. 据此估计该运动员射击4次，至少击中3次的概率为0.75. 故选：D. 7. 如图，已知电路中4个开关闭合的概率都是，且是相互独立的，则灯亮的概率为 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】由题意，灯泡不亮包括四个开关都开，后下边的2个都开，上边的2个中有一个开， 这三种情况是互斥的，每一种情况的事件都是相互独立的， 所以灯泡不亮的概率为， 所以灯泡亮的概率为，故选D． 8. 将边长为的正方形沿对角线折成直二面角，则下列结论不正确的是（ ） A. B. 是等边三角形 C. 点与平面的距离为 D. 与所成的角为 【答案】C 【解析】 【分析】设的中点为，证明平面，再根据线面垂直的性质即可判断A；根据直二面角可得，利用勾股定理求出即可判断B；以点为原点建立空间直角坐标系，利用向量法求点到面的距离即可判断C；利用向量法求线线夹角即可判断D. 【详解】对于选项A：设的中点为，则， 且，平面，可得平面， 又因为平面，所以，故A正确； 对于选项B：由A的分析知即为二面角的平面角， 故，即， 可知，则， 所以是等边三角形，故B正确； 对于选项CD：以点为原点，分别为轴，建立空间直角坐标系， 则， 可得， 设平面的法向量为，则， 令，则，可得， 所以点与平面的距离，故C错误； 又因为， 且与所成的角取值范围为， 可知与所成的角的余弦值为，所以与所成的角为，故D正确. 故选：C. 【点睛】方法点睛：1．利用空间向量求空间角的一般步骤 （1）建立恰当的空间直角坐标系． （2）求出相关点的坐标，写出相关向量的坐标． （3）结合公式进行论证、计算． （4）转化为几何结论． 2．利用空间向量求点到平面距离的方法 如图，设A为平面内的一点，B为平面外的一点，为平面α的法向量，则B到平面α的距离. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9. 下列命题：①对立事件一定是互斥事件；②若，为两个随机事件，则；③若事件，满足，，，则，相互独立；④若事件，满足，则与是对立事件．其中错误的命题是（ ） A. ① B. ② C. ③ D. ④ 【答案】BD 【解析】 【分析】利用互斥事件、对立事件、相互独立事件的定义及概率的基本性质依次判断4个命题作答. 【详解】对于①：对立事件一定是互斥事件，①正确； 对于②：若，为两个随机事件，则，②错误； 对于③：由，得，相互独立，③正确； 对于④：记事件为抛一枚硬币正面朝上，事件为掷一枚骰子出现偶数点，则， ，满足，显然事件与可以同时发生，它们不是对立事件，④错误. 故选：BD 10. 如图，在直三棱柱中，，，，分别为，和的中点，为棱上的一动点，且，则下列说法正确的是（ ） A. B. 三棱锥的体积为定值 C. D. 异面直线与所成角的余弦值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据图形特点取的中点为，以为原点，为轴建立空间直角坐标系，利用空间向量的线线关系计算可判断A,C,D选项；利用线面关系及三棱锥体积即可判断B选项. 【详解】解：直三棱柱中，，，，分别为，和的中点，取的中点为， 由于，所以，如图以为原点，为轴建立空间直角坐标系，设,，则，所以 则，又，所以，所以， 对于A，，设， 则，所以，则，故A正确； 对于B，因为，分别为，的中点，所以，又，则 又平面，平面，所以平面，故到平面的距离为定值， 所以三棱锥的体积为定值，故B正确； 对于C，由A选项得，， 所以，故C不正确； 对于D，由于，所以，所以， 故异面直线与所成角的余弦值为，故D正确. 故选：ABD. 11. 如图，四边形是边长为的正方形，半圆面平面，点为半圆弧上一动点（点与点，不重合），下列说法正确的是（ ） A. 三棱锥的四个面都是直角三角形 B. 三棱锥的体积最大值为 C. 当时，异面直线与夹角的余弦值为 D. 当直线与平面所成角最大时，平面截四棱锥外接球的截面面积为 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，使用空间中直线、平面垂直有关定理证明； 对于B，三棱锥底面积固定，当高最大时，体积最大，可通过计算进行判断； 对于C，找到与和所成异面直线夹角，再由余弦定理代入计算，即可判断； 对于D，首先利用空间向量解决与平面所成角最大时点的位置，再用的外接圆解决平面的截面圆面积的计算即可. 【详解】对于A，四边形为正方形，为直角三角形； 为直径，为半圆弧上一动点，，为直角三角形； 平面平面，平面平面，平面，， 平面，平面，，为直角三角形； 平面，平面，， 又，，平面，平面， 平面，平面，，为直角三角形； 因此，三棱锥的四个面都是直角三角形，故A正确； 对于B，过点在平面内作于点， 平面平面，平面平面，平面， 平面，为三棱锥的高， 三棱锥的体积 的面积为定值， 当最大时，三棱锥的体积最大，此时点为半圆弧的中点，， 三棱锥体积的最大值为，故B错误； 取中点，中点，中点， 连接，则，， 所以异面直线与的夹角为或其补角， 且，又， 则，， 则，又， 则， 在中，由余弦定理可得 ， 则异面直线与夹角的余弦值为，故C正确； 对于D，由B选项解析知，平面，为在平面内的射影， 为直线与平面所成角， 当直线与平面所成角最大时，取最小值， 以为原点，建立空间直角坐标系如图，设，，，则 在直角三角形内，，即， ，，，，， ，. 当且仅当，即时，取最小值，直线与平面所成角最大， 此时， ，，三点均为四棱锥的顶点， 平面截四棱锥外接球的截面为的外接圆面， 直角三角形外接圆半径， 截面面积，故D正确. 故选：ACD. 【点睛】易错点睛：在判断三棱锥的四个面是否都是直角三角形时，易忽视，需通过证明平面进行判断；在确定直线与平面所成角最大时点的位置时，容易错误的认为当点为半圆弧的中点时，直线与平面所成角最大，需使用空间向量，借助三角函数知识进行判断. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 已知直线的倾斜角为，直线，若直线过点，则______． 【答案】6 【解析】 【分析】根据平行直线的斜率的关系列方程，从而求得的值. 【详解】因为直线的倾斜角为，所以． 又直线，则，解得． 故答案为： 13. 如图所示，在平行六面体中，，，，则________． 【答案】2 【解析】 【分析】据空间向量基本定理把用，，作为基底表示，利用向量数量积运算即可求解. 【详解】在平行六面体中,， 所以， 因为，所以， 又， 所以，， 所以 所以. 故答案为：2. 14. 甲､乙两队进行答题比赛，每队3名选手，规定两队的每名选手都完成一次答题为一轮比赛，每名选手答对一题得1分，答错一题得0分.已知甲队中每名选手答对题的概率都为，乙队中3名选手答对题的概率分别为.在第一轮比赛中，甲队得分，乙队得分，则在这一轮中，满足且的概率为__________. 【答案】 【解析】 【分析】首先求出甲在一轮比赛中得分、分的概率，乙在一轮比赛中得分、分的概率，设在这一轮中，满足且为事件，则包含①甲队得分，乙队得分，②甲队得分，乙队得分，③甲队得分，乙队得分，再根据相互独立事件及互斥事件的概率公式计算可得. 【详解】依题意甲队在一轮比赛中得分的概率为， 甲队在一轮比赛中得分的概率为， 乙队在一轮比赛中得分的概率为： ， 乙队在一轮比赛中得分的概率为： ， 设在这一轮中，满足且为事件， 则包含①甲队得分，乙队得分，②甲队得分，乙队得分，③甲队得分，乙队得分， 所以， 即在这一轮中，满足且的概率为. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：本题解答的关键是分析得到①甲队得分，乙队得分，②甲队得分，乙队得分，③甲队得分，乙队得分，再根据相互独立事件及互斥事件的概率公式计算. 四、解答题（本题共5小题，第15题13分，第16、17题15分，第18、19题17分，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 如图，在正方体中，点E，F，M分别是线段，EC，的中点.设，，. （1）用基底表示向量. （2）棱BC上是否存在一点G，使得？若存在，指出G的位置；若不存在，请说明理由. 【答案】（1） （2）不存在一点G，理由如下： 假设棱BC上存在点G，使得，设． 因为， 所以． 因为，所以，化简得， 得，所以棱BC上不存在一点G，使得. 【解析】 【分析】（1）结合空间向量的线性运算，由空间向量基本定理求解即可； （2）假设棱BC上存在点G，使得，设，由基底表示出向量，由即可求出. 【小问1详解】 因为，， 所以． 【小问2详解】 略 16. 已知不透明的盒子中装有标号为1，2，3的小球各2个（小球除颜色､标号外均相同）. （1）若一次取出3个小球，求取出的3个小球上标号均不相同的概率； （2）若有放回地先后取出2个小球，求取出的2个小球上标号不相同的概率. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）使用列举法，结合古典概型概率公式可得； （2）先求2个小球上标号相同的概率，然后由对立事件的概率关系可得. 【小问1详解】 分别记6个小球为，从中任取3个小球有： ，共20种. 3个小球上标号均不相同的有： 共8种， 所以取出的3个小球上标号均不相同的概率为. 【小问2详解】 每次取球都有6种取法，所以总的取法有种取法. 2个小球上标号相同的取法有： 共12种取法， 所以2个小球上标号相同的概率为， 所以取出的2个小球上标号不相同的概率. 17. 如图，在直三棱柱中，，，，分别为，的中点. （1）证明：. （2）求直线与平面所成角的正弦值. （3）设点到直线的距离为，点到平面的距离为，求的值. 【答案】（1） 连接，， 因为，为的中点，所以， 因为棱柱直三棱柱， 所以面，平面，所以平面平面， 又平面平面，面， 则平面，又平面，所以， 在矩形中，，为的中点， 所以， 所以，故， 又，面，面， 所以平面，又平面， 所以. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由题意可知平面平面，根据面面垂直的性质定理可得平面，进而得到，在矩形中，由题意可得，由线面垂直判定定理及性质即可证得； （2）取的中点，连接，建立空间直角坐标系，利用空间向量即可求线面角的正弦值； （3）利用空间向量求出和，即可求出. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 取的中点，连接， 由（1）及题意易知，，两两垂直，则以为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图所示. 由，，则，，，，. 设平面的法向量为，又，， 则即令，则. 设直线与平面所成的角为，又， 则， 故直线与平面所成角的正弦值为. 【小问3详解】 由（2）知平面的一个法向量为，，， 所以点到平面的距离为， 又，直线的一个单位方向向量为， 则，， 所以点到直线的距离为， 所以. 18. 如图，在四棱锥中，，且． （1）若点在上，且平面，证明：为的中点； （2）已知二面角的大小为，求平面与平面夹角的正切值． 【答案】（1）因为，，所以，，， 在直角三角形中，， 又因为，为的平分线， 延长、交于点，连接， 在中，，所以，是等腰三角形， 所以，点是的中点， 因为直线平面，过的平面与平面的交线为，则， 因为是的中点，所以是的中点. （2） 【解析】 【分析】（1）首先判断底面的几何关系，再结合线面平行的性质定理，构造辅助线，即可证明； （2）首先由几何关系确定为二面角的大小，再根据几何关系确定空间直角坐标系，分别求平面和平面的法向量，再利用法向量求二面角的余弦值，即可求正切值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 在中，，，，则，即， 由已知得，， 又平面平面，平面，所以平面， 因为平面，即， 所以，为二面角的平面角，所以， 又，所以为正三角形， 取的中点为，连，则，平面， 以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴， 平面内垂直于直线的直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 所以， 设分别为平面和平面的法向量， 则，取，则， ，取，则， 所以， 则， 所以平面与平面夹角的正切值为． 19. 某校举行围棋比赛，甲、乙、丙三人通过初赛，进入决赛.决赛比赛规则如下：首先通过抽签的形式确定甲、乙两人进行第一局比赛，丙轮空；第一局比赛结束后，胜利者和丙进行比赛，失败者轮空，以此类推，每局比赛的胜利者跟本局比赛轮空者进行下一局比赛，直到一人累计获胜三局，则此人获得比赛胜利，比赛结束.假设每局比赛双方获胜的概率均为，且每局比赛相互独立. （1）求比赛进行四局结束的概率； （2）求甲获得比赛胜利的概率. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】列举各问中的可能事件，由独立事件的乘法公式计算出概率，再由互斥事件概率的加法公式即可得解； 【小问1详解】 比赛进行四局结束有以下两种情况：第一局甲获胜，后三局丙获胜；第一局乙获胜，后三局丙获胜, 第一局甲获胜，后三局丙获胜的概率, 第一局乙获胜，后三局丙获胜的概率, 故比赛进行四局结束的概率. 【小问2详解】 设甲获胜为事件，乙获胜为事件，丙获胜为事件， 比赛进行三局，甲获胜的概率为, 比赛进行五局，有以下6种情况：， 甲获胜的概率为, 比赛进行七局，有一下8种情况： 甲获胜的概率为, 故甲获得比赛胜利的概率为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 武汉四中2024～2025学年上学期高二10月月考 数学试卷 考试时间：2024年10月10日 试卷满分：150分 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 4.考试结束后，请将答题卡上交. 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.） 1. 已知A，B，C，D，E是空间中的五个点，其中点A，B，C不共线，则“存在实数x，y，使得是“平面ABC”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 2. 图中的直线，，的斜率分别是，，，则有（ ） A. B. C. D. 3. 李华家养了白、灰、黑三种颜色的小兔各1只，从兔窝中每次摸取1只，有放回地摸取3次，则3次摸取的颜色不全相同的概率为（ ） A. B. C. D. 4. 已知直线l的方向向量为，为直线l上一点，若点为直线l外一点，则P到直线l上任意一点Q的距离的最小值为（ ） A. 2 B. C. D. 1 5. 下列命题：①若向量满足，则向量的夹角是钝角；②若是空间的一组基底，且，则四点共面；③若向量是空间的一个基底，若向量，则也是空间的一个基底；④若直线的方向向量为，平面的法向量为，则直线与平面所成角的余弦值为；⑤已知向量，，则向量在向量上的投影向量是；其中正确的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 6. 已知某运动员每次射击击中目标的概率为80%.现采用随机模拟的方法估计某运动员射击4次，至少击中3次的概率.先由计算器给出0到9之间取整数值的随机数，指定0，1表示没有击中目标，2，3，4，5，6，7，8，9表示击中目标，以4个随机数为一组，代表射击4次的结果，经随机模拟产生了20组随机数： 7527　0293　7140　9857　0347　4373　8636 6947　7610　4281　1417　4698　0371　6233 2616　8045　6011　3661　9597　7424 根据以上数据估计该射击运动员射击4次，至少击中3次的概率为（ ） A. 0.852 B. 0.8192 C. 0.8 D. 0.75 7. 如图，已知电路中4个开关闭合的概率都是，且是相互独立的，则灯亮的概率为 A. B. C. D. 8. 将边长为的正方形沿对角线折成直二面角，则下列结论不正确的是（ ） A. B. 是等边三角形 C. 点与平面的距离为 D. 与所成的角为 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9. 下列命题：①对立事件一定是互斥事件；②若，为两个随机事件，则；③若事件，满足，，，则，相互独立；④若事件，满足，则与是对立事件．其中错误的命题是（ ） A. ① B. ② C. ③ D. ④ 10. 如图，在直三棱柱中，，，，分别为，和的中点，为棱上的一动点，且，则下列说法正确的是（ ） A. B. 三棱锥的体积为定值 C. D. 异面直线与所成角的余弦值为 11. 如图，四边形是边长为的正方形，半圆面平面，点为半圆弧上一动点（点与点，不重合），下列说法正确的是（ ） A. 三棱锥的四个面都是直角三角形 B. 三棱锥的体积最大值为 C. 当时，异面直线与夹角的余弦值为 D. 当直线与平面所成角最大时，平面截四棱锥外接球的截面面积为 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 已知直线的倾斜角为，直线，若直线过点，则______． 13. 如图所示，在平行六面体中，，，，则________． 14. 甲､乙两队进行答题比赛，每队3名选手，规定两队的每名选手都完成一次答题为一轮比赛，每名选手答对一题得1分，答错一题得0分.已知甲队中每名选手答对题的概率都为，乙队中3名选手答对题的概率分别为.在第一轮比赛中，甲队得分，乙队得分，则在这一轮中，满足且的概率为__________. 四、解答题（本题共5小题，第15题13分，第16、17题15分，第18、19题17分，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 如图，在正方体中，点E，F，M分别是线段，EC，的中点.设，，. （1）用基底表示向量. （2）棱BC上是否存在一点G，使得？若存在，指出G的位置；若不存在，请说明理由. 16. 已知不透明的盒子中装有标号为1，2，3的小球各2个（小球除颜色､标号外均相同）. （1）若一次取出3个小球，求取出的3个小球上标号均不相同的概率； （2）若有放回地先后取出2个小球，求取出的2个小球上标号不相同的概率. 17. 如图，在直三棱柱中，，，，分别为，的中点. （1）证明：. （2）求直线与平面所成角的正弦值. （3）设点到直线的距离为，点到平面的距离为，求的值. 18. 如图，在四棱锥中，，且． （1）若点在上，且平面，证明：为的中点； （2）已知二面角的大小为，求平面与平面夹角的正切值． 19. 某校举行围棋比赛，甲、乙、丙三人通过初赛，进入决赛.决赛比赛规则如下：首先通过抽签的形式确定甲、乙两人进行第一局比赛，丙轮空；第一局比赛结束后，胜利者和丙进行比赛，失败者轮空，以此类推，每局比赛的胜利者跟本局比赛轮空者进行下一局比赛，直到一人累计获胜三局，则此人获得比赛胜利，比赛结束.假设每局比赛双方获胜的概率均为，且每局比赛相互独立. （1）求比赛进行四局结束的概率； （2）求甲获得比赛胜利的概率. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $