2025年浙江省中考数学专题复习 第5讲 米勒最值

米勒最值 问题背景 1471年，德国数学家米勒向诺德尔教授提出了如下十分有趣的问题：在地球表面的什么部位，一根垂直的悬杆呈现最长?即在什么部位，视角最大?最大视角问题是数学史上100个著名的极值问题中第一个极值问题而引人注目，因为德国数学家米勒曾提出这类问题，因此最大视角问题又称之为“米勒问题”． 米勒问题 已知点A，B是∠MON的边ON上的两个定点，点C是边OM上的动点，则当C在何处时，∠ACB最大?对米勒问题在初中最值的考察过程中，也称为最大张角或最大视角问题． 米勒定理 已知点AB是∠MON的边ON上的两个定点，点C是边OM上的一动点，则当且仅当三角形ABC的外接圆与边OM相切于点C时，∠ACB最大． 几何证明 证明：如图，设、是边OM上不同于点C的任意两点，，同理，所以最大． 知识必备 切割线定理：如图，过⊙O外一点画圆的一条切线PC和一条割线PB，交⊙O于另一点A，则有． 典型例题 (1)如图1，点A，B在的边QM上，过A，B两点的圆交QN于点C，D． ①点E在线段CD上(异于点C，D)，点F在射线DN上(与点D不重合)．试证明； ②点P从Q点出发沿射线QN方向运动，你能发现在这个运动过程中的大小是如何变化的?的度数能取到最大值吗?如果能，说出点P的位置； (2)如图2，点A与点B的坐标分别是(1，0)，(5，0)，当点P在y轴上移动时，是否有最大值?若有，请直接写出点P的坐标；若没有请说明理由． 小明同学在学习与圆有关的角时了解到：在同圆或等圆中，同弧(或等弧)所对的圆周角相等．如图，点A、B、C、D均为⊙O上的点，则有∠C=∠D．小明还发现，若点E在⊙O外，且与点D在直线AB同侧，则有∠D＞∠E． 请你参考小明得出的结论，解答下列问题： (1) 如图1，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为(0，7)，点B的坐标为(0，3)，点C的坐标为(3，0)． ①在图1中作出△ABC的外接圆(保留必要的作图痕迹，不写作法)； ②若在x轴的正半轴上有一点D，且∠ACB=∠ADB，则点D的坐标为； (2) 如图2，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为(0，m)，点B的坐标为(0，n)，其中m＞n＞0．点P为x轴正半轴上的一个动点，当∠APB达到最大时，直接写出此时点P的坐标． 足球射门，不考虑其他因素，仅考虑射点到球门AB的张角大小时，张角越大，射门越好，如图的正方形网格中，点A，B，C，D，E均在格点上，球员带球沿CD方向进攻，最好的射点在( )． A．点C B．点D或点E C．线段DE(异于端点)上一点 D．线段CD(异于端点)上一点 如图，点A与点B的坐标分别是(1，0)，(5，0)，点P是该直角坐标系内的一个动点． 1. 使∠APB=30°的点P有个； (4) 若点P在y轴上，且∠APB=30°，求满足条件的点P的坐标； (5) 当点P在y轴上移动时，∠APB是否有最大值?若有，求点P的坐标，并说明此时∠APB最大的理由；若没有，也请说明理由． 1. 如图，O是坐标原点，过点A(-1，0)的抛物线与x轴的另一个交点为B，与y轴交于点C，其顶点为D点． 2. 求b的值． 2. 连结BD、CD，动点Q的坐标为(m，1)． ①当四边形BQCD是平行四边形时，求m的值； ②连结OQ、CQ，当∠CQO最大时，求出点Q的坐标． 1. 在平面直角坐标系xOy中，给出如下定义： 对于⊙C及⊙C外一点P，M，N是⊙C上两点，当∠MPN最大时，称∠MPN为点P关于⊙C的“视角”． 3. 如图，⊙O的半径为1， ①已知点A(0，2)，画出点A关于⊙O的“视角”； 若点P在直线x=2上，则点P关于⊙O的最大“视角”的度数____； ②在第一象限内有一点B(m，m)，点B关于⊙O的“视角”为60°，求点B的坐标． 3. 若点P在直线上，且点P关于⊙O的“视角”大于60°，求点P的横坐标xP的取值范围． 3. ⊙C的圆心在x轴上，半径为1，点E的坐标为(0，1)，点F的坐标为(0，-1)，若线段EF上所有的点关于⊙C的“视角”都小于120°，直接写出点C的横坐标的取值范围． 1. 在平面直角坐标系xOy中，给出如下定义：对于⊙C及⊙C外一点P，M，N是⊙C上两点，当∠MPN最大，称∠MPN为点P关于⊙C的“视角”．直线l与⊙C相离，点Q在直线l上运动，当点Q关于⊙C的“视角”最大时，则称这个最大的“视角”为直线l关于⊙C的“视角”． 4. 如图，⊙O的半径为1， ①已知点A(1，1)，直接写出点A关于⊙O的“视角”； 已知直线y=2，直接写出直线y=2关于⊙O的“视角”； ②若点B关于⊙O的“视角”为60°，直接写出一个符合条件的B点坐标； (2) ⊙C的半径为1， ①点C的坐标为(1，2)，直线l:y=kx+b(k＞0)经过点若直线l关于⊙C的“视角”为60°，求k的值； ②圆心C在x轴正半轴上运动，若直线关于⊙C的“视角”大于120°，直接写出圆心C的横坐标的取值范围． 我们规定，线段外一点和这条线段两个端点连线所构成的角叫做这个点对这条线段的视角如图，对于线段AB和线段AB外一点C，则∠ACB为点CD对线段AB的视角． 在平面直角坐标系xOy中，已知点P(3，0)，Q(t，0)； (3) 若，点M对线段PQ的视角为90°，写出一个第一象限的点M的坐标________． (4) 若，点M在y轴上，当点M对线段PQ的视角最大时，求出点M的坐标，以及此时视角的度数． (5) 当时，直线与x轴交于E，与y轴交于F，若线段EF上不存在线段PQ的视角为60°的点N，试求出b的取值范围． 如图，在平面直角坐标系xOy中，半径为1的圆的圆心O在坐标原点，且与两坐标轴分别交于A，B，C，D四点．抛物线与y轴交于点D，与直线y=x交于点M，N，且MA，NC分别与⊙O相切于点A和点C． (6) 求抛物线的解析式； (7) 过点B作⊙O的切线交DC的延长线于点P，判断点P是否在抛物线上，并说明理由． (8) 抛物线的对称轴交x轴于点E，Q为⊙O上一点，求∠DFE最大时，Q点坐标． 课后作业 1. 根据已学知识完成问题(1)-(3) (1) 如图，A、B、C为⊙O上三点，D为圆外一点，求证∠C>∠D； (2) 如图，B为⊙O上一点，P为⊙O外一点，连接PB交⊙O于点A，过P点作⊙O的切线PC，C为切点，连接AC、BC，求证； (3) 如图，在平面直角坐标系中，A(2，0)，B(5，0)，直线l的解析式为y=x+1，在直线l上找一点P，求当∠APB最大时点P的坐标． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 米勒最值 问题背景 1471年，德国数学家米勒向诺德尔教授提出了如下十分有趣的问题：在地球表面的什么部位，一根垂直的悬杆呈现最长?即在什么部位，视角最大?最大视角问题是数学史上100个著名的极值问题中第一个极值问题而引人注目，因为德国数学家米勒曾提出这类问题，因此最大视角问题又称之为“米勒问题”． 米勒问题 已知点A，B是∠MON的边ON上的两个定点，点C是边OM上的动点，则当C在何处时，∠ACB最大?对米勒问题在初中最值的考察过程中，也称为最大张角或最大视角问题． 米勒定理 已知点AB是∠MON的边ON上的两个定点，点C是边OM上的一动点，则当且仅当三角形ABC的外接圆与边OM相切于点C时，∠ACB最大． 几何证明 证明：如图，设、是边OM上不同于点C的任意两点，，同理，所以最大． 知识必备 切割线定理：如图，过⊙O外一点画圆的一条切线PC和一条割线PB，交⊙O于另一点A，则有． 典型例题 (1)如图1，点A，B在的边QM上，过A，B两点的圆交QN于点C，D． ①点E在线段CD上(异于点C，D)，点F在射线DN上(与点D不重合)．试证明； ②点P从Q点出发沿射线QN方向运动，你能发现在这个运动过程中的大小是如何变化的?的度数能取到最大值吗?如果能，说出点P的位置； (2)如图2，点A与点B的坐标分别是(1，0)，(5，0)，当点P在y轴上移动时，是否有最大值?若有，请直接写出点P的坐标；若没有请说明理由． 【解析】 证明： ①延长AE交圆于点H，连接BH，AD，BD． ∵∠AHB=∠ADB， 而∠AEB＞∠AHB， ∴∠AEB＞∠ADB， 同理：∠ADB＞∠AFB， ∴∠AEB＞∠AFB． ②∠APB的度数先由小变大，然后由大变小；∠APB的度数能取到最大值； 当点P是过A，B两点的圆与QN相切的切点时，∠APB的度数取得最大值； (2)当过点A、B的⊙E与y轴相切于点P时，∠APB最大． 理由：可证：∠APB=∠AEH，当∠APB最大时，∠AEH最大．由得：当AE最小即PE最小时，∠AEH最大．所以当圆与y轴相切时，∠APB最大． ①当点P在y轴的正半轴上时， 连接EA，作EH⊥x轴，垂足为H，如图2． ∵⊙E与y轴相切于点P， ∴PE⊥OP． ∵EH⊥AB，OP⊥OH， ∴∠EPO=∠POH=∠EHO=90°． ∴四边形OPEH是矩形． ∴OP=EH，PE=OH=3． ∴EA=3． ∵∠EHA=90°，AH=2，EA=3， ∴ ∴ ∴P(0，)． ②当点P在y轴的负半轴上时， 同理可得：P(0，-)． 理由： ①若点P在y轴的正半轴上， 在y轴的正半轴上任取一点M(不与点P重合)， 连接MA，MB，交⊙E于点N，连接NA，如图2所示． ∵∠ANB是△AMN的外角， ∴∠ANB＞∠AMB． ∵∠APB=∠ANB， ∴∠APB＞∠AMB． ②若点P在y轴的负半轴上， 同理可证得：∠APB＞∠AMB． 综上所述：当点P在y轴上移动时，∠APB有最大值， 此时点P的坐标为(0，)和(0，-)． 小明同学在学习与圆有关的角时了解到：在同圆或等圆中，同弧(或等弧)所对的圆周角相等．如图，点A、B、C、D均为⊙O上的点，则有∠C=∠D．小明还发现，若点E在⊙O外，且与点D在直线AB同侧，则有∠D＞∠E． 请你参考小明得出的结论，解答下列问题： (1) 如图1，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为(0，7)，点B的坐标为(0，3)，点C的坐标为(3，0)． ①在图1中作出△ABC的外接圆(保留必要的作图痕迹，不写作法)； ②若在x轴的正半轴上有一点D，且∠ACB=∠ADB，则点D的坐标为； (2) 如图2，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为(0，m)，点B的坐标为(0，n)，其中m＞n＞0．点P为x轴正半轴上的一个动点，当∠APB达到最大时，直接写出此时点P的坐标． 【解析】 解：(1)① ②根据图形可得，点D的坐标是(7，0)； (2)当以AB为弦的圆与x轴正半轴相切时，作CD⊥y轴，连接CP、CB． ∵A的坐标为(0，m)，点B的坐标为(0，n)， ∴D的坐标是(0，)，即BC=PC=， 在直角△BCD中，BC=，BD=， 则CD=， 则OP=CD=， 故P的坐标是(，0)． 足球射门，不考虑其他因素，仅考虑射点到球门AB的张角大小时，张角越大，射门越好，如图的正方形网格中，点A，B，C，D，E均在格点上，球员带球沿CD方向进攻，最好的射点在( )． A．点C B．点D或点E C．线段DE(异于端点)上一点 D．线段CD(异于端点)上一点 【答案】C 【解析】 解：如图，连接AE，AB，作AE，AB的垂直平分线，两线的交点为O，连接EO，CO，OD． 设正方形网格的边长为1，则OE=OD=OA=OB=，OC=3， 所以点D，E，A，B在以点O为圆心，为半径的圆上，点C在圆外， 所以∠AEB=∠ADB＞∠ACB， 所以最好的射点是线段DE(异于端点)上一点． 故选C． 如图，点A与点B的坐标分别是(1，0)，(5，0)，点P是该直角坐标系内的一个动点． 1. 使∠APB=30°的点P有个； (4) 若点P在y轴上，且∠APB=30°，求满足条件的点P的坐标； (5) 当点P在y轴上移动时，∠APB是否有最大值?若有，求点P的坐标，并说明此时∠APB最大的理由；若没有，也请说明理由． 【解析】 解：(1)以AB为边，在第一象限内作等边三角形ABC， 以点C为圆心，AC为半径作⊙C，交y轴于点P1、P2． 在优弧AP1B上任取一点P，如图1， 则∠APB=∠ACB=×60°=30°． ∴使∠APB=30°的点P有无数个． 故答案为：无数． (2)①当点P在y轴的正半轴上时， 过点C作CG⊥AB，垂足为G，如图1． ∵点A(1，0)，点B(5，0)， ∴OA=1，OB=5． ∴AB=4． ∵点C为圆心，CG⊥AB， ∴AG=BG=AB=2． ∴OG=OA+AG=3． ∵△ABC是等边三角形， ∴AC=BC=AB=4． ∴ ． ∴点C的坐标为(3，)． 过点C作CD⊥y轴，垂足为D，连接CP2，如图1， ∵点C的坐标为(3，)， ∴CD=3，OD=． ∵P1、P2是⊙C与y轴的交点， ∴∠AP1B=∠AP2B=30°． ∵CP2=CA=4，CD=3， ∴． ∵点C为圆心，CD⊥P1P2， ∴P1D=P2D=． ∴P2(0，﹣)．P1(0，+)． ②当点P在y轴的负半轴上时， 同理可得：P3(0，﹣﹣)．P4(0，﹣+)． 综上所述：满足条件的点P的坐标有： (0，﹣)、(0，+)、(0，﹣﹣)、(0，﹣+)． (3)当过点A、B的⊙E与y轴相切于点P时，∠APB最大． ①当点P在y轴的正半轴上时， 连接EA，作EH⊥x轴，垂足为H，如图2． ∵⊙E与y轴相切于点P， ∴PE⊥OP． ∵EH⊥AB，OP⊥OH， ∴∠EPO=∠POH=∠EHO=90°． ∴四边形OPEH是矩形． ∴OP=EH，PE=OH=3． ∴EA=3． ∵∠EHA=90°，AH=2，EA=3， ∴∴ ． ∴OP= ∴P(0，)． ②当点P在y轴的负半轴上时， 同理可得：P(0，﹣)． 理由： ①若点P在y轴的正半轴上， 在y轴的正半轴上任取一点M(不与点P重合)， 连接MA，MB，交⊙E于点N，连接NA，如图2所示． ∵∠ANB是△AMN的外角， ∴∠ANB＞∠AMB． ∵∠APB=∠ANB， ∴∠APB＞∠AMB． ②若点P在y轴的负半轴上， 同理可证得：∠APB＞∠AMB． 综上所述：当点P在y轴上移动时，∠APB有最大值， 此时点P的坐标为(0，)和(0，﹣)． 1. 如图，O是坐标原点，过点A(-1，0)的抛物线与x轴的另一个交点为B，与y轴交于点C，其顶点为D点． 2. 求b的值． 2. 连结BD、CD，动点Q的坐标为(m，1)． ①当四边形BQCD是平行四边形时，求m的值； ②连结OQ、CQ，当∠CQO最大时，求出点Q的坐标． 【解析】 解：(1)把A(-1，0)代入y=x2-bx-3，可得1+b-3=0，解得b=2； (2)①设抛物线的对称轴与x轴交于点E． ∵y=x2-2x-3=(x-1)2-4， ∴D(1，-4)，则OE=1，DE=4， 令x=0得，y=-3；令y=0得，x2-2x-3=0． 解得x=-1或x=3． ∴OB=3，OC=3，BE=2， 如图1，过C作BD的平行线与直线y=1相交，则交点必为Q，设直线y=1与y轴交于点F，则CF=4． ∵DE∥FC， ∴∠FCQ=∠EDB． 又∵CF=4=DE，∠QFC=90°=∠BED， 在△QFC和△△BED中 ∴△QFC≌△BED， ∴CQ=BD，FQ=EB=2， ∴m=FQ=2； ②如图2，记△OQC的外心为M，则M在OC的垂直平分线MN上(设MN与y轴交于点N)． 连接OM、CM，则∠CQO=∠CMO=∠OMN，MC=MO=MQ， ∴， ∴sin∠CQO的值随着OM的增大而减小． 又∵MO=MQ， ∴当MQ取最小值时sin∠CQO最大， 即MQ垂直直线y=1时，∠CQO最大， 此时，⊙M与直线y=1相切． ∴MQ=NF=2.5，MN==2， ∴Q坐标为(2，1)． 根据对称性，另一点(-2，1)也符合题意． 综上可知，Q点坐标为(2，1)或(-2，1)． 1. 在平面直角坐标系xOy中，给出如下定义： 对于⊙C及⊙C外一点P，M，N是⊙C上两点，当∠MPN最大时，称∠MPN为点P关于⊙C的“视角”． 3. 如图，⊙O的半径为1， ①已知点A(0，2)，画出点A关于⊙O的“视角”； 若点P在直线x=2上，则点P关于⊙O的最大“视角”的度数____； ②在第一象限内有一点B(m，m)，点B关于⊙O的“视角”为60°，求点B的坐标． 3. 若点P在直线上，且点P关于⊙O的“视角”大于60°，求点P的横坐标xP的取值范围． 3. ⊙C的圆心在x轴上，半径为1，点E的坐标为(0，1)，点F的坐标为(0，-1)，若线段EF上所有的点关于⊙C的“视角”都小于120°，直接写出点C的横坐标的取值范围． (1)①画如图1所示， 如图2，当∠MPN最大时，此时PM与PN与⊙O相切， ∵⊙O的半径为r=1， ∴sin∠MPO=， 当OP最小时，此时sin∠MPO最大，即∠MPO最大， ∴sin∠MPO=12， ∴∠MPO=30∘ ∴∠MPN=2∠MPO=60∘； 故答案为：60∘ ②∵点B关于⊙O的视角为60∘， ∴BM与⊙O相切，且∠MBO=30∘， ∴点B在以O为圆心，2为半径的圆上，即OB=2， ∵B(m，m)(m>0)， ∴， ∴m= ∴B(，)； (2)如图3， ∵点P关于⊙O的“视角”大于60∘， ∴∠MPO>30∘， ∴sin∠MPO=>sin30∘， ∴OP<2， ∵点P不在⊙C上， ∴1<OP<2 ∴点P在以O为圆心，1为半径与2为半径的圆环内， ∵点P在直线y=−x+2上， 由图4， 可得xp=0或xP= ∴0<xP< (3)如图5， ①当点C在x轴正半轴时， 在线段EF上取一点P，当PM，PN都与⊙C相切时，∠MPN最大，当∠MPN=时，连接CP， ∴∠CPM=， 在Rt△PCM中， ∴， ∵线段EF上所有的点关于⊙C的“视角”都小于， ∴点P和原点O重合时，视角只要小于时，即可，OP最大=， 此时，满足条件的 ②当点C在x轴负半轴时，同①可得，， 即：满足条件的或． 1. 在平面直角坐标系xOy中，给出如下定义：对于⊙C及⊙C外一点P，M，N是⊙C上两点，当∠MPN最大，称∠MPN为点P关于⊙C的“视角”．直线l与⊙C相离，点Q在直线l上运动，当点Q关于⊙C的“视角”最大时，则称这个最大的“视角”为直线l关于⊙C的“视角”． 4. 如图，⊙O的半径为1， ①已知点A(1，1)，直接写出点A关于⊙O的“视角”； 已知直线y=2，直接写出直线y=2关于⊙O的“视角”； ②若点B关于⊙O的“视角”为60°，直接写出一个符合条件的B点坐标； (2) ⊙C的半径为1， ①点C的坐标为(1，2)，直线l:y=kx+b(k＞0)经过点若直线l关于⊙C的“视角”为60°，求k的值； ②圆心C在x轴正半轴上运动，若直线关于⊙C的“视角”大于120°，直接写出圆心C的横坐标的取值范围． 解：(1)①如图1中，过点A作⊙O的切线，切点分别为E、F． ∵A(1，1)，⊙O的半径为1， ∴四边形AEOF是正方形， ∴点A关于⊙O的“视角”为∠EAF=90°， 设直线y=2与y轴的交点为P，过点P作⊙O的切线，切点分别为M、N． 在Rt△POM中，∵PO=2OM， ∴∠OPM=30°，同理∠OPA=30°， ∴∠MPN=60°， ∴直线y=2关于⊙O的“视角”为60°， 故答案分别为90°，60°． ②由①可知，点P关于⊙O的“视角”为60°， ∴B(0，2)，根据对称性点B得到坐标还可以为(2，0)或(-2，0)或(0，-2)(本题答案不唯一) (2)解：①如图1中， ∵直线l:y=kx+b(k＞0)经过点D(-+1，0)， ∴(-+1)k+b=0， ∴b=k-k， ∴直线l:y=kx+k-k， 对于⊙C外的点P，点P关于⊙C的“视角”为60°， 则点P在以C为圆心，2为半径的圆上． 又直线l关于⊙C的“视角”为60°，此时，点P是直线l上与圆心C的距离最短的点． ∴CP⊥直线l． 则直线l是以C为圆心，2为半径的圆的一条切线，如图1所示．作CH⊥x轴于点H， ∴点H的坐标为(1，0)， ∴DH=． ∴∠CDH=30°，∠PDH=60°， 可求得点P的坐标(-+1，3)． ∴3=(-+1)k+k-k， ∴k=． ②如图2中，当⊙C与直线y=x+相切时，设切点为P，连接PC则PC⊥AP， ∵直线y=x+与x轴的交点为A(-1，0)，与y轴的交点为(0，)， ∴tan∠BAO==， ∴∠BAO=60°， ∵PC⊥AP， 在Rt△APC中，PC=1， ∴AC=PC÷cos30°=， ∴OC=-1， 如图3中，设直线y=x+关于⊙C的“视角”为120°， 作CP⊥AB于P，PE、PF是⊙C的切线，E、F是切点，则∠CPE=60°，PC=CE÷sin60°=， 在Rt△APC中，AC=PC÷sin60°=， ∴OC=-1=， ∴直线y=x+关于⊙C的“视角”大于120°时，圆心C的横坐标xC的取值范围-1＜xC＜． 我们规定，线段外一点和这条线段两个端点连线所构成的角叫做这个点对这条线段的视角如图，对于线段AB和线段AB外一点C，则∠ACB为点CD对线段AB的视角． 在平面直角坐标系xOy中，已知点P(3，0)，Q(t，0)； (3) 若，点M对线段PQ的视角为90°，写出一个第一象限的点M的坐标________． (4) 若，点M在y轴上，当点M对线段PQ的视角最大时，求出点M的坐标，以及此时视角的度数． (5) 当时，直线与x轴交于E，与y轴交于F，若线段EF上不存在线段PQ的视角为60°的点N，试求出b的取值范围． 【解析】 (1)M(1,2) (2)或，30° (3) 如图，在平面直角坐标系xOy中，半径为1的圆的圆心O在坐标原点，且与两坐标轴分别交于A，B，C，D四点．抛物线与y轴交于点D，与直线y=x交于点M，N，且MA，NC分别与⊙O相切于点A和点C． (6) 求抛物线的解析式； (7) 过点B作⊙O的切线交DC的延长线于点P，判断点P是否在抛物线上，并说明理由． (8) 抛物线的对称轴交x轴于点E，Q为⊙O上一点，求∠DFE最大时，Q点坐标． 课后作业 1. 根据已学知识完成问题(1)-(3) (1) 如图，A、B、C为⊙O上三点，D为圆外一点，求证∠C>∠D； (2) 如图，B为⊙O上一点，P为⊙O外一点，连接PB交⊙O于点A，过P点作⊙O的切线PC，C为切点，连接AC、BC，求证； (3) 如图，在平面直角坐标系中，A(2，0)，B(5，0)，直线l的解析式为y=x+1，在直线l上找一点P，求当∠APB最大时点P的坐标． 【略】 2 学科网（北京）股份有限公司 $$