期中复习（易错题52题28个考点）-2024-2025学年九年级数学上学期期中期末考点归纳满分攻略讲练（苏科版）

期中复习（易错题52题28个考点） 范围：九年级第一～五单元 一．一元二次方程的一般形式（共1小题） 1．将一元二次方程2x2﹣1＝3x化成一般形式后，一次项系数是（　　） A．﹣1 B．0 C．3 D．﹣3 二．一元二次方程的解（共4小题） 2．若一元二次方程（k﹣1）x2+3x+k2﹣1＝0的一个根为0，则k的值为（　　） A．k＝0 B．k＝1 C．k＝﹣1 D．k＝1或k＝﹣1 3．若关于x的一元二次方程x2﹣x﹣m＝0的一个根是x＝3，则m的值是（　　） A．﹣6 B．﹣3 C．3 D．6 4．已知m是一元二次方程x2﹣3x+2＝0的一个根，则代数式2m2﹣6m+2022的值为（　　） A．2018 B．2020 C．2022 D．2024 5．若关于x的一元二次方程ax2+bx+2＝0（a≠0）有一根为x＝2024，则一元二次方程a（x﹣2）2+bx﹣2b＝﹣2必有一根为（　　） A．2024 B．2025 C．2026 D．2027 三．解一元二次方程-配方法（共1小题） 6．将一元二次方程x2﹣2x﹣1＝0配方后所得的方程是（　　） A．（x﹣2）2＝0 B．（x﹣1）2＝2 C．（x﹣1）2＝1 D．（x﹣2）2＝2 四．根的判别式（共1小题） 7．若关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+x+1＝0有实数根，则k的取值范围是（　　） A． B． C．且k≠1 D．且k≠1 五．根与系数的关系（共1小题） 8．已知m，n是方程x2+x﹣3＝0的两个实数根，则m2+2m+n+2022的值是　 　． 六．由实际问题抽象出一元二次方程（共1小题） 9．某厂一月份生产某机器100台，计划二、三月份共生产280台．设二、三月份每月的平均增长率为x，根据题意列出的方程是（　　） A．100（1+x）2＝280 B．100（1+x）+100（1+x）2＝280 C．100（1﹣x）2＝280 D．100+100（1+x）+100（1+x）2＝280 七．二次函数的图象（共1小题） 10．在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝ax+c和二次函数y＝ax2+c的图象大致为（　　） A． B． C． D． 八．二次函数的性质（共4小题） 11．抛物线y＝x2﹣4x﹣5的顶点坐标是（　　） A．（2，1） B．（2，﹣9） C．（﹣2，1） D．（﹣2，﹣9） 12．小明在学习函数后，在“几何画板”软件中绘制了函数y＝x2（x﹣3）的图象，如图所示．通过观察此图象，下列说法错误的是（　　） A．点（2，﹣4）在y＝x2（x﹣3）的图象上 B．若x＜3，则y＜0 C．x3﹣3x2﹣kx+2k＝0最多有三个实数根 D．当0＜x＜2时，y随x的增大而减小 13．如图，在抛物线y＝x2的内部依次画正方形，使对角线在y轴上，另两个顶点落在抛物线上．按此规律类推，第2024个正方形的边长是 　 　． 14．已知抛物线y＝mx（x﹣3）+1（m≠0）与y轴的交点为A，对称轴为直线x＝a，将点A向上平移1个单位，得到点B，过点A作平行于x轴的直线l，在直线l上取一点C，点C的横坐标为m+1． （1）a＝　 　； （2）探求抛物线经过的定点坐标； （3）若m＞0，当﹣2≤x≤k时，求y的最小值．（可用含m、k的代数式表示）； （4）若线段BC与抛物线只有一个公共点，则m的取值范围是 　 　． 九．二次函数图象与系数的关系（共3小题） 15．二次函数y＝ax2+bx+c满足以下三个条件：①ac＞0；②b2＞4ac；③a﹣b+c＜0，则它的图象可能是（　　） A． B． C． D． 16．如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴是直线x＝1，其部分图象如图，则下面结论中： ①bc＜0；②2a+b＝0；③3a+c＞0；④4a+b＞4ac；⑤若点P（m，n）在此抛物线上，且n＜c，则m＜0． 所有正确结论的序号为（　　） A．①② B．②④ C．②③ D．④⑤ 17．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图，图象过点（﹣1，0），下列结论：①b2＞4ac；②4a+b＝0；③4a+c＞2b，④﹣3b+c＞0，⑤若顶点坐标为（2，4），则方程ax2+bx+c＝5没有实数根．其中正确的结论有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 一十．二次函数图象上点的坐标特征（共1小题） 18．若A（﹣1，y1），B（﹣5，y2），C（0，y3）为二次函数y＝x2+4x﹣m的图象上的三点，则y1，y2，y3的大小关系是（　　） A．y1＜y2＜y3 B．y1＜y3＜y2 C．y3＜y1＜y2 D．y2＜y1＜y3 一十一．二次函数图象与几何变换（共2小题） 19．将抛物线y＝x2﹣2x﹣3位于y轴左侧的部分沿x轴翻折，其余部分不变，翻折得到的图象和原来不变的部分构成一个新图象，若直线y＝m与新图象有且只有2个公共点，则t的取值范围是（　　） A．﹣3＜m≤3 B．﹣3≤m＜3或m＝﹣4 C．﹣3＜m＜3或m＝﹣4 D．﹣3＜m≤3或m＝4 20．如图，将二次函数y＝x2﹣4位于x轴的下方的图象沿x轴翻折，得到一个新函数的图象（实线部分）． （1）当x＝﹣3时，新函数值为　 　，当x＝1时，新函数值为　 　；当x＝　 　时，新函数有最小值； （2）当新函数中函数y随x的增大而增大时，自变量x的范围是　 　； （3）直线y＝a与新函数图象有两个公共点时，a的取值范围　 　． 一十二．二次函数的最值（共1小题） 21．如图，在△ABC中，∠C＝90°，BC＝4cm，AB＝5cm，点P从点A出发，沿AC向点C以1cm/s的速度运动，同时点Q从点C出发，沿CB向点B以2cm/s的速度运动（当点Q运动到点B时，点P，Q同时停止运动）．在运动过程中，四边形PABQ的面积最小为（　　） A． B． C． D． 一十三．待定系数法求二次函数解析式（共1小题） 22．已知抛物线y＝ax2﹣2ax+c的图象经过点（﹣1，0），（0，3）． （1）求这个二次函数的表达式． （2）当﹣2≤x≤t时，函数的最大值为m，最小值为n，若m﹣n＝9，求t的取值范围． 一十四．抛物线与x轴的交点（共3小题） 23．如图，抛物线y＝x2﹣4x+3与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，顶点为E，把这条抛物线向上平移至顶点F落在x轴上，则两条抛物线、对称轴和y轴围成的图形（图中阴影部分）的面积S是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 24．若抛物线y＝x2+2x﹣a（a为常数）与x轴有且只有一个交点，则a的值为 　 　． 25．我们定义一种新函数：形如y＝|ax2+bx+c|（a≠0，b2﹣4ac＞0）的函数叫做“鹊桥”函数．小蕾同学画出“鹊桥”函数y＝|x2﹣2x﹣3|的图象（如图所示），并写出下列四个结论： ①图象与坐标轴的交点为（﹣1，0），（3，0）和（0，3）； ②当x＝1时，函数有最大值4； ③当﹣1≤x≤1或x≥3时，函数值y随x值的增大而增大； ④函数与直线y＝m有4个公共点，则m的取值范围是0＜m≤4． 其中所有正确结论的序号是 　 　． 一十五．二次函数与不等式（组）（共1小题） 26．如图，一次函数y＝kx+b（k≠0）与抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）相交于A、B两点，则关于x的不等式ax2+bx+c＞kx+b的解集为（　　） A． x＜﹣2或x＞2 B．x＞2 C．x＜2 D．﹣2＜x＜2 一十六．二次函数的应用（共4小题） 27．一座拱桥的轮廓是抛物线型（如图所示），桥高为8米，拱高6米，跨度20米．相邻两支柱间的距离均为5米，则支柱MN的高度为（　　）米． A．2.5米 B．3米 C．3.5米 D．4米 28．公园要建造圆形的喷水池如图①，水面中心O处垂直于水面安装一个柱子，柱子顶端处的喷头向外喷水，水流在各个方向沿形状相同的抛物线落下．安装师傅调试发现，喷头上移动时，抛物线形水柱随之竖直上下平移，水柱落点与点O在同一水平面．如图②，喷头高5m时，水柱落点距O点5m；喷头高8m时，水柱落点距O点6m．现要使水柱落点距O点8m，则喷头高应调整为 　 　m． 29．飞机着陆后滑行的距离s（米）与滑行时间t（秒）的关系满足．当滑行时间为10秒时，滑行距离为450米，则飞机从着陆到停止，滑行的时间是 　 　秒． 30．2024年是农历甲辰龙年，含有“龙”元素的饰品深受大众喜爱．商场购进一批单价为70元的“吉祥龙”公仔，并以每个80元售出．由于销售火爆，公仔的销售单价经过两次调整后，上涨到每个125元，此时每天可售出75个． （1）若销售单价每次上涨的百分率相同，求该百分率； （2）市场调查发现：销售单价每降低1元，其销售量相应增加5个．那么销售单价应降低多少，才能使每天所获销售利润最大？最大利润是多少？ 一十七．二次函数综合题（共4小题） 31．如图1，一块矩形电子屏ABCD中，G为BC上一感应点，GC＝2，动点P为一光点，当光点在光带上运动时，会与感应点发生反应，照亮以GP为边的正方形区域GPEF．因发生故障，只有光带CM和MB正常工作，CM＝4，光点P以每秒1个单位的速度从C点出发，沿C→M→B匀速运动，到达点B时停止．设光点P的运动时间为t秒，照亮的正方形区域GPEF的面积为S．图2为P点在运动过程中S与t的函数图象，其中点Q表示P点运动到B点时情形． （1）t＝1时，照亮的区域面积S＝　 　，并求a值． （2）当点P经过M点又运动4秒时，照亮区域的面积达到了最小，已知此时S是t的二次函数． ①求出点P在线段MB上运动时S关于t的函数解析式； ②点P从开始运动到停止的整个过程中，直接写出t为何值时，照亮区域GPEF的面积S为17． 32．【问题呈现】如图①，点P在⊙O外，连结PO交⊙O于A、B两点（PA＜PB），点C在⊙O上，连结PC．求证：PA≤PC≤PB． 【问题解决】小明发现，可以利用“三角形的三边关系”解决问题．下面是部分证明过程： 证明：（i）当点C与点A重合时 PC＝PA 当点C与点B重合时 PC＝PB （ii）当点C不与点A、B重合时，连结OC 证明过程缺失 综上：PA≤PC≤PB 请补全缺失的证明过程． 【结论应用】如图②，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线y＝a（x+3）2+4与x轴交于A、O两点，其对称轴交x轴于点B，交抛物线于点C．以点C为圆心，2为半径作C，点D为⊙C上的动点，连结AD、OD，点E为AD的中点，连结BE，则BE的最小值为 　 　． 【拓展提升】如图③，在正方形ABCD中，AB＝4，点P、Q分别是边AB、AD上的动点，AP＝DQ，连结CP、BQ，CP交BQ于点E，连结DE，点F是DE的中点，连结CF，则CF的最大值为 　 　． 33．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的图象经过点（﹣1，2）． （1）若抛物线的顶点为（1，﹣2），求函数的表达式． （2）在（1）的条件下，若函数图象过点A（k，p），B（﹣4﹣k，q），求证：p+q≥14． （3）若函数图象经过点（m，0），（n，0），其中m＞2，且关于x的方程ax2+bx+c＝﹣2x有两个相等的实数根，求n的取值范围． 34．如图，二次函数y＝ax2﹣4x+c（a≠0）的图象与x轴交于点A、B（3，0），与y轴交于点C（0，3），点P（m，n）是抛物线上的动点． （1）求抛物线的表达式； （2）如图1，当m＝2时，求△BCP的面积； （3）当∠PCB＝15°时，求点P的坐标； （4）如图2，点Q是抛物线对称轴上一点，是否存在点P，使△POQ是以点P为直角顶点的等腰直角三角形，若存在，请直接写出m的值；若不存在，请说明理由． 一十八．垂径定理（共1小题） 35．如图，在平面直角坐标系中，A（6，0）、B（0，8），点C在y轴正半轴上，点D在x轴正半轴上，且CD＝6，以CD为直径在第一象限作半圆，交线段AB于E、F，则线段EF的最大值为 　 　． 一十九．圆周角定理（共5小题） 36．如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点E，连接AC、AD．若∠BAC＝28°，则∠D的度数是（　　） A．56° B．58° C．60° D．62° 37．如图，在⊙O中，弦AB＝6cm，∠ACB＝30°，则⊙O的半径是（　　） A．6cm B．8cm C．10cm D．12cm 38．如图，点A，B，C在⊙O上，C为弧AB的中点．若∠AOB＝144°，则∠BAC等于（　　） A．36° B．45° C．30° D．48° 39．如图，已知矩形ABCD的一边AB长为12，点P为边AD上一动点，连接BP、CP，且满足∠BPC＝30°，则BC的值可能是（　　） A．6 B．6.8 C． D． 40．如图，点A、B、C在⊙O上，∠ABO＝30°，∠ACO＝40°，则∠BOC等于（　　） A．60° B．70° C．120° D．140° 二十．三角形的外接圆与外心（共1小题） 41．如图，在3×3的正方形网格中，小正方形的顶点称为格点，顶点均在格点上的图形称为格点图形，图中的圆弧为格点△ABC外接圆的一部分，小正方形边长为1，图中阴影部分的面积为（　　） A．π﹣ B．π﹣ C．π﹣ D．π﹣ 二十一．切线的判定与性质（共1小题） 42．如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，⊙O的切线PC交BA的延长线于点P，OF∥BC交AC于点E，交PC于点F，连接AF． （1）求证：直线AF是⊙O的切线； （2）若∠AOF＝30°，，求阴影部分的面积． 二十二．扇形面积的计算（共1小题） 43．如图1是一块弘扬“社会主义核心价值观”的扇面宣传展板，该展板的部分示意图如图2所示，它是以A为圆心，AB，AC夹角为120°，AB的长为45cm，扇面BD的长为30cm，则扇面的面积为（　　） A．375πcm2 B．450πcm2 C．600πcm2 D．750πcm2 二十三．圆柱的计算（共1小题） 44．把一个底面半径是5cm、高是9cm的圆锥，完全浸没在一个底面直径是20cm的圆柱形水槽中（如图），取出圆锥后，水面将下降（　　）cm． A．0.75 B．1 C．2.25 二十四．算术平均数（共1小题） 45．样本数据2、a、3、4的平均数是3，则a的值是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 二十五．中位数（共2小题） 46．为深入贯彻落实《中共中央、国务院关于学习运用“千村示范、万村整治”工程经验有力有效推进乡村全面振兴的意见》精神，某镇组织开展“村BA”、村超、村晚等群众文化赛事活动，其中参赛的六个村得分分别为：55，64，51，50，61，55，则这组数据的中位数是（　　） A．53 B．55 C．58 D．64 47．第33届夏季奥林匹克运动会（即2024年巴黎奥运会）将于2024年7月26日开幕．如表是中国体育代表团近7届夏季奥运会获得金牌数量的统计结果（单位：块）： 1996亚特兰大 2000悉尼 2004雅典 2008北京 2012伦敦 016里约 2020东京 16 28 32 48 38 26 38 那么中国体育代表团近7届夏季奥运会获得金牌数量的中位数是（　　） A．48块 B．38块 C．28块 D．32块 二十六．可能性的大小（共1小题） 48．甲、乙、丙、丁、戊五位同学参加一次节日活动，很幸运的是他们都得到了一件精美的礼品（如图），他们每人只能从其中一串的最下端取一件礼品，直到礼物取完为止，甲第一个取得礼物，然后乙，丙，丁，戊依次取得第2到第5件礼物，当然取法各种各样，那么他们共有　 　种不同的取法．事后他们打开礼物仔细比较，发现礼物D最精美，那么取得礼物D可能性最大的是　 　同学． 二十七．概率公式（共3小题） 49．一个不透明的口袋中装有8个黑球和若干个白球，每个球除颜色外都相同．摇匀后随机摸一球，已知摸到白球的概率是，估计袋中白球的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 50．如图，某展览大厅有A，B两个入口，C，D，E三个出口，小明任选一个入口进入展览大厅，参观结束后任选一个出口离开，不同的出入路线一共有（　　） A．3种 B．4种 C．5种 D．6种 51．为了能够帮助武汉疫情，某公司通过武汉市慈善总会二维码给武汉捐款，根据捐款情况制成不完整的扇形统计图（图1）、条形统计图（图2）． （1）根据以上信息可知参加捐款总人数为　 　，m＝　 　，捐款金额中位数为　 　，请补全条形统计图； （2）若从捐款的人中，随机选一人代表公司去其它公司做捐款宣传，求选中捐款不低于150元的人的概率； （3）若其它公司有几人参与了捐款活动，把新捐款数与原捐款数合并成一组新数据，发现众数发生改变，请求出至少有几人参与捐款． 二十八．几何概率（共1小题） 52．如图，四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间是个小正方形，这个图形是我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，现分别连接大、小正方形的四组顶点得到图2的“风车”图案（阴影部分）．若图1中的四个直角三角形的较长直角边为9，较短直角边为5，现随机向图2大正方形内掷一枚小针，则针尖落在阴影区域的概率为 　 　． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 期中复习（易错题52题28个考点） 范围：九年级第一～五单元 一．一元二次方程的一般形式（共1小题） 1．将一元二次方程2x2﹣1＝3x化成一般形式后，一次项系数是（　　） A．﹣1 B．0 C．3 D．﹣3 【答案】D 【解答】解：一元二次方程2x2﹣1＝3x化成一般形式为：2x2﹣3x﹣1＝0，一次项系数是﹣3， 故选：D． 二．一元二次方程的解（共4小题） 2．若一元二次方程（k﹣1）x2+3x+k2﹣1＝0的一个根为0，则k的值为（　　） A．k＝0 B．k＝1 C．k＝﹣1 D．k＝1或k＝﹣1 【答案】C 【解答】解：把x＝0代入一元二次方程（k﹣1）x2+3x+k2﹣1＝0， 得k2﹣1＝0， 解得k＝﹣1或1； 又k﹣1≠0， 即k≠1； 所以k＝﹣1． 故选：C． 3．若关于x的一元二次方程x2﹣x﹣m＝0的一个根是x＝3，则m的值是（　　） A．﹣6 B．﹣3 C．3 D．6 【答案】D 【解答】解：由题意得：把x＝3代入方程x2﹣x﹣m＝0中得： 32﹣3﹣m＝0， 解得：m＝6， 故选：D． 4．已知m是一元二次方程x2﹣3x+2＝0的一个根，则代数式2m2﹣6m+2022的值为（　　） A．2018 B．2020 C．2022 D．2024 【答案】A 【解答】解：由题意得：把x＝m代入方程x2﹣3x+2＝0中得： m2﹣3m+2＝0， ∴m2﹣3m＝﹣2， ∴2m2﹣6m+2022＝2（m2﹣3m）+2022 ＝2×（﹣2）+2022 ＝﹣4+2022 ＝2018， 故选：A． 5．若关于x的一元二次方程ax2+bx+2＝0（a≠0）有一根为x＝2024，则一元二次方程a（x﹣2）2+bx﹣2b＝﹣2必有一根为（　　） A．2024 B．2025 C．2026 D．2027 【答案】C 【解答】解：a（x﹣2）2+bx﹣2b＝﹣2， 整理得：a（x﹣2）2+b（x﹣2）+2＝0， 设x﹣2＝m， ∴am2+bm+2＝0， ∵关于x的一元二次方程ax2+bx+2＝0（a≠0）有一根为x＝2024， ∴am2+bm+2＝0有一个根为m＝2024， ∴x﹣2＝2024， 解得：x＝2026， ∴一元二次方程a（x﹣2）2+bx﹣2b＝﹣2必有一根为2026， 故选：C． 三．解一元二次方程-配方法（共1小题） 6．将一元二次方程x2﹣2x﹣1＝0配方后所得的方程是（　　） A．（x﹣2）2＝0 B．（x﹣1）2＝2 C．（x﹣1）2＝1 D．（x﹣2）2＝2 【答案】B 【解答】解：x2﹣2x﹣1＝0， x2﹣2x＝1， x2﹣2x+1＝1+1， （x﹣1）2＝2， 故选：B． 四．根的判别式（共1小题） 7．若关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+x+1＝0有实数根，则k的取值范围是（　　） A． B． C．且k≠1 D．且k≠1 【答案】D 【解答】解：由题意得：Δ＝b2﹣4ac＝1﹣4（k﹣1）≥0，且k﹣1≠0， 解得：且k≠1； 故选：D． 五．根与系数的关系（共1小题） 8．已知m，n是方程x2+x﹣3＝0的两个实数根，则m2+2m+n+2022的值是　2024　． 【答案】2024． 【解答】解：由题意，∵m，n是方程x2+x﹣3＝0的两个实数根， ∴m+n＝﹣1，m2+m﹣3＝0． ∴m2+2m+n+2022＝m2+m+m+n+2022 ＝3+（﹣1）+2022 ＝2024． 故答案为：2024． 六．由实际问题抽象出一元二次方程（共1小题） 9．某厂一月份生产某机器100台，计划二、三月份共生产280台．设二、三月份每月的平均增长率为x，根据题意列出的方程是（　　） A．100（1+x）2＝280 B．100（1+x）+100（1+x）2＝280 C．100（1﹣x）2＝280 D．100+100（1+x）+100（1+x）2＝280 【答案】B 【解答】解：设二、三月份每月的平均增长率为x， 则二月份生产机器为：100（1+x）， 三月份生产机器为：100（1+x）2； 又知二、三月份共生产280台； 所以，可列方程：100（1+x）+100（1+x）2＝280． 故选：B． 七．二次函数的图象（共1小题） 10．在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝ax+c和二次函数y＝ax2+c的图象大致为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解答】解：∵一次函数和二次函数都经过y轴上的（0，c）， ∴两个函数图象交于y轴上的同一点，故B选项错误； 当a＞0时，二次函数开口向上，一次函数经过一、三象限，故C选项错误； 当a＜0时，二次函数开口向下，一次函数经过二、四象限，故A选项错误； 故选：D． 八．二次函数的性质（共4小题） 11．抛物线y＝x2﹣4x﹣5的顶点坐标是（　　） A．（2，1） B．（2，﹣9） C．（﹣2，1） D．（﹣2，﹣9） 【答案】B 【解答】解：由题意，∵抛物线为y＝x2﹣4x﹣5＝（x﹣2）2﹣9， ∴其顶点坐标为（2，﹣9）． 故选：B． 12．小明在学习函数后，在“几何画板”软件中绘制了函数y＝x2（x﹣3）的图象，如图所示．通过观察此图象，下列说法错误的是（　　） A．点（2，﹣4）在y＝x2（x﹣3）的图象上 B．若x＜3，则y＜0 C．x3﹣3x2﹣kx+2k＝0最多有三个实数根 D．当0＜x＜2时，y随x的增大而减小 【答案】B 【解答】解：由题意，对于A，当x＝2时，y＝﹣4， ∴点（2，﹣4）在y＝x2（x﹣3）的图象上，故A正确，不合题意； 对于B，结合图象可得 若x＜3，则y≤0， ∴B错误，符合题意； 对于C，∵函数y＝x3﹣3x2与直线y＝kx﹣2k＝k（x﹣2）的交点如图所示， ∴函数y＝x3﹣3x2与直线y＝kx﹣2k＝k（x﹣2）的交点最多3个． ∴方程x3﹣3x2﹣kx+2k＝0最多有三个实数根，故C正确，不符合题意； 对于D，结合图象可得，当0＜x＜2时，y随x的增大而减小， ∴D正确，不合题意． 故选：B． 13．如图，在抛物线y＝x2的内部依次画正方形，使对角线在y轴上，另两个顶点落在抛物线上．按此规律类推，第2024个正方形的边长是 　　． 【答案】． 【解答】解：根据题意，∠B1OA1＝45°，即直线OA1是第一象限的角平分线，则解析式为y＝x， 联立， 解得或． 故A1（1，1）， ∴OA1＝＝，OB1＝2，即第1个正方形边长为． ∵∠B2B1A2＝45°＝∠B1OA1， ∴直线B1A2的解析式中的x系数与直线OA1的解析式中x系数相等，且经过B1（0，2）． ∴直线B1A2的解析式为y＝x+2， 联立， 解得或． 故A2（2，4）， ∴A2B1＝＝2，OB2＝6，即第2个正方形边长为2． ∵∠B3B2A3＝45°＝∠B2B1A2， ∴直线B2A3的解析式中的x系数与直线OA1的解析式中x系数相等，且经过B2（0，6）， ∴直线B2A3的解析式为y＝x+6， 联立， ∴解得或． 故A3（3，9）． ∴A3B2＝＝3，OB3＝12，即第3个正方形边长为3． … 按此规律类推，第n个正方形的边长为n． ∴第2024个正方形的边长是2024． 故答案为：． 14．已知抛物线y＝mx（x﹣3）+1（m≠0）与y轴的交点为A，对称轴为直线x＝a，将点A向上平移1个单位，得到点B，过点A作平行于x轴的直线l，在直线l上取一点C，点C的横坐标为m+1． （1）a＝　　； （2）探求抛物线经过的定点坐标； （3）若m＞0，当﹣2≤x≤k时，求y的最小值．（可用含m、k的代数式表示）； （4）若线段BC与抛物线只有一个公共点，则m的取值范围是 　﹣1≤m＜0或m≥2　． 【答案】（1）；（2）抛物线必过（0，1）；（3）mk2﹣3mk+1或﹣m+1；（4）﹣1≤m＜0或m≥2． 【解答】解：（1）由题意，y＝mx（x﹣3）+1＝mx2﹣3mx+1， ∴对称轴为直线x＝﹣＝． ∴a＝． 故答案为：． （2）由题意，∵抛物线为y＝mx2﹣3mx+1， ∴当x＝0时，y＝1． ∴抛物线必过（0，1）． （3）由题意，∵抛物线的对称轴是直线x＝， 又m＞0， ∴当x＜时，y随x的增大而减小；当x＞时，y随x的增大而增大． ∴①当k≤时，由﹣2≤x≤k， ∴当x＝k时，y取最小值为mk2﹣3mk+1． ②当k＞时，由﹣2≤x≤k， ∴当x＝时，y取最小值为﹣m+1． 综上，y的最小值为mk2﹣3mk+1或﹣m+1． （4）当x＝0时，y＝1， ∴点A的坐标为（0，1），则点B的坐标为（0，2），直线l为y＝1， ∴点C的坐标为（m+1，1）， ∵对称轴为直线， ∴抛物线与直线l的另一个交点为D（3，1）， 当m＞0时，如图， 由图象知：m+1≤0或m+1≥3， 解得m≤﹣1或m≥2， ∴m≥2； 当m＜0时，如图， 由图象知：0≤m+1＜3， 解得﹣1≤m＜0， 综上，﹣1≤m＜0或m≥2． 故答案为：﹣1≤m＜0或m≥2． 九．二次函数图象与系数的关系（共3小题） 15．二次函数y＝ax2+bx+c满足以下三个条件：①ac＞0；②b2＞4ac；③a﹣b+c＜0，则它的图象可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解答】解：∵二次函数y＝ax2+bx+c满足以下三个条件：①ac＞0；②b2＞4ac；③a﹣b+c＜0， 由①a，c同号，排除D选项． 由②可得b2﹣4ac＞0，则抛物线与x轴有两个不同的交点，故排除A选项． 由③可知：当x＝﹣1时，y＜0，排除B选项． 故满足条件的图象可能是C， 故选：C． 16．如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴是直线x＝1，其部分图象如图，则下面结论中： ①bc＜0；②2a+b＝0；③3a+c＞0；④4a+b＞4ac；⑤若点P（m，n）在此抛物线上，且n＜c，则m＜0． 所有正确结论的序号为（　　） A．①② B．②④ C．②③ D．④⑤ 【答案】B 【解答】解：∵抛物线开口向下， a＜0；对称轴为x＝1，， ∴b＞0，c＞0， ∴bc＞0；2a+b＝0； 故①错误；②正确； 设抛物线与x轴的交点为（x1，0），（x2，0）且（x2，0）在正半轴上， ∵0＜x2＜3，对称轴是直线x＝1， ∴， ∴x2＝2﹣x1， ∵0＜2﹣x1＜3， ∴﹣1＜x1＜0， ∴x＝﹣1时，a﹣b+c＜0， ∵2a+b＝0， ∴3a+c＜0， 故③错误； ∵c＞1， ∴c＞． ∴2c＞1． ∵a＜0， ∴4ac＜2a． ∴2a＞4ac． ∴4a+b＞4ac． ∴故④正确； 根据题意，n＝am2+mb+c＜c， ∴am2﹣2am＜0； ∴am（m﹣2）＜0， ∵a＜0， ∴m（m﹣2）＞0， 解得m＜0或m＞2，可判断⑤的正误． 故⑤错误； 故选B． 17．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图，图象过点（﹣1，0），下列结论：①b2＞4ac；②4a+b＝0；③4a+c＞2b，④﹣3b+c＞0，⑤若顶点坐标为（2，4），则方程ax2+bx+c＝5没有实数根．其中正确的结论有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【解答】解：由题意，∵抛物线的对称轴是直线x＝2，且抛物线过（﹣1，0）， ∴抛物线必过点（2+3，0），即（5，0）． ∴抛物线与x轴有两个交点． ∴b2﹣4ac＞0，即b2＞4ac，故①正确． ∵抛物线的对称轴是直线x＝2＝﹣， ∴b＝﹣4a，则4a+b＝0，故②正确． ∵由图象可得当x＝﹣2时，y＝4a﹣2b+c＜0， ∴4a+c＜2b，故③错误． ∵当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＝0， ∴b＝a+c 又b＝﹣4a， ∴﹣4a＝a+c，故c＝﹣5a． ∴﹣3b+c＝﹣3×（﹣4a）﹣5a＝7a， ∵抛物线的开口向下，a＜0， ∴7a＜0，故④错误． ∵顶点坐标为（2，4）， 又抛物线开口向下， ∴抛物线y＝ax2+bx+c有最大值为4． ∴直线y＝5与抛物线y＝ax2+bx+c没有交点． ∴方程ax2+bx+c＝5没有实数根，故⑤正确． 综上，正确的有3个． 故选：B． 一十．二次函数图象上点的坐标特征（共1小题） 18．若A（﹣1，y1），B（﹣5，y2），C（0，y3）为二次函数y＝x2+4x﹣m的图象上的三点，则y1，y2，y3的大小关系是（　　） A．y1＜y2＜y3 B．y1＜y3＜y2 C．y3＜y1＜y2 D．y2＜y1＜y3 【答案】B 【解答】解：由题意，∵抛物线为y＝x2+4x﹣m＝（x+2）2﹣4﹣m， ∴抛物线的对称轴是直线x＝﹣2，且抛物线开口向上． ∴抛物线上的点离对称轴越近函数值越小． ∵A（﹣1，y1），B（﹣5，y2），C（0，y3），且﹣1﹣（﹣2）＝1＜0﹣（﹣2）＝2＜﹣2﹣（﹣5）＝3， ∴y1＜y3＜y2． 故选：B． 一十一．二次函数图象与几何变换（共2小题） 19．将抛物线y＝x2﹣2x﹣3位于y轴左侧的部分沿x轴翻折，其余部分不变，翻折得到的图象和原来不变的部分构成一个新图象，若直线y＝m与新图象有且只有2个公共点，则t的取值范围是（　　） A．﹣3＜m≤3 B．﹣3≤m＜3或m＝﹣4 C．﹣3＜m＜3或m＝﹣4 D．﹣3＜m≤3或m＝4 【答案】C 【解答】解：由题意，抛物线为y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4， ∴抛物线y＝x2﹣2x﹣3位于y轴左侧的部分沿x轴翻折后的图象如下． 又直线y＝m与新图象有且只有2个公共点，如图， ∴﹣3＜m＜3或m＝﹣4． 故选：C． 20．如图，将二次函数y＝x2﹣4位于x轴的下方的图象沿x轴翻折，得到一个新函数的图象（实线部分）． （1）当x＝﹣3时，新函数值为　5　，当x＝1时，新函数值为　3　；当x＝　﹣2或2　时，新函数有最小值； （2）当新函数中函数y随x的增大而增大时，自变量x的范围是　﹣2≤x≤0或x≥2　； （3）直线y＝a与新函数图象有两个公共点时，a的取值范围　a＝0或a＞4　． 【答案】（1）5；3；2或﹣2；（2）﹣2≤x≤0或x≥2；（3）a＝0或a＞4． 【解答】解：由题意，∵将二次函数y＝x2﹣4位于x的下方的图象沿x轴翻折，得到一个新函数， ∴新函数的解析式为y＝|x2﹣4|． （1）∵新函数的解析式为y＝|x2﹣4|， ∴当x＝﹣3时，新函数值为5．当x＝1时，新函数值为3． 结合函数图象可得，当x＝2或﹣2时，新函数有最小值． 故答案为：5；3；2或﹣2． （2）如图， 当新函数中函数y随x的增大而增大时，自变量x的范围是﹣2≤x≤0或x≥2． 故答案为：﹣2≤x≤0或x≥2． （3）如图， ∴直线y＝a与新函数图象有两个公共点时，a的取值范围a＝0或a＞4． 故答案为：a＝0或a＞4． 一十二．二次函数的最值（共1小题） 21．如图，在△ABC中，∠C＝90°，BC＝4cm，AB＝5cm，点P从点A出发，沿AC向点C以1cm/s的速度运动，同时点Q从点C出发，沿CB向点B以2cm/s的速度运动（当点Q运动到点B时，点P，Q同时停止运动）．在运动过程中，四边形PABQ的面积最小为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解答】解：设点P的运动时间为x，四边形PABQ面积为y， 则AP＝x，CQ＝2x， 在△ABC中，∠C＝90°，AB＝5cm，BC＝4cm， ∴CA＝＝3cm． ∴CP＝3﹣x， ∴y＝×3×4﹣×2x（3﹣x）＝（x﹣）2+． ∴当x＝时，y有最小值， 故选：C． 一十三．待定系数法求二次函数解析式（共1小题） 22．已知抛物线y＝ax2﹣2ax+c的图象经过点（﹣1，0），（0，3）． （1）求这个二次函数的表达式． （2）当﹣2≤x≤t时，函数的最大值为m，最小值为n，若m﹣n＝9，求t的取值范围． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2﹣2ax+c的图象经过点（﹣1，0），（0，3）， ∴a+2a+c＝0，且c＝3． ∴a＝﹣1． ∴所求二次函数的表达式为y＝﹣x2+2x+3． （2）由题意，∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4， ∴当x＝1时，y取最大值为4． ①当t≤1时， 又﹣2≤x≤t， ∴当x＝t时，y取最大值为﹣t2+2t+3＝m； 当x＝﹣2时，y取最小值为﹣4﹣4+3＝n． 又m﹣n＝9， ∴﹣t2+2t+3﹣（﹣5）＝9． ∴t2﹣2t+1＝0． ∴t＝1． ②当t＞1时， 若t﹣1≤1﹣（﹣2），即t≤4， ∴1＜t≤4． ∴当x＝1时，y取最大值为﹣12+2+3＝4＝m； 当x＝﹣2时，y取最小值为﹣4﹣4+3＝﹣5＝n，此时m﹣n＝9，符合题意． 若t﹣1＞1﹣（﹣2），即t＞4， ∴当x＝1时，y取最大值为﹣12+2+3＝4＝m； 当x＝t时，y取最小值为﹣t2+2t+3＝n． 又m﹣n＝9， ∴n＝﹣5． ∴﹣t2+2t+3＝﹣5． ∴t＝﹣2或t＝4，不合题意． 综上，1≤t≤4． 一十四．抛物线与x轴的交点（共3小题） 23．如图，抛物线y＝x2﹣4x+3与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，顶点为E，把这条抛物线向上平移至顶点F落在x轴上，则两条抛物线、对称轴和y轴围成的图形（图中阴影部分）的面积S是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解答】解：如图连接EC、DF． ∵y＝x2﹣4x+3与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C， ∴点C坐标（0，3），点A坐标（1，0），点B坐标（3，0），顶点E（2，﹣1）． ∵抛物线向上平移，顶点落在x轴上， ∴向上平移了1个单位． ∴点F坐标（2，0）． ∴S阴＝S平行四边形CDFE＝1×2＝2． 故选：B． 24．若抛物线y＝x2+2x﹣a（a为常数）与x轴有且只有一个交点，则a的值为 　﹣1　． 【答案】﹣1． 【解答】解：由题意，∵物线y＝x2+2x﹣a与x轴有且只有一个交点， ∴Δ＝22﹣4×1×（﹣a）＝4+4a＝0． ∴a＝﹣1． 故答案为：﹣1． 25．我们定义一种新函数：形如y＝|ax2+bx+c|（a≠0，b2﹣4ac＞0）的函数叫做“鹊桥”函数．小蕾同学画出“鹊桥”函数y＝|x2﹣2x﹣3|的图象（如图所示），并写出下列四个结论： ①图象与坐标轴的交点为（﹣1，0），（3，0）和（0，3）； ②当x＝1时，函数有最大值4； ③当﹣1≤x≤1或x≥3时，函数值y随x值的增大而增大； ④函数与直线y＝m有4个公共点，则m的取值范围是0＜m≤4． 其中所有正确结论的序号是 　①③　． 【答案】①③． 【解答】解：令y＝|x2﹣2x﹣3|＝0，解得x1＝﹣1，x2＝3，即图象与x轴有两个交点（﹣1，0），（3，0）， 令x＝0，得y＝3，即图象与y轴的交点为（0，3）， 即图象与坐标轴的交点（﹣1，0），（3，0）和（0，3），故①正确． 由图象可知，当x＜﹣1时，函数值随x的减小而增大，当x＞3时，函数值随x的增大而增大，均存在大于顶点坐标的函数值，故当x＝1时的函数值4并非最大值，故②错误． 根据函数的图象和性质，发现当﹣1≤x≤1或x≥3时，函数值y随x值的增大而增大，故③正确． 由图象可知，函数与直线y＝m有4个公共点，则m的取值范围是0＜m＜4，故④错误． 故答案为：①③． 一十五．二次函数与不等式（组）（共1小题） 26．如图，一次函数y＝kx+b（k≠0）与抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）相交于A、B两点，则关于x的不等式ax2+bx+c＞kx+b的解集为（　　） A．x＜﹣2或x＞2 B．x＞2 C．x＜2 D．﹣2＜x＜2 【答案】A 【解答】解：由题意，∵关于x的不等式ax2+bx+c＞kx+b的解集为函数y＝ax2+bx+c的图象在函数y＝kx+b的图象上方部分对应的自变量的取值范围， 又一次函数y＝kx+b（k≠0）与抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）相交于A、B两点的横坐标分别为﹣2，2， ∴结合图象可得，不等式ax2+bx+c＞kx+b的解集为x＜﹣2或x＞2． 故选：A． 一十六．二次函数的应用（共4小题） 27．一座拱桥的轮廓是抛物线型（如图所示），桥高为8米，拱高6米，跨度20米．相邻两支柱间的距离均为5米，则支柱MN的高度为（　　）米． A．2.5米 B．3米 C．3.5米 D．4米 【答案】C 【解答】解：如图， 设拱桥两端分别为点A、B，以AB所在的直线为x轴，则点A（﹣10，0），B（10，0），C（0，6），点M，N的横坐标为5， 设抛物线的解析式为y＝ax2+c， 把点A（﹣10，0），C（0，6）代入得： ，解得：， ∴抛物线的解析式为， 当x＝5时，， ∴支柱MN的高度为8﹣4.5＝3.5米． 故选：C． 28．公园要建造圆形的喷水池如图①，水面中心O处垂直于水面安装一个柱子，柱子顶端处的喷头向外喷水，水流在各个方向沿形状相同的抛物线落下．安装师傅调试发现，喷头上移动时，抛物线形水柱随之竖直上下平移，水柱落点与点O在同一水平面．如图②，喷头高5m时，水柱落点距O点5m；喷头高8m时，水柱落点距O点6m．现要使水柱落点距O点8m，则喷头高应调整为 　16　m． 【答案】16． 【解答】解：由题意，在调整喷头高度的过程中，水柱的形状不发生变化， 当喷头高5m时，可设y＝ax2+bx+5， 将（5，0）代入解析式得出25a+5b+5＝0， 整理得5a+b+1＝0①； 喷头高8m时，可设y＝ax2+bx+8； 将（6，0）代入解析式得36a+6b+8＝0②， 联立可求出a＝﹣，b＝． 由喷头高为hm时， ∴此时的解析式为y＝﹣x2+x+h， 令x＝8，可得﹣×82+×8+h＝0， ∴h＝16． ∴喷头高为16 m． 故答案为：16． 29．飞机着陆后滑行的距离s（米）与滑行时间t（秒）的关系满足．当滑行时间为10秒时，滑行距离为450米，则飞机从着陆到停止，滑行的时间是 　20　秒． 【答案】20． 【解答】解：由题意，∵， 又t＝10s，s＝450m， ∴450＝﹣×102+10b． ∴b＝60． ∴函数关系式为s＝﹣t2+60t． 又s＝﹣t2+60t＝﹣（t2﹣40t+400）+600＝﹣（t﹣20）2+600， ∴当t＝20时，飞机着陆后滑行600米停下． 故答案为：20． 30．2024年是农历甲辰龙年，含有“龙”元素的饰品深受大众喜爱．商场购进一批单价为70元的“吉祥龙”公仔，并以每个80元售出．由于销售火爆，公仔的销售单价经过两次调整后，上涨到每个125元，此时每天可售出75个． （1）若销售单价每次上涨的百分率相同，求该百分率； （2）市场调查发现：销售单价每降低1元，其销售量相应增加5个．那么销售单价应降低多少，才能使每天所获销售利润最大？最大利润是多少？ 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）由题意，设每次上涨的百分率为m， 依题意，得：80（1+m）2＝125， 解得：m1＝0.25＝25%，m2＝﹣2.25（不合题意，舍去）． 答：每次上涨的百分率为25%． （2）由题意，设每个售价为x元， ∴每天的利润w＝（x﹣70）[75+5（125﹣x）] ＝（x﹣70）（700﹣5x） ＝﹣5x2+1050x﹣49000 ＝﹣5（x﹣105）2+6125． ∴当x＝105时，每天的最大利润为6125． ∴每个应降价（125﹣105）元，即每个应降价20元． 答：每个应降价20元，才能使每天利润达到最大，最大利润为6125元． 一十七．二次函数综合题（共4小题） 31．如图1，一块矩形电子屏ABCD中，G为BC上一感应点，GC＝2，动点P为一光点，当光点在光带上运动时，会与感应点发生反应，照亮以GP为边的正方形区域GPEF．因发生故障，只有光带CM和MB正常工作，CM＝4，光点P以每秒1个单位的速度从C点出发，沿C→M→B匀速运动，到达点B时停止．设光点P的运动时间为t秒，照亮的正方形区域GPEF的面积为S．图2为P点在运动过程中S与t的函数图象，其中点Q表示P点运动到B点时情形． （1）t＝1时，照亮的区域面积S＝　9　，并求a值． （2）当点P经过M点又运动4秒时，照亮区域的面积达到了最小，已知此时S是t的二次函数． ①求出点P在线段MB上运动时S关于t的函数解析式； ②点P从开始运动到停止的整个过程中，直接写出t为何值时，照亮区域GPEF的面积S为17． 【答案】（1）9；a＝24； （2）①S＝t2﹣16t+72． ②t的值为3s、5s或11s时，照亮区域GPEF的面积S为17． 【解答】解：（1）∵t＝1，点P的速度为每秒1个单位， ∴PC＝1， ∵四边形ABCD为矩形，∠C＝90°，GC＝2， ∴PG＝＝3， ∴S＝32＝9， 由图2可知，t＝4时S＝a， ∵CM＝4， ∴t＝4时，点P运动到点M， ∴PG＝＝2， ∴a＝S＝（2）2＝24． 故答案为：9； （2）如图，连接GM， ∵点P经过M点又运动4秒时，照亮区域的面积达到了最小， ∴此时GP⊥BM，PM＝CM＝4， 在Rt△MGC和Rt△MGP中， ， ∴Rt△MGC≌Rt△MGP（HL）， ∴PG＝CG＝2， ∴S＝（2）2＝8， ∴t＝8时，S＝8， 由图2可知，点P运动到点B时，S＝72， ∴PG＝BG＝＝6， ∴BC＝BG+CG＝8，BM＝＝＝12， ∴t＝16时，S＝72， 设S＝at2+bt+c（a≠0）， ∴， 解得：， ∴S＝t2﹣16t+72． ②当点P在CM上时，PC＝t， ∴S＝PG2＝CG2+PC2＝（2）2+t2＝17， 解得：t＝3，（负值舍去） 当点P在BM上时，S＝t2﹣16t+72＝17， 解得：t1＝5，t2＝11， 综上所述：t的值为3s、5s或11s时，照亮区域GPEF的面积S为17． 32．【问题呈现】如图①，点P在⊙O外，连结PO交⊙O于A、B两点（PA＜PB），点C在⊙O上，连结PC．求证：PA≤PC≤PB． 【问题解决】小明发现，可以利用“三角形的三边关系”解决问题．下面是部分证明过程： 证明：（i）当点C与点A重合时 PC＝PA 当点C与点B重合时 PC＝PB （ii）当点C不与点A、B重合时，连结OC 证明过程缺失 综上：PA≤PC≤PB 请补全缺失的证明过程． 【结论应用】如图②，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线y＝a（x+3）2+4与x轴交于A、O两点，其对称轴交x轴于点B，交抛物线于点C．以点C为圆心，2为半径作C，点D为⊙C上的动点，连结AD、OD，点E为AD的中点，连结BE，则BE的最小值为 　1.5　． 【拓展提升】如图③，在正方形ABCD中，AB＝4，点P、Q分别是边AB、AD上的动点，AP＝DQ，连结CP、BQ，CP交BQ于点E，连结DE，点F是DE的中点，连结CF，则CF的最大值为 　+1　． 【答案】【问题解决】缺失的证明过程见解答部分【结论应用】1.5． 【拓展提升】+1． 【解答】解：【问题解决】缺失的证明过程如下： 当点C不与点A、B重合时，连结OC，如图， 则在△POC中有：PO﹣OC＜PC＜PO+OC， 又∵OB＝OC＝OA， ∴PO﹣OA＜PC＜PO+OB，即PA＜PC＜PB； 【结论应用】连接OC，交⊙O于点F，如图， ∵抛物线y＝a（x+3）2+4与x轴交于A、O两点，其对称轴交x轴于点B，交抛物线于点C， ∴点B是AO的中点，点C是抛物线的顶点， ∴顶点C的坐标为（﹣3，4）， ∴OC＝＝5， ∵圆⊙C的半径为2， ∴CF＝2； ∴OF＝OC﹣CF＝5﹣2＝3； 由【问题解决】可知OD≥OF， ∴OD≥3， ∴OD的最小值为3； ∵点B是AO的中点，点E为AD的中点， ∴BE＝OD， ∴BE的最小值为＝1.5． 故答案为：1.5． 【拓展提升】取BC的中点G，连接DG，EG，取DG的中点H，连接CH，FH，如图， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝AD＝BC＝CD＝4，∠BAD＝∠ABC＝∠BCD＝∠ADC＝90°， ∵AP+PB＝AB，AQ+QD＝AD，AP＝QD， ∴BP＝AQ； ∴△ABQ≌△BCP（SAS）， ∴∠ABQ＝∠BCP， ∵∠ABQ+∠CBQ＝90°， ∴∠BCP+∠CBQ＝90°， ∵∠BCP+∠CBQ+∠BEC＝180°， ∴∠BEC＝180°﹣90°＝90°； ∵点G是BC的中点， ∴EG＝BC＝2， ∵点F是DE的中点，点H是GD的中点， ∴FH＝EG＝1， 在Rt△DCG中，CD＝4，CG＝BC＝2， ∴DG＝＝2； 又∵点H是GD的中点， ∴CH＝DG＝； 当C、H、F不共线时，则CH+HF＞CF； 当C、H、F共线时，则CH+HF＝CF； ∴CH+HF≥CF，即CF≤+1； ∴CF的最大值为+1； 故答案为：+1． 33．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的图象经过点（﹣1，2）． （1）若抛物线的顶点为（1，﹣2），求函数的表达式． （2）在（1）的条件下，若函数图象过点A（k，p），B（﹣4﹣k，q），求证：p+q≥14． （3）若函数图象经过点（m，0），（n，0），其中m＞2，且关于x的方程ax2+bx+c＝﹣2x有两个相等的实数根，求n的取值范围． 【答案】（1）y＝x2﹣2x﹣1； （2）见详解； ． 【解答】（1）解：由题意，∵抛物线的顶点为（1，﹣2）， ∴可设抛物线为y＝a（x﹣1）2﹣2． 又图象经过点（﹣1，2）， ∴2＝a（﹣1﹣1）2﹣2． ∴a＝1． ∴函数表达式为y＝（x﹣1）2﹣2＝x2﹣2x﹣1． （2）证明：根据题意，函数图象过点A（k，p），B（﹣4﹣k，q）， 分别将点A（k，p），B（﹣4﹣k，q）代入函数解析式y＝x2﹣2x﹣1， 可得p＝k2﹣2k﹣1，q＝（﹣4﹣k）2﹣2（﹣4﹣k）﹣1＝k2+10k+23， ∴p+q＝k2﹣2k﹣1+k2+10k+23＝2k2+8k+22＝2（k+2）2+14， ∵（k+2）≥0， ∴p+q≥14； （3）解：∵二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点（﹣1，2）， ∴2＝a﹣b+c， ∴b+2＝a+c， 将方程ax2+bx+c＝﹣2x整理可得，ax2+（b+2）x+c＝0， ∵该方程有两个相等的实数根， ∵Δ＝（b+2）2﹣4ac＝（a+c）2﹣4ac＝（a﹣c）2＝0， ∴a＝c， ∴可有b+2＝2a，即有2a﹣b＝2①， 该二次函数解析式为y＝ax2+bx+a， 当m＝2时，即该二次函数图象经过点（2，0）时， 若a＜0，即该函数图象开口向下，如图， 此时该函数图象与y轴交点在y轴的正半轴上，此时a＞0，故不符合题意； 若a＞0，即该函数图象开口向上，如图， 则有4a+2b+a＝0，即5a+2b＝0②，联立①②，可得， 解得， ∴该函数解析式为， 令y＝0，得， 解得x1＝2，， ∴此时； 当m逐渐增大时，该函数图象与x轴的另一交点逐渐向左运动，函数图象与y轴的交点逐渐向下运动， ∵该函数图象开口向上，a＝c＞0， ∴函数图象与y轴的交点在y轴的正半轴上， ∴函数图象与x轴的交点在x轴的正半轴上， ∴当m逐渐增大时，有n＞0． 综上所述，n的取值范围为． 34．如图，二次函数y＝ax2﹣4x+c（a≠0）的图象与x轴交于点A、B（3，0），与y轴交于点C（0，3），点P（m，n）是抛物线上的动点． （1）求抛物线的表达式； （2）如图1，当m＝2时，求△BCP的面积； （3）当∠PCB＝15°时，求点P的坐标； （4）如图2，点Q是抛物线对称轴上一点，是否存在点P，使△POQ是以点P为直角顶点的等腰直角三角形，若存在，请直接写出m的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）y＝x2﹣4x+3； （2）3； （3）P（4﹣；（4）m的值是． 【解答】解：（1）把B（3，0），点C（0，3）代入二次函数y＝ax2﹣4x+c中得： ， 解得：， ∴抛物线的表达式为：y＝x2﹣4x+3； （2）∵点P（m，n）是抛物线上的动点，m＝2， ∴n＝4﹣8+3＝﹣1， ∴P（2，﹣1）， 设PC的解析式为：y＝kx+b，PC与x轴交于点H， 把C（0，3）和P（2，﹣1）代入得：， ∴， ∴PC的解析式为：y＝﹣2x+3， 当y＝0时，﹣2x+3＝0， x＝， ∴BH＝OB﹣OH＝3﹣＝， ∴△BCP的面积＝S△BHC+S△PBH＝××3+××1＝3； （3）如图1，∵C（0，3），B（3，0）， ∴OB＝OC＝3， ∵∠BOC＝90°， ∴∠BCO＝45°， ∵∠PCB＝15°， ∴∠OCH＝45°﹣15°＝30°， ∴OH＝CH， ∵OC＝3， ∴OH＝， ∴H（，0）， 同理可求得PC的解析式为：y＝﹣x+3， ∴x2﹣4x+3＝﹣x+3， 解得：x1＝0（舍），x2＝4﹣， ∴P（4﹣，6﹣4）； 当点P位于直线BC上方时，P（4﹣，）． 综上，P（4﹣，6﹣4）或（4﹣，）． （4）如图2，过点P作DE∥x轴，交y轴于D，交对称轴于点E， 由题意得：P（m，m2﹣4m+3）， ∵y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1， ∴抛物线对称轴是直线x＝2， ∵△OPQ是等腰直角三角形， ∴∠OPQ＝90°，OP＝PQ， ∴∠EPQ+∠OPD＝90°， ∵∠OPD+∠POD＝90°， ∴∠POD＝∠EPQ， ∵∠ODP＝∠PEQ＝90°， ∴△ODP≌△PEQ（AAS）， ∴PE＝OD， ∴2﹣m＝m2﹣4m+3， ∴m2﹣3m+1＝0， ∴m1＝（如图3），m2＝； 如图4，过点P作DE∥x轴，交y轴于D，交对称轴于点E， 同理可得：PE＝OD， ∴2﹣m＝﹣m2+4m﹣3， ∴m2﹣5m+5＝0， 解得：m1＝，m2＝， 综上，m的值是或． 一十八．垂径定理（共1小题） 35．如图，在平面直角坐标系中，A（6，0）、B（0，8），点C在y轴正半轴上，点D在x轴正半轴上，且CD＝6，以CD为直径在第一象限作半圆，交线段AB于E、F，则线段EF的最大值为 　4.8　． 【答案】4.8． 【解答】解：过CD的中点作EF的垂线与AB交于点M，连接GF， ∵GM⊥EF， ∴EF＝2FM＝2＝2， 当GM的值最小时，EF的值最大， 根据垂线段最短可知，当直线过O点时，EF的值最大， ∵A（6，0），B（0，8）， ∴AB＝10， ∵sin∠OAB＝＝， ∴OM＝4.8， ∵CD＝6， ∴OG＝3， ∴GM＝1.8， ∴FM＝2.4， ∴EF＝4.8； 故答案为：4.8． 一十九．圆周角定理（共5小题） 36．如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点E，连接AC、AD．若∠BAC＝28°，则∠D的度数是（　　） A．56° B．58° C．60° D．62° 【答案】D 【解答】解：连接BC， ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB＝90°， ∵∠BAC＝28°， ∴∠B＝90°﹣∠BAC＝62°， ∴∠B＝∠D＝62°， 故选：D． 37．如图，在⊙O中，弦AB＝6cm，∠ACB＝30°，则⊙O的半径是（　　） A．6cm B．8cm C．10cm D．12cm 【答案】A 【解答】解：连接OA，OB， ∵所对的圆周角∠ACB＝30°， ∴所对的圆心角∠AOB＝2∠ACB＝60°， ∵OA＝OB， ∴△AOB 是等边三角形， ∴AO＝BO＝AB＝6cm， ∴⊙O的半径是6cm， 故选：A． 38．如图，点A，B，C在⊙O上，C为弧AB的中点．若∠AOB＝144°，则∠BAC等于（　　） A．36° B．45° C．30° D．48° 【答案】A 【解答】解：∵∠AOB＝144°，C为弧AB的中点， ∴∠AOC＝∠BOC＝∠AOB＝72°， ∴∠BAC＝∠BOC＝36°． 故选：A． 39．如图，已知矩形ABCD的一边AB长为12，点P为边AD上一动点，连接BP、CP，且满足∠BPC＝30°，则BC的值可能是（　　） A．6 B．6.8 C． D． 【答案】B 【解答】解：①如图1，当点P与点A重合时，∠BPC最小， ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠B＝90°， ∵AB＝12，∠BPC＝30°， ∴BC＝＝＝4≈6.928， 此时BC是满足题意的最大值； ②如图2，当点P是AD的中点时，∠BPC最大，此时BC最小， 过点B作BE⊥CP于E， 设BE＝a，AP＝x，则BC＝AD＝2x， ∵∠BPC＝30°， ∴BP＝2BE＝2a，PE＝a， ∴， 解得：x＝24+12（舍）或24﹣12， ∴BC＝2x＝48﹣24， 综上，48﹣24≤BC≤4，即6.432≤BC≤6.928． 故选：B． 40．如图，点A、B、C在⊙O上，∠ABO＝30°，∠ACO＝40°，则∠BOC等于（　　） A．60° B．70° C．120° D．140° 【答案】D 【解答】解：连接OA， ∵OA＝OB＝OC， ∴∠BAO＝∠ABO＝30°，∠CAO＝∠ACO＝40°． ∴∠CAB＝∠CAO+∠BAO＝70°． ∵∠CAB和∠BOC上同弧所对的圆周角和圆心角， ∴∠BOC＝2∠CAB＝140°． 故选：D． 二十．三角形的外接圆与外心（共1小题） 41．如图，在3×3的正方形网格中，小正方形的顶点称为格点，顶点均在格点上的图形称为格点图形，图中的圆弧为格点△ABC外接圆的一部分，小正方形边长为1，图中阴影部分的面积为（　　） A．π﹣ B．π﹣ C．π﹣ D．π﹣ 【答案】D 【解答】解：如图：作AB的垂直平分线MN，作BC的垂直平分线PQ，设MN与PQ相交于点O，连接OA，OB，OC，则点O是△ABC外接圆的圆心， 由题意得：OA2＝12+22＝5， OC2＝12+22＝5， AC2＝12+32＝10， ∴OA2+OC2＝AC2， ∴△AOC是直角三角形， ∴∠AOC＝90°， ∵AO＝OC＝， ∴图中阴影部分的面积＝扇形AOC的面积﹣△AOC的面积﹣△ABC的面积 ＝﹣OA•OC﹣AB•1 ＝﹣××﹣×2×1 ＝﹣﹣1 ＝﹣， 故选：D． 二十一．切线的判定与性质（共1小题） 42．如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，⊙O的切线PC交BA的延长线于点P，OF∥BC交AC于点E，交PC于点F，连接AF． （1）求证：直线AF是⊙O的切线； （2）若∠AOF＝30°，，求阴影部分的面积． 【答案】（1）证明过程见解答； （2）阴影部分的面积为18﹣6π． 【解答】（1）证明：连接OC， ∵PC为⊙O的切线， ∴∠OCP＝90°， ∵OF∥BC， ∴∠AOF＝∠B，∠COF＝∠OCB， ∵OC＝OB， ∴∠OCB＝∠B， ∴∠AOF＝∠COF， ∵在△AOF和△COF中， ， ∴△AOF≌△COF（SAS）， ∴∠OAF＝∠OCF＝90°， ∵OA为⊙O的半径， ∴AF为⊙O的切线； （2）解：在Rt△AOF中，∠AOF＝30°，， ∴OA＝AF＝6， ∵∠AOF＝∠COF， ∴∠AOC＝2∠AOF＝60°， 在Rt△OCP中，OC＝OA＝6， ∴CP＝OC•tan60°＝6， ∴阴影部分的面积＝△OCP的面积﹣扇形AOC的面积 ＝OC•CP﹣ ＝×6×6﹣6π ＝18﹣6π． ∴阴影部分的面积为18﹣6π． 二十二．扇形面积的计算（共1小题） 43．如图1是一块弘扬“社会主义核心价值观”的扇面宣传展板，该展板的部分示意图如图2所示，它是以A为圆心，AB，AC夹角为120°，AB的长为45cm，扇面BD的长为30cm，则扇面的面积为（　　） A．375πcm2 B．450πcm2 C．600πcm2 D．750πcm2 【答案】C 【解答】解：∵AB，AC夹角为120°，AB＝45cm，BD＝30cm， ∴AD＝AB﹣BD＝15（cm）， ∴S扇形DAE＝π•AD2，S扇形BAC＝π•AB2， ∴S扇面BDEC＝S扇形BAC﹣S扇形DAE＝π（AB2﹣AD2）＝600π（cm2）． 故选：C． 二十三．圆柱的计算（共1小题） 44．把一个底面半径是5cm、高是9cm的圆锥，完全浸没在一个底面直径是20cm的圆柱形水槽中（如图），取出圆锥后，水面将下降（　　）cm． A．0.75 B．1 C．2.25 【答案】A 【解答】解：×9×52π÷[（）2π]＝0.75（cm）， ∴取出圆锥后，水面将下降0.75cm． 故选：A． 二十四．算术平均数（共1小题） 45．样本数据2、a、3、4的平均数是3，则a的值是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【解答】解：∵数据2、a、3、4的平均数是3， ∴a＝3×4﹣（2+3+4） ＝12﹣9 ＝3． 故选：C． 二十五．中位数（共2小题） 46．为深入贯彻落实《中共中央、国务院关于学习运用“千村示范、万村整治”工程经验有力有效推进乡村全面振兴的意见》精神，某镇组织开展“村BA”、村超、村晚等群众文化赛事活动，其中参赛的六个村得分分别为：55，64，51，50，61，55，则这组数据的中位数是（　　） A．53 B．55 C．58 D．64 【答案】B 【解答】解：把这组数据从小到大排序后为50，51，55，55，61，64， 所以这组数据的中位数为＝55． 故选：B． 47．第33届夏季奥林匹克运动会（即2024年巴黎奥运会）将于2024年7月26日开幕．如表是中国体育代表团近7届夏季奥运会获得金牌数量的统计结果（单位：块）： 1996亚特兰大 2000悉尼 2004雅典 2008北京 2012伦敦 016里约 2020东京 16 28 32 48 38 26 38 那么中国体育代表团近7届夏季奥运会获得金牌数量的中位数是（　　） A．48块 B．38块 C．28块 D．32块 【答案】D 【解答】解：把7届夏季奥运会获得金牌数量从小到大排列为16、26、28、32、38、38、48， 故中国体育代表团近7届夏季奥运会获得金牌数量的中位数是32块． 故选：D． 二十六．可能性的大小（共1小题） 48．甲、乙、丙、丁、戊五位同学参加一次节日活动，很幸运的是他们都得到了一件精美的礼品（如图），他们每人只能从其中一串的最下端取一件礼品，直到礼物取完为止，甲第一个取得礼物，然后乙，丙，丁，戊依次取得第2到第5件礼物，当然取法各种各样，那么他们共有　10　种不同的取法．事后他们打开礼物仔细比较，发现礼物D最精美，那么取得礼物D可能性最大的是　丙　同学． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：甲乙丙丁戊取礼物的顺序有10种，为： ①A、B、C、D、E； ②A、C、D、E、B； ③A、C、D、B、E； ④A、C、B、D、E； ⑤C、D、E、A、B； ⑥C、D、A、B、E； ⑦C、D、A、E、B； ⑧C、A、B、D、E； ⑨C、A、D、B、E； ⑩C、A、D、E、B． 取得礼物D的概率分别为：P（乙）＝0.3，P（丙）＝0.4，P（丁）＝0.3， 取得礼物D可能性最大的是丙同学． 二十七．概率公式（共3小题） 49．一个不透明的口袋中装有8个黑球和若干个白球，每个球除颜色外都相同．摇匀后随机摸一球，已知摸到白球的概率是，估计袋中白球的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【解答】解：设袋子中白球的个数为x个， 则， 解得x＝4， 经检验得x＝4是原方程的解， ∴估计袋中白球的个数是4个． 故选：D． 50．如图，某展览大厅有A，B两个入口，C，D，E三个出口，小明任选一个入口进入展览大厅，参观结束后任选一个出口离开，不同的出入路线一共有（　　） A．3种 B．4种 C．5种 D．6种 【答案】D 【解答】解：由题意，画树状图为： 共有6种等可能的结果，即不同的出入路线一共有6种． 故选：D． 51．为了能够帮助武汉疫情，某公司通过武汉市慈善总会二维码给武汉捐款，根据捐款情况制成不完整的扇形统计图（图1）、条形统计图（图2）． （1）根据以上信息可知参加捐款总人数为　50　，m＝　32　，捐款金额中位数为　150　，请补全条形统计图； （2）若从捐款的人中，随机选一人代表公司去其它公司做捐款宣传，求选中捐款不低于150元的人的概率； （3）若其它公司有几人参与了捐款活动，把新捐款数与原捐款数合并成一组新数据，发现众数发生改变，请求出至少有几人参与捐款． 【答案】（1）50，32，150； （2）； （3）至少有4人参与捐款． 【解答】解：（1）捐款总人数为：12÷24%＝50； 捐款为100元的人数为：50﹣4﹣12﹣10﹣8＝16， 所占百分比为：×100%＝32%， 所以m＝32； 本次捐款共50人参加，按捐款数从低到高排序，第25，26个数为150，150， 故中位数为＝150． 补全条形统计图如下： 故答案为：50，32，150； （2）P＝＝． 答：选中捐款不低于150元的人的概率为； （3）至少要4人参与捐款， 因为原数据众数为100元， 若至少有4人参与捐款，且每人捐款150元， 则新众数为100元和150元， 所以至少有4人参与捐款． 二十八．几何概率（共1小题） 52．如图，四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间是个小正方形，这个图形是我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，现分别连接大、小正方形的四组顶点得到图2的“风车”图案（阴影部分）．若图1中的四个直角三角形的较长直角边为9，较短直角边为5，现随机向图2大正方形内掷一枚小针，则针尖落在阴影区域的概率为 　　． 【答案】． 【解答】解：如图， 由题意可知，AB＝CD＝5，BC＝9， ∴BD＝BC﹣CD＝9﹣5＝4， ∴S大正方形＝AC2＝AB2+BC2＝106， 则中间小正方形的面积为4×4＝16， 小正方形的外阴影部分的4S△ABD＝4××4×5＝40， ∴阴影部分的面积为16+40＝56， ∴针尖落在阴影区域的概率为＝． 故答案为：． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$