第3章勾股定理 勾股定理的实际应用练习2024-2025学年苏科版数学八年级上册

苏科版八年级勾股定理的实际应用 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、解答题 1．剪纸面塑、年画风筝、中医问诊、美食扎堆……在开封市“欢乐周末·非遗市集”活动现场，诸多非遗项目集中亮相，让过往游客市民看花了眼、“迷”住了心．小明买了一个年画风筝，并进行了试放，为了解决一些问题，他设计了如下的方案：先测得放飞点与风筝的水平距离为；根据手中余线长度，计算出的长度为；牵线放风筝的手到地面的距离为．已知点在同一平面内．        (1)求风筝离地面的垂直高度； (2)在余线仅剩的情况下，若想要风筝沿射线方向再上升，请问能否成功？ 2．《中华人民共和国道路交通安全法》规定：小汽车在城市街道上的行驶速度不得超过70千米/时．如图，一辆小汽车在一条城市街道上沿直道行驶，某一时刻刚好行驶到车速检测仪A的正前方90米处的B点，过了8秒后，测得小汽车所在的C点与车速检测仪A之间的距离为150米．试判断这辆小汽车是否超速，并说明理由． 3．如图，长方体的底面边长分别为和，高为．若一只蚂蚁从P点开始经过4个侧面爬行一圈到达Q点，则蚂蚁爬行的最短路径长为多少？画出侧面展开图，并解答． 4．如图1，一架云梯斜靠在一面竖直的墙上，云梯的长为25米，云梯顶端离地面15米． (1)这架云梯的底端离墙面有多远？ (2)如图2，如果梯子的顶端下滑了8米，那么梯子的底端向右滑动了多少米？ 5．观察图，每个小正方形的边长均为1． (1)【理解】图中阴影部分（正方形）的面积是______，边长是______． (2)【作图】请你在数轴上，利用尺规作图的方法表示出点的位置． (3)【识图】过数轴的原点O作垂线l，以点A为圆心，为半径画弧，交l于点C，以O为圆心，为半径画弧，交数轴于点D，则点D表示的数为______． 6．综合实践 【问题情境】某消防队在一次应急演练中，消防员架起一架长的云梯，如图，云梯斜靠在一面墙上，这时云梯底端距墙脚的距离． (1)【独立思考】这架云梯顶端距地面的距离有多高？ (2)【深入探究】消防员接到命令，按要求将云梯从顶端A下滑到位置上（云梯长度不改变），，那么梯子的底端下滑的距离是多少米？ (3)【问题解决】在演练中，高的墙头有求救声，消防员需调整云梯去救援被困人员，经验表明，云梯靠墙摆放时，如果云梯底端离墙的距离不小于云梯长度的，则云梯和消防员相对安全．在相对安全的前提下，云梯的顶端能否到达高的墙头去救援被困人员？ 7．据我国古代《周髀算经》记载，公元前1120年商高对周公说，将一根直尺折成一个直角，两端连接得到一个直角三角形，如果勾是三，股是四，那么弦就等于五．后人概括为“勾三、股四、弦五”． (1)观察：3，4，5；5，12，13；7，24，25；…，小明发现这些勾股数的勾都是奇数，且从3起就没有间断过，当勾时，股，弦；当勾时，股，弦； 请根据发现的规律写出7，24，25股和弦的算式． (2)请你根据（1）发现的规律用n（n为奇数且）的代数式来表示所有这些勾股数的勾______、股______、弦_______，猜想他们之间的相等关系，并对你的猜想加以证明； (3)继续观察4，3，5；6，8，10；8，15，17；…，可以发现各组的第一个数都是偶数，且从4起也没有间断过．请你直接用m（m为偶数且）的代数式来表示他们的股和弦． 8．如图，一架长的梯子，斜靠在竖直的墙上，这时梯子的底部B到墙底端C的距离为． (1)这个梯子的顶端距地面有多高？ (2)马小虎说“如果梯子的底部B在水平方向滑动了至D，那么梯子的顶端A也沿墙垂直下滑了”．你同意吗？请说明理由． 9．勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．千百年来，人们对它的证明趋之若鹜，其中有著名的数学家也有业余数学爱好者．向常春在1994年构造发现了一个新的证法．证法如下： 把两个全等的直角三角形（如图1放置，，点在边上，现设两直角边长分别为、，斜边长为，请用分别表示出梯形、四边形、的面积，再探究这三个图形面积之间的关系，可得到勾股定理， (1)请根据上述图形的面积关系证明勾股定理； (2)如图2，铁路上两点（看作直线上的两点）相距千米，为两个村庄（看作直线上的两点），，，垂足分别为，千米，千米，则两个村庄的距离为______千米． (3)在（2）的背景下，若千米，千米，千米，要在上建造一个供应站，使得，请在图2中作出点的位置并求出的距离． (4)借助上面的思考过程，当时，直接写出代数式的最小值． 10．【问题背景】 著名的赵爽弦图（如图①，其中四个直角三角形较大的直角边长都为a，较小的直角边长都为b，斜边长都为c，大正方形的面积可以表示为，也可以表示为，由此推导出重要的勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为a，b，斜边长为c，则． 【探索求证】 （1）图②为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，与按如图所示位置放置，连接，其中，请你利用图②推导勾股定理； 【问题解决】 （2）如图③，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，其中，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H（A、H、B在同一条直线上），并新修一条路，且．测得千米，千米，求新路比原路少多少千米？ 【延伸扩展】 （3）在第（2）向中若时，，，，，设，求的值． 11．现有如图1的8张大小形状相同的直角三角形纸片，三边长分别是a、b、c用其中4张纸片拼成如图2的大正方形（空白部分是边长分别为a和b的正方形）；用另外4张纸片拼成如图3的大正方形（中间的空白部分是边长为c的正方形） (1)观察：从整体看，整个图形的面积等于各部分面积的和所以图2和图3的大正方形的面积都可以表示为，记为结论①：图2中的大正方形的面积又可以用含字母a、b的代数式表示为：_________________记为结论②；图3中的大正方形的面积又可以用含字母a、b、c的代数式表示为：____________记为结论③： (2)思考：结合结论①和结论②，可以得到一个等式到一个等式__________________，结合结论②和结论③，可以得到一个等式_________________； (3)应用：若分别以直角三角形三边为直径，向外作半圆（如图4）三个半圆的面积分别记作，，，且，求的值． 12．《中华人民共和国道路交通安全法》规定：小汽车在高速道路上行驶速度不得超过高速路边也会安装车速检测仪对过往车辆进行限速检测，如图所示，点装有一车速检测仪，它到公路边的距离米，小汽车行驶过检测仪监控区域，到达点时开始计时，离开点时停止计时，依此计算车速，已知米． (1)若一辆汽车以时速匀速通过监控区域，共用时几秒 (2)若另一辆车通过监控区域共用时秒，该车是否超速请说明理由． 13．如图，四边形为某工厂的平面图，经测量，，且． (1)求的度数； (2)若直线为工厂的车辆进出口道路（道路的宽度忽略不计），工作人员想要在点处安装一个摄像头观察车辆进出工厂的情况，已知摄像头能监控的最远距离为，通过计算说明道路被监控到的最大范围为多少米． 14．如图，的三个顶点坐标分别为，，． (1)作出关于y轴对称的图形． (2)求的面积； (3)在x轴上找一点P，使得 最小，请直接写出点 P 的坐标． 15．如图（1），是两个全等的直角三角形（直角边分别为a，b，斜边为c）．用这样的两个三角形构造成如图（2）的图形，利用这个图形，证明：a2+b2=c2．    16．如图在平静的湖面上，有一支红莲，高出水面的部分为1米，一阵风吹来，红莲被吹到一边，花朵齐及水面（即），已知红莲移动的水平距离为3米，则湖水深为多少？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 1．(1) (2)不能成功，理由见详解 【分析】本题主要考查勾股定理的运用， （1）作，在中，根据勾股定理即可求解； （2）假设能上升，作图，根据勾股定理可得，再根据题意，，所以不能． 【详解】（1）解：如图所示，过点作于点，则，，，    ∴在中，， ∴； （2）解：不能成功，理由如下， 假设能上升，如图所示，延长至点，连接，则，    ∴， 在中，， ∵，余线仅剩， ∴， ∴不能上升，即不能成功． 2．没有超速，见解析 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，解题的关键是熟练掌握勾股定理，在一个直角三角形中，两条直角边分别为a、b，斜边为c，那么．根据勾股定理求出，然后求出求出速度，再进行比较即可． 【详解】解：这辆小汽车没有超速．理由如下： 在中，米，米， 由勾股定理得（米）， （米/秒）（千米/时）． 因为， 所以这辆小汽车没有超速． 3．图见解析，蚂蚁爬行的最短路径长为． 【分析】本题考查的是勾股定理的应用．先得到长方体侧面展开图，再利用勾股定理计算即可． 【详解】解：长方体侧面展开图如图所示． 由题意，得，． 在中，， ∴蚂蚁爬行的最短路径长为． 4．(1)这架云梯的底端离墙面有20米； (2)梯子的底端向右滑动了4米． 【分析】此题考查了勾股定理的应用， （1）根据勾股定理求解即可； （2）首先求出（米），然后根据勾股定理求出（米），进而求解即可． 【详解】（1）解：∵米，米，， ∴（米）， ∴这架云梯的底端离墙面有20米； （2）解：∵梯子的顶端下滑了8米， ∴米， ∴（米）， ∵梯子长度不变 ∴米， ∴（米）， ∴（米）． ∴梯子的底端向右滑动了4米． 5．(1) (2)作图见详解 (3) 【分析】本题主要考查数轴由实数的对应关系，勾股定理的运用， （1）根据格点的特点计算面积，根据求一个数的算术平方根计算正方形的边长； （2）运用勾股定理，即可求解； （3）根据题意可的，由勾股定理可得，由此即可求解． 【详解】（1）解：， ∴阴影部分的边长为， 故答案为：； （2）解：∵， ∴作图如下， ，， ∴， 以点O为圆心，为半径画弧交数轴于点， ∴点表示的数是； （3）解：点表示的数为，点表示的数为， ∴， ∴， ∴点D表示的数为， 故答案为：． 6．(1) (2) (3)能，理由见详解 【分析】本题主要考查勾股定理的运用， （1）根据勾股定理即可求解； （2）根据题意，运用勾股定理可得，根据即可求解； （3）根据题意可得相对安全的距离为不小于，运用勾股定理可得高的墙头处墙角与云梯底端的距离，进行比较即可求解． 【详解】（1）解：根据题意，， ∴这架云梯顶端距地面的距离的高为； （2）解：，， ∴， ∴； （3）解：能，理由如下， 云梯底端离墙的距离不小于云梯长度的，则云梯和消防员相对安全， ∴相对安全的距离为不小于， ∵高的墙头有求救声，云梯的长为， ∴， ∴云梯的顶端能到达高的墙头去救援被困人员． 7．(1)股的算式为：；弦的算式为： (2)，，；证明见解析 (3)股表示为：；弦为： 【分析】本题主要考查勾股定理的应用及新定义的计算方法与规律，理解题意，通过计算发现规律是解题关键． （1）先计算，然后根据计算找出相应规律求解即可； （2）依据（1）中的计算结果得出勾股弦的代数式，然后猜想关系证明即可； （3）根据（1）（2）中的方法先计算股、弦，然后找出规律得出表达式即可． 【详解】（1），；，； ，24，25的股的算式为：； 弦的算式为：； （2）当为奇数且时，勾、股、弦的代数式分别为：，，， 猜想他们之间的关系为：①弦股；②勾股弦； 证明：①弦股； ②勾股弦； 故答案为：，，； （3）4，3，5的股、弦表示为：，； 6，8，10的股、弦表示为：，； 为勾，股表示为：；弦为：． 8．(1)这个梯子的顶端距离地面； (2)不同意，理由见解析 【分析】本题考查了勾股定理的应用； （1）利用勾股定理求出即可； （2）根据勾股定理求出，得到即可． 【详解】（1）解：根据题意可知，，， 在中，， ， ∴， 答：这个梯子的顶端距离地面； （2）解：不同意，理由如下： 由题意得，，， 在中，， ， ∴， ∴， 所以梯子的顶端A下滑了，不是． 9．(1)证明过程见详解 (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查勾股定理的证明，勾股定理与最短路径的计算方法， （1）根据全等三角形的性质可得，则，分别用含的式子，结合图形表示出梯形、四边形、的面积，根据，代入计算即可求解； （2）如图所示，连接，作于点，可得，的长，在中，运用勾股定理可得，由此即可求解； （3）如图所示，设，则，运用勾股定理可得，，再根据，代入计算即可求解； （4）将代数式变形得，，结合（3）中的计算方法，令，则，可得，即为两直角三角形斜边的和，由此作图分析，作点关于的对称点，连接交于点，则，此时的值最小，在中，运用勾股定理即可求解的值，由此即可求解． 【详解】（1）解：根据题意，， ∴，则， ∴，，， ∵， ∴，整理得，； （2）解：如图所示，连接，作于点， ∵，， ∴， ∴， ∴在中，， 故答案为：； （3）解：如图所示，设，则， ∵，， ∴，， ∵， ∴， 两边同时平方得，， 解得，， ∴； （4）解：，， 根据上述计算方法，令， ∴，即两条直角三角形斜边的和， 令，则， ∴， ∴， 如图所示，，，，，则，作点关于的对称点，连接交于点，则，此时的值最小，即代数式的值最小， 过点作，交延长线于点， ∴， ∵对称， ∴， ∴， 在中，， ∴代数式的最小值为． 10．（1）见解析；（2）新路比原路少5千米；（3） 【分析】此题主要考查了勾股定理的证明与应用： （1）梯形的面积可以由梯形的面积公式求出，也可利用三个直角三角形面积求出，两次求出的面积相等列出关系式，化简即可得证； （2）设千米，则千米，根据勾股定理列方程，解得即可得到结果； （3）在和中，由勾股定理得求出，列出方程求解即可得到结果． 【详解】解：（1）， ， ∴， 即； （2）设千米，则千米， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， 即千米， ∴（千米）， ∴新路比原路少5千米； （3）设，则， 在中，由勾股定理得， 在中，由勾股定理得， ∴， 即， 解得：． 11．(1)， (2)， (3) 【分析】本题考查完全平方公式的几何表示形式，勾股定理几何意义，圆面积公式，解题的关键在于利用数形结合的思想解决问题． （1）根据图形分别表示出图2中的大正方形的面积和图3中的大正方形的面积即可； （2）根据结论进行等量代换，即可解题； （3）根据图形和圆的面积公式分别表示出，，，再根据建立等式，结合求解，即可解题． 【详解】（1）解：由图知，图2中的大正方形的面积又可以用含字母a、b的代数式表示为： ， 图3中的大正方形的面积又可以用含字母a、b、c的代数式表示为： ， 故答案为：，． （2）解：结合结论①和结论②，可以得到一个等式到一个等式：； ，即， 所以结合结论②和结论③，可以得到一个等式：； 故答案为：，； （3）解：由图知， ，， ， ， ， ， ， 解得． 12．(1) (2)超速，理由见解析 【分析】本题考查勾股定理的应用： （1）勾股定理求出的长，利用时间等于路程除以速度进行求解即可； （2）利用速度等于路程除以时间求出车速，进行判断即可． 【详解】（1）解：依题意可得，， ，为直角三角形， 米，米， 米， ， ； 答：共用时4秒； （2）超速，理由如下： ， ， 超速． 13．(1)； (2)被监控到的道路长度为． 【分析】本题考查了勾股定理的应用、勾股定理的逆定理、轴对称的性质以及等腰直角三角形的判定与性质等知识，熟练掌握勾股定理和勾股定理的逆定理是解题的关键． （1）根据等腰直角三角形的性质得出，进而利用勾股定理逆定理解答即可； （2）根据轴对称的性质和勾股定理解答即可． 【详解】（1）解：连接， ， 是等腰直角三角形， ，， ， 在中，， 是直角三角形， ， ； （2）解：过点作于，作点关于的对称点，连接， 由轴对称的性质，得：，， 由（1）知，， ， 是等腰直角三角形， ， ， 被监控到的道路长度为． 14．(1)见解析 (2)3 (3) 【分析】本题考查了作图轴对称变换，找到x轴、y轴，即可找到对称点，要注意点的坐标相对应． （1）找到A、B、C关于y轴的对称点即可； （2）利用三角形面积公式求解即可； （3）作B点关于x轴对称的对称点，连接，与x轴交点即为P． 【详解】（1）如图所示，即为所求； （2）的面积； （3）如图所示，点P即为所求； ∴． 15．见解析 【分析】图（2）的面积由直接求与间接求两种方法求出，两者相等整理即可得证． 【详解】证明：由图（2）可得：， 整理得：， 整理得：a2+b2=c2． 【点睛】此题考查了勾股定理的证明，用数形结合来证明勾股定理，锻炼了同学们的数形结合的思想方法． 16．米． 【分析】此题主要考查了勾股定理的应用，正确得出方程是解题关键．直接利用勾股定理得出，进而求出答案． 【详解】解：设为米， ∵在中，，，， ∴由勾股定理得：， 即， 解得：， ∴湖水深为米． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$