期中各名校真题（压轴题52题）-2024-2025学年九年级数学上学期期中期末考点归纳满分攻略讲练（苏科版）

期中各名校真题-压轴必刷题（52题） 范围：九年级第一～五单元 一．选择题（共18小题） 1．如图，两正方形彼此相邻且内接于半圆，若小正方形的面积为16cm2，则该半圆的半径为（　　） A． cm B．9 cm C．cm D．cm 2．如图，在宽为20米、长为32米的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下部分种植草坪．要使草坪的面积为540平方米，则道路的宽为（　　） A．5米 B．3米 C．2米 D．2米或5米 3．对于一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），下列说法： ①若a+b+c＝0，则b2﹣4ac≥0； ②若方程ax2+c＝0有两个不相等的实根，则方程ax2+bx+c＝0必有两个不相等的实根； ③若c是方程ax2+bx+c＝0的一个根，则一定有ac+b+1＝0成立； ④若x0是一元二次方程ax2+bx+c＝0的根，则 ⑤存在实数m、n（m≠n），使得am2+bm+c＝an2+bn+c； 其中正确的（　　） A．只有①②④ B．只有①②④⑤ C．①②③④⑤ D．只有①②③ 4．如图，⊙O内切于Rt△ABC，点P、点Q分别在直角边BC、斜边AB上，PQ⊥AB，且PQ与⊙O相切，若AC＝2PQ，则tan∠B的值为（　　） A． B． C． D． 5．在一个六角形体育馆的一角MAN内，用长为30的围栏设置一个运动器材储存区域（如图所示），已知∠A＝120°，B是墙角线AM上的一点，C是墙角线AN上的一点，BC＝30，则储存区域△ABC面积的最大值为（　　） A．50 B．100 C．75 D．150 6．如图，将边长为cm的正方形ABCD沿直线l向右翻动（不滑动），当正方形连续翻动8次后，正方形的中心O经过的路线长是（　　）cm． A．8 B．8 C．3π D．4π 7．如图，已知点A是以MN为直径的半圆上一个三等分点，点B是的中点，点P是半径ON上的点．若⊙O的半径为1，则AP+BP的最小值为（　　） A．2 B． C． D．1 8．如图，直径AB为6的半圆，绕A点逆时针旋转60°，此时点B到了点B′，则图中阴影部分的面积是（　　） A．3π B．6π C．5π D．4π 9．如图，PA，PB切⊙O于A、B两点，CD切⊙O于点E，交PA，PB于C，D．若⊙O的半径为r，△PCD的周长等于3r，则tan∠APB的值是（　　） A． B． C． D． 10．如图，在平面直角坐标系中，⊙P的圆心坐标是（3，a）（a＞3），半径为3，函数y＝x的图象被⊙P截得的弦AB的长为，则a的值是（　　） A．4 B． C． D． 11．如图，如果将半径为9cm的圆形纸片剪去一个圆周的扇形，用剩下的扇形围成一个圆锥（接缝处不重叠），那么这个圆锥的底面圆半径为（　　） A．6cm B． C． D．8cm 12．某商店购进一种商品，单价为30元．试销中发现这种商品每天的销售量P（件）与每件的销售价x（元）满足关系：P＝100﹣2x．若商店在试销期间每天销售这种商品获得200元的利润，根据题意，下面所列方程正确的是（　　） A．（x﹣30）（100﹣2x）＝200 B．x（100﹣2x）＝200 C．（30﹣x）（100﹣2x）＝200 D．（x﹣30）（2x﹣100）＝200 13．如图，将边长为1cm的等边三角形ABC沿直线l向右翻动（不滑动），点B从开始到结束，所经过路径的长度为（　　） A．cm B．（2+π）cm C．cm D．3cm 14．如图，以等腰直角△ABC两锐角顶点A、B为圆心作等圆，⊙A与⊙B恰好外切，若AC＝2，那么图中两个扇形（即阴影部分）的面积之和为（　　） A． B． C． D． 15．如图，在平面直角坐标系中，⊙O的半径为1，点P在经过点A（﹣4，0）、B（0，4）的直线上，PQ切⊙O于点Q，则切线长PQ的最小值为（　　） A． B．2 C．3 D．4 16．如图，六边形ABCDEF是正六边形，曲线FK1K2K3K4K5K6K7…叫做“正六边形的渐开线”，其中，，，，，，…的圆心依次按点A，B，C，D，E，F循环，其弧长分别记为l1，l2，l3，l4，l5，l6，…．当AB＝1时，l2013等于（　　） A． B． C． D． 17．如图，⊙A与x轴交B（2，0）、C（4，0）点，OA＝3，P是y轴上的一个动点，PD切⊙O于点D，则PD的最小值是（　　） A．3 B． C． D． 18．如图，抛物线m：y＝ax2+b（a＜0，b＞0）与x轴于点A、B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．将抛物线m绕点B旋转180°，得到新的抛物线n，它的顶点为C1，与x轴的另一个交点为A1．若四边形AC1A1C为矩形，则a，b应满足的关系式为（　　） A．ab＝﹣2 B．ab＝﹣3 C．ab＝﹣4 D．ab＝﹣5 二．填空题（共18小题） 19．为了测量一个圆形铁环的半径，小华采用了如下方法：将铁环平放在水平桌面上，用一个锐角为30°的直角三角板和一个刻度尺，按如图所示的方法得到有关数据，进而求得铁环的半径，若测得AB＝10cm，则铁环的半径是　 　． 20．现有30%圆周的一个扇形彩纸片，该扇形的半径为40cm，小红同学为了在“六一”儿童节联欢晚会上表演节目，她打算剪去部分扇形纸片后，利用剩下的纸片制作成一个底面半径为10cm的圆锥形纸帽（接缝处不重叠），那么剪去的扇形纸片的圆心角为　 　． 21．如图，已知正方形纸片ABCD的边长为8，⊙O的半径为2，圆心在正方形的中心上，将纸片按图示方式折叠，使E A′恰好与⊙O相切于点A′（△EFA′与⊙O除切点外无重叠部分），延长FA′交CD边于点G，则A′G的长是　 　． 22．若用半径为9，圆心角为120°的扇形围成一个圆锥的侧面（接缝忽略不计），则这个圆锥的底面半径是　 　，侧面积为　 　． 23．如图，在△ABC中，AB＝10，AC＝8，BC＝6，经过点C且与边AB相切的动圆与CA，CB分别相交于点P，Q，则线段PQ长度的最小值是　 　． 24．如图，在△ABC中，AB＝8cm，BC＝4cm，∠ABC＝30°，把△ABC以点B为中心按逆时针方向旋转，使点C旋转到AB边的延长线上的C′′处，那么AC边扫过的图形（图中阴影部分）的面积是　 　cm2（结果保留π）． 25．如图，将半径为1、圆心角为60°的扇形纸片AOB，在直线l上向右作无滑动的滚动至扇形A'O'B'处，则顶点O经过的路线总长为 　 　． 26．如图，若干全等正五边形排成环状．图中所示的是前3个五边形，要完成这一圆环还需　 　个五边形． 27．如图，一块等边三角形的木板，边长为1，现将木板沿水平线翻滚，那么B点从开始至结束所走过的路径长度为　 　． 28．如图，正方形ABCD的边长为4，点E是AB上的一点，将△BCE沿CE折叠至△FCE，若CF，CE恰好与以正方形ABCD的中心为圆心的⊙O相切，则折痕CE的长为　 　． 29．如图，在圆心角为90°的扇形OAB中，半径OA＝2cm，C为的中点，D、E分别是OA、OB的中点，则图中阴影部分的面积为　 　cm2． 30．在正方形铁皮上剪下一个扇形和一个半径为1cm的圆形，使之恰好围成一个圆锥，则圆锥的高为　 　． 31．对于实数a，b，定义运算“*”：a*b＝．例如4*2，因为4＞2，所以4*2＝42﹣4×2＝8．若x1，x2是一元二次方程x2﹣5x+6＝0的两个根，则x1*x2＝　 　． 32．若非零实数a，b（a≠b）满足a2﹣a﹣2013＝0，b2﹣b﹣2013＝0，则＝　 　． 33．如图，将半径为2cm的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心O，则折痕AB的长为 　 　cm． 34．掷一枚质地均匀的骰子，骰子的六个面上分别标有数字1～6，掷得朝上的一面的数字为奇数的概率是　 　． 35．如图，小方格都是边长为1的正方形，则以格点为圆心，半径为1和2的两种弧围成的“叶状”阴影图案的面积为　 　． 36．如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）的顶点为D，与x轴交点A，B的横坐标分别为﹣1，3，与y轴负半轴交于点C．下面五个结论：①2a+b＝0；②b2﹣4ac＜2a；③对任意实数x，﹣ax2﹣bx≤a；④M（x1，y1），N（x2，y2）是抛物线上两点（x1＜x2），若x1+x2＞2，则y1＜y2；⑤使△ABC为等腰三角形的a值可以有3个．其中正确的结论有 　 　．（填序号） 三．解答题（共16小题） 37．已知关于x的一元二次方程x2+3x﹣m＝0有实数根． （1）求m的取值范围 （2）若两实数根分别为x1和x2，且，求m的值． 38．随着人们经济收入的不断提高及汽车产业的快速发展，汽车已越来越多地进入普通家庭，成为居民消费新的增长点．据某市交通部门统计，2008年底全市汽车拥有量为150万辆，而截止到2010年底，全市的汽车拥有量已达216万辆． （1）求2008年底至2010年底该市汽车拥有量的年平均增长率； （2）为保护城市环境，缓解汽车拥堵状况，该市交通部门拟控制汽车总量，要求到2012年底全市汽车拥有量不超过231.96万辆；另据估计，从2011年初起，该市此后每年报废的汽车数量是上年底汽车拥有量的10%．假定每年新增汽车数量相同，请你计算出该市每年新增汽车数量最多不能超过多少万辆． 39．如图，AB是⊙O直径，D为⊙O上一点，AT平分∠BAD交⊙O于点T，过T作AD的垂线交AD的延长线于点C． （1）求证：CT为⊙O的切线； （2）若⊙O半径为2，CT＝，求AD的长． 40．铜仁市某电解金属锰厂从今年1月起安装使用回收净化设备（安装时间不计），这样既改善了环境，又降低了原料成本，根据统计，在使用回收净化设备后的1至x月的利润的月平均值w（万元）满足w＝10x+90． （1）设使用回收净化设备后的1至x月的利润和为y，请写出y与x的函数关系式． （2）请问前多少个月的利润和等于1620万元？ 41．如图，A、B、C、D为矩形的四个顶点，AB＝16cm，AD＝6cm，动点P、Q分别从点A、C同时出发，点P以3cm/s的速度向点B移动，一直到达B为止，点Q以2cm/s的速度向D移动． （1）P、Q两点从出发开始到几秒时，四边形PBCQ的面积为33cm2； （2）P、Q两点从出发开始到几秒时，点P和点Q的距离是10cm． 42．已知：如图，在半径为2的半圆O中，半径OA垂直于直径BC，点E与点F分别在弦AB、AC上滑动并保持AE＝CF，但点F不与A、C重合，点E不与A、B重合． （1）求四边形AEOF的面积． （2）设AE＝x，S△OEF＝y，写出y与x之间的函数关系式，求x的取值范围． 43．若x1，x2是关于x的方程x2+bx+c＝0的两个实数根，且|x1|+|x2|＝2|k|（k是整数），则称方程x2+bx+c＝0为“偶系二次方程”．如方程x2﹣6x﹣27＝0，x2﹣2x﹣8＝0，x2+3x﹣＝0，x2+6x﹣27＝0，x2+4x+4＝0，都是“偶系二次方程”． （1）判断方程x2+x﹣12＝0是否是“偶系二次方程”，并说明理由； （2）对于任意一个整数b，是否存在实数c，使得关于x的方程x2+bx+c＝0是“偶系二次方程”，并说明理由． 44．铁匠王老五要制作一个圆锥体模型，操作规则是：在一块边长为16cm的正方形纸片上剪出一个扇形和一个圆，使得扇形围成圆锥的侧面时，圆恰好是该圆锥的底面．他们首先设计了如图所示的方案一，发现这种方案不可行，于是他们调整了扇形和圆的半径，设计了如图所示的方案二．（两个方案的图中，圆与正方形相邻两边及扇形的弧均相切．方案一中扇形的弧与正方形的两边相切）请你帮助他算一算可以吗？ （1）请说明方案一不可行的理由； （2）判断方案二是否可行？若可行，请确定圆锥的母线长及其底面圆半径；若不可行，请说明理由． 45．如图，已知二次函数的图象经过点A（﹣1，0），B（3，0），与y轴交于点C（0，﹣3）． （1）求抛物线的解析式； （2）若点D为抛物线的顶点，求△BCD的面积； （3）抛物线上是否存在点P，使∠PAB＝∠ABC，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 46．如图，抛物线y1＝ax2+bx+与x轴交于点A（﹣3，0），点B，点D是抛物线y1的顶点，过点D作x轴的垂线，垂足为点C（﹣1，0）． （1）求抛物线y1所对应的函数解析式； （2）如图1，点M是抛物线y1上一点，且位于x轴上方，横坐标为m，连接MC，若∠MCB＝∠DAC，求m的值； （3）如图2，将抛物线y1平移后得到顶点为B的抛物线y2．点P为抛物线y1上的一个动点，过点P作y轴的平行线，交抛物线y2于点Q，过点Q作x轴的平行线，交抛物线y2于点R．当以点P，Q，R为顶点的三角形与△ACD全等时，请直接写出点P的坐标． 47．如图，抛物线 y＝﹣x2+bx+c经过A（4，0），C（﹣1，0）两点，与y轴交于点B，P为第一象限抛物线上的动点，连接AB，BC，PA，PC，PC与AB相交于点Q． （1）求抛物线的解析式： （2）设△APQ的面积为S1，△BCQ的面积为S2，当 S1﹣S2＝5 时，求点P的坐标； （3）是否存在点P，使∠PAB+∠CBO＝45°，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，说明理由． 48．如图，二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象经过点（0，1）和（4，1）． （1）求二次函数的表达式； （2）已知△ABC为一直角三角形纸片，∠BAC＝90°，AB＝1，AC＝2，直角边AB落在x轴上，将纸片沿x轴滑动，当点C落在抛物线上时，求点B的坐标． 49．如图1，抛物线y1＝ax2﹣3x+c的图象与x轴的交点为A和B，与y轴交点为D（0，4），与直线y2＝﹣x+b交点为A和C，且OA＝OD． （1）求抛物线的解析式和b值； （2）在直线y2＝﹣x+b上是否存在一点P，使得△ABP是等腰直角三角形，如果存在，求出点P的坐标，如果不存在，请说明理由； （3）将抛物线y1图象x轴上方的部分沿x轴翻折得一个“M”形状的新图象（如图2），若直线y3＝﹣x+n与该新图象恰好有四个公共点，请求出此时n的取值范围． 50．综合与实践 问题提出 某兴趣小组开展综合实践活动：在Rt△ABC中，∠C＝90°，D为AC上一点，CD＝，动点P以每秒1个单位的速度从C点出发，在三角形边上沿C→B→A匀速运动，到达点A时停止，以DP为边作正方形DPEF．设点P的运动时间为t s，正方形DPEF的面积为S，探究S与t的关系． 初步感知 （1）如图1，当点P由点C运动到点B时， ①当t＝1时，S＝　 　； ②S关于t的函数解析式为 　 　． （2）当点P由点B运动到点A时，经探究发现S是关于t的二次函数，并绘制成如图2所示的图象．请根据图象信息，求S关于t的函数解析式及线段AB的长． 延伸探究 （3）若存在3个时刻t1，t2，t3（t1＜t2＜t3）对应的正方形DPEF的面积均相等． ①t1+t2＝　 　； ②当t3＝4t1时，求正方形DPEF的面积． 51．如图，在平面直角坐标系中，点M的坐标是（5，4），⊙M与y轴相切于点C，与x轴相交于A，B两点． （1）请直接写出A，B，C三点的坐标，并求出过这三点的抛物线解析式； （2）设（1）中抛物线解析式的顶点为E，求证：直线EA与⊙M相切； （3）在抛物线的对称轴上，是否存在点P，且点P在x轴的上方，使△PBC是等腰三角形？如果存在，请求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由． 52．平面直角坐标系xOy中，点P，Q是图形G上任意两个点，其纵坐标分别是y1，y2，则称|y1﹣y2|的最大值为图形G的“纵测宽”． （1）直接写出下列图形的“纵测宽”． ①△ABC，其中A（0，0），B（﹣2，﹣1），C（3，4）； ②如图，以原点为圆心，半径为2的圆在第一象限的部分与线段EF围成的图形，其中E（0，2），F（2，0）； （2）如果抛物线y＝x2+mx+3与经过点P（3，0）、Q（0，﹣3）的直线围成的图形“纵测宽”是3，求实数m的值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 期中各名校真题-压轴必刷题（52题） 范围：九年级第一～五单元 一．选择题（共18小题） 1．如图，两正方形彼此相邻且内接于半圆，若小正方形的面积为16cm2，则该半圆的半径为（　　） A． cm B．9 cm C．cm D．cm 【答案】C 【解答】解： 连接OA、OB、OE， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AD＝BC，∠ADO＝∠BCO＝90°， ∵在Rt△ADO和Rt△BCO中 ∵， ∴Rt△ADO≌Rt△BCO（HL）， ∴OD＝OC， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AD＝DC， 设AD＝a cm，则OD＝OC＝DC＝AD＝a cm， 在△AOD中，由勾股定理得：OA＝OB＝OE＝a cm， ∵小正方形EFCG的面积为16cm2， ∴EF＝FC＝4cm， 在△OFE中，由勾股定理得：＝42+， 解得：a＝﹣4（舍去），a＝8， a＝4（cm）， 故选：C． 2．如图，在宽为20米、长为32米的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下部分种植草坪．要使草坪的面积为540平方米，则道路的宽为（　　） A．5米 B．3米 C．2米 D．2米或5米 【答案】C 【解答】解：设道路的宽为x，根据题意得20x+32x﹣x2＝20×32﹣540 整理得（x﹣26）2＝576 开方得x﹣26＝24或x﹣26＝﹣24 解得x＝50（舍去）或x＝2 所以道路宽为2米． 故选：C． 3．对于一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），下列说法： ①若a+b+c＝0，则b2﹣4ac≥0； ②若方程ax2+c＝0有两个不相等的实根，则方程ax2+bx+c＝0必有两个不相等的实根； ③若c是方程ax2+bx+c＝0的一个根，则一定有ac+b+1＝0成立； ④若x0是一元二次方程ax2+bx+c＝0的根，则 ⑤存在实数m、n（m≠n），使得am2+bm+c＝an2+bn+c； 其中正确的（　　） A．只有①②④ B．只有①②④⑤ C．①②③④⑤ D．只有①②③ 【答案】B 【解答】解：①若a+b+c＝0，则x＝1是方程ax2+bx+c＝0的解， 由一元二次方程的实数根与判别式的关系可知Δ＝b2﹣4ac≥0，故①正确； ②∵方程ax2+c＝0有两个不相等的实根， ∴Δ＝0﹣4ac＞0， ∴﹣4ac＞0， 则方程ax2+bx+c＝0的判别式Δ＝b2﹣4ac＞0， ∴方程ax2+bx+c＝0必有两个不相等的实根，故②正确； ③∵c是方程ax2+bx+c＝0的一个根， 则ac2+bc+c＝0， ∴c（ac+b+1）＝0， 若c＝0，等式仍然成立， 但ac+b+1＝0不一定成立，故③不正确； ④若x0是一元二次方程ax2+bx+c＝0的根， 则由求根公式可得： x0＝或x0＝ ∴2ax0+b＝或2ax0+b＝﹣ ∴ 故④正确． ⑤存在实数m、n（m≠n），使得am2+bm+c＝an2+bn+c成立； ∵由am2+bm+c＝an2+bn+c， ∴a（m2﹣n2）+b（m﹣n）＝0， ∴a（m﹣n）（m+n）+b（m﹣n）＝0， 即（m﹣n）[a（m+n）+b]＝0， ∵m≠n， ∴a（m+n）+b＝0， ∴当a≠0时，存在实数m、n（m≠n），使得am2+bm+c＝an2+bn+c成立； 故⑤正确． 故选：B． 4．如图，⊙O内切于Rt△ABC，点P、点Q分别在直角边BC、斜边AB上，PQ⊥AB，且PQ与⊙O相切，若AC＝2PQ，则tan∠B的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解答】解： 设⊙O的半径是R，PE＝PF＝x，BQ＝y， 连接OD，OG，OF，OE， ∵⊙O内切于Rt△ABC， ∴∠ODC＝∠OEC＝90°＝∠C，AD＝AG， ∵OD＝OE， ∴四边形CDOE是正方形， ∴OD＝CD＝CE＝OE＝R， 同理OG＝GQ＝FQ＝OF＝R， 则PQ＝CP，AC＝AQ， ∵PQ⊥AB，∠C＝90°， ∴∠C＝∠PQB＝90°， ∵∠B＝∠B， ∴△BQP∽△BCA， ∴＝＝， ∴BC＝2BQ＝2y， 根据BG＝BE得：y+R＝2y﹣R， 解得：y＝2R， 在Rt△PQB中，由勾股定理得：PQ2+BQ2＝BP2， 即（2R）2+（R+x）2＝（4R﹣R﹣x）2， 解得：x＝R， 即PQ＝R+R＝R，BQ＝2R， tanB＝＝＝． 故选：C． 5．在一个六角形体育馆的一角MAN内，用长为30的围栏设置一个运动器材储存区域（如图所示），已知∠A＝120°，B是墙角线AM上的一点，C是墙角线AN上的一点，BC＝30，则储存区域△ABC面积的最大值为（　　） A．50 B．100 C．75 D．150 【答案】C 【解答】解：设AB＝x，AC＝y，x＞0，y＞0， 由302＝x2+y2﹣2xycos120°≥2xy﹣2xycos120°，得xy≤＝， ∴S＝xysin120°≤••2sin60°cos60°＝＝＝75． 故选：C． 6．如图，将边长为cm的正方形ABCD沿直线l向右翻动（不滑动），当正方形连续翻动8次后，正方形的中心O经过的路线长是（　　）cm． A．8 B．8 C．3π D．4π 【答案】D 【解答】解：∵正方形ABCD的边长为cm， ∴对角线的一半＝1cm， 则连续翻动8次后，正方形的中心O经过的路线长＝8×＝4π． 故选：D． 7．如图，已知点A是以MN为直径的半圆上一个三等分点，点B是的中点，点P是半径ON上的点．若⊙O的半径为1，则AP+BP的最小值为（　　） A．2 B． C． D．1 【答案】C 【解答】解：作点A关于MN的对称点A′，连接A′B，交MN于点P，则PA+PB最小， 连接OA′，AA′，OB， ∵点A与A′关于MN对称，点A是半圆上的一个三等分点， ∴∠A′ON＝∠AON＝60°，PA＝PA′， ∵点B是弧的中点， ∴∠BON＝30°， ∴∠A′OB＝∠A′ON+∠BON＝90°， 又∵OA＝OA′＝1， ∴A′B＝． ∴PA+PB＝PA′+PB＝A′B＝． 故选：C． 8．如图，直径AB为6的半圆，绕A点逆时针旋转60°，此时点B到了点B′，则图中阴影部分的面积是（　　） A．3π B．6π C．5π D．4π 【答案】B 【解答】解：阴影部分的面积＝以AB′为直径的半圆的面积+扇形ABB′的面积﹣以AB为直径的半圆的面积＝扇形ABB′的面积． 则阴影部分的面积是：＝6π 故选：B． 9．如图，PA，PB切⊙O于A、B两点，CD切⊙O于点E，交PA，PB于C，D．若⊙O的半径为r，△PCD的周长等于3r，则tan∠APB的值是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解答】解：连接OA、OB、OP，延长BO交PA的延长线于点F． ∵PA，PB切⊙O于A、B两点，CD切⊙O于点E ∴∠OAF＝∠PBF＝90°，CA＝CE，DB＝DE，PA＝PB， ∵△PCD的周长＝PC+CE+DE+PD＝PC+AC+PD+DB＝PA+PB＝3r， ∴PA＝PB＝． 在Rt△PBF和Rt△OAF中， ， ∴Rt△PBF∽Rt△OAF． ∴＝＝＝， ∴AF＝FB， 在Rt△FBP中， ∵PF2﹣PB2＝FB2 ∴（PA+AF）2﹣PB2＝FB2 ∴（r+BF）2﹣（）2＝BF2， 解得BF＝r， ∴tan∠APB＝＝＝， 故选：B． 10．如图，在平面直角坐标系中，⊙P的圆心坐标是（3，a）（a＞3），半径为3，函数y＝x的图象被⊙P截得的弦AB的长为，则a的值是（　　） A．4 B． C． D． 【答案】B 【解答】解：作PC⊥x轴于C，交AB于D，作PE⊥AB于E，连接PB，如图， ∵⊙P的圆心坐标是（3，a）， ∴OC＝3，PC＝a， 把x＝3代入y＝x得y＝3， ∴D点坐标为（3，3）， ∴CD＝3， ∴△OCD为等腰直角三角形， ∴△PED也为等腰直角三角形， ∵PE⊥AB， ∴AE＝BE＝AB＝×4＝2， 在Rt△PBE中，PB＝3， ∴PE＝， ∴PD＝PE＝， ∴a＝3+． 故选：B． 11．如图，如果将半径为9cm的圆形纸片剪去一个圆周的扇形，用剩下的扇形围成一个圆锥（接缝处不重叠），那么这个圆锥的底面圆半径为（　　） A．6cm B． C． D．8cm 【答案】A 【解答】解：设圆锥的底面圆半径为r， ∵半径为9cm的圆形纸片剪去一个圆周的扇形， ∴剩下的扇形的弧长＝•2π•9＝12π， ∴2π•r＝12π， ∴r＝6． 故选：A． 12．某商店购进一种商品，单价为30元．试销中发现这种商品每天的销售量P（件）与每件的销售价x（元）满足关系：P＝100﹣2x．若商店在试销期间每天销售这种商品获得200元的利润，根据题意，下面所列方程正确的是（　　） A．（x﹣30）（100﹣2x）＝200 B．x（100﹣2x）＝200 C．（30﹣x）（100﹣2x）＝200 D．（x﹣30）（2x﹣100）＝200 【答案】A 【解答】解：∵每件商品的利润为（x﹣30）元，可售出（100﹣2x）件， ∴根据每天的利润为200元可列的方程为（x﹣30）（100﹣2x）＝200， 故选：A． 13．如图，将边长为1cm的等边三角形ABC沿直线l向右翻动（不滑动），点B从开始到结束，所经过路径的长度为（　　） A．cm B．（2+π）cm C．cm D．3cm 【答案】C 【解答】解：∵△ABC是等边三角形， ∴∠ACB＝60°， ∴∠AC（A）＝120°， 点B两次翻动划过的弧长相等， 则点B经过的路径长＝2×＝π（cm）． 故选：C． 14．如图，以等腰直角△ABC两锐角顶点A、B为圆心作等圆，⊙A与⊙B恰好外切，若AC＝2，那么图中两个扇形（即阴影部分）的面积之和为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解答】解：∵AC＝2，△ABC是等腰直角三角形， ∴AB＝2， ∵⊙A与⊙B恰好外切且是等圆， ∴两个扇形（即阴影部分）的面积之和＝+＝＝πR2＝． 故选：B． 15．如图，在平面直角坐标系中，⊙O的半径为1，点P在经过点A（﹣4，0）、B（0，4）的直线上，PQ切⊙O于点Q，则切线长PQ的最小值为（　　） A． B．2 C．3 D．4 【答案】A 【解答】解：连接OP、OQ． ∵PQ是⊙O的切线， ∴OQ⊥PQ； 根据勾股定理知PQ2＝OP2﹣OQ2， ∵当PO⊥AB时，线段PQ最短； 又∵A（﹣4，0）、B（0，4）， ∴OA＝OB＝4， ∴AB＝4 ∴OP＝AB＝2， ∴PQ＝． 故选：A． 16．如图，六边形ABCDEF是正六边形，曲线FK1K2K3K4K5K6K7…叫做“正六边形的渐开线”，其中，，，，，，…的圆心依次按点A，B，C，D，E，F循环，其弧长分别记为l1，l2，l3，l4，l5，l6，…．当AB＝1时，l2013等于（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解答】解：根据题意得：L1＝＝， L2＝＝， L3＝＝＝π， L4＝＝， 按照这种规律可以得到：Ln＝， ∴L2013＝． 故选：C． 17．如图，⊙A与x轴交B（2，0）、C（4，0）点，OA＝3，P是y轴上的一个动点，PD切⊙O于点D，则PD的最小值是（　　） A．3 B． C． D． 【答案】C 【解答】解：如图，连接AP． ∵B（2，0）、C（4，0）， ∴OB＝2，OC＝4， ∴BC＝OC﹣OB＝4﹣2＝2，即圆A的直径为2． 又∵DP为圆A的切线， ∴AD⊥DP， ∴∠ADP＝90°， 设P（0，y）， 在Rt△AOP中，OA＝3，OP＝|y|， 根据勾股定理得：AP2＝OA2+OP2＝9+y2， 在Rt△APD中，AD＝1， 根据勾股定理得：PD2＝AP2﹣AD2＝9+y2﹣1＝y2+8， 则PD＝， 则当y＝0时，PD达到最小值，最小值是＝2． 故选：C． 18．如图，抛物线m：y＝ax2+b（a＜0，b＞0）与x轴于点A、B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．将抛物线m绕点B旋转180°，得到新的抛物线n，它的顶点为C1，与x轴的另一个交点为A1．若四边形AC1A1C为矩形，则a，b应满足的关系式为（　　） A．ab＝﹣2 B．ab＝﹣3 C．ab＝﹣4 D．ab＝﹣5 【答案】B 【解答】解：令x＝0，得：y＝b． ∴C（0，b）． 令y＝0，得：ax2+b＝0， ∴x＝±， ∴A（﹣，0），B（，0）， ∴AB＝2，BC＝＝． 要使平行四边形AC1A1C是矩形，必须满足AB＝BC， ∴2＝． ∴4×（﹣）＝b2﹣， ∴ab＝﹣3． ∴a，b应满足关系式ab＝﹣3． 故选：B． 二．填空题（共18小题） 19．为了测量一个圆形铁环的半径，小华采用了如下方法：将铁环平放在水平桌面上，用一个锐角为30°的直角三角板和一个刻度尺，按如图所示的方法得到有关数据，进而求得铁环的半径，若测得AB＝10cm，则铁环的半径是　10cm　． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：如图所示：连接OB，OC，OA， ∵AB为圆O的切线， ∴OB⊥AB，即∠OBA＝90°， 又AC为圆O的切线， ∴OC⊥AC，即∠OCA＝90°， 在Rt△ADE中，∠E＝30°，∠ADE＝90°， ∴∠EAD＝60°，∠BAC＝120°， ∵AC及AB为圆O的切线， ∴OA为∠BOC的平分线， 则∠BAO＝∠OAC， 可得∠BOA＝∠COA， 又∠OBA＝∠OCA＝90°， ∴∠OAB＝∠OAC＝∠BAC＝60°， 在Rt△OBA中，∠OBA＝90°，∠OAB＝60°，AB＝10cm， ∴tan60°＝，即＝， 则圆的半径OB＝10cm． 故答案为：10cm 20．现有30%圆周的一个扇形彩纸片，该扇形的半径为40cm，小红同学为了在“六一”儿童节联欢晚会上表演节目，她打算剪去部分扇形纸片后，利用剩下的纸片制作成一个底面半径为10cm的圆锥形纸帽（接缝处不重叠），那么剪去的扇形纸片的圆心角为　18°　． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：20π＝ 解得：n＝90°， ∵扇形彩纸片是30%圆周，因而圆心角是108° ∴剪去的扇形纸片的圆心角为108°﹣90°＝18°． 剪去的扇形纸片的圆心角为18°． 故答案为18°． 21．如图，已知正方形纸片ABCD的边长为8，⊙O的半径为2，圆心在正方形的中心上，将纸片按图示方式折叠，使E A′恰好与⊙O相切于点A′（△EFA′与⊙O除切点外无重叠部分），延长FA′交CD边于点G，则A′G的长是　　． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：连AC，过F作FH⊥DC于H，如图． ∵△AEF沿EF折叠得到△A′EF， ∴∠EA′F＝∠EAF＝90°，FA′＝FA， ∵E A′恰好与⊙0相切于点A′， ∴OA′⊥EA′， ∴点F、A′、O共线，即FG过圆心O， 又∵点O为正方形的中心， ∴AC经过点O， ∴OA＝OC， 易证得△OAF≌△OCG， ∴OF＝OG，AF＝CG， ∵OA′＝ON， ∴FA′＝GN， 设FA＝x，DC＝8，ON＝2，则FA′＝DH＝CG＝GN＝x，FG＝FA′+A′N+NG＝2x+4，HG＝DC﹣DH﹣CG＝8﹣2x， 在Rt△FGH中，FG2＝FH2+HG2， ∴（2x+4）2＝82+（8﹣2x）2，解得x＝， ∴A′G＝A′N+NG＝4+＝． 故答案为． 22．若用半径为9，圆心角为120°的扇形围成一个圆锥的侧面（接缝忽略不计），则这个圆锥的底面半径是　3　，侧面积为　27π　． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：圆锥侧面展开图的弧长为：＝6π， ∴圆锥的底面半径为：6π÷2π＝3， 侧面积＝π×3×9＝27π． 23．如图，在△ABC中，AB＝10，AC＝8，BC＝6，经过点C且与边AB相切的动圆与CA，CB分别相交于点P，Q，则线段PQ长度的最小值是　4.8　． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：如图，∵AB＝10，AC＝8，BC＝6， ∴AB2＝AC2+BC2， ∴∠ACB＝90°， ∴PQ是⊙F的直径， 设QP的中点为F，圆F与AB的切点为D，连接FD，连接CF，CD，则FD⊥AB． ∴FC+FD＝PQ， ∴CF+FD＞CD， ∵当点F在直角三角形ABC的斜边AB的高上CD时，PQ＝CD有最小值 ∴CD＝BC•AC÷AB＝4.8． 故答案为4.8． 24．如图，在△ABC中，AB＝8cm，BC＝4cm，∠ABC＝30°，把△ABC以点B为中心按逆时针方向旋转，使点C旋转到AB边的延长线上的C′′处，那么AC边扫过的图形（图中阴影部分）的面积是　20π　cm2（结果保留π）． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：×（64﹣16）＝20πcm2． 25．如图，将半径为1、圆心角为60°的扇形纸片AOB，在直线l上向右作无滑动的滚动至扇形A'O'B'处，则顶点O经过的路线总长为 　π　． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：顶点O经过的路线可以分为三段，当弧AB切直线l于点B时，有OB⊥直线l，此时O点绕不动点B转过了90°； 第二段：OB⊥直线l到OA⊥直线l，O点绕动点转动，而这一过程中弧AB始终是切于直线l的，所以O与转动点的连线始终⊥直线l，所以O点在水平运动，此时O点经过的路线长＝BA′＝AB的弧长 第三段：OA⊥直线l到O点落在直线l上，O点绕不动点A转过了90° 所以，O点经过的路线总长S＝π+π+π＝π． 故答案为π． 26．如图，若干全等正五边形排成环状．图中所示的是前3个五边形，要完成这一圆环还需　7　个五边形． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：延长正五边形的相邻两边，交于圆心， ∵正五边形的外角等于360°÷5＝72°， ∴延长正五边形的相邻两边围成的角的度数为：180°﹣72°﹣72°＝36°， ∴360°÷36°＝10， ∴排成圆环需要10个正五边形， 故 排成圆环还需 7个五边形． 故答案为：7． 27．如图，一块等边三角形的木板，边长为1，现将木板沿水平线翻滚，那么B点从开始至结束所走过的路径长度为　　． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：从图中发现：B点从开始至结束所走过的路径长度为两段弧长 即第一段＝，第二段＝． 故B点从开始至结束所走过的路径长度＝+＝． 28．如图，正方形ABCD的边长为4，点E是AB上的一点，将△BCE沿CE折叠至△FCE，若CF，CE恰好与以正方形ABCD的中心为圆心的⊙O相切，则折痕CE的长为　　． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：连接OC， ∵O为正方形ABCD的中心， ∴∠DCO＝∠BCO， 又∵CF与CE都为圆O的切线， ∴CO平分∠ECF，即∠FCO＝∠ECO， ∴∠DCO﹣∠FCO＝∠BCO﹣∠ECO，即∠DCF＝∠BCE， 又∵△BCE沿着CE折叠至△FCE， ∴∠BCE＝∠ECF， ∴∠BCE＝∠ECF＝∠DCF＝∠BCD＝30°， 在Rt△BCE中，设BE＝x，则CE＝2x，又BC＝4， 根据勾股定理得：CE2＝BC2+BE2，即4x2＝x2+42， 解得：x＝， ∴CE＝2x＝． 故答案为： 29．如图，在圆心角为90°的扇形OAB中，半径OA＝2cm，C为的中点，D、E分别是OA、OB的中点，则图中阴影部分的面积为　（π+﹣）　cm2． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：连接OC，过C点作CF⊥OA于F， ∵半径OA＝2cm，C为的中点，D、E分别是OA、OB的中点， ∴OD＝OE＝1cm，OC＝2cm，∠AOC＝45°， ∴CF＝， ∴空白图形ACD的面积＝扇形OAC的面积﹣三角形OCD的面积 ＝﹣× ＝π﹣（cm2） 三角形ODE的面积＝OD×OE＝（cm2）， ∴图中阴影部分的面积＝扇形OAB的面积﹣空白图形ACD的面积﹣三角形ODE的面积 ＝﹣（π﹣）﹣ ＝π+﹣（cm2）． 故图中阴影部分的面积为（π+﹣）cm2． 故答案为：（π+﹣）． 30．在正方形铁皮上剪下一个扇形和一个半径为1cm的圆形，使之恰好围成一个圆锥，则圆锥的高为　cm　． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：∵半径为1cm的圆形， ∴底面圆的半径为：1cm，周长为2πcm， 扇形弧长为：2π＝， ∴R＝4，即母线为4cm， ∴圆锥的高为：＝（cm）． 故答案为：cm． 31．对于实数a，b，定义运算“*”：a*b＝．例如4*2，因为4＞2，所以4*2＝42﹣4×2＝8．若x1，x2是一元二次方程x2﹣5x+6＝0的两个根，则x1*x2＝　3或﹣3　． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：∵x1，x2是一元二次方程x2﹣5x+6＝0的两个根， ∴（x﹣3）（x﹣2）＝0， 解得：x＝3或2， ①当x1＝3，x2＝2时，x1*x2＝32﹣3×2＝3； ②当x1＝2，x2＝3时，x1*x2＝3×2﹣32＝﹣3． 故答案为：3或﹣3． 32．若非零实数a，b（a≠b）满足a2﹣a﹣2013＝0，b2﹣b﹣2013＝0，则＝　﹣　． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：∵非零实数a，b（a≠b）满足a2﹣a﹣2013＝0，b2﹣b﹣2013＝0， ∴ab是方程x2﹣x﹣2013＝0的解， ∴a+b＝1，ab＝﹣2013， ∴＝＝﹣； 故答案为：﹣． 33．如图，将半径为2cm的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心O，则折痕AB的长为 　2　cm． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：过点O作OD⊥AB交AB于点D，连接OA， ∵OA＝2OD＝2cm， ∴AD＝＝＝（cm）， ∵OD⊥AB， ∴AB＝2AD＝cm． 故答案为：2． 34．掷一枚质地均匀的骰子，骰子的六个面上分别标有数字1～6，掷得朝上的一面的数字为奇数的概率是　　． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：正方体骰子，六个面上分别刻有的1，2，3，4，5，6六个数字中， 奇数为1，3，5，则向上一面的数字是奇数的概率为＝． 故答案为：． 35．如图，小方格都是边长为1的正方形，则以格点为圆心，半径为1和2的两种弧围成的“叶状”阴影图案的面积为　2π﹣4　． 【答案】见试题解答内容 【解答】解： 由题意得，阴影部分面积＝2（S扇形AOB﹣S△AOB）＝2（﹣×2×2）＝2π﹣4． 故答案为：2π﹣4． 36．如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）的顶点为D，与x轴交点A，B的横坐标分别为﹣1，3，与y轴负半轴交于点C．下面五个结论：①2a+b＝0；②b2﹣4ac＜2a；③对任意实数x，﹣ax2﹣bx≤a；④M（x1，y1），N（x2，y2）是抛物线上两点（x1＜x2），若x1+x2＞2，则y1＜y2；⑤使△ABC为等腰三角形的a值可以有3个．其中正确的结论有 　①③④　．（填序号） 【答案】①③④ 【解答】解：①∵抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）与x轴交于A（﹣1，0）、B（3，0）， ∴， ∴2a+b＝0． 故①正确． ②：由①分析知：， ∴b＝﹣2a，c＝﹣3a， ∴b2﹣4ac＝（﹣2a）2﹣4a（﹣3a）＝16a2， ∴若b2﹣4ac＜2a，即16a2＜2a， ∴． 根据题目已有条件，无法推断出a＜， ∴②无法定论． ③∵对于任意实数x，﹣ax2﹣bx≤a成立， 即对于任意实数x，﹣ax2﹣bx﹣a≤0成立． 令g＝﹣ax2﹣bx﹣a（﹣a≠0）． ∵a＞0， ∴﹣a＜0， ∴关于实数x的二次函数g＝﹣ax2﹣bx﹣a图象开口向下． 若对于任意x，g＝﹣ax2﹣bx﹣a≤0，故需判断Δ＝（﹣b）2﹣4•（﹣a）•（﹣a）与0的数量关系． ∵b＝﹣2a，c＝﹣3a， ∴Δ＝（2a）2﹣4a2＝0， ∴对于任意实数x，g≤0． 故③正确． ④， ∴y1﹣y2＝a（x1+x2）（x1﹣x2）+b（x1﹣x2）． ∵b＝﹣2a， ∴y1﹣y2＝a（x1+x2）（x1﹣x2）﹣2a（x1﹣x2）＝a（x1﹣x2）（x1+x2﹣2）． ∵a＞0，x1＜x2，x1+x2＞2， ∴x1﹣x2＜0，x1+x2﹣2＞0， ∴a（x1﹣x2）（x1+x2﹣2）＜0， ∴y1﹣y2＜0， ∴y1＜y2． 故④正确． ⑤：经分析，AC≠BC，AB＝4． 若△ABC为等腰三角形，则AC＝AB或AB＝BC． ∵OA＝1，OC＝c＝﹣3a，OB＝3， ∴AC＝，BC＝． 当AC＝AB＝4时，则， ∴（不合题意，舍去）． 当AB＝BC＝4时，则， ∴（不合题意，舍去）． 综上所述：a值有两个． 故⑤不正确． 故答案为①③④． 三．解答题（共16小题） 37．已知关于x的一元二次方程x2+3x﹣m＝0有实数根． （1）求m的取值范围 （2）若两实数根分别为x1和x2，且，求m的值． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）∵关于x的一元二次方程 x2+3x﹣m＝0有实数根， ∴Δ＝b2﹣4ac＝32+4m≥0， 解得：m≥﹣； （2）∵x1+x2＝﹣3、x1x2＝﹣m， ∴x12+x22＝（x1+x2）2﹣2x1•x2＝11， ∴（﹣3）2+2m＝11， 解得：m＝1． 38．随着人们经济收入的不断提高及汽车产业的快速发展，汽车已越来越多地进入普通家庭，成为居民消费新的增长点．据某市交通部门统计，2008年底全市汽车拥有量为150万辆，而截止到2010年底，全市的汽车拥有量已达216万辆． （1）求2008年底至2010年底该市汽车拥有量的年平均增长率； （2）为保护城市环境，缓解汽车拥堵状况，该市交通部门拟控制汽车总量，要求到2012年底全市汽车拥有量不超过231.96万辆；另据估计，从2011年初起，该市此后每年报废的汽车数量是上年底汽车拥有量的10%．假定每年新增汽车数量相同，请你计算出该市每年新增汽车数量最多不能超过多少万辆． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）设该市汽车拥有量的年平均增长率为x（1分） 根据题意，得150（1+x）2＝216（2分） 解得x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不合题意，舍去）． 答：该市汽车拥有量的年平均增长率为20%；（4分） （2）设全市每年新增汽车数量为y万辆，则2011年底全市的汽车拥有量为216×90%+y万辆，2012年底全市的汽车拥有量为（216×90%+y）×90%+y万辆． 根据题意得（216×90%+y）×90%+y≤231.96，（6分） 解得y≤30；（7分） 答：该市每年新增汽车数量最多不能超过30万辆．（8分） 39．如图，AB是⊙O直径，D为⊙O上一点，AT平分∠BAD交⊙O于点T，过T作AD的垂线交AD的延长线于点C． （1）求证：CT为⊙O的切线； （2）若⊙O半径为2，CT＝，求AD的长． 【答案】见试题解答内容 【解答】（1）证明：连接OT， ∵OA＝OT， ∴∠OAT＝∠OTA， 又∵AT平分∠BAD， ∴∠DAT＝∠OAT， ∴∠DAT＝∠OTA， ∴OT∥AC， 又∵CT⊥AC， ∴CT⊥OT， ∴CT为⊙O的切线； （2）解：过O作OE⊥AD于E，则E为AD中点， 又∵CT⊥AC， ∴OE∥CT， ∴四边形OTCE为矩形， ∵CT＝， ∴OE＝， 又∵OA＝2， ∴在Rt△OAE中，， ∴AD＝2AE＝2． 40．铜仁市某电解金属锰厂从今年1月起安装使用回收净化设备（安装时间不计），这样既改善了环境，又降低了原料成本，根据统计，在使用回收净化设备后的1至x月的利润的月平均值w（万元）满足w＝10x+90． （1）设使用回收净化设备后的1至x月的利润和为y，请写出y与x的函数关系式． （2）请问前多少个月的利润和等于1620万元？ 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）y＝w•x＝（10x+90）x＝10x2+90x（x为正整数）， （2）设前x个月的利润和等于1620万元， 10x2+90x＝1620 即：x2+9x﹣162＝0 得x＝ x1＝9，x2＝﹣18（舍去）， 答：前9个月的利润和等于1620万元． 41．如图，A、B、C、D为矩形的四个顶点，AB＝16cm，AD＝6cm，动点P、Q分别从点A、C同时出发，点P以3cm/s的速度向点B移动，一直到达B为止，点Q以2cm/s的速度向D移动． （1）P、Q两点从出发开始到几秒时，四边形PBCQ的面积为33cm2； （2）P、Q两点从出发开始到几秒时，点P和点Q的距离是10cm． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）设P、Q两点从出发开始到x秒时四边形PBCQ的面积为33cm2， 则PB＝（16﹣3x）cm，QC＝2xcm， 根据梯形的面积公式得（16﹣3x+2x）×6＝33， 解之得x＝5， （2）设P，Q两点从出发经过t秒时，点P，Q间的距离是10cm， 作QE⊥AB，垂足为E， 则QE＝AD＝6，PQ＝10， ∵PA＝3t，CQ＝BE＝2t， ∴PE＝AB﹣AP﹣BE＝|16﹣5t|， 由勾股定理，得（16﹣5t）2+62＝102， 解得t1＝4.8，t2＝1.6． 答：（1）P、Q两点从出发开始到5秒时四边形PBCQ的面积为33cm2； （2）从出发到1.6秒或4.8秒时，点P和点Q的距离是10cm． 42．已知：如图，在半径为2的半圆O中，半径OA垂直于直径BC，点E与点F分别在弦AB、AC上滑动并保持AE＝CF，但点F不与A、C重合，点E不与A、B重合． （1）求四边形AEOF的面积． （2）设AE＝x，S△OEF＝y，写出y与x之间的函数关系式，求x的取值范围． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）∵BC为半圆O的直径，OA为半径，且OA⊥BC， ∴∠B＝∠OAF＝45°，OA＝OB， 又∵AE＝CF，AB＝AC， ∴BE＝AF， ∴△BOE≌△AOF ∴S四边形AEOF＝S△AOB＝OB•OA＝2． （2）∵BC为半圆O的直径， ∴∠BAC＝90°，且AB＝AC＝2， y＝S△OEF＝S四边形AEOF﹣S△AEF＝2﹣AE•AF＝2﹣x（2﹣x） ∴y＝x2﹣x+2（0＜x＜2）． 43．若x1，x2是关于x的方程x2+bx+c＝0的两个实数根，且|x1|+|x2|＝2|k|（k是整数），则称方程x2+bx+c＝0为“偶系二次方程”．如方程x2﹣6x﹣27＝0，x2﹣2x﹣8＝0，x2+3x﹣＝0，x2+6x﹣27＝0，x2+4x+4＝0，都是“偶系二次方程”． （1）判断方程x2+x﹣12＝0是否是“偶系二次方程”，并说明理由； （2）对于任意一个整数b，是否存在实数c，使得关于x的方程x2+bx+c＝0是“偶系二次方程”，并说明理由． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）不是， 解方程x2+x﹣12＝0得，x1＝3，x2＝﹣4． |x1|+|x2|＝3+4＝7＝2×3.5． ∵3.5不是整数， ∴x2+x﹣12＝0不是“偶系二次方程； （2）存在．理由如下： ∵x2﹣6x﹣27＝0和x2+6x﹣27＝0是偶系二次方程， ∴假设c＝mb2+n， 当b＝﹣6，c＝﹣27时， ﹣27＝36m+n． ∵x2＝0是偶系二次方程， ∴n＝0时，m＝﹣， ∴c＝﹣b2． ∵是偶系二次方程， 当b＝3时，c＝﹣×32． ∴可设c＝﹣b2． 对于任意一个整数b，c＝﹣b2时， Δ＝b2﹣4ac， ＝4b2． x＝， ∴x1＝﹣b，x2＝b． ∴|x1|+|x2|＝2|b|， ∵b是整数， ∴对于任何一个整数b，c＝﹣b2时，关于x的方程x2+bx+c＝0是“偶系二次方程”． 44．铁匠王老五要制作一个圆锥体模型，操作规则是：在一块边长为16cm的正方形纸片上剪出一个扇形和一个圆，使得扇形围成圆锥的侧面时，圆恰好是该圆锥的底面．他们首先设计了如图所示的方案一，发现这种方案不可行，于是他们调整了扇形和圆的半径，设计了如图所示的方案二．（两个方案的图中，圆与正方形相邻两边及扇形的弧均相切．方案一中扇形的弧与正方形的两边相切）请你帮助他算一算可以吗？ （1）请说明方案一不可行的理由； （2）判断方案二是否可行？若可行，请确定圆锥的母线长及其底面圆半径；若不可行，请说明理由． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：连接AC，E为两圆的切点， （1）理由如下： ∵扇形的弧长＝16×＝8π，圆锥底面周长＝2πr， ∴圆的半径O1E＝4cm． 过O1作O1F⊥CD， ∴△CO1F为等腰直角三角形， ∴O1C＝O1F＝O1E＝4cm， 又∵AE＝AB＝16cm， 而制作这样的圆锥实际需要正方形纸片的对角线长为AE+EO1+O1C＝16+4+4＝20+4cm， ∵20+4＞16， ∴方案一不可行； （2）方案二可行．求解过程如下： 设圆锥底面圆的半径为rcm，圆锥的母线长为Rcm， ∵在一块边长为16cm的正方形纸片上， ∴正方形对角线长为16cm， 则，① ．② 由①②，可得，． 故所求圆锥的母线长为cm，底面圆的半径为cm． 45．如图，已知二次函数的图象经过点A（﹣1，0），B（3，0），与y轴交于点C（0，﹣3）． （1）求抛物线的解析式； （2）若点D为抛物线的顶点，求△BCD的面积； （3）抛物线上是否存在点P，使∠PAB＝∠ABC，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）y＝x2﹣2x﹣3； （2）3； （3）抛物线上存在点P，使∠PAB＝∠ABC；P1（2，﹣3），P2（4，5）． 【解答】解：（1）设二次函数解析式为y＝ax2+bx+c，其图象经过点A（﹣1，0），B（3，0），C（0，﹣3）．代入得： ， 解得：， ∴抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3； （2）设直线BC的解析式为y＝mx+n， ∵B（3，0），C（0，﹣3）， ∴， 解得：， ∴直线BC的解析式为y＝x﹣3． ∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4， ∴D（1，﹣4）， 过点D作DE⊥x轴交直线BC于点E，如图1， ∴E（1，﹣2）， ∴DE＝﹣2+4＝2， ∴S△BCD＝S△BDE+S△CDE＝×2×2+×2×1＝3； （3）抛物线上存在点P，使∠PAB＝∠ABC；理由如下： 如图2， ①当点P是抛物线上关于对称轴与点C对称的点时，则有∠PAB＝∠ABC， ∵点C（0，﹣3）关于对称轴x＝1的对称点坐标为（2，﹣3）， ∴P1（2，﹣3）； ②当直线PA∥BC时，则有∠PAB＝∠ABC， ∵直线BC的解析式为y＝x﹣3， ∴直线AP的解析式中一次项系数为1． 设与BC平行的直线AP2的解析式为y＝x+m， 将A（﹣1，0）代入得：﹣1+m＝0， 解得：m＝1， ∴直线AP2的解析式为y＝x+1， 联立抛物线解析式得： ， 解得：或（不合题意，舍去）， ∴P2（4，5）． 综上所述，P1（2，﹣3），P2（4，5）． 46．如图，抛物线y1＝ax2+bx+与x轴交于点A（﹣3，0），点B，点D是抛物线y1的顶点，过点D作x轴的垂线，垂足为点C（﹣1，0）． （1）求抛物线y1所对应的函数解析式； （2）如图1，点M是抛物线y1上一点，且位于x轴上方，横坐标为m，连接MC，若∠MCB＝∠DAC，求m的值； （3）如图2，将抛物线y1平移后得到顶点为B的抛物线y2．点P为抛物线y1上的一个动点，过点P作y轴的平行线，交抛物线y2于点Q，过点Q作x轴的平行线，交抛物线y2于点R．当以点P，Q，R为顶点的三角形与△ACD全等时，请直接写出点P的坐标． 【答案】（1）； （2）； （3）或． 【解答】解：（1）由题意得：， 解得． 抛物线y1所对应的函数解析式为； （2）当x＝﹣1时，， ∴D（﹣1，1）， 设直线AD的解析式为y＝kx+b， ∴， 解得， ∴直线AD的解析式为， 如答图1，当M点在x轴上方时， ∵∠M1CB＝∠DAC， ∴DA∥CM1， 设直线CM1的解析式为， ∵直线经过点C， ∴， 解得：， ∴直线CM1的解析式为， ∴， 解得：，（舍去）， ∴， 综合以上可得m的值为； （3）∵抛物线y1平移后得到y2，且顶点为B（1，0）， ∴， 即． 设，则， ∴， ①如答图2，当P在Q点上方时， PQ＝1﹣m，QR＝2﹣2m， ∵△PQR与△ACD全等， ∴当PQ＝DC且QR＝AC时，m＝0， ∴，， 当PQ＝AC且QR＝DC时，无解； ②如答图3，当点P在Q点下方时， 同理：PQ＝m﹣1，QR＝2m﹣2，m﹣1＝1， ∴m＝2， 则，． 综合可得P点坐标为或． 47．如图，抛物线 y＝﹣x2+bx+c经过A（4，0），C（﹣1，0）两点，与y轴交于点B，P为第一象限抛物线上的动点，连接AB，BC，PA，PC，PC与AB相交于点Q． （1）求抛物线的解析式： （2）设△APQ的面积为S1，△BCQ的面积为S2，当 S1﹣S2＝5 时，求点P的坐标； （3）是否存在点P，使∠PAB+∠CBO＝45°，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】（1）y＝﹣x2+3x+4； （2）P的坐标是（1，6）或（2，6）； （3）P（3，4）． 【解答】解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A（4，0），C（﹣1，0）两点， ∴． 解得． ∴抛物线的解析式是y＝﹣x2+3x+4； （2）设P（x，y），对于抛物线y＝﹣x2+3x+4．令x＝0，则y＝4， ∴B（0，4）． ∵S1﹣S2＝5， ∴S1＝S2+5． ∴S1+S△AQC＝S2+S△AQC+5，即S△APC＝S△ABC+5． ∴＝+5． ∴y＝6． ∴﹣x2+3x+4＝6． 解得x1＝1，x2＝2． ∴点P的坐标是（1，6）或（2，6）． （3）存在，使∠PAB+∠CBO＝45°，点P的坐标是（3，4）， 理由：在x轴的正半轴上取点E（1，0），连接BE，过点A作AP∥BE交抛物线于另一点P， ∵C﹣1，0），E（1，0）， ∴OC＝0E＝1， 在△BOC和△BOE中， ， ∴△BOC≌△BOE（SAS）， ∴∠CBO＝EBO， ∵AP∥BE， ∴∠ABE＝∠PAB， ∴∠PAB+∠CBO＝∠ABE+∠EBO＝∠ABO， ∵OA＝OB＝4，∠AOB＝90°， ∴∠ABO＝45°， ∴∠PAB+∠CBO＝45°， 设直线BE的解析式为y＝kx+d，把B（0，4），E（1，0）代入得， 解得：， ∴直线BE的解析式为y＝﹣4x+4， ∵AP∥BE， ∴设直线AP的解析式为y＝﹣4x+f， 将A（4，0）代入得0＝﹣16+f， 解得：f＝16， ∴直线AP的解析式为y＝﹣4x+16， 由﹣x2+3x+4＝﹣4x+16， 解得：x1＝3，x2＝4（不符合题意，舍去）， ∴P（3，4）． 48．如图，二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象经过点（0，1）和（4，1）． （1）求二次函数的表达式； （2）已知△ABC为一直角三角形纸片，∠BAC＝90°，AB＝1，AC＝2，直角边AB落在x轴上，将纸片沿x轴滑动，当点C落在抛物线上时，求点B的坐标． 【答案】（1）二次函数的表达式为：y＝﹣x2+4x+1； （2）B（3+，0）或（3﹣，0）． 【解答】解：（1）将点（0，1）和（4，1）代入y＝﹣x2+bx+c中得： ∴， 解得：， ∴二次函数的表达式为：y＝﹣x2+4x+1； （2）∵AC＝2，∠BAC＝90°，直角边AB在x轴上， ∴点C的纵坐标为2， 当y＝2时，﹣x2+4x+1＝2， 解得：x＝2±， ∴B（3+，0）或（3﹣，0）． 49．如图1，抛物线y1＝ax2﹣3x+c的图象与x轴的交点为A和B，与y轴交点为D（0，4），与直线y2＝﹣x+b交点为A和C，且OA＝OD． （1）求抛物线的解析式和b值； （2）在直线y2＝﹣x+b上是否存在一点P，使得△ABP是等腰直角三角形，如果存在，求出点P的坐标，如果不存在，请说明理由； （3）将抛物线y1图象x轴上方的部分沿x轴翻折得一个“M”形状的新图象（如图2），若直线y3＝﹣x+n与该新图象恰好有四个公共点，请求出此时n的取值范围． 【答案】（1）y1＝﹣x2﹣3x+4，b＝﹣4； （2）在直线y2＝﹣x﹣4上存在点P使得△ABP是等腰直角三角形，点P的坐标为（﹣，﹣）或（1，﹣5）； （3）﹣8＜n＜﹣4． 【解答】解：（1）∵D（0，4）， ∴OD＝4， ∵OA＝OD，点A在x的负半轴上， ∴A（﹣4，0）， 把A（﹣4，0），D（0，4）分别代入y1＝ax2﹣3x+c，得， 解得：， ∴该抛物线的解析式为y1＝﹣x2﹣3x+4， 把A（﹣4，0）代入y2＝﹣x+b，得4+b＝0， 解得：b＝﹣4； （2）存在． 在y1＝﹣x2﹣3x+4中，令y1＝0，得﹣x2﹣3x+4＝0， 解得：x1＝﹣4，x2＝1， ∴B（1，0）， 如图1，设直线y2＝﹣x﹣4与y轴交于点G， 则G（0，﹣4）， ∴OG＝4， ∵A（﹣4，0）， ∴OA＝4， ∴OA＝OG， ∴△AOG是等腰直角三角形， ∴∠BAC＝45°， 当∠APB＝90°时，如图1，过点P作PH⊥x轴于点H， ∵∠BAP＝45°，∠APB＝90°， ∴∠ABP＝45°＝∠BAP， ∴PA＝PB，即△ABP是等腰直角三角形， ∵PH⊥AB， ∴AH＝BH，即H是AB的中点， ∴H（﹣，0）， ∴点P的横坐标为﹣， 当x＝﹣时，y2＝﹣（﹣）﹣4＝﹣， ∴P1（﹣，﹣）； 当∠ABP＝90°时，则∠APB＝∠BAP＝45°， ∴BP＝AB＝5， ∴P2（1，﹣5）； 综上所述，在直线y2＝﹣x﹣4上存在点P使得△ABP是等腰直角三角形，点P的坐标为（﹣，﹣）或（1，﹣5）； （3）∵y1＝﹣x2﹣3x+4＝﹣（x+）2+， ∴抛物线y1＝﹣x2﹣3x+4的顶点为（﹣，），沿x轴翻折后的解析式为y＝（x+）2﹣， 把A（﹣4，0）代入y3＝﹣x+n，得4+n＝0， 解得：n＝﹣4， 联立抛物线y＝（x+）2﹣与直线y3得：（x+）2﹣＝﹣x+n， 整理得：x2+4x﹣（n+4）＝0， 当Δ＝16+4（n+4）＝0时，n＝﹣8， ∴当直线y3＝﹣x+n与该新图象恰好有四个公共点时，﹣8＜n＜﹣4． 50．综合与实践 问题提出 某兴趣小组开展综合实践活动：在Rt△ABC中，∠C＝90°，D为AC上一点，CD＝，动点P以每秒1个单位的速度从C点出发，在三角形边上沿C→B→A匀速运动，到达点A时停止，以DP为边作正方形DPEF．设点P的运动时间为t s，正方形DPEF的面积为S，探究S与t的关系． 初步感知 （1）如图1，当点P由点C运动到点B时， ①当t＝1时，S＝　3　； ②S关于t的函数解析式为 　S＝t2+2（0＜t≤2）　． （2）当点P由点B运动到点A时，经探究发现S是关于t的二次函数，并绘制成如图2所示的图象．请根据图象信息，求S关于t的函数解析式及线段AB的长． 延伸探究 （3）若存在3个时刻t1，t2，t3（t1＜t2＜t3）对应的正方形DPEF的面积均相等． ①t1+t2＝　4　； ②当t3＝4t1时，求正方形DPEF的面积． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）①当t＝1时，CP＝1， 又∵∠C＝90°，CD＝， ∴S＝DP2＝CP2+CD2＝12+（）2＝3． 故答案为：3； ②当点P由点C运动到点B时，CP＝t， ∵∠C＝90°，CD＝， ∴S＝DP2＝CP2+CD2＝t2+（）2＝t2+2． 故答案为：S＝t2+2（0＜t≤2）； （2）由图2可得：当点P运动到点B处时，PD2＝BD2＝6，当点P运动到点A处时，PD2＝AD2＝18， 抛物线的顶点坐标为（4，2）， ∴BC＝＝＝2，AD＝＝3， ∴M（2，6）， 设S＝a（t﹣4）2+2，将M（2，6）代入，得4a+2＝6， 解得：a＝1， ∴S＝（t﹣4）2+2＝t2﹣8t+18， ∴AC＝AD+CD＝3+＝4， 在Rt△ABC中，AB＝＝＝6， ∴抛物线的解析式为S＝t2﹣8t+18（2≤t≤8）； （3）①方法一：由（1）（2）可得S＝，图象如图所示： ∵存在3个时刻t1，t2，t3（t1＜t2＜t3）对应的正方形DPEF的面积均相等， ∴2＜S＜6， ∴点P1与P2关于直线t＝2对称，点P2与P3关于直线t＝4对称， ∴（t1+t2）＝2，（t2+t3）＝4， ∴t1+t2＝4，t2+t3＝8． 故答案为：4； 方法二：如图，则∠AHD＝90°＝∠C， ∵∠DAH＝∠BAC， ∴△ADH∽△ABC， ∴＝＝，即＝＝， ∴DH＝，AH＝4， ∴BH＝2，DH＝CD， ∵存在3个时刻t1，t2，t3（t1＜t2＜t3）对应的正方形DPEF的面积均相等， ∴DP1＝DP2＝DP3， ∴CP1＝t1，P2H＝4﹣t2， 在Rt△CDP1和Rt△HDP2中， ， ∴Rt△CDP1≌Rt△HDP2（HL）， ∴CP1＝HP2， ∴t1＝4﹣t2， ∴t1+t2＝4． 故答案为：4； ②方法一：由①知：t1+t2＝4，t2+t3＝8， ∴t3﹣t1＝4， ∵t3＝4t1， ∴t1＝， ∴S＝（）2+2＝． 方法二：∵DP3＝DP1，DH＝DC，∠DHP3＝∠C＝90°， ∴Rt△DHP3≌Rt△DCP1（HL）， ∴P3H＝CP1， ∵P3H＝t3﹣4， ∴t3﹣4＝t1， ∵t3＝4t1， ∴t1＝， ∴S＝（）2+2＝． 51．如图，在平面直角坐标系中，点M的坐标是（5，4），⊙M与y轴相切于点C，与x轴相交于A，B两点． （1）请直接写出A，B，C三点的坐标，并求出过这三点的抛物线解析式； （2）设（1）中抛物线解析式的顶点为E，求证：直线EA与⊙M相切； （3）在抛物线的对称轴上，是否存在点P，且点P在x轴的上方，使△PBC是等腰三角形？如果存在，请求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由． 【答案】见试题解答内容 【解答】 （1）解：如图1，连接CM、AM， ∵⊙M与y轴相切于点C，点M的坐标是（5，4）， ∴CM⊥y轴，即C（0，4），⊙M的半径为5， ∴AM＝5，DM＝4， ∴AD＝DB＝3， ∴OA＝5﹣3＝2， ∴A（2，0），B（8，0）； 设抛物线解析式为：y＝a（x﹣2）（x﹣8）， 将（0，4）代入得：4＝16a，即a＝， ∴y＝＝x+4； （2）证明：y＝x+4＝（x﹣5）2﹣， ∴E（5，﹣）， ∴DE＝， ∴ME＝MD+DE＝4+＝，EA2＝32+（）2＝， ∵MA2+EA2＝52+＝，ME2＝， ∴MA2+EA2＝ME2， ∴∠MAE＝90°， 即EA⊥MA， ∴EA与⊙M相切； （3）解：存在； 理由如下： 由勾股定理得：BC＝＝4， 分三种情况： ①当PB＝PC时，点P在BC的垂直平分线上，点P与M重合， ∴P（5，4）； ②当BP＝BC＝4时，如图2所示： ∵PD＝＝＝， ∴P（5，）； ③当PC＝BC＝4时，连接MC，如图3所示： 则∠PMC＝90°， 根据勾股定理得：PM＝＝＝， ∴PD＝4+， ∴P（5，4+）； 综上所述：存在点P，且点P在x轴的上方，使△PBC是等腰三角形，点P的坐标为（5，4）或（5，）或（5，4+）． 52．平面直角坐标系xOy中，点P，Q是图形G上任意两个点，其纵坐标分别是y1，y2，则称|y1﹣y2|的最大值为图形G的“纵测宽”． （1）直接写出下列图形的“纵测宽”． ①△ABC，其中A（0，0），B（﹣2，﹣1），C（3，4）； ②如图，以原点为圆心，半径为2的圆在第一象限的部分与线段EF围成的图形，其中E（0，2），F（2，0）； （2）如果抛物线y＝x2+mx+3与经过点P（3，0）、Q（0，﹣3）的直线围成的图形“纵测宽”是3，求实数m的值． 【答案】（1）①△ABC的“纵测宽”为5； ②2 （2）． 【解答】解：（1）①在△ABC中，A（0，0），B（﹣2，﹣1），C（3，4）， 其中纵坐标最大为点C的纵坐标4，纵坐标最小为点B的纵坐标为﹣1， ∵|﹣1﹣4|＝5， ∴△ABC的“纵测宽”为5； ②以原点为圆心，半径为2的圆在第一象限的部分与线段EF围成的图形，其中E（0，2），F（2，0），如图， ∴纵坐标最大为E点的纵坐标2，纵坐标最小为F点的纵坐标0， ∵|2﹣0|＝2， ∴这个图形的“纵测宽”为2； （2）设直线PQ的解析式为y＝kx+b，把P（3，0）、Q（0，﹣3）代入， 得：， 解得：， ∴直线PQ解析式为y＝x﹣3， 联立方程组得：， 整理得：x2+（m﹣1）x+6＝0， 根据抛物线y＝x2+mx+3与直线PQ能围成的图形G，可知Δ＝（m﹣1）2﹣4×6＞0， 解得：或， 又∵x1+x2＝1﹣m，x1•x2＝6， ∴|x1﹣x2|＝＝＝， 设直线PQ与抛物线y＝x2+mx+3交点坐标为M（x1，y1），N（x2，y2），其中x1＜x2， ∵抛物线y＝x2+mx+3＝（x+）2+3﹣， ∴抛物线y＝x2+mx+3对称轴为直线，顶点坐标为， 当x1＜﹣＜x2时，抛物线与直线PQ能围成的图形中，纵坐标最大为N点的纵坐标y2，纵坐标最小为顶点的纵坐标， ∵抛物线与直线PQ能围成的图形“纵测宽”是3， ∴， ∴， 把代入， 得 解得， 把N（x2，y2）代入y＝x﹣3得 整理得 ， 当时，抛物线与直线PQ能围成的图形中，纵坐标最大时在N点，为y2，纵坐标最小时在M点，为y1， ∵抛物线与直线PQ能围成的图形“纵测宽”是3， ∴y2﹣y1＝3， ∵y1＝x1﹣3，y2＝x2﹣3， ∴x2﹣x1＝3 ∴， 解得：（不符合题意，舍去）， 综上所述，实数m的值为． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$