专题一 函数与导数 第9讲　零点问题-2025年高考数学二轮复习（新高考专用）

第9讲　零点问题（新高考专用） 目录 【真题自测】 2 【考点突破】 3 【考点一】零点问题 3 【专题精练】 5 真题自测 一、单选题 1．（2023·全国·高考真题）函数存在3个零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 2．（2024·全国·高考真题）设函数，则（    ） A．当时，有三个零点 B．当时，是的极大值点 C．存在a，b，使得为曲线的对称轴 D．存在a，使得点为曲线的对称中心 三、解答题 3．（2024·北京·高考真题）设函数，直线是曲线在点处的切线． (1)当时，求的单调区间. (2)求证：不经过点. (3)当时，设点，，，为与轴的交点，与分别表示与的面积．是否存在点使得成立？若存在，这样的点有几个？ （参考数据：，，） 4．（2022·天津·高考真题）已知，函数 (1)求曲线在处的切线方程； (2)若曲线和有公共点， （i）当时，求的取值范围； （ii）求证：． 5．（2022·全国·高考真题）已知函数． (1)当时，求的最大值； (2)若恰有一个零点，求a的取值范围． 6．（2022·全国·高考真题）已知函数． (1)若，求a的取值范围； (2)证明：若有两个零点，则． 7．（2022·全国·高考真题）已知函数 (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若在区间各恰有一个零点，求a的取值范围． 8．（2021·全国·高考真题）已知函数． （1）讨论的单调性； （2）从下面两个条件中选一个，证明：只有一个零点 ①； ②． 考点突破 【考点一】零点问题 一、单选题 1．（2024·浙江杭州·模拟预测）若函数有且仅有两个零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（2023·山东济南·一模）函数（且）的零点个数为（    ） A． B． C． D． 3．（2023·河南洛阳·一模）已知函数的图象上存在点，函数的图象上存在点，且，关于轴对称，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 4．（2024·湖北·一模）已知函数存在两个极值点，且，．设的零点个数为，方程的实根个数为，则（    ） A．当时， B．当时， C．一定能被3整除 D．的取值集合为 5．（2024·云南昆明·模拟预测）已知函数（    ） A．在上单调递增 B．在上单调递增 C．在上有唯一零点 D．在上有最小值为 6．（2024·山西临汾·一模）已知函数在上可导且，其导函数满足：，则下列结论正确的是（    ） A．函数有且仅有两个零点 B．函数有且仅有三个零点 C．当时，不等式恒成立 D．在上的值域为 三、填空题 7．（2024·福建龙岩·三模）已知函数有且只有一个零点，则ab的取值范围为 . 8．（2024·陕西西安·一模）若不等式恒成立，则实数的取值范围为 . 9．（2024·山东济宁·一模）已知函数（且）恰有一个零点，则实数的取值范围为 ． 四、解答题 10．（2024·广东汕头·三模）已知函数. (1)若曲线在处的切线与轴垂直，求的极值. (2)若在只有一个零点，求. 11．（2024·全国·模拟预测）已知函数． (1)求曲线在处的切线方程； (2)若，讨论曲线与曲线的交点个数． 12．（2023·山西·模拟预测）已知函数. (1)若，求实数的取值范围； (2)若有2个不同的零点（），求证：. 规律方法： (1)求解函数零点(方程根)个数问题的步骤 ①将问题转化为函数的零点问题，进而转化为函数的图象与x轴(或直线y＝k)在该区间上的交点问题． ②利用导数研究该函数在该区间上的单调性、极值(最值)、端点值等性质． ③结合图象求解． (2)已知零点求参数的取值范围 ①结合图象与单调性，分析函数的极值点． ②依据零点确定极值的范围． ③对于参数选择恰当的分类标准进行讨论． 专题精练 一、单选题 1．（23-24高三上·湖北荆门·阶段练习）的零点的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 2．（23-24高三上·全国·阶段练习）已知函数在上有两个极值点，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3．（2023·四川成都·一模）已知函数有三个零点、、且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（2024·广西·模拟预测）若函数在上有两个不同的零点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．（2024·四川·模拟预测）已知函数若函数有5个不同的零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高三下·内蒙古锡林郭勒盟·开学考试）若函数存在零点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 7．（2024·北京房山·一模）若函数，则函数零点的个数为（    ） A．1 B．2 C．1或2 D．1或3 8．（2023·四川内江·一模）已知函数有两个零点，则的最小整数值为（    ） A．3 B．2 C．1 D．0 二、多选题 9．（23-24高二下·湖南岳阳·开学考试）关于函数，，下列说法正确的是（    ） A．若过点可以作曲线的两条切线，则 B．若在上恒成立，则实数的取值范围为 C．若在上恒成立，则 D．若函数有且只有一个零点，则实数的范围为 10．（23-24高二下·重庆·阶段练习）定义：设是的导函数，是函数的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”.经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”且“拐点”就是三次函数图象的对称中心.已知函数图象的对称中心为，则下列说法中正确的有（    ） A．， B．函数的极大值与极小值之和为6 C．函数有三个零点 D．函数在区间上的最小值为1 11．（22-23高二下·重庆·期中）小明热爱数学，《九章算术》《几何原本》《数学家的眼光》《奥赛经典》《高等数学》都是他的案头读物．一日，正翻阅《高等数学》，一条关于函数的性质映入他的眼帘：函数在区间有定义，且对，，，若恒有，则称函数在区间上“严格下凸”；若恒有，则称函数在区间上“严格上凸”．现已知函数，为的导函数，下列说法正确的是（    ）注：为自然对数的底数，，． A．有最小值，且最小值为整数 B．存在常数，使得在“严格下凸”，在“严格上凸” C．恰有两个极值点 D．恰有三个零点 三、填空题 12．（2024·河南信阳·模拟预测）若过点仅可作曲线的两条切线，则的取值范围是 . 13．（23-24高三上·河南焦作·期末）若函数在上没有零点，则实数的取值范围为 ． 14．（23-24高三上·天津南开·阶段练习），若有且只有两个零点，则实数的取值范围是 ． 四、解答题 15．（2024·广东·二模）已知. (1)求的单调区间； (2)函数的图象上是否存在两点（其中），使得直线与函数的图象在处的切线平行？若存在，请求出直线；若不存在，请说明理由. 16．（2023·北京西城·模拟预测）已知函数. (1)若，求在处切线方程； (2)求的极大值与极小值； (3)证明：存在实数，当时，函数有三个零点. 17．（2024·河南郑州·三模）已知函数. (1)若，求在处的切线方程； (2)讨论的零点个数. 18．（2024·广东广州·模拟预测）已知函数. (1)当时，求函数的极值； (2)若函数在上仅有两个零点，求实数的取值范围. 19．（2024·北京房山·一模）已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)设，求函数的极大值； (3)若，求函数的零点个数． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第9讲　零点问题（新高考专用） 目录 【真题自测】 2 【考点突破】 18 【考点一】零点问题 18 【专题精练】 33 真题自测 一、单选题 1．（2023·全国·高考真题）函数存在3个零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 2．（2024·全国·高考真题）设函数，则（    ） A．当时，有三个零点 B．当时，是的极大值点 C．存在a，b，使得为曲线的对称轴 D．存在a，使得点为曲线的对称中心 三、解答题 3．（2024·北京·高考真题）设函数，直线是曲线在点处的切线． (1)当时，求的单调区间. (2)求证：不经过点. (3)当时，设点，，，为与轴的交点，与分别表示与的面积．是否存在点使得成立？若存在，这样的点有几个？ （参考数据：，，） 4．（2022·天津·高考真题）已知，函数 (1)求曲线在处的切线方程； (2)若曲线和有公共点， （i）当时，求的取值范围； （ii）求证：． 5．（2022·全国·高考真题）已知函数． (1)当时，求的最大值； (2)若恰有一个零点，求a的取值范围． 6．（2022·全国·高考真题）已知函数． (1)若，求a的取值范围； (2)证明：若有两个零点，则． 7．（2022·全国·高考真题）已知函数 (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若在区间各恰有一个零点，求a的取值范围． 8．（2021·全国·高考真题）已知函数． （1）讨论的单调性； （2）从下面两个条件中选一个，证明：只有一个零点 ①； ②． 参考答案： 题号 1 2 答案 B AD 1．B 【分析】写出，并求出极值点，转化为极大值大于0且极小值小于0即可. 【详解】，则， 若要存在3个零点，则要存在极大值和极小值，则， 令，解得或， 且当时，， 当，， 故的极大值为，极小值为， 若要存在3个零点，则，即，解得， 故选：B. 2．AD 【分析】A选项，先分析出函数的极值点为，根据零点存在定理和极值的符号判断出在上各有一个零点；B选项，根据极值和导函数符号的关系进行分析；C选项，假设存在这样的，使得为的对称轴，则为恒等式，据此计算判断；D选项，若存在这样的，使得为的对称中心，则，据此进行计算判断，亦可利用拐点结论直接求解. 【详解】A选项，，由于， 故时，故在上单调递增， 时，，单调递减， 则在处取到极大值，在处取到极小值， 由，，则， 根据零点存在定理在上有一个零点， 又，，则， 则在上各有一个零点，于是时，有三个零点，A选项正确； B选项，，时，，单调递减， 时，单调递增， 此时在处取到极小值，B选项错误； C选项，假设存在这样的，使得为的对称轴， 即存在这样的使得， 即， 根据二项式定理，等式右边展开式含有的项为， 于是等式左右两边的系数都不相等，原等式不可能恒成立， 于是不存在这样的，使得为的对称轴，C选项错误； D选项， 方法一：利用对称中心的表达式化简 ，若存在这样的，使得为的对称中心， 则，事实上， ， 于是 即，解得，即存在使得是的对称中心，D选项正确. 方法二：直接利用拐点结论 任何三次函数都有对称中心，对称中心的横坐标是二阶导数的零点， ，，， 由，于是该三次函数的对称中心为， 由题意也是对称中心，故， 即存在使得是的对称中心，D选项正确. 故选：AD 【点睛】结论点睛：（1）的对称轴为；（2）关于对称；（3）任何三次函数都有对称中心，对称中心是三次函数的拐点，对称中心的横坐标是的解，即是三次函数的对称中心 3．(1)单调递减区间为，单调递增区间为. (2)证明见解析 (3)2 【分析】（1）直接代入，再利用导数研究其单调性即可； （2）写出切线方程，将代入再设新函数，利用导数研究其零点即可； （3）分别写出面积表达式，代入得到，再设新函数研究其零点即可. 【详解】（1）， 当时，；当，； 在上单调递减，在上单调递增. 则的单调递减区间为，单调递增区间为. （2），切线的斜率为， 则切线方程为， 将代入则， 即，则，， 令， 假设过，则在存在零点. ，在上单调递增，， 在无零点，与假设矛盾，故直线不过. （3）时，. ，设与轴交点为， 时，若，则此时与必有交点，与切线定义矛盾. 由（2）知.所以， 则切线的方程为， 令，则. ，则， ，记， 满足条件的有几个即有几个零点. ， 当时，，此时单调递减； 当时，，此时单调递增； 当时，，此时单调递减； 因为， ， 所以由零点存在性定理及的单调性，在上必有一个零点，在上必有一个零点， 综上所述，有两个零点，即满足的有两个. 【点睛】 关键点点睛：本题第二问的关键是采用的是反证法，转化为研究函数零点问题. 4．(1) (2)（i）；（ii）证明见解析 【分析】（1）求出可求切线方程； （2）（i）当时，曲线和有公共点即为在上有零点，求导后分类讨论结合零点存在定理可求. （ii）曲线和有公共点即，利用点到直线的距离得到，利用导数可证，从而可得不等式成立. 【详解】（1），故，而， 曲线在点处的切线方程为即. （2）（i）当时， 因为曲线和有公共点，故有解， 设，故，故在上有解， 设，故在上有零点， 而， 若，则恒成立，此时在上无零点， 若，则在上恒成立，故在上为增函数， 而，，故在上无零点， 故， 设，则， 故在上为增函数， 而，， 故在上存在唯一零点， 且时，；时，； 故时，；时，； 所以在上为减函数，在上为增函数， 故， 因为在上有零点，故，故， 而，故即， 设，则， 故在上为增函数， 而，故. （ii）因为曲线和有公共点， 所以有解，其中， 若，则，该式不成立，故. 故，考虑直线， 表示原点与直线上的动点之间的距离， 故，所以， 下证：对任意，总有， 证明：当时，有，故成立. 当时，即证， 设，则（不恒为零）， 故在上为减函数，故即成立. 综上，成立. 下证：当时，恒成立， ，则， 故在上为增函数，故即恒成立. 下证：在上恒成立，即证：， 即证：，即证：， 而，故成立. 故，即成立. 【点睛】思路点睛：导数背景下零点问题，注意利用函数的单调性结合零点存在定理来处理，而多变量的不等式的成立问题，注意从几何意义取构建不等式关系，再利用分析法来证明目标不等式. 5．(1) (2) 【分析】（1）由导数确定函数的单调性，即可得解； （2）求导得，按照、及结合导数讨论函数的单调性，求得函数的极值，即可得解. 【详解】（1）当时，，则， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 所以； （2），则， 当时，，所以当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 所以，此时函数无零点，不合题意； 当时，，在上，，单调递增； 在上，，单调递减； 又， 由（1）得，即，所以， 当时，， 则存在，使得， 所以仅在有唯一零点，符合题意； 当时，，所以单调递增，又， 所以有唯一零点，符合题意； 当时，，在上，，单调递增； 在上，，单调递减；此时， 由（1）得当时，，，所以， 此时 存在，使得， 所以在有一个零点，在无零点， 所以有唯一零点，符合题意； 综上，a的取值范围为. 【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是利用导数研究函数的极值与单调性，把函数零点问题转化为函数的单调性与极值的问题. 6．(1) (2)证明见的解析 【分析】（1）由导数确定函数单调性及最值，即可得解； （2）利用分析法，转化要证明条件为，再利用导数即可得证. 【详解】（1）[方法一]：常规求导 的定义域为，则 令,得 当单调递减 当单调递增， 若,则,即 所以的取值范围为 [方法二]：同构处理 由得： 令，则即 令，则 故在区间上是增函数 故，即 所以的取值范围为 （2）[方法一]：构造函数 由题知,一个零点小于1,一个零点大于1，不妨设 要证,即证 因为,即证 又因为,故只需证 即证 即证 下面证明时， 设， 则 设 所以,而 所以,所以 所以在单调递增 即,所以 令 所以在单调递减 即,所以； 综上, ,所以. [方法二]：对数平均不等式 由题意得： 令，则， 所以在上单调递增，故只有1个解 又因为有两个零点，故 两边取对数得：，即 又因为，故，即 下证 因为 不妨设，则只需证 构造，则 故在上单调递减 故，即得证 【点睛】关键点点睛 ：本题是极值点偏移问题，关键点是通过分析法，构造函数证明不等式 这个函数经常出现，需要掌握 7．(1) (2) 【分析】（1）先算出切点,再求导算出斜率即可 （2）求导,对分类讨论,对分两部分研究 【详解】（1）的定义域为 当时,,所以切点为,所以切线斜率为2 所以曲线在点处的切线方程为 （2） 设 若,当,即 所以在上单调递增, 故在上没有零点,不合题意 若,当,则 所以在上单调递增所以,即 所以在上单调递增, 故在上没有零点,不合题意 若 (1)当,则,所以在上单调递增 所以存在,使得,即 当单调递减 当单调递增 所以 当, 令则 所以在上单调递增，在上单调递减，所以， 又，， 所以在上有唯一零点 又没有零点,即在上有唯一零点 (2)当 设 所以在单调递增 所以存在,使得 当单调递减 当单调递增, 又 所以存在,使得,即 当单调递增,当单调递减， 当，， 又， 而,所以当 所以在上有唯一零点,上无零点 即在上有唯一零点 所以,符合题意 所以若在区间各恰有一个零点,求的取值范围为 【点睛】 方法点睛：本题的关键是对的范围进行合理分类，否定和肯定并用，否定只需要说明一边不满足即可，肯定要两方面都说明. 8．(1)答案见解析；(2)证明见解析. 【分析】(1)首先求得导函数的解析式，然后分类讨论确定函数的单调性即可； (2)由题意结合(1)中函数的单调性和函数零点存在定理即可证得题中的结论. 【详解】(1)由函数的解析式可得：， 当时，若，则单调递减， 若，则单调递增； 当时，若，则单调递增， 若，则单调递减， 若，则单调递增； 当时，在上单调递增； 当时，若，则单调递增， 若，则单调递减， 若，则单调递增； (2)若选择条件①： 由于，故，则， 而， 而函数在区间上单调递增，故函数在区间上有一个零点. ， 由于，，故， 结合函数的单调性可知函数在区间上没有零点. 综上可得，题中的结论成立. 若选择条件②： 由于，故，则， 当时，，， 而函数在区间上单调递增，故函数在区间上有一个零点. 当时，构造函数，则， 当时，单调递减， 当时，单调递增， 注意到，故恒成立，从而有：，此时： ， 当时，， 取，则， 即：， 而函数在区间上单调递增，故函数在区间上有一个零点. ， 由于，，故， 结合函数的单调性可知函数在区间上没有零点. 综上可得，题中的结论成立. 【点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，所以在历届高考中，对导数的应用的考查都非常突出，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系．(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数．(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题．(4)考查数形结合思想的应用． 考点突破 【考点一】零点问题 一、单选题 1．（2024·浙江杭州·模拟预测）若函数有且仅有两个零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（2023·山东济南·一模）函数（且）的零点个数为（    ） A． B． C． D． 3．（2023·河南洛阳·一模）已知函数的图象上存在点，函数的图象上存在点，且，关于轴对称，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 4．（2024·湖北·一模）已知函数存在两个极值点，且，．设的零点个数为，方程的实根个数为，则（    ） A．当时， B．当时， C．一定能被3整除 D．的取值集合为 5．（2024·云南昆明·模拟预测）已知函数（    ） A．在上单调递增 B．在上单调递增 C．在上有唯一零点 D．在上有最小值为 6．（2024·山西临汾·一模）已知函数在上可导且，其导函数满足：，则下列结论正确的是（    ） A．函数有且仅有两个零点 B．函数有且仅有三个零点 C．当时，不等式恒成立 D．在上的值域为 三、填空题 7．（2024·福建龙岩·三模）已知函数有且只有一个零点，则ab的取值范围为 . 8．（2024·陕西西安·一模）若不等式恒成立，则实数的取值范围为 . 9．（2024·山东济宁·一模）已知函数（且）恰有一个零点，则实数的取值范围为 ． 四、解答题 10．（2024·广东汕头·三模）已知函数. (1)若曲线在处的切线与轴垂直，求的极值. (2)若在只有一个零点，求. 11．（2024·全国·模拟预测）已知函数． (1)求曲线在处的切线方程； (2)若，讨论曲线与曲线的交点个数． 12．（2023·山西·模拟预测）已知函数. (1)若，求实数的取值范围； (2)若有2个不同的零点（），求证：. 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 答案 A B A AB BD AC 1．A 【分析】利用函数与方程的思想将函数有两个零点转化为函数与函数的图象有两个交点，求导并画出函数的图象求得切线方程，再由数形结合即可求得的取值范围. 【详解】由可得，则函数与函数的图象有两个交点； 设，则， 令，解得；令，解得； 所以在上单调递增，在上单调递减； 令，解得，可求得的图象在处的切线方程为； 令，解得，可求得的图象在处的切线方程为； 函数与函数的图象如图所示： 切线与在轴上的截距分别为, 当时，与函数的图象有一个交点， 故实数的取值范围为. 故选：A 2．B 【分析】由可得，令，，可得出，利用导数分析函数的单调性，即可得出结论. 【详解】由可得，即， 因为且，则， 令，令，则， ， 令，则， 所以，函数在上单调递增， 因为， ， 令，其中， 则，所以，函数在上单调递增， 所以，， 由零点存在定理可知，存在，使得， 且当时，，此时函数单调递减， 当时，，此时函数单调递增， 所以，， 所以，函数的零点个数为，即函数的零点个数为. 故选：B. 【点睛】方法点睛：利用导数解决函数零点问题的方法： （1）直接法：先对函数求导，根据导数的方法求出函数的单调区间与极值，根据函数的基本性质作出图象，然后将问题转化为函数图象与轴的交点问题，突出导数的工具作用，体现了转化与化归思想、数形结合思想和分类讨论思想的应用； （2）构造新函数法：将问题转化为研究两函数图象的交点问题； （3）参变量分离法：由分离变量得出，将问题等价转化为直线与函数的图象的交点问题. 3．A 【详解】因为函数与函数的图象关于x轴对称， 根据已知得函数的图象与函数的图象有交点， 即方程在上有解， 即在上有解． 令，， 则， 可知在上单调递增，在上单调递减， 故当时，， 由于，，且， 所以． 故选：A． 4．AB 【分析】分和两种情况，利用导数判断原函数单调性和极值，结合图象分析，的零点分布，进而可得结果, 【详解】由题意可知为二次函数，且为的零点， 由得或， 当时，令，解得或；令，解得； 可知：在内单调递增，在内单调递减， 则为极大值点，为极小值点， 若，则， 因为，即，两者相矛盾，故， 则有2个根，有1个根，可知， 若，可知，； 若，可知，； 若，可知，； 故A正确；    当时，令，解得；令，解得或； 可知：在内单调递增，在内单调递减， 则为极大值点，为极小值点， 若，则， 因为，即，两者相矛盾，故， 若，即，可知，，； 若，即，可知，，； 若，即，可知，，； 此时，故B正确；      综上所述：的取值集合为，的取值集合为， 故CD错误； 故选：AB. 【点睛】方法点睛：对于函数零点的个数的相关问题，利用导数和数形结合的数学思想来求解．这类问题求解的通法是： （1）构造函数，这是解决此类题的关键点和难点，并求其定义域； （2）求导数，得单调区间和极值点； （3）数形结合，挖掘隐含条件，确定函数图象与x轴的交点情况进而求解． 5．BD 【分析】求导，由单调性分析极值与零点逐一判断即可. 【详解】， 令，当时，，在上单调递减， 当时，，在上单调递增； 在上取极小值为，，，在上有两个零点，，所以，A C错，B D对， 故选：BD． 6．AC 【分析】对A：构造函数，根据题意，求得，令，即可求解后判断；对B：对求导分析其单调性，结合零点存在定理，即可判断；对C：对的取值分类讨论，在不同情况下研究函数单调性和最值，即可判断；对D：根据B中所求函数单调性，即可求得函数值域. 【详解】令，则，故（为常数）， 又，故可得，故，. 对A：令，即，解的或， 故有两个零点，A正确； 对B：，则， 令，可得， 故在和单调递增； 令，可得，故在单调递减； 又，，又， 故存在，使得； 又， 故存在，使得； 又当时，，故不存在，使得； 综上所述，有两个根，也即有个零点，故B错误； 对C：，即，， 当时，，上式等价于， 令，故可得， 故在上单调递增，，满足题意； 当时，，也满足； 综上所述，当时，恒成立，故C正确； 对D：由B可知，在单调递减，在单调递增， 且，， 故在上的值域为，D错误. 故选：AC. 【点睛】关键点点睛：本题考察利用导数研究函数的单调性、零点、不等式恒成立和值域问题；其中解决问题的关键是能够构造函数，准确求出的解析式，属综合困难题. 7． 【分析】由题意可得只有一个解，从而可得，，设，利用导数求解即可． 【详解】依题意得与只有一个交点，即两曲线相切， 则只有一个解， ，化简得，将其代入得， ，即，. ， 则， 设，则， 在单调递减，， 的取值范围是. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：由指对运算可得，进而可得，构造函数，由导数求解即可. 8． 【分析】函数不等式恒成立问题与隐零点问题.构造函数，求导后再次构造函数，求导分析的单调性，找到隐零点，并得到，然后再分析的单调性，找到最大值，最后再结合对数的运算求出函数的最大值即可. 【详解】不等式移项可得， 设，则， 设，则恒成立， 所以函数在上单调递减， 因为， 所以，使得，① 所以在上单调递增，在上单调递减，最大值为， 所以当时，，在上单调递增； 当时，，在上单调递减； ，代入①可得， 所以，所以实数的取值范围为， 故答案为：. 【点睛】方法点睛： （1）证明带参数的不等式恒成立问题时可采用分离参数法，再构造函数利用导数分析函数的最值情况，如一次构造不容易看出单调性可二次构造再求导； （2）对于隐零点问题，可求导后分析特殊值找到隐零点的大概区间，再以隐零点为边界分析函数的单调性. 9． 【分析】原式转化为判断的交点问题，分和两种情况讨论结合指对函数对称性，导数的几何意义进而得解. 【详解】令得，即，令， 当时，即时，若两函数有且仅有一交点， 由指数函数和对数函数特征可判断此交点必定落在这条直线上，且该点为两函数的公切点， 设切点为，则，则有，即，解得， 由得，，所以，解得，即，，即，； 当时，即时，由指数函数和对数函数特征可判断与要有公切点， 此切点必定落在这条直线上，设切点为，， 则有，即，解得，由得， 所以，解得，即，，即，； 由指数函数和对数函数特征可知： 当时，与有3个交点； 当时，与有1个交点； 故时，即时，时，与有一交点.    故答案为： 【点睛】关键点点睛：当指对函数底数在时，图象难以表示出来，对于后续处理难度较大，题干信息相对较少，解题时能挖掘出指对函数的对称性，由导数的几何意义确定斜率值是解题关键，重点考查了分类讨论思想，函数与导数综合解决零点问题，值得深入研究！ 10．(1)极小值，无极大值； (2). 【分析】（1）求出函数的导数，结合几何意义求出，再分析单调性求出极值. （2）由函数零点的意义，等价变形得在只有一解，转化为直线与函数图象只有一个交点求解. 【详解】（1）函数的定义域为R，求导得，， 依题意，，则，， 当时，，当时，， 因此函数在上单调递减，在上单调递增， 所以函数在处取得极小值，无极大值. （2）函数在只有一个零点，等价于在只有一个零点， 设，则函数在只有一个零点，当且仅当在只有一解， 即在只有一解，于是曲线与直线只有一个公共点， 令，求导得，当时，，当时，， 因此函数在上单调递减，在上单调递增， 函数在取得极小值同时也是最小值， 当时，；当时，， 画山大致的图象，如图， 在只有一个零点时，， 所以在只有一个零点吋，. 11．(1)； (2)2． 【分析】（1）求导，即可根据点斜式求解方程， （2）求导，分类讨论求解函数的单调性，结合零点存在性定理，即可根据函数的单调性，结合最值求解. 【详解】（1）依题意，，故， 而，故所求切线方程为，即． （2）令，故， 令， ，令， ． ①当时，， 在上为减函数，即在上为减函数， 又， 在上有唯一的零点，设为，即． 在上为增函数，在上为减函数． 又 ， 在上有且只有一个零点，在上无零点； ②当时，单调递减， 又， 在内恰有一零点； ③当时，为增函数， ， 单调递增，又，所以存在唯一， 当时，递减；当时，递增，， 在内无零点．综上所述，曲线与曲线的交点个数为2． 【点睛】方法点睛：本题考查了导数的综合运用，求某点处的切线方程较为简单，利用导数求单调性时，如果求导后的正负不容易辨别，往往可以将导函数的一部分抽离出来，构造新的函数，利用导数研究其单调性，进而可判断原函数的单调性.在证明不等式时，常采用两种思路：求直接求最值和等价转化.无论是那种方式，都要敢于构造函数，构造有效的函数往往是解题的关键. 12．(1) (2)证明见解析 【分析】（1）求解函数定义域，参变分离得到，构造，利用导函数得到其单调性，极值和最值情况，得到； （2）转化为有2个不同的实数根，构造，得到其单调性，得到，且，求出，换元后即证，构造，求导后得到在上单调递增，，得到证明. 【详解】（1）因为函数的定义域为，所以成立，等价于成立. 令，则， 令，则，所以在内单调递减， 又因为，所以当时，，单调递增；当时，，单调递减， 所以在处取极大值也是最大值. 因此，即实数的取值范围为. （2）有2个不同的零点等价于有2个不同的实数根. 令，则，当时，解得. 所以当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 所以在处取极大值为. 又因为，当时，，当时，. 且时，. 所以，且. 因为是方程的2个不同实数根，即. 将两式相除得， 令，则，，变形得，. 又因为，，因此要证，只需证. 因为，所以只需证，即证. 因为，即证. 令，则， 所以在上单调递增，， 即当时，成立，命题得证. 【点睛】极值点偏移问题中，若等式中含有参数，则消去参数，由于两个变量的地位相同，将特征不等式变形，如常常利用进行变形，可构造关于的函数，利用导函数再进行求解. 规律方法： (1)求解函数零点(方程根)个数问题的步骤 ①将问题转化为函数的零点问题，进而转化为函数的图象与x轴(或直线y＝k)在该区间上的交点问题． ②利用导数研究该函数在该区间上的单调性、极值(最值)、端点值等性质． ③结合图象求解． (2)已知零点求参数的取值范围 ①结合图象与单调性，分析函数的极值点． ②依据零点确定极值的范围． ③对于参数选择恰当的分类标准进行讨论． 专题精练 一、单选题 1．（23-24高三上·湖北荆门·阶段练习）的零点的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 2．（23-24高三上·全国·阶段练习）已知函数在上有两个极值点，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3．（2023·四川成都·一模）已知函数有三个零点、、且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（2024·广西·模拟预测）若函数在上有两个不同的零点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．（2024·四川·模拟预测）已知函数若函数有5个不同的零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高三下·内蒙古锡林郭勒盟·开学考试）若函数存在零点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 7．（2024·北京房山·一模）若函数，则函数零点的个数为（    ） A．1 B．2 C．1或2 D．1或3 8．（2023·四川内江·一模）已知函数有两个零点，则的最小整数值为（    ） A．3 B．2 C．1 D．0 二、多选题 9．（23-24高二下·湖南岳阳·开学考试）关于函数，，下列说法正确的是（    ） A．若过点可以作曲线的两条切线，则 B．若在上恒成立，则实数的取值范围为 C．若在上恒成立，则 D．若函数有且只有一个零点，则实数的范围为 10．（23-24高二下·重庆·阶段练习）定义：设是的导函数，是函数的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”.经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”且“拐点”就是三次函数图象的对称中心.已知函数图象的对称中心为，则下列说法中正确的有（    ） A．， B．函数的极大值与极小值之和为6 C．函数有三个零点 D．函数在区间上的最小值为1 11．（22-23高二下·重庆·期中）小明热爱数学，《九章算术》《几何原本》《数学家的眼光》《奥赛经典》《高等数学》都是他的案头读物．一日，正翻阅《高等数学》，一条关于函数的性质映入他的眼帘：函数在区间有定义，且对，，，若恒有，则称函数在区间上“严格下凸”；若恒有，则称函数在区间上“严格上凸”．现已知函数，为的导函数，下列说法正确的是（    ）注：为自然对数的底数，，． A．有最小值，且最小值为整数 B．存在常数，使得在“严格下凸”，在“严格上凸” C．恰有两个极值点 D．恰有三个零点 三、填空题 12．（2024·河南信阳·模拟预测）若过点仅可作曲线的两条切线，则的取值范围是 . 13．（23-24高三上·河南焦作·期末）若函数在上没有零点，则实数的取值范围为 ． 14．（23-24高三上·天津南开·阶段练习），若有且只有两个零点，则实数的取值范围是 ． 四、解答题 15．（2024·广东·二模）已知. (1)求的单调区间； (2)函数的图象上是否存在两点（其中），使得直线与函数的图象在处的切线平行？若存在，请求出直线；若不存在，请说明理由. 16．（2023·北京西城·模拟预测）已知函数. (1)若，求在处切线方程； (2)求的极大值与极小值； (3)证明：存在实数，当时，函数有三个零点. 17．（2024·河南郑州·三模）已知函数. (1)若，求在处的切线方程； (2)讨论的零点个数. 18．（2024·广东广州·模拟预测）已知函数. (1)当时，求函数的极值； (2)若函数在上仅有两个零点，求实数的取值范围. 19．（2024·北京房山·一模）已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)设，求函数的极大值； (3)若，求函数的零点个数． 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D B D C C B A C ABC AB 题号 11 答案 ACD 1．D 【分析】先把零点个数转化为函数交点个数，再构造函数,结合导函数求解单调性及极值最后应用数形结合求解. 【详解】由得，构造函数，求导得 在上单调递减，在上单调递增，上单调递减，且， 及时，的图像如图，得到有3个解.    故选：D. 2．B 【分析】由可得，令，则直线与函数在上的图象有两个交点，利用导数分析函数的单调性与极值，数形结合可得出实数的取值范围. 【详解】因为函数在上有两个极值点， 所以在上有两个变号零点， 因为，令，即，可得． 令，则， 令，得，令，得， 所以，函数在上递增，在上递减， 因为，，，如下图所示： 当时，直线与函数在上的图象有两个交点， 设两个交点的横坐标分别为、，且， 由图可知，当或时，，此时，， 当时，，此时，， 所以，函数在上递增，在上递减，在上递增， 此时，函数有两个极值点，合乎题意. 因此，实数的取值范围为. 故选：B. 3．D 【分析】令，将原函数的零点转化为方程的根，令，转化为，再令，得到使时的根的个数，再分类讨论的范围与根的关系，结合函数与方程性质及零点的关系即可得. 【详解】令，得，整理得， 令，原方程化为， 设， 则， 令，解得，且， 当时，，则单调递增， 当时，，则单调递减， 则在时，有最大值为， 则当时，有一个解， 当时，有两个解， 当时，有一个解， 当时，无解， 因为原方程为， 由题可知有三个零点，因此方程有两个不等实根、，设， 则有，， 若，则，故舍去， 若，则，， 有，即有，，代入得，矛盾，故舍去， 若则，， ， 设，则，得到， 所以. 故选：D. 4．C 【分析】将函数零点问题转化成两函数图像交点，再利用导数与函数单调性间的关系，得出，根据图像即可解决问题. 【详解】因为，令，即，则， 所以函数在上有两个不同的零点等价于曲线和在上有两个不同的交点， 设，，则，令，解得， 当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 又，，当时，，且时，， 其图像如图所示，    故的取值范围为. 故选：C. 5．C 【分析】求得，得到函数的单调性和极值，作出函数的图象，根据题意，转化为和共有5个不相等实数根，结合图象，即可求解. 【详解】当时，，此时， 则时，单调递减；时，单调递增， 所以，当是的极小值点，作出如图所示的函数的图象， 函数有5个不同的零点，则方程， 即有5个不相等实数根， 也即是和共有5个不相等实数根， 其中有唯一实数根， 只需有4个且均不为-2的不相等实数根，由图可知， 即实数的取值范围为. 故选：C. 6．B 【分析】函数存在零点，转化为方程在内有解，设函数，则有解，得到在内有解，问题转化为求在上的最小值，利用导数分析函数的单调性，可求函数的最小值. 【详解】由得， 设，则，∴在上单调递增， ∴，∴，，，即． 所以存在零点等价于方程有解， 令，则， 当时，；当时，， 所以在上为减函数，在上为增函数， 所以． 故选：B 【点睛】方法点睛：函数有零点，转化为方程在上有解，设函数，则方程就转化为有解，结合函数的单调性，转化为.再设，问题就转化为求函数的最小值问题，结合导数，分析函数单调性可解决问题. 7．A 【分析】令，则，则函数零点的个数即为函数图象交点的个数，构造函数，利用导数求出函数的单调区间，作出其大致图象，结合图象即可得解. 【详解】， 令，则， 则函数零点的个数即为函数图象交点的个数， 令， 当时，，则， 所以函数在上单调递增，且， 当时，， 当时，，则， 所以函数在上单调递增，且， 又当时，当时，， 作出函数的大致图象如图所示， 由图可知函数的图象有且仅有一个交点， 所以函数零点的个数为个. 故选：A. 【点睛】方法点睛：利用导数解决函数零点问题的方法： （1）直接法：先对函数求导，根据导数的方法求出函数的单调区间与极值，根据函数的基本性质作出图象，然后将问题转化为函数图象与轴的交点问题，突出导数的工具作用，体现了转化与化归思想、数形结合思想和分类讨论思想的应用； （2）构造新函数法：将问题转化为研究两函数图象的交点问题； （3）参变量分离法：由分离变量得出，将问题等价转化为直线与函数的图象的交点问题. 8．C 【分析】对求导，得到，再对进行分类讨论，求出函数的单调区间，再结合零点存在性原理即可求出结果. 【详解】因， 则， 当，，由，得到，只有一个零点，不合题意， 当时，因为恒成立，所以时，，时，， 即在区间上单调递减，在区间上单调递增， 又，，取且，则， 又由，得到，所以，此时存在2个零点， 当时，由，得到或， 若，即，当时，，所以在区间上单调递增， 又当时，，所以不存在2个零点， 若，即，当时，，当，， 所以在区间上单调递减，在区间上单调递增， 又当时，，所以不存在2个零点， 综上可得，实数， 故选：C. 【点睛】方法点晴：解决函数零点问题的常用思路，①函数零点函数图像与轴交点的横坐标对应方程的根；②零点存在性原理；③用导数研究函数的单调性，结合零点存在性原理解决. 9．ABC 【分析】根据题意可知点在下方及轴上方，从而可对A判断；设出切点，求出切线方程，再结合题意中的几何条件，从而可对B判断；构造函数，利用导数分别可求出的单调性及最值情况，画出相应图象，从而可对C、D判断求解. 【详解】对A：由题意知可知当点在曲线的下方和轴上方才可以作出两条切线， 所以，故A正确. 对B：由在上恒成立，等价于在上横在上方， 设的切点坐标为，其切线方程为， 对应的切线经过坐标原点，将代入解得，其切线斜率， 所以实数的取值范围为，故B正确. 对C：若在上恒成立，则在时恒成立， 即，，设，，则， 当时，，当，， 所以在区间上单调递增，上单调递减， 当时，取到极大值也是最大值为，所以，故C正确. 对D：由C知，当时，，当时，， 当时，， 所以在区间，上单调递减，上单调递增， 当时，取到极小值，当时，取到极大值， 而时，恒成立，故可画出函数的图象如下： 要求函数的零点，即求与图象的交点个数， 所以可知或时，有且只有一个零点，故D错误. 故选：ABC. 【点睛】方法点睛： （1）导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理； （2）利用导数解决含参函数的单调性问题时，一般将其转化为不等式恒成立问题，解题过程中要注意分类讨论和数形结合思想的应用； （3）证明不等式，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效. 10．AB 【分析】根据函数对称中心的定义求出，的值，可判断A的真假；用导数分析函数的单调性，求出极值，可判断B的真假；结合函数极值的符号，判断函数零点的个数，判断C的真假；求函数在区间端点处的函数值，与极值点的函数值比较，得到函数的最小值，判断D的真假. 【详解】由题意，点在函数的图象上，故； 又. 由，即.故A正确； 所以，所以. 由或. 所以在和上单调递增，在上单调递减， 所以的极大值为；极小值为， 所以极大值与极小值之和为：，故B正确； 因为函数的极小值，所以三次函数只有一个零点，故C错误； 又，， 所以函数在上的最小值为，故D错. 故选：AB 11．ACD 【分析】对于A，求导后将看成一个整体，利用进行放缩即可； 对于B,将“严格上凸”和“严格下凸”转化为导函数的单调性，二次求导后即可判断； 对于C，根据导函数的单调性，结合零点存在定理，即可判断； 对于D，根据函数的单调性，结合零点零点存在定理，即可判断； 【详解】， ， 设，易得：， 所以， 当时，等号成立，故A对; ，，，若恒有，等价于切线一直在割线下方，即单调递增.即函数在区间上“严格下凸”； ，，，若恒有，等价于切线一直在割线上方，即单调递减.即函数在区间上“严格上凸”. 设， ， 易得在为增函数. ， ， 所以存在常数，，使得在上，，单调递减，即单调递减, 在“严格上凸”； 在上，，单调递增，即单调递增,在“严格下凸”. 故B错误； 由B知，在上单调递减, 在上，单调递增 ，， ， 所以恰有两个极值点，故C正确； 由C知，恰有两个极值点，设为，，且， 所以在和单调递减， 单调递增 ，， ， 所以函数在各有一个零点，故D正确. 故选：ACD 12． 【分析】设切点为：，根据切线过点，得到，令，再根据过点仅可作曲线的两条切线，由 与的图象有两个交点求解. 【详解】设切点为：， ， 所以切线方程为， 又因为切线过点， 所以， 即， 令， 则， 令，得或， 当或时，，当时，， ， 当时，则，且； 当时，则， 所以的图象如图所示： 因为过点仅可作曲线的两条切线， 所以与的图象有两个交点， 则 或. 故答案为：. 13． 【分析】由可得出，令，，分析可知，直线与曲线没有交点，利用导数分析函数的单调性与极值，数形结合可得出实数的取值范围. 【详解】因为，则， 令，显然，则， 令，， 则， 令，得，，列表如下： 增 极大值 减 减 极小值 增 所以，函数的增区间为、，减区间为、， 且极大值为，极小值为． 当时，，当时（从左边趋于），； 当时（从右边趋于），， 当时（从右边趋于），. 由图象可知，当时，直线与曲线没有交点， 即在上没有零点． 因此，实数的取值范围是， 故答案为：. 【点睛】方法点睛：利用导数解决函数零点问题的方法： （1）直接法：先对函数求导，根据导数的方法求出函数的单调区间与极值，根据函数的基本性质作出图象，然后将问题转化为函数图象与轴的交点问题，突出导数的工具作用，体现了转化与化归思想、数形结合思想和分类讨论思想的应用； （2）构造新函数法：将问题转化为研究两函数图象的交点问题； （3）参变量分离法：由分离变量得出，将问题等价转化为直线与函数的图象的交点问题 14． 【分析】当时，求导得到单调区间，根据平移和翻折得到函数图象，变换得到，根据函数图象得到或，解得答案. 【详解】当时，，， 当时，，函数单调递增； 当时，，函数单调递减，且， 当时， ，其图象可以由的图象向左平移一个单位， 再向下平移个单位，再把轴上方的图象翻折到轴下方得到， 画出函数图象，如图所示： ，当时，，无零点； 当时，，即， 函数有两个零点，即函数与函数的图象有两个交点， 根据图象知：或，解得或. 故实数的取值范围是. 故答案为：. 【点睛】关键点睛：本题考查了利用导数解决函数的零点问题，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，其中画出函数图象，将零点问题转化为函数图象的交点问题是解题的关键，数形结合的思想需要熟练掌握. 15．(1)在上单调递减，在上单调递增. (2)不存在，理由见解析 【分析】（1）求出导函数，根据导函数的正负来确定函数的单调区间； （2）求出直线的斜率，再求出，从而得到的等式，再进行换元和求导，即可解出答案. 【详解】（1）由题可得 因为，所以， 所以当时，，在上单调递减， 当时，，在上单调递增. 综上，在上单调递减，在上单调递增. （2）由题意得，斜率 ， , 由得， ，即，即 令，不妨设，则， 记 所以，所以在上是增函数，所以， 所以方程无解，则满足条件的两点不存在. 16．(1) (2)见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）根据导数的几何意义求出切线斜率即可得解； （2）求出函数导数，分类讨论得函数单调性，根据单调性求函数极值即可； （3）根据（2）判断函数大致变化趋势，由函数零点个数即函数图象与x轴交点个数可证明. 【详解】（1）当时，，， 所以， 又， 所以切线方程为，即. （2）， 当时，，解得， 故时，，单调递减；时，，单调递增， 故时，的极小值为，无极大值； 当时，令，解得，， 故当或时，，单调递增， 当时，，单调递减， 故的极大值为，极小值为； 当时，令，解得，， 故当或时，，单调递减， 当时，，单调递增， 故的极大值为，极小值为； 综上，当时，的极小值为，无极大值；当时，的极大值为，极小值为. （3）当时，由（2）知， 在和上单调递增， 在上单调递减，且时，恒成立， 时，， 又的极大值为，极小值为， 所以存在实数时，函数有三个零点. 17．(1) (2)答案见解析 【分析】（1）根据已知条件及导数的求导法则，利用导数的几何意义及直线的点斜式方程即可求解； （2）利用导数法求含参函数的单调性，进而求出函数的最值，结合函数的单调性、函数的最值关系和函数零点存在定理对a的范围进行分类讨论，即可求解函数零点个数. 【详解】（1）若，则. 又,切点为， 曲线在处的斜率， 故所求切线方程为即. （2）由题． 1°当时，在上单调递减，又. 故存在一个零点，此时零点个数为1. 2°当时，令得，令得， 所以在上单调递减，在上单调递增. 故的最小值为. 当时，的最小值为0，此时有一个零点. 当时，的最小值大于0，此时没有零点． 当时，的最小值小于0，， 时，，此时有两个零点. 综上，当或时，有一个零点； 当时，有两个零点； 当时，没有零点. 18．(1)极小值为，无极大值 (2) 【分析】（1）求出导函数，然后列表求出函数的单调区间，根据极值定义即可求解； （2）把原函数有两个零点转化为在上仅有两个零点，分类讨论，利用导数研究函数的单调性，列不等式求解即可. 【详解】（1）当时，R），所以， 令，则， - 0 + 单调递减 极小值 单调递增 所以， 所以的极小值为，无极大值. （2）函数在上仅有两个零点， 令，则问题等价于在上仅有两个零点， 易知，因为，所以. ①当时，在上恒成立，所以在上单调递增， 所以，所以在上没有零点，不符合题意； ②当时，令，得， 所以在上，，在上，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以的最小值为. 因为在上有两个零点，所以，所以. 因为， 令，则， 所以在上，，在上，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以，所以， 所以当时，在和内各有一个零点， 即当时，在上仅有两个零点. 综上，实数的取值范围是. 【点睛】方法点睛：求解函数单调区间的步骤： （1）确定的定义域. （2）计算导数. （3）求出的根. （4）用的根将的定义域分成若干个区间，判断这若干个区间内的符号，进而确定的单调区间.，则在对应区间上单调递增，对应区间为增区间；，则在对应区间上单调递减，对应区间为减区间. 如果导函数含有参数，那么需要对参数进行分类讨论，分类讨论要做到不重不漏. 19．(1) (2)答案见解析 (3) 【分析】（1）求导，再根据导数的几何意义即可得解； （2）求导，分，和三种情况讨论，再结合极大值的定义即可得解； （3）令，则，再分的正负讨论，当时，分离参数可得，则函数零点的个数即为函数图象交点的个数，构造函数，利用导数求出其单调区间和极值，作出函数的大致图象，结合图象即可得解. 【详解】（1）当时，，， 则， 所以曲线在点处的切线方程为，即； （2），则， 则， 当时，，此时函数无极值； 当时，令，则或，令，则， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 所以的极大值为； 当时，令，则或，令，则， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 而函数的定义域为， 所以此时函数无极值. 综上所述，当时，函数无极大值； 当时，的极大值为； （3）令，则， 当时，， 所以时，函数无零点； 当时，由，得，所以， 则时，函数零点的个数即为函数图象交点的个数， 令，则， 当时，，当时，， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 所以， 又当时，且，当时，， 如图，作出函数的大致图象，    又，由图可知，所以函数的图象只有个交点， 即当时，函数只有个零点； 综上所述，若，函数有个零点． 【点睛】方法点睛：利用导数解决函数零点问题的方法： （1）直接法：先对函数求导，根据导数的方法求出函数的单调区间与极值，根据函数的基本性质作出图象，然后将问题转化为函数图象与轴的交点问题，突出导数的工具作用，体现了转化与化归思想、数形结合思想和分类讨论思想的应用； （2）构造新函数法：将问题转化为研究两函数图象的交点问题； （3）参变量分离法：由分离变量得出，将问题等价转化为直线与函数的图象的交点问题. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$