2025年浙江省九年级中考数学专题复习 第6讲 路径问题之直线型

路径问题之直线型 · 必备知识 到已知线段两个端点距离相等的点的轨迹，是这条线段的垂直平分线． 在角的内部，到角两边距离相等的点的轨迹，是这个角的角平分线． 到定直线的距离等于定长的点的轨迹，是平行于这条直线，且到这条直线的距离等于该定长的两条直线．(平行等距法) 平面内，过定点且与定直线的夹角为定值的点在直线上运动．(夹角定位法) 两定一动等腰三角形与两圆一线． 两定一动直角三角形与两线一圆． · 典型例题 平行等距法 1. 如图，在△ABC中，，M是边BC上一动点，连接AM，取AM的中点P，随着点M从点B运动到点C，求动点P的路径长． 如图，已知E、F为等边△ABC边AB、AC上的两动点，连结EF．若，且等边△ABC的边长为8，求线段EF中点Q的运动路径的长． 如图，已知线段，C、D是AB上两点，且，P是线段CD上一动点，在AB同侧分别作等边三角形APE和等边三角形PBF，G为线段EF的中点，点P由点C移动到点D时，求G点移动的路径长度． 如图，矩形ABCD中，，，点E在边AD上，且．动点P从点A出发，沿AB运动到点B停止．过点E作EF⊥PE交射线BC于点F，设M是线段EF的中点，则在点P运动的整个过程中，求点M运动路线的长． 已知，点C、D在线段AB上且；P是线段CD上的动点分别以AP、PB为边在线段AB的同侧作正方形APEF和正方形PBGH，点和是这两个正方形的中心，连接，设的中点为Q：当点P从点C运动到点D时，求点Q移动路径的长． 如图，四边形ABHK是边长为6的正方形，点C、D在边AB上，且，点P是线段CD上的动点，分别以AP、PB为边在线段AB的同侧作正方形AMNP和正方形BRQP，E、F分别为MN、QR的中点，连接EF，设EF的中点为G，则当点P从点C运动到点D时，求点G移动的路径长． 如图，已知的顶点A、C分别在直线和上，O坐标原点，求对角线OB长的最小值． 如图，已知在四边形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD=1，BC=3，P为AB边上的一动点，连接PD并延长到点E，使得PD：PE=1：3，以PE，PC为边作平行四边形PEFC，连接PF，求PF的最小值． 在四边形ABCD中，AB∥CD，BC⊥CD，，，在BC上取点P(P与BC不重合)，连接PA延长至E，使，连接PD并延长到F，使(x，y>1)，以PE、PF为边作平行四边形，另一个顶点为G，求PG长度的最小值(用x，y表示) 如图，正方形ABCD的边长是2，M是AD的中点，点E从点A出发，沿AB运动到点B停止．连接EM并延长交射线CD于点F，过M作EF的垂线交射线BC于点G，连结EG、FG． (1) 设AE＝x时，△EGF的面积为y，求y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； (2) P是MG的中点，请直接写出点P运动路线的长． F D C A B M P G E F D C A B M P G E 夹角定位法 如图，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，，，O为AC中点，若点D在直线BC上运动，连接OE，则在点D运动过程中，求线段OE的最小值． 如图，边长为2a的等边△ABC中，M是高CH所在直线上的一个动点，连接MB，将线段M绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接HN．则在点M运动过程中，求线段HN长度的最小值． 如图，已知正方形ABCD的边长为4点P是AB边上的一个动点连接CP，过点P作PC的 垂线交AD于点E，以PE为边作正方形PEFG，顶点G在线段PC上，对角线EG、PF相交于点O． ①求证：点O一定在△APE的外接圆上； ②当点P从点A运动到点B时，点O也随之运动求点O经过的路径长． 解析法 在平面直角坐标系中，点P的坐标为(0，2)，点M的坐标为(，)(其中m为实数)，当PM的长最小时，求m的值． 如图，在平面直角坐标系中，A(1，4)，B(3，2)，C(m，)，若OC恰好平分四边形OACB的面积，求点C的坐标． 如图，OM⊥ON，A、B分别为射线OM、ON上的两个动点，且始终保持，P为AB的中点，当点B由点O向右移动时，求点P移动的路径长． 如图，在Rt△ABC中，，，，动点P从点A开始沿边AC向点C以每秒1个单位长度的速度运动；同时，动点Q从点C开始沿边CB向点B以每秒2个单位长度的速度运动，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动设运动时间为t秒(t≥0)，连接PQ，求其中点M在整个运动过程中所经过的路径长． 如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，动点P从点A开始沿边AC向点C以1个单位长度的速度运动，动点Q从点C开始沿边CB向点B以每秒2个单位长度的速度运动，过点P作PD∥BC，交AB于点D，连接PQ分别从点A、C同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t秒(t≥0)． (3) 直接用含t的代数式分别表示：QB=__________，PD=__________． (4) 是否存在t的值，使四边形PDBQ为菱形？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由．并探究如何改变Q的速度(匀速运动)，使四边形PDBQ在某一时刻为菱形，求点Q的速度； (5) 如图2，在整个运动过程中，求出线段PQ中点M所经过的路径长． 如图，已知A(8，0)，P是y轴上一动点，线段PA绕着点P按逆时针方向旋转90至线段PB位置，连接AB、OB，求BO+BA的最小值__________． 来回型路径 (2017年浙江舟山)一副含30°和45°角的三角板ABC和DEF叠合在一起，边BC与EF重合，，点G为边BC(EF)的中点，现将三角板DEF绕点G按顺时针方向旋转，在∠CGF从0°到60°的变化过程中，求点H相应移动的路径长． 图1是用钢丝制作的一个几何探究工具，其中△ABC内接于圆G，AB是⊙G的直径，AB=6，AC=2．现将制作的几何探究工具放在平面直角坐标系中(如图2)，然后点A在射线OX上由点O开始向右滑动，点B在射线OY上也随之向点O滑动(如图3)，当点B滑动至与点O重合时运动结束． 在整个运动过程中，点C运动的路程是多少? 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 路径问题之直线型 · 必备知识 到已知线段两个端点距离相等的点的轨迹，是这条线段的垂直平分线． 在角的内部，到角两边距离相等的点的轨迹，是这个角的角平分线． 到定直线的距离等于定长的点的轨迹，是平行于这条直线，且到这条直线的距离等于该定长的两条直线．(平行等距法) 平面内，过定点且与定直线的夹角为定值的点在直线上运动．(夹角定位法) 两定一动等腰三角形与两圆一线． 两定一动直角三角形与两线一圆． · 典型例题 平行等距法 1. 如图，在△ABC中，，M是边BC上一动点，连接AM，取AM的中点P，随着点M从点B运动到点C，求动点P的路径长． 【答案】4 如图，已知E、F为等边△ABC边AB、AC上的两动点，连结EF．若，且等边△ABC的边长为8，求线段EF中点Q的运动路径的长． 【答案】4 如图，已知线段，C、D是AB上两点，且，P是线段CD上一动点，在AB同侧分别作等边三角形APE和等边三角形PBF，G为线段EF的中点，点P由点C移动到点D时，求G点移动的路径长度． 【答案】2 如图，矩形ABCD中，，，点E在边AD上，且．动点P从点A出发，沿AB运动到点B停止．过点E作EF⊥PE交射线BC于点F，设M是线段EF的中点，则在点P运动的整个过程中，求点M运动路线的长． 【答案】9 已知，点C、D在线段AB上且；P是线段CD上的动点分别以AP、PB为边在线段AB的同侧作正方形APEF和正方形PBGH，点和是这两个正方形的中心，连接，设的中点为Q：当点P从点C运动到点D时，求点Q移动路径的长． 【答案】3 如图，四边形ABHK是边长为6的正方形，点C、D在边AB上，且，点P是线段CD上的动点，分别以AP、PB为边在线段AB的同侧作正方形AMNP和正方形BRQP，E、F分别为MN、QR的中点，连接EF，设EF的中点为G，则当点P从点C运动到点D时，求点G移动的路径长． 【答案】2 如图，已知的顶点A、C分别在直线和上，O坐标原点，求对角线OB长的最小值． 【答案】5 如图，已知在四边形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD=1，BC=3，P为AB边上的一动点，连接PD并延长到点E，使得PD：PE=1：3，以PE，PC为边作平行四边形PEFC，连接PF，求PF的最小值． 【答案】6 在四边形ABCD中，AB∥CD，BC⊥CD，，，在BC上取点P(P与BC不重合)，连接PA延长至E，使，连接PD并延长到F，使(x，y>1)，以PE、PF为边作平行四边形，另一个顶点为G，求PG长度的最小值(用x，y表示) 【答案】 如图，正方形ABCD的边长是2，M是AD的中点，点E从点A出发，沿AB运动到点B停止．连接EM并延长交射线CD于点F，过M作EF的垂线交射线BC于点G，连结EG、FG． (1) 设AE＝x时，△EGF的面积为y，求y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； (2) P是MG的中点，请直接写出点P运动路线的长． 【答案】；2F D C A B M P G E F D C A B M P G E 夹角定位法 如图，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，，，O为AC中点，若点D在直线BC上运动，连接OE，则在点D运动过程中，求线段OE的最小值． 【答案】 如图，边长为2a的等边△ABC中，M是高CH所在直线上的一个动点，连接MB，将线段M绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接HN．则在点M运动过程中，求线段HN长度的最小值． 【答案】 如图，已知正方形ABCD的边长为4点P是AB边上的一个动点连接CP，过点P作PC的 垂线交AD于点E，以PE为边作正方形PEFG，顶点G在线段PC上，对角线EG、PF相交于点O． ①求证：点O一定在△APE的外接圆上； ②当点P从点A运动到点B时，点O也随之运动求点O经过的路径长． 【答案】 解析法 在平面直角坐标系中，点P的坐标为(0，2)，点M的坐标为(，)(其中m为实数)，当PM的长最小时，求m的值． 【答案】 如图，在平面直角坐标系中，A(1，4)，B(3，2)，C(m，)，若OC恰好平分四边形OACB的面积，求点C的坐标． 【答案】 如图，OM⊥ON，A、B分别为射线OM、ON上的两个动点，且始终保持，P为AB的中点，当点B由点O向右移动时，求点P移动的路径长． 【答案】 如图，在Rt△ABC中，，，，动点P从点A开始沿边AC向点C以每秒1个单位长度的速度运动；同时，动点Q从点C开始沿边CB向点B以每秒2个单位长度的速度运动，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动设运动时间为t秒(t≥0)，连接PQ，求其中点M在整个运动过程中所经过的路径长． 【答案】 如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，动点P从点A开始沿边AC向点C以1个单位长度的速度运动，动点Q从点C开始沿边CB向点B以每秒2个单位长度的速度运动，过点P作PD∥BC，交AB于点D，连接PQ分别从点A、C同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t秒(t≥0)． (3) 直接用含t的代数式分别表示：QB=__________，PD=__________． (4) 是否存在t的值，使四边形PDBQ为菱形？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由．并探究如何改变Q的速度(匀速运动)，使四边形PDBQ在某一时刻为菱形，求点Q的速度； (5) 如图2，在整个运动过程中，求出线段PQ中点M所经过的路径长． 【答案】 如图，已知A(8，0)，P是y轴上一动点，线段PA绕着点P按逆时针方向旋转90至线段PB位置，连接AB、OB，求BO+BA的最小值__________． 【答案】 来回型路径 (2017年浙江舟山)一副含30°和45°角的三角板ABC和DEF叠合在一起，边BC与EF重合，，点G为边BC(EF)的中点，现将三角板DEF绕点G按顺时针方向旋转，在∠CGF从0°到60°的变化过程中，求点H相应移动的路径长． 【答案】 图1是用钢丝制作的一个几何探究工具，其中△ABC内接于圆G，AB是⊙G的直径，AB=6，AC=2．现将制作的几何探究工具放在平面直角坐标系中(如图2)，然后点A在射线OX上由点O开始向右滑动，点B在射线OY上也随之向点O滑动(如图3)，当点B滑动至与点O重合时运动结束． 在整个运动过程中，点C运动的路程是多少? 【答案】 2 学科网（北京）股份有限公司 $$