湖北省沙市中学2024-2025学年高一上学期10月期中考试数学试题

2024—2025学年度上学期2024级 期中考试数学试卷 出题人:朱鑫 审题人：刘超 考试时间：2024年10月25日 一、单选题 1．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 2．下列选项中，表示的是同一函数的是（    ） A． B． C． D． 3．已知函数的值域是，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．我国著名数学家华罗庚先生曾说：”数缺形时少直观，形缺数时难入微”．在数学的学习和研究过程中，常用函数图像来研究函数的性质，也经常用函数解析式来分析函数的图像特征，函数在[﹣2，2]上的图像大致是（　　） A． B． C． D． 5．函数，若对任意、（），都有成立，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 6．若对任意满足的正数a，都有成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．若函数在定义域上的值域为，则称为“函数”．已知函数是“函数”，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．已知函数满足，且当时，，若存在，使得，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．已知，则下列不等式一定成立的是（ ） A． B． C． D． 10．若定义在上的函数满足，则下列说法成立的是（    ） A．无理数，， B．对任意有理数m，有 C．， D．， 11．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过x的最大整数，则称为高斯函数，如.设函数，则下列说法错误的是（   ） A．的图象关于轴对称 B．的最大值为1，没有最小值 C． D．在上是增函数 三、填空题 12．函数的定义域为 . 13．若“”为假命题，则实数a的取值范围为 . 14．已知函数，若非空集合，，满足，则实数的取值范围是 四、解答题 15．已知全集，集合，集合，集合． (1)求， (2)若，求实数m的取值范围． 16．随着我国经济发展、医疗消费需求增长、人们健康观念转变以及人口老龄化进程加快等影响，医疗器械市场近年来一直保持了持续增长的趋势．某医疗器械公司为了进一步增加市场力，计划改进技术生产某产品．已知生产该产品的年固定成本为300万元，最大产能为100台，每生产台，需另投入成本万元，且，由市场调研知，该产品每台的售价为200万元，且全年内生产的该产品当年能全部销售完． (1)写出年利润万元关于年产量台的函数解析式（利润=销售收入-成本）； (2)当该产品的年产量为多少时，公司所获利润最大？最大利润是多少？ 17．《见微知著》谈到：从一个简单的经典问题出发，从特殊到一般，由简单到复杂，从部分到整体，由低维到高维，知识与方法上的类比是探索发展的重要途径，是发现新问题、新结论的重要方法． 例如，已知，求证：． 证明：原式． 波利亚在《怎样解题》中也指出：“当你找到第一个蘑菇或作出第一个发现后，再四处看看，他们总是成群生长．”类似上述问题，我们有更多的式子满足以上特征． 请根据上述材料解答下列问题： (1)已知，求的值； (2)若，解方程； (3)若正数满足，求的最小值． 18．定义：若函数对于其定义域内的某一数，有，则称是的一个不动点.已知函数. (1)当，时，求函数的不动点； (2)若对任意的实数b，函数恒有两个不动点，求实数a的取值范围； (3)在（2）的条件下，若图象上两个点A、B的横坐标是函数的不动点，且线段AB的中点C在函数的图象上，求实数b的最小值. 19．已知是定义在上的奇函数，其中，且. (1)求a,b的值； (2)判断在上的单调性，并用单调性的定义证明； (3)设，若对任意的，总存在，使得成立，求非负实数的取值范围 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 期中考试试卷解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 C D C B C C C D ABD BCD ABD 12．【分析】函数的定义域满足，解得答案. 【详解】函数的定义域满足，解得且.故答案为：. 13．【分析】由原命题为假，其否定为真得到在上恒成立，结合对应函数的单调性求右侧的最大值，即可得参数范围. 【详解】由题设命题为假，则为真，所以，即在上恒成立，又在上递增，故，所以.故答案为： 14． 【分析】通过直接代入，然后解一元二次不等式，通过分别判断两一元二次不等式的方程的，从而进行求解即可. 【详解】由，可得，即，由，可得在上恒成立， 即，解得， 又集合A是非空集合，所以在上有解，则，解得或， 综合可得：．故答案为： 15．(1)或， (2)或 【分析】（1）先解不等式得出集合、，再由集合的运算可得结果； （2）因为，所以，分和两种情况求解即可. 【详解】（1）根据题意：集合，集合或，或， （2）因为，所以，若，则，若，则，得时，可得，实数的取值范围为或 . 16．(1) (2)年产量为60台时，公司所获利润最大，最大利润是1680万元. 【分析】（1）每台售价200万，销售收入是，减去对应的成本，以及固定成本300万，即为利润；（2）观察利润的函数解析式，发现对应的函数解析式为开口向下的二次函数，可利用二次函数的特点求最大利润值，对应的函数解析式中含有基本不等式的部分，可考虑利用基本不等式求最值，最后要对两个最值比较，得出最大利润. 【详解】（1）当时，； 当时，， . （2）若，，当时，万元；若，，当且仅当时，即时，万元． 则该产品的年产量为60台时，公司所获利润最大，最大利润是1680万元. 17．(1)1 (2) (3) 【分析】（1）由题意把代入式中可求值；（2）将代入方程可求解；（3）由已知条件可得，利用基本不等式求出的最小值即可． 【详解】（1）． （2），原方程可化为：，即：，，即，解得：． （3） ，当且仅当，即时，等号成立， 有最小值，此时有最大值，从而有最小值，即有最小值． 18．(1)和3 (2) (3) 【分析】（1）按照不动点的定义计算即可；（2）方程有两个不等实根，，得到关于的二次函数，再利用判别式求解即可；（3）求出点C坐标，代入，结合，得到，借助二次函数求出最小值即可. 【详解】（1）当，时，由，解得或， 故所求的不动点为和3. （2）令，则① 由题意，方程①恒有两个不等实根，所以，即对任意的恒成立，则，∴. （3）依题意设，，则AB中点C的坐标为，又AB的中点在直线上，∴，∴， 又，是方程①的两个根，∴，即， ∴，∵，∴.所以时，b的最小值为. 19．(1)， (2)在上单调递减，证明见解析 (3) 【分析】（1）利用奇函数的性质，结合，求得到的值，检验即可；（2）利用函数单调性的定义判断并证明即可；（3）记在区间内的值域为，在区间内的值域为，将问题转化为时求非负实数的取值范围，利用单调性求出的值域，分，，和四种情况讨论，结合单调性求出的值域，即可得到答案． 【详解】（1）因为是定义在上的奇函数，所以，解得，又因为，所以，解得，所以，，则为奇函数， 所以，. （2）在上单调递减.证明如下：设，则，因为，则，所以，所以在上单调递减. （3）由（2）可知在上单调递减，所以，记在区间内的值域为.当时，在上单调递减，则，得在区间内的值域为.因为，所以对任意的，总存在，使得成立.当时，在上单调递减，则，得在区间内的值域为，因为，所以对任意的，总存在，使得成立.，当时，在上单调递减，在上单调递增，则，得在区间内的值域为，所以无解，当时，在上单调递减，在上单调递增，则，得在区间内的值域为，不符合题意.综上，非负实数的取值范围为. 答案第10页，共11页 答案第11页，共11页 学科网（北京）股份有限公司 $$