精品解析：福建省莆田市第二十五中学2025届高三上学期期中考试数学试题

2024-2025学年上学期高三数学期中试卷 命题人：宋水炎 审题人：林建奕 一、单选题（每题5分） 1. 若集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】首先求出集合，再根据交集的定义计算可得. 【详解】由，则， 所以， 又， 所以. 故选：C 2. 函数，的大致图象是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数图像，判断函数为奇函数，，依次排除A，B，D，得到答案. 【详解】由于，故函数为奇函数，排除D选项， ，故排除B选项， 排除A选项， 故选：C. 3. 已知是定义在上的奇函数，且在单调递增，若，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用奇函数性质及其单调性可得，解对数不等式即可求得结果. 【详解】根据奇函数性质可知在上单调递增，且； 因此不等式可化为， 即，解得. 所以的取值范围是. 故选：A 4. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先由条件得到，化弦为切，代入求出答案. 【详解】因为，所以， 所以. 故选：C 5. 函数的最小值为 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 先对函数求导，用导数的方法研究函数的单调性，进而可得出结果. 【详解】因为，所以， 由得；由得； 所以函数在上单调递减，在上单调递增； 此时函数有极小值，也即是最小值为. 故选C 【点睛】本题主要考查导数的应用，利用导数的方法研究函数单调性，以及函数最值即可，属于常考题型. 6. 已知，则 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】. ，且，即. . 所以. 故选C. 7. 已知函数在上单调递减且对任意满足，则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先根据已知得出对称轴,再根据单调性解不等式即可. 【详解】因为,所以的对称轴为, 在单调递减，则在单调递增， 又因为，由对称性可得, 所以, 故选：D. 8. 已知函数，若，且，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数解析式画出函数图象，由可得，因此，构造函数并利用导数求出其在定义域内的值域即可得的取值范围. 【详解】画出函数的图象，令可得当时，满足题意； 如下图所示： 令，解得，由可知； 因此由可得，即； 所以， 令， 则，令，解得， 当时，，可知在上单调递增， 当时，，可知在上单调递减； 因此在处取得极大值，也是最大值，因此； 而，； 又因为，所以，可得， 所以可得，即的取值范围是. 故选：D 【点睛】关键点点睛：一是会画图，会利用函数解析式画出其图象，寻求解题思路； 二是会构造函数，将两函数值相等求自变量的差的取值范围问题，转化为求新构造函数的值域，对新函数求导，判断其单调性从而求得其值域. 二、多选题（每题6分．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分．） 9. 使得“”成立的充分不必要条件可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】CD 【解析】 【分析】 因为判断的是充分不必要条件，所以所选的条件可以推出，且无法推出所选的条件，由此逐项判断即可. 【详解】A．因为不能推出，但可以推出，所以是成立的必要不充分条件，故不满足； B．因为不能推出（例如：），且也不能推出（例如：）， 所以是成立的既不充分也不必要条件，故不满足； C．因为即能推出，且不一定能推出（例如：）， 所以是成立的充分不必要条件，故满足； D．因为函数在上单调递减，所以可以推出，即， 所以可以推出，且不一定能推出（例如：）， 所以是成立的充分不必要条件，故满足， 故选：CD. 【点睛】结论点睛：充分、必要条件的判断，一般可根据如下规则判断： （1）若是的必要不充分条件，则对应集合是对应集合的真子集； （2）若是的充分不必要条件，则对应集合是对应集合的真子集； （3）若是的充分必要条件，则对应集合与对应集合相等； （4）若是的既不充分也不必要条件，则对应集合与对应集合互不包含. 10. 下列命题中正确是（ ） A. 在回归分析中，可用相关系数的值判断模型拟合效果，越趋近于0，模型的拟合效果越好 B. 已知随机变量，若，则 C. 在经验回归方程中，当解释变量每增加1个单位时，响应变量将平均减少0.3个单位 D. 已知采用分层抽样得到的高三年级100名男生､50名女生的身高情况为：男生样本平均数173，女生样本平均数164，则总体样本平均数为170 【答案】CD 【解析】 【分析】根据相关指数的定义判断A，根据二项分布的方差公式及方差的性质判断B，根据回归方程的定义判断C，根据平均数公式判断D. 【详解】对于A：在回归分析中，可用相关指数的值判断模型拟合效果，越趋近于，模型的拟合效果越好，故A错误； 对于B：因为，所以，则，解得，故B错误； 对于C：在经验回归方程中，当解释变量每增加1个单位时， 响应变量将平均减少个单位，故C正确； 对于D：分层抽样的平均数，故D正确； 故选：CD. 11. 设函数，则（ ） A. 是的极小值点 B. C. 不等式的解集为 D. 当时， 【答案】BD 【解析】 【分析】对于A：求导，利用导数判断的单调性和极值； 对于B：根据解析式代入运算即可；对于C：取特值检验即可； 对于D：分析可得，结合的单调性分析判断. 【详解】对于选项A：因为的定义域为R， 且， 当时，；当或时，； 可知在，上单调递增，在上单调递减， 所以是函数的极大值点，故A错误； 对于选项B：因为，故B正确； 对于选项C：对于不等式， 因为，即为不等式的解，但， 所以不等式的解集不为，故C错误； 对于选项D：因为，则， 且，可得， 因为函数在上单调递增，所以，故D正确； 故选：BD. 三、填空题（每题5分） 12. 设函数，则函数的零点个数是_______. 【答案】 【解析】 【分析】首先根据题意，将函数的零点个数问题转化为方程解的个数，最后转化为函数的图像和直线交点的个数问题来解决，这样比较直观，容易理解. 【详解】解：在同一个坐标系中画出函数的图像和直线， 而函数的零点个数即为函数的图像和直线的交点的个数， 从图中发现，一共有两个交点，所以其零点个数为. 故答案为： 13. 已知且，，则________. 【答案】 【解析】 【分析】由已知得，,进而得,,再根据结合余弦的差角公式得，最后根据二倍角公式求解即可. 【详解】∵，∴， ∴ ，. ∵，∴， ∵，∴. ∴ . . 故答案为：. 【点睛】本题考查三角恒等变换的给值求值问题，考查运算求解能力，逻辑推理能力，是中档题.本题解题的关键在于根据已知条件得，进而利用余弦的差角公式和二倍角公式求解. 14. 已知实数满足，则的最大值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】法八：利用基本不等式，即可求解. 【详解】[方法一]：（代换，用判别式法） 设，则，代入， 得，由得，因此. [方法二]：（代换，构造一元二次方程用判别式法） 设，则，则2x、y可看作关于m的方程的两个实根，由得，因此. [方法三]：（构造向量法） 令，. 则，即的最大值为. [方法四]：（待定系数法） 令 则解得故，化简得. ［方法五］：（代换消项结合放缩法） 令，则，则原题等价于：已知，求2a的最大值. 由的几何意义得，即得.即. ［方法六］：（换元法，转化为三角函数求解） 令则. 即，即，则. . 故. ［方法七］：（三角换元结合均值不等式求解） 令代入条件方程得. 则. 故. 故答案为：． ［方法八］：【最优解】基本不等式 ， 即，(当且仅当，即时，取等号) 故答案为：． 【整体点评】法一：换元利用判别式法求出； 法二：代换构造一元二次方程根据判别式法求出； 法三：构造向量利用求出； 法四：构造平方和，利用平方数自身的范围求出； 法五：代换利用椭圆的几何性质求出； 法六：利用三角代换求出，是该类型题的常用方式； 法七：利用三角代换结合基本不等式求出； 法八：直接利用基本不等式，是该题的通性通法，也是最优解． 四、解答题（第15题13分，第16、17题每题15分，第18、19题每题17分，共77分） 15. 如图，是半径为2，圆心角为的扇形，是扇形弧上的一动点，记，四边形的面积为． （1）找出与的函数关系； （2）试探求当取何值时，最大，并求出这个最大值． 【答案】（1）（2）当且仅当，即时，最大，且最大值为2. 【解析】 【分析】（1）四边形的面积可以看成是和的面积之和．因为，则，根据三角形的面积公式即可得出； （2）对（1）得到的式子进行化简，利用辅助角公式得：，根据，得时，最大，且最大值为． 【详解】（1） （2）由（1）知 ， 因为，所以 故当且仅当，即时，最大，且最大值为2． 考点：三角形面积公式；两角和与差的正弦公式；三角函数的性质. 16. 某农场收获的苹果按三个苹果等级进行装箱，已知苹果的箱数非常多，且三个等级苹果的箱数之比为6∶3∶1 （1）现从这批苹果中随机选出3箱，若选到任何一箱苹果是等可能的，求至少选到2箱A级苹果的概率； （2）若用分层随机抽样的方法从该农场收获的A，B，C三个等级苹果中选取10箱苹果，假设某游客要从这10箱苹果中随机购买3箱，记购买的A级苹果有X箱，求X的分布列与数学期望． 【答案】（1） （2）X的分布列为 0 1 2 3 【解析】 【分析】（1）由题意可知，选到1箱级苹果的概率为，选到1箱非级苹果的概率为，进而由二项分布即可求解； （2）由题意可得A级苹果有6箱，级苹果共有4箱，进而由超几何分布可得分布列和数学期望. 【小问1详解】 设事件“至少选到2箱级苹果”， 由题意知选到1箱级苹果的概率为，选到1箱非级苹果的概率为， 所以， 故至少选到2箱A级苹果的概率为. 【小问2详解】 因为用分层随机抽样的方法从该农场收获的A，B，C三个等级苹果中选取10箱苹果， 所以A级苹果有6箱，级苹果共有4箱， 随机变量的所有可能取值为, 则， ， ， 所以X的分布列为 0 1 2 3 . 17. 如图，在四棱锥中，底面为矩形，侧棱底面，是的中点. （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值； （3）已知点在棱上，且直线与平面所成角的正弦值为，求线段的长. 【答案】（1） 连结，交于点，连结， 点是的中点，点是的中点， 所以，平面，平面， 所以平面； （2） （3） 或 【解析】 【分析】（1）要证明线面平行，转化为证明线线平行，根据几何关系，构造中位线，即可证明； （2）首先建立空间直角坐标系，分别求平面和的法向量，根据法向量夹角的余弦值，即可求解； （3）根据（2）的结果，代入线面角的向量公式，即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 如图，以向量，，为轴的正方向建立空间直角坐标系， ，，， 则，， 设平面的法向量， 则，令，，， 所以平面的法向量， 平面的一个法向量为， 设平面和平面的夹角为， 则， 所以平面和平面的夹角的余弦值为； 【小问3详解】 ，，，， ，，， ， 由（2）知平面的法向量， 设直线与平面的夹角为， 则，， 解得或， 又， 则或. 18. 已知函数. （1）若关于的不等式的解集为，求函数的最小值； （2）是否存在实数，使得对任意，存在，不等式成立？若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由. 【答案】（1）； （2）不存在实数，使得对任意，存在，不等式成立，理由如下： 假设存在实数,使得对任意,存在,不等式成立 ∴ ∵时,,∴ ∴在成立 记,其对称轴为, ①当,即时, 由,∴… ②当,即时, 由,∴ 综上所述,不存在实数 ,使得对任意,存在,不等式成立. 【解析】 【分析】(1)利用二次不等式解集的性质与韦达定理求解得,再代入了与基本不等式求最值即可. (2)由题可知若存在则,根据对数不等式性质可知,再分析二次函数的对称轴与区间的位置关系求得的最值分析即可. 【详解】（1）依题意得,2和3是方程的两根 由韦达定理可知： ∴ 又∵,∴ 当且仅当时等号成立, 所以的最小值为. （2）略 【点睛】本题主要考查了二次不等式解集与系数的关系,同时也考查了恒成立问题以及分类讨论求二次函数的最值问题.属于中档题. 19. 设是定义在上的函数，若存在区间和，使得在上严格减，在上严格增，则称为“含谷函数”，为“谷点”，称为的一个“含谷区间”． （1）判断下列函数中，哪些是含谷函数？若是，请指出谷点；若不是，请说明理由： （i），（ii）； （2）已知实数，是含谷函数，且是它的一个含谷区间，求的取值范围； （3）设，．设函数是含谷函数，是它的一个含谷区间，并记的最大值为．若，且，求的最小值． 【答案】（1）是含谷函数，谷点；不是含谷函数， 理由：函数，当时，单调递减，当时，单调递增，所以是含谷函数，谷点； 函数，求导恒成立，函数单调递增，所以不是含谷函数. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用含谷函数定义判断函数的增减区间，再求谷点，证明函数是否为含谷函数； （2）由题意可判断函数在区间内有谷点，利用谷点定义求参数取值范围； （3）分别讨论函数的单调性，判断谷点所在区间，得到的解析式，再利用和消元求最值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由题意可知函数在区间内先减后增，且存在谷点， 令，所以， 设， 所以，由可知恒成立， 所以在区间上单调递增， 若满足谷点，则有，解得， 故m的取值范围是. 【小问3详解】 因为， 所以， 若恒成立， 则函数在时严格增，在时严格减，不是谷函数，不满足题意； 因此关于x的方程有两个相异实根，即， 设两根为，且， 因为，所以函数在区间上不为严格增， 但是当时，，为严格增， 所以在区间上的单调性至少改变一次，从而必有一个驻点，即， 同理，因为，所以， 因此，在区间和上严格增，在区间和上严格减， 从而函数的含谷区间必满足， 即， 因为， ， 由得，所以， 由得，所以， 所以， 当时，， 当时，， 因此的最小值为，当时成立. 【点睛】关键点睛：（1）利用谷点定义判断函数是否为含谷函数； （2）根据谷点性质求参数的取值范围； （3）将导数分解因式，利用二次函数性质讨论的单调性，进而得到和，求函数最值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年上学期高三数学期中试卷 命题人：宋水炎 审题人：林建奕 一、单选题（每题5分） 1. 若集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 函数，的大致图象是（ ） A. B. C. D. 3. 已知是定义在上的奇函数，且在单调递增，若，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 4. 若，则（ ） A. B. C. D. 5. 函数的最小值为 A. B. C. D. 6. 已知，则 A. B. C. D. 7. 已知函数在上单调递减且对任意满足，则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，若，且，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题（每题6分．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分．） 9. 使得“”成立的充分不必要条件可以是（ ） A. B. C. D. 10. 下列命题中正确是（ ） A. 在回归分析中，可用相关系数的值判断模型拟合效果，越趋近于0，模型的拟合效果越好 B. 已知随机变量，若，则 C. 在经验回归方程中，当解释变量每增加1个单位时，响应变量将平均减少0.3个单位 D. 已知采用分层抽样得到的高三年级100名男生､50名女生的身高情况为：男生样本平均数173，女生样本平均数164，则总体样本平均数为170 11. 设函数，则（ ） A. 是的极小值点 B. C. 不等式的解集为 D. 当时， 三、填空题（每题5分） 12. 设函数，则函数的零点个数是_______. 13. 已知且，，则________. 14. 已知实数满足，则的最大值为___________． 四、解答题（第15题13分，第16、17题每题15分，第18、19题每题17分，共77分） 15. 如图，是半径为2，圆心角为的扇形，是扇形弧上的一动点，记，四边形的面积为． （1）找出与的函数关系； （2）试探求当取何值时，最大，并求出这个最大值． 16. 某农场收获的苹果按三个苹果等级进行装箱，已知苹果的箱数非常多，且三个等级苹果的箱数之比为6∶3∶1 （1）现从这批苹果中随机选出3箱，若选到任何一箱苹果是等可能的，求至少选到2箱A级苹果的概率； （2）若用分层随机抽样的方法从该农场收获的A，B，C三个等级苹果中选取10箱苹果，假设某游客要从这10箱苹果中随机购买3箱，记购买的A级苹果有X箱，求X的分布列与数学期望． 17. 如图，在四棱锥中，底面为矩形，侧棱底面，是的中点. （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值； （3）已知点在棱上，且直线与平面所成角的正弦值为，求线段的长. 18. 已知函数. （1）若关于的不等式的解集为，求函数的最小值； （2）是否存在实数，使得对任意，存在，不等式成立？若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由. 19. 设是定义在上的函数，若存在区间和，使得在上严格减，在上严格增，则称为“含谷函数”，为“谷点”，称为的一个“含谷区间”． （1）判断下列函数中，哪些是含谷函数？若是，请指出谷点；若不是，请说明理由： （i），（ii）； （2）已知实数，是含谷函数，且是它的一个含谷区间，求的取值范围； （3）设，．设函数是含谷函数，是它的一个含谷区间，并记的最大值为．若，且，求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $