精品解析：内蒙古兴安盟科尔沁右翼前旗第二中学2024-2025学年高一上学期第一次月考数学试题

科右前旗第二中学 2024级高一上学期第一次月考 数学试卷 一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分；在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上． 1. 已知全集，集合，，则=（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据条件，利用集合的运算，即可求解. 【详解】因为，，所以，又， 所以. 故选：C. 2. 命题p: ，则是（ ）. A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】命题的否定条件不变，量词和结论发生改变，据此判断. 【详解】 p: :, 故选:D. 3. 不等式的解集是（ ） A. 或 B. C. 或 D. 【答案】B 【解析】 【分析】由一元二次不等式的解法，代入计算，即可求解. 【详解】因为不等式，即， 解得，所以不等式的解集为. 故选：B 4. 已知，，记，则与的大小关系是（ ） A. B. C. D. 与的大小关系不确定 【答案】B 【解析】 【分析】利用作差法比较即可 【详解】解：因为， 所以， 因为，，所以， 所以，所以，即， 故选：B 5. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据充分条件与必要条件判断即可得结论. 【详解】当时，满足，但， 若，则，可得， 所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：B. 6. 已知全集，集合和的关系如图所示，则阴影部分表示的集合的元素共有（ ） A. 无穷多个 B. 4个 C. 3个 D. 2个 【答案】D 【解析】 【分析】解二次不等式化简集合，再由韦恩图的阴影部分为，结合集合的交补运算即可得解. 【详解】因为， 又， 由韦恩图知：阴影部分为，共有2个元素. 故选：D. 7. 已知，，则的最大值是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据条件，利用基本不等式，即可求解. 【详解】因为，，得到，即， 当且仅当且，即时取等号，所以， 故选：C. 8. 数学里有一种证明方法叫Proofs without words，也称为无字证明，一般是指仅用图形语言而无需文字解释就能不证自明的数学命题．由于这种证明方法的特殊性，无字证明被认为比严格的数学证明更为优雅与有条理．如图，在等腰直角中，为斜边的中点，是斜边上异于、的一个动点，设，，则该图形可以完成的无字证明是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据等腰三角形的性质得，且，即可得答案. 【详解】由题设，且， 其中，或， 且， 由图知，即. 故选：A 二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分；在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分． 9. 设全集，，其中，则可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】利用补集的运算即可得解. 【详解】由于，所以， 所以可以是、、，故ABC正确，D错误. 故选：ABC. 10. 下列有关不等式的说法正确的有（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】BD 【解析】 【分析】特殊值判断A、C；根据的单调性及不等式性质判断B、D. 【详解】若，有，，A、C错； B：对于在R上递增，故，则有，对； D：由不等式性质，易知，对. 故选：BD 11. 若使关于的不等式的解集中恰有三个整数，则实数的取值范围可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】先解一元二次不等式，进而确定的取值范围，从而求得正确答案. 【详解】由于关于的不等式的解集中恰有三个整数， 所以，A选项错误. 当时，不等式的解集为，则，BC选项正确. 当时，不等式的解集为，则，D选项正确. 故选：BCD 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分 12. 设集合，若，则实数______ 【答案】 【解析】 【分析】根据元素与集合的关系，结合元素的互异性即可求解. 【详解】，， 若，， 此时，不满足互异性，故， 所以，即，解得或（舍去）， 当时，， 所以. 故答案为：. 13. 已知集合，，若是的必要条件，则实数的取值范围是_______ 【答案】 【解析】 【分析】利用必要条件与集合的关系，结合二次不等式化简集合，从而得解. 【详解】因为是的必要条件，所以， 又或，， 则. 故答案为：. 14. 已知，，且，则的最小值是_________ 【答案】## 【解析】 【分析】借助基本不等式可将原等式化为与有关不等式，解出即可得. 【详解】由，，则，当且仅当时，等号成立， 故，即， 令，即，则有或（负值舍去）， 当且仅当时，等号成立，故的最小值为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分：第15题13分；第16、17题各15分；第18、19题各17分；解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知集合， （1）求； （2）求； （3）设集合且，写出集合的所有子集. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用集合的并集运算即可得解； （2）利用集合的补集运算与交集运算即可得解； （3）利用集合的交集运算，结合常用数集的定义求得集合，从而写出其所有子集，由此得解. 【小问1详解】 因为，， 所以. 【小问2详解】 因为，所以或， 又，所以. 【小问3详解】 因为，， 所以， 故且， 所以的所有子集为. 16. 设命题：；命题： （1）若为真命题，求实数的取值范围； （2）若为假命题，求实数的取值范围； （3）若、仅有一个真命题，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由条件可得，解之即可得解； （2）先求命题q为真命题时m的取值范围，从而得到其为假命题时m的取值范围，从而得解； （3）利用（1）中结论，分类讨论、的真假性，得到关于m的不等式组，解之即可得解； 【小问1详解】 因为命题p为真命题，所以在上恒成立， 则，解得， 所以实数m的取值范围是； 【小问2详解】 若命题：为真命题， 则，解得或， 因为命题q为假命题，所以， 所以实数m的取值范围是； 【小问3详解】 因为、仅有一个真命题， 当真假时，，解得； 当假真时，，解得； 综上，或，即实数m的取值范围是. 17. 某工厂生产某种产品，其生产的总成本（万元）与年产量（吨）之间的函数关系可近似地表示为.已知此工厂的年产量最小为150吨，最大为250吨. （1）年产量为多少吨时，生产每吨产品的平均成本最低？并求出最低平均成本； （2）若每吨产品的平均出厂价为24万元，且产品全部售出，则年产量为多少吨时，可以获得最大利润？并求出最大利润. 【答案】（1）年产量为200吨时，平均成本最低为20万元； （2）年产量为220吨时，最大利润为840万元. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，求出平均成本的关系式，再利用基本不等式求解即得. （2）求出年利润关于年产量的函数关系，再利用二次函数求出最大值. 【小问1详解】 依题意，生产每吨产品的平均成本为， 而，当且仅当，即时取等号， 所以年产量为200吨时，平均成本最低为20万元. 【小问2详解】 设利润为，则， 而，因此当时，， 所以年产量为220吨时，最大利润为840万元. 18. 已知二次函数，且， （1）若，，且点在该二次函数的图像上，求的最小值； （2）若不等式的解集为 ①求实数，的值； ②，，求实数的最大值． 【答案】（1）16 （2）①； ② 2024 【解析】 【分析】（1）根据条件可得，然后利用基本不等式即可得到最小值； （2）由不等式与方程的关系得到二次方程及其对应的解，从而求得参数值；不等式恒成立问题转化为小于最小值问题，解对应二次不等式即可得到最值. 【小问1详解】 ∵点在该二次函数的图象上， ∴，即， ∵，， ∴，当且仅当，时，取“=” ∴的最小值16； 【小问2详解】 由题意可知：是方程的两根， ∴，解得， 当时，恒成立， ∵， ∴，即， ∴， ∴的最大值为2024. 19. 若集合中的元素都可以表示为某两个整数的平方和，即，则称集合为“弦方集” （1）分别判断，，，是否为弦方集中的元素； （2）已知集合为弦方集，且，正整数能表示为某个整数的平方，证明：； （3）已知集合为弦方集，集合，证明：. 【答案】（1）是弦方集中的元素，不是弦方集中的元素； （2）依题意，集合为弦方集，且，即存在，使得， 正整数能表示为某个整数的平方，即存在， 所以， 所以是弦方集中的元素，即. （3）假设，则存在，， 使得，由于是奇数，所以是奇数， 所以一个是奇数，另一个是偶数， 不妨设， 则， 而除以的余数为，除以的余数为， 所以，与已知矛盾，所以. 【解析】 【分析】（1）根据“弦方集”的元素的特征进行判断； （2）根据“弦方集”的定义证得结论成立； （3）利用反证法，先假设，根据“弦方集”的元素的特征以及整数的有关性质得出矛盾，从而证得. 【小问1详解】 因为，所以是弦方集中的元素. 不存在，使得，所以不是弦方集中的元素. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 【点睛】方法点睛：解新定义题型的方法步骤： （1）理解“新定义”——明确“新定义”的条件、原理、方法、步骤和结论； （2）重视“举例”，利用“举例”检验是否理解和正确运用“新定义”，归纳“举例”提供的解题方法.归纳“举例”提供的分类情况； （3）类比新定义中的概念、原理、方法，解决题中需要解决的问题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 科右前旗第二中学 2024级高一上学期第一次月考 数学试卷 一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分；在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上． 1. 已知全集，集合，，则=（ ） A. B. C. D. 2. 命题p: ，则是（ ）. A. B. C. D. 3. 不等式的解集是（ ） A. 或 B. C. 或 D. 4. 已知，，记，则与的大小关系是（ ） A. B. C. D. 与的大小关系不确定 5. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 已知全集，集合和的关系如图所示，则阴影部分表示的集合的元素共有（ ） A. 无穷多个 B. 4个 C. 3个 D. 2个 7. 已知，，则的最大值是（ ） A. B. C. D. 8. 数学里有一种证明方法叫Proofs without words，也称为无字证明，一般是指仅用图形语言而无需文字解释就能不证自明的数学命题．由于这种证明方法的特殊性，无字证明被认为比严格的数学证明更为优雅与有条理．如图，在等腰直角中，为斜边的中点，是斜边上异于、的一个动点，设，，则该图形可以完成的无字证明是（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分；在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分． 9. 设全集，，其中，则可以是（ ） A. B. C. D. 10. 下列有关不等式的说法正确的有（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 11. 若使关于的不等式的解集中恰有三个整数，则实数的取值范围可以是（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分 12. 设集合，若，则实数______ 13. 已知集合，，若是的必要条件，则实数的取值范围是_______ 14. 已知，，且，则的最小值是_________ 四、解答题：本题共5小题，共77分：第15题13分；第16、17题各15分；第18、19题各17分；解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知集合， （1）求； （2）求； （3）设集合且，写出集合的所有子集. 16. 设命题：；命题： （1）若为真命题，求实数的取值范围； （2）若为假命题，求实数的取值范围； （3）若、仅有一个真命题，求实数的取值范围. 17. 某工厂生产某种产品，其生产的总成本（万元）与年产量（吨）之间的函数关系可近似地表示为.已知此工厂的年产量最小为150吨，最大为250吨. （1）年产量为多少吨时，生产每吨产品的平均成本最低？并求出最低平均成本； （2）若每吨产品的平均出厂价为24万元，且产品全部售出，则年产量为多少吨时，可以获得最大利润？并求出最大利润. 18. 已知二次函数，且， （1）若，，且点在该二次函数的图像上，求的最小值； （2）若不等式的解集为 ①求实数，的值； ②，，求实数的最大值． 19. 若集合中的元素都可以表示为某两个整数的平方和，即，则称集合为“弦方集” （1）分别判断，，，是否为弦方集中的元素； （2）已知集合为弦方集，且，正整数能表示为某个整数的平方，证明：； （3）已知集合为弦方集，集合，证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $