专题一 函数与导数 第8讲　恒成立问题与能成立问题-2025年高考数学二轮复习（新高考专用）

第8讲　恒成立问题与能成立问题（新高考专用） 目录 【真题自测】 2 【考点突破】 3 【考点一】恒成立问题与能成立问题 3 【专题精练】 5 真题自测 一、解答题 1．（2023·全国·高考真题）已知函数． (1)讨论的单调性； (2)证明：当时，． 2．（2024·广东江苏·高考真题）已知函数 (1)若，且，求的最小值； (2)证明：曲线是中心对称图形； (3)若当且仅当，求的取值范围． 3．（2023·全国·高考真题）已知函数 (1)当时，讨论的单调性； (2)若恒成立，求a的取值范围． 4．（2023·全国·高考真题）已知函数． (1)当时，讨论的单调性； (2)若，求的取值范围． 5．（2024·天津·高考真题）设函数． (1)求图象上点处的切线方程； (2)若在时恒成立，求的值； (3)若，证明． 6．（2024·全国·高考真题）已知函数． (1)当时，求的极值； (2)当时，，求的取值范围． 考点突破 【考点一】恒成立问题与能成立问题 一、单选题 1．（21-22高三上·安徽·开学考试）若关于的不等式恒成立，则实数的最大值为（    ） A．2 B． C．3 D． 2．（2024·四川成都·模拟预测）已知函数没有极值点，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 3．（2023·陕西西安·三模）若函数在区间上单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 4．（2024·吉林长春·模拟预测）已知（其中为自然对数的底数），则下列结论正确的是（   ） A．为函数的导函数，则方程有3个不等的实数解 B． C．若对任意，不等式恒成立，则实数的最大值为-1 D．若，则的最大值为 5．（2023·山东淄博·一模）已知函数，则（    ） A．当时，在有最小值1 B．当时，图象关于点中心对称 C．当时，对任意恒成立 D．至少有一个零点的充要条件是 6．（2023·湖北·二模）已知函数，，则下列说法正确的是（    ） A．在上是增函数 B．，不等式恒成立，则正实数a的最小值为 C．若有两个零点，，则 D．若，且，则的最大值为 三、填空题 7．（2023·湖南·模拟预测）已知不等式恒成立，则实数的最大值为 . 8．（2023·福建·模拟预测）已知函数.若，则a的取值范围是 . 9．（23-24高三上·湖南长沙·阶段练习）已知关于的不等式恰有3个不同的正整数解，则实数的取值范围是 ． 四、解答题 10．（2024·江苏南通·二模）已知函数，，. (1)求函数的单调区间； (2)若且恒成立，求的最小值. 11．（2024·吉林长春·模拟预测）已知（其中为自然对数的底数）. (1)当时，求曲线在点处的切线方程， (2)当时，判断是否存在极值，并说明理由； (3)，求实数的取值范围. 12．（23-24高二上·浙江杭州·期末）设a为实数，函数． (1)求的极值； (2)对于，都有，试求实数a的取值范围． 规律方法： (1)由不等式恒成立求参数的取值范围问题的策略 ①求最值法：将恒成立问题转化为利用导数求函数的最值问题． ②分离参数法：将参数分离出来，进而转化为a>f(x)max或a<f(x)min的形式，通过导数的应用求出f(x)的最值，即得参数的范围． (2)不等式有解问题可类比恒成立问题进行转化，要理解清楚两类问题的差别． 专题精练 一、单选题 1．（2025·安徽·一模）已知函数，若不等式的解集中恰有两个不同的正整数解，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（2024·辽宁·一模）已知函数，若时，恒有，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（2024·陕西榆林·一模）已知函数在上单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（2023高三·全国·专题练习）已知函数，，对于存在的，存在，使，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高三上·江苏镇江·开学考试）对于实数，不等式恒成立，则实数m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 6．（2022·河南开封·模拟预测）若关于的不等式对恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 7．（2023·广东佛山·一模）已知函数（且），若对任意，，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 8．（2023·江苏·模拟预测）已知，，对于，恒成立，则的最小值为（    ） A． B．－1 C． D．－2 二、多选题 9．（2023·辽宁锦州·二模）已知函数是定义在上的可导函数，当时，，若且对任意，不等式成立，则实数的取值可以是（    ） A．-1 B．0 C．1 D．2 10．（2023·安徽马鞍山·一模）已知函数，若恒成立，则实数的可能的值为（    ） A． B． C． D． 11．（2023·全国·模拟预测）已知函数，则下列结论正确的是（    ） A．当m＞0时，函数的图象在点处的切线的斜率为 B．当m＝l时，函数在上单调递减 C．当m＝l时，函数的最小值为1 D．若对恒成立，则 三、填空题 12．（23-24高二下·上海·阶段练习）已知定义在上的函数关于轴对称，其导函数为，当时，不等式．若对，不等式恒成立，则的取值范围是 . 13．（23-24高三上·河北保定·阶段练习）已知函数，若对恒成立，则实数a的取值范围是 ． 14．（22-23高二下·辽宁·阶段练习）已知是定义在上的函数，且在区间内单调递增，对，，都有.若，使得不等式成立，则实数的最大值为 . 四、解答题 15．（22-23高二上·江苏常州·期末）已知函数. (1)讨论的单调性； (2)设函数，若对于任意，都有，求的取值范围. 16．（2024·陕西西安·模拟预测）已知函数. (1)讨论的单调性； (2)若，求. 17．（2023·内蒙古阿拉善盟·一模）已知函数，． (1)当，求的单调递减区间； (2)若在恒成立，求实数a的取值范围． 18．（2023·广东·模拟预测）已知函数. (1)求的极值； (2)当时，，求实数的取值范围. 19．（2023·湖北·模拟预测）已知函数. (1)求函数在处的切线方程； (2)若不等式恒成立，求实数的取值范围. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第8讲　恒成立问题与能成立问题（新高考专用） 目录 【真题自测】 2 【考点突破】 13 【考点一】恒成立问题与能成立问题 13 【专题精练】 29 真题自测 一、解答题 1．（2023·全国·高考真题）已知函数． (1)讨论的单调性； (2)证明：当时，． 2．（2024·广东江苏·高考真题）已知函数 (1)若，且，求的最小值； (2)证明：曲线是中心对称图形； (3)若当且仅当，求的取值范围． 3．（2023·全国·高考真题）已知函数 (1)当时，讨论的单调性； (2)若恒成立，求a的取值范围． 4．（2023·全国·高考真题）已知函数． (1)当时，讨论的单调性； (2)若，求的取值范围． 5．（2024·天津·高考真题）设函数． (1)求图象上点处的切线方程； (2)若在时恒成立，求的值； (3)若，证明． 6．（2024·全国·高考真题）已知函数． (1)当时，求的极值； (2)当时，，求的取值范围． 参考答案： 1．(1)答案见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）先求导，再分类讨论与两种情况，结合导数与函数单调性的关系即可得解； （2）方法一：结合（1）中结论，将问题转化为的恒成立问题，构造函数，利用导数证得即可. 方法二：构造函数，证得，从而得到，进而将问题转化为的恒成立问题，由此得证. 【详解】（1）因为，定义域为，所以， 当时，由于，则，故恒成立， 所以在上单调递减； 当时，令，解得， 当时，，则在上单调递减； 当时，，则在上单调递增； 综上：当时，在上单调递减； 当时，在上单调递减，在上单调递增. （2）方法一： 由（1）得，， 要证，即证，即证恒成立， 令，则， 令，则；令，则； 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以，则恒成立， 所以当时，恒成立，证毕. 方法二： 令，则， 由于在上单调递增，所以在上单调递增， 又， 所以当时，；当时，； 所以在上单调递减，在上单调递增， 故，则，当且仅当时，等号成立， 因为， 当且仅当，即时，等号成立， 所以要证，即证，即证， 令，则， 令，则；令，则； 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以，则恒成立， 所以当时，恒成立，证毕. 2．(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）求出后根据可求的最小值； （2）设为图象上任意一点，可证关于的对称点为也在函数的图像上，从而可证对称性； （3）根据题设可判断即，再根据在上恒成立可求得. 【详解】（1）时，，其中， 则， 因为，当且仅当时等号成立， 故，而成立，故即， 所以的最小值为.， （2）的定义域为， 设为图象上任意一点， 关于的对称点为， 因为在图象上，故， 而， ， 所以也在图象上， 由的任意性可得图象为中心对称图形，且对称中心为. （3）因为当且仅当，故为的一个解， 所以即， 先考虑时，恒成立. 此时即为在上恒成立， 设，则在上恒成立， 设， 则， 当，， 故恒成立，故在上为增函数， 故即在上恒成立. 当时，， 故恒成立，故在上为增函数， 故即在上恒成立. 当，则当时， 故在上为减函数，故，不合题意，舍； 综上，在上恒成立时. 而当时， 而时，由上述过程可得在递增，故的解为， 即的解为. 综上，. 【点睛】思路点睛：一个函数不等式成立的充分必要条件就是函数不等式对应的解，而解的端点为函数对一个方程的根或定义域的端点，另外，根据函数不等式的解确定参数范围时，可先由恒成立得到参数的范围，再根据得到的参数的范围重新考虑不等式的解的情况. 3．(1)答案见解析. (2) 【分析】（1）求导,然后令,讨论导数的符号即可; （2）构造,计算的最大值,然后与0比较大小,得出的分界点,再对讨论即可. 【详解】（1） 令,则 则 当 当,即. 当,即. 所以在上单调递增,在上单调递减 （2）设 设 所以. 若, 即在上单调递减,所以. 所以当,符合题意. 若 当,所以. . 所以,使得,即,使得. 当,即当单调递增. 所以当,不合题意. 综上,的取值范围为. 【点睛】关键点点睛:本题采取了换元,注意复合函数的单调性在定义域内是减函数,若,当,对应当. 4．(1)在上单调递减 (2) 【分析】（1）代入后，再对求导，同时利用三角函数的平方关系化简，再利用换元法判断得其分子与分母的正负情况，从而得解； （2）法一：构造函数，从而得到，注意到，从而得到，进而得到，再分类讨论与两种情况即可得解； 法二：先化简并判断得恒成立，再分类讨论，与三种情况，利用零点存在定理与隐零点的知识判断得时不满足题意，从而得解. 【详解】（1）因为，所以， 则 ， 令，由于，所以， 所以， 因为，，， 所以在上恒成立， 所以在上单调递减. （2）法一： 构建， 则， 若，且， 则，解得， 当时，因为， 又，所以，，则， 所以，满足题意； 当时，由于，显然， 所以，满足题意； 综上所述：若，等价于， 所以的取值范围为. 法二： 因为， 因为，所以，， 故在上恒成立， 所以当时，，满足题意； 当时，由于，显然， 所以，满足题意； 当时，因为， 令，则， 注意到， 若，，则在上单调递增， 注意到，所以，即，不满足题意； 若，，则， 所以在上最靠近处必存在零点，使得， 此时在上有，所以在上单调递增， 则在上有，即，不满足题意； 综上：. 【点睛】关键点睛：本题方法二第2小问讨论这种情况的关键是，注意到，从而分类讨论在上的正负情况，得到总存在靠近处的一个区间，使得，从而推得存在，由此得解. 5．(1) (2)2 (3)证明过程见解析 【分析】（1）直接使用导数的几何意义； （2）先由题设条件得到，再证明时条件满足； （3）先确定的单调性，再对分类讨论. 【详解】（1）由于，故. 所以，，所以所求的切线经过，且斜率为，故其方程为. （2）设，则，从而当时，当时. 所以在上递减，在上递增，这就说明，即，且等号成立当且仅当. 设，则 . 当时，的取值范围是，所以命题等价于对任意，都有. 一方面，若对任意，都有，则对有 ， 取，得，故. 再取，得，所以. 另一方面，若，则对任意都有，满足条件. 综合以上两个方面，知的值是2. （3）先证明一个结论：对，有. 证明：前面已经证明不等式，故， 且， 所以，即. 由，可知当时，当时. 所以在上递减，在上递增. 不妨设，下面分三种情况（其中有重合部分）证明本题结论. 情况一：当时，有，结论成立； 情况二：当时，有. 对任意的，设，则. 由于单调递增，且有 ， 且当，时，由可知 . 所以在上存在零点，再结合单调递增，即知时，时. 故在上递减，在上递增. ①当时，有； ②当时，由于，故我们可以取. 从而当时，由，可得 . 再根据在上递减，即知对都有； 综合①②可知对任意，都有，即. 根据和的任意性，取，，就得到. 所以. 情况三：当时，根据情况一和情况二的讨论，可得，. 而根据的单调性，知或. 故一定有成立. 综上，结论成立. 【点睛】关键点点睛：本题的关键在于第3小问中，需要结合的单调性进行分类讨论. 6．(1)极小值为，无极大值. (2) 【分析】（1）求出函数的导数，根据导数的单调性和零点可求函数的极值. （2）求出函数的二阶导数，就、、分类讨论后可得参数的取值范围. 【详解】（1）当时，， 故， 因为在上为增函数， 故在上为增函数，而， 故当时，，当时，， 故在处取极小值且极小值为，无极大值. （2）， 设， 则， 当时，，故在上为增函数， 故，即， 所以在上为增函数，故. 当时，当时，， 故在上为减函数，故在上， 即在上即为减函数， 故在上，不合题意，舍. 当，此时在上恒成立， 同理可得在上恒成立，不合题意，舍； 综上，. 【点睛】思路点睛：导数背景下不等式恒成立问题，往往需要利用导数判断函数单调性，有时还需要对导数进一步利用导数研究其符号特征，处理此类问题时注意利用范围端点的性质来确定如何分类. 考点突破 【考点一】恒成立问题与能成立问题 一、单选题 1．（21-22高三上·安徽·开学考试）若关于的不等式恒成立，则实数的最大值为（    ） A．2 B． C．3 D． 2．（2024·四川成都·模拟预测）已知函数没有极值点，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 3．（2023·陕西西安·三模）若函数在区间上单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 4．（2024·吉林长春·模拟预测）已知（其中为自然对数的底数），则下列结论正确的是（   ） A．为函数的导函数，则方程有3个不等的实数解 B． C．若对任意，不等式恒成立，则实数的最大值为-1 D．若，则的最大值为 5．（2023·山东淄博·一模）已知函数，则（    ） A．当时，在有最小值1 B．当时，图象关于点中心对称 C．当时，对任意恒成立 D．至少有一个零点的充要条件是 6．（2023·湖北·二模）已知函数，，则下列说法正确的是（    ） A．在上是增函数 B．，不等式恒成立，则正实数a的最小值为 C．若有两个零点，，则 D．若，且，则的最大值为 三、填空题 7．（2023·湖南·模拟预测）已知不等式恒成立，则实数的最大值为 . 8．（2023·福建·模拟预测）已知函数.若，则a的取值范围是 . 9．（23-24高三上·湖南长沙·阶段练习）已知关于的不等式恰有3个不同的正整数解，则实数的取值范围是 ． 四、解答题 10．（2024·江苏南通·二模）已知函数，，. (1)求函数的单调区间； (2)若且恒成立，求的最小值. 11．（2024·吉林长春·模拟预测）已知（其中为自然对数的底数）. (1)当时，求曲线在点处的切线方程， (2)当时，判断是否存在极值，并说明理由； (3)，求实数的取值范围. 12．（23-24高二上·浙江杭州·期末）设a为实数，函数． (1)求的极值； (2)对于，都有，试求实数a的取值范围． 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 答案 B B B AC AC ABD 1．B 【分析】将题干不等式变形为，构造函数，利用函数的单调性将问题转化为恒成立问题，令，利用导数研究函数最值即可求解. 【详解】由题意得，，即， 令，因为，，所以函数在上单调递增， 则不等式转化为，所以，则. 令，则， 则当时，，单调递减；当时，，单调递增， 所以当时，有最小值，即，则的最大值为. 故选：B 2．B 【分析】转化为恒成立，构造函数，求导，得到其单调性和最值，从而得到，故，换元后，构造函数，求导得到其单调性和最值，求出答案. 【详解】函数没有极值点， ，或恒成立， 由指数爆炸的增长性，不可能恒小于等于0， 恒成立． 令，则， 当时，恒成立，为上的增函数， 因为是增函数，也是增函数， 所以，此时，不合题意； ②当时，为增函数，由得， 令 在上单调递减，在上单调递增， 当时，依题意有， 即， ，， 令，， 则， 令，令，解得， 所以当时，取最大值 故当，，即，时，取得最大值 综上，若函数没有极值点，则的最大值为 故选：B. 【点睛】关键点睛：将函数没有极值点的问题转化为导函数恒大于等于0，通过构造函数，借助导数研究函数的最小值，从而得解. 3．B 【分析】由导数与函数的单调性的关系结合条件可得在上恒成立，由此可得在区间上恒成立，求函数的值域可得的取值范围. 【详解】因为函数在区间上单调递增， 所以在区间上恒成立， 即在区间上恒成立， 令， 则， 所以在上递增，又， 所以. 所以的取值范围是. 故选：B 4．AC 【分析】对于A，只需判断或的根的个数和即可，通过求导研究的性态画出图象即可得解；对于B，由单调递增，故只需判断函数有无零点即可；对于C，首先得在上单调递增，转换成在上恒成立验算即可；对于D，根据单调性得，将问题转换成求的最大值即可. 【详解】 对于A，若，则或， 而，， 所以当时，，即单调递减，当时，，即单调递增， 所以，而， 所以方程有3个不等的实数解，故A正确； 对于B，若，由A选项分析可知，即单调递增， 所以，令，，所以单调递增， 所以，矛盾，故B选项错误； 对于C，由B选项分析可知在上单调递增，而由复合函数单调性可知在上单调递增， 若对任意，不等式恒成立，则， 即在上恒成立， 令，当时，，令， 则， 所以当时，，单调递减，当时，，单调递增， 所以， 因为在上恒成立， 所以，即，故C正确； 对于D，若， 又在上单调递增，所以， 所以， 所以，所以当时，，单调递增，当时，，单调递减， 所以，即的最大值为，故D错误. 故选：AC. 【点睛】关键点睛：判断A选项的关键是数形结合，判断BCD的关键是首先根据单调性“去括号”，然后转换成恒成立问题或最值问题即可顺利得解. 5．AC 【分析】利用基本不等式判断选项；利用函数的对称性即可判断选项；利用导数判断函数的单调性即可判断选项；举例说明即可判断选项. 【详解】对于，当时，， 当时，则当且仅当，即时去等号， 所以函数在有最小值1，故选项正确； 对于，当时，则， 因为，所以此时函数图象不关于点中心对称，故选项错误； 对于，当时，则，令， 则，当时，； 当时，，所以函数在上单调递减，在上单调递增， 所以，所以， 则当时，对任意恒成立，故选项正确； 对于，因为时，函数，， 函数在上有一个零点，所以选项错误， 故选：. 6．ABD 【分析】A选项，由题，，判断在上的单调性即可； B选项，由单调性，； C选项，由有两个零点，，构造函数应用极值点偏移可解； D选项，因，及在上单调递增，结合B选项分析可判断选项. 【详解】对于A选项，，. 又当时，，则在上是增函数，故A正确； 对于B选项，时，，又为正实数，所以，又时，， 所以在单调递增，故，即. 令，知，所以在上递增，在上递减，所以， 得正实数的最小值为，故B正确； 对于C选项，有两个根，，等价于函数有两个零点，. 注意到，则在上单调递减，在上单调递增， 因函数有零点，则. 设， 令，， 因为， 所以， 当时，，单调递减； 所以在上单调递减，所以，即当时，， 由题意，，，且在上单调递增， 所以，即．故C错误； 对于D选项，由AB选项分析可知，在上单调递增， 又，， 则.由，即，即有， 又，在上单调递增，所以，即，所以， 其中.由B选项分析可知，，其中时取等号，则， 其中时取等号，所以，故D正确. 故选：ABD 【点睛】关键点点睛：对于复杂函数，常利用导数求单调区间.对于恒成立问题，常利用分离参数法将问题转化为求最值. 对于双变量问题，常结合题目条件寻找变量间关系，将双变量转化为单变量. 7． 【分析】 将不等式转化为，构造函数，研究函数单调性，将问题转化为恒成立，再运用分离参数法求最值即可. 【详解】因为，所以，. 即. 令，易知在上单调递增， 又， 所以恒成立，即恒成立. 所以. 令，，则，， 由，， 则在上单调递减，在上单调递增， 所以， 所以，即， 故实数的最大值为. 故答案为：. 【点睛】 同构法的三种基本模式： ①乘积型，如可以同构成，进而构造函数； ②比商型，如可以同构成，进而构造函数； ③和差型，如，同构后可以构造函数或. 分离参数法解决恒(能)成立问题的策略： （1）分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题． （2）恒成立；恒成立； 能成立；能成立. 8． 【分析】分，以及，分别讨论，构造函数，结合处的函数值，推导得出函数的单调性，进而得出导函数的符号，即可推得答案. 【详解】当时，恒成立； 当时，此时应有，即. 令,，则. 设，则恒成立， 所以，即单调递增. 又，则要使在上恒成立， 应有在上恒成立， 即在上恒成立. 又时，，所以； 当时，此时应有，即. 令，则. 令，则恒成立， 所以，即单调递减. 又，则要使在上恒成立， 应有在上恒成立， 即在上恒成立. 因为，在上单调递减，所以， 所以. 综上所述，a的取值范围是. 故答案为： 【点睛】关键点睛：当时，，根据，可推得要使在上恒成立，应有在上恒成立，进而推得a的取值范围. 9． 【分析】由题意知，关于x的不等式恰有3个不同的正整数解．设函数，，作出函数图象，由图象观察，可得实数的k取值范围． 【详解】当时，不等式有无数个正整数解，不满足题意； 当时，当时，不等式恒成立，有无数个不同的正整数解，不满足题意； 当时，不等式等价于， 令，所以， 当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减， 又，结合单调性可知，当时，恒成立， 而表示经过点的直线， 由图像可知，关于的不等式恰有3个不同的正整数解，故只需满足以下条件： 解得．则实数的取值范围是， 故答案为：．    【点睛】用数形结合思想解决不等式解的问题一般有以下几类： （1）解含参不等式：在解决含有参数不等式时，由于涉及参数，往往需要讨论，导致演算过程复杂，若利用数形结合的方法，问题将简单化； （2）确定参数范围：在确定不等式参数的范围时，几何图形更能使问题直观； （3）证明不等式：把证明的不等式赋予一定的几何意义，将复杂的证明问题明快解决. 10．(1)答案见解析 (2). 【分析】（1）求导后，利用导数与函数单调性的关系，对与分类讨论即可得； （2）结合函数的单调性求出函数的最值，即可得解. 【详解】（1）（）， 当时，由于，所以恒成立，从而在上递增； 当时，，；，， 从而在上递增，在递减； 综上，当时，的单调递增区间为，没有单调递减区间； 当时，的单调递增区间为，单调递减区间为. （2）令，要使恒成立， 只要使恒成立，也只要使. ， 由于，，所以恒成立， 当时，，当时，， 所以，解得：， 所以的最小值为. 11．(1) (2)有一个极大值，一个极小值，理由见解析 (3) 【分析】（1）当时，求得，结合导数的几何意义，即可求解； （2）当时，求得，令，利用导数求得的单调性与，得到存在使得，存在使得，进而得到答案； （3）求得，根据题意，得到，令，得到使得，利用函数的单调性，求得，再由，求得，再由，设，利用导数求得函数的单调性，即可求解. 【详解】（1）解：当时，，可得， 则， 所以曲线在点处的切线方程为，即. （2）解：当时，，定义域为， 可得， 令，则， 当时，；当时，， 所以在递减，在上递增， 所以， 又由， 存在使得，存在使得， 当时，单调递增； 当时，单调递减； 当时，单调递增； 所以时，有一个极大值，一个极小值. （3）解：由，可得， 由，因为，可得， 令，则在上递减， 当时，可得，则，所以， 则， 又因为，使得，即 且当时，，即； 当时，，即， 所以在递增，在递减，所以， 由，可得， 由，可得，即， 由，可得，所以， 因为，设，则， 可知在上递增，且， 所以实数的取值范围是. 【点睛】方法技巧：对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略： 1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围； 2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题． 3、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别． 12．(1)极大值为，极小值为 (2) 【分析】（1）利用导数分析函数的单调性，由此可求得函数的极大值和极小值； （2）分析可知，利用导数求得函数在上的最小值，求出函数在上的最大值，可得出关于实数的不等式，由此可解得实数的取值范围. 【详解】（1）函数的定义域为，， 令，可得或，列表如下： 递增 极大值 递减 极小值 递增 故函数的极大值为，极小值为. （2）对于，，都有，则. 由（1）可知，函数在上单调递减，在上单调递增， 故当时，， 因为，且时，， 当时，， 故函数在上单调递减，再上单调递增，， 故， 由题意可得，故. 规律方法： (1)由不等式恒成立求参数的取值范围问题的策略 ①求最值法：将恒成立问题转化为利用导数求函数的最值问题． ②分离参数法：将参数分离出来，进而转化为a>f(x)max或a<f(x)min的形式，通过导数的应用求出f(x)的最值，即得参数的范围． (2)不等式有解问题可类比恒成立问题进行转化，要理解清楚两类问题的差别． 专题精练 一、单选题 1．（2025·安徽·一模）已知函数，若不等式的解集中恰有两个不同的正整数解，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（2024·辽宁·一模）已知函数，若时，恒有，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（2024·陕西榆林·一模）已知函数在上单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（2023高三·全国·专题练习）已知函数，，对于存在的，存在，使，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高三上·江苏镇江·开学考试）对于实数，不等式恒成立，则实数m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 6．（2022·河南开封·模拟预测）若关于的不等式对恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 7．（2023·广东佛山·一模）已知函数（且），若对任意，，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 8．（2023·江苏·模拟预测）已知，，对于，恒成立，则的最小值为（    ） A． B．－1 C． D．－2 二、多选题 9．（2023·辽宁锦州·二模）已知函数是定义在上的可导函数，当时，，若且对任意，不等式成立，则实数的取值可以是（    ） A．-1 B．0 C．1 D．2 10．（2023·安徽马鞍山·一模）已知函数，若恒成立，则实数的可能的值为（    ） A． B． C． D． 11．（2023·全国·模拟预测）已知函数，则下列结论正确的是（    ） A．当m＞0时，函数的图象在点处的切线的斜率为 B．当m＝l时，函数在上单调递减 C．当m＝l时，函数的最小值为1 D．若对恒成立，则 三、填空题 12．（23-24高二下·上海·阶段练习）已知定义在上的函数关于轴对称，其导函数为，当时，不等式．若对，不等式恒成立，则的取值范围是 . 13．（23-24高三上·河北保定·阶段练习）已知函数，若对恒成立，则实数a的取值范围是 ． 14．（22-23高二下·辽宁·阶段练习）已知是定义在上的函数，且在区间内单调递增，对，，都有.若，使得不等式成立，则实数的最大值为 . 四、解答题 15．（22-23高二上·江苏常州·期末）已知函数. (1)讨论的单调性； (2)设函数，若对于任意，都有，求的取值范围. 16．（2024·陕西西安·模拟预测）已知函数. (1)讨论的单调性； (2)若，求. 17．（2023·内蒙古阿拉善盟·一模）已知函数，． (1)当，求的单调递减区间； (2)若在恒成立，求实数a的取值范围． 18．（2023·广东·模拟预测）已知函数. (1)求的极值； (2)当时，，求实数的取值范围. 19．（2023·湖北·模拟预测）已知函数. (1)求函数在处的切线方程； (2)若不等式恒成立，求实数的取值范围. 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C B B A C B D C AB AD 题号 11 答案 ABD 1．C 【分析】不等式可化为，利用导数分析函数的单调性，作函数，的图象，由条件结合图象列不等式求的取值范围. 【详解】函数的定义域为， 不等式化为：． 令，，， 故函数在上单调递增，在上单调递减． 当时，，当时，， 当时，， 当时，，当，且时，， 画出及的大致图象如下， 因为不等式的解集中恰有两个不同的正整数解， 故正整数解为． 故， 即． 故. 故选：C. 2．B 【分析】求导，令，利用导数判断函数的单调性，再由分类讨论即可得解. 【详解】由，得， 令， 则， 因为函数在上都是增函数， 所以函数在上是增函数， 所以， 所以函数在上是增函数， 所以， 当时，， 所以函数在上单调递增， 所以，满足题意； 当时，则存在，使得， 且当，，函数单调递减， 所以，故不恒成立， 综上所述，的取值范围是. 故选：B. 3．B 【分析】分情况讨论，当时直接代入可得函数递减；当时，求导，构造函数，，再由得到抽象函数，求出，最后再讨论时的情况，综合得出结果. 【详解】当时，函数在上单调递减，不符合题意，所以， 由题可知恒成立，即.令， 则，所以在上单调递增，由， 可得，即，所以，所以， 当时，，不符合题意，故的取值范围是. 故选：B 4．A 【分析】条件可转化为，，，，再分别求列不等式可求的取值范围. 【详解】因为对于存在，存在，使， 所以，，， 又，， 显然在上单调递减，则， 当时，，即在上单调递增， 则， 由解得：， 所以实数的取值范围为. 故选：A. 5．C 【分析】构造同构函数，分析单调性，转化为恒成立，即，再求解的最小值即可. 【详解】已知，由知.故排除BD. 由得，， 构造函数，是上的增函数， 则由得，即， 令， ，由得， 当，则单调递减， 当，则单调递增， ， 则，又，则. 故选：C. 6．B 【分析】由题意可知，且对恒成立，设，则问题转化为在上恒成立，利用导数说明函数的单调性，再分和两种情况讨论，结合函数的取值情况及单调性，分别计算可得. 【详解】由题意可知，，即对恒成立． 设，则问题转化为在上恒成立， 因为，所以当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 又，所以当时，；当时，． ①在上，若恒成立，即，； ②在上，若，则恒成立，即恒成立， 令，，则，所以在上单调递增， 所以，所以，综上所述，实数的取值范围为． 故选：B． 【点睛】方法点睛：导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理． 7．D 【分析】当时，恒成立，利用图象关系可得，且，求得.当，恒成立，变形 构造函数，求导判断单调性，从而推出，进一步得到，综上得到. 【详解】当时，， 由图可知，， 此时若对任意，， 只需，即，即. 当，， 此时若对任意，，即， ，所以只需. 令，则， 当单调递增，当单调递减， ，. 综上，. 故选:D. 8．C 【分析】等价于对于，恒成立，设，求出函数最大值，得到，设，求出函数的最小值即得解. 【详解】因为对于，恒成立， 所以对于，恒成立， 设，所以. 当时，，函数单调递增， 所以函数没有最大值，所以这种情况不满足已知； 当时， 当时，，函数单调递增. 当时，，函数单调递减. 所以. 所以. 所以. 设， 所以， 当时，，函数单调递减. 当时，，函数单调递增. 所以. 所以的最小值为. 故选：C 【点睛】方法点睛：不等式的恒成立问题的求解，常用的方法有：（1）分离参数求最值；（2）直接法；（3）端点优先法.要根据已知条件灵活选择方法求解. 9．AB 【分析】由题意可得为偶函数，在上单调递增，不等式等价于，由，解不等式即可. 【详解】函数是定义在上的可导函数，，则定义域为， ，为偶函数， 当时，，则在上单调递增， 当，，则有， 即，所以， 由，可得， 根据选项可知，实数a的取值可以是-1和0. 故选：AB. 10．AD 【分析】根据转化成恒成立，构造函数利用导数求解的单调性，问题进一步转化成恒成立，构造，求解最值即可. 【详解】， 故恒成立，转化成恒成立， 记，则在单调递增，故由得，故恒成立， 记，故当时，单调递减，当时，单调递增，故当时，取最大值， 故由恒成立，即,故， 故选：AD 【点睛】本题主要考查导数在函数中的应用，着重考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何意义，求解曲线在某点处的切线方程；(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数；(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决函数的恒成立与有解问题，同时注意数形结合思想的应用. 11．ABD 【分析】A. 由m＞0直接求导求解判断；B. 由m＝l，利用导数法求解判断；C. 由m＝l，利用导数法求解判断；D. 将对恒成立，转化为对恒成立，利用的单调性转化为对恒成立求解判断. 【详解】解：， 当时，，则，故A正确； 当m＝l时，，令，则， 所以在上递增，又，即在上成立， 所以在上递减，故B正确； 当m＝l时，，令，则， 所以在上递增，又，， 所以存在，有，即，则， 当时，，当时，， 所以，故C错误； 若对恒成立， 则对恒成立， 设，则，所以在上递增， 则对恒成立，即对恒成立， 设，则，当时，，当时，， 所以，则，解得，故D正确. 故选：ABD 12． 【分析】构造函数，判断单调性及奇偶性，去掉函数符号，转化为恒成立,分离参数求最值即可求解. 【详解】定义在上的函数关于轴对称，函数为上的偶函数． 令，则,为奇函数． ． 当时，不等式． ，在单调递增． 函数在上单调递增． 对，不等式恒成立， , 即 ． 当时，， 则， 则；； 故在单调递减，在单调递增； 可得时，函数取得极小值即最小值， ． 当时，，则，则 则的取值范围是. 故答案为：. 13． 【分析】对不等式进行合理变形同构得，构造函数利用函数的单调性计算即可. 【详解】易知，由可得， 即，则有， 设，易知在上单调递增， 故，所以，即， 设，令，， 故在上单调递减，在上单调递增， 所以，则有，解之得． 故答案为：. 14． 【分析】由赋值法可得，，进而可判断函数的奇偶性，利用单调性将问题转化为，构造函数，求导得函数的单调性，即可可得最值，即可求解. 【详解】令，则，所以； 令，则，所以； 令，，则，所以，所以为偶函数. 因为在上单调递增，所以在上单调递减. 不等式化为， 因为，，所以，取对数得，即， 由题设条件可知， 设，则， 当时，，当时，， 所以在内单调递增，在内单调递减， 则，所以， 故实数的最大值为. 故答案为： 【点睛】方法点睛：本题主要考查函数的奇偶性和单调性结合起来解决恒成立或者能成立问题时，将其转化为最值问题，利用导数求函数的单调区间，判断单调性，求函数的最值(极值)，解决函数的恒成立与有解问题，同时注意数形结合思想的应用. 15．(1)见解析； (2) 【分析】（1）求出函数定义域，利用导数分类讨论求解的单调区间即可求解； （2）变形给定不等式，分离参数构造函数，求出在的最小值即可求解. 【详解】（1）函数的定义域为，求导得， 若，，函数在上单调递减； 若，当时，，当时，， 因此，函数在上单调递减，在上单调递增， 综上：当时，函数在上单调递减； 当时，函数的减区间为，增区间为. （2）令， 于是恒成立，即恒成立， 令，求导得， 当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 因此，，则有， 所以的取值范围是. 【点睛】利用导数解决不等式恒成立问题的方法 (1)分离参数法求范围：若或恒成立，只需满足或即可，利用导数方法求出的最小值或的最大值，从而解决问题； (2)把参数看作常数利用分类讨论方法解决：对于不适合分离参数的不等式，常常将参数看作常数直接构造函数，常用分类讨论法，利用导数研究单调性、最值，从而得出参数范围. 16．(1)答案见解析 (2) 【分析】（1）求导，根据导数的结构对分和讨论得解； （2）对分类讨论求出的最大值，建立关于的不等关系，解得的范围. 【详解】（1）， 当时，在上单调递增； 当时，令，则， 当时，单调递增； 当时，单调递减. 综上，当时，在上单调递增； 当时，在上单调递增，在上单调递减. （2）当时，，不合题意. 当时，由（1）可知，. 设，则， 当时，单调递减，当时，单调递增， 所以. 所以当且时，，不合题意， 当时，，符合题意. 综上，. 17．(1)单调递减区间为 (2) 【分析】（1）根据导函数和原函数的单调性关系，先设求得，得到函数单调区间； （2）把在上恒成立, 转化为在上恒成立，令,即得恒成立求参即可. 【详解】（1）当时，， 所以，令，所以， 当时，，故为增函数； 当时，，故为减函数， 所以，即， 所以函数的单调递减区间为，无单调递增区间. （2）因为，所以， 所以在上恒成立， 即在上恒成立， 转化为在上恒成立， 令，，则且 当时，恒成立，故在上为增函数， 所以，即时不满足题意； 当时，由，得， 若，则，故在上为减函数，在上为增函数， 所以存在，使得，即时不满足题意； 若，则，故在上为减函数， 所以，所以恒成立， 综上所述，实数的取值范围是. 18．(1)极小值，无极大值 (2) 【分析】（1）先求导数，利用导数判断单调性，根据单调性得出极值； （2）原问题转化为不等式在上恒成立，方法一通过研究函数单调性求得的最小值为，从而求出；方法二通过同构构造函数并研究其单调性最值，从而说明的最小值为，进而求出. 【详解】（1）求导得， 所以当时，；当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以有极小值，无极大值. （2）方法一：由题知不等式在上恒成立， 则原问题等价于不等式在上恒成立， 记， 则， 记，则恒成立， 所以在上单调递增，又， 所以存在，使得， 即当时，，此时；当时，，此时， 所以在上单调递减，在上单调递增， 由，得， 即， 所以， ①当时， 因为，所以不等式恒成立， 所以； ②当时， 因为存在，使得，而， 此时不满足， 所以无解. 综上所述，. 方法二：由题知不等式在上恒成立， 原问题等价于不等式在上恒成立， 即在上恒成立. 记，则，当单调递减，单调递增， 因为即， ①当时， 因为，所以不等式恒成立，所以； ②当时，令，显然单调递增，且， 故存在，使得，即，而，此时不满足，所以无解. 综上所述，. 【点睛】关键点点睛：已知不等关系求解参数范围时，求解的关键是转化为函数最值问题求解，求解最值时常借助隐零点、同构等方法进行求解. 19．(1) (2) 【分析】（1）根据导数的几何意义知函数在处的导数值即为切线斜率，所以对函数求导可得切线斜率，进而得切线方程； （2）根据题意属于不等式恒成立求参数取值范围问题，可以把不等式分离参数，然后构造新函数，转化为利用导数求新函数的最值问题；也可以利用切线不等式得到即，再对分和讨论即得的取值范围. 【详解】（1），， ， 的图像在处的切线方程为，即. （2）解法一：由题意得，因为函数， 故有，等价转化为， 即在时恒成立，所以， 令，则， 令，则，所以函数在时单调递增， ，， ，使得， 当时，，即单调递减，当时，，即单调递增， 故， 由，得 在中，，当时，， 函数在上单调递增，，即与， ， ，即实数的取值范围为. 解法二：因为函数， 故有，等价转化为：， 构造， ，所以可知在上单调递减，在上单调递增， ，即成立，令， 令， 在单调递增， 又，所以存在，使得，即， 可知， 当时，可知恒成立，即此时不等式成立； 当时，又因为， 所以，与不等式矛盾； 综上所述，实数的取值范围为. 【点睛】方法点睛：对于利用导数研究函数的综合问题的求解策略： 1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围； 2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题． 3、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$