期中各名校真题-压轴必刷题（48题）-2024-2025学年九年级数学上学期期中期末考点归纳满分攻略讲练（浙教版）

期中各名校真题-压轴必刷题（48题） 范围：九年级上册 一、单选题 1．已知的半径为1，则长为的弦所对的圆周角的度数为(   ) A． B． C．或 D．无法确定 2．已知函数，当时，随着的增大而增大，则的值可能为（　　） A． B． C． D． 3．表中列出的是一个二次函数的自变量x与函数y的几组对应值． x … 0 1 3 … y … 6 … 下列各选项中，正确的是（　　） A．这个函数的最小值为 B．这个函数的图象开口向下 C．这个函数的图象与x轴无交点 D．当时，y的值随x值的增大而增大 4．在一个不透明的箱子里装有个球，其中红球个，这些球除颜色外都相同，每次将球搅拌均匀后，任意摸出一个球记下颜色后再放回，大量重复试验后发现，摸到红球的频率在，那么可以估算出的值为（   ） A．8 B．12 C．15 D．20 5．二次函数，对称轴为直线，若关于的一元二次方程（为实数）在的范围内有解，则的取值范围是（    ）． A． B． C． D． 6．二次函数的图象如图所示，下列结论：①；②；③；④．其中正确的个数是（   ）个． A．0 B．1 C．2 D．3 7．如图，四边形和均为正方形，若，则的长为（　　）    A． B． C． D． 8．如图，已知以为直径的半圆，为弧上一点，，为弧上任意一点，交于，连接，若，则的最小值为 ． 9．已知二次函数，当时，或．若，是抛物线上的两点，且，则m的取值范围为（   ） A． B．或 C． D．或 10．二次函数，线段中，，，将线段向下平移3个单位得到线段，若的图象与线段只有一个公共点，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 11．一抛物线的形状，开口方向与相同，其顶点坐标，则此抛物线的解析式为（   ） A． B． C． D． 12．如图，在五角星中，，，，，分别是边与边的交点，若且，则的值为（   ） A． B． C． D． 13．如图，在半圆中，，将半圆沿弦所在的直线折叠，若弧恰好过圆心，则的长是（   ）    A． B． C． D． 14．将抛物线位于轴左侧的部分沿轴翻折，其余部分不变，翻折得到的图象和原来不变的部分构成一个新图象，若直线与新图象有且只有2个公共点，则的取值范围是（　　） A．12 B． C．或 D．或 15．已知二次函数和一次函数的图象在y轴相交于一点，且纵坐标为1，则在同一平面直角坐标系中二次函数和一次函数的图象可能是（   ） A．B．C．D． 16．已知函数，当时，有最大值5，最小值1，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 17．二次函数，当且时，y的最小值为，最大值为，则的值为（   ） A． B．2 C． D． 18．如图，在矩形中，，，点、分别是边、上的动点，且，点是的中点，、，则四边形面积的最小值为（  ） A．30 B．32 C．35 D．38 19．如图，点A的坐标为，点、C是直线上第一象限内的两点，且得到线段．则点C的坐标为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 20．如图，在中，D是的中点，的角平分线交于点F，若，，则的周长为 ． 21．如图，直线，若，，则的长度为 ． 22．已知关于x的二次函数的图象与x轴的一个交点的坐标为．若，则a的取值范围是 ． 23．若二次函数的图像经过，直线经过，两点． （1） ； （2）当时，直线与的图像只有一个交点，则的取值范围 ． 24．如图，抛物线与直线交于，两点，则不等式的解集为 ． 25．如图，在钝角三角形中，，动点从点出发沿以的速度向点运动，同时动点从点出发沿以的速度向点运动，当以为顶点的三角形与相似时，运动时间是 ． 26．如图，是半圆O的直径，弦相交于点P，，D是的中点，则 ． 27．如图，是的直径，，点在上，，为的中点，是直径上一动点，则的最小值是 ． 28．若x为全体实数，则函数与的交点有 个． 29．已知抛物线的图象如图①所示，先将抛物线在轴下方的部分沿轴翻折，图象其余部分不变，得到一个新图象如图②，当直线与图象②恰有两个公共点时，则的取值范围为 ． 30．如图，一段抛物线：，记为，它与x轴交于点O，；将绕点旋转得，交x轴于点；将绕点旋转得，交x轴于点；…如此进行下去，若在其中一段抛物线上，则 ． 31．一个扇形的圆心角为，面积为，则此扇形的弧长为 ． 32．一块含角的直角三角板和一块量角器如图摆放（三角板顶点与量角器0刻度处重合），量角器与三角板交于点，经测量知，点为中点，点为弧上一动点，则的最小值为 ． 33．如图，已知中，，，，点是边上的动点，以为直径作，连接交于点，则的最小值 ． 34．如图，在中，点D在边上，，过点A作于点F，交于点E，连接，若，，则的值为 ． 三、解答题 35．某商场经营一种新上市的文具，进价为20元，试营销阶段发现：当销售单价为25元时，每天的销售量为250件，销售单价每上涨1元，每天的销售量就减少10件，同时商场规定销售单价不少于36元． (1)若商场每天要获得销售利润2000元，销售单价应定为多少元？ (2)求销售单价定为多少元时，该文具每天的销售利润最大？最大利润为多少元？ 36．设二次函数，的图像顶点坐标分别为，，若，，且图像开口方向相同，则称是的“同倍项二次函数”． (1)如果是二次函数的一个“同倍项二次函数”，则______，______，______（写出一种符合题意的，，的值即可）； (2)已知关于的二次函数和二次函数，若是的“同倍项二次函数”，求的值． 37．已知四边形中，E、F分别是边上的点，与交于点G． (1)如图①，若四边形是矩形，且，求证：； (2)如图②，若将（1）中的矩形改为一般的平行四边形，其余条件不变，求证：； (3)如图③，若，，，，请直接写出的值． 38．【问题情境】 （1）如图1，圆与大正方形的各边都相切，小正方形是圆的内接正方形，那么大正方形面积是小正方形面积的几倍？小听将小正方形绕圆心旋转（如图2），这时候就容易发现大正方形面积是小正方形面积的______倍．由此可见，图形变化是解决问题的有效策略； 【操作实践】 （2）如图3，图①是一个对角线互相垂直的四边形，四边a、b、c、d之间存在某种数量关系．小昕按所示步骤进行操作，并将最终图形抽象成图4．请你结合整个变化过程，直接写出图4中以矩形内一点P为端点的四条线段之间的数量关系为______； 【探究应用】 （3）类比【问题情境】中的方法解决问题：如图5，是的直径，、是的弦，且，，，．则图中阴影部分的面积为______． （4）如图6，在图3中“④”的基础上，小昕将绕点P逆时针旋转，他发现旋转过程中存在最大值．若，，当最大时，求的长； ； （5）利用图4中的结论解决问题：如图7，分别过矩形的四个顶点作其内部的的切线，切点分别为E，F，G，H，若，，，则的长为______．（用含a，b，c的代数式表示） 39．如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A位于点B的左侧），与y轴交于C点，抛物线的对称轴l与x轴交于点N，长为1的线段（点P位于点Q的上方）在x轴上方的抛物线对称轴上运动． (1)直接写出A，B，C三点的坐标； (2)求的最小值以及此时点P的坐标； (3)过点P作轴于点M，当和相似时，求点Q的坐标． 40．某数学小组对数学学习中有关汽车的刹车距离有疑惑，于是他们走进汽车研发中心考察． 【知识背景】“道路千万条，安全第一条”．汽车刹车后还要继续向前行驶一段距离才能停止，这段距离称为刹车距离． 【探究发现】汽车研发中心设计一款新型汽车，现在模拟汽车在高速公路上以某一速度行驶时，对它的刹车性能进行测试，数学小组收集、整理数据，并绘制函数图象． 发现：开始刹车后行驶的距离y（单位：m）与刹车后行驶时间t（单位：s）之间成二次函数关系，函数图象如图所示． 【问题解决】请根据以上信息，完成下列问题： (1)求二次函数的解析式（不要求写出自变量的取值范围）； (2)若在汽车前处，有一测速仪，当汽车刹车过程中，经过多少时间，汽车超过测速仪； (3)若汽车司机发现正前方处有一辆抛锚的车停在路面，立刻刹车，问该车在不变道的情况下是否会撞到抛锚的车？试说明理由． 41．已知二次函数（m为常数，）． (1)当时，求该函数的图象的顶点坐标； (2)当m取不同的值时，该函数的图象总经过一个或几个定点，求出所有定点的坐标； (3)已知，．若该函数的图象与线段恰有1个公共点，直接写出m的取值范围． 42．如图，已知点在抛物线上，过点A且平行于x轴的直线交抛物线于点B． (1)求a的值和点B的坐标； (2)若点P是抛物线上一点，当以点A，B，P为顶点构成的的面积为2时，求点P的坐标． 43．已知二次函数． (1)若其图象经过点，求此二次函数的表达式； (2)当时，随的增大而增大，则的取值范围是______； (3)点是函数图象上两个点，满足且，试比较和的大小关系． 44．如图，抛物线与轴交于点、两点，与轴交点，连接，顶点为． (1)求抛物线的解析式及顶点的坐标； (2)已知点是抛物线上的一点，连接，若，求点的坐标． (3)如图2，若是直线上方抛物线上一动点，连接交于点，当的值最大时，求点的坐标． 45．已知抛物线，为实数． (1)如果该抛物线经过点，求此抛物线的顶点坐标． (2)如果当时，的最大值为4，求的值． (3)点，点，如果该抛物线与线段（不含端点）恰有一个交点，求的取值范围． 、 46．如图，抛物线交x轴于O，两点，顶点为，点C为的中点． （1）求抛物线的表达式； （2）点D为线段上一动点（O点除外），在右侧作平行四边形．连接，，求的最小值． 拓展设问  如图，过点C作轴，交抛物线于点E，在抛物线对称轴上找一点M，使的值最大，请求出点M的坐标及这个最大值． 47．如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，连接． (1)求A、B，C三点的坐标； (2)求直线的函数表达式． (3)点P是直线下方抛物线上的一个动点，过点P作的平行线l，交线段于点D．在直线l上是否存在点E，使得以点为顶点的四边形为菱形，若存在，求出点E的坐标，若不存在，请说明理由； 48．如图1，已知四边形是矩形，点在的延长线上，，与相交于点，与相交于点，． (1)求证：； (2)若，求的长； (3)如图2，连接，求证：． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 期中各名校真题-压轴必刷题（48题） 范围：九年级上册 一、单选题 1．已知的半径为1，则长为的弦所对的圆周角的度数为(   ) A． B． C．或 D．无法确定 【答案】C 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，圆周角定理；根据题意画出图形，由垂直于，利用垂径定理得到为的中点，求出的长，在直角三角形中，利用勾股定理求出，确定出三角形为等腰直角三角形，同理三角形为等腰直角三角形，确定出度数，利用圆周角定理以及圆内接四边形对角互补即可求出与的度数． 【详解】解：如图所示，   ， 为的中点，即， 在中，，， 根据勾股定理得：，即， 为等腰直角三角形， ， 同理， ， 与都是的圆周角， ， ∵四边形是圆内接四边形， ， 弦所对的圆周角为或， 故选：C． 2．已知函数，当时，随着的增大而增大，则的值可能为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的性质，根据题意得出二次函数图象的对称轴是解题的关键．抛物线对称轴为直线，在对称轴左侧，y随x的增大而增大，可得，从而可得答案． 【详解】解：∵的对称轴为直线， 时，随的增大而增大， ， ∴的值可以是， 故选A． 3．表中列出的是一个二次函数的自变量x与函数y的几组对应值． x … 0 1 3 … y … 6 … 下列各选项中，正确的是（　　） A．这个函数的最小值为 B．这个函数的图象开口向下 C．这个函数的图象与x轴无交点 D．当时，y的值随x值的增大而增大 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系．熟练掌握用表格数据求函数解析式，a符号，对称轴，根判别式，函数的对称性增减性，是解决问题的关键． 设二次函数解析式为．根据抛物线经过点，，，得到．根据，当时，y有最小值．判断A 、B．根据，判断C．根据，对称轴直线，当时，y的值随x值的增大而增大，判断D． 【详解】解：设二次函数解析式为． ∵抛物线经过点，， ∴抛物线对称轴为直线． ∴． ∵抛物线经过点， ∴． ∴． ∴． A、∵， ∴当时，y有最小值． ∴A不正确． B、∵， ∴函数的图象开口向上． ∴B不正确． C、∵， ∴函数的图象与x轴有两个交点． ∴C不正确． D、∵，函数的图象开口向上，对称轴为， ∴当时，y的值随x值的增大而增大，包括当时，y的值随x值的增大而增大． ∴D正确． 故选：D． 4．在一个不透明的箱子里装有个球，其中红球个，这些球除颜色外都相同，每次将球搅拌均匀后，任意摸出一个球记下颜色后再放回，大量重复试验后发现，摸到红球的频率在，那么可以估算出的值为（   ） A．8 B．12 C．15 D．20 【答案】D 【分析】此题主要考查了利用频率估计概率，在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，根据红球的个数除以总数等于频率，求解即可． 【详解】解：∵大量重复试验后发现，摸到红球的频率在， ∴任意摸出一个球，摸到红球的概率为， ∴， ∴． 经检验，  是方程的解，且符合题意． 故选：D． 5．二次函数，对称轴为直线，若关于的一元二次方程（为实数）在的范围内有解，则的取值范围是（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数图象与x轴的交点问题，二次函数的性质，先根据对称轴计算公式得到，进而得到二次函数解析式为，再由二次函数的性质得到当时，；根据关于的一元二次方程（为实数）在的范围内有解，得到二次函数与直线在的范围内有交点，据此可得答案． 【详解】解：∵二次函数的对称轴是直线， ∴， ∴， ∴二次函数解析式为， ∴当时，二次函数有最大值9，在对称轴右侧，y随x增大而减小，在对称轴左侧，y随x增大而增大， 当时，，当时，， ∴当时，， ∵关于的一元二次方程（为实数）在的范围内有解， ∴二次函数与直线在的范围内有交点， ∴． 故选：D． 6．二次函数的图象如图所示，下列结论：①；②；③；④．其中正确的个数是（   ）个． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】本题主要考查二次函数的图象与系数的关系．熟练掌握：①二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小：当时，抛物线向上开口；当时，抛物线向下开口；②一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即），对称轴在y轴左侧；当a与b异号时（即），对称轴在y轴右侧．（简称：左同右异）③常数项c决定抛物线与y轴交点．抛物线与y轴交于是解答此题的关键． 根据二次函数图象的开口向下，对称轴以及二次函数与y的交点在x轴的下方，与x轴有两个交点，在与时都有，等条件来判断各结论的正确性即可． 【详解】解：①观察图象，∵二次函数的图象开口向下， ∴， ∵抛物线与y轴的交点在x轴下方， ∴， 又∵对称轴为在y轴的右侧， ∴， ∴． ∴， 故①错误； ②∵二次函数与x轴有两个交点， ∴， 故②正确； ③观察图象， 当时，函数值， 故③错误； ④观察图象， 当时，函数值， 故④正确． ∴正确的有②④． 故选：C． 7．如图，四边形和均为正方形，若，则的长为（　　）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了正方形的性质，相似三角形的判定与性质，连接，证明，可得的值，从而可得结论． 【详解】解：连接，如图，    则， ∵ ∴ ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：A． 8．如图，已知以为直径的半圆，为弧上一点，，为弧上任意一点，交于，连接，若，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了圆周角定理，圆内接四边形的想性质，三角形的外接圆，解直角三角形等知识，判断点D在的外接圆上运动是解题的关键． 先求出，，则可判断点D在的外接圆上，设圆心为E，在优弧取点G，连接，，，，，过E作于F，可求，利用等边三角形的判定和性质求出，，利用勾股定理求出，由，当E、D、B三点共线时，最小，最小值为，即可求解． 【详解】解∶连接， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵为直径， ∴， ∴， ∴点D在的外接圆上，设圆心为E，在优弧取点G，连接，，，，，   ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∵， 当E、D、B三点共线时，最小，最小值为， 故答案为：． 9．已知二次函数，当时，或．若，是抛物线上的两点，且，则m的取值范围为（   ） A． B．或 C． D．或 【答案】A 【分析】本题考查的二次函数的图象与性质，能确定出抛物线的开口方向与对称轴是解题的关键． 根据题意先确定出抛物线的开口方向及对称轴,再根据开口向上的抛物线上的点离对称轴距离越大对应的函数值越大得到关于m的不等式组,求解即可得答案． 【详解】解：∵当时， 或， ∴抛物线开口向上，且对称轴是直线， ∴当抛物线上的点离对称轴越近函数值就越小， ∵， 又， 是抛物线上的两点， 且， ∴， ∴， ∴， ， 故选： A． 10．二次函数，线段中，，，将线段向下平移3个单位得到线段，若的图象与线段只有一个公共点，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次函数图象及其性质、线段平移规律，根据线段平移特点求出坐标，再讨论二次函数与线段一个交点的情况，利用排除法即可求解． 【详解】解：，，线段向下平移3个单位得到线段， ∴，， ∴直线解析式为， 二次函数， 当图象过点时，将坐标代入函数式，得，解得， 此时联立解得， ∵， ∴与抛物线有两个交点，故不符合条件； 故排除D选项； 当图象过点时，将坐标代入函数式，得，解得， 此时联立解得， ∵， ∴与抛物线只有一个交点，故符合条件； 故排除A选项； 当时，联立解得， ∵， ∴与抛物线只有一个交点，故符合条件； 故排除B选项． 故选：C． 11．一抛物线的形状，开口方向与相同，其顶点坐标，则此抛物线的解析式为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数图象的性质，设所求抛物线解析式为，再根据二次项系数决定开口方向和形状得到，据此可得答案． 【详解】解：设所求抛物线解析式为， ∵抛物线与抛物线的形状，开口方向都相同， ∴， ∴所求抛物线解析式为， 故选：C． 12．如图，在五角星中，，，，，分别是边与边的交点，若且，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程与几何图形，设，则，根据得，代入后转化为一元二次方程，再解方程并检验即可，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】设，则， ∵， ∴， ， ∴， 解得，（舍去）， 故选：． 13．如图，在半圆中，，将半圆沿弦所在的直线折叠，若弧恰好过圆心，则的长是（   ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了圆的折叠问题，涉及垂径定理，勾股定理，熟练掌握知识点是解题的关键．过点O作，由折叠可得，运用勾股定理可求，再由垂径定理即可求解． 【详解】解：过点O作，如图所示，    ∵将半圆O沿弦所在的直线折叠，若恰好过圆心O， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得，， ∵，经过圆心， ∴， 故选：A． 14．将抛物线位于轴左侧的部分沿轴翻折，其余部分不变，翻折得到的图象和原来不变的部分构成一个新图象，若直线与新图象有且只有2个公共点，则的取值范围是（　　） A．12 B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数的图象的性质、平移的性质、二次函数与二元一次方程的关系等知识点，掌握数形集合思想是解答本题的关键．如图分三段：当直线过点B时，直线与该新图象恰好有一个公共点；当直线过点A时，直线与该新图象恰好有三个公共点；当直线与抛物线相切时，直线与该新图象恰好有三个公共点，据此即可解答． 【详解】解：∵二次函数解析式为：， ∴抛物线的顶点坐标为， 如图：按要求折叠后，新图象的顶点坐标为， 当直线过点时，即，直线与新图象有且只有2个公共点，此时直线； 直线向上移动过程中，与新图象一直有两个公共点，直到过点时有三个公共点，即； 抛物线左侧部分的函数解析式为： ， 当直线与y轴左侧相切时，与新图象有一个公共点， ∴仅有一个解， ∴的， ∴， 解得：． 综上，当或时，直线与新图象有且只有2个公共点． 故选：C． 15．已知二次函数和一次函数的图象在y轴相交于一点，且纵坐标为1，则在同一平面直角坐标系中二次函数和一次函数的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次函数图象，一次函数图象．根据两个函数解析式求得其交点的大致位置，结合函数图象解答． 【详解】解：∵两函数的图象在y轴相交于一点，且纵坐标为1， ∴，， ∴二次函数的解析式为和一次函数的解析式为， 当时，抛物线开口向上，对称轴在y轴的左侧，排除选项B、C和D， 一次函数的图象经过一、二、三象限，选项A符合题意； 当时，抛物线开口向下，对称轴在y轴的右侧，排除选项A、B和C， 一次函数的图象经过一、二、四象限，选项D不符合题意； 综上，选项A符合题意； 故选：A． 16．已知函数，当时，有最大值5，最小值1，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的对称性和增减性，以及求二次函数的最值的方法． 先将该函数的表达式化为顶点式，得出当时，有最小值1，再把代入，求出的值，即可求出的取值范围． 【详解】解：∵， ∴当时，有最小值1， 把代入得：， 解得：， ∵当时，有最大值5，最小值1， ， 故选：C． 17．二次函数，当且时，y的最小值为，最大值为，则的值为（   ） A． B．2 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的最值，结合二次函数图象的开口方向、对称轴以及增减性进行解答即可． 【详解】二次函数 的大致图象如下： ①当时, 当时，取最小值，即， 解得：（正数舍去）， 当时，取最大值，即， 解得：或(均不合题意，舍去)； ②当时, 当时，取最小值，即， 解得：（正数舍去）， 当时，取最大值，即, 解得： 或时，取最小值， 时取最大值， ， ， ， ∴此种情形不合题意， 所以， 故选：D． 18．如图，在矩形中，，，点、分别是边、上的动点，且，点是的中点，、，则四边形面积的最小值为（  ） A．30 B．32 C．35 D．38 【答案】D 【分析】首先连接，，证明在以为圆心，2为半径的圆弧上，过作于，当G在上时，面积取最小值，此时四边形面积取最小值，再进一步解答即可． 【详解】解：连接，， ∵矩形， ∴，， ∵，为的中点， ∴， ∴在以为圆心，2为半径的圆弧上， 过作于， 当G在上时，面积取最小值，此时四边形面积取最小值， 四边形面积=三角形面积+三角形面积， 即四边形面积=三角形面积+24． 设圆弧交于，此时四边形面积取最小值， 由勾股定理得：， ∵， ∴， ∴， 即四边形面积的最小值=． 故选：D． 【点睛】本题考查了勾股定理及矩形中的与动点相关的最值问题，圆的确定，解题的关键是利用直角三角形斜边的直线等于斜边的一半确定出点的运动轨迹． 19．如图，点A的坐标为，点、C是直线上第一象限内的两点，且得到线段．则点C的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了一次函数与几何综合，相似三角形的性质与判定，等腰三角形的判定与性质等，正确作出辅助线构造相似三角形，进而利用相似三角形的性质求解是解题的关键．过点C作交x轴于点D，先证明，可得，设，得，再代入得，再求解即可． 【详解】过点C作交x轴于点D， C是直线上第一象限内的点， ， ， ， ， ， ， ， 设， 则， 点A的坐标为， ， ， ∵， ∴， ， 得， ， 故选A 二、填空题 20．如图，在中，D是的中点，的角平分线交于点F，若，，则的周长为 ． 【答案】 【分析】本题考查平行线分线段成比例定理，角平分线的性质定理等知识，如图，过点F作于点M，于点N，过点D作交于点T，证明，设，证明；设，则，求出，可得结论 【详解】解：过点F作于点M，于点N，过点D作交于点T，如图， ∵平分 ∴， ∴ ∴， 设，则， ∵， ∴ ∴, 设，则， ∵, ∴, ∴ ∴的周长， 故答案为：． 21．如图，直线，若，，则的长度为 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理；熟练掌握平行线分线段成比例定理，并能进行推理计算是解决问题的关键．由平行线分线段成比例定理得出比例式，即可得出的长，再进一步求解即可． 【详解】解：∵， ∴，即， ∴， ∴， 故答案为： 22．已知关于x的二次函数的图象与x轴的一个交点的坐标为．若，则a的取值范围是 ． 【答案】或 【分析】本题考查的是抛物线与x轴的交点，在解答此题时要注意进行分类讨论，不要漏解．先用a表示出抛物线与x轴的交点，再分与两种情况进行讨论即可． 【详解】解：， ∴当时，， ∴抛物线与x轴的交点为和． ∵抛物线与x轴的一个交点的坐标为，且， ∴当时，，解得； 当时，，解得． 故答案为：或． 23．若二次函数的图像经过，直线经过，两点． （1） ； （2）当时，直线与的图像只有一个交点，则的取值范围 ． 【答案】 或 【分析】该题主要考查了二次函数的图象和性质，一次函数和二次函数的解析式求解等知识点，解题的关键是数形结合． （1）将代入即可求解； （2）结合图象分别求出直线经过，两点时，经过，两点时，经过，两点时，n的值即可解答． 【详解】解：（1）将代入得：， 解得：， 故答案为：； （2）由（1）得，二次函数解析式为， 令，则，二次函数与y轴交点坐标为， 令，则， 当直线经过，两点时， 设直线的解析式为， 将，代入得，解得：， 故此时直线的解析式为， 令，则， 即，，此时，直线与的图像有两个交点， 当直线经过，两点时， 设直线的解析式为， 将，代入得，解得：， 故此时直线的解析式为， 令，则， 即，，此时，直线与的图像只有一个交点， ∵， ∴顶点坐标为， 根据图象可得，当直线经过，两点时，直线与的图像只有一个交点， 此时直线的解析式为， 故，； 综上，根据图象可得：当，直线与的图像只有一个交点时，或， 故答案为：或． 24．如图，抛物线与直线交于，两点，则不等式的解集为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了图象法求不等式的解集，根据函数图象可知直线在抛物线上方时，取值范围，即可求解． 【详解】解：根据函数图象可得直线在抛物线上时， 即的解集为， 故答案为：． 25．如图，在钝角三角形中，，动点从点出发沿以的速度向点运动，同时动点从点出发沿以的速度向点运动，当以为顶点的三角形与相似时，运动时间是 ． 【答案】或 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，根据题意，设运动时间为，分别用含的式子表示出，再根据相似三角形的判定，分类讨论：当时，；当时，；由此列式求解即可． 【详解】解：点从的运动时间为，点从的运用时间为， 设运动时间为， ∴， ∵是钝角三角形， ∴， ∵是公共角， ∴当时，， ∴， 解得，，符合题意； 当时，， ∴， 解得，，符合题意； 综上所述，当运动时间是或时，以为顶点的三角形与相似， 故答案为：或 ． 26．如图，是半圆O的直径，弦相交于点P，，D是的中点，则 ． 【答案】/0.5 【分析】本题考查了圆周角定理，圆心角、弧、弦的关系，根据对顶角的性质，求出从而求出，由圆心角、弧、弦的关系求出，从而求出，进而求出． 【详解】解：∵是半圆O的直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵D是的中点， ∴, ∴， ∴， ∴ ∴ ， 故答案为：． 27．如图，是的直径，，点在上，，为的中点，是直径上一动点，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了垂径定理，圆周角定理，勾股定理，解题的关键是确定点的位置．作点关于的对称点，连接交于点，连接，则点就是所求作的点．此时最小，且等于的长，连接，，由，可得，根据为的中点，推出，根据垂径定理可推出，得到，最后根据勾股定理求解即可． 【详解】解：作点关于的对称点，连接交于点，连接，则点就是所求作的点． 此时最小，且等于的长． 连接，， ， ， 为的中点， ， ， ， ， ， 则，又， 则， 故答案为：． 28．若x为全体实数，则函数与的交点有 个． 【答案】2/两 【分析】本题主要考查了绝对值函数的性质、一元二次方程的求解以及函数图像之间的交点判断，利用了分类讨论的思想，解题关键是根据x的取值范围去掉绝对值符号，整理成一般形式求解；根据二次函数的性质，分和两种情况把两函数解析式整理成一般形式，求x的值，确定交点个数即可． 【详解】对于 当时，， ， 解得：或； 当时，， ∴（舍去）或（舍去）； 综上所述：函数与的交点有2个，分别是 和． 故答案为：2． 29．已知抛物线的图象如图①所示，先将抛物线在轴下方的部分沿轴翻折，图象其余部分不变，得到一个新图象如图②，当直线与图象②恰有两个公共点时，则的取值范围为 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查的是二次函数的综合应用，根据题意画出如图，找出新图象与直线恰有两个公共点的条件是解题的关键． 求出翻折部分的解析式，利用数形结合找出临界位置：当直线经过点时，当直线经过点时，当直线与二次函数的图象只有一个交点时，所对应的的值，结合图象即可求解 【详解】解：令，即，解得：， 故，两点的坐标分别为，． 如图，当直线经过点时，，可得， 当直线经过点时，，可得， 所以的取值范围为：； 翻折后的二次函数解析式为二次函数． 当直线与二次函数的图象只有一个交点时，， 整理得：，， 解得：， 所以的取值范围为：． 由图可知，符合题意的的取值范围为：或． 故答案为：或． 30．如图，一段抛物线：，记为，它与x轴交于点O，；将绕点旋转得，交x轴于点；将绕点旋转得，交x轴于点；…如此进行下去，若在其中一段抛物线上，则 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了二次函数图象与几何变换．根据图象的旋转变化规律以及二次函数的平移规律得出平移后解析式，进而求出m的值． 【详解】解：∵一段抛物线：， ∴图象与x轴交点坐标为：，， ∵将绕点旋转得，交x轴于点； 将绕点旋转得，交x轴于点； … 如此进行下去，直至得． ∴的解析式与x轴的交点坐标为，，且图象在x轴下方， ∴的解析式为：， 当时，． 故答案为：． 31．一个扇形的圆心角为，面积为，则此扇形的弧长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了弧长的计算和扇形面积的计算，根据扇形面积公式求得半径，再根据弧长的公式求弧长即可． 【详解】解：令扇形的半径和弧长分别为和， ， ， ． 扇形的弧长为． 故答案为：． 32．一块含角的直角三角板和一块量角器如图摆放（三角板顶点与量角器0刻度处重合），量角器与三角板交于点，经测量知，点为中点，点为弧上一动点，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查点到圆上的最值问题，等腰三角形的判定与性质，勾股定理及垂径定理，设量角器刻度处为点G，为半圆的直径，设的中点为O，则点O为圆心，连接，证明为等腰直角三角形，当点O，E，F在一条直线上时，取得最小值，即可解答． 【详解】解：设量角器刻度处为点G，则为半圆的直径，设的中点为O，则点O为圆心，连接，如图， 点为中点，， ，， ，， 为等腰直角三角形， ， ， 点为弧上一动点， 当点O，E，F在一条直线上时，取得最小值，最小值为． 故答案为：． 33．如图，已知中，，，，点是边上的动点，以为直径作，连接交于点，则的最小值 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理，圆周角定理，三角形三边关系，连接，由圆周角定理可得，得到，即可得动点在以中点为圆心，为半径的圆上运动，可知当在一直线上时，的值最小，利用勾股定理求出即可求解，根据题意找出当点在一直线上时，的值最小是解题的关键． 【详解】解：连接， ∵为直径作， ∴， ∴， ∵， ∴动点在以中点为圆心，为半径的圆上运动， ∵， 当在一直线上时，的值最小， ∵，，， ∴， ∴， 即的最小值为， 故答案为：． 34．如图，在中，点D在边上，，过点A作于点F，交于点E，连接，若，，则的值为 ． 【答案】 【分析】过作交于，交于，过作交于，交于，连接，设，通过等腰三角形的性质推导角度可得，再证明四边形是正方形，得到，再证明得到，最后根据证明求解即可． 【详解】过作交于，交于，过作交于，交于，连接，设， ∵， ∴，垂直平分，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是正方形， ∴， ∴， 设， ∵，， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查正方形的判定与性质，等腰三角形的性质，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质． 三、解答题 35．某商场经营一种新上市的文具，进价为20元，试营销阶段发现：当销售单价为25元时，每天的销售量为250件，销售单价每上涨1元，每天的销售量就减少10件，同时商场规定销售单价不少于36元． (1)若商场每天要获得销售利润2000元，销售单价应定为多少元？ (2)求销售单价定为多少元时，该文具每天的销售利润最大？最大利润为多少元？ 【答案】(1)销售单价应定为40元； (2)当销售单价为36元时，该文具每天的最大利润为2240元． 【分析】本题考查了二次函数的应用、一元二次方程的应用等知识，最大销售利润的问题常利用函数的增减性来解答． （1）设销售单价为x元，可列方程为，解方程即可解决问题． （2）列出二次函数解析式，利用二次函数的性质即可解决问题． 【详解】（1）解：设销售单价为x元，根据题意列方程得， ， 解得（舍去），， 答：销售单价应定为40元； （2）解：设销售单价为x元，每天的销售利润w元， 可列函数解析式为： ． ∵，， ∴函数图象开口向下，当时，w随的增大而减少， ∴当时，w有最大值，最大值为元， 答：当销售单价为36元时，该文具每天的最大利润为2240元． 36．设二次函数，的图像顶点坐标分别为，，若，，且图像开口方向相同，则称是的“同倍项二次函数”． (1)如果是二次函数的一个“同倍项二次函数”，则______，______，______（写出一种符合题意的，，的值即可）； (2)已知关于的二次函数和二次函数，若是的“同倍项二次函数”，求的值． 【答案】(1)，， (2) 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，理解“同倍顶二次函数”的定义是解答的关键． （1）先求出二次函数的顶点式为，二次函数的顶点为，最后根据“同倍顶二次函数”的定义求解即可； （2）先分别将、的顶点式表达出来，进而得到两个函数的顶点坐标，最后根据“同倍顶二次函数”的定义求解即可． 【详解】（1）解： ，， 该函数开口向上，顶点坐标为， 二次函数的顶点为，且是二次函数的一个“同倍项二次函数”， ，，， ，，， 故答案为：，，； （2） ， 其图像的顶点为， ， 其图像的顶点为， 是的“同倍项二次函数”， ， 解得：． 37．已知四边形中，E、F分别是边上的点，与交于点G． (1)如图①，若四边形是矩形，且，求证：； (2)如图②，若将（1）中的矩形改为一般的平行四边形，其余条件不变，求证：； (3)如图③，若，，，，请直接写出的值． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）根据矩形的性质，证明，即可得证； （2）在的延长线上取点，使，由等腰三角形的性质得出，利用平行四边形的性质，证明，得到，等量代换即可得出结论； （3）连接、，交于点，作于，由勾股定理求出，由证明，得出，由等腰三角形的性质得出，，证明，得出对应边成比例求出，由勾股定理求出，由的面积求出，证明，得出对应边成比例，即可得出结果． 【详解】（1）证明：∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）证明：在的延长线上取点，使，则， ∵平行四边形， ∴， ∴， ∵∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：如图所示，连接、，交于点，作于，      ∵，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，解得， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了矩形的性质，平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，以及相似三角形的判定与性质，综合性强，难度较大，属于压轴题，正确添加辅助线，构造相似三角形是解答本题的关键． 38．【问题情境】 （1）如图1，圆与大正方形的各边都相切，小正方形是圆的内接正方形，那么大正方形面积是小正方形面积的几倍？小听将小正方形绕圆心旋转（如图2），这时候就容易发现大正方形面积是小正方形面积的______倍．由此可见，图形变化是解决问题的有效策略； 【操作实践】 （2）如图3，图①是一个对角线互相垂直的四边形，四边a、b、c、d之间存在某种数量关系．小昕按所示步骤进行操作，并将最终图形抽象成图4．请你结合整个变化过程，直接写出图4中以矩形内一点P为端点的四条线段之间的数量关系为______； 【探究应用】 （3）类比【问题情境】中的方法解决问题：如图5，是的直径，、是的弦，且，，，．则图中阴影部分的面积为______． （4）如图6，在图3中“④”的基础上，小昕将绕点P逆时针旋转，他发现旋转过程中存在最大值．若，，当最大时，求的长； ； （5）利用图4中的结论解决问题：如图7，分别过矩形的四个顶点作其内部的的切线，切点分别为E，F，G，H，若，，，则的长为______．（用含a，b，c的代数式表示） 【答案】（1）2；（2）；（3）；（4）；（5） 【分析】（1）利用圆与正多边形的性质分别计算两个正方形的面积可得答案； （2）如图，由，证明，再结合图形变换可得答案； （3）连接，延长交圆于点M，连接，利用三角形面积公式可得到，则图中阴影部分的面积，根据圆周角定理得到，求出，则，从而得到图中阴影部分的面积，然后根据扇形面积公式计算； （4）如图，将绕点逆时针旋转，可得在以为圆心，为半径的圆上运动，可得当与相切时，最大，再进一步解答即可； （5）连接，，设，由勾股定理得，，，，由（2）可知，，整理可得． 【详解】解：如图， ∵圆为正方形的内切圆，为正方形的外接正方形， ∴设，， ∴，， ∴，， ∴大正方形面积是小正方形面积的2倍． 故答案为：2； （2）如图，∵， ∴，， ，， ∴， 如图， 结合图形变换可得：； （3）连接，延长交圆于点M，连接，如图， ∵， ∴， ∴图中阴影部分的面积， ∵为直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴图中阴影部分的面积 ． 故答案为：． （4）如图，∵将绕点逆时针旋转， ∴在以为圆心，为半径的圆上运动， ∵为圆外一个定点， ∴当与相切时，最大， ∴， ∴， 由（2）可得：， ∵，， ∴ ， ∴； （5）如图，连接，， 设， ∵分别过矩形的四个顶点作其内部的的切线，切点分别为E，F，G，H， ∴， ∴，，，， 由（2）可知，， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，轴对称的性质，旋转的性质，圆与正多边形的关系，切线的性质，作出合适的辅助线是解本题的关键． 39．如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A位于点B的左侧），与y轴交于C点，抛物线的对称轴l与x轴交于点N，长为1的线段（点P位于点Q的上方）在x轴上方的抛物线对称轴上运动． (1)直接写出A，B，C三点的坐标； (2)求的最小值以及此时点P的坐标； (3)过点P作轴于点M，当和相似时，求点Q的坐标． 【答案】(1) (2)最小值为6，点P的坐标为 (3)Q点坐标为 【分析】（1）令，解一元二次方程即可求得抛物线与x轴的两个交点A、B的坐标；令，则可求得抛物线与y轴的交点C的坐标； （2）把点B向上平移1个单位到点D，连接，则四边形是平行四边形，从而有，故，当点P在线段上时，取得最小值，由勾股定理求得的长，即可求得最小值；再求出直线的解析式，即可求得点P的坐标； （3）设，则得P点坐标；分两种情况考虑，利用相似三角形的性质建立方程即可求得t的值，从而求得点Q的坐标． 【详解】（1）解：令，解得：， ∴； 令，则， ∴； （2）解：把点B向上平移1个单位到点D，连接，如图； 则，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， 当点P在线段上时，取得最小值，且最小值为； 由勾股定理得， ∴最小值为； 设直线的解析式为，把C、D坐标代入得：， 解得：， ∴直线的解析式为， ∵抛物线的对称轴为直线， ∴当时，， 即点P的坐标为； （3）解：设， ∵抛物线对称轴为直线，， ∴，， ∴，； ∵轴， ∴，； ①当时， 则，即， ∴， 解得：， 此时，Q点坐标为； ②当时， 则，即， ∴， 整理得：， ， 则方程无解； 综上，Q点坐标为． 【点睛】本题是二次函数的综合，考查了二次函数的图象与性质，抛物线与坐标轴的交点，求一次函数解析式，相似三角形的性质，平行四边形的判定，两点间线段最短等知识，注意分类讨论；熟练掌握这些知识是关键． 40．某数学小组对数学学习中有关汽车的刹车距离有疑惑，于是他们走进汽车研发中心考察． 【知识背景】“道路千万条，安全第一条”．汽车刹车后还要继续向前行驶一段距离才能停止，这段距离称为刹车距离． 【探究发现】汽车研发中心设计一款新型汽车，现在模拟汽车在高速公路上以某一速度行驶时，对它的刹车性能进行测试，数学小组收集、整理数据，并绘制函数图象． 发现：开始刹车后行驶的距离y（单位：m）与刹车后行驶时间t（单位：s）之间成二次函数关系，函数图象如图所示． 【问题解决】请根据以上信息，完成下列问题： (1)求二次函数的解析式（不要求写出自变量的取值范围）； (2)若在汽车前处，有一测速仪，当汽车刹车过程中，经过多少时间，汽车超过测速仪； (3)若汽车司机发现正前方处有一辆抛锚的车停在路面，立刻刹车，问该车在不变道的情况下是否会撞到抛锚的车？试说明理由． 【答案】(1) (2)汽车刹车后，汽车与测速仪相距 (3)不会，理由见解析 【分析】本题考查了二次函数的实际应用，熟练掌握用待定系数法求解二次函数解析式的方法和步骤是解题的关键． （1）设，将，，代入，求出a、b、c的值，即可得出函数解析式； （2）求出当时的t的值，即可解答； （3）将二次函数解析式化为顶点式，求出最大值，再与80进行比较即可． 【详解】（1）解：设， 将，，代入得： ，解得：， ∴y关于t的函数解析式为； （2）解：根据题意得， 解得， 答：汽车刹车后，汽车超过测速仪； （3）解：不会．理由如下： ∵， ∴当时，汽车停下，行驶了， ∵， ∴该车在不变道的情况下不会撞到抛锚的车． 41．已知二次函数（m为常数，）． (1)当时，求该函数的图象的顶点坐标； (2)当m取不同的值时，该函数的图象总经过一个或几个定点，求出所有定点的坐标； (3)已知，．若该函数的图象与线段恰有1个公共点，直接写出m的取值范围． 【答案】(1)顶点坐标为； (2)定点坐标为，． (3)当或或时，该函数的图象与线段恰有1个公共点 【分析】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键； （1）把代入，求出顶点坐标即可； （2）把化为，即可求出定点坐标； （3）根据题意，结合图象．即可求出的取值范围． 【详解】（1）解：当时， ， 顶点坐标为； （2）解：， 当时，即或时，的值与无关， 当时，， 时，， 定点坐标为，． （3）解：， 当时，， ， ， 当时，，该函数的图象与线段恰有1个公共点．是定点， 即：，解得． 当时，，，即抛物线与直线的两交点坐标为，，． ①时，抛物线开口向上，过，两点， ． 在的左边，不在线段上， ∴该函数的图象与线段恰有1个公共点．是定点， ∴此时： ②时，抛物线开口向下，过点在线段上， 抛物线不能过点． 时，， ， ． ，该函数的图象与线段恰有1个公共点． 当或或时，该函数的图象与线段恰有1个公共点． 42．如图，已知点在抛物线上，过点A且平行于x轴的直线交抛物线于点B． (1)求a的值和点B的坐标； (2)若点P是抛物线上一点，当以点A，B，P为顶点构成的的面积为2时，求点P的坐标． 【答案】(1)， (2)或或或 【分析】本题主要考查了二次函数综合，求二次函数解析式，二次函数的对称性等等： （1）先把点A坐标代入解析式中求出a的值，即求出抛物线解析式，再根据对称性即可求出点B的坐标； （2）先求出，再根据题意可得，据此求出点P的纵坐标即可得到答案． 【详解】（1）解：把代入中得：， ∴， ∴抛物线解析式为， ∴抛物线的对称轴为y轴， ∵轴，且点B在抛物线上， ∴点A和点B关于抛物线对称轴对称，即关于y轴对称， ∴ （2）解：∵，， ∴， ∵的面积为2，轴， ∴， ∴， ∴或， 在中，当时，，当时，， ∴点P的坐标为或或或． 43．已知二次函数． (1)若其图象经过点，求此二次函数的表达式； (2)当时，随的增大而增大，则的取值范围是______； (3)点是函数图象上两个点，满足且，试比较和的大小关系． 【答案】(1)； (2) (3)时，；时，；时，． 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，掌握二次函数的性质，是解题的关键． （1）待定系数法求解析式即可； （2）先判断出，根据对称轴，据此求解即可； （3）求出，根据的取值进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点， ∴， 解得：， ∴二次函数的表达式为； （2）解：当时，随的增大而增大， ∴，， 解得：； （3）解：∵点是函数图象上两个点， ∴， ∴ ， ∵， ∴； ∵， ∴， ∴当时，； 当，； 当时，． 44．如图，抛物线与轴交于点、两点，与轴交点，连接，顶点为． (1)求抛物线的解析式及顶点的坐标； (2)已知点是抛物线上的一点，连接，若，求点的坐标． (3)如图2，若是直线上方抛物线上一动点，连接交于点，当的值最大时，求点的坐标． 【答案】(1)， (2)点的坐标为：或 (3) 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）分点P在上方和下方两种情况讨论，点P在上方时，根据内错角相等，两直线平行，得到，即得到点P纵坐标与点C纵坐标相等，即可求解；点P在下方时，设直线与x轴交于点G，此时，，求出点G的坐标，再求出直线的解析式，联立二次函数即可求解； （3）过点作轴，交于点，设，直线的解析式为，然后求出直线的解析式为：，得到点坐标，进而可得，最后根据进行求解． 【详解】（1）解：抛物线与轴交于点、两点， ， 解得：， 抛物线的解析式为； ， 顶点； （2）解：如图，当点P在上方时， ， ， 令抛物线的解析式中，则， ， 点P纵坐标与点C纵坐标相等，即， ，即， 解得：或（舍去）， ； 如图，当点P在下方时，设直线与x轴交于点G， ， ， ， ， 设，则， ， 在中，， ， 解得：， ， 设直线的解析式， 则， 解得：， 直线的解析式为， 联立，即， 解得：或（舍去）， 则， ； 综上，点的坐标为：或； （3）解：过点作轴，交于点，如图所示： 设，直线的解析式为， 由（1）可知：，， ， 解得：， 直线的解析式为：， ， ， 轴， ， ， 当时，有值最大， 则， ． 【点睛】本题考查二次函数综合应用，涉及待定系数法、二次函数图象上点坐标的特征、相似三角形的判定及性质、等腰三角形的判定等知识，熟练掌握分类讨论的思想是解题的关键． 45．已知抛物线，为实数． (1)如果该抛物线经过点，求此抛物线的顶点坐标． (2)如果当时，的最大值为4，求的值． (3)点，点，如果该抛物线与线段（不含端点）恰有一个交点，求的取值范围． 【答案】(1) (2)， (3)或 【分析】（1）利用待定系数法求出函数表达式，然后化成顶点式，从而解得答案； （2）先求出函数的对称轴为，判断函数的开口向上，判断出当时，取最大值4，代入从而求得答案； （3）当，，当时，，当交点在线段之间时，那么且，或者当时，，从而解得答案； 【详解】（1）解：该抛物线经过点 解得 顶点坐标为 （2）解： 对称轴为，函数图象开口向上 ， 当时，取最大值4 解得， （3）解： 当， 当时， 当交点在线段之间时，当时， 解得； 当时， 解得； 综上，或． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的顶点坐标，二次函数的最值，二次函数与线段的交点问题，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 46．如图，抛物线交x轴于O，两点，顶点为，点C为的中点． （1）求抛物线的表达式； （2）点D为线段上一动点（O点除外），在右侧作平行四边形．连接，，求的最小值． 拓展设问  如图，过点C作轴，交抛物线于点E，在抛物线对称轴上找一点M，使的值最大，请求出点M的坐标及这个最大值． 【答案】（1）；（2）；拓展设问：， 【分析】（1）直接利用待定系数法求解，即可得到抛物线的表达式； （2）根据线段中点的特点得到点C，设点，利用平行四边形特点得到点，过点B作直线轴，作点F关于直线l的对称点，连接，利用三角形三边关系可推出当D，B，三点共线时，的值最小为，利用勾股定理求解，即可解题； 拓展设问：根据题画出草图，并利用抛物线解析式推出点E的坐标，利用对称和三角形三边关系得到当O，E，M三点共线时，值最大，且的最大值为的长，利用勾股定理算出，再根据点E的坐标得到直线的表达式，进而求得点M的坐标，即可解题． 【详解】解：（1）抛物线的顶点为， ， 将点A的坐标代入解析式得， 解得， ∴抛物线的表达式为； （2）点C为的中点， 中点坐标式得C， 设点， 四边形为平行四边形， 则点， 如图，过点B作直线轴，作点F关于直线l的对称点，连接， 则， 当D，B，三点共线时，的值最小， 则的最小值为． 拓展设问： 解：根据题意，作图如下： 由（2）知点C横坐标为，代入，得， 点E的坐标为， 抛物线的对称轴为直线， O点和A点关于直线对称， ， ， 当O，E，M三点共线时，即式子取等号，值最大， 的最大值为的长， ∴， 直线的表达式为， ∴当时，，此时点M的坐标为， 点M的坐标为时，的值最大，最大值为． 【点睛】本题考查待定系数法求函数解析式，二次函数的图象和性质，坐标与图形，三角形三边关系，平行四边形性质，轴对称性质，勾股定理，线段中点坐标，解题的关键在于利用轴对称和三角形三边关系找出线段和差的最大最小值情况． 47．如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，连接． (1)求A、B，C三点的坐标； (2)求直线的函数表达式． (3)点P是直线下方抛物线上的一个动点，过点P作的平行线l，交线段于点D．在直线l上是否存在点E，使得以点为顶点的四边形为菱形，若存在，求出点E的坐标，若不存在，请说明理由； 【答案】(1) (2)直线的函数表达式为 (3)存在点E，使得以点D，C，B，E为顶点的四边形为菱形，点E的坐标为或 【分析】（1）分别令即可求出、、三点的坐标； （2）根据、三点的坐标求直线的函数表达式即可； （3）根据直线的表达式设点，然后分为四边形是菱形和四边形是菱形两种情况分别讨论即可． 【详解】（1）解：当时，， 解得：， ∴， 当时，， ∴； （2）解：∵， 设直线的表达式为：； 将代入得：， 解得：， ∴直线的函数表达式为； （3）解：存在： 设直线的表达式为：； 将代入得：， 解得：， 故直线的表达式为：； 设点的坐标为，其中， ， ， ， ∴当时，以点为顶点的四边形为平行四边形， 分两种情况： 如图，当时，四边形为菱形， ， ， 解得：（舍去）， ∴点的坐标为， ∵点B向左移动2各单位长度，向下移动6个单位长度得到点C， ∴点D向左移动2各单位长度，向下移动6个单位长度得到点E， ∴点E的坐标为； 如图，当时，四边形为菱形， ， ， 解得：(舍去)， ∴点的坐标为， ∵点C向右移动2个单位长度，向上移动6个单位长度得到点B， ∴点D向右移动2个单位长度，向上移动6个单位长度得到点E， ∴点的坐标为； 综上，存在点，使得以点为顶点的四边形为菱形，点的坐标为或． 【点睛】本题考查了二次函数图象的性质、一次函数图象的性质、一次函数的解析式、勾股定理、菱形的性质，熟练掌握菱形的性质和待定系数法是解题的关键． 48．如图1，已知四边形是矩形，点在的延长线上，，与相交于点，与相交于点，． (1)求证：； (2)若，求的长； (3)如图2，连接，求证：． 【答案】(1)见解析 (2) (3)见解析 【分析】（1）先证，得出，再证得，即可得出结论； （2）由（1）得，由可得，得，即，解出的长即可； （3）在线段上取点，使得，连接，先证明，得出，，再证得为等腰直角三角形，即可得出结论． 【详解】（1）证明：四边形是矩形，点在的延长线上， ， 在和中， ， ， ， ， ， ； （2）由（1）得，， ∵四边形是矩形， ∴， ∴ ∴ ∴ ∴ 解之得（负值舍去） （3）证明：如图，在线段上取点，使得，连接， 在与中， ， ， ，， ， 为等腰直角三角形， ． 【点睛】本题考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质等知识，在线段上截取，证得是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$