精品解析：四川省射洪中学2024-2025学年高一上学期强基班第一次月考数学试题

射洪中学高2024级强基班高一上期第一学月考试 数学试题 出题：成相 审题：杨勇 校对：杨勇 （考试时间：120分钟 满分：150分） 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的班级､姓名､考号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.写在本试卷上无效. 3.回答非选择题时，将答案写在答题卡对应题号的位置上.写在本试卷上无效. 4.考试结束后，将答题卡交回. 第I卷（选择题） 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1. 下列四组函数中，不是同一个函数的一组是（ ） A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 2. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 3. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 若正数，满足，则的最小值为（ ） A. 2 B. C. 3 D. 5. 函数为幂函数，则该函数为（ ） A. 增函数 B. 减函数 C. 奇函数 D. 偶函数 6. 若函数是定义在上的偶函数，则（ ） A. B. C. 3 D. 2 7. 函数的部分图像如图，则的解析式可能是（ ） A. B. C. D. 8. 我国南宋著名数学家秦九韶（约1202～1261）独立发现了与海伦公式等价的由三角形三边求面积的公式，他把这种称为“三斜求积”的方法写在他的著作《数书九章》中．具体的求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上．以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实一为从隅，开平方得积．”如果把以上这段文字写成公式，就是．现将一根长为的木条，截成三段构成一个三角形，若其中有一段的长度为，则该三角形面积的最大值为（ ）． A. B. C. D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列四个结论中正确的是（ ） A. B. 命题“”的否定是“” C. “”的充要条件是“” D. “”是“”的必要不充分条件 10. 已知函数，则（ ） A. 函数的定义域为 B. 函数在单调递减 C. 函数值域为 D. 不等式的解集为 11. 我们知道，如果集合，那么的子集的补集为且，类似地，对于集合我们把集合且，叫作集合和的差集，记作，例如：，则有，下列解答正确的是（ ） A. 已知，则 B. 已知或，则或 C. 如果，那么 D. 已知全集、集合、集合关系如上图中所示，则 第II卷（非选择题） 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数在R上单调递增，则实数的取值范围为________． 13. 已知关于的不等式，若此不等式的解集为，则实数m的取值范围是___________ 14. 下列说法正确的有__．（填序号） ①若函数为奇函数，则； ②函数在，，上是单调减函数； ③若函数的定义域为,，则函数的定义域为； ④将的图像向右平移个单位，可得的图像 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 设，已知集合. （1）当时，求； （2）若“”是“”的必要不充分条件，求的取值范围. 16. 解不等式组 （1）； （2）. 17. 我市为推动美丽乡村建设，发展农业经济，鼓励农产品加工，某食品企业生产一种饮料，每瓶成本为10元，售价为15元，月销售8万瓶. （1）据市场调查，若售价每提高1元，月销售量将减少2000瓶，要使月总利润不低于原来的月总利润（月总利润月销售总收入月总成本），该饮料每瓶售价最多为多少元？ （2）为提高月总利润，企业决定下月进行营销策略改革，计划每瓶售价元，并投万元作为营销策略改革费用.据市场调查，每瓶售价每提高1元，月销售量将相应减少万瓶，则当每瓶售价为多少时，下月的月总利润最大？并求出下月最大总利润. 18. 已知是定义在非零实数集上的函数，且对任意非零实数恒有. （1）求的值； （2）证明：为偶函数； （3）当，证明在上单调递增，并求不等式的解集. 19. 已知函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是是奇函数，给定函数． （1）求函数图象的对称中心； （2）用定义证明在区间上的单调性； （3）已知函数的图象关于点对称，且当时，．若对任意，总存在，使得，求实数m的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 射洪中学高2024级强基班高一上期第一学月考试 数学试题 出题：成相 审题：杨勇 校对：杨勇 （考试时间：120分钟 满分：150分） 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的班级､姓名､考号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.写在本试卷上无效. 3.回答非选择题时，将答案写在答题卡对应题号的位置上.写在本试卷上无效. 4.考试结束后，将答题卡交回. 第I卷（选择题） 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1. 下列四组函数中，不是同一个函数的一组是（ ） A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 【答案】D 【解析】 【分析】根据同一函数的定义逐项判断即可. 【详解】选项A：对于，其定义域为. 对于，因为恒成立，所以定义域为. 又因为，与的定义域相同，对应关系也相同，所以和是同一个函数. 选项B：的定义域是.的定义域是. 虽然自变量的符号不同，但是它们的定义域相同，对应关系（这里和都只是自变量的符号）也相同，所以和是同一个函数. 选项C：的定义域为. 当时，；当时，，，其定义域为. 与的定义域相同，对应关系也相同，所以和是同一个函数. 选项D：，根据根式的性质，其定义域为. ，其定义域为. 由于和的定义域不同，所以和不是同一个函数. 故选：D. 2. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】化简集合，结合交集的概念即可得解. 【详解】，，则. 故选：D. 3. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】解不等式，利用充分条件、必要条件的定义判断即可. 【详解】当，则,即,所以或，所以时，不一定成立，若，则一定有， 所以“”是“”的必要不充分条件； 故选：B 4. 若正数，满足，则的最小值为（ ） A. 2 B. C. 3 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，利用基本不等式“1”的妙用求解即得. 【详解】由正数，满足， 得， 当且仅当，即，时取等号， 所以的最小值为． 故选：B 5. 函数为幂函数，则该函数为（ ） A. 增函数 B. 减函数 C. 奇函数 D. 偶函数 【答案】D 【解析】 【分析】根据幂函数定义可得，求得解析式即可得出该函数为偶函数； 【详解】由题意知，即， 则该函数为，此时函数定义域为全体实数集， 该函数在定义域内有增有减，不是单调函数； 函数满足，为偶函数. 故选：D 6. 若函数是定义在上的偶函数，则（ ） A. B. C. 3 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，结合函数奇偶性的定义和判定方法，列出方程，即可求解. 【详解】因为函数是定义在上的偶函数，所以定义域关于原点对称， 可得，所以， 由，可得，解得，所以． 故选：A 7. 函数的部分图像如图，则的解析式可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】观察函数的图像，即可得到其定义域为，从而排除ACD，即可得到结果. 【详解】由图可知，函数的定义域为， 对于A，函数的定义域为，不符合题意，故A错误； 对于B，函数的定义域为，且， 故B正确； 对于C，函数的定义域为，不符合题意，故C错误； 对于D，函数的定义域为，不符合题意，故D错误； 故选：B 8. 我国南宋著名数学家秦九韶（约1202～1261）独立发现了与海伦公式等价的由三角形三边求面积的公式，他把这种称为“三斜求积”的方法写在他的著作《数书九章》中．具体的求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上．以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实一为从隅，开平方得积．”如果把以上这段文字写成公式，就是．现将一根长为的木条，截成三段构成一个三角形，若其中有一段的长度为，则该三角形面积的最大值为（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】代入后利用基本不等式可求的得最大值． 【详解】令，则， 代入得， 由基本不等式：所以，可得， 当且仅当时取等号， 所以时，面积取得最大值． 故选：A． 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列四个结论中正确的是（ ） A. B. 命题“”的否定是“” C. “”的充要条件是“” D. “”是“”的必要不充分条件 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据存在量词命题、全称量词命题、充分和必要条件等知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】对于A，，解得， 即，A正确； 对于B，根据全称量词命题的否定为存在量词命题知： 命题“”的否定为：，B错误； 对于C，由于是增函数，所以： 若，则，反之若，则， 所以“”的充要条件是“”， C正确； 对于D，若则不一定成立，如，但 反之，若，则，所以“”是“”的必要不充分条件，D正确. 故选：ACD. 10. 已知函数，则（ ） A. 函数的定义域为 B. 函数在单调递减 C. 函数值域为 D. 不等式的解集为 【答案】ABD 【解析】 【分析】求出定义域判断A；确定单调区间判断B；求出值域判断C；解不等式判断D. 【详解】对于A，函数有意义，则，解得， 的定义域为，A正确； 对于B，在上单调递减，则在上单调递减，B正确； 对于C，，函数值域为，C错误； 对于D，由，得，则，解得， 的解集为，D正确. 故选：ABD 11. 我们知道，如果集合，那么的子集的补集为且，类似地，对于集合我们把集合且，叫作集合和的差集，记作，例如：，则有，下列解答正确的是（ ） A. 已知，则 B. 已知或，则或 C. 如果，那么 D. 已知全集、集合、集合关系如上图中所示，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】依题意根据的定义可知，可先求出，再求出其以为全集的补集，结合具体选项中集合的关系逐项判断，即可得出结论. 【详解】根据差集定义即为且， 由，可得，所以A错误； 由定义可得即为且， 由或，可知或，即B正确； 若，那么对于任意，都满足，所以且，因此，所以C正确； 易知且在图中表示的区域可表示为，也即，可得，所以D正确. 故选：BCD 第II卷（非选择题） 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数在R上单调递增，则实数的取值范围为________． 【答案】 【解析】 【分析】由分段函数单调性得出对应的不等关系，解不等式即可求得结果. 【详解】根据题意可知函数在上单调递增， 即，解得； 且在上单调递增，可得； 且需满足，解得； 综上可得实数的取值范围为. 故答案为： 13. 已知关于的不等式，若此不等式的解集为，则实数m的取值范围是___________ 【答案】 【解析】 【分析】对进行和分类，再结合不等式的解集为讨论求解即可. 【详解】当时，，与客观事实矛盾， 故此时不等式的解集为，符合； 当时，为一元二次不等式，若此不等式的解集为， 则有， 综上，实数m的取值范围是. 故答案为：. 14. 下列说法正确的有__．（填序号） ①若函数为奇函数，则； ②函数在，，上是单调减函数； ③若函数的定义域为,，则函数的定义域为； ④将的图像向右平移个单位，可得的图像 【答案】④ 【解析】 【分析】根据反例即可求解A，由单调性的定义即可求解B，根据抽象函数的定义域即可求解C，利用函数平移的性质即可求解D. 【详解】对①，若函数为奇函数，但函数的定义域不包括0，则无意义，例如，故①错误； 对②，函数的在，上是单调减函数，但在，，上无单调性，故②错误； 对③，若函数的定义域为，，,，即函数的定义域为,，故③错误； 对④，将的图象向右平移个单位，可得的图象，故④正确， 故答案为：④ 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 设，已知集合. （1）当时，求； （2）若“”是“”的必要不充分条件，求的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）当时，解出集合，计算; （2）把条件转化为⫋，对进行分类讨论，根据集合间的关系计算的取值范围. 【小问1详解】 由得， 当时，， ∴. 【小问2详解】 ∵ “”是“”的必要不充分条件， ∴⫋， 由得或， 当，即时，，不满足题意； 当，即时，， ∵⫋， ∴，解得， 当，即时，，不满足⫋. 综上，的取值范围为. 16. 解不等式组 （1）； （2）. 【答案】（1） （2） 当时，原不等式的解集为， 当时，原不等式的解集为或， 当时，原不等式的解集为， 当时，原不等式的解集为， 当时，原不等式的解集为. 【解析】 【分析】（1）利用分式不等式的解法即可得解； （2）分类讨论的取值情况，利用含参二次不等式的解法即可得解. 【小问1详解】 因为，所以，即， 所以，解得， 则原不等式的解集为. 【小问2详解】 因为，所以， 当时，原不等式，解得； 当时，，原不等式，解得或； 当时，原不等式； 1）当，即时，解得； 2）当，即时，原不等式为，此时无解； 3）当，即时，解得； 综上，当时，原不等式的解集为， 当时，原不等式的解集为或， 当时，原不等式的解集为， 当时，原不等式的解集为， 当时，原不等式的解集为. 17. 我市为推动美丽乡村建设，发展农业经济，鼓励农产品加工，某食品企业生产一种饮料，每瓶成本为10元，售价为15元，月销售8万瓶. （1）据市场调查，若售价每提高1元，月销售量将减少2000瓶，要使月总利润不低于原来的月总利润（月总利润月销售总收入月总成本），该饮料每瓶售价最多为多少元？ （2）为提高月总利润，企业决定下月进行营销策略改革，计划每瓶售价元，并投万元作为营销策略改革费用.据市场调查，每瓶售价每提高1元，月销售量将相应减少万瓶，则当每瓶售价为多少时，下月的月总利润最大？并求出下月最大总利润. 【答案】（1） （2）当每瓶售价元时，下月的月总利润最大为万元 【解析】 【分析】（1）设提价元，则每瓶饮料利润为元，由此算出月销量，得到总利润的表达式，根据月总利润不低于原来的月总利润得到关于的不等式，即可求出的范围，进而求解； （2）由题意可得每瓶利润为元，得出月销量，从而得到月总利润的函数解析式，最后利用基本不等式求解. 【小问1详解】 设提价元，由题意知每瓶饮料利润为元， 则月销量为万瓶， 所以提价后月总销售利润为万元， 因为原来月销售总利润为万元，且要求月总利润不低于原来的月总利润， 所以，即，解得， 所以售价最多为元， 故该饮料每瓶售价最多为元； 【小问2详解】 由题意，每瓶利润为元， 月销售量为万瓶， 设下月总利润为，， 整理得：， ， ， 当且仅当，即时等号成立， ，当且仅当时取等号， 故当售价元时，下月的月总利润最大为万元. 18. 已知是定义在非零实数集上的函数，且对任意非零实数恒有. （1）求的值； （2）证明：为偶函数； （3）当，证明在上单调递增，并求不等式的解集. 【答案】（1）， （2）证明：令得. ∵是定义在非零实数集上的函数， ∴为偶函数. （3）证明：设任意的， ， ∵， ∴， ∴，即， ∴函数在上单调递增. ∵在上单调递增，且为偶函数， ∴在上是减函数， ∵， ∴， ∴且，解得且， ∴不等式的解集为或. 【解析】 【分析】（1）令求，令求. （2）令得，结合函数的定义域得为偶函数. （3）用定义法结合题目条件证明在上单调递增，根据函数为偶函数得到在上单调递减，利用函数的单调性求不等式的解集. 【小问1详解】 令得，故， 令得，故. 【小问2详解】 略； 【小问3详解】 证明略;不等式的解集为或. 19. 已知函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是是奇函数，给定函数． （1）求函数图象的对称中心； （2）用定义证明在区间上的单调性； （3）已知函数的图象关于点对称，且当时，．若对任意，总存在，使得，求实数m的取值范围． 【答案】（1） （2）证明：任取，且，则 ， 所以且， 所以，即， 所以在上单调递增. （3） 【解析】 【分析】（1）设函数图象的对称中心为，根据函数关于点对称的性质得到，代入求解即可得到的值，从而得到对称中心. （2）根据单调性定义证明即可. （3）由题意可知函数的值域是值域的子集，由（2）易得的值域，的值域可对二次函数的对称轴和区间的位置关系进行分类讨论得到，最终整合得到实数m的取值范围. 【小问1详解】 设函数图象的对称中心为，则， 即， 整理得， 于是，解得， 所以的对称中心为. 【小问2详解】 略； 【小问3详解】 由题意得：的值域是值域的子集， 由（2）知在上单调递增，故的值域为， 于是原问题转化为在上的值域， ①当即时，在上单调递增， 同时的图象恒过对称中心， 可知在上也单调递增，故在上单调递增， 又，，故， ，，解得，又，故此时； ②当即时，在上单调递减，上单调递增， 又过对称中心，故在上单调递增，上单调递减， 故此时， 欲使，只需，且， 解不等式得：，又，故此时； ③当即时，在上单调递减，在上也单调递减， 由对称性知在上单调递减，于是， ，故，解得，又，故此时， 综上，实数的取值范围是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $