第10期 3.1 方程 3.2 一元一次方程及其解法（参考答案见下期）-【数理报】2024-2025学年七年级上册数学学案（沪科版2024 安徽专版）

书 上期１，２版 一、题号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９ １０ 答案 Ｂ Ｄ Ａ Ｂ Ａ Ｃ Ｃ Ｂ Ａ Ｃ 二、１１．３２，－ ２ ３；　１２．±４；　１３．－１２； １４．５２；　１５． １ ３． 三、１６．（１）０；　（２）－２；　（３）－２４． １７．（１）３ｘ２－１；　（２）９２ａ ２ｂ－１２ａｂ２． １８．（１）３０－３０－１６－３６＋１４－２０＋２４＝－３４（吨）， ５００－（－３４）＝５３４（吨）． 答：７天前仓库里有货品５３４吨． （２）（｜＋３０｜＋｜－３０｜＋｜－１６｜＋｜－３６｜＋｜＋１４｜＋ ｜－２０｜＋｜＋２４｜）×８＝１３６０（元）． 答：这７天要付１３６０元装卸费． １９．（１）（５ｂ＋１５），６ｂ，９ａ； （２）由题意得，整个房屋的面积为：１６（ａ＋ｂ）－２（ｂ ＋３）＝（１６ａ＋１４ｂ－６）平方米，铺木地板的面积为：５ｂ＋ １５＋６ｂ＝（１１ｂ＋１５）平方米． 所以铺瓷砖的面积为：（１６ａ＋１４ｂ－６）－（１１ｂ＋１５） ＝（１６ａ＋３ｂ－２１）平方米． 当ａ＝５，ｂ＝４时，１１ｂ＋１５＝１１×４＋１５＝５９，１６ａ ＋３ｂ－２１＝１６×５＋３×４－２１＝７１． 所以整个房屋铺完地面所需的费用为：５９×２００＋ ７１×１００＝１８９００（元）． ２０．（１）由题意得，点Ｂ对应的数为０，点Ａ对应的数 为：０－３＝－３，点Ｃ对应的数为：０＋８＝８．所以ｍ＝－３ ＋０＋８＝５． （２）①当点Ｂ在原点的左侧时，由题意得，点Ｂ对应 的数为 －３，点Ａ对应的数为：－３－３＝－６，点Ｃ对应的 数为：－３＋８＝５．所以ｍ＝－６＋（－３）＋５＝－４． ②当点Ｂ在原点的右侧时，由题意得，点 Ｂ对应的 数为３，点Ａ对应的数为：３－３＝０，点Ｃ对应的数为：３＋ ８＝１１．所以ｍ＝０＋３＋１１＝１４． 综上所述，ｍ的值为 －４或１４． ２１．（１）９，１５； （２）Ｐ（１３２） － Ｐ（－ ３１６） ＝ ｜１３２－２３１｜３３ － ｜－３１６－（－６１３）｜ ３３ ＝３－９＝－６． （３）Ｐ（Ａ）＝｜１００ａ＋１０ｂ＋ｃ－（１００ｃ＋１０ｂ＋ａ）｜３３ ＝｜９９ａ－９９ｃ｜３３ ． 因为ｃ＞ａ，所以９９ａ－９９ｃ＜０． 所以｜９９ａ－９９ｃ｜＝９９ｃ－９９ａ． 所以Ｐ（Ａ）＝｜９９ａ－９９ｃ｜３３ ＝ ９９ｃ－９９ａ ３３ ＝３ｃ－３ａ． 上期３，４版 一、题号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９ １０ 答案 Ｂ Ｂ Ｃ Ａ Ｂ Ｃ Ｃ Ｂ Ｄ Ａ 二、１１．１．３４２×１０７；　１２．－１０；　１３．１２； １４．－９；　１５．０或 －３６． 三、１６．（１）－２；　（２）－３１２９． １７．（１）原式 ＝ｂ２－ａ２． 当ａ＝－４，ｂ＝３时，原式 ＝－７． （２）原式 ＝－３４ｘ ２ｙ＋２ｘｙ２． 当ｘ＝－２，ｙ＝ １４时，原式 ＝－１． （下转２，３版中缝） 书 第一曲：认识曲 ——— 了解等式的概念 像２ｘ＝３ｘ，３×３＋１＝ ５×２，３ｘ＋１＝５ｙ，这种用 等号“＝”来表示相等关系 的式子叫作等式． 温馨提示：方程是含有 未知数的等式． 第二曲：理解曲 ——— 掌握等式的基本性质 等式有四个重要的基 本性质： 性质１：等式的两边都 加上（或减去）同一个整 式，所得结果仍是等式，即 如果ａ＝ｂ，那么ａ＋ｃ＝ｂ＋ ｃ，ａ－ｃ＝ｂ－ｃ．例如，３＋５＝８，则３＋５－４＝８－４， ３＋５＋ａ＝８＋ａ． 性质２：等式的两边都乘以（或除以）同一个数（除 数不能为０），所得结果仍是等式，即如果ａ＝ｂ，那么ａｃ ＝ｂｃ，ａｃ＝ ｂ ｃ（ｃ≠０）．例如，３×６＝１８，则３×６×２＝ １８×２，３×６÷２＝１８÷２． 性质３（对称性）：如果ａ＝ｂ，那么ｂ＝ａ．例如，若 －１＝ｘ，则ｘ＝－１． 性质４（传递性）：如果ａ＝ｂ，ｂ＝ｃ，那么ａ＝ｃ．例 如，若ｘ＝－１２，ｙ＝ｘ，则ｙ＝－ １ ２． 第三曲：运用曲———运用等式的基本性质 例１　若ａ＝ｂ，则下列等式不正确的是 （　　） 　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ．ａ＋３＝ｂ＋３ Ｂ．１５ａ＝ １ ５ｂ Ｃ．－４ａ＋７＝－４ｂ＋７ Ｄ．２ａ＋１＝２ｂ－１ 解析：根据等式的基本性质１，将ａ＝ｂ的两边加上 ３，得ａ＋３＝ｂ＋３，故选项Ａ正确；根据等式的基本性质 ２，将ａ＝ｂ的两边乘以 １５，得 １ ５ａ＝ １ ５ｂ，故选项Ｂ正确； 根据等式的基本性质２，将ａ＝ｂ的两边乘以－４，得－４ａ ＝－４ｂ，再根据等式的基本性质１，将 －４ａ＝－４ｂ的两 边加上７，得－４ａ＋７＝－４ｂ＋７，故选项Ｃ正确；根据等 式的基本性质２，将ａ＝ｂ的两边乘以２，得２ａ＝２ｂ，再 根据等式的基本性质１，将２ａ＝２ｂ的两边加上１，得２ａ ＋１＝２ｂ＋１，故选项Ｄ不正确．故选Ｄ． 例２　利用等式的基本性质解下列方程： （１）－４ｘ＝ １２；　（２）３ｘ＋５＝２． 解：（１）两边除以 －４，得ｘ＝－１８； （２）两边减去５，得３ｘ＋５－５＝２－５，即３ｘ＝－３． 两边除以３，得３ｘ３ ＝－ ３ ３，即ｘ＝－１． 温馨提示：根据等式的基本性质解方程就是将方程 化为ｘ＝ａ（常数）的形式． 书 ! 、 "#$%&'(#)*+,- . １　 !"# ：２（ｘ－９）＋５（ｘ－９）＝９（ｘ－９）＋２． /0 ： ! （ｘ－９） "#$%&' ， ()* 、 +,-. * ， /012*3 ， 45637# １ 8 ， 9:;<=> ． 1 ： $% ， & ２（ｘ－９）＋５（ｘ－９）－９（ｘ－９）＝２． '()*% ， & －２（ｘ－９）＝２． +,-. １， & ｘ－９＝－１． /0 ｘ＝８． 2 、 "#$%&'(#3- . ２　 !"# ： １ ２［ １ ２（ １ ２ｘ－２）－２］－２＝２． /0 ： ?@ABCDEF ， GHCFEDI9:J KLM ， NOPQR ． ST(5U9:DV －２ )WX: YZ ， [Z4-\ ２， ]^/0I>U9: ， _N`Wa $%bcde.fVde ， 0g.h ， iihj ， klm Ina9: ， o`WadeVp ． 1 ： $% ， & １ ２［ １ ２（ １ ２ｘ－２）－２］＝４． 1234 ， & １ ２（ １ ２ｘ－２）－２＝８． $% ， & １ ２（ １ ２ｘ－２）＝１０． 134 ， & １ ２ｘ－２＝２０． $% ， & １ ２ｘ＝２２． +,-. １， & ｘ＝４４． 4 、 "#$/5'(#$%& . ３　 !"# ： ３ ２（４ｘ－２）＝２＋ｘ． /0 ： p$q$rde8 ， STdeUstuv ， wx $yH(Iuv ． z{|gdeU ， ３ ２×４＝６， ３ ２×２＝３， }gpde8(I9:~(Iuv#€ ． ‚ƒ]^I >auv ， -8oI>a9: ， /„ “ $…[` ”． 1 ： 134 ， & ６ｘ－３＝２＋ｘ． $% ， & ６ｘ－ｘ＝２＋３． '()*% ， & ５ｘ＝５． +,-. １， & ｘ＝１． 6 、 "#$7'(#$8 . ４　 !"# ：２［３（１６ｘ－ １ ２）］＝９＋２ｘ． /0 ： †‡W ２×３＝６，６×１６ ＝１，６× １ ２ ＝３，} gpde8CDWF ， (IU9:4Iˆ9: ， ‚ƒ~ ‰€Š ． 1 ： 1234 ， & ６（１６ｘ－ １ ２）＝９＋２ｘ． 134 ， & ｘ－３＝９＋２ｘ． $% ， & ｘ－２ｘ＝９＋３． '()*% ， & －ｘ＝１２． +,-. １， & ｘ＝－１２． 书 为了避开思维误区，快 速掌握一元一次方程的解 法，请同学们一起来分析下 面例题中的“病毒”原因，避 免犯类似错误． 病毒一、移项不变号 例１　解方程：４ｘ－２＝ ３－ｘ． 病毒：移项，得４ｘ－ｘ＝ ３－２． 合并同类项，得３ｘ＝１． 系数化为１，得ｘ＝ １３． 查杀：方程中的某一项 从方程的一边移到另一边， 应改变符号，而上述解答过 程并没有改变符号． 结果： （结 果请同学们自行完成）． 病毒二、去括号时符号出错 例２　解方程：９－２（ｘ－３）＝ｘ． 病毒：去括号，得９－２ｘ－６＝ｘ． 移项、合并同类项，得３ｘ＝３． 系数化为１，得ｘ＝１． 查杀：错在去括号时，只改变了第一项的符号，却 忽视了改变括号内其他项的符号． 结果： ． 病毒三、去括号时漏乘项 例３　解方程：４ｘ－３（２－ｘ）＝５ｘ－２（９＋ｘ）． 病毒：去括号，得４ｘ－６＋ｘ＝５ｘ－１８－ｘ． 移项、合并同类项，得ｘ＝－１２． 查杀：错因在于去括号时出现漏乘项的现象． －３（２－ｘ）和 －２（９＋ｘ）括号前的因数不是１或－１， 应利用乘法分配律，将这个因数分别乘括号内的每一 项，不能只乘第一项． 结果： ． 病毒四、去分母时漏乘无分母的项 例４　解方程：ｙ－１２ ＝２－ ｙ＋２ ５ ． 病毒：去分母，得５（ｙ－１）＝２－２（ｙ＋２）． 去括号，得５ｙ－５＝２－２ｙ－４． 移项、合并同类项，得７ｙ＝３． 系数化为１，得ｙ＝ ３７． 查杀：错在去分母时，漏乘了右边不含分母的项 “２”，这是对去分母的依据理解不透所致．事实上，去分 母依据的是等式的基本性质２，将方程两边同时乘各分 母的最小公倍数，即方程两边的所有项都要乘． 结果： ． 病毒五、忽视分数线的括号作用 例５　解方程：２ｘ－１２ － ｘ＋１ ６ ＝ １ ３． 病毒：去分母，得３（２ｘ－１）－ｘ＋１＝２． 去括号，得６ｘ－３－ｘ＋１＝２． 移项、合并同类项，得５ｘ＝４． 系数化为１，得ｘ＝ ４５． 查杀：去分母时，由于对 －ｘ＋１６ 中分数线隐含的 括号作用认识不够，没有把ｘ＋１看成一个整体加上括 号，而造成符号错误．事实上，分数 线除了具有除号作用外，还具有括 号作用，如果分子是多项式，那么分 母去掉后，分数线应立即转化为括 号． 结果： ． 书 列方程解决实际问题是数学应用于生活、服务于生 活的一个方面，它对于培养同学们分析问题、解决问题的 能力具有重要的意义．列方程解决实际问题的关键是正 确理解题意，快速、准确地找到列方程的依据——— 等量 关系．下面让我们一起来学习怎样才能找到等量关系吧！ 一、依据常见公式 例１　一个长方形训练场的周长为４０米，长比宽多 ８米，这个训练场的长和宽分别是多少米（只列方程不 解答）？ 解析：根据“长方形的周长 ＝２（长 ＋宽）”列方程． 设这个训练场的宽为ｘ米，则长为（ｘ＋８）米． 根据题意，得２［（ｘ＋８）＋ｘ］＝４０． 二、依据关键语句 例２　某校组织活动，共有１００人参加，现把参加活 动的人分成两组，已知第一组人数比第二组人数的２倍 少８人．若设第二组有ｘ人，则可列方程为 ． 解析：根据“第一组人数比第二组人数的２倍少８ 人”可找出等量关系，从而列出方程． 由题意，得第一组有（１００－ｘ）人．所以可列方程为 １００－ｘ＝２ｘ－８．故填１００－ｘ＝２ｘ－８． 三、依据不变量 例３　七（１）班５０名同学外出旅游，共租用５辆车， 每辆中巴车可坐１９人，每辆小车可坐４人，且每辆车都 坐满，则中巴车、小车各租用多少辆（只列方程不解答）？ 解析：本题出现的量比较多，但是只要抓住一个不 变的量（学生总数）即可解决问题．根据“坐中巴车的人 数 ＋坐小车的人数 ＝学生总数”来列方程． 设中巴车有ｘ辆，则小车有（５－ｘ）辆． 根据题意，得１９ｘ＋４（５－ｘ）＝５０． 例４　巴黎奥运会期间，某工厂接到一批奥运会纪 念品的生产任务，组委会要求６天内完成．若工厂安排 １０位工人生产，则６天后剩余１２００套纪念品未生产；若 安排１５位工人生产，则提前一天完成生产任务．问这批 纪念品共有多少套（只列方程不解答）？ 解析：本题给出了两种生产方式，这两种方式都可 以计算出纪念品的总量，根据纪念品的总量不变搭建等 量关系，即可列出方程． 设每位工人每天生产ｘ套纪念品． 根据题意，得６×１０ｘ＋１２００＝１５ｘ×（６－１）． 书 一般地，只含有一个未知数（元），未知数的次数是 １，且等式两边都是整式的方程叫作一元一次方程．依据 这一定义衍生出了许多求值问题，那么如何解答这些问 题呢？让我们一起加入这次求值大汇聚吧！ 一、根据指数求值 例１　已知ｘｍ－２＋ｍ＋３＝０是关于ｘ的一元一次 方程，则ｍ的值为 （　　） 　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ．－３ Ｂ．２ Ｃ．３ Ｄ．１ 分析：由一元一次方程的定义可知ｘ的次数为１，即 ｍ－２＝１，解之即可得解． 解：由题意，得ｍ－２＝１．所以ｍ＝３． 故选Ｃ． 二、根据系数求值 例２　若（ｋ－２）ｘ＋１＝０是关于ｘ的一元一次方 程，则ｋ的值不可能是 （　　） Ａ．－１ Ｂ．０ Ｃ．２ Ｄ．－２ 分析：由一元一次方程的定义可知ｘ的系数不为０， 即ｋ－２≠０，从而可求得ｋ的取值范围． 解：由题意，得ｋ－２≠０．所以ｋ≠２． 故选Ｃ． 三、根据复合条件求值 例３　已知关于ｘ的方程（ｍ－１）ｘ｜ｍ｜－２＝３ｍ是 一元一次方程，则ｍ的值是 （　　） Ａ．１ Ｂ．－１ Ｃ．１或 －１ Ｄ．０ 分析：由一元一次方程的定义可知ｘ的次数为１，系 数不为０，即｜ｍ｜＝１，ｍ－１≠０，解之即可得解． 解：由题意，得｜ｍ｜＝１，ｍ－１≠０．所以ｍ＝－１． 故选Ｂ． 例４　若（６－ｍ）ｘ２＋３ｘｎ－１ ＝７是关于ｘ的一元一 次方程，求ｍ＋ｎ的值． 分析：由一元一次方程的定义可知，未知数的次数 为１，即ｎ－１＝１，二次项的系数为０，即６－ｍ＝０． 解：因为方程（６－ｍ）ｘ２＋３ｘｎ－１＝７是关于ｘ的一元 一次方程，所以６－ｍ＝０，ｎ－１＝１． 解得ｍ＝６，ｎ＝２． 所以ｍ＋ｎ＝６＋２＝８． ! " #"$ !" !"!#%$&%' !"#$%&'" ()*+,-'. (! !!"# " %'& {˜ L™š›!&'"#$%&$%'()*+,-. /012345$6' !'789:;<=>?@A'BCDEFG,- H?@A'DEFG(IJ)K6LMN' %'! œ+œ{˜žŸ ¡ L™š›O;<PQPRK6)(STUVWLX Y>?Z([\]23' " ¢7 £¤¥ ########################################## # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # " 67 ¦§¨ " x © ª « ¬ ########################################## " 6z ­ ® # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # " ¯ ° ± ² ³ ) *+ ¦²´ , ) *+ µ¶· , ( - .+ ±¸´ , ) *+ ¹ º , ) *+ » ¼ -./01+ ± § 23/01+ ±½¾ -4506+ ¿ À -4578+ ÁÂà ¶ÄÅ ­ Æ Ç<È É Ê ËÌÍ µÎÏ Éн Ñ Â ÒÓÈ Ô¤² ­ÕÖ ,Õ× µ²Ø Ù¼K ÚÛÆ Ü Í ÝÞß ¶àá 91-.+ âÀá 91:;+ Á ã <=-.+ µäå >?-.+ æçè @ABC+ éêë !"#$ !"#$%&' ()* + 67ìíELîï 67ìEmð‹ŒU|ñò 67ìEóôst€‚îõ HI"ö/0.% ö÷*¦²´ ^øùœúû.%üB*-.&#)"*"*/T0W % ! ,-./ JKHLýþ‹…ÿlT̄ °!%W" !" ' " & ' &'& !"#$" &'! 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ｂ＝２ｂ－ ３ａ，若（４－ｘ） ! （１＋ｘ）＝５，则ｘ＝ ． ４．解下列方程： （１）３（ｘ－２）＋６ｘ＝５； （２）２ｘ－５（ｘ－１）＝３－２（ｘ＋３）； （３）５ｘ－１２（４ｘ＋８）＝ ２ ３（１５－６ｘ）． ３．２．３去分母 １．方程３ｘ＋５２ － ２ｘ＋２ ３ ＝１的解为 （　　） Ａ．ｘ＝－２ Ｂ．ｘ＝－１ Ｃ．ｘ＝２ Ｄ．ｘ＝１ ２．已知代数式ｘ＋２２ 与代数式５－２ｘ的差为１，则ｘ 的值为 ． ３．若｜ｍ＋１｜＋（ｎ－２）２＝０，则关于ｘ的方程ｘ－ｍ６ ＝ｘ－ｎ８ 的解为 ． ４．解下列方程： （１）ｘ５－ １７－ｘ ３ ＝１； （２）ｘ－３ｘ＋２３ ＝２＋ ｘ－１ ４ ； （３）０５＋ｘ０３ －１＝ ０７ｘ－３１ ０２ ． ５．下面是小明同学将方程３ｘ＋１２ － ｘ＋３ ４ ＝２化成ｘ ＝ａ的形式时的过程，请认真阅读并完成相应的任务． 去分母，得２（３ｘ＋１）－（ｘ＋３）＝８． （第一步） 去括号，得６ｘ＋２－ｘ－３＝８． （第二步） ，得６ｘ－ｘ＝８－３－２． （第三步） 合并同类项，得５ｘ＝３． （第四步） 方程两边同除以５，得ｘ＝ ３５． （第五步） 任务一：填空： ①第三步进行的是 ，这一步的依据是 ； ②从第 步开始出现错误，具体的错误是 ． 任务二：请写出正确的求解过程 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 ． !"#$%&'()*+ !"#$%#&'$&() !",-%&'()*+ *"#$+#&'$&,) !"#$ %& !" ! #$%"& '()*+,-./ !" ! 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