2.3 整式的概念（第2课时 合并同类项）（教学课件）-2024-2025学年七年级数学上册考试满分全攻略同步备课备考系列（湘教版2024）

湘教版（2024）七年级数学上册 第二章 代数式 2.3.2 合并同类项 2.3 整式的概念 目录/CONTENTS 新知探究 情景导入 学习目标 课堂反馈 分层练习 课堂小结 学习目标 1. 理解同类项的概念，掌握合并同类项的法则，能进行同类项的合并. 2. 知道什么是多项式相等，能对多项式按某一字母进行降幂或升幂排列. 3. 通过对合并同类项的探究，让学生学习类比的数学思想方法，发展学生的探究能力，培养独立思考和合作交流的能力. 情景导入 生活中的分类 思考：分类的标准是什么呢？ 新知探究 在多项式 x4-3x2y+5x3+7x2y+4 中，项-3x2y与7x2y中含有的字母相同吗？相同字母的指数也相同吗？ 这两项都只含有相同的字母 x，y， 且x的指数都是2，y的指数都是1. 由此受到启发，引出下述概念： 把所含字母相同并且相同字母的指数也相同的单项式称为同类项. 新知探究 x4－3x2y＋5x3＋7x2y＋4. ＝x4－3x2y＋7x2y＋5x3＋4 ＝x4＋(－3x2y＋7x2y)＋5x3＋4 ＝x4＋(－3＋7) x2y＋5x3＋4 ＝x4＋4x2y＋5x3＋4. 加法交换律 加法结合律 在多项式x4－3x2y＋5x3＋7x2y＋4.中， －3x2y与7x2y是同类项. 从数的加法满足交换律和结合律，数的乘法满足对加法的分配律受到启发，可得 概念归纳 一般地，在多项式中，要把同类项的系数相加合并成一项，这叫作合并同类项. 把所含字母相同并且相同字母的指数也相同的单项式称为同类项. 课本例题 例2 把下列多项式合并同类项： (1) 2x3－9x3＋x2－7； 解 (1) 2x3－9x3＋x2－7 ＝ (2－9)x3＋x2－7 ＝－7x3＋x2－7 (2) －3x2y2＋5xy3－7x2y2－8xy3－10； (2) －3x2y2＋5xy3－7x2y2－8xy3－10 ＝(－3－7)x2y2＋(5－8)xy3－10 ＝－10x2y2－3xy3－10. 像例2这样，在多项式中，先把同类项在底下画线标出，对于不同的同类项，分别用不同的线，然后再合并同类项，合并完后，多项式的次数和项数分别是几，则称此多项式为几次几项式 . 例如，称（1）的结果为三次三项式，称（2）的结果为四次三项式. 在把多项式合并同类项后，一般要把它的各项按照一定的次序排列：把只含一个字母的多项式的各项按照该字母的指数由大到小（或由小到大） 排列，称为降幂（或升幂）排列. 例如，-x4+5x3-3x2-7x+12是降幂排列，12-7x-3x2+5x3-x4是升幂排列. 习惯上，把只含一个字母的多项式按降幂排列；把含有多个字母的多项式 按照其中某个字母进行降幂排列 例如，3x4y -5x3y2+7x2y4 -xy3+xy+y2-13是按x降幂排列 课本例题 例3 写出下列多项式的次数和常数项，并指出它们是不是按 x 降幂排列，对于不是按 x 降幂排列的多项式，试着按 x 进行降幂排列： (2) 5x2y4－2x3y2＋6xy3－7y－19. 解 (1) 的次数是 5，常数项是 10， 且是按 x 降幂排列. (2) 5x2y4－2x3y2＋6xy3－7y－19 的次数是 6，常数项是－19， 它不是按 x 降幂排列， 按 x 降幂排列应为 －2x3y2＋5x2y4＋6xy3－7y－19. 说一说 分别将多项式 x3-4x2+7x2-2x-5 与多项式x3+3x2-6x+4x-5 合并同类项，你会发现什么? 分别将两个多项式合并同类项后，均等于x3+3x2-2x-5 . 两个多项式分别合并同类项后，如果它们的对应项系数都相等，那么称这两个多项式相等. 例如，若多项式ax2+ bxy2-cy与多项式dx2- exy2相等，其中a，b，c，d ，e均为常数，则 a=d， b=-e，-c=0. 课堂练习 1.找出下面的同类项： 2x3， xy2， -5x， -7xy2， 3x， -4x3. 0.， 2x3与-4x3是同类项； xy2与-7xy2是同类项； -5x与3x是同类项； 与0.是同类项. 2.把下列多项式合并同类项，并指出它们分别是几次几项式. (1) 6x4-5x4+7x2-3x4+8； (2) 8x4y-5x3y-6x4y+2x3y+ 9xy-11. 解：(1) 6x4-5x4+7x2-3x4+8 =-2x4+7x2+8 四次三项式 (2) 8x4y-5x3y-6x4y+2x3y+ 9xy-11. =2x4y-3x3y+ 9xy-11 五次四项式 3.指出下列多项式是不是按 x 降幂排列，对于不是按 x 降幂排列的多项式，按 x 进行降幂排列： (1) x4-3x2+5x-1； (2) x2y3-5x3y+7xy2-6y2-23； (3) 3xy4-4x4-7x3+6x2-5x+2y-7. 是 不是 不是 (2) -5x3y+x2y3+7xy2-6y2-23 (3) -4x4-7x3+6x2+3xy4-5x+2y-7 4.已知下列两个多项式相等，求常数a，b的值. x3 – 5x2+3x2 – 7x+2， x3+ax2+bx+2 . x3 – 5x2+3x2 – 7x+2 = x3 – 2x2 – 7x+2 = x3+ ax2+ bx+2 解： 所以 a= – 2，b= – 7 习题 2.3 1 下列说法 中错误的是( ) (A) x2y的系数是 (B) 0是单项式 (C) xy的次数是1 (D) -x是一次单项式 C 2 (多选题)下列语句中正确的有( ) (A) 数字1的次数是0 (B) 单项式 -x 的系数与次数都是1 (C) xy是二次单项式 (D) 的系数是 ACD 3.分别写出下列多项式的次数和常数项，并指出是几次几项式. （1）2x－1； （2）x5+x4+x3+x2+x+1； （3）4x2－3xy+5y2－2x+6y－1. （4）x4 + 4x3y+6x2y2+4xy3+y4. 解：（1）次数是1，常数项是－1，一次二项式. （2）次数是5，常数项是1，五次六项式. （3）次数是2，常数项是－1，二次六项式. （4）次数是4，常数项是0，四次五项式. 4.下列各组中的两项是不是同类项?若不是，说明理由. (1) xy与2xz; (2) 3xy与－2yx; (3) x2yz与xy2z; (4) －8xy2与xy2 (5) －0.3 与 8. 解：(1)不是同类项，所含字母不相同. (2)是同类项. (3)不是同类项，x，y的次数均不同. (4)是同类项. (5)是同类项. 5把下列多项式合并同类项，并指出是几次几项式. (1) 8x3+ 5x3+ 3x2－4x3+ 1; (2) 2y4 + 4y3－5y4+ 3y2－6y3+4; (3) 3x5y2－2x3y2+ 5x2y+ 7x3y2－x2y+ xy. 解：(1)9x3 +3x2+1，三次三项式. (2)－3y4－2y3 +3y2 +4，四次四项式. (3) 3x5y2 +5x3y2 +4x2y+xy，七次四项式. 6.若多项式 ax2+2x+3 与 3x2+5x2+bx+3 相等，求常数a, b的值. 解：a=8，b= 2. 7. 若 7axb2与 －a2by 的和为单项式，求 yx 的值. 解：x=3，y=2，所以 yx = 23 = 8. 8.一个多项式有8项，它的项依次为 根据这些项的规律，写出这个多项式． 解： 9.有一列按照一定规律写出的单项式: －2x，4x2，－6x3，8x4，－10x5，··· (1)写出这列单项式中的第6个和第7个； (2)写出这列单项式中的第2026个和第2027个； (3) 写出这列单项式中的第2k个和第(2k十1)个，其中k是正整数. 解： (1) 12x6；－14x7. (2) 4 052x26；－4 054x2227. (3) 4kx2k ；－( 4k+2)x2k+1 分层练习-基础 知识点1　 同类项 1. 下列各式不是同类项的是(　C　) A. － xy 与－ yx B. －2与π C. 4 x2 y 与－2 xy2 D. 5 m2 n 与－3 nm2 【点拨】 　　本题中要注意π是数，不是字母，故－2与π是同类项. C 2. [母题教材P81习题T7] 若4 a2 b2 n＋1与 a｜ m｜ b3的和为单项式，则 m －2 n 的值为(　D　) A. 0 B. 0或4 C. ±4 D. 0或－4 【点拨】 　　由题意得｜ m ｜＝2，2 n ＋1＝3，解得 m ＝±2， n ＝1.当 m ＝2时， m －2 n ＝2－2×1＝0；当 m ＝－2时， m －2 n ＝－2－2×1＝－4. D 知识点2　 合并同类项 3. [2023株洲]计算：3 a2－2 a2＝ ⁠. 4. [2023宜宾]下列计算正确的是(　B　) A. 4 a －2 a ＝2 B. 2 ab ＋3 ba ＝5 ab C. a ＋ a2＝ a3 D. 5 x2 y －3 xy2＝2 xy a2　 B 5. 如果多项式3 x2－7 x2＋ x ＋ k2 x2－5中不含 x2项，则 k 的值为(　D　) A. 2 B. －2 C. 0 D. 2或－2 【点拨】 　　由题意得3－7＋ k2＝0，则 k ＝2或－2. D 6. 合并同类项： (1)－5 x2＋3 x －1＋2 x2－3 x ＋9； 【解】原式＝－5 x2＋2 x2＋3 x －3 x －1＋9 ＝－3 x2＋8. (2)7 a2－2 ab ＋2 a2＋ b2＋3 ab －2 b2. 【解】原式＝7 a2＋2 a2＋ b2－2 b2－2 ab ＋3 ab ＝9 a2－ b2＋ ab . 知识点3　多项式按升降幂排列 7. 填空： (1)把多项式4 x －5 x3＋7－3 x2按字母 x 降幂排列为 ⁠ ⁠； (2)把多项式3 a2 b2－ a3 b －1－ ab3按字母 a 升幂排列 为 ⁠. －5x3 －3 x2＋4 x ＋7　 －1－ ab3＋3 a2 b2－ a3 b 　 8.写出多项式2 x2－8 xy3－ x4 y － y2＋9 x3－5的次数和常数项，并指出它是不是按 x 降幂排列，若不是，请按 x 进行降幂排列. 【解】该多项式的次数是5，常数项是－5，它不是按 x 降 幂排列，按 x 降幂排列应为－ x4 y ＋9 x3＋2 x2－8 xy3－ y2－5. 知识点4　多项式相等 9. 若下列两个多项式相等，则常数 a ＝ ， b ＝ ⁠ ⁠. － x2＋ ax －2， bx2＋7 x －2. 7　 － 10. [母题教材P80练习T4] 已知下列两个多项式相等， 求常数 a ， b ， c 的值. ax2＋3 xy ＋ b ， x2＋ cxy . 【解】因为多项式 ax2＋3 xy ＋ b 与 x2＋ cxy 相等， 所以 ax2＝ x2，3 xy ＝ cxy ， b ＝0. 所以 a ＝ ， b ＝0， c ＝3. 易错点　因交换位置改变了单项式的符号而出错 11. 合并同类项：3 x2－5 x3－4 x2＋ x3－7. 佳佳的计算过程：原式＝－5 x3－ x3－4 x2－3 x2－7＝ －6 x3－7 x2－7. 佳佳的计算过程正确吗？如果不正确，请给出正确的计算过程. 【解】佳佳的计算过程不正确.正确的计算过程： 原式＝－5 x3＋ x3－4 x2＋3 x2－7 ＝(－5＋1) x3＋(－4＋3) x2－7 ＝－4 x3－ x2－7. 分层练习-巩固 利用同类项求字母(式子)的值 12. 如果2 mxay 与－5 nx2 a－3 y 是关于 x ， y 的单项式，且它 们是同类项. (1)求(7 a －22)2 026的值； 【解】因为2 mxay 与－5 nx2 a－3 y 是同类项， 所以2 a －3＝ a ，解得 a ＝3. 所以(7 a －22)2 026＝(－1)2 026＝1. (2)若2 mxay －5 nx2 a－3 y ＝0，且 xy ≠0，求(2 m －5 n )2 025的值. 【解】当 a ＝3时，原式＝2 mx3 y －5 nx3 y ＝0. 因为 xy ≠0，所以2 m －5 n ＝0. 所以(2 m －5 n )2 025＝0. 利用合并同类项化简求值 13. 先化简，再求值： (1) 4 xy －2 xy －(－3 xy )，其中 x ＝2， y ＝－1； 【解】原式＝4 xy －2 xy ＋3 xy ＝5 xy . 当 x ＝2， y ＝－1时，原式＝5×2×(－1)＝－10. (2) 3( x ＋ y )2－7( x － y )－2( x ＋ y )2＋5( x － y )＋2， 其中 x ＝－2， y ＝－3. 【解】原式＝(3－2)( x ＋ y )2＋(5－7)( x － y )＋2 ＝( x ＋ y )2－2( x － y )＋2. 当 x ＝－2， y ＝－3时， 原式＝(－2－3)2－2×[－2－(－3)]＋2 ＝25－2＋2＝25. 14. 若多项式 mx3－2 x2＋4 x －3－3 x3＋6 x2－ nx ＋6化简后不含 x 的三次项和一次项，求出 m ， n 的值，并求出( m － n )2 025的值. 【解】 mx3－2 x2＋4 x －3－3 x3＋6 x2－ nx ＋6 ＝( m －3) x3＋4 x2＋(4－ n ) x ＋3， 因为该多项式化简后不含 x 的三次项和一次项， 所以 m －3＝0，4－ n ＝0. 所以 m ＝3， n ＝4.所以( m － n )2 025＝－1. 分层练习-拓展 利用阅读材料借助竖式合并同类项 15. [新考法·分离系数法]阅读材料： 计算(－3 x3＋5 x2－7)＋(2 x －3＋3 x2)时，可列竖式： 小明认为，整式的加减实际上就是合并同类项，而合并同类项的关键是合并各同类项的系数，因此，可以把上面的竖式简化为： 所以原式＝－3 x3＋8 x2＋2 x －10. 根据材料解答下列问题： 已知 A ＝－2 x －3 x3＋1＋ x4， B ＝2 x3－4 x2＋ x . (1)将 A 按 x 的降幂排列： ⁠； (2)请写出一个多项式 C ： ⁠ ，使其与 B 的和是二次三项式； x4－3 x3－2 x ＋1　 －2 x3＋5 x2＋ x ＋1(答案不唯一)　 (3)请仿照小明的方法计算： A － B . 【解】根据 A 和 B 的系数列竖式为 ， 所以 A － B ＝ x4－5 x3＋4 x2－3 x ＋1. 课堂小结 所含 相同，并且相同字母的 也相同的项叫做同类项；几个 也是同类项 合并同类项 概念 法则 合并同类项后，所得项的系数是合并前各同类项的 的和，且字母连同它的 不变 用整式表示数量关系并合并同类项 字母 指数 应用 把同类项的系数相加合并成 ,叫作合并同类项 在多项式求值时，可以先将多项式中的同类项 ，然后再代入求值，这样可以 计算 常数项 一项 系数 指数 合并 简化 $$