精品解析：山东省泰安市新泰市紫光实验中学2024-2025学年高一上学期第一次（10月）月考测试数学试卷

新泰市紫光实验中学2024—2025学年10月份第一次月考测试 高一年级数学试卷 一、选择题（共40分） 1. 已知二次函数满足，且的最大值是8，则此二次函数的解析式为（ ） A. B. C. D. 2. 已知a，b为正数，若，有函数，则的最小值为（ ） A. B. C. 9 D. 3. 已知函数的定义域为，且对任意，满足，且，则（ ） A 651 B. 676 C. 1226 D. 1275 4. 已知函数 ，若，则（ ） A. B. C. D. 5. 函数是定义在R上奇函数，满足，当时，有，则（ ） A. 0 B. 1 C. D. 6. 设函数，，当时，曲线与恰有一个交点，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 7. 若正数满足，则的最小值是（ ） A 2 B. C. 4 D. 8. 已知函数的定义域为，有下面三个命题，命题p：存在且，对任意的，均有恒成立，命题：在上是严格减函数，且恒成立；命题：在上是严格增函数，且存在使得，则下列说法正确的是（ ） A. 、都是p的充分条件 B. 只有是p的充分条件 C. 只有是p的充分条件 D. 、都不是p的充分条件 二、多项选择题（共18分） 9. 下列命题中，是全称量词命题且是真命题的是（ ） A. 任何一个实数乘以0都等于0 B. 自然数都是正整数 C. 实数都可以写成小数形式 D. 一定存在没有最大值的二次函数 10. 已知，，下列结论正确是（ ） A. B. 的最小值是 C. 的最小值是8 D. 的最小值是 11. 已知，则（ ） A. B. C. D. 三、填空题（共10分） 12. 某班有学生56人，同时参加了数学小组和英语小组的学生有32人，同时参加了英语小组和语文小组的学生有22人，同时参加了数学小组和语文小组的学生有25人．已知该班学生每人至少参加了1个小组，则该班学生中只参加了数学小组、英语小组和语文小组中的一个小组的人数最多________． 13. 已知实数,且满足，则的最小值为__________. 四、双空题（共5分） 14. 已知命题，则的否定是__________，命题是__________（填入“真”或“假”）命题. 五、解答题（共77分） 15. 已知函数是定义在上的奇函数，且. （1）求，的值： （2）试判断函数的单调性，并证明你的结论； （3）求使成立实数的取值范围. 16. （1）设为正数，求证：； （2）解关于的不等式：. 17. 若实数满足，则称比远离． （1）若比1远离，求实数的取值范围； （2）若，试问：与哪一个更远离2？并说明理由． 18. 某地方政府准备在一块面积足够大的荒地上建一如图所示的一个矩形综合性休闲广场，其总面积为3000平方米，其中场地四周（阴影部分）为通道，通道宽度均为2米，中间的三个矩形区域将铺设塑胶地面作为运动场地（其中两个小场地形状相同），塑胶运动场地占地面积为平方米. （1）分别写出用表示 和用表示 的函数关系式（写出函数定义域）； （2）怎样设计能使S取得最大值，最大值为多少？ 19. 已知． （1）若不等式对于一切实数恒成立，求实数的取值范围； （2）求不等式的解集． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 新泰市紫光实验中学2024—2025学年10月份第一次月考测试 高一年级数学试卷 一、选择题（共40分） 1. 已知二次函数满足，且的最大值是8，则此二次函数的解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据条件设二次函数为，代入条件求解即可. 【详解】根据题意，由得:图象的对称轴为直线， 设二次函数为， 因的最大值是8，所以，当时， ， 即二次函数， 由得:，解得：， 则二次函数， 故选：A. 2. 已知a，b为正数，若，有函数，则的最小值为（ ） A. B. C. 9 D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意可利用指数函数单调性分别讨论：，，情况从而求出，再结合基本不等式“1”的应用从而可得以，即可求解. 【详解】由题意可得，又因为, 当时，可得，即； 当时，显然成立； 当时，可得，即; 综上可得，即， 因为a，b为正数， 所以， 当且仅当时取等号，故B正确. 故选：B. 【点睛】关键点点睛：本题主要是根据指数函数单调性分情况讨论并求出与的关系，然后利用基本不等式“1”的应用从而可求解. 3. 已知函数的定义域为，且对任意，满足，且，则（ ） A. 651 B. 676 C. 1226 D. 1275 【答案】A 【解析】 【分析】由条件可以推出，结合，即可求解. 【详解】由， 所以， 即， 所以 . 故选：A. 4. 已知函数 ，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据分段函数的解析式，分段求解，即可求得答案. 【详解】∵，, ∴当时， ，解得； 当时，，解得,即（舍去）， ∴, 故选:C 5. 函数是定义在R上的奇函数，满足，当时，有，则（ ） A. 0 B. 1 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先结合已知及奇函数性质求得函数的周期为6，然后利用周期性代入对数函数求解即可. 【详解】由题意，函数是R上的奇函数，所以，所以， 又，所以， 所以，因此函数为周期函数，周期， 所以. 故选：C 6. 设函数，，当时，曲线与恰有一个交点，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】解法一：令，分析可知曲线与恰有一个交点，结合偶函数的对称性可知该交点只能在y轴上，即可得，并代入检验即可；解法二：令，可知为偶函数，根据偶函数的对称性可知的零点只能为0，即可得，并代入检验即可. 【详解】解法一：令，即，可得， 令， 原题意等价于当时，曲线与恰有一个交点， 注意到均为偶函数，可知该交点只能在y轴上， 可得，即，解得， 若，令，可得 因为，则，当且仅当时，等号成立， 可得，当且仅当时，等号成立， 则方程有且仅有一个实根0，即曲线与恰有一个交点， 所以符合题意； 综上所述：. 解法二：令， 原题意等价于有且仅有一个零点， 因为， 则为偶函数， 根据偶函数的对称性可知的零点只能为0， 即，解得， 若，则， 又因为当且仅当时，等号成立， 可得，当且仅当时，等号成立， 即有且仅有一个零点0，所以符合题意； 故选：D. 7. 若正数满足，则的最小值是（ ） A. 2 B. C. 4 D. 【答案】C 【解析】 【分析】由得，代入后利用基本不等式即可求解. 【详解】因正数满足，所以，则， 所以， 当且仅当，即时，等号成立. 故选：C. 8. 已知函数定义域为，有下面三个命题，命题p：存在且，对任意的，均有恒成立，命题：在上是严格减函数，且恒成立；命题：在上是严格增函数，且存在使得，则下列说法正确的是（ ） A. 、都是p的充分条件 B. 只有是p的充分条件 C. 只有是p的充分条件 D. 、都不是p的充分条件 【答案】A 【解析】 【分析】若已知，则当，根据减函数的定义和已知条件，结合不等式性质，可推出成立；若已知，取，根据增函数的定义和已知条件，结合不等式性质，也可推出成立. 【详解】若成立，当，有. 因为单调递减，且恒成立，所以， 所以， 故存在（且），对任意的，均有恒成立， 所以是p的充分条件； 若成立时，当时，，. 因为单调递增，所以恒成立， 故存在（且），对任意的，均有恒成立， 所以也是p的充分条件. 故选：A. 【点睛】关键点睛：本题解决的关键是找到相应的满足要求，从而得解. 二、多项选择题（共18分） 9. 下列命题中，是全称量词命题且是真命题的是（ ） A. 任何一个实数乘以0都等于0 B. 自然数都是正整数 C. 实数都可以写成小数形式 D. 一定存在没有最大值的二次函数 【答案】AC 【解析】 【分析】逐项判断各个命题是否为全称命题，是否为真命题. 【详解】A选项中，“任何”是全称量词，它是全称量词命题，且为真命题； B选项中，“都”是全称量词，它是全称量词命题，由于0是自然数，不是正整数，故该命题是假命题； C选项中，“都”是全称量词，它是全称量词命题，且为真命题； D选项中，“存在”是存在量词，它是存在量词命题． 故选：AC． 10. 已知，，下列结论正确的是（ ） A. B. 的最小值是 C. 的最小值是8 D. 的最小值是 【答案】ACD 【解析】 【分析】由条件等式，有，可求的范围判断选项A；利用基本不等式求和的最小值判断BCD. 【详解】，由，解得，A正确； ， 当且仅当时，等号成立，而此时不存在，B错误； 由，得，所以， 当且仅当，即时，等号成立，C正确. 由，得， 则， 当且仅当，即时，等号成立，D正确. 故选：ACD. 11. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】选项ABD，利用不等式的性质计算即可，选项C，因为可正可负，所以不容易化简解决，一般当乘或除以一个不知正负的数，基本上错误，我们只需要找反例即可. 【详解】因为，所以，故A正确； 因为，所以，故B正确； 因，不妨令，得，此时，故C错误； 因为，所以，故D正确. 故选：ABD 三、填空题（共10分） 12. 某班有学生56人，同时参加了数学小组和英语小组的学生有32人，同时参加了英语小组和语文小组的学生有22人，同时参加了数学小组和语文小组的学生有25人．已知该班学生每人至少参加了1个小组，则该班学生中只参加了数学小组、英语小组和语文小组中的一个小组的人数最多________． 【答案】21 【解析】 【分析】设该班学生中同时参加了数学小组、英语小组和语文小组的人数为，只参加其中一个小组的人数为，根据题意列出方程，由的最大值求的最大值. 【详解】如图，设该班学生中同时参加三个小组人数为，只参加其中一个小组的人数为， 则，即． 因为，所以． 所以只参加其中一个小组的人数最多为21. 故答案为：21. 13. 已知实数,且满足，则的最小值为__________. 【答案】 【解析】 【分析】用“1”的代换凑配出定值后用基本不等式求解即可. 【详解】，，， ，， ， 当且仅当，即，时等号成立， 所以的最小值为. 故答案为：. 四、双空题（共5分） 14. 已知命题，则的否定是__________，命题是__________（填入“真”或“假”）命题. 【答案】 ①. ②. 假 【解析】 【分析】根据全称量词命题的否定为存在量词命题，求解判断. 【详解】命题的否定是：， 当，且不为0时，有，所以命题是假命题. 故答案为：；假. 五、解答题（共77分） 15. 已知函数是定义在上的奇函数，且. （1）求，的值： （2）试判断函数的单调性，并证明你的结论； （3）求使成立的实数的取值范围. 【答案】（1）， （2）在上为增函数.证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）由奇函数的性质可得，结合，解方程可得，的值； （2）在上为增函数，再由单调性的定义证明，注意运用因式分解和不等式的性质； （3）由奇函数在上为增函数，可将不等式的两边的“”去掉，解不等式可得所求取值范围. 【小问1详解】 由题意， 在中，函数是奇函数， 且，可得即； 又，则， ∴，；经验证满足题意. 【小问2详解】 由题意及（1）得， 在上为增函数.证明如下： 在中， 设，则， ∵， ∴，， ∴，即， ∴在上为增函数； 【小问3详解】 由题意，（1）及（2）得， 在中，为奇函数， ∴ ∴，即， ∴， 解得， ∴的取值范围是 16. （1）设为正数，求证：； （2）解关于的不等式：. 【答案】（1）证明见解析；（2）答案见解析 【解析】 【分析】（1）由基本不等式得，，，三式相加即可得证； （2），即，再从分类讨论，结合一元二次不等式的解法即可得解. 【详解】（1）因为为正数， 由基本不等式可得，，当且仅当时取等号， ，当且仅当取等号， ，当且仅当取等号， 以上三式相加有， 即，当且仅当时取等号； （2）解：， 即， 即， ①当时，的解集为， ②当时，， 等价于，即； ③当时，等价于， 即或， 综上可得：时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为. 17. 若实数满足，则称比远离． （1）若比1远离，求实数的取值范围； （2）若，试问：与哪一个更远离2？并说明理由． 【答案】（1） （2）比远离2，理由见解析 【解析】 【分析】（1）由题意平方后解不等式， （2）由基本不等式求取值范围后判断． 【小问1详解】 由题意，， 即， 两边平方，得，解得． 【小问2详解】 因为，所以． ， 当时，， 当且仅当，即，或时等号成立，所以． 此时比远离2； 当时，， 当且仅当，即，或时等号成立，所以． 此时比远离2． 综上，比远离2. 18. 某地方政府准备在一块面积足够大的荒地上建一如图所示的一个矩形综合性休闲广场，其总面积为3000平方米，其中场地四周（阴影部分）为通道，通道宽度均为2米，中间的三个矩形区域将铺设塑胶地面作为运动场地（其中两个小场地形状相同），塑胶运动场地占地面积为平方米. （1）分别写出用表示 和用表示 的函数关系式（写出函数定义域）； （2）怎样设计能使S取得最大值，最大值为多少？ 【答案】（1）（2）矩形场地时，运动场的面积最大，最大面积是 【解析】 【详解】试题分析：（1）塑胶运动场地占地面积为中间三个矩形面积的和.其中大矩形的宽为米,长为米.两个小矩形的长为米,宽为米.其中,则.根据矩形的面积公式可用x表示y和S的函数关系式.根据各边长为正及可得的范围.（2）由(1)知,用基本不等式求其最值. 解：（1）由已知∴，故， 由，解得，∴． ， 根据，得， ∴. （2）， 当且仅当，即时等号成立，此时. 所以，矩形场地时，运动场的面积最大，最大面积是. 考点：1函数解析式;2基本不等式. 19. 已知． （1）若不等式对于一切实数恒成立，求实数的取值范围； （2）求不等式的解集． 【答案】（1） （2）答案见解析 【解析】 【分析】（1）根据题意，转化为对于任意的实数恒成立，结合二次函数的性质，即可求解； （2）把不等式转化为，分类讨论，即可求解. 【小问1详解】 因为， 则不等式，可化为， 即对于任意的实数恒成立， 当时，即时，不等式为，解得，不符合题意； 当时，则满足，解得， 综上可得，实数取值范围为. 【小问2详解】 由不等式，可得，即， ①当时，不等式可化为，解得 当时，方程的解，或， ②当时， 或； ③当时， （i）当时，即， ； （ii）当时不等式的解集为， （iii）当时，， ， 综上可得： 当时，原不等式的解集为； 当，原不等式的解集为或， 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$