精品解析：新疆维吾尔自治区喀什地区巴楚县2024-2025学年高二上学期10月期中考试数学试题

巴楚县2024-2025学年第一学期期中考试卷 高二数学 考生须知： 1.本试卷满分150分，考试时间120分钟. 2.本卷由试题卷和答题卡两部分组成，其中试题卷共4页，答题卡共4页.要求在答题卡上答题，在试题卷上答题无效. 3.答题前，请先在答题卡上认真填写姓名、准考证号和座位号.要求字体工整、笔迹清楚. 4.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效. 一、单选题：共8小题，每小题5分，共40分 1. 已知向量，，若，则（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】A 【解析】 【分析】由向量平行的充要条件结合向量的坐标列出方程组即可求解. 【详解】因为，且，，所以存在唯一的实数使得， 所以，解方程组得. 故选：A. 2. 图中的直线的斜率分别为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据图像得到直线，，的倾斜角满足，由倾斜角与斜率的关系即可求解. 【详解】设直线，，的倾斜角分别为，，， 由图像可得，由倾斜角与斜率的关系可得， . 故选：D. 3. 三角形的三个顶点为，则的中线的长为（ ） A. 3 B. 5 C. 9 D. 25 【答案】B 【解析】 【分析】求出边的中点坐标，根据两点间的距离公式即可求得答案. 【详解】设边的中点为D，则D点坐标为，即， 故的中线的长为， 故选：B 4. 若直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，则（ ） A. B. C. D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】计算得到结合线面位置关系即得解. 【详解】由题得， 所以. 所以或. 故选：D 5. 三棱锥中，D为BC的中点，E为AD的中点，若，则=（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用给定空间向量的基底，结合空间向量的线性运算表示作答. 【详解】三棱锥中，D为BC的中点，E为AD的中点，且，如图， . 故选：D 6. 经过两条直线和的交点，且垂直于直线的直线的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】联立方程计算交点为，根据直线垂直得到，得到直线方程. 【详解】，解得，故直线交点为， 直线的斜率，故垂直于它的直线斜率， 故所求直线方程为，整理得到. 故选：B 7. 经过的直线l在x轴上的截距的取值范围为，则直线l的斜率k的取值范围为（ ） A. B. C D. 【答案】C 【解析】 【分析】求出端点处的直线l的斜率，从而求出斜率k的取值范围. 【详解】由直线l在x轴上的截距的取值范围为， l过点斜率， l过点的斜率， 故直线l的斜率k的取值范围为. 故选：C 8. 已知直线与圆交于，两点，当取得最小值时，过，分别作的垂线与轴交于，两点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】确定过定点，根据垂直关系得到，得到，，计算得到答案. 【详解】圆，圆心为，半径， ，由得，过定点. 设与轴交于点，当最小时，，，， 则，. 因为，所以. 在中，，在中，， 所以. 故选：C. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知，直线经过第一、二、四象限，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】先将直线方程转化为点斜式直线方程，根据直线所过象限列出关于斜率、纵截距的不等式进行求解即可. 【详解】将直线l方程转化为，因为l经过第一、二、四象限， 所以即，，. 对D，若，则，，满足题意，故D错误. 故选：ABC. 10. 圆和圆的交点为A，B，则（ ） A. 公共弦所在直线方程为 B. 线段的中垂线方程为 C. 公共弦的长为 D. P为圆上一动点，则P到直线的距离的最大值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据两圆方程相减可判断A，根据中点和斜率即可求解B，根据弦长公式即可求解C，根据点到直线的距离公式即可求解D. 【详解】对于A，由与得圆心分别为，，半径为， 则，故两圆相交， 两圆方程作差可得，所以公共弦所在直线方程为，故A正确； 对于B，由选项A可知， 又直线的中垂线经过点， 所以的中垂线方程为，即，故B错误； 对于C，圆心到直线的距离，圆的半径， 所以由弦长公式得，故C正确； 对于D，由C知：圆心到直线的距离为， 圆的半径，则P到直线的距离的最大值为，故D正确. 故选：ACD 11. 已知曲线.（ ） A. 若m>n>0，则C是椭圆，其焦点在y轴上 B. 若m=n>0，则C是圆，其半径为 C. 若mn<0，则C是双曲线，其渐近线方程为 D. 若m=0，n>0，则C是两条直线 【答案】ACD 【解析】 【分析】结合选项进行逐项分析求解，时表示椭圆，时表示圆，时表示双曲线，时表示两条直线. 【详解】对于A，若，则可化为， 因为，所以， 即曲线表示焦点在轴上的椭圆，故A正确； 对于B，若，则可化为， 此时曲线表示圆心在原点，半径为的圆，故B不正确； 对于C，若，则可化为， 此时曲线表示双曲线， 由可得，故C正确； 对于D，若，则可化为， ，此时曲线表示平行于轴的两条直线，故D正确； 故选：ACD. 【点睛】本题主要考查曲线方程的特征，熟知常见曲线方程之间的区别是求解的关键，侧重考查数学运算的核心素养. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12. 在空间直角坐标系中，点关于平面对称的点的坐标为________. 【答案】 【解析】 【分析】由空间坐标关于面对称的特点写出对称点坐标即可. 【详解】点关于平面对称的点的坐标为. 故答案为： 13. 已知平行四边形的三个顶点A（－3，0），B（2，－2），C（5，2），则第四个顶点D的坐标可能是______．（写出一个符合题意的坐标即可） 【答案】（0，4）或（10，0）或（－6，－4） 【解析】 【分析】由平行四边形得直线位置关系后列方程组求解 【详解】设D（x，y）， 若四边形ABCD是平行四边形，则，，所以， 即，解得，此时点D（0，4）． 若四边形ABDC是平行四边形，则，，所以， 即，解得，此时点D（10，0）． 若四边形ADBC是平行四边形，则，，所以， 即，解得，此时点D（－6，－4）． 故答案为：（0，4）或（10，0）或（－6，－4） 14. 如图，在正三棱柱中，，则与所成角的余弦值为______. 【答案】 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，求得相关点坐标，求出向量,的坐标，利用向量的夹角公式即可求得答案. 【详解】以A为原点，在平面内过点作的垂线为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系， 在正三棱柱中，设，则， 则， 故，， 设异面直线与所成角为，则， 所以， 所以异面直线与所成角的余弦值为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 设． （1）若，求k； （2）若，求k． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）由空间向量线性运算的坐标表示求得，再由向量共线的坐标表示求参数； （2）根据向量垂直坐标表示列方程求参数. 【小问1详解】 由题设， 若，则，可得； 【小问2详解】 若，则， 所以. 16. 已知直线经过直线与直线的交点，且垂直于直线． （Ⅰ）求直线的方程． （Ⅱ）求直线与两坐标轴围成的三角形的面积． 【答案】（1）（2）1 【解析】 【详解】（），解得，则点的坐标为． 由于点的坐标是，且所求直线与直线垂直， 可设所求直线的方程为． 将点坐标代入得，解得． 故所求直线的方程为． （）由直线的方程知它在轴，轴上的截距分别是，， 所以直线与两坐标轴围成的三角形的面积． 17. 如图，在长方体中，为线段的中点，为线段的中点． （1）求点到直线的距离； （2）求点到平面的距离． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）以点为坐标原点，建立空间直角坐标系，即可写出，代入即求出点到直线的距离； （2）求出平面的法向量，写出，代入求出点到平面的距离. 【小问1详解】 建立如图所示：空间直角坐标系， 则 所以, 所以点到直线的距离. 【小问2详解】 , 设平面的法向量为：， 则， 取，则， 所以点到平面的距离为. 18. 已知直线经过点，圆. （1）若圆关于直线对称，求直线的方程； （2）若直线平行于直线，求直线关于点的对称直线的方程. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由圆的对称性可知，直线l过圆心，结合直线的斜率公式及点斜式方程即可求得结果. （2）由两直线平行可得直线l的方程，求出点关于点对称的点，由直线l与直线关于点对称可得，再结合直线的点斜式方程求解即可. 【小问1详解】 由可得圆的圆心，半径， 因为圆关于直线l对称，所以直线l过圆心， 又直线l过点，所以直线l斜率为， 由点斜式方程可得，即. 故直线l方程为. 【小问2详解】 由题意知，直线l斜率为，则由点斜式方程可得，即， 因为直线l与直线关于点对称，所以， 又因为点关于点对称的点，直线过点， 则由点斜式方程可得，即. 故直线方程为. 19. 如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面，点分别为的中点． （1）求证：平面； （2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值； 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）取中点为,连接，易证四边形为平行四边形，即可得，由线面平行的判定定理即可得证； （2）建立空间直角坐标系,分别求出平面与平面的法向量，即可计算答案. 【小问1详解】 如图所示：取中点为,连接， 在中，分别为的中点， 所以为的中位线， 所以,, 在正方形中，为中点， 所以,, 所以, 所以四边形为平行四边形， 所以, 又因为：平面，平面, 所以平面. 【小问2详解】 有题意知：两两垂直，建立如图所示：以为坐标原点，为轴，为轴，为轴的空间直角坐标系, 不妨设， 则， 所以， 设平面的法向量为： 则 取，则， 易知平面的一个法向量为： 所以平面与平面所成锐二面角的余弦值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 巴楚县2024-2025学年第一学期期中考试卷 高二数学 考生须知： 1.本试卷满分150分，考试时间120分钟. 2.本卷由试题卷和答题卡两部分组成，其中试题卷共4页，答题卡共4页.要求在答题卡上答题，在试题卷上答题无效. 3.答题前，请先在答题卡上认真填写姓名、准考证号和座位号.要求字体工整、笔迹清楚. 4.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效. 一、单选题：共8小题，每小题5分，共40分 1. 已知向量，，若，则（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 2. 图中的直线的斜率分别为，则（ ） A. B. C. D. 3. 三角形的三个顶点为，则的中线的长为（ ） A. 3 B. 5 C. 9 D. 25 4. 若直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，则（ ） A. B. C. D. 或 5. 三棱锥中，D为BC的中点，E为AD的中点，若，则=（ ） A. B. C. D. 6. 经过两条直线和的交点，且垂直于直线的直线的方程是（ ） A. B. C. D. 7. 经过的直线l在x轴上的截距的取值范围为，则直线l的斜率k的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 已知直线与圆交于，两点，当取得最小值时，过，分别作的垂线与轴交于，两点，则（ ） A B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知，直线经过第一、二、四象限，则（ ） A. B. C. D. 10. 圆和圆的交点为A，B，则（ ） A. 公共弦所在直线方程为 B. 线段的中垂线方程为 C. 公共弦的长为 D. P为圆上一动点，则P到直线的距离的最大值为 11 已知曲线.（ ） A. 若m>n>0，则C是椭圆，其焦点在y轴上 B. 若m=n>0，则C是圆，其半径为 C. 若mn<0，则C双曲线，其渐近线方程为 D. 若m=0，n>0，则C是两条直线 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12. 在空间直角坐标系中，点关于平面对称的点的坐标为________. 13. 已知平行四边形的三个顶点A（－3，0），B（2，－2），C（5，2），则第四个顶点D的坐标可能是______．（写出一个符合题意的坐标即可） 14. 如图，在正三棱柱中，，则与所成角的余弦值为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 设． （1）若，求k； （2）若，求k． 16. 已知直线经过直线与直线的交点，且垂直于直线． （Ⅰ）求直线方程． （Ⅱ）求直线与两坐标轴围成的三角形的面积． 17. 如图，在长方体中，为线段的中点，为线段的中点． （1）求点到直线的距离； （2）求点到平面的距离． 18. 已知直线经过点，圆. （1）若圆关于直线对称，求直线的方程； （2）若直线平行于直线，求直线关于点的对称直线的方程. 19. 如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面，点分别为的中点． （1）求证：平面； （2）求平面与平面所成锐二面角余弦值； 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$