第15讲椭圆的简单几何性质（3个知识点+1个要点+7种题型+2个易错点+过关检测）-2024-2025学年高二数学考试满分全攻略同步备课备考系列（人教A版2019选修一）

第15讲椭圆的简单几何性质 （3个知识点+1个要点+7种题型+2个易错点+过关检测） 知识点1：椭圆的简单几何性质 1.椭圆的离心率： e＝∈(0,1)． 注意点： (1)e＝. (2)离心率的范围为(0,1)． (3)e越大，椭圆越扁平；e越小，椭圆越接近于圆． 当e越接近于1时，c越接近于a，从而b=越小，因此椭圆越扁；当e越接近于0时，c越接 近于0，从而b=越接近于a，因此椭圆越接近于圆；当且仅当a=b时，c=0，这时两个焦点重合，图形变为圆，它的方程为. 2.椭圆的对称性 范围：－a≤x≤a，－b≤y≤b；对称性：对称轴为x轴，y轴，对称中心为原点； 顶点：A1(－a,0)，A2(a,0)，B1(0，－b)，B2(0，b)． (1)从形的角度看：椭圆既是轴对称图形，又是中心对称图形. (2)从数的角度看：在椭圆的标准方程 (a>b>0)中以-y代替y，方程并不改变，这说明当点 P(x,y)在椭圆上时，它关于x轴的对称点(x,-y)也在椭圆上，所以椭圆关于x轴对称；同理，以-x代替x，方程也不改变，所以椭圆关于y轴对称；以-x代替x，以-y代替y，方程也不改变，所以椭圆关于原点对称.坐标轴是椭圆的对称轴，原点是椭圆的对称中心，椭圆的对称中心叫作椭圆的中心. 知识点2：椭圆的两种标准方程的几何性质比较 焦点的位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 图形 标准方程 ＋＝1(a>b>0) ＋＝1(a>b>0) 范围 －a≤x≤a，－b≤y≤b －b≤x≤b，－a≤y≤a 顶点 A1(－a,0)，A2(a,0)，B1(0，－b)，B2(0，b) A1(0，－a)，A2(0，a)，B1(－b,0)，B2(b,0) 轴长 短轴长等于2b，长轴长等于2a 焦点 (±，0) (0，±) 焦距 |F1F2|＝2 对称性 对称轴：x轴、y轴，对称中心：原点 注意点： (1)椭圆的焦点一定在它的长轴上． (2)椭圆上到中心的距离最小的点是短轴的两个端点，到中心的距离最大的点是长轴的两个端点． (3)椭圆上到焦点的距离最大和最小的点分别是长轴的两个端点，最大值为a＋c，最小值为a－c. 知识点3：直线与椭圆的位置关系 直线y＝kx＋m与椭圆＋＝1(a>b>0)的位置关系的判断方法： 联立消去y(或x)得到一个关于x(或y)的一元二次方程： 位置关系 解的个数 Δ的取值 相交 两解 Δ>0 相切 一解 Δ＝0 相离 无解 Δ<0 注意点： 设直线方程时，容易忽略斜率不存在的情况． 代数法判断直线与椭圆的位置关系 判断直线与椭圆的位置关系，通过解直线方程与椭圆方程组成的方程组，消去方程组中的一个变量，得到关于另一个变量的一元二次方程，则 Δ>0⇔直线与椭圆相交； Δ＝0⇔直线与椭圆相切； Δ<0⇔直线与椭圆相离． 要点：椭圆中弦的相关问题 点差法：设出弦的两端点坐标后，代入椭圆的方程，将两式相减，式中含有x1＋x2，y1＋y2，三个未知量，这样就联系了中点坐标和直线的斜率． 1．弦中点问题的解决方法 (1)用“点差法”求解弦中点问题的解题步骤 ①设点——设出弦的两端点坐标； ②代入——代入圆锥曲线方程； ③作差——两式相减，再用平方差公式把上式展开； ④整理——转化为斜率与中点坐标的关系式，然后求解． (2)对于弦中点问题常用“根与系数的关系”或“点差法”求解，在使用根与系数的关系时，要注意使用条件Δ＞0；在用“点差法”时，要检验直线与圆锥曲线是否相交． 2．弦长公式 设直线与椭圆交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则有 |AB|＝ ＝ ＝· ＝ ＝·(k为直线斜率)． 题型1：利用椭圆的标准方程研究其几何性质 【例题1】（24-25高二上·江苏盐城·阶段练习）已知椭圆，则椭圆的（    ） A．长轴长为4 B．焦点在轴上 C．离心率为 D．焦距为 【变式1】（24-25高二上·上海·随堂练习）椭圆的长轴长是 ，短轴长是 ，离心率是 ；焦点坐标是 ，顶点坐标是 ． 【变式2】（21-22高二上·新疆和田·期末）求椭圆的长轴长和焦距、焦点坐标和离心率． 【变式3】（23-24高二上·吉林辽源·期中）求下列各椭圆的长轴长、短轴长、焦距、顶点坐标、焦点坐标和离心率. (1)； (2). 题型2：由几何性质求椭圆的方程 【例题2】（24-25高二上·山东滨州·阶段练习）椭圆的长短轴之和为18，焦距为6，则椭圆的标准方程为（    ） A． B． C．或 D． 【变式1】（23-24高二上·陕西宝鸡·期末）焦点在轴上，，的椭圆的标准方程为 . 【变式2】（24-25高二上·河南驻马店·阶段练习）求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)长轴长为4，短轴长为2，焦点在y轴上； (2)过点，离心率； 【变式3】（23-24高二上·河北·期末）已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，离心率为，半焦距为1． (1)求椭圆的标准方程； (2)过椭圆的左焦点，且斜率为1的直线交椭圆于两点，求的面积． 题型3：求椭圆的离心率及其取值范围、最值 【例题3】（23-24高二上·江苏南京·阶段练习）已知椭圆C：（）的左顶点为A，上顶点为B，右焦点为F，若，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【变式1】（23-24高二上·广东深圳·期中）已知椭圆C：（）的左、右两焦点分别是、，其中．椭圆C上存在一点，满足，则椭圆的离心率的取值范围是 【变式2】（24-25高二上·全国·课后作业）已知椭圆的左、右焦点分别为，点是上的一点，直线的方程为，且于．若四边形为平行四边形，求的离心率的取值范围． 【变式3】（24-25高二上·江西·阶段练习）已知A，B分别是椭圆C：（）的上、下顶点，M是椭圆C上一动点. (1)若直线，的斜率之积为，且椭圆C的短轴长为，求椭圆C的方程； (2)若P是圆上一动点，且，求椭圆C的离心率的取值范围， 题型4：直线与椭圆位置关系的判断 【例题4】（23-24高二上·江西·期末）直线与椭圆的位置关系为（    ） A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定 【变式1】（23-24高二上·新疆伊犁·期中）直线：与椭圆：的一个交点坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24高二上·全国·课后作业）试判断直线与椭圆的公共点的个数，并说明理由. 【变式3】（21-22高二·全国·课后作业）判断下列直线与圆锥曲线的交点情况： (1)直线与抛物线； (2)直线与椭圆. 题型5：弦长及中点弦问题 【例题5】（23-24高二上·河北石家庄·期末）已知椭圆，是椭圆的一条弦的中点，点在直线上，则椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25高二上·全国·随堂练习）过椭圆的焦点的最长弦和最短弦的长分别为 ． 【变式2】（23-24高二上·四川凉山·期末）过椭圆内一点引一条弦，使该弦被点平分. (1)求该弦所在的直线方程； (2)求该弦的弦长. 【变式3】（2024高二上·全国·专题练习）已知椭圆及直线． (1)当直线和椭圆有公共点时，求实数m的取值范围； (2)当时，求直线与椭圆的相交弦长； (3)求被椭圆截得的最长弦所在直线的方程． 题型6：椭圆中的最值（或取值范围）问题 【例题6】（24-25高二上·湖南·阶段练习）已知点为椭圆上任意一点，则点到直线的距离的最小值为（    ） A． B．4 C． D． 【变式1】（24-25高二上·江苏南京·阶段练习）已知为椭圆上的点，，则线段长度的最小值为 . 【变式2】（24-25高二上·江苏连云港·阶段练习）已知直线与椭圆相交于两点. (1)若椭圆的离心率为，焦距为，求线段的长； (2)若（其中为坐标原点），当椭圆的离心率时，求椭圆的长轴长的最大值. 【变式3】（24-25高二上·吉林长春·阶段练习）已知为椭圆C：上的点，C的焦距为． (1)求椭圆C的方程； (2)点P为椭圆C上的动点，过点P作圆O：的两条切线，切点分别为A，B，求的取值范围． 题型7：椭圆的实际应用与数学文化 【例题7】（22-23高二上·湖北·期中）在一些山谷中有一种奇特的现象，在一处呼喊一声，在另一处会间隔听到两次呼喊，前一次是声音直接传到听者耳朵中，后一次是声音经过山壁反射后再传到听者耳朵中.假设有一片椭圆形状的空旷山谷，甲､乙两人分别站在椭圆的两个焦点处，甲呼喊一声，乙经过听到第一声，又过听到第二声，则该椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【变式1】（21-22高二上·安徽宿州·期中）黄金分割起源于公元前6世纪古希腊的毕达哥拉斯学派，公元前4世纪，古希腊数学家欧多克索斯第一个系统研究了这一问题，公元前300年前后欧几里得撰写《几何原本》时吸收了欧多克索斯的研究成果，进一步系统论述了黄金分割，成为最早的有关黄金分割的论著.黄金分割是指将整体一分为二，较大部分与整体部分的比值等于较小部分与较大部分的比值，其比值为，把称为黄金分割数.已知焦点在轴上的椭圆的焦距与长轴长的比值恰好是黄金分割数，则实数的值为（    ） A． B． C．2 D． 【变式2】（23-24高二上·辽宁·期末）画法几何的创始人——法国数学家加斯帕尔•蒙日发现：在椭圆中，任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，它的圆心是椭圆的中心，半径等于长､短半轴的平方和的算术平方根，我们通常把这个圆称为该椭圆的蒙日圆.已知椭圆，则其蒙日圆方程为 ，若为蒙日圆上一个动点，过点作椭圆的两条切线，与蒙日圆分别交于､两点，则面积的最大值为 . 【变式3】（23-24高二上·全国·课后作业）已知荒漠上有两定点A，B，它们相距2km，现准备在荒漠上围垦出一片以AB为一条对角线的平行四边形区域建成农艺园，按照规划，围墙总长为8km.又该荒漠上有一条直水沟l恰好经过点A，且与AB成30°角.现要对整条水沟进行加固，但考虑到今后农艺园的水沟要重新设计改造，所以对水沟可能被农艺园围进的部分暂不加固，问暂不加固的部分有多长？ 易错点1：忽视焦点所在坐标轴致错 【例题1】（24-25高二上·湖南长沙·阶段练习）已知椭圆：的离心率为，则（    ） A． B．或 C．8或2 D．8 【变式1】（23-24高二上·江苏南通·期中）已知椭圆的的焦距为2，则m的值为（   ） A．5 B． C．3或5 D．或 【变式2】（24-25高二上·河南南阳·阶段练习）若椭圆的离心率为，则实数的值为 . 【变式3】（23-24高二上·江西景德镇·期末）若中心在原点，焦点在轴上的椭圆过点，焦距长为4． (1)求椭圆的标准方程； (2)斜率为的直线经过椭圆的左焦点，与椭圆相交于两点，求的面积． 易错点2：忽视隐含条件致错 【例题2】（23-24高二上·福建福州·期末）已知椭圆与直线相切，则的值不可能是（    ） A． B．2 C．3 D．3.9 【变式1】（24-25高二上·重庆·阶段练习）已知椭圆的焦距为，若直线恒与椭圆有两个不同的公共点，则椭圆的离心率范围为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24高二上·上海宝山·期中）若直线与椭圆恒有公共点，则实数m的取值范围是 ． 【变式3】（23-24高二上·宁夏吴忠·期末）已知椭圆：过点 ，且短轴长为． (1)求椭圆的标准方程； (2)求椭圆上点到直线：的最短距离 一、单选题 1．（24-25高二上·湖南衡阳·阶段练习）若椭圆满足，则该椭圆的离心率（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·全国·课后作业）已知椭圆与椭圆有相同的焦点，且的长轴长为，则的短轴长为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知分别为椭圆的两个焦点，是椭圆上的点，，且，则椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高二上·广西梧州·阶段练习）已知直线与直线平行，且与椭圆的交点为，，则（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高二上·山东菏泽·阶段练习）已知椭圆的离心率为，若椭圆上的点到直线的最短距离不小于，则长半轴长的取值范围为（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高二上·重庆·期末）椭圆的左、右焦点分别是，，是椭圆上的点，过作圆的一条切线，切点为，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 7．（24-25高二上·重庆·阶段练习）已知直线与椭圆相交于A、B，且AB的中点为，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 8．（24-25高二上·吉林长春·阶段练习）已知点为椭圆上任意一点，直线过的圆心且与交于两点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（24-25高二上·安徽阜阳·阶段练习）设是椭圆的两个焦点，是椭圆上一点，且．则下列说法中正确的是（   ） A． B．离心率为 C．的面积为6 D．的面积为12 10．（24-25高二上·山东菏泽·阶段练习）已知点是椭圆上关于原点对称且不与的顶点重合的两点，分别是的左､右焦点，为原点，则（    ） A．的离心率为 B． C．的值可以为3 D．若的面积为，则 11．（23-24高二上·浙江宁波·期末）菱形内接于椭圆，其周长的值可以取到（    ） A． B． C． D．10 三、填空题 12．（24-25高二上·全国·课后作业）已知点在椭圆上，点在直线上，则的最小值为 . 13．（24-25高二上·重庆·阶段练习）焦点在轴的椭圆，长轴长为，离心率为，则椭圆的标准方程为 . 14．（24-25高二上·广西梧州·阶段练习）椭圆的短轴长为 ，该椭圆上一点到两个焦点的距离之和为 . 四、解答题 15．（24-25高二上·河南驻马店·阶段练习）求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)长轴长为4，短轴长为2，焦点在轴上； (2)过点，离心率； (3)过点，且与椭圆有相同离心率. 16．（24-25高二上·全国·课后作业）已知椭圆的左、右焦点分别为，点为上一点，且为短轴长的.若直线与交于两点，且，求的标准方程. 17．（24-25高三上·重庆·阶段练习）椭圆过点且. (1)求椭圆的标准方程； (2)设的左、右焦点分别为，，过点作直线与椭圆交于两点，，求的面积. 18．（20-21高二上·上海嘉定·阶段练习）某海域有两个岛屿，B岛在A岛正东40海里处，经多年观察研究发现，某种鱼群洄游的路线像一个椭圆，其焦点恰好是两岛．曾有渔船在距A岛正西20海里发现过鱼群．某日，研究人员在两岛同时用声呐探测仪发出不同频率的探测信号（传播速度相同），两岛收到鱼群反射信号的时间比为．你能否确定鱼群此时分别与两岛的距离？ 19．（24-25高二上·湖南·阶段练习）已知椭圆经过点，且离心率为为坐标原点. (1)求的方程. (2)过点且不与轴重合的动直线与相交于两点，的中点为. （i）证明：直线与的斜率之积为定值； （ii）当的面积最大时，求直线的方程 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第15讲椭圆的简单几何性质 （3个知识点+1个要点+7种题型+2个易错点+过关检测） 知识点1：椭圆的简单几何性质 1.椭圆的离心率： e＝∈(0,1)． 注意点： (1)e＝. (2)离心率的范围为(0,1)． (3)e越大，椭圆越扁平；e越小，椭圆越接近于圆． 当e越接近于1时，c越接近于a，从而b=越小，因此椭圆越扁；当e越接近于0时，c越接 近于0，从而b=越接近于a，因此椭圆越接近于圆；当且仅当a=b时，c=0，这时两个焦点重合，图形变为圆，它的方程为. 2.椭圆的对称性 范围：－a≤x≤a，－b≤y≤b；对称性：对称轴为x轴，y轴，对称中心为原点； 顶点：A1(－a,0)，A2(a,0)，B1(0，－b)，B2(0，b)． (1)从形的角度看：椭圆既是轴对称图形，又是中心对称图形. (2)从数的角度看：在椭圆的标准方程 (a>b>0)中以-y代替y，方程并不改变，这说明当点 P(x,y)在椭圆上时，它关于x轴的对称点(x,-y)也在椭圆上，所以椭圆关于x轴对称；同理，以-x代替x，方程也不改变，所以椭圆关于y轴对称；以-x代替x，以-y代替y，方程也不改变，所以椭圆关于原点对称.坐标轴是椭圆的对称轴，原点是椭圆的对称中心，椭圆的对称中心叫作椭圆的中心. 知识点2：椭圆的两种标准方程的几何性质比较 焦点的位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 图形 标准方程 ＋＝1(a>b>0) ＋＝1(a>b>0) 范围 －a≤x≤a，－b≤y≤b －b≤x≤b，－a≤y≤a 顶点 A1(－a,0)，A2(a,0)，B1(0，－b)，B2(0，b) A1(0，－a)，A2(0，a)，B1(－b,0)，B2(b,0) 轴长 短轴长等于2b，长轴长等于2a 焦点 (±，0) (0，±) 焦距 |F1F2|＝2 对称性 对称轴：x轴、y轴，对称中心：原点 注意点： (1)椭圆的焦点一定在它的长轴上． (2)椭圆上到中心的距离最小的点是短轴的两个端点，到中心的距离最大的点是长轴的两个端点． (3)椭圆上到焦点的距离最大和最小的点分别是长轴的两个端点，最大值为a＋c，最小值为a－c. 知识点3：直线与椭圆的位置关系 直线y＝kx＋m与椭圆＋＝1(a>b>0)的位置关系的判断方法： 联立消去y(或x)得到一个关于x(或y)的一元二次方程： 位置关系 解的个数 Δ的取值 相交 两解 Δ>0 相切 一解 Δ＝0 相离 无解 Δ<0 注意点： 设直线方程时，容易忽略斜率不存在的情况． 代数法判断直线与椭圆的位置关系 判断直线与椭圆的位置关系，通过解直线方程与椭圆方程组成的方程组，消去方程组中的一个变量，得到关于另一个变量的一元二次方程，则 Δ>0⇔直线与椭圆相交； Δ＝0⇔直线与椭圆相切； Δ<0⇔直线与椭圆相离． 要点：椭圆中弦的相关问题 点差法：设出弦的两端点坐标后，代入椭圆的方程，将两式相减，式中含有x1＋x2，y1＋y2，三个未知量，这样就联系了中点坐标和直线的斜率． 1．弦中点问题的解决方法 (1)用“点差法”求解弦中点问题的解题步骤 ①设点——设出弦的两端点坐标； ②代入——代入圆锥曲线方程； ③作差——两式相减，再用平方差公式把上式展开； ④整理——转化为斜率与中点坐标的关系式，然后求解． (2)对于弦中点问题常用“根与系数的关系”或“点差法”求解，在使用根与系数的关系时，要注意使用条件Δ＞0；在用“点差法”时，要检验直线与圆锥曲线是否相交． 2．弦长公式 设直线与椭圆交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则有 |AB|＝ ＝ ＝· ＝ ＝·(k为直线斜率)． 题型1：利用椭圆的标准方程研究其几何性质 【例题1】（24-25高二上·江苏盐城·阶段练习）已知椭圆，则椭圆的（    ） A．长轴长为4 B．焦点在轴上 C．离心率为 D．焦距为 【答案】A 【分析】根据椭圆的几何性质求解即可. 【详解】由，则焦点在轴上， 且，，则， 即， 所以长轴长为，焦距为，离心率为. 故选：A. 【变式1】（24-25高二上·上海·随堂练习）椭圆的长轴长是 ，短轴长是 ，离心率是 ；焦点坐标是 ，顶点坐标是 ． 【答案】 4 ， ， ， ，． 【分析】将方程化为标准的方程，后按照长短轴概念，离心率，焦点，顶点概念求解即可. 【详解】化为标准方程，即，则. 则长轴，短轴，离心率，焦点，，顶点， ， ，． 故答案为：；4；； ，；， ， ，． 【变式2】（21-22高二上·新疆和田·期末）求椭圆的长轴长和焦距、焦点坐标和离心率． 【答案】答案见解析 【分析】写出椭圆的标准形式确定对应椭圆参数，即可得长轴长和焦距、焦点坐标和离心率． 【详解】由题设，椭圆标准方程为，则， 所以长轴长为，焦距为，焦点坐标为，离心率为. 【变式3】（23-24高二上·吉林辽源·期中）求下列各椭圆的长轴长、短轴长、焦距、顶点坐标、焦点坐标和离心率. (1)； (2). 【答案】(1)长轴长为，短轴长为，焦距为，顶点坐标为、、、，焦点坐标为和，离心率为 (2)长轴长为，短轴长为，焦距为，顶点坐标为、、、，焦点坐标为和，离心率为 【分析】（1）确定椭圆方程，直接计算得到答案； （2）确定椭圆方程，直接计算得到答案； 【详解】（1）将化为标准方程为：， 所以，，则， 所以椭圆的长轴长为，短轴长为，焦距为， 顶点坐标为、、、，焦点坐标为和， 离心率为， 椭圆图象如下： （2）将化为标准方程为：，椭圆的焦点落在轴上， 所以，，则， 所以椭圆的长轴长为，短轴长为，焦距为， 顶点坐标为、、、，焦点坐标为和， 离心率为， 椭圆图象如下： 题型2：由几何性质求椭圆的方程 【例题2】（24-25高二上·山东滨州·阶段练习）椭圆的长短轴之和为18，焦距为6，则椭圆的标准方程为（    ） A． B． C．或 D． 【答案】C 【分析】根据已知列方程结合计算得出再结合椭圆的交点所在轴即可判断. 【详解】因为, 又因为， 所以, , 解得, 椭圆焦点在x轴时，椭圆的标准方程为：; 椭圆焦点在y轴时，椭圆的标准方程为：. 故选：C. 【变式1】（23-24高二上·陕西宝鸡·期末）焦点在轴上，，的椭圆的标准方程为 . 【答案】 【分析】结合椭圆的性质，即可求解． 【详解】焦点在x轴上，，， 则，解得， 故 故所求椭圆的方程为：． 故答案为： 【变式2】（24-25高二上·河南驻马店·阶段练习）求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)长轴长为4，短轴长为2，焦点在y轴上； (2)过点，离心率； 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）分焦点在x轴，y轴两种情形，结合几何性质列式求解； （2）利用离心率并再分焦点在x轴，y轴两种情形求解. 【详解】（1）根据题意，要求椭圆的焦点在y轴上， 长轴长为4，短轴长为2，即，， 则有，， 故要求椭圆的标准方程为； （2）若椭圆的焦点在x轴上，设方程为. 则，所以，，， 即椭圆方程为. 若椭圆的焦点在y轴上，设方程为， 则，又，解得， 故椭圆方程为. 【变式3】（23-24高二上·河北·期末）已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，离心率为，半焦距为1． (1)求椭圆的标准方程； (2)过椭圆的左焦点，且斜率为1的直线交椭圆于两点，求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题列出a、b、c的方程，解之即可； （2）将直线与椭圆联立，韦达定理，然后利用弦长公式求底，利用点到直线的距离公式求高，即可求出三角形的面积． 【详解】（1）由题意，设所求椭圆标准方程为：， 因为焦距为，， 又离心率，，； 再由， 所以椭圆标准方程为：； （2）由（1）知：左焦点为，直线的方程为： 则， 设， 则， 由弦长公式， 到直线的距离， . 题型3：求椭圆的离心率及其取值范围、最值 【例题3】（23-24高二上·江苏南京·阶段练习）已知椭圆C：（）的左顶点为A，上顶点为B，右焦点为F，若，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分别表示出，然后根据，利用勾股定理建立等式得到，两边同时除以得到关于的一元二次方程求解即可． 【详解】，，， 由题意：， ∴， ∴， ∴ ∴ 故选：C 【变式1】（23-24高二上·广东深圳·期中）已知椭圆C：（）的左、右两焦点分别是、，其中．椭圆C上存在一点，满足，则椭圆的离心率的取值范围是 【答案】 【分析】先设出点，然后由向量数量积得到的轨迹，应用在椭圆上则两个曲线有交点，再求离心率即可. 【详解】设点， 则， 即，所以点在以为圆心，半径为的圆上， 又因为点在椭圆上，所以圆与椭圆有交点， 根据对称性可知，即， 所以，即椭圆离心率， 故答案为： 【变式2】（24-25高二上·全国·课后作业）已知椭圆的左、右焦点分别为，点是上的一点，直线的方程为，且于．若四边形为平行四边形，求的离心率的取值范围． 【答案】 【分析】利用条件设P表示Q，由平行四边形的性质及椭圆的性质得出不等关系计算即可. 【详解】注意到直线，设，则， 又四边形为平行四边形，所以， 即，所以，解得， 故的离心率的取值范围为． 【变式3】（24-25高二上·江西·阶段练习）已知A，B分别是椭圆C：（）的上、下顶点，M是椭圆C上一动点. (1)若直线，的斜率之积为，且椭圆C的短轴长为，求椭圆C的方程； (2)若P是圆上一动点，且，求椭圆C的离心率的取值范围， 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求出直线，的斜率之积，利用短轴长，求出即可得出椭圆的标准方程； （2）求出，利用可得，分类讨论求，建立不等式求解即可. 【详解】（1）易知， 设点，则，即， 直线的斜率之积， 又椭圆C的短轴长为，即，所以， 故椭圆C的方程为 （2）圆可化为， 则圆心为，半径为， 由是圆上一动点，且，可得，如图，    设，则， 所以 ， 当，即时，，即，符合题意， 由，可得，即； 当即时，， 即，化简得，所以， 这与矛盾，不符合题意. 综上，椭圆C的离心率的范围为 题型4：直线与椭圆位置关系的判断 【例题4】（23-24高二上·江西·期末）直线与椭圆的位置关系为（    ） A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定 【答案】C 【分析】由直线与椭圆的位置关系求解即可. 【详解】因为直线过点， 而为椭圆的右端点和上端点， 故直线与椭圆相交. 故选：C. 【变式1】（23-24高二上·新疆伊犁·期中）直线：与椭圆：的一个交点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将直线方程与椭圆方程联立解方程即可得出答案. 【详解】由可得，解得或 当时，，当时， 所以直线与椭圆的交点坐标为 故选：D 【变式2】（23-24高二上·全国·课后作业）试判断直线与椭圆的公共点的个数，并说明理由. 【答案】2个 【分析】由题意分析，可知直线恒过定点，再根据点与椭圆的位置关系，可判断该定点在椭圆的内部，即可判断直线与椭圆的公共点个数. 【详解】直线与椭圆的公共点的个数为个，理由如下： 根据题意，直线，恒过定点， 把点代入椭圆，则点在椭圆的内部， 则直线与椭圆必相交，有个交点， 即直线与椭圆的公共点的个数为个. 【变式3】（21-22高二·全国·课后作业）判断下列直线与圆锥曲线的交点情况： (1)直线与抛物线； (2)直线与椭圆. 【答案】(1)直线与抛物线有两个交点； (2)直线与椭圆有两个交点. 【分析】(1)联立方程，根据判别式判断即可； （2）联立方程，根据判别式判断即可. 【详解】（1）解：联立方程得， 因为， 所以方程有两个不等的实数根， 所以直线与抛物线有两个交点. （2）解：联立方程得， 因为，所以方程组有两组解， 所以直线与椭圆有两个交点. 题型5：弦长及中点弦问题 【例题5】（23-24高二上·河北石家庄·期末）已知椭圆，是椭圆的一条弦的中点，点在直线上，则椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，求出直线的方程，与椭圆的方程联立结合韦达定理求出的关系计算即得. 【详解】依题意，直线的斜率，直线的方程为，即， 由消去并整理得：， 则，即， 设，则，而弦的中点为，即， 于是，解得，此时 所以椭圆的离心率. 故选：C 【变式1】（24-25高二上·全国·随堂练习）过椭圆的焦点的最长弦和最短弦的长分别为 ． 【答案】4、3 【分析】过椭圆焦点的最长弦为长轴,最短弦为垂直于长轴的弦. 【详解】过椭圆焦点的最长弦为长轴，其长度为； 最短弦为垂直于长轴的弦， 因为，将代入，得， 解得，即， 所以最短弦的长为． 故答案为：4、3 【变式2】（23-24高二上·四川凉山·期末）过椭圆内一点引一条弦，使该弦被点平分. (1)求该弦所在的直线方程； (2)求该弦的弦长. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设过点的弦与椭圆相交于，两点，利用点差法，结合中点坐标公式，即可求得答案； （2）联立直线和椭圆方程，求得交点坐标，即可求得弦长. 【详解】（1）设过点的弦与椭圆相交于，两点， ∵为的中点， ∴， 又∵，两点在椭圆上， ∴，， 两式相减得， 即 由题意当时，不能平分该弦，因此， 故直线AB的斜率为， ∴该弦所在的直线方程为，即； （2）联立直线与椭圆方程得，得， 解得或1，不妨取，，则或， 即，， ∴. 【变式3】（2024高二上·全国·专题练习）已知椭圆及直线． (1)当直线和椭圆有公共点时，求实数m的取值范围； (2)当时，求直线与椭圆的相交弦长； (3)求被椭圆截得的最长弦所在直线的方程． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）联立直线与椭圆方程，消去，得到关于的方程，根据直线与椭圆有公共点，得到关于的方程有实根，利用判别式大于等于零，即可得出结果； （2）代入值，再根据弦长公式即可得到答案. （3）设弦的两端点分别为，，由（1），根据韦达定理，以及弦长公式，用表示出弦长，得出弦长的最大值，以及此时的的值，即可得出所求直线方程. 【详解】（1）由消去y，得（*）， 因为直线和椭圆有公共点，所以， 所以，解得． 所以实数m的取值范围为． （2）设交点为，，当时，（*）式可化为． 则根据一元二次方程根与系数的关系有，， 则弦AB的长为． （3）设所截弦的两端点分别为，， 由（1）可得， 所以弦， 因此当时，弦长最大，此时所求直线的方程为. 题型6：椭圆中的最值（或取值范围）问题 【例题6】（24-25高二上·湖南·阶段练习）已知点为椭圆上任意一点，则点到直线的距离的最小值为（    ） A． B．4 C． D． 【答案】D 【分析】根据条件，设，利用点到直线的距离公式得到，再利用辅助角公式及的性质，即可求解. 【详解】由题可设， 则点到直线的距离为，其中， 所以当时，最小，最小值为. 故选：D. 【变式1】（24-25高二上·江苏南京·阶段练习）已知为椭圆上的点，，则线段长度的最小值为 . 【答案】/ 【分析】记线段的长度为，表达的函数，利用,；，结合二次函数的性质即可求的最小值． 【详解】设，记线段的长度为，是椭圆上任意一点， 设,,, 所以：． 由于，故时，有最小值，且的最小值， 故答案为： 【变式2】（24-25高二上·江苏连云港·阶段练习）已知直线与椭圆相交于两点. (1)若椭圆的离心率为，焦距为，求线段的长； (2)若（其中为坐标原点），当椭圆的离心率时，求椭圆的长轴长的最大值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据椭圆中基本量的关系计算可得椭圆方程，再联立直线与椭圆方程，利用弦长公式求得线段的长即可； （2）设点，，根据，可得，再联立方程利用韦达定理表示关于基本量，的关系，可转化为，因为，可得，从而可得长轴长得最大值. 【详解】（1），， ，，则， 椭圆的方为， 联立消去得：， 设，，则， ， （2）设，， ， ，即， 由，消去得， 由，整理得， 又，， ， 由，得：， ，整理得：， ，代入上式得， ， ，则， 则，， 则，故长轴长的最大值为. 【变式3】（24-25高二上·吉林长春·阶段练习）已知为椭圆C：上的点，C的焦距为． (1)求椭圆C的方程； (2)点P为椭圆C上的动点，过点P作圆O：的两条切线，切点分别为A，B，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据点在椭圆上，代入即可列方程求解， （2）根据点点的距离可得，即可根据模长公式以及数量积的运算，结合二倍角公式即可求解. 【详解】（1）由题意可得，解得， 故椭圆方程为 （2）设，则， 由于，故， 故，由于故，因此， 故 题型7：椭圆的实际应用与数学文化 【例题7】（22-23高二上·湖北·期中）在一些山谷中有一种奇特的现象，在一处呼喊一声，在另一处会间隔听到两次呼喊，前一次是声音直接传到听者耳朵中，后一次是声音经过山壁反射后再传到听者耳朵中.假设有一片椭圆形状的空旷山谷，甲､乙两人分别站在椭圆的两个焦点处，甲呼喊一声，乙经过听到第一声，又过听到第二声，则该椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由椭圆的对称性，结合声波的反射定律，可能的传播路径为、、，比较对应的传播路径长度，即可区分第一声、第二声的路径，即可由路程和时间列方程，求解出，即 【详解】如图，甲在，乙在，直接传播路径有，即， 由椭圆的对称性，结合声波的反射定律，声音经过A点反射，传播路程为，即 因为，所以，故第一声为，第二声为， 因为声音速度恒定，故，故， 故选：A 【变式1】（21-22高二上·安徽宿州·期中）黄金分割起源于公元前6世纪古希腊的毕达哥拉斯学派，公元前4世纪，古希腊数学家欧多克索斯第一个系统研究了这一问题，公元前300年前后欧几里得撰写《几何原本》时吸收了欧多克索斯的研究成果，进一步系统论述了黄金分割，成为最早的有关黄金分割的论著.黄金分割是指将整体一分为二，较大部分与整体部分的比值等于较小部分与较大部分的比值，其比值为，把称为黄金分割数.已知焦点在轴上的椭圆的焦距与长轴长的比值恰好是黄金分割数，则实数的值为（    ） A． B． C．2 D． 【答案】A 【分析】根据题意确定以及，再根据焦距与长轴长的比值恰好是黄金分割数列出等式，化简即可得答案. 【详解】焦点在轴上的椭圆中， ， 所以， 由题意得 ，即 ，即， 解得 ， 故选:A. 【变式2】（23-24高二上·辽宁·期末）画法几何的创始人——法国数学家加斯帕尔•蒙日发现：在椭圆中，任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，它的圆心是椭圆的中心，半径等于长､短半轴的平方和的算术平方根，我们通常把这个圆称为该椭圆的蒙日圆.已知椭圆，则其蒙日圆方程为 ，若为蒙日圆上一个动点，过点作椭圆的两条切线，与蒙日圆分别交于､两点，则面积的最大值为 . 【答案】 7 【分析】根据半径为蒙日，即可得圆的方程，由定义可知，于是为蒙日圆的直径，过点，利用面积公式可将面积转化为蒙日圆半径，即可求解最值. 【详解】椭圆方程为：，蒙日圆半径为，由题可知， 所以蒙日圆方程为， 由于为其蒙日圆上一动点，过点作椭圆的两条切线，与蒙日圆分别交､两点， 根据蒙日圆定义可知，于是为蒙日圆的直径，过点，， 可知， 所以的面积为：， 当且仅当取等号， 故答案为：，7. 【变式3】（23-24高二上·全国·课后作业）已知荒漠上有两定点A，B，它们相距2km，现准备在荒漠上围垦出一片以AB为一条对角线的平行四边形区域建成农艺园，按照规划，围墙总长为8km.又该荒漠上有一条直水沟l恰好经过点A，且与AB成30°角.现要对整条水沟进行加固，但考虑到今后农艺园的水沟要重新设计改造，所以对水沟可能被农艺园围进的部分暂不加固，问暂不加固的部分有多长？ 【答案】 【分析】由题意得，可画出四边形简图并建立直角坐标系，根据已知条件求出椭圆的标准方程，再将直线与椭圆方程联立方程组，利用韦达定理求出即可得出结论. 【详解】以所在直线为轴,以的中垂线为轴,建立直角坐标系，如图: 设四边形的顶点,且, 根据题意得, 则点轨迹为椭圆,且则, 故所求椭圆的标准方程为. 由直线形小溪刚好通过点,且与成角,得直线的方程为, 设直线与椭圆相交于点两点, 则水沟可能被农艺园围进的部分为; 设则, 整理得则, 则, 所以暂不加固的部分长. 易错点1：忽视焦点所在坐标轴致错 【例题1】（24-25高二上·湖南长沙·阶段练习）已知椭圆：的离心率为，则（    ） A． B．或 C．8或2 D．8 【答案】C 【分析】分焦点在轴和轴上两种情况，由离心率得到方程，求出或. 【详解】椭圆：的离心率为， 当椭圆焦点在轴上时，，解得， 当椭圆焦点在轴上时，，解得. 故选：C. 【变式1】（23-24高二上·江苏南通·期中）已知椭圆的的焦距为2，则m的值为（   ） A．5 B． C．3或5 D．或 【答案】C 【分析】根据题意先求出c的值，根据椭圆方程的标准形式，求出m的值． 【详解】由题有，所以 当椭圆方程的交点在轴时， 且，解得； 当椭圆方程的交点在轴时， 且，解得； 的值为5或3. 故选C. 【变式2】（24-25高二上·河南南阳·阶段练习）若椭圆的离心率为，则实数的值为 . 【答案】或10 【分析】分焦点在轴、轴两种情况讨论，结合离心率公式计算可得. 【详解】当椭圆的焦点在轴上时，则，， 所以离心率，解得； 当椭圆的焦点在轴上时，则， 所以离心率，解得. 综上可得实数的值为或10. 故答案为：或10 【变式3】（23-24高二上·江西景德镇·期末）若中心在原点，焦点在轴上的椭圆过点，焦距长为4． (1)求椭圆的标准方程； (2)斜率为的直线经过椭圆的左焦点，与椭圆相交于两点，求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据已知条件求得，从而求得椭圆方程. （2）将直线的方程与椭圆方程联立，利用弦长公式以及点到直线的距离公式求得正确答案. 【详解】（1）由已知，得， 设方程为，则，得， 椭圆方程为. （2）因为左焦点坐标为，所以可得直线，也即， 设， 联立，得，即， ，． 又因为到直线的距离为，. 易错点2：忽视隐含条件致错 【例题2】（23-24高二上·福建福州·期末）已知椭圆与直线相切，则的值不可能是（    ） A． B．2 C．3 D．3.9 【答案】A 【分析】由椭圆与直线相切，得，解不等式组对比选项即可得解. 【详解】联立椭圆方程与直线方程得，化简并整理得， 依题意，，整理得， 因为，所以，解得， 对比选项可知的值不可能是. 故选：A. 【变式1】（24-25高二上·重庆·阶段练习）已知椭圆的焦距为，若直线恒与椭圆有两个不同的公共点，则椭圆的离心率范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据椭圆焦点坐标以及直线过定点可得点在椭圆内部，整理不等式可得离心率. 【详解】将直线整理可得， 易知该直线恒过定点， 若直线恒与椭圆有两个不同的公共点，可知点在椭圆内部； 易知椭圆上的点当其横坐标为时，纵坐标为，即可得， 整理可得，即， 解得. 故选：A 【变式2】（23-24高二上·上海宝山·期中）若直线与椭圆恒有公共点，则实数m的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】根据直线方程写出其所过定点，结合其与椭圆的位置关系，可得答案. 【详解】由直线，则可知其过定点， 易知当该点在椭圆内或椭圆上时，直线与椭圆恒有公共点， 则，解得且. 故答案为：且. 【变式3】（23-24高二上·宁夏吴忠·期末）已知椭圆：过点 ，且短轴长为． (1)求椭圆的标准方程； (2)求椭圆上点到直线：的最短距离 【答案】(1) (2). 【分析】（1）根据题意得，椭圆且过点，从而求解. （2）设出直线的平行线与椭圆相切时即可求出最小值，从而求解. 【详解】（1）由题意知，得，又点在椭圆上，所以， 所以椭圆的方程为. （2） 不妨设与直线：平行的直线与椭圆相切， 联立，消去并整理得， 因为，解得， 当时，直线与直线的距离； 当时，直线与直线的距离， 因为，所以符合题意，故距离的最小值为. 【点睛】方法点睛：求椭圆上到直线：的最小距离可转化为与直线平行且与椭圆相切的直线，然后利用直线与椭圆的位置关系即可求解. 一、单选题 1．（24-25高二上·湖南衡阳·阶段练习）若椭圆满足，则该椭圆的离心率（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由椭圆离心率的公式计算. 【详解】椭圆满足， 则该椭圆的离心率. 故选：B. 2．（24-25高二上·全国·课后作业）已知椭圆与椭圆有相同的焦点，且的长轴长为，则的短轴长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由已知可得椭圆的半焦距，再结合椭圆的长轴可得短轴长度. 【详解】由已知，， 又，即， 所以，解得， 故的短轴长为， 故选：D. 3．（24-25高二上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知分别为椭圆的两个焦点，是椭圆上的点，，且，则椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用椭圆的定义结合勾股定理，易得等式求出离心率. 【详解】由椭圆定义得：，又因为， 所以解得：， 再由于，，结合勾股定理可得： ，解得，所以椭圆的离心率为， 故选：C. 4．（24-25高二上·广西梧州·阶段练习）已知直线与直线平行，且与椭圆的交点为，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据两点在椭圆上，结合斜率，利用点差法可得解. 【详解】因为直线与直线平行， 所以直线的斜率为，即， 因为，都在椭圆上， 所以，， 则， 即， 所以， 所以， 故选：A. 5．（24-25高二上·山东菏泽·阶段练习）已知椭圆的离心率为，若椭圆上的点到直线的最短距离不小于，则长半轴长的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】确定与距离为的直线，由题意这条直线与相切或没交点，联立方程，由韦达定理即可求解. 【详解】 设平行且距离为的直线方程为， 所以，解得或（结合图象舍去） 设直线与平行且它们之间的距离为，则的方程为， 由整理，得， 因为上的点到直线的最短距离不小于， 所以与椭圆相切或没有交点， 所以，整理得， 由椭圆的离心率为，可知，所以， 所以，则，所以. 故选：C. 6．（23-24高二上·重庆·期末）椭圆的左、右焦点分别是，，是椭圆上的点，过作圆的一条切线，切点为，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由圆的性质将求的最大值转化为求的最大值，再设点，由在椭圆上消，建立关于的函数关系式求解最值即可. 【详解】由圆的圆心，半径为. 连接，则，且， 则， 故当取最大值时，最大. 由在椭圆上，设，则， 则， ， 则当时，取最大值，最大值为，此时 所以. 故选：D. 7．（24-25高二上·重庆·阶段练习）已知直线与椭圆相交于A、B，且AB的中点为，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用点差法求得关系，再利用椭圆的离心率公式可得答案. 【详解】设两点坐标分别为，因为且AB的中点为， 所以，因为在椭圆上， 所以①， 两式相减，得， 根据，上式可化简为， 整理得，又，所以，即， 所以. 故选：B. 8．（24-25高二上·吉林长春·阶段练习）已知点为椭圆上任意一点，直线过的圆心且与交于两点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据圆心为的中点，利用向量运算将用来表示，转化为椭圆上一点到焦点的距离范围求解即可. 【详解】，即， 则圆心，半径为. 椭圆方程，, 则， 则圆心为椭圆的焦点， 由题意的圆的直径，且 如图，连接，由题意知为中点，则， 可得 . 点为椭圆上任意一点， 则，， 由， 得. 故选：A. 【点睛】关键点点睛：解决此题的关键于利用中点性质，将多动点有关的数量积，通过向量的线性运算与数量积运算性质，转化为动点与定点圆心连线的长度来表示，进而可借助椭圆上任意一点到焦点距离的范围使问题得解. 二、多选题 9．（24-25高二上·安徽阜阳·阶段练习）设是椭圆的两个焦点，是椭圆上一点，且．则下列说法中正确的是（   ） A． B．离心率为 C．的面积为6 D．的面积为12 【答案】ABC 【分析】根据椭圆的标准方程求出，再由题意及椭圆定义列出方程求解可判断A，根据离心率定义判断B，根据A可知三角形为直角三角形，求面积可判断CD . 【详解】由，得，则， 因为是椭圆上一点，所以， 因为，所以，，故A正确； 对于B，离心率为，故B正确； 对于CD，因为，所以为直角三角形，，所以，故C正确，D错误． 故选：ABC 10．（24-25高二上·山东菏泽·阶段练习）已知点是椭圆上关于原点对称且不与的顶点重合的两点，分别是的左､右焦点，为原点，则（    ） A．的离心率为 B． C．的值可以为3 D．若的面积为，则 【答案】AD 【分析】A选项，求出；B选项，由对称性和椭圆定义可判断， C先设，计算出，从而得到即可判断；D选项，由三角形面积求出点坐标，得到，即可判断. 【详解】对于A，椭圆中，，离心率为，A正确； 对于B，由对称性可得，所以，B错误； 对于C，设且，则， 故，所以C错误； 对于D，不妨设在第一象限，，则，得，则， 则，故，故D正确. 故选：AD. 11．（23-24高二上·浙江宁波·期末）菱形内接于椭圆，其周长的值可以取到（    ） A． B． C． D．10 【答案】BC 【分析】设出对角线的斜率，表示出菱形的顶点坐标，最后使用两点间距离公式计算周长即可. 【详解】如图，将菱形内接于椭圆， 设，， 当直线的斜率不存在或为0时，菱形的四个顶点与椭圆的四个顶点重合，此时显然周长为； 当直线的斜率存在且不为0时，设的方程为，的方程为， 设菱形周长为， 联立方程组，，可得，显然， 不妨设点A在第一象限，B在第二象限， 解得，代入椭圆中得到，即， 同理可求， 则由两点间距离公式得， 令，则， 可得， 因为，则， 可得，即， 综上所述：， 易得，10，不在此范围内，故排除A,D，，，在此范围内，得到B,C正确. 故选：BC 【点睛】方法点睛：与圆锥曲线有关的最值问题的两种解法 （1）数形结合法：根据待求值的几何意义，充分利用平面图形的几何性质求解． （2）构建函数法：先引入变量，构建以待求量为因变量的函数，再求其最值，常用基本不等式或导数法求最值（注意：有时需先换元后再求最值）． 三、填空题 12．（24-25高二上·全国·课后作业）已知点在椭圆上，点在直线上，则的最小值为 . 【答案】/ 【分析】设出于直线平行的直线的方程并与椭圆方程联立，利用判别式求得直线的方程，再根据两平行线间的距离公式即可得解. 【详解】如图，由直线的方程与椭圆的方程可以知道，直线与椭圆不相交． 设与直线平行的直线与椭圆相切，    由，得， 则，解得， 由图可知，当时，直线与椭圆的切点到直线的距离最近， 又直线与直线间的距离， 所以. 故答案为：##. 13．（24-25高二上·重庆·阶段练习）焦点在轴的椭圆，长轴长为，离心率为，则椭圆的标准方程为 . 【答案】 【分析】根据长轴长求出，利用离心率求，根据求出，得到椭圆的标准方程. 【详解】设椭圆的标准方程为. 由题意得，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴椭圆的标准方程为. 故答案为： 14．（24-25高二上·广西梧州·阶段练习）椭圆的短轴长为 ，该椭圆上一点到两个焦点的距离之和为 . 【答案】 【分析】现根据椭圆方程得到的值，再结合椭圆的几何性质及定义即可求解. 【详解】由椭圆， 则，即， 所以短轴长为，该椭圆上一点到两个焦点的距离之和为. 故答案为：2 ；. 四、解答题 15．（24-25高二上·河南驻马店·阶段练习）求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)长轴长为4，短轴长为2，焦点在轴上； (2)过点，离心率； (3)过点，且与椭圆有相同离心率. 【答案】(1) (2)或 (3)或 【分析】（1）根据长轴及焦点在轴上，求出，，即可写出椭圆方程； （2）分焦点在轴，轴两种情形，结合几何性质列式求解； （3）利用离心率设，，再分焦点在轴，轴两种情形求解. 【详解】（1）根据题意，要求椭圆的焦点在轴上， 长轴长为4，短轴长为2，即，，则有，， 故要求椭圆的标准方程为； （2）若椭圆的焦点在轴上，设方程为. 则， ，，，方程为. 若椭圆的焦点在轴上，设方程为， 则， 解得，故方程为. 所以椭圆的标准方程为或 （3）离心率为.设，，则. 若焦点在轴上，方程为，代入(1,2)，得，所以方程为 若焦点在轴上，方程为，代入(1,2)，得，所以方程为. 所以椭圆的标准方程为或 16．（24-25高二上·全国·课后作业）已知椭圆的左、右焦点分别为，点为上一点，且为短轴长的.若直线与交于两点，且，求的标准方程. 【答案】 【分析】设，由题意可得，可得，与直线联立方程可得，设，可得，结合已知可求，可求椭圆的标准方程. 【详解】因为，所以可设， 则， 所以，即， 所以的方程可化为， 即， 由，得， 设，则， 即①，且②， 由于，所以， 即， 将②代入可得，， 解得，且满足①，所以， 所以的标准方程为. 17．（24-25高三上·重庆·阶段练习）椭圆过点且. (1)求椭圆的标准方程； (2)设的左、右焦点分别为，，过点作直线与椭圆交于两点，，求的面积. 【答案】(1) (2). 【分析】（1）代入点坐标并于联立计算可得，求出椭圆的标准方程； （2）联立直线和椭圆方程并利用向量数量积的坐标表示以及韦达定理即可得出，再由弦长公式计算可得结果. 【详解】（1）将代入椭圆方程可得，即， 又因为，所以，代入上式可得， 故椭圆的标准方程为； （2）由(1)可得， 设直线的方程为，如下图所示： 联立，得， 所以， 则， 所以 ， 解得，即， 所以， 则的面积. 18．（20-21高二上·上海嘉定·阶段练习）某海域有两个岛屿，B岛在A岛正东40海里处，经多年观察研究发现，某种鱼群洄游的路线像一个椭圆，其焦点恰好是两岛．曾有渔船在距A岛正西20海里发现过鱼群．某日，研究人员在两岛同时用声呐探测仪发出不同频率的探测信号（传播速度相同），两岛收到鱼群反射信号的时间比为．你能否确定鱼群此时分别与两岛的距离？ 【答案】鱼群分别距，两岛的距离为50海里和30海里 【分析】以的中点为原点，所在直线为轴建立直角坐标系，求出鱼群的运动轨迹方程是，利用椭圆的定义能够求出鱼群分别距，两岛的距离． 【详解】以的中点为原点，所在直线为轴建立直角坐标系 设椭圆方程为：且 因为焦点的正西方向椭圆上的点为左顶点， 所以 又， 则，， 故 所以鱼群的运动轨迹方程是 由于，两岛收到鱼群反射信号的时间比为， 因此设此时距，两岛的距离分别为， 由椭圆的定义可知 即鱼群分别距，两岛的距离为50海里和30海里． 【点睛】方法点睛：与实际应用相结合的题型也是高考命题的动向，这类问题的特点是通过现实生活的事例考查书本知识，解决这类问题的关键是耐心读题、仔细理解题，只有吃透题意，才能将实际问题转化为数学模型进行解答. 19．（24-25高二上·湖南·阶段练习）已知椭圆经过点，且离心率为为坐标原点. (1)求的方程. (2)过点且不与轴重合的动直线与相交于两点，的中点为. （i）证明：直线与的斜率之积为定值； （ii）当的面积最大时，求直线的方程. 【答案】(1) (2)①证明见解析；②或. 【分析】（1）根据已知点在椭圆上及离心率列方程组求解可得椭圆方程； （2）设方程，直线与椭圆联立消去利用韦达定理和斜率公式证明直线与的斜率之积为定值；根据弦长公式和三角形面积公式求得直线斜率最后得到直线方程. 【详解】（1）由已知，得解得 故的方程为. （2） ①    由题可设. 将， 消去，得. 当，即时，有. 所以，即， 可得，所以，即直线与的斜率之积为定值. ②由（1）可知 又点到直线的距离， 所以的面积. 设，则， 当且仅当，即时等号成立，且满足. 所以当的面积最大时，直线的方程为或. 【点睛】关键点点睛：求解面积最值的关键点是换元设，把面积转换为的函数结合基本不等式计算最值即可，注意取等条件是否符合题意. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$