3.1.2椭圆的简单几何性质知识点练习-2024-2025学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

3.1.2椭圆的简单几何性质 题型一：根据椭圆的标准方程研究其几何性质 1．椭圆与椭圆的（   ） A．长轴长相等 B．短轴长相等 C．离心率相等 D．焦距相等 【答案】D 【详解】对于椭圆：， 对于椭圆：， 所以它们的长轴不相等，短轴不相等，离心率不相等，焦距相等. 故选：D. 2．（多选）已知椭圆：，则（    ） A．的焦点在轴上 B．的焦距为10 C．的离心率为 D．的长轴长是短轴长的5倍 【答案】BC 【详解】对于椭圆：，可得， 故椭圆的焦点在轴上，焦距为，离心率为， 长轴长为，短轴长为，故AD错误，BC正确. 故选：BC 3．（多选）已知椭圆，则（   ） A．椭圆的长轴长为10 B．椭圆的一个顶点为 C．椭圆的焦距为8 D．椭圆的离心率为 【答案】ACD 【详解】因为，且椭圆的焦点在轴上， 所以椭圆的长轴长为10，顶点为，焦距为8，离心率. 故选：ACD 4．（多选）已知曲线，则（    ） A．的焦点在轴上 B．的短半轴长为 C．的右焦点坐标为 D．的离心率为 【答案】BCD 【详解】设椭圆的长半轴长为，短半轴长为，半焦距为. 由题意可得椭圆的标准方程为，所以椭圆的焦点在轴上，故选项A错误. 由椭圆的标准方程为，得， 故其短半轴长为，右焦点坐标为，故选项B，C正确. 椭圆的离心率，故选项D正确． 故选：BCD． 题型二：根据椭圆的几何性质求椭圆的标准方程 5．已知焦点在轴上的椭圆的离心率为，焦距为，则该椭圆的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设椭圆的标准方程为，焦距为， 由得， 由得，故， 所以该椭圆的方程为. 故选：D. 6．分别求满足下列各条件的椭圆的标准方程． (1)已知椭圆的离心率为，短轴长为； (2)椭圆与有相同的焦点，且经过点，求椭圆的标准方程. 【答案】(1)或； (2). 【详解】（1）由题得， 所以椭圆的标准方程为或. （2）椭圆满足，故该椭圆焦点坐标为， 因为椭圆与有相同的焦点，且经过点， 所以可设椭圆方程为，且，解得， 故，解得（舍去）或，故. 所以椭圆的标准方程为. 7．求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)一个焦点坐标为，离心率； (2)在x轴上的一个焦点与短轴两个端点的连线互相垂直，且焦距为8； (3)求经过点M(1,2)，且与椭圆有相同离心率的椭圆的标准方程． 【答案】(1)＋＝1 (2)＋＝1 (3)＋＝1或＋＝1 【详解】（1）（1）依题意，焦点在x轴上，且c＝3，又，则a＝4， ∴b2＝a2－c2＝42－32＝7， ∴椭圆的方程为． （2）设椭圆方程为，如图所示， 由一个焦点与短轴两个端点的连线互相垂直，且焦距为8， 可得为等腰直角三角形，为斜边的中线(高线)， 又由，所以，所以， 故所求椭圆的方程为.    （3）由题意，椭圆，可得长半轴，短半轴， ， 因为所求椭圆与椭圆有相同离心率，可得， 解得，即， 当椭圆的焦点在轴上时，设所求椭圆的方程为， 将点代入椭圆的方程，可得，解得， 所以椭圆的方程为； 当椭圆的焦点在轴上时，设所求椭圆的方程为， 将点代入椭圆的方程，可得，解得， 所以椭圆的方程为， 综上可得，椭圆的方程为或. 8．已知圆柱的底面半径为4，与圆柱底面成的平面截这个圆柱得到一个椭圆，则这个椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为圆柱的底面半径为4，所以椭圆的短轴，得， 又因为椭圆所在平面与圆柱底面所成角为， 所以，解得，得， 所以椭圆的离心率为：． 故选：A． 题型三：求椭圆的离心率的值（或取值范围） 9．已知，分别是椭圆的左、右焦点，是上一点，若的周长为10，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为椭圆：，所以. 又根据椭圆的定义可知：得周长为：，由 . 所以椭圆的离心率为：. 故选：C 10．小明同学某天发现，在阳光的照射下，篮球在地面留下的影子如图所示，设过篮球的中心且与太阳平行光线垂直的平面为，地面所在平面为，篮球与地面的切点为，球心为，球心在地面的影子为点；已知太阳光线与地面的夹角为；如图，为球的一条直径，为在地面的影子，点在线段上，小明经过研究资料发现，当时，篮球的影子为一椭圆，且点为椭圆的焦点，线段为椭圆的长轴，则此时该椭圆的离心率（    ）（用表示）.    A． B． C． D． 【答案】A 【详解】   设篮球半径为，显然平面平面，连接平面， 过作 交于，则， 于是椭圆长轴长， 在四边形中，， 令椭圆半焦距为，而，则， 解得， 所以该椭圆的离心率为. 故选：A 11．已知椭圆的左，右焦点分别为，长轴长为4，点在椭圆外，则（   ） A．椭圆的离心率的取值范围是 B．椭圆的离心率的取值范围是 C．椭圆的离心率的取值范围是 D．椭圆的离心率的取值范围是 【答案】D 【详解】解：由题意得，又点在椭圆外， 则，解得， 所以椭圆的离心率:， 即椭圆的离心率的取值范围. 故选：D. 12．已知为坐标原点，是椭圆的左焦点．若椭圆上存在两点满足，且关于原点对称，则椭圆的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设椭圆C的右焦点为，连接． 由椭圆的性质得，，，即椭圆上存在点A，满足，即以为直径的圆与椭圆有公共点． 设椭圆C的半焦距为，所以只需，所以，即，所以椭圆C的离心率的取值范围为． 故选：C 13．已知椭圆的左、右焦点分别，，是椭圆上一点，直线与轴负半轴交于点，若，且，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，不妨设，则， 由椭圆的定义与对称性可得，，， 因为，所以， 则，解得， 则，故， 则在中，由， 得，解得， 所以椭圆的离心率为. 故选：C. 14．已知椭圆的左、右焦点分别为，，过的直线与椭圆交于，两点，若且，则椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，所以， 又因为，所以， 又因为，所以，所以， 又，所以，， ，所以， 所以椭圆的离心率为. 故选：D. 15．如图，焦点在x轴上的椭圆（）的左、右焦点分别为，，P是椭圆上位于第一象限内的一点，且直线与y轴的正半轴交于A点，的内切圆在边上的切点为Q，若，则该椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】令与圆相切的切点分别为， 由椭圆定义得，即， 由，得，即， 由对称性得，即，解得， 所以该椭圆的离心率为. 故选：A 16．已知椭圆的左､右焦点到直线的距离之和为，则离心率取值范围是 . 【答案】 【详解】由题意，椭圆左右焦点坐标为， 所以，即， 即在数轴上到的距离和为8，故，即， 所以. 故答案为： 题型四：点与椭圆的位置关系 17．已知过原点的所有直线都与椭圆有两个不同的交点，那么实数k的取值范围是（    ） A．或 B． C．或 D． 【答案】C 【详解】椭圆的方可化为① 一方面，由原方程表示椭圆，知，且，于是，. 另一方面，由已知条件知原点在椭圆内部，于是，解得. 综上可得或. 故选：C 18．若不等式的解集为，则的值是（    ） A．5 B． C．6 D．7 【答案】C 【分析】将转化为点与点，距离的和为，求出以，为焦点，长轴长为的椭圆方程，则点不能在椭圆外，进而可得的范围，则的值可求. 【详解】令， 则的值为平面直角坐标系中点与点，距离的和 若，即点与点，距离的和为， 则点为以，为焦点，长轴长为的椭圆与轴的交点， 设以，为焦点，长轴长为的椭圆方程为， 则，，， 故椭圆方程为，如图： 令，解得，即， 椭圆内的点到，的距离和小于，椭圆外的点到，的距离和大于， 所以点不能在椭圆外，即点在线段上， 所以， 即， 所以. 故选：C. 19．若点在焦点在轴上的椭圆内部，则的取值范围是 ． 【答案】 【详解】因为椭圆的焦点在轴上，则， 又因为点在椭圆内部，则，解得， 所以的取值范围是． 故答案为：. 20．设、分别是椭圆的左、右焦点，在椭圆上满足的点的个数为 ． 【答案】 【详解】在椭圆中，，，则， 若，易知原点为的中点，则， 所以，点在以原点为圆心，半径为的圆上，即点在圆上， 联立，可得，即点或， 即满足条件的点的个数为. 故答案为：. 题型五：直线与椭圆的位置关系 21．已知椭圆的焦点坐标分别为和，长轴长为4，则直线与椭圆的交点个数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．无法确定 【答案】B 【详解】由题，长轴长为，所以， 由焦点可得，所以， 因为焦点在轴上，所以椭圆方程为， 联立，消去得，, 得，所以直线与椭圆有1个交点. 故选：B 22．已知直线与曲线有两个公共点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由，得，即， 所以为椭圆的右半部分． 当时，直线与有两个公共点； 当时，直线，令， 将代入，得， 则，得，则． 由图可知，所以． 综上，的取值范围是． 故选：D. 23．已知椭圆，直线，则直线与椭圆的公共点有 个. 【答案】2 【详解】直线 过定点 , ，即定点在椭圆内， 则直线 与椭圆 C 的公共点有两个. 故答案为：2. 24．判断下列三个命题是否正确？ （1）点在椭圆上；( ) （2）直线与椭圆相交；( ) （3）若直线与椭圆相切，则( ) 【答案】 错误 正确 正确 【详解】（1）将点的坐标代入椭圆方程可得，故点P在椭圆外，故（1）错误． （2）直线l的方程可变形为，恒过点．因为点在椭圆内，所以直线l与椭圆相交，故（2）正确． （3）由消去y，得，由题可得 ， 得，故（3）正确． 题型六：弦长问题 25．已知直线与椭圆相交于，两点． (1)求的中点坐标； (2)求． 【答案】(1) (2) （2）结合（1）中结果，利用两点间的距离公式，即可求解. 【详解】（1）设，, 联立，消去得，解得，， 因为点、在直线上，所以，，得到交点，， 所以的中点坐标为. （2）由（1）知，， 所以. 26．已知椭圆及直线． (1)当直线与椭圆有公共点时，求实数m的取值范围； (2)当时，求直线与椭圆相交所得的弦长； (3)求直线被椭圆截得的弦的中点的轨迹方程． 【答案】(1)； (2)； (3)且. 【详解】（1）联立直线与椭圆，可得， 整理得， 由直线与椭圆有公共点，故，可得. （2）由题设及（1），联立直线与椭圆得，则或， 而直线为，当有，当有， 所以弦长为. （3）由（1）有，令直线与椭圆交点为， 所以，则，故中点坐标为， 由，则， 所以弦的中点的轨迹方程为，即且. 27．已知椭圆长轴长为，且椭圆的离心率，其左右焦点分别为，. (1)求椭圆的方程； (2)设斜率为且过的直线与椭圆交于，两点，求. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由题意可知：，则， 因为，所以，得到， 所以椭圆的方程为. （2） ，所以直线， 联立方程组消得到， 设，则，， 所以. 28．已知椭圆，其中离心率为，且过点 (1)求椭圆的标准方程； (2)过点的直线被椭圆截得的弦长为，求直线的方程. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为椭圆，其中离心率为，且过点， 所以，解得， 所以椭圆的标准方程为. （2） 过点的直线斜率不存在时，直线方程为，此时截得的弦长为，不符题意； 当斜率存在时，设直线方程为，即， 联立，得， 设直线与椭圆的交点为， 则，， 则， 解得， 所以直线的方程. 题型七：面积问题 29．已知椭圆的左､右焦点分别为，点在椭圆上，当的面积为2时，等于（    ） A．0 B．1 C．2 D． 【答案】A 【详解】 由题意可得：，则. 设，由题意可得：，解得， 代入方程可得，解得， ∵， ∴. 故选：A. 30．已知动点到直线的距离是它到点距离的倍，记动点的轨迹为． (1)求的方程； (2)若点关于原点对称的点为，为上一点，且为直角三角形，求的面积． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）设点的坐标为， 因为动点到直线的距离是它到点距离的倍， 所以， 化简得， 故的方程为． （2）设点的坐标为，已知为直角三角形． ①若，此时， 所以， 所以的面积． ②若，由①同理可得，的面积． ③若，因为，， 所以，， 所以 ， 所以，即此时不符合题意. 综上，的面积为． 31．已知点在椭圆上，椭圆的离心率. (1)求椭圆的方程； (2)若不过点的直线交椭圆于，两点，直线，的斜率分别为，且， ①求证：直线AB经过定点； ②求面积的取值范围（为坐标原点）. 【答案】(1) (2)①证明见解析；② 【详解】（1）由题意得，解得， 所以椭圆的方程为. （2）联立，消元整理得， 时， 设，，则，， 由， 得， 所以， 所以， 化简得，即， 所以或， 当时过点，不合题意，舍去， 所以，即，此时过定点. 此时，所以，设到直线的距离为， 则，， ， 当且仅当时，当时， 所以. 【点睛】方法点睛：本题第二问的第一小问求直线过定点时，需利用韦达定理化简得到与的关系；第二小问求面积范围时，结合基本不等式讨论即可； 32．已知椭圆的离心率为，椭圆上一点到左焦点的距离的最小值为. (1)求椭圆的标准方程； (2)已知直线与椭圆交于、两点，且，求△OMN面积的取值范围. 【答案】(1)； (2). 【详解】（1）依题意，设椭圆的标准方程为，半焦距为， 由椭圆的离心率为，得，则， 设，则，椭圆的左焦点， 则， 当且仅当时取等号，因此，解得， 所以椭圆的标准方程为. （2）当直线不垂直于坐标轴时，直线的斜率存在且不为0，设其方程为， 由消去得，则， 直线，同理， 则△OMN的面积 ，令，， 当直线垂直于坐标轴时，由对称性，不妨令，， 所以△OMN面积的取值范围是. 题型八：中点弦及点差法 33．已知椭圆，过点的直线交于、两点，且是的中点，则直线的斜率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设、，利用点差法可求得直线的斜率. 【详解】若线段轴，则线段的中点在轴上，不合乎题意，所以，直线的斜率存在， 设、，由题意可得，， 则，两式相减可得， 所以，，解得， 因此，直线的斜率为. 故选：A. 34．已知椭圆的右焦点为，过点的直线交椭圆于两点，若的中点坐标为，则椭圆的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设，则，直线的斜率， 把两点代入椭圆方程得：，， 两式作差得： ，即， 又因为，即，解得：， 所以椭圆的标准方程为. 故选：A 35．已知椭圆，一组斜率为1的平行直线与椭圆相交，则这些直线被椭圆截得的线段的中点所在的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设斜率为1的平行直线为与椭圆交于两点, 设，线段中点为, ∴， ∵两点在椭圆上， ∴且， 两式相减得， 即， ∴， ∴，即， 故这些直线被椭圆截得的线段的中点所在的直线方程为. 故选：C. 36．已知，为椭圆上的动点，直线与圆相切，切点恰为线段的中点，则点的横坐标为 ． 【答案】1或3 【详解】设，，， 当直线PQ的斜率存在时，设直线：，则，， 则，两式作差得， 所以， 所以，又因为， 所以， 因为点为直线与圆的切点， 所以，所以， 即点的横坐标为，不合题意； 当直线PQ的斜率不存在时，易得点A的横坐标为1或3. 故答案为：1或3. 题型九：椭圆中的定点、定值、最值问题 37．已知是椭圆的两个焦点，点在上，则的最大值为（   ） A．3 B． C．4 D． 【答案】C 【分析】设点，用焦半径公式代入化简成二次函数，求其最值即得. 【详解】由，可得， 设点，则， 于是 ， 因，故当时，取得最大值为4. 故选：C. 38．（多选）动点分别到两定点，连线的斜率的乘积为，设的轨迹为曲线，，分别为曲线的左、右焦点，则下列说法中正确的是（    ） A．若，则 B．的内切圆的面积的最大值为 C．到直线的最小距离为 D．设，则的最小值为 【答案】ABD 【详解】由已知，， 化简可得， 即，，，，， 如图所示， A选项：设，，则，， 又，则， 即， 即，所以，A选项正确； B选项：设内切圆半径为，则， 又， ， 所以， 又，则， 即内切圆半径的最大值为， 所以内切圆面积的最大值为，B选项正确； C选项：设点，， 则点到直线的距离，其中， 所以当时，取最小值为，C选项错误； D选项：由椭圆定义可知， 又， 所以， 当且仅当点在延长线时取等号， 即的最小值为，D选项正确； 故选：ABD. 39．已知椭圆的离心率为，点是椭圆上一点，过点作斜率之积为的两条直线与椭圆的另一交点分别为． (1)求椭圆的方程； (2)求证：直线恒过定点． 【答案】(1) (2)证明见解析 【详解】（1）由题意知：， 故椭圆的标准方程为：． （2）由题意可知，直线的斜率不为0，故可设直线的方程为： ．联立： 所以 由 即（舍去）或 所以直线的恒过一定点． 【点睛】方法点睛：圆锥曲线中定点问题的两种解法 （1）引进参数法：先引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量，再研究变化的量与参数何时没有关系，找到定点. （2）特殊到一般法：先根据动点或动线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关. 技巧：若直线方程为,则直线过定点; 若直线方程为 (为定值),则直线过定点 40．已知椭圆：过点，离心率为，斜率为的直线与椭圆相交于异于点的，两点，且，均不与轴垂直． (1)求椭圆的方程； (2)若，为椭圆的上顶点，求的面积； (3)记直线，的斜率分别为，，证明：为定值． 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】（1）由题意可得，解出即可得； （2）借助弦长公式计算可得或，再利用点到直线的距离公式计算点到直线的距离后结合面积公式计算即可得； （3）设出直线的方程，与椭圆联立后可得与交点横坐标有关一元二次方程，结合韦达定理表示出并计算即可得. 【详解】（1）根据题意得到，解得， 故椭圆的方程为； （2）因为，解得或， 当时，直线的方程经过点，不符合题意，舍去； 当时，， 点到直线的距离， 故的面积； （3）设，，直线的方程为， 联立方程，得， 由，得， 则，， 因为直线，均不与轴垂直，所以，，则且， 所以 ， 故为定值. 41．已知椭圆：的离心率为，右焦点为，A，B分别为椭圆的左、右顶点. (1)求椭圆的方程； (2)过点作斜率不为0的直线，直线与椭圆交于P，Q两点，直线AP与直线BQ交于点M，记AP的斜率为，BQ的斜率为.求证：点M在定直线上. 【答案】(1) (2)证明见解析 【详解】（1）依题可得，解得：，所以， 即椭圆的方程为． （2）设，，因为直线过点且斜率不为0， 所以可设的方程为，代入椭圆方程得，， 其判别式，所以，. 两式相除得，即． 因为分别为椭圆的左、右顶点，所以点的坐标为， 点的坐标为，所以，． 从而． 设，则，所以直线的方程为：， 直线的方程为，联立可得， 所以直线与直线的交点的坐标为，所以点在定直线上. 题型十：椭圆中向量问题 42．已知椭圆的离心率为，短轴的一个端点与两个焦点构成的三角形的面积为4. (1)求的方程； (2)设直线与交于两点，点，求. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由离心率的定义、椭圆的性质结合题意求出即可； （2）联立直曲方程，解出坐标，再由向量的数量积求出即可； 【详解】（1）由题意， 所以方程为：. （2）联立， 解得或， 所以， 所以. 43．已知直线与椭圆相交于不同的两点. (1)求实数的取值范围； (2)若，其中为坐标原点，求实数的值. 【答案】(1)或 (2)或 【详解】（1）由，消得到， 由题知，整理得到，解得或， 所以实数的取值范围为或. （2）设， 由（1），根据韦达定理得到， 所以， 又，所以，得到， 又，所以， 得到，整理得到，解得或， 所以实数的值为或. 44．已知曲线的左、右焦点分别为、，是曲线上一动点. (1)求的周长； (2)过的直线与曲线交于、两点，且，求直线的方程. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为曲线，该曲线为椭圆，且，，则， 所以，，故的周长为. （2）若直线与轴重合时， 若点为椭圆的左顶点，则、、， 则，，此时，， 若点为椭圆的右顶点，同理可知，. 设直线的方程，设点、， 联立，消去，得， 恒成立， 由韦达定理得：，， 因为，， 所以，则， 从而有，可得，， 即，可得，即， 所以直线的方程为. 45．已知椭圆的一个焦点为，点在椭圆上，过点作一直线交椭圆于、两点，且坐标原点关于点的对称点记为. (1)求椭圆的方程； (2)求面积的最大值； (3)设点为点关于轴的对称点，求证：、、三点共线. 【答案】(1)； (2)； (3)证明见解析. 【详解】（1）根据题意可得，解得，，所以椭圆的方程为. （2）由题可得原点关于点的对称点的坐标为， 显然直线斜率不为零，故设过点的直线的方程为，，， 所以，得， 其中，，， 则， 所以， 令，，则， 所以，当且仅当，即，时取等号， 则直线的方程为时，面积的最大值为. （3）证明：设，则，， 由 ， 所以，与共线，即，，三点共线. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 3.1.2椭圆的简单几何性质 题型一：根据椭圆的标准方程研究其几何性质 1．椭圆与椭圆的（   ） A．长轴长相等 B．短轴长相等 C．离心率相等 D．焦距相等 2．（多选）已知椭圆：，则（    ） A．的焦点在轴上 B．的焦距为10 C．的离心率为 D．的长轴长是短轴长的5倍 3．（多选）已知椭圆，则（   ） A．椭圆的长轴长为10 B．椭圆的一个顶点为 C．椭圆的焦距为8 D．椭圆的离心率为 4．（多选）已知曲线，则（    ） A．的焦点在轴上 B．的短半轴长为 C．的右焦点坐标为 D．的离心率为 题型二：根据椭圆的几何性质求椭圆的标准方程 5．已知焦点在轴上的椭圆的离心率为，焦距为，则该椭圆的方程为（   ） A． B． C． D． 6．分别求满足下列各条件的椭圆的标准方程． (1)已知椭圆的离心率为，短轴长为； (2)椭圆与有相同的焦点，且经过点，求椭圆的标准方程. 7．求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)一个焦点坐标为，离心率； (2)在x轴上的一个焦点与短轴两个端点的连线互相垂直，且焦距为8； (3)求经过点M(1,2)，且与椭圆有相同离心率的椭圆的标准方程． 8．已知圆柱的底面半径为4，与圆柱底面成的平面截这个圆柱得到一个椭圆，则这个椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 题型三：求椭圆的离心率的值（或取值范围） 9．已知，分别是椭圆的左、右焦点，是上一点，若的周长为10，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 10．小明同学某天发现，在阳光的照射下，篮球在地面留下的影子如图所示，设过篮球的中心且与太阳平行光线垂直的平面为，地面所在平面为，篮球与地面的切点为，球心为，球心在地面的影子为点；已知太阳光线与地面的夹角为；如图，为球的一条直径，为在地面的影子，点在线段上，小明经过研究资料发现，当时，篮球的影子为一椭圆，且点为椭圆的焦点，线段为椭圆的长轴，则此时该椭圆的离心率（    ）（用表示）.    A． B． C． D． 11．已知椭圆的左，右焦点分别为，长轴长为4，点在椭圆外，则（   ） A．椭圆的离心率的取值范围是 B．椭圆的离心率的取值范围是 C．椭圆的离心率的取值范围是 D．椭圆的离心率的取值范围是 12．已知为坐标原点，是椭圆的左焦点．若椭圆上存在两点满足，且关于原点对称，则椭圆的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 13．已知椭圆的左、右焦点分别，，是椭圆上一点，直线与轴负半轴交于点，若，且，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 14．已知椭圆的左、右焦点分别为，，过的直线与椭圆交于，两点，若且，则椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 15．如图，焦点在x轴上的椭圆（）的左、右焦点分别为，，P是椭圆上位于第一象限内的一点，且直线与y轴的正半轴交于A点，的内切圆在边上的切点为Q，若，则该椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 16．已知椭圆的左､右焦点到直线的距离之和为，则离心率取值范围是 . 【答案】 题型四：点与椭圆的位置关系 17．已知过原点的所有直线都与椭圆有两个不同的交点，那么实数k的取值范围是（    ） A．或 B． C．或 D． 18．若不等式的解集为，则的值是（    ） A．5 B． C．6 D．7 19．若点在焦点在轴上的椭圆内部，则的取值范围是 ． 20．设、分别是椭圆的左、右焦点，在椭圆上满足的点的个数为 ． 题型五：直线与椭圆的位置关系 21．已知椭圆的焦点坐标分别为和，长轴长为4，则直线与椭圆的交点个数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．无法确定 22．已知直线与曲线有两个公共点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 23．已知椭圆，直线，则直线与椭圆的公共点有 个. 24．判断下列三个命题是否正确？ （1）点在椭圆上；( ) （2）直线与椭圆相交；( ) （3）若直线与椭圆相切，则( ) 题型六：弦长问题 25．已知直线与椭圆相交于，两点． (1)求的中点坐标； (2)求． 26．已知椭圆及直线． (1)当直线与椭圆有公共点时，求实数m的取值范围； (2)当时，求直线与椭圆相交所得的弦长； (3)求直线被椭圆截得的弦的中点的轨迹方程． 27．已知椭圆长轴长为，且椭圆的离心率，其左右焦点分别为，. (1)求椭圆的方程； (2)设斜率为且过的直线与椭圆交于，两点，求. 28．已知椭圆，其中离心率为，且过点 (1)求椭圆的标准方程； (2)过点的直线被椭圆截得的弦长为，求直线的方程. 【答案】(1) (2) 题型七：面积问题 29．已知椭圆的左､右焦点分别为，点在椭圆上，当的面积为2时，等于（    ） A．0 B．1 C．2 D． 30．已知动点到直线的距离是它到点距离的倍，记动点的轨迹为． (1)求的方程； (2)若点关于原点对称的点为，为上一点，且为直角三角形，求的面积． 31．已知点在椭圆上，椭圆的离心率. (1)求椭圆的方程； (2)若不过点的直线交椭圆于，两点，直线，的斜率分别为，且， ①求证：直线AB经过定点； ②求面积的取值范围（为坐标原点）. 32．已知椭圆的离心率为，椭圆上一点到左焦点的距离的最小值为. (1)求椭圆的标准方程； (2)已知直线与椭圆交于、两点，且，求△OMN面积的取值范围. 题型八：中点弦及点差法 33．已知椭圆，过点的直线交于、两点，且是的中点，则直线的斜率为（    ） A． B． C． D． 34．已知椭圆的右焦点为，过点的直线交椭圆于两点，若的中点坐标为，则椭圆的方程为（   ） A． B． C． D． 35．已知椭圆，一组斜率为1的平行直线与椭圆相交，则这些直线被椭圆截得的线段的中点所在的直线方程为（    ） A． B． C． D． 36．已知，为椭圆上的动点，直线与圆相切，切点恰为线段的中点，则点的横坐标为 ． 题型九：椭圆中的定点、定值、最值问题 37．已知是椭圆的两个焦点，点在上，则的最大值为（   ） A．3 B． C．4 D． 38．（多选）动点分别到两定点，连线的斜率的乘积为，设的轨迹为曲线，，分别为曲线的左、右焦点，则下列说法中正确的是（    ） A．若，则 B．的内切圆的面积的最大值为 C．到直线的最小距离为 D．设，则的最小值为 39．已知椭圆的离心率为，点是椭圆上一点，过点作斜率之积为的两条直线与椭圆的另一交点分别为． (1)求椭圆的方程； (2)求证：直线恒过定点． 40．已知椭圆：过点，离心率为，斜率为的直线与椭圆相交于异于点的，两点，且，均不与轴垂直． (1)求椭圆的方程； (2)若，为椭圆的上顶点，求的面积； (3)记直线，的斜率分别为，，证明：为定值． 41．已知椭圆：的离心率为，右焦点为，A，B分别为椭圆的左、右顶点. (1)求椭圆的方程； (2)过点作斜率不为0的直线，直线与椭圆交于P，Q两点，直线AP与直线BQ交于点M，记AP的斜率为，BQ的斜率为.求证：点M在定直线上. 题型十：椭圆中向量问题 42．已知椭圆的离心率为，短轴的一个端点与两个焦点构成的三角形的面积为4. (1)求的方程； (2)设直线与交于两点，点，求. 43．已知直线与椭圆相交于不同的两点. (1)求实数的取值范围； (2)若，其中为坐标原点，求实数的值. 44．已知曲线的左、右焦点分别为、，是曲线上一动点. (1)求的周长； (2)过的直线与曲线交于、两点，且，求直线的方程. 45．已知椭圆的一个焦点为，点在椭圆上，过点作一直线交椭圆于、两点，且坐标原点关于点的对称点记为. (1)求椭圆的方程； (2)求面积的最大值； (3)设点为点关于轴的对称点，求证：、、三点共线. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$