2.3整式的概念 教案 2024-2025学年湘教版七年级数学上册

2.3　整式的概念 第1课时　整式的概念 理解整式的概念. 1.理解单项式的相关概念,并能准确地找出单项式的系数、次数. 2.理解多项式和整式的概念,能准确迅速地确定一个多项式的项数和次数. 3.能用单项式表示具体问题中的数量关系. 4.在经历用字母表示数量关系的过程中,发展学生的符号感. 重点:理解单项式和多项式的概念,并能准确地找出单项式的系数、次数及多项式的项数和次数. 难点:确定一个多项式的项数和次数 教学过程要重点展示概念的形成过程,由学生观察、分析、比较、再归纳、抽象概括,找出相关整式的共同特点,从而归纳出整式的有关概念.整个教学过程要遵照启发式原则,凡是经学生努力探究能找出的知识都交由学生自主完成,培养学生主动学习的兴趣和能力,让学生充分感知整式相关概念的形成过程,这样有助于提升学生用数学解决问题的能力. (一)情境导入 港珠澳大桥是集主桥、海底隧道和人工岛为一体的世界上最长的跨海大桥.一辆汽车从香港口岸行驶到东人工岛的平均速度为96 km/h,在海底隧道和主桥上行驶的平均速度分别为72 km/h和92 km/h.请根据这些数据回答: 汽车在主桥上行驶t h的路程是多少千米? 解:t×92=92 t(km). 观察所列式子包含什么运算,有什么特点. (二)新知初探 探究一:单项式的相关概念 1.用含有字母的式子填空,并观察特点: (1)以8 km/h的平均速度行走t h的路程是　8 t　;  (2)半径为r的圆的面积是　πr2　;  (3)底面是边长为x的正方形,高为y的长方体的体积是　x2y　.  (4)铅笔的单价为x元,圆珠笔的单价是铅笔单价的2.5倍,圆珠笔的单价是　2.5x　元.  问题 上述代数式中含有加减运算吗?只含哪些运算? 解:上述代数式中不含有加减运算,只含数与字母的幂的乘法运算. 小结: (1)由数与字母及其幂的乘积组成的代数式叫作单项式. (2)单项式的系数、次数: 单项式中数与字母相乘,其中这个数叫作单项式的系数; 所有字母的指数的和叫作单项式的次数. 追问1 单独一个数是单项式吗?它的次数是多少呢? 答:单独一个数可看作单项式,并约定一个不为0的数其次数为0. 追问2 单独一个字母是单项式吗?它的系数和次数分别是多少? 答:单独一个字母是单项式,它的系数是1,次数是1. 追问3 单项式书写注意哪些问题? 答:书写单项式时,一般数字写在前面,字母写在后边,字母顺序一般遵循英文字母表顺序. 追问4 ,,-16x哪些是单项式?是单项式的写出其系数和次数. 答:-16x是单项式,其系数是-16,次数是1. 任务一　意图说明 让学生讨论分析归纳出单项式的概念,强调单项式必须为数或字母的乘积,即可以是字母之间相乘,数字之间相乘,数字和字母之间相乘.并且单独的一个数或一个字母也是单项式.紧接着让学生从单项式的结构中分析归纳出单项式的次数和系数的概念,重点强调学生容易出错的地方:单项式的系数包含其前面的符号. 探究二:多项式与整式的相关概念 1.如图所示图形是由一个长方形和一个半圆组成,已知长方形的长为x,宽为y,半圆的直径为y. (1)长方形的面积为　xy　;  (2)半圆的面积为　πy2　;  (3)由长方形和半圆组成的图形的面积为　xy+πy2　.  问题 上述几个式子都是单项式吗?若不是单项式,它有什么共同特点? 解:(1)(2)是单项式(3)不是单项式,它是两个多个单项式相加的形式. 2.(1)买一个篮球需要x元,买一个排球需要y元,买一个足球需要z元,那么买3个篮球、5个排球、2个足球共需要　(3x+5y+2z)　元.  (2)如图(1)所示,三角尺的面积为　ab-πr2　.  (3)如图(2)所示的是一所住宅区的建筑平面图,这所住宅的建筑面积是　(x2+2x+18)　 m2.  问题 上述几个式子分别是几个单项式的和组成?是哪几个单项式?每个单项式的次数是多少?系数是多少? 解:(1)是三个单项式的和,三个单项式分别是3x,5y,2z,其次数分别是1,1,1,系数分别为3,5,2; (2)是两个单项式的和,两个单项式分别是ab、-πr2,次数分别是2,2,系数分别为、-π; (3)是三个单项式的和,三个单项式分别是x2,2x,18,其次数分别是2,1,0,系数为1,2. 小结: (1)几个单项式的和叫作多项式. (2)多项式没有系数的概念,但其每一项均有系数,每一项的系数应包括前面的符号. (3)多项式中不含字母的项次数为0. (4)习惯性把单项式和多项式统称为整式. 追问1 多项式中不含分母的项怎么定义? 答:不含分母的项叫作常数项. 追问2 多项式的次数怎么定义? 答:次数最高的项的次数叫作多项式的次数. 追问3 一个多项式的最高次项一定只有一项吗? 答:一个多项式的最高次项可以不只一项. 任务二　意图说明 1.通过特征的讲述,由学生自己归纳出多项式的相关定义,教师可给予适当的提示及补充. 2.教师介绍多项式的项和次数以及常数项等概念,并让学生比较多项式的次数与单项式的次数的区别与联系,渗透类比的数学思想. 探究三　:例题讲解 1.判断下列各式是否是单项式,如果不是,请简要说明理由;如果是,请指出它的系数与次数. (1)x+1;(2);(3)πr2;(4)-a2b. 解:(1)x+1不是单项式,因为代数式中出现了加法运算. (2)不是单项式,因为代数式中出现了数字与字母的除法运算. (3)πr2是单项式,系数是π,次数是2; (4)-a2b是单项式,系数是-,次数是3. 2.说出下列多项式的项,次数和常数项. (1)2x-3; (2)-x3+7x-4; (3)3x2-5xy+y2-4x+6y-9. 解:(1)2x-3的项是2x,-3,次数是1,常数项是-3; (2)-x3+7x-4的项是-x3,7x,-4,次数是3,常数项是-4; (3)3x2-5xy+y2-4x+6y-9的项是3x2,-5xy,y2,-4x,6y,-9,次数是2,常数项是-9. 任务三　意图说明 1.通过练习帮助学生充分理解单项式的概念、多项式的项和次数. 2.特别提醒学生注意,多项式的项包括前面的符号,多项式的次数应为次数最高项的次数. (三)课堂小结: 1.单项式相关概念 (1)由数与字母及其幂的乘积组成的代数式,单独的一个数也看作单项式. (2)单项式中的数叫作单项式系数,所有字母的指数的和叫作单项式的次数. 2.多项式相关概念 (1)几个单项式的和叫作多项式. (2)多项式中的每个单项式叫作多项式的项,不含字母的项叫作常数项.次数最高的项的次数叫作多项式的次数. 3.整式:单项式和多项式统称整式. 　　本节课主要是学习单项式、多项式的相关概念,学生在学习这些概念的过程中,首先利用现实生活中比较熟悉的例子,通过问题串的方式引导学生一步步完成探究,通过学生对单项式和多项式中概念的理解,重点强调单项式的次数、多项式的次数以及单项式系数、多项式项的系数应包括前面的符号,这是学习中的易错点,整个课堂用问题作引线,学生不断的讨论、思考、交流直到自主解决问题,知识生成很自然,通过变式题,开阔学生的视野,提高学生运用知识的能力,整堂课学生参与率高,目标完成较好. 第2课时　合并同类项 掌握合并同类项的法则. 1.通过具体情境感受合并同类项的必要性,理解合并同类项法则所依据的运算律. 2.理解同类项的概念,掌握合并同类项的法则,并能准确合并同类项. 3.能说出多项式是几次几项式,并对多项式进行降幂(或升幂)排列. 4.经历合并同类项的过程,培养学生分类、化繁为简等数学思想方法. 重点:会判断同类项并能合并同类项. 难点:合并同类项法则的形成过程及应用. 1.从学生已有的知识和经验出发,从实际问题入手,引出合并同类项的概念.通过独立思考、讨论交流等方式归纳出合并同类项的法则,通过例题教学、练习等方式巩固相关知识.教学中应激发学生主动参与的学习动机,培养学生思维的灵活性. 2.充分引导学生观察、分类、找出同类项并正确合并同类项,同时在合并同类项时师生共同总结出“记号分类+括号分组”方法以及合并同类项的三个基本步骤,便于学生积累学习经验. (一)情境导入 周末,你和爸爸妈妈要外出游玩,中午决定在外面用餐,爸爸、妈妈和你各自选了要吃的东西,爸爸选了一个汉堡和一杯可乐,妈妈选了一个汉堡和一个冰激凌,你选了一对蛋挞和一杯可乐,买的时候你该怎么向服务员点餐?可以把具有相同特征的事物归为一类,比如点餐为2个汉堡,2杯可乐,一对蛋挞和一个冰激凌.根据这种方式,在多项式学习中,也可以把具有相同特征的单项式归为一类.这就是我们今天所学习的内容. (二)新知初探 探究一　同类项 1.有八只小白兔,每只小白兔身上都标有一个单项式,你能根据这些单项式的特征将这些小白兔分到不同的房间里吗? 问题1　若将这些小白兔分两个家,你会按什么样的标准来呢? 答:可按照单项式含一个字母是还是含两个字母分,也可以按照单项式系数是正数还是负数分.(答案不唯一) 问题2　若将这些小白兔分三个家,你又会按什么样的标准来呢? 答:可按照单项式的次数是1次、2次、3次分三个家. 问题3　若将这些小白兔分四个家,你可以怎么分? 答:综合单项式中分为所含字母和字母的指数,分为8n与5n、-7a2b与2a2b、3ab2与-ab2、6xy与-3xy共四个家. 问题4　问题3中的这些单项式有含字母相同的吗?相同字母的指数也相同吗? 答:所含字母相同,并且相同的字母指数也相同. 小结:同类项定义 所含字母相同 并且相同字母的指数也相同的单项式. 2.先判断每一组是否是同类项,若不是,则为前者配一个同类项. (1)2x2y与-3x2y;(2)2abc与2ab;(3)-3pq与3qp;(4)-4与5. 解:(1)是.(2)不是.2abc的一个同类项为abc.(3)是.(4)是. [方法归纳] 同类项的“两相同”和“两无关” ①“两相同”:一是所含字母相同,二是相同字母的指数也分别相同.这“两相同”同时也是判断同类项的标准,两者缺一不可. ②“两无关”:一是与系数的大小无关;二是与所含字母的顺序无关. ③两个常数项也是同类项. 探究一　意图说明 通过有趣的提问方式能提高学生的兴趣.首先肯定学生正确的分类方法,并进行有目的地引导,让学生理解什么是同类项,通过练习,进一步巩固同类项的定义,培养学生的语言表达能力及从特殊到一般的归纳能力. 探究二　合并同类项 1.港珠澳大桥是集主桥、海底隧道和人工岛为一体的世界上最长的跨海大桥.一辆汽车从香港口岸行驶到东人工岛的平均速度为96 km/h,在海底隧道和主桥上行驶的平均速度分别为72 km/h和92 km/h. 如果汽车通过海底隧道需要ah,从香港口岸行驶到东人工岛的时间是通过海底隧道时间的1.25倍,你能用含a的代数式表示香港口岸到西人工岛的全长吗? 解:72a+96×1.25a=(72a+120a)km. 思考如何计算72a+120a呢? (1)利用分配律计算. 72×2+120×2=(72+120)×2=(92×2)=384; 72×(-2)+120×(-2)= (72+120)×(-2)=-384. (2)根据(1)中的方法完成下面的运算,并说明其中的道理. 72a+120a=(72+120)×a=192a. 道理:逆用了乘法对加法的分配律,先将系数相加,再与剩余字母相乘,将同类项合并为一项. 2.填空: (1)72a-120a=-48a; (2)3m2+2m2=5m2; (3)3xy2-4xy2=-xy2; 3.找出多项式x4-3x2y+5x3+7x2y+4中的同类项,并把同类项合成一项. 解:x4-3x2y+5x3+7x2y+4中的同类项是-3x2y与7x2y两项, 所以x4-3x2y+5x3+7x2y+4 =x4-3x2y+7x2y+5x3+4 =x4+(-3x2y+7x2y)+5x3+4 =x4+(-3+7)x2y+5x3+4 =x4+4x2y+5x3+4. 问题1　上述运算过程中,运用了什么运算律? 答:运用加法交换律和加法结合律以及逆用乘法对加法的分配律. 问题2　同类项如何合并成一项的?合并过程中字母及字母的指数发生变化吗? 答:把同类项的系数合并成一项,字母及字母的指数不变. 问题3　不是同类项的项能合并吗? 答:不能. 问题4 合并同类项后,多项式共有几项?多项式的次数是几? 答:多项式共有4项,多项式的次数是4. 小结: (1)在多项式中,要把同类项的系数合并成一项,叫作合并同类项; (2)合并同类项字母和字母的指数不变. (3)合并完后多项式的次数和项数分别是几,则称次多项式的几次几项式. 探究二　意图说明 先通过生活情景让学生感觉到合并同类项的必要性,再通过合并一个多项式中的同类项,结合交换律、结合律及乘法分配律,让学生讨论归纳,得出合并同类项的法则. 探究三　多项式的排列及相等多项式 1.问题观察含一个字母的多项式:-x4+5x3-3x2-7x+12,多项式的各项中x的指数是如何变化的? 答:x的指数逐渐变小. 追问　能按照x的指数逐渐变大排列吗?怎样排列? 答:可以,排列为12-7x-3x2+5x3-x4 追问　若多项式中含多个字母时如何排列? 答:可按照某个字母的升幂或降幂排列. 追问　观察多项式3x4y-5x3y2+7x2y4-xy3+xy+y2-13该多项式是按照字母x排列还是按照字母y排列?是升幂还是降幂排列的?你可以按照另外的字母进行降幂排列吗? 答:是按照x的降幂排列的.按y按幂排列为7x2y4-xy3-5x3y2+y2+3x4y+xy-13. 2.分别将多项式x3-4x2+7x2-2x-5与多项式x3+3x2-6x+4x-5合并同类项,合并后你会发现什么问题? 解:x3-4x2+7x2-2x-5=x3+(-4x2+7x2)-2x-5=x3+3x2-2x-5, x3+3x2-6x+4x-5=x3+3x2+(-6x+4x)=x3+3x2-2x-5. 发现: 两个多项式分别合并同类项后,均等于同一个多项式.对应项系数都相等. 小结: 1.多项式的降幂(升幂)排列: 把只含有一个字母的多项式的各项按照字母的指数由大到小(或由小到大)排列,称为降幂(或升幂)排列.把含多个字母的多项式按照其中的某个字母进行降幂排列. 2.两个多项式分别合并同类项后,如果它们的对应系数都相等,那么称这两个多项式相等. 探究三　意图说明 1.通过对多项式的降幂或者升幂排列,可以在复习了交换律的同时,更加深对多项式中项和次数的理解,同时为进行多项式的运算打好基础. 2.根据合并同类项判断两个多项式是不是相等的多项式,同时根据定义可以计算某些字母的值,为以后的多项式中的有关计算打下基础. (三) 例题讲解 1.合并下列各式的同类项: (1)2x3-9x3+x2-7; (2)-3x2y2+5xy3-7x2y2-8xy3-10. 解:(1)2x3-9x3+x2-7=(2-9)x3+x2-7=-7x3+x2-7; (2)-3x2y2+5xy3-7x2y2-8xy3-10.=(-3-7)x2y2+(5-8)xy3-10.=-10x2y2-3xy3-10. 小结:合并同类项的一般步骤: 一找:找出同类项,当项数较多时,通常在同类项的下面做相同的标记; 二移:运用加法交换律、结合律将多项式中的同类项结合; 三合:利用合并同类项法则,合并同类项; 四排:合并后的结果按某一个字母的降幂(或升幂)排列. 2.写出下列多项式的次数和常数项,并指出它们是不是按x降幂排列, 对于不是按x降幂排列的多项式,试着按x进行降幂排列: (1)-x5+x4-7x3-x+10; (2)5x2y4-2x3y2+6xy3-7x-19. 解:(1)-x5+x4-7x3-x+10次数是5,常数项是10,且是按x降幂排列. (2)5x2y4-2x3y2+6xy3-7x-19的次数是6,常数项是-19,它不是按x降幂排列,按x降幂排列应为-2x3y2+5x2y4+6xy3-7x-19. 3.若多项式ax2+2x+3与3x2+5x2+bx+3相等,求常数a、b的值. 解:3x2+5x2+bx+3=(3+5)x2+bx+3=8x2+bx+3. 根据多项式ax2+2x+3与3x2+5x2+bx+3相等得:a=8,b=2. 探究四　意图说明 通过对例题的解决,让学生从观察和探究中发现规律,教师加以引导与启发,并鼓励学生自己归纳与总结合并同类项的步骤,根据对多项式的排列及利用相等多项式概念求字母的取值,提高学生的运算能力、应用能力和归纳总结能力. (四)课堂小结 1.同类项: 所含字母相同并且相同的字母指数也分别相同的单项式. 2.合并同类项 把同类项的系数相加合并成一项,字母和字母的指数不变. 3.多项式的降幂(升幂)排列: 把只含有一个字母的多项式的各项按照字母的指数由大到小(或由小到大)排列,称为降幂(或升幂)排列.把含多个字母的多项式按照其中的某个字母进行降幂排列. 4.多项式相等:两个多项式分别合并同类项后,如果它们的对应系数都相等,那么称这两个多项式相等. 　　　　这节课运用新课标的理念,按照创设情境-自主探究-交流归纳-应用拓展的基本模式展开教学,合并同类项是整式加减的基础,首先设计一个有趣的游戏“小白兔分房间”让同学们认识同类项,紧接着通过求港珠澳大桥的长度及合并多项式中的同类项,总结合并同类项的方法,再利用问题串的方式解决多项式的降幂或升幂排列等知识,教学设计环环相扣,学生顺利完成本节课的学习任务,通过本节课的教学,让学生进一步体会数学来源于生活,又作用于生活。但也存在着不足,即学生板演的机会少,有待改进。 学科网（北京）股份有限公司 $$