精品解析：浙江宁波市慈溪市2025-2026学年上学期九年级期末测试数学试卷

2025学年第一学期九年级期末测试卷数学学科试卷 温馨提示： 1．本试卷分试题卷和答题卷两部分，满分120分，考试时间120分钟． 2．所有答案都必须做在答题卷规定的位置上，务必注意试题序号和答题序号相对应． 3．考试期间不能使用计算器． 一、选择题（每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 在同一平面内，已知的半径为，，则点与的位置关系为（ ） A. 点P在圆外 B. 点P在圆上 C. 点P在圆内 D. 无法确定 2. 下列事件中，属于随机事件的是（） A. 抛一枚均匀的硬币，恰好正面朝上． B. 两张扑克牌，1张黑桃、1张红桃，从中随机抽取1张扑克牌是方块． C. 是实数，则． D. 任意画一个三角形，其内角和是． 3. 将抛物线向上平移3个单位后所得抛物线表达式是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，直线，直线a，b分别交直线，，于点A，B，C，D，E，F．已知，，，则的长为（ ） A. 6 B. C. D. 5. 如图，在直角坐标系中，与是位似图形，位似中心为原点O．若点对应点为，则点的对应点的坐标为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，甲同学利用尺规作图找到了一件圆形“青花瓷盘”文物瓷片的圆心O，点A，B，C均在圆弧上，经测量得，则的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，一只矩形木箱放置在斜面上，此时恰好与地面平行．已知，，则点A到所在直线的距离可表示为（ ） A. B. C. D. 8. 若二次函数的图象经过点，则方程的解为（ ） A. B. C. 或 D. 或 9. 如图，内接于圆，，D为中点，G为的重心，连接．若，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 10. 已知二次函数（a，c为常数，）的图象经过，两点，若，，则下列说法错误的是（） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 二、填空题（每小题3分，共18分） 11. 已知，则_____． 12. 某商场门口有甲、乙两公司投放的5辆共享单车，其中3辆是甲公司的，2辆是乙公司的，现随机挑选一辆，则选中甲公司共享单车的概率是______． 13. 如图，正五边形内接于，连接，，则的度数为______度． 14. 小明在学习了压强的知识后，知道装有液体的瓶子侧边开一个小孔，液体喷出后的喷射距离与开孔位置有关．设瓶底离液面的距离，小孔离液面的距离，则喷射距离满足关系式：．现有一个瓶子装满水后，瓶底离水面的距离为，为使水的喷射距离最大，则小孔离液面的距离应为_____． 15. 如图，在半径为2的中，，为弦，，连结，，过点C作的垂线，交的延长线于点D．若，则的长为_____． 16. 如图，在四边形中，对角线，交于点E，，，．若，，则的长为______． 三、解答题（第17-21题各8分，第22、23题各10分，第24题12分，共72分） 17. 计算：． 18. 已知二次函数（b，c为常数）的图象经过点，． （1）求二次函数表达式． （2）求二次函数图象与x轴的交点坐标． 19. 在学习频率与概率的相关知识时，小明利用AI工具制作了一个“石头、剪刀、布”游戏的模拟器：两位玩家随机出石头、剪刀、布，然后统计胜负情况．游戏规则和试验的部分结果如下图： 试验次数n 100 200 400 1000 3000 5000 10000 两位玩家平局的试验频数m 32 70 144 335 1004 1670 3328 两位玩家平局的试验频率（精确到0.001） 0.320 0350 0.360 0.335 0.335 0.334 0333 （1）根据表中试验结果，用频率估计“两位玩家平局”的概率是_____．（精确到0.001） （2）请你用列表或画树状图的方法解释（1）中的结论． 20. 图1，图2是由边长为1的小正方形构成的网格，每个小正方形的顶点称为格点，为格点三角形（三角形的顶点均在格点上）．请按下列要求画出图形． （1）在图1中画出格点，使得，相似比为； （2）在图2中画出格点，使得，面积比为． 21. 如图，是的弦（非直径），以A为圆心，为半径画弧，交于点C，以B为圆心，为半径画弧，交于点D，C，D位于的两侧，连接． （1）求证：． （2）连接，若，，求的长．（结果保留） 22. 图1是一款可以调整铅笔位置的圆规，图2是该圆规的简易结构图，已知，，．在调整铅笔位置时始终垂直平分，和交于点F．如图3，当圆规的两个脚和闭合，即O，D，A三点在同一直线上时，调整铅笔的位置，定位针针尖A点与笔尖B点恰好能重合．（计算结果均精确到0.1，参考数据：；；．） （1）求的长． （2）如图4，调节圆规的两个脚和，使得．调整铅笔的位置，圆规可以画出半径最小的圆，求该最小圆半径的长．（注：假设足够长．） 23. 已知二次函数（t为常数）． （1）若二次函数图象经过原点，求t的值． （2）已知点，在该二次函数图象上，若，，试比较m，n的大小关系． （3）当时，函数y的最大值与最小值的差为1，求t的取值范围． 24. 如图，在中，为直径，为上的点，过点作的垂线交于，两点，为上的点，且，连接交于点，连接，记． （1）请用含的代数式表示； （2）若，求的值； （3）如图，连接交于点，若的半径为，，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025学年第一学期九年级期末测试卷数学学科试卷 温馨提示： 1．本试卷分试题卷和答题卷两部分，满分120分，考试时间120分钟． 2．所有答案都必须做在答题卷规定的位置上，务必注意试题序号和答题序号相对应． 3．考试期间不能使用计算器． 一、选择题（每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 在同一平面内，已知半径为，，则点与的位置关系为（ ） A. 点P在圆外 B. 点P在圆上 C. 点P在圆内 D. 无法确定 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查点与圆的位置关系，需根据点到圆心的距离与圆半径的大小关系来判断，根据题意可得，即可求解． 【详解】解：设的半径为，点到圆心的距离为， ∵，， ∴， ∴点在上 故选：B． 2. 下列事件中，属于随机事件的是（） A. 抛一枚均匀的硬币，恰好正面朝上． B. 两张扑克牌，1张黑桃、1张红桃，从中随机抽取1张扑克牌是方块． C. 是实数，则． D. 任意画一个三角形，其内角和是． 【答案】A 【解析】 【分析】本题依据随机事件、必然事件、不可能事件的定义，对各选项事件类型进行判断，从而选出随机事件．随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，必然事件是一定会发生的事件，不可能事件是一定不会发生的事件． 【详解】解：A选项：抛一枚均匀的硬币，可能正面朝上也可能反面朝上，属于随机事件 B选项：仅有黑桃和红桃的两张牌，不可能抽到方块，属于不可能事件 C选项：任意实数的绝对值都大于等于0，一定会发生，属于必然事件 D选项：任意三角形的内角和都是，一定会发生，属于必然事件 故选：A． 3. 将抛物线向上平移3个单位后所得抛物线的表达式是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数图象的平移问题，熟练掌握平移的规律“上加下减，左加右减”是解题的关键． 根据二次函数图象平移“上加下减”的规律求解平移后的抛物线表达式即可． 【详解】解：∵将抛物线向上平移3个单位， ∴平移后所得抛物线的表达式为，即． 故选：C． 4. 如图，直线，直线a，b分别交直线，，于点A，B，C，D，E，F．已知，，，则的长为（ ） A. 6 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，熟练掌握平行线分线段成比例定理是解题关键．直接根据平行线分线段成比例定理即可得． 【详解】解：∵， ， ∵，，， ， 解得：． 故选：D． 5. 如图，在直角坐标系中，与是位似图形，位似中心为原点O．若点对应点为，则点的对应点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了位似的性质，熟练掌握其性质是解题的关键． 根据位似比计算即可． 【详解】解：∵点的对应点为， ∴与的位似比为， ∴点的对应点的坐标为．   故选：B ． 6. 如图，甲同学利用尺规作图找到了一件圆形“青花瓷盘”文物瓷片的圆心O，点A，B，C均在圆弧上，经测量得，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，熟练掌握其定理是解题的关键． 根据圆周角定理计算即可． 【详解】解：由圆周角定理可知，， 解得．   故选：C ． 7. 如图，一只矩形木箱放置在斜面上，此时恰好与地面平行．已知，，则点A到所在直线的距离可表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质、解直角三角形，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 过点作交于，根据矩形的性质推出，结合求解即可． 【详解】解：如图，过点作交于， 由题意知，， 由矩形的性质，，， ∵，， ∴， ∴．   故选：A ． 8. 若二次函数的图象经过点，则方程的解为（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数图象的对称性．先根据二次函数的对称性求出二次函数图象与直线的另一个交点坐标，进而求出方程的解． 【详解】解：∵方程的解是二次函数与直线交点的横坐标， 已知其中一个交点为， 二次函数的对称轴为， 设另一个交点横坐标为， 由二次函数的对称性得， 解得， ∴方程的解为或， 故选：D． 9. 如图，内接于圆，，D为中点，G为的重心，连接．若，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查三角形的重心，圆周角定理，等腰三角形的判定和性质，直角三角形斜边中线的性质． 连接，由三角形重心的性质得到A、G、D共线，，当时，长最大，设圆的圆心是O，连接，，由圆周角定理得到，判定是等腰直角三角形，求出，由直角三角形斜边中线的性质得到，求出，即可得到的最大值． 【详解】解：连接， ∵G是的重心，D是的中点， ∴A、G、D共线， ∴， ∴最大时，最大， 当时，最大， 设圆的圆心是O，连接，， ∵， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵D为中点，， ∴， ∴， ∴的最大值为． 故选：C． 10. 已知二次函数（a，c为常数，）的图象经过，两点，若，，则下列说法错误的是（） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质．先将二次函数配方确定对称轴与开口方向，结合二次函数增减性与对称性，逐一分析各选项的正误． 【详解】解：∵，且 ∴抛物线开口向下，对称轴为直线，当或时，，在对称轴左侧随增大而增大，右侧随增大而减小，离对称轴越远，函数值越小． 对于选项A： ∵，∴，此区间在对称轴左侧，随增大而增大 ∴，A正确． 对于选项B： ∵，∴，由得 ∴， ∴， ∵开口向下，离对称轴越远函数值越小 ∴，B正确． 对于选项C： ∵，∴，抛物线在该区间内的最小值为（在或处取得） ∴，C正确． 对于选项D： 对于的情况，我们通过举反例来说明该选项错误 当时，取，（满足），到对称轴距离为，到对称轴距离为 ∵，开口向下，离对称轴越远函数值越小 ∴，与“”矛盾，D错误． 故选：D． 二、填空题（每小题3分，共18分） 11. 已知，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了比例的性质．由已知比例式得出，即可求解． 【详解】解：∵， ∴ ∴ 故答案为：． 12. 某商场门口有甲、乙两公司投放的5辆共享单车，其中3辆是甲公司的，2辆是乙公司的，现随机挑选一辆，则选中甲公司共享单车的概率是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了概率公式求概率．根据概率公式，总共有5辆共享单车，甲公司有3辆，根据概率公式即可求解． 【详解】解：总共有5辆共享单车，甲公司有3辆，选中甲公司共享单车的概率是 故答案为：． 13. 如图，正五边形内接于，连接，，则的度数为______度． 【答案】72 【解析】 【分析】本题考查了正多边形的性质，熟练掌握其性质是解题的关键． 根据正多边形的中心角解题即可． 【详解】解：由题意知，． 故答案为：72 ． 14. 小明在学习了压强的知识后，知道装有液体的瓶子侧边开一个小孔，液体喷出后的喷射距离与开孔位置有关．设瓶底离液面的距离，小孔离液面的距离，则喷射距离满足关系式：．现有一个瓶子装满水后，瓶底离水面的距离为，为使水的喷射距离最大，则小孔离液面的距离应为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用．根据喷射距离公式，其中，为求的最大值，需最大化根号内的表达式，该表达式为二次函数，通过求顶点坐标可得最大值点． 【详解】解：令． 此二次函数开口向下，顶点横坐标． 当时，取最大值，则最大． 因此小孔离液面的距离应为cm． 故答案为：． 15. 如图，在半径为2的中，，为弦，，连结，，过点C作的垂线，交的延长线于点D．若，则的长为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了三角形的中位线、圆周角定理、全等三角形的性质和判定、勾股定理、含的直角三角形，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 连接，过点作交于点，证明为的中位线，≌，推出，进而求解． 【详解】解：如图，连接，过点作交于点， ∵， ∴是直径，经过点， ∵，， ∴； ∵为中点，为中点， ∴为的中位线， ∴； ∵， ∴； 在和中， ， ∴≌， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴为等边三角形， ∴， ∴． 故答案为： ． 16. 如图，在四边形中，对角线，交于点E，，，．若，，则的长为______． 【答案】## 【解析】 【分析】过点作的平行线，交的延长线于点，设， 由平行可判定，则，从而可判断出．由等腰三角形的性质可得，，通过比值计算可得．在直角中，结合正弦函数的定义和勾股定理计算出．最后直角中，利用勾股定理构造方程并解出的值即可． 【详解】解：如图，过点作的平行线，交的延长线于点， 设， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵，即， ∴， ∴， ∴， 在直角中，， ∴， 由勾股定理可得，， 直角中，， ∴， 解得（负值舍去）， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查解直角三角形相关的计算，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，勾股定理，添加平行线构造相似三角形是解题关键． 三、解答题（第17-21题各8分，第22、23题各10分，第24题12分，共72分） 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，先分别计算各个特殊角的三角函数值，再将其代入原式进行计算即可． 【详解】解：原式 ． 18. 已知二次函数（b，c为常数）的图象经过点，． （1）求二次函数的表达式． （2）求二次函数图象与x轴的交点坐标． 【答案】（1）二次函数表达式为 （2）与x轴的交点坐标为， 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式及二次函数与x轴交点坐标的求法． （1）将已知点代入函数式，得到关于b、c的方程组，解方程组求出b、c的值； （2）令，解一元二次方程得到x的值，即为交点的横坐标． 【小问1详解】 解：将，代入， 解得， ∴二次函数表达式为． 【小问2详解】 解：令，则有， 解得，， ∴与x轴的交点坐标为，． 19. 在学习频率与概率的相关知识时，小明利用AI工具制作了一个“石头、剪刀、布”游戏的模拟器：两位玩家随机出石头、剪刀、布，然后统计胜负情况．游戏规则和试验的部分结果如下图： 试验次数n 100 200 400 1000 3000 5000 10000 两位玩家平局的试验频数m 32 70 144 335 1004 1670 3328 两位玩家平局的试验频率（精确到0.001） 0.320 0.350 0.360 0.335 0.335 0.334 0.333 （1）根据表中试验结果，用频率估计“两位玩家平局”的概率是_____．（精确到0.001） （2）请你用列表或画树状图的方法解释（1）中的结论． 【答案】（1）0.333 （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查了概率的求法、树状图，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据表格即可解题； （2）根据树状图即可求出概率． 【小问1详解】 解：由表格可知，随着试验次数增加，“两位玩家平局”的概率逐渐接近， ∴估计“两位玩家平局”的概率是； 故答案为：0.333； 【小问2详解】 解：如图， 一共有9种等可能的结果，其中平局的情况有3种， ∴． 20. 图1，图2是由边长为1的小正方形构成的网格，每个小正方形的顶点称为格点，为格点三角形（三角形的顶点均在格点上）．请按下列要求画出图形． （1）在图1中画出格点，使得，相似比为； （2）在图2中画出格点，使得，面积比为． 【答案】（1）作图见解析 （2）作图见解析 【解析】 【分析】（1）本题考查了相似三角形的性质． （1）根据相似三角形对应边成比例的性质，将原三角形各边扩大到原来的2倍来画出相似三角形； （2）先根据相似三角形面积比等于相似比的平方求出相似比，再据此画出相似三角形． 【小问1详解】 解：如图所示，即为所求， 【小问2详解】 解：如图所示，即为所求， 21. 如图，是的弦（非直径），以A为圆心，为半径画弧，交于点C，以B为圆心，为半径画弧，交于点D，C，D位于的两侧，连接． （1）求证：． （2）连接，若，，求的长．（结果保留） 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查弧，弦，角之间的关系，求弧长； （1）连接，由作图可知，均为等边三角形，进而得到，等角对等弧，得到，进而得到，即可得证； （2）求出，利用弧长公式进行求解即可． 【小问1详解】 解：连接， 由题可得， ∴，均为等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵，即半径为5， ∴． 22. 图1是一款可以调整铅笔位置的圆规，图2是该圆规的简易结构图，已知，，．在调整铅笔位置时始终垂直平分，和交于点F．如图3，当圆规的两个脚和闭合，即O，D，A三点在同一直线上时，调整铅笔的位置，定位针针尖A点与笔尖B点恰好能重合．（计算结果均精确到0.1，参考数据：；；．） （1）求的长． （2）如图4，调节圆规的两个脚和，使得．调整铅笔的位置，圆规可以画出半径最小的圆，求该最小圆半径的长．（注：假设足够长．） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了三角函数的实际应用，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）求出的大小，根据解题即可； （2）延长交于点M，当，，所画圆的半径最小，进而解题． 【小问1详解】 解：∵，F为中点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：延长交于点M， ，，， ，， 在中，， 当，，所画圆的半径最小， ∴， 即所画圆半径最小为． 23. 已知二次函数（t为常数）． （1）若二次函数图象经过原点，求t的值． （2）已知点，在该二次函数图象上，若，，试比较m，n的大小关系． （3）当时，函数y的最大值与最小值的差为1，求t的取值范围． 【答案】（1）或 （2） （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的综合应用，熟练掌握二次函数的性质，是解题的关键． （1）把代入二次函数，求出t的值即可； （2）先求出抛物线的对称轴，然后根据点P离对称轴更远，得出； （3）先根据，得出；分三种情况讨论：当时，当时，当时，分别求出结果即可． 【小问1详解】 解：把代入二次函数得： ， 解得或； 【小问2详解】 解：因为抛物线对称轴为直线，而，， 所以点P离对称轴更远， 因为抛物线开口向上， 所以； 【小问3详解】 解：由题可得，所以； ①当时， 当时，， 当时，， 所以， 解得； ②当时， 当时，， 当时，， 此时恒成立， 即； ③当时， 当时，， 当时， 则， 解得或4（都不符合，舍去）； 综上，当t的取值为． 24. 如图，在中，为直径，为上的点，过点作的垂线交于，两点，为上的点，且，连接交于点，连接，记． （1）请用含的代数式表示； （2）若，求的值； （3）如图，连接交于点，若半径为，，求的长． 【答案】（1）； （2）； （3）或 【解析】 【分析】（）由垂径定理可得，从而有，然后通过圆周角定理即可求解； （）由（）可得，，然后证明，所以，设，，则，连接，得，，由勾股定理得，然后通过即可求解； （）由（）得，所以，，则，，设，则，由勾股定理可得，然后证明，所以，得，得到，解得，，最后分别代入即可求解． 【小问1详解】 解：∵，直径， ∴， 又∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：由（）可得，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，，则， 如图，连接，得，， 在中，， ∵， ∴； 【小问3详解】 解：由（）得， ∴，， ∴，， 又∵，， 设，则， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴ ∴， 即， 解得：，， 当时，， 当时，， 综上可得：或． 【点睛】本题考查了解直角三角形，垂径定理，勾股定理，圆周角定理，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，解一元二次方程，掌握知识点的应用是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $