精品解析：浙江省杭州市青春中学2024—2025学年上学期10月月考数学试题

2024学年第一学期九年级数学10月阶段练习 试题卷 一、选择题：本大题有10个小题，每小题3分，共30分． 1. 下列函数中，是二次函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查二次函数的定义，形如的函数是二次函数，根据定义判断即可． 【详解】解：A、未知数的最高次数是1，不符合定义； B、未知数的最高次数是1，不符合定义； C、符合定义； D、含有分式，不符合定义； 故选：C． 2. 在中，，，．以点C为圆心，4为半径画圆，则（　　） A. 点A在圆上 B. 点A在圆外 C. 点B在圆上 D. 点B在圆外 【答案】C 【解析】 【分析】先由勾股定理求得，再由和，的大小关系即可判断点和点与的位置关系． 【详解】解：，，． ， ，，， 可得点在内，点在上． 故选：C． 【点睛】本题考查了对点与圆的位置关系的判断，勾股定理．关键要记住若半径为，点到圆心的距离为，则有：当时，点在圆外；当时，点在圆上，当时，点在圆内． 3. 下列事件中,属于不可能事件的是（ ） A. 掷一枚骰子,朝上一面的点数为5 B. 任意画一个三角形,它的内角和是178° C. 任意写一个数,这个数大于-1 D. 在纸上画两条直线,这两条直线互相平行 【答案】B 【解析】 【分析】不可能事件是在一定条件下一定不会发生的事件，依据定义即可求解． 【详解】A．掷一枚骰子，朝上一面的点数为5是随机事件； B．任意画一个三角形，它的内角和是178°是不可能事件； C．任意写一个数，这个数大于-1是随机事件； D．在纸上画两条直线，这两条直线互相平行是随机事件； 故选B． 【点睛】本题考查事件的分类，事件根据其发生的可能性大小分为必然事件、随机事件、不可能事件，理解定义是关键． 4. 把抛物线向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度，得到的抛物线的解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象的平移，根据二次函数图象的平移规律：左加右减，上加下减即可求解，掌握二次函数图象的平移规律是解题的关键． 【详解】解：把抛物线向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度，得到的抛物线的解析式为， 故选：． 5. 根据圆规作图的痕迹，可用直尺成功找到三角形外心的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据三角形外心的定义得到三角形外心为三边的垂直平分线的交点，然后利用基本作图对各选项进行判断． 【详解】三角形外心为三边的垂直平分线的交点，由基本作图得到C选项作了两边的垂直平分线，从而可用直尺成功找到三角形外心． 故选C． 【点睛】本题考查了作图﹣基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．也考查了三角形的外心． 6. 关于二次函数的图象，下列说法错误的是（　　） A. 开口向下 B. 对称轴为直线 C. 当时，随的增大而增大 D. 当时，函数有最小值，最小值为 【答案】D 【解析】 【分析】根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题． 【详解】解：二次函数， ，函数的图象开口向下，故选项A正确，不符合题意； 对称轴是直线，故选项B正确，不符合题意； 当时，随的增大而增大，故选项C正确，不符合题意； 当时，函数有最大值，故选项D错误，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查二次函数的图象、性质、最值，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答． 7. 如图，为的直径，弦于点E，已知，，则的长为（ ） A. 8 B. 12 C. 16 D. 20 【答案】C 【解析】 【分析】利用垂径定理求解即可． 【详解】解：如图： ，， ， ． 故选：C． 【点睛】本题考查了垂径定理，熟练掌握定理是解题的关键． 8. 抛物线上有两点，，若，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. 或 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象和性质，根据抛物线开口向上，抛物线上的点距离对称轴越近，函数值越小进行判断即可求解． 【详解】解：∵，， ∴抛物线开口向上，对称轴为y轴， ∴抛物线上的点距离y轴越近，函数值越小， ∵， ∴， 故选：D． 9. 如图，内接于，，是的弦，，．下列结论：①；②；③；④，其中所有正确结论的序号是（ ） A. ①②③④ B. ②③ C. ②④ D. ②③④ 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了圆心角、弦、弧之间的关系，三角形三边的关系，等腰三角形的性质，圆周角定理，熟练掌握知识点是解题的关键．根据三角形三边关系和已知条件可判断①；根据在同圆或等圆中，等弧对等弦及等式基本性质可判断②；根据在同圆或等圆中，等弦所对的圆心角相等及等式的性质可判断③；根据等腰三角形的性质及圆周角定理可判断④． 【详解】解：∵，，， ∴，故①错误； ， ∴，故②正确； 如图，连接， ∵，， ∴， ∴，故③正确； ∵， ∴， 同理得：， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，故④错误； 综上，正确的有②③， 故选：B． 10. 如图，抛物线与轴交于点顶点坐标是，与轴交点的纵坐标在和之间不含端点在以下结论中： ； ； ； 关于的一元二次方程有两个不相等的实数根； ． 其中正确的结论有（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质、运用数形结合思想分析问题是解题的关键．把点代入解析式即可判断；由顶点坐标得出对称轴，即可判断；根据抛物线的对称性求得时，，即可判断；由图象可知抛物线与直线没有交点，即可判断；求得，再结合即可判断． 【详解】解：抛物线与轴交于点， ，故正确； 抛物线的顶点坐标是， ， ， ，故错误， 抛物线开口向上，与轴交于点，顶点坐标为， 抛物线与轴的另一个交点为， 时，， ，故正确； 抛物线开口向上，顶点坐标为， 函数有最小值， 抛物线与直线没有交点， 关于的一元二次方程没有实数根，故错误； ， 抛物线为， 与轴交于点， ， 与轴交点的纵坐标在和之间不含端点， ． ． ，故正确； 故选：B． 二、填空题（每题3分，共18分） 11. 二次函数的顶点坐标是___________． 【答案】（-2，-1） 【解析】 【分析】因为顶点式y=a（x-h）2+k，其顶点坐标是（h，k），对照求二次函数y=（x+2）2-1的顶点坐标即可． 【详解】解：∵二次函数y=（x+2）2-1是顶点式， ∴顶点坐标为（-2，-1）， 故答案为：（-2，-1）． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，注意：顶点式y=a（x-h）2+k，顶点坐标是（h，k），对称轴是直线x=h． 12. 不透明袋子中装有7个球，其中有2个红球、3个绿球和2个蓝球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出1个球，则它是绿球的概率是___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据随机事件概率大小的求法，找准两点：①符合条件的情况数目，②全部情况的总数，二者的比值就是其发生的概率的大小． 【详解】解：∵不透明袋子中装有7个球，其中有2个红球、3个绿球和2个蓝球， ∴从袋子中随机取出1个球，则它是绿球的概率是． 故答案为． 【点睛】本题考查概率的求法与运用，一般方法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=，难度适中． 13. 如图，点、、都在上，，，的度数______． 【答案】##50度 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理和圆心角定理，掌握圆的相关性质是解题关键．根据一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半，得到，进而得到，再根据圆心角的度数等于它所对的弧的度数，即可求解． 【详解】解：， ， ， ， ， ， 的度数， 故答案为：． 14. 如图，将绕点顺时针旋转得到，若点，，在同一条直线上，，则的度数为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据旋转的性质可以推出的度数以及为等腰直角三角形，从而求出度数，根据三角形的外角性质即可求出的度数． 【详解】解：将绕点顺时针旋转得到， ，，， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质、等腰直角三角形的性质和三角形的外角性质，解题的关键在于利用旋转的性质等量转化角或线段． 15. 如图，直线与抛物线交于点、，且点在轴上，点在轴上，则不等式的解集为______． 【答案】或 【解析】 【分析】不等式的解集，即为二次函数抛物线在一次函数直线下方的的取值范围，将两线的交点坐标求出，即可． 【详解】解：直线与抛物线交于点、，且点在轴上， 点为 令， 即， 则， ， 或， ， 所以点坐标为， ，即抛物线在直线下方，由图可得解集为： 或， 故答案为：或 【点睛】本题主要考查了二次函数图象与一次函数图象结合的问题，求解两线的交点并根据函数图像解答是解题的关键． 16. 设的图象与轴有个交点，函数的图象与轴有个交点，则所有可能的数对是_________ 【答案】（1，1），（1，0），（2，1），（2，2） 【解析】 【分析】分别对a、b的值分类讨论，根据直线和二次函数的交点式：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c是常数，a≠0），得出抛物线与x轴的交点坐标情况，即可求解． 【详解】因为 是二次函数，令=0，有或，解得：或； 对m来说， ①当时，图像与轴有一个交点，即； ② 当时，图像与轴有两个交点，即； 函数：令，有或， 对n来说， ①当时，关于x的方程有一个解，图象与x轴有1个交点，即； ②当时，关于x的方程无解，图像与x轴没有交点，即； ③当且时，关于x的方程有一个解，图象与x轴有1个交点，即； ④ 当且时，关于x的方程有两个不相等的解，图像与x轴有两个交点，即； 综上所述，当时，或；当时，或． ∴所有可能的数对是（1，1），（1，0），（2，1），（2，2） 故答案为：（1，0）或（2，1）或（1，1）或（2，2）． 【点睛】本题考查了二次函数与x轴的交点问题，解决本题的关键是正确理解二次函数的交点式． 三、解答题（共8题，共72分） 17. 已知二次函数的图象经过两点， （1）求二次函数解析式． （2）判断点是否在这个二次函数图象上，并说明理由． 【答案】（1） （2）在二次函数的图象上 【解析】 【分析】（1）根据点、的坐标，利用待定系数法即可求出该二次函数的解析式； （2）将代入二次函数解析式中求出值，结合二次函数图象上点的坐标特征即可得出结论． 【小问1详解】 解：将、代入中， 得：，解得：， 该二次函数的解析式为． 【小问2详解】 当时，， 点在这个二次函数的图象上． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式以及二次函数图象上点的坐标特征，根据点的坐标特征利用待定系数法求出函数解析式是解题的关键． 18. 甲乙两人玩一种游戏：三张大小、质地都相同的卡片上分别标有数字1，2，3，现将标有数字的一面朝下，洗匀后甲从中任意抽取一张，记下数字后放回；又将卡片洗匀，乙也从中任意抽取一张，计算甲乙两人抽得的两个数字之积，如果积为奇数则甲胜，若积为偶数则乙胜． （1）用列表或画树状图等方法，列出甲乙两人抽得的数字之积所有可能出现的情况； （2）请判断该游戏对甲乙双方是否公平？并说明理由． 【答案】 解：（1）列表如下： 1 2 3 1 （1，1） （2，1） （3，1） 2 （1，2） （2，2） （3，2） 3 （1，3） （2，3） （3，3） 所有等可能的情况有9种，分别为（1，1）；（1，2）；（1，3）；（2，1）；（2，2）；（2，3）；（3，1）；（3，2）；（3，3）， 则甲乙两人抽得的数字之积所有可能出现的情况有1，2，3，2，4，6，3，6，9，共9种； （2）该游戏对甲乙双方不公平，理由为：其中积为奇数的情况有4种，偶数有5种， ∴P（甲）＜P（乙），则该游戏对甲乙双方不公平． 【解析】 【分析】（1）列表得出所有等可能的情况数，找出甲乙两人抽得的数字之积所有可能出现的情况即可； （2）分别求出甲乙两人获胜的概率，比较即可得到结果． 【详解】略 考点：游戏公平性；列表法与树状图法 19. 如图，是的直径，点，在上，． （1）求证：； （2）若，，求的半径． 【答案】（1） 证明：是的直径， ． ， ， ， ． （2） 【解析】 【分析】本题考查圆周角定理，直径所对的圆周角是直角；运用圆周角定理寻求等角是解题的关键． （1）由直径所对圆周角是直角，得，进而可得，从而得到，即可证明； （2）由直径可得，根据题意得，可以求得，即可求解的半径； 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：， 又，， ， 的半径长度为； 20. 已知二次函数. （1）求函数图象的顶点坐标，对称轴和与坐标轴的交点坐标，并画出函数的大致图象. （2）若是函数图象上的两点，且，请比较的大小关系（直接写出结果）. 【答案】（1）顶点；对称轴：直线；与x轴交点为（1，0）和（3，0），与y轴交点为（0，3）， 如图所示： （2）. 【解析】 【分析】（1）根据二次函数解析式即可确定出顶点坐标、对称轴、与两坐标轴的交点坐标，再在坐标系中画出函数图象即可； （2）根据二次函数的图象解答. 【详解】解：（1）二次函数y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1，当x=0，y=3，当y=0时，x2﹣4x+3＝0，解得：，， ∴抛物线的顶点为（2，﹣1），对称轴为直线x＝2，与x轴交点为（1，0）和（3，0），与y轴交点为（0，3）； （2）∵当x<1时，y随x的增大而减小，∴当时，. 【点睛】此题考查了抛物线的图象与性质和二次函数与坐标轴的交点，熟练掌握二次函数的性质是解本题的关键． 21. 如图，AB是的直径，四边形ABCD内接于，OD交AC于点E，AD=CD． （1）求证：； （2）若，，求BC的长． 【答案】（1）， ∴= 又为半径， ， 为直径， ， （2） 【解析】 【分析】（1）先根据垂径定理推出，从而得到，再根据直径所对的圆周角是直角得到，所以，从而结论得证； （2）设半径为r，再根据勾股定理列出方程求出r，从而求出直径AB的值，再次根据勾股定理可求出BC即可． 【详解】解：（1） 略 （2）设圆的半径为r ，， ， 在中， 即，所以， ，O是AC，AB的中点 ， 【点睛】本题考查了垂径定理和圆周角定理的推论，掌握相关知识是解题的关键． 22. 如图，隧道的截面由抛物线和矩形构成，矩形的长为6m，宽为4m，以所在的直线为x轴，线段的中垂线为y轴，建立平面直角坐标系．y轴是抛物线的对称轴，最高点E到地面距离为5米． （1）求出抛物线的解析式． （2）如果该隧道内设单行道（只能朝一个方向行驶），现有一辆货运卡车高4.5米，宽3米，这辆货运卡车能否通过该隧道？通过计算说明你的结论． 【答案】（1） （2）这辆货运卡车能通过该隧道 【解析】 【分析】（1）抛物线的解析式为，把代入计算即可； （2）把时代入（1）的解析式，求出x的值即可求出结论． 【小问1详解】 解：根据题意得：， 设抛物线的解析式为， 把代入 得： 解得， ∴抛物线的解析式为； 【小问2详解】 这辆货运卡车能通过该隧道，理由如下： 在中，令得： ， 解得：， ， ， 这辆货运卡车能通过该隧道． 【点睛】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是求出二次函数的解析式． 23. 如图，已知内接于，且，直径交于点，是上的一点，使． （1）求证：； （2）试判断四边形的形状，并说明理由； （3）若，求的长． 【答案】（1） 证明：是直径， ， 在和中， ， ， ， ， ； （2） 解：四边形是菱形．理由如下： 是直径，， ， ． ， ， 在和中， ， ， ， 四边形是平行四边形， 由（1）得， 平分， ， ， 四边形是菱形； （3） 【解析】 【分析】（1）证明，得到，根据等腰三角形的性质即可证明； （2）先证明，得到，可证四边形是平行四边形，再由角平分线的性质得，即可证明四边形是菱形； （3）在和中，分别用勾股定理即可求，的长． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 连接， 由（2）得， ． ， ， 由勾股定理得，． ， ． 在中， 由勾股定理得，， ． 【点睛】本题主要考查了圆的有关性质：垂径定理、圆周角定理，三角形全等的判定与性质，菱形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的性质，角平分线的性质，熟悉和灵活应用各种性质解决问题是关键． 24. 已知函数，为常数）的图象经过点，． （1）求b，c的值； （2）当时，求y的最大值与最小值之差； （3）当时，求y的最小值．（可用含k的代数式表示） 【答案】（1）， （2）当时，求的最大值与最小值之差为9 （3）y的最小值为或． 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的最值，熟练掌握二次函数的特点，并用分类讨论思想分析计算求值是解本题的关键，综合性较强，难度适中． （1）是与轴的交点，可得，再将代入求值，可求得的值； （2）根据二次函数的解析式；当时，仅当时，取得最大值；仅当时，取得最小值；再计算的最大值与最小值之差； （3）分类讨论：当时及当时，根据函数特点，计算求出y的最小值． 【小问1详解】 函数，为常数）的图象经过点，， ，， 将点代入可得：，解得：， ，； 【小问2详解】 ， 当时， ①仅当时，取得最小值，此时； ②仅当时，取得最大值，此时； ， 当时，求的最大值与最小值之差为9； 【小问3详解】 ， 当时，则在时，y随x的增大而减小， 当时，y有最小值，最小值为； 当时，则在时，抛物线的顶点在图象上处于最低点， 当时，y有最小值，最小值为； 综上所述，y的最小值为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024学年第一学期九年级数学10月阶段练习 试题卷 一、选择题：本大题有10个小题，每小题3分，共30分． 1. 下列函数中，是二次函数的是（ ） A. B. C. D. 2. 在中，，，．以点C为圆心，4为半径画圆，则（　　） A. 点A在圆上 B. 点A在圆外 C. 点B在圆上 D. 点B在圆外 3. 下列事件中,属于不可能事件的是（ ） A. 掷一枚骰子,朝上一面的点数为5 B. 任意画一个三角形,它的内角和是178° C. 任意写一个数,这个数大于-1 D. 在纸上画两条直线,这两条直线互相平行 4. 把抛物线向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度，得到的抛物线的解析式为（ ） A. B. C. D. 5. 根据圆规作图的痕迹，可用直尺成功找到三角形外心的是（　　） A. B. C. D. 6. 关于二次函数的图象，下列说法错误的是（　　） A. 开口向下 B. 对称轴为直线 C. 当时，随的增大而增大 D. 当时，函数有最小值，最小值为 7. 如图，为的直径，弦于点E，已知，，则的长为（ ） A. 8 B. 12 C. 16 D. 20 8. 抛物线上有两点，，若，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. 或 D. 9. 如图，内接于，，是的弦，，．下列结论：①；②；③；④，其中所有正确结论的序号是（ ） A. ①②③④ B. ②③ C. ②④ D. ②③④ 10. 如图，抛物线与轴交于点顶点坐标是，与轴交点的纵坐标在和之间不含端点在以下结论中： ； ； ； 关于的一元二次方程有两个不相等的实数根； ． 其中正确的结论有（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 二、填空题（每题3分，共18分） 11. 二次函数的顶点坐标是___________． 12. 不透明袋子中装有7个球，其中有2个红球、3个绿球和2个蓝球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出1个球，则它是绿球的概率是___________． 13. 如图，点、、都在上，，，的度数______． 14. 如图，将绕点顺时针旋转得到，若点，，在同一条直线上，，则的度数为______． 15. 如图，直线与抛物线交于点、，且点在轴上，点在轴上，则不等式的解集为______． 16. 设的图象与轴有个交点，函数的图象与轴有个交点，则所有可能的数对是_________ 三、解答题（共8题，共72分） 17. 已知二次函数的图象经过两点， （1）求二次函数解析式． （2）判断点是否在这个二次函数图象上，并说明理由． 18. 甲乙两人玩一种游戏：三张大小、质地都相同的卡片上分别标有数字1，2，3，现将标有数字的一面朝下，洗匀后甲从中任意抽取一张，记下数字后放回；又将卡片洗匀，乙也从中任意抽取一张，计算甲乙两人抽得的两个数字之积，如果积为奇数则甲胜，若积为偶数则乙胜． （1）用列表或画树状图等方法，列出甲乙两人抽得的数字之积所有可能出现的情况； （2）请判断该游戏对甲乙双方是否公平？并说明理由． 19. 如图，是的直径，点，在上，． （1）求证：； （2）若，，求的半径． 20. 已知二次函数. （1）求函数图象的顶点坐标，对称轴和与坐标轴的交点坐标，并画出函数的大致图象. （2）若是函数图象上的两点，且，请比较的大小关系（直接写出结果）. 21. 如图，AB是的直径，四边形ABCD内接于，OD交AC于点E，AD=CD． （1）求证：； （2）若，，求BC的长． 22. 如图，隧道的截面由抛物线和矩形构成，矩形的长为6m，宽为4m，以所在的直线为x轴，线段的中垂线为y轴，建立平面直角坐标系．y轴是抛物线的对称轴，最高点E到地面距离为5米． （1）求出抛物线的解析式． （2）如果该隧道内设单行道（只能朝一个方向行驶），现有一辆货运卡车高4.5米，宽3米，这辆货运卡车能否通过该隧道？通过计算说明你的结论． 23. 如图，已知内接于，且，直径交于点，是上的一点，使． （1）求证：； （2）试判断四边形的形状，并说明理由； （3）若，求的长． 24. 已知函数，为常数）的图象经过点，． （1）求b，c的值； （2）当时，求y的最大值与最小值之差； （3）当时，求y的最小值．（可用含k的代数式表示） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $