精品解析：内蒙古鄂尔多斯市康巴什区2024-2025学年九年级上学期第一次知识梳理数学试题

2024-2025学年第一学期第一次适应性训练数学试题 （满分100分， 时间 90分钟，请同学们把答案写到答题卡上，考试结束时只交答题卡） 一、选择题 1. 若方程是一元二次方程，则m的值为（ ） A. 0 B. C. D. 2. 如图，平面直角坐标系中的二次函数图象所对应的函数解析式可能为（ ） A. B. C. D. 3. 如果关于x的一元二次方程的一个解是，则的值为（  ） A. 2025 B. 2024 C. 2023 D. 2022 4. 已知一个二次函数的自变量x与函数y的几组对应值如下表， x … 0 3 5 … y … 0 … 则下列关于这个二次函数的结论正确的是（ 　　 ） A. 图象的开口向上 B. 当时，y的值随x的值增大而增大 C. 图象经过第二、三、四象限 D. 图象的对称轴是直线 5. 若是方程的两个实数根，则代数式的值等于（ ） A. B. C. D. 6. 将抛物线向下平移2个单位后，所得新抛物线的顶点式为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，要围一个矩形菜园，其中一边是墙，且的长不能超过，其余的三边，，用篱笆，且这三边的和为．有下列结论： ①的长可以为； ②的长有两个不同的值满足菜园面积为； ③菜园面积的最大值为． 其中，正确结论的是（    ） A. ①②③ B. ①② C. ②③ D. ③ 8. 一次函数与二次函数在同一个平面坐标系中图象可能是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在喷水池的中心A处竖直安装一个水管，水管的顶端B处有一个喷水孔，喷出的抛物线形水柱在与池中心A的水平距离为1m处达到最高点C，高度为3m，水柱落地点D离池中心A处4m，则水管的顶端B距水面的高度为（ ） A. 2 B. C. D. 10. 如图，在菱形ABCD中，AB＝3，∠BAD＝120°，点E从点B出发，沿BC和CD边移动，作EF⊥直线AB于点F，设点E移动的路程为x，△DEF的面积为y，则y关于x的函数图象为（　　） A. B. C. D. 二、填空题 11. 函数最小值是 ___________． 12. 已知二次函数图象上三点，，，则、、的大小关系为______．（用“”号连接） 13. 某学校航模组设计制作的火箭升空后离地面的高度与飞行时间满足函数关系式为．如果火箭在点火升空到最高点时打开降落伞，那么降落伞将在离地面______m处打开． 14. 若，则的值为_________． 15. 如图，二次函数图象的一部分与x轴的一个交点坐标为，对称轴为，结合图象给出下列结论：①， ②， ③， ④（m为任意实数），其中正确的结论有___________．（请把正确结论的序号填在横线上） 16. 已知抛物线C：，点E是直线上的一个动点，将点E向左移动4个单位得到点F，若线段与抛物线C只有一个公共点，则点E的横坐标a的取值范围为__________． 三．简答题： 17. 解方程： （1） （2） 18. 已知关于的方程． （1）求证：无论取任何实数，方程总有实数根； （2）若等腰三角形的一边长为4，另两边长恰好是这个方程的两个根，求此时的值． 19. 掷实心球是中考体育考试项目之一．如图1是一名男生投实心球情境，实心球行进路线是条抛物线，行进高度与水平距离之间的函数关系如图2所示．掷出时，起点处高度为．当水平距离为时，实心球行进至最高点处． （1）求关于的函数表达式； （2）根据中考体育考试评分标准（男生版），投据过程中，实心球从起点到落地点的水平距离大于等于时，即可得满分分．该男生在此项考试中能否得满分，请说明理由． 20. 强强为了激励自己学好数学，在白色宣纸上写了两幅书法作品，准备装裱后挂在书房．其中一幅长方形书法作品长80cm，宽20cm，正方形书法作品边长为40cm，现在给两幅作品四周装裱上宽度相等的彩纸（如图1，图2），设彩纸的宽为．（粘贴连接处忽略不计） （1）装裱后长方形书法作品的长为______cm；正方形书法作品的面积为______．（用含x的代数式表示） （2）若装裱长方形书法作品所用彩纸的面积为，求装裱正方形书法作品所用彩纸的面积． 21. 牛肉干是内蒙古的传统特产，距今已有800多年的历史，早就闻名海内外．某牛肉干经销商统计了某款牛肉干4月份到6月份的销售量，该款牛肉干4月份销售量为150斤，6月份销售量为216斤，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同． （1）求该款牛肉干销售量的月增长率； （2）若该款牛肉干的进价为120元/斤，经在市场中测算，当售价为160元/斤时，月销售量为200斤，若在此基础上售价每上涨0.5元/斤，则月销售量将减少1斤，则该款牛肉干的实际售价应定为多少元时，利润最大？（利润=售价-进价） 22. 如图，平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于，两点，与轴交于点． （1）求该抛物线的解析式； （2）如图1，点是第一象限内抛物线上一动点，设点的横坐标为m，连接，，，．当何值时，的面积最大？最大面积是多少？ （3）如图2，若点为抛物线对称轴上一点，探究抛物线上是否存在点，使得以，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出所有满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年第一学期第一次适应性训练数学试题 （满分100分， 时间 90分钟，请同学们把答案写到答题卡上，考试结束时只交答题卡） 一、选择题 1. 若方程是一元二次方程，则m的值为（ ） A. 0 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】通过化简后，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的整式方程，叫做一元二次方程． 【详解】解：根据题意，得且， 解得． 故选：B 【点睛】本题考查一元二次方程的定义．掌握相关定义即可． 2. 如图，平面直角坐标系中的二次函数图象所对应的函数解析式可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次函数图象得出顶点位置及开口方向，进而根据各选项得出答案． 【详解】解：由图象可得二次函数顶点坐标位于第三象限且开口向下则，所以： A、的顶点为，故本选项不符合题意； B、的，则图象开口向上，故本选项不符合题意； C、的顶点在第三象限且，故选项符合题意； D、的顶点为在第四象限，故本选项不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了二次函数的图象，根据图象得出顶点位置及开口方向是解题关键． 3. 如果关于x的一元二次方程的一个解是，则的值为（  ） A. 2025 B. 2024 C. 2023 D. 2022 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解的定义，一元二次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值，据此把代入原方程求出，再根据进行求解即可． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程的一个解是， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 4. 已知一个二次函数的自变量x与函数y的几组对应值如下表， x … 0 3 5 … y … 0 … 则下列关于这个二次函数的结论正确的是（ 　　 ） A. 图象的开口向上 B. 当时，y的值随x的值增大而增大 C. 图象经过第二、三、四象限 D. 图象的对称轴是直线 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质．先利用待定系数法求得二次函数解析式，再根据二次函数的性质逐一判断即可． 【详解】解：由题意得，解得， ∴二次函数的解析式为， ∵， ∴图象的开口向下，故选项A不符合题意； 图象的对称轴是直线，故选项D符合题意； 当时，y的值随x的值增大而增大，当时，y的值随x的值增大而减小，故选项B不符合题意； ∵顶点坐标为且经过原点，图象的开口向下， ∴图象经过第一、三、四象限，故选项C不符合题意； 故选：D． 5. 若是方程的两个实数根，则代数式的值等于（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】是方程的两个实数根，则，，代入即可得到答案． 【详解】解：∵是方程的两个实数根， ∴，， ∴， ∴， 故选：D 【点睛】此题考查了一元二次方程根的定义和根与系数关系，整体代入是解题的关键． 6. 将抛物线向下平移2个单位后，所得新抛物线的顶点式为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的平移以及顶点式，根据平移的规律“上加下减．左加右减”可得出平移后的抛物线为，再把化为顶点式即可． 【详解】解：抛物线向下平移2个单位后， 则抛物线变为， ∴化成顶点式则为 ， 故选：A． 7. 如图，要围一个矩形菜园，其中一边是墙，且的长不能超过，其余的三边，，用篱笆，且这三边的和为．有下列结论： ①的长可以为； ②的长有两个不同的值满足菜园面积为； ③菜园面积的最大值为． 其中，正确结论的是（    ） A. ①②③ B. ①② C. ②③ D. ③ 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用，解一元二次方程，准确理解题意，列出二次函数解析式是解题的关键．设的长为米，菜园的面积为平方米，可得；根据即可判断①；求解即可判断②；根据，，即可判断③； 【详解】解：设的长为米，菜园的面积为平方米　， 由题意得：的长为米， ∴； ∵， ∴， ∴的长不可以为；故①错误； 由解得： ∴的长有两个不同的值满足菜园面积为，故②正确； ∵，， ∴当时，菜园面积有最大值，故③正确； 故选：C 8. 一次函数与二次函数在同一个平面坐标系中图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据一次函数、二次函数图象与系数的关系逐项判断即可． 【详解】解：由解析式可得：一次函数与二次函数的图象与y轴的交点都为，即交点重合， 选项B，C，D满足，选项A不满足，排除A； B选项，由一次函数图象可得，此时二次函数的图象应开口向下，有可能； C选项，由一次函数图象可得，此时二次函数的图象应开口向上，不可能； D选项，由一次函数图象可得，此时二次函数的图象应开口向下，不可能； 故选B． 【点睛】本题考查一次函数与二次函数图象的综合判断，解题的关键是掌握一次函数、二次函数图象与系数的关系． 9. 如图，在喷水池的中心A处竖直安装一个水管，水管的顶端B处有一个喷水孔，喷出的抛物线形水柱在与池中心A的水平距离为1m处达到最高点C，高度为3m，水柱落地点D离池中心A处4m，则水管的顶端B距水面的高度为（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次函数的实际应用，以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立直角坐标系，得到，设抛物线的解析式为，将代入求出函数解析式，进而求出时的函数值即为的长． 【详解】解：以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立直角坐标系，如图所示： 则：， 设抛物线的解析式为，将代入，得：， ∴， 当时，， ∴高度为； 故选D． 10. 如图，在菱形ABCD中，AB＝3，∠BAD＝120°，点E从点B出发，沿BC和CD边移动，作EF⊥直线AB于点F，设点E移动的路程为x，△DEF的面积为y，则y关于x的函数图象为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】就点E在BC和CD上，分两种情况求出y与x的关系即可解答. 【详解】解：①当E在BC边上时， y＝S菱形ABCD﹣S△BEF﹣S△ADF﹣S△DEC＝2××32﹣ ••x﹣•（3﹣x）•﹣•（3﹣x）•＝﹣x2+x． ②当点E在CD上时， y＝•（6﹣x）•＝﹣x+， 故答案为C． 【点睛】本题考查动点问题函数图像、分段函数、菱形的性质、等边三角形的性质等知识，解题的关键是学会构建分段函数解决实际问题. 二、填空题 11. 函数最小值是 ___________． 【答案】2 【解析】 【分析】根据二次函数的顶点式确定顶点坐标是（4，2），即可确定函数的最小值． 【详解】解：， ∴此函数的顶点坐标为， ∴又， ∴函数图象开口向下， ∴当时，y取得最小值，最小值为2． 故答案为：2． 【点睛】本题主要考查了二次函数的最值，掌握二次函数顶点式并会根据顶点式求最值是解题关键． 12. 已知二次函数图象上三点，，，则、、的大小关系为______．（用“”号连接） 【答案】 【解析】 【分析】根据二次函数的性质，进行求解即可． 【详解】解：∵，对称轴为直线， ∴抛物线上的点离对称轴越远，函数值越小， ∵， ∴； 故答案为：． 【点睛】本题考查比较二次函数的函数值大小．熟练掌握二次函数的性质，是解题的关键． 13. 某学校航模组设计制作的火箭升空后离地面的高度与飞行时间满足函数关系式为．如果火箭在点火升空到最高点时打开降落伞，那么降落伞将在离地面______m处打开． 【答案】37 【解析】 【分析】把二次函数配方为顶点式，写出最大值解题即可． 【详解】解： ∵， ∴点火升空的最高点距地面， 故答案为：37． 【点睛】本题考查二次函数的最值，运用配方法配成顶点式是解题的关键． 14. 若，则的值为_________． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查用换元法解一元二次方程，熟练掌握换元法是解题的关键，注意整体思想的运用．设，则有，再用因式分解法求解得，，再根据，即可求解． 【详解】解：设，则有， ∴， ， 或， ∴，， ∵， ∴． 故答案为：2． 15. 如图，二次函数图象的一部分与x轴的一个交点坐标为，对称轴为，结合图象给出下列结论：①， ②， ③， ④（m为任意实数），其中正确的结论有___________．（请把正确结论的序号填在横线上） 【答案】②④ 【解析】 【分析】由抛物线开口向上，交y的负半轴即可判断①：由抛物线与x轴的交点可判断②；由抛物线的对称性可得抛物线与x轴交点坐标，从而判断③；由时y取最小值可判断④． 【详解】解：∵抛物线开口向上，交y的负半轴， ∴， ∴，故①错误； ∵抛物线与x轴有两个交点， ∴， ∴，故②正确； 由抛物线对称性可得抛物线与x轴另一交点坐标为， ∴，故③错误； ∵时函数取最小值， ∴， ∴，故④正确． 故答案为：②④． 【点睛】本题考查二次函数图象与系数的关系，抛物线与x轴的交点，解题关键是掌握二次函数的性质． 16. 已知抛物线C：，点E是直线上的一个动点，将点E向左移动4个单位得到点F，若线段与抛物线C只有一个公共点，则点E的横坐标a的取值范围为__________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查的是二次函数图象上点的坐标特征，一次函数图象上点的坐标特征，二次函数的图象和性质、坐标与图形变化-平移，分类求解确定的位置是解题的关键． 求出点和点的坐标，求出两种特殊位置E的值，可得结论． 【详解】抛物线的顶点坐标为， 联立两个函数， 解得或， ∴点的坐标为，点的坐标为， 当点E在线段上时，线段与抛物线只有一个公共点， ∵的距离为4，而的水平距离是3， 故此时只有一个交点，即； 当点E在点的左侧时，线段与抛物线没有公共点； 当点E在点的右侧时， 当时，抛物线和交于抛物线的顶点， 即时，线段与抛物线只有一个公共点， 综上，或． 故答案为：或． 三．简答题： 17. 解方程： （1） （2） 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，掌握运用因式分解法和公式法解一元二次方程成为解题的关键． （1）先移项、然后运用因式分解法求解即可； （2）先将方程化成一般式，然后利用公式法求解即可． 【小问1详解】 解：， ， ， ， 所以 【小问2详解】 解：， ， ， ， ∴，． 18. 已知关于的方程． （1）求证：无论取任何实数，方程总有实数根； （2）若等腰三角形的一边长为4，另两边长恰好是这个方程的两个根，求此时的值． 【答案】（1） 当时，原方程变为， 解得，故符合题意； 当时， ∵ ， ∴无论k取任何非零实数，方程总有实数根． （2） 【解析】 【分析】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根；也考查了解一元二次方程，根与系数的关系：一元二次方程两实数根为、，则，． （1）分和时两种情况求解即可； （2）分三角形的腰长为4和底边为4两种情形讨论即可． 【小问1详解】 解：略． 【小问2详解】 解：当三角形的腰长为4时，设底边为a， ∴是的一根， ∴， ∴， ∴， ∴由根与系数的关系可知：， ∴， 此时，能够组成三角形，满足题意； ∴当底边为4时，设腰长为b， ∴有两个相同的根， ∴， ∴， ∴原方程为 ∴该方程的解为：． ∴，不能组成三角形，故舍去， 综上所述，． 19. 掷实心球是中考体育考试项目之一．如图1是一名男生投实心球情境，实心球行进路线是条抛物线，行进高度与水平距离之间的函数关系如图2所示．掷出时，起点处高度为．当水平距离为时，实心球行进至最高点处． （1）求关于的函数表达式； （2）根据中考体育考试评分标准（男生版），投据过程中，实心球从起点到落地点的水平距离大于等于时，即可得满分分．该男生在此项考试中能否得满分，请说明理由． 【答案】（1） （2）该男生在此项考试不能得满分， 理由如下， 根据题意，令，且， ∴，解方程得，，（舍去）， ∵， ∴不能得满分． 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的实际运用，掌握二次函数的性质及求解是解题的关键． （1）由图2可知，顶点坐标为，设二次函数表达式为，由此即可求解； （2）令（1）中抛物线的解析式，且，解方程，即可求解． 【小问1详解】 解：根据题意设关于的函数表达式为， 把代入解析式得，，解得，， ∴关于的函数表达式为，即：； 【小问2详解】 略 20. 强强为了激励自己学好数学，在白色宣纸上写了两幅书法作品，准备装裱后挂在书房．其中一幅长方形书法作品长80cm，宽20cm，正方形书法作品边长为40cm，现在给两幅作品四周装裱上宽度相等的彩纸（如图1，图2），设彩纸的宽为．（粘贴连接处忽略不计） （1）装裱后长方形书法作品的长为______cm；正方形书法作品的面积为______．（用含x的代数式表示） （2）若装裱长方形书法作品所用彩纸的面积为，求装裱正方形书法作品所用彩纸的面积． 【答案】（1）， （2）装裱正方形书法作品所用彩纸的面积为． 【解析】 【分析】本题考查的是列代数式，一元二次方程的应用． （1）根据题意可知，装裱后长方形书法作品的长为：，正方形书法作品的边长为：，再计算其面积即可； （2）根据题意，可知装裱长方形书法作品所用彩纸的面积装裱后长方形书法作品的面积未装裱长方形书法作品的面积，求得，再根据装裱正方形书法作品所用彩纸的面积装裱后正方形书法作品的面积未装裱正方形书法作品的面积，代入计算即可． 【小问1详解】 解：根据题意可知，装裱后长方形书法作品的长为：， 正方形书法作品的边长为：，面积为：， 故答案为：，； 【小问2详解】 解：根据题意可知，装裱后长方形书法作品的长为：，宽为：， 装裱后长方形书法作品的面积为：， 装裱长方形书法作品所用彩纸的面积为， 即， 解得：或（不符合题意，舍去）， 根据题意可知，装裱后正方形书法作品的面积为：， 装裱正方形书法作品所用彩纸的面积装裱后正方形书法作品的面积未装裱正方形书法作品的面积， 即装裱正方形书法作品所用彩纸的面积， 答：装裱正方形书法作品所用彩纸的面积为． 21. 牛肉干是内蒙古的传统特产，距今已有800多年的历史，早就闻名海内外．某牛肉干经销商统计了某款牛肉干4月份到6月份的销售量，该款牛肉干4月份销售量为150斤，6月份销售量为216斤，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同． （1）求该款牛肉干销售量的月增长率； （2）若该款牛肉干的进价为120元/斤，经在市场中测算，当售价为160元/斤时，月销售量为200斤，若在此基础上售价每上涨0.5元/斤，则月销售量将减少1斤，则该款牛肉干的实际售价应定为多少元时，利润最大？（利润=售价-进价） 【答案】（1）该款牛肉干销售量的月增长率为 （2）该款牛肉干的实际售价应定为190元时，月销售利润最大 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，二次函数的应用，找准数量关系，正确列出一元二次方程和函数解析式是解题的关键． （1）设该款牛肉干销售量的月增长率为x，根据该款牛肉干4月份及6月份的月销售量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论； （2）设该款牛肉干的实际售价为a元，月销售利润为w元，根据月销售利润=每千克牛肉干的利润×月销售量，即可得出函数解析式，然后利用二次函数的性质求解． 【小问1详解】 解：设该款牛肉干销售量的月增长率为x， 依题意，得：， 解得：，（不合题意，舍去）． 答：该款牛肉干销售量的月增长率为． 【小问2详解】 解：设该款牛肉干的实际售价为a元，月销售利润为w元， 依题意，得： ， ∵， ∴当时，w有最大值． 答：该款牛肉干的实际售价应定为190元时，月销售利润最大． 22. 如图，平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于，两点，与轴交于点． （1）求该抛物线的解析式； （2）如图1，点是第一象限内抛物线上一动点，设点的横坐标为m，连接，，，．当何值时，的面积最大？最大面积是多少？ （3）如图2，若点为抛物线对称轴上一点，探究抛物线上是否存在点，使得以，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出所有满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）当时，的面积最大为 （3）存在，，或 【解析】 【分析】（1）根据题意，利用待定系数法确定二次函数解析式； （2）设点的横坐标为，因在这个二次函数的图象上，则有，进而利用，用含的代数式表示，最后利用二次函数的顶点式求出面积的最大值； （3）设，利用平行四边形的中心对称性分、和分别是平行四边形的对角线三种情况，分别求解即可． 【小问1详解】 把，，代入得： ， 解得：， ∴抛物线的解析式为：； 【小问2详解】 连接， ∵ 点在第一象限的抛物线上，且横坐标为， ∴，且， ∴ ， ∴当时，的面积最大为． 【小问3详解】 存在点M，使以B，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形． 设M（t，t2＋t＋2）， ∵ 抛物线上的对称轴是直线x＝1，且点N在对称轴上， ∴， ①当为对角线时， ∵， ∴， 解得：， ∴， ②当为对角线时， ∵， ∴， 解得：， ∴， ③当为对角线时， ∵， ∴， 解得：， ∴， 综上所述，符合条件的点的坐标为，或． 【点睛】本题考查的是二次函数的综合应用，涉及到平行四边形的性质、图形面积的计算，其中第（3）小问，要注意分类求解，避免遗漏．灵活运用所学知识是解本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $