期中复习（易错题52题29个考点）-2024-2025学年九年级数学上学期期中期末考点归纳满分攻略讲练（人教版）

期中复习（易错题52题29个考点） 范围：第1章-第4章 一．一元二次方程的解（共1小题） 1．关于x的一元二次方程（m﹣2）x2+3x+m2﹣4＝0有一个解是0，则m＝　 　． 二．解一元二次方程-配方法（共2小题） 2．用配方法解一元二次方程3x2+6x﹣1＝0时，将它化为（x+a）2＝b的形式，则a+b的值为（　　） A． B． C．2 D． 3．用配方法解方程x2﹣6x﹣7＝0，下列配方正确的是（　　） A．（x﹣3）2＝16 B．（x+3）2＝16 C．（x﹣3）2＝7 D．（x﹣3）2＝2 三．解一元二次方程-因式分解法（共1小题） 4．方程x2﹣9x+18＝0的两个根是等腰三角形的底和腰，则这个等腰三角形的周长为　 　． 四．换元法解一元二次方程（共1小题） 5．已知实数x满足（x2﹣x）2﹣4（x2﹣x）﹣12＝0，则代数式x2﹣x+1的值是（　　） A．7 B．﹣1 C．7或﹣1 D．﹣5或3 五．根的判别式（共3小题） 6．如果关于x的一元二次方程kx2﹣6x+9＝0有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是（　　） A．k＜1 B．k≠0 C．k＜1且k≠0 D．k＞1 7．对于一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），下列说法： ①若a+b+c＝0，则b2﹣4ac≥0； ②若方程ax2+c＝0有两个不相等的实根，则方程ax2+bx+c＝0必有两个不相等的实根； ③若c是方程ax2+bx+c＝0的一个根，则一定有ac+b+1＝0成立； ④若x0是一元二次方程ax2+bx+c＝0的根，则 ⑤存在实数m、n（m≠n），使得am2+bm+c＝an2+bn+c； 其中正确的（　　） A．只有①②④ B．只有①②④⑤ C．①②③④⑤ D．只有①②③ 8．已知关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣3m2＝0． （1）求证：方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程的两个实数根分别为α，β，且α+2β＝5，求m的值． 六．根与系数的关系（共1小题） 9．已知关于x的方程x2﹣（2m﹣1）x+m2＝0的两实数根为x1，x2，若（x1+1）（x2+1）＝3，则m的值为（　　） A．﹣3 B．﹣1 C．﹣3或1 D．﹣1或3 七．由实际问题抽象出一元二次方程（共2小题） 10．某农机厂四月份生产零件50万个，第二季度共生产零件182万个．设该厂五、六月份平均每月的增长率为x，那么x满足的方程是（　　） A．50（1+x）2＝182 B．50+50（1+x）+50（1+x）2＝182 C．50（1+2x）＝182 D．50+50（1+x）+50（1+2x）＝182 11．在某次聚会上，每两人都握了一次手，所有人共握手10次，设有x人参加这次聚会，则列出方程正确的是（　　） A．x（x﹣1）＝10 B．＝10 C．x（x+1）＝10 D．＝10 八．一元二次方程的应用（共1小题） 12．如图，利用一面墙（墙EF最长可利用28米），围成一个矩形花园ABCD．与墙平行的一边BC上要预留2米宽的入口（如图中MN所示，不用砌墙）．用砌60米长的墙的材料，当矩形的长BC为多少米时，矩形花园的面积为300平方米；能否围成480平方米的矩形花园，为什么？ 九．二次函数的图象（共2小题） 13．在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝ax+c和二次函数y＝ax2+c的图象大致为（　　） A． B． C． D． 14．如图，抛物线y＝ax2+bx+c的部分图象与x轴交于点（3，0），对称轴为直线x＝1，对于整个抛物线来说，当y≤0时，x的取值范围是（　　） A．0＜x≤3 B．﹣2≤x≤3 C．﹣1≤x≤3 D．x≤﹣1或x≥3 一十．二次函数的性质（共3小题） 15．对于二次函数y＝﹣（x+2）2﹣1，当函数值y随x的增大而减小时，则x的取值范围是（　　） A．x＜﹣1 B．x＜﹣2 C．x＞﹣1 D．x＞﹣2 16．二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，且a≠0）中的x与y的部分对应值如下表： x ﹣1 0 1 3 y ﹣1 3 5 3 下列结论： （1）ac＜0； （2）当x＞1时，y的值随x值的增大而减小． （3）3是方程ax2+（b﹣1）x+c＝0的一个根； （4）当﹣1＜x＜3时，ax2+（b﹣1）x+c＞0． 其中正确的个数为（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 17．如图，矩形ABCD的长AB＝4cm，宽AD＝2cm．O是AB的中点，OP⊥AB，两半圆的直径分别为AO与OB．抛物线的顶点是O，关于OP对称且经过C、D两点，则图中阴影部分的面积是　 　cm2． 一十一．二次函数图象与系数的关系（共2小题） 18．已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，有以下结论： ①a+b+c＜0；②a﹣b+c＞1；③abc＞0；④4a﹣2b+c＜0；⑤c﹣a＞1， 其中所有正确结论的序号是（　　） A．①② B．①③④ C．①②③⑤ D．①②③④⑤ 19．如图，抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴是直线x＝﹣1．且过点（，0），有下列结论：①abc＞0；②a﹣2b+4c＝0；③25a﹣10b+4c＝0；④3b+2c＞0；⑤a﹣b≥m（am﹣b）；其中所有正确的结论是　 　．（填写正确结论的序号） 一十二．二次函数图象上点的坐标特征（共1小题） 20．已知二次函数y＝x2+bx+c的图象过点A（1，m），B（3，m），若点M（﹣2，y1），N（﹣1，y2），K（8，y3）也在二次函数y＝x2+bx+c的图象上，则下列结论正确的是（　　） A．y1＜y2＜y3 B．y2＜y1＜y3 C．y3＜y1＜y2 D．y1＜y3＜y2 一十三．二次函数的最值（共1小题） 21．如图，已知二次函数y＝（x+1）2﹣4，当﹣2≤x≤2时，则函数y的最小值和最大值（　　） A．﹣3和5 B．﹣4和5 C．﹣4和﹣3 D．﹣1和5 一十四．抛物线与x轴的交点（共1小题） 22．对于二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0），我们把使函数值等于0的实数x叫做这个函数的零点，则二次函数y＝x2﹣mx+m﹣2（m为实数）的零点的个数是（　　） A．1 B．2 C．0 D．不能确定 一十五．二次函数与不等式（组）（共1小题） 23．如图，直线y＝x+m和抛物线y＝x2+bx+c都经过点A（1，0）和B（3，2），不等式x2+bx+c＞x+m的解集为 　 　． 一十六．根据实际问题列二次函数关系式（共1小题） 24．如图，四边形ABCD中，∠BAD＝∠ACB＝90°，AB＝AD，AC＝4BC，设CD的长为x，四边形ABCD的面积为y，则y与x之间的函数关系式是（　　） A．y＝ B．y＝ C．y＝ D．y＝ 一十七．二次函数的应用（共3小题） 25．某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件．求： （1）若商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？ （2）每件衬衫降价多少元时，商场平均每天盈利最多？ 26．某公园在人工湖里安装一个喷泉，在湖心处竖直安装一根水管，在水管的顶端安一个喷水头，水柱从喷水头喷出到落于湖面的路径形状可以看作是抛物线的一部分．若记水柱上某一位置与水管的水平距离为d米，与湖面的垂直高度为h米．下面的表中记录了d与h的五组数据： d（米） 0 1 2 3 4 h（米） 0.5 1.25 1.5 1.25 0.5 根据上述信息，解决以下问题： （1）在下面网格（图1）中建立适当的平面直角坐标系，并根据表中所给数据画出表示h与d函数关系的图象； （2）若水柱最高点距离湖面的高度为m米，则m＝　 　； （3）现公园想通过喷泉设立新的游玩项目，准备通过只调节水管露出湖面的高度，使得游船能从水柱下方通过．如图2所示，为避免游船被喷泉淋到，要求游船从水柱下方中间通过时，顶棚上任意一点到水柱的竖直距离均不小于0.5米．已知游船顶棚宽度为3米，顶棚到湖面的高度为2米，那么公园应将水管露出湖面的高度（喷水头忽略不计）至少调节到多少米才能符合要求？请通过计算说明理由（结果保留一位小数）． 27．2022年在中国举办的冬奥会和残奥会令世界瞩目，冬奥会和残奥会的吉祥物冰墩墩和雪容融家喻户晓，成为热销产品．某商家以每套34元的价格购进一批冰墩墩和雪容融套件．若该产品每套的售价是48元时，每天可售出200套；若每套售价提高2元，则每天少卖4套． （1）设冰墩墩和雪容融套件每套售价定为x元时，求该商品销售量y与x之间的函数关系式； （2）求每套售价定为多少元时，每天销售套件所获利润W最大，最大利润是多少元？ 一十八．二次函数综合题（共5小题） 28．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+4与x轴的一个交点为A（﹣2，0），与y轴的交点为C，对称轴是直线x＝3，对称轴与x轴交于点B． （1）求抛物线的函数表达式； （2）经过B，C的直线l平移后与抛物线交于点M，与x轴交于点N，当以B，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形时，求出点M的坐标； （3）若点D在x轴上，在抛物线上是否存在点P，使得△PBD≌△PBC？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 29．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx+c交x轴于点A（﹣4，0）、B（2，0），交y轴于点C（0，6），在y轴上有一点E（0，﹣2），连接AE． （1）求二次函数的表达式； （2）若点D为抛物线在x轴负半轴上方的一个动点，求△ADE面积的最大值； （3）抛物线对称轴上是否存在点P，使△AEP为等腰三角形？若存在，请直接写出所有P点的坐标，若不存在，请说明理由． 30．如图1，抛物线y＝ax2+2x+c，交x轴于A、B两点，交y轴于点C，F为抛物线顶点，直线EF垂直于x轴于点E，当y≥0时，﹣1≤x≤3． （1）求抛物线的表达式； （2）点P是线段BE上的动点（除B、E外），过点P作x轴的垂线交抛物线于点D． ①当点P的横坐标为2时，求四边形ACFD的面积； ②如图2，直线AD，BD分别与抛物线对称轴交于M、N两点．试问，EM+EN是否为定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由． 31．如图1，抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）与x轴、y轴分别交于点A（﹣1，0）、B（3，0）、点C三点． （1）试求抛物线的解析式； （2）点D（2，m）在第一象限的抛物线上，连接BC、BD．试问，在对称轴左侧的抛物线上是否存在一点P，满足∠PBC＝∠DBC？如果存在，请求出点P点的坐标；如果不存在，请说明理由； （3）如图2，在（2）的条件下，将△BOC沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度向右平移，记平移后的三角形为△B′O′C′．在平移过程中，△B′O′C′与△BCD重叠的面积记为S，设平移的时间为t秒，试求S与t之间的函数关系式？ 32．已知抛物线y＝ax2+x+4的对称轴是直线x＝3，与x轴相交于A，B两点（点B在点A右侧），与y轴交于点C． （1）求抛物线的解析式和A，B两点的坐标； （2）如图1，若点P是抛物线上B、C两点之间的一个动点（不与B、C重合），是否存在点P，使四边形PBOC的面积最大？若存在，求点P的坐标及四边形PBOC面积的最大值；若不存在，请说明理由； （3）如图2，若点M是抛物线上任意一点，过点M作y轴的平行线，交直线BC于点N，当MN＝3时，求点M的坐标． 一十九．圆周角定理（共1小题） 33．如图，以AB为直径的⊙O经过△ABC的顶点C，AE，BE分别平分∠BAC和∠ABC，AE的延长线交⊙O于点D，连接BD． （1）判断△BDE的形状，并证明你的结论； （2）若AB＝10，BE＝2，求BC的长． 二十．点与圆的位置关系（共1小题） 34．如图，点A，B的坐标分别为A（2，0），B（0，2），点C为坐标平面内一点，BC＝1，点M为线段AC的中点，连接OM，则OM的最大值为（　　） A．+1 B．+ C．2+1 D．2﹣ 二十一．切线的判定（共2小题） 35．如图，⊙O的直径AB为10cm，弦BC为6cm，D、E分别是∠ACB的平分线与⊙O，AB的交点，P为AB延长线上一点，且PC＝PE． （1）求AC、AD的长； （2）试判断直线PC与⊙O的位置关系，并说明理由． 36．如图，AH是⊙O的直径，AE平分∠FAH，交⊙O于点E，过点E的直线FG⊥AF，垂足为F，B为半径OH上一点，点E、F分别在矩形ABCD的边BC和CD上． （1）求证：直线FG是⊙O的切线； （2）若CD＝10，EB＝5，求⊙O的直径． 二十二．圆与圆的位置关系（共3小题） 37．已知两圆半径分别为2和3，圆心距为d，若两圆没有公共点，则下列结论正确的是（　　） A．0＜d＜1 B．d＞5 C．0＜d＜1或d＞5 D．0≤d＜1或d＞5 38．已知⊙O1和⊙O2相切，两圆的圆心距为9cm，⊙O1的半径为4cm，则⊙O2的半径为（　　） A．5cm B．13cm C．9cm或13cm D．5cm或13cm 39．已知两圆的半径分别是1和5，圆心距为3，则两圆位置关系为（　　） A．相交 B．外切 C．内切 D．内含 二十三．圆锥的计算（共2小题） 40．已知圆锥的侧面展开图的圆心角为120°，则这个圆锥的侧面积是底面积的（　　） A．2倍 B．3倍 C． D． 41．用一直径为10cm的玻璃球和一个圆锥形的牛皮纸纸帽可以制成一个不倒翁玩具，不倒翁的轴剖面图如图所示，圆锥的母线AB与⊙O相切于点B，不倒翁的顶点A到桌面L的最大距离是18cm．若将圆锥形纸帽的表面全涂上颜色，则需要涂色部分的面积约为　 　cm2（精确到1cm2）． 二十四．利用轴对称设计图案（共1小题） 42．如图1所示的图形是一个轴对称图形，且每个角都是直角，长度如图所示，小明按图2所示方法玩拼图游戏，两两相扣，相互间不留空隙，那么小明用9个这样的图形（图1）拼出来的图形的总长度是 　 　（结果用含a，b代数式表示）． 二十五．生活中的旋转现象（共1小题） 43．如图，小慧用如图的胶滚沿从左到右的方向将图案滚涂到墙上，下列给出的四个图形中，符合胶滚滚出的图案是（　　） A． B． C． D． 二十六．旋转的性质（共5小题） 44．如图，△ACD和△AEB都是等腰直角三角形，∠CAD＝∠EAB＝90°，四边形ABCD是平行四边形，下列结论中错误的是（　　） A．△ACE以点A为旋转中心，逆时针方向旋转90°后与△ADB重合 B．△ACB以点A为旋转中心，顺时针方向旋转270°后与△DAC重合 C．沿AE所在直线折叠后，△ACE与△ADE重合 D．沿AD所在直线折叠后，△ADB与△ADE重合 45．如图，P为等边三角形ABC内的一点，且P到三个顶点A，B，C的距离分别为3，4，5，则△ABC的面积为（　　） A． B． C． D． 46．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝5cm，BC＝12cm，将△ABC绕点B顺时针旋转60°，得到△BDE，连接DC交AB于点F，则△ACF与△BDF的周长之和为　 　cm． 47．如图，在△ABC中，AB＝6，将△ABC绕点B按逆时针方向旋转30°后得到△A1BC1，则阴影部分的面积为　 　． 48．阅读下面材料，并解决问题： （1）如图①等边△ABC内有一点P，若点P到顶点A、B、C的距离分别为3，4，5，求∠APB的度数． 为了解决本题，我们可以将△ABP绕顶点A旋转到△ACP′处，此时△ACP′≌△ABP，这样就可以利用旋转变换，将三条线段PA、PB、PC转化到一个三角形中，从而求出∠APB＝　 　； （2）基本运用 请你利用第（1）题的解答思想方法，解答下面问题 已知如图②，△ABC中，∠CAB＝90°，AB＝AC，E、F为BC上的点且∠EAF＝45°，求证：EF2＝BE2+FC2； （3）能力提升 如图③，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝1，∠ABC＝30°，点O为Rt△ABC内一点，连接AO，BO，CO，且∠AOC＝∠COB＝∠BOA＝120°，求OA+OB+OC的值． 二十七．中心对称（共1小题） 49．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点A在第一象限，点B，C的坐标分别为（2，1），（6，1），∠BAC＝90°，AB＝AC，直线AB交y轴于点P，若△ABC与△A′B′C′关于点P成中心对称，则点A′的坐标为（　　） A．（﹣4，﹣5） B．（﹣5，﹣4） C．（﹣3，﹣4） D．（﹣4，﹣3） 二十八．坐标与图形变化-旋转（共2小题） 50．如图，坐标系中，四边形OABC与CDEF都是正方形，OA＝2，M，D分别是AB，BC的中点，当把正方形CDEF绕点C旋转某个角度后，如果点F的对应点为F′，且O F′＝OM．则点F′的坐标是　 　． 51．平面直角坐标系中，将点A（3，4）绕点B（1，0）旋转90°，得到点A的对应点A'的坐标为　 　． 二十九．几何概率（共1小题） 52．小明随机地在如图所示的正三角形及其内部区域投针，则针扎到其内切圆（阴影）区域的概率为（　　） A． B．π C．π D． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 期中复习（易错题52题29个考点） 范围：第1章-第4章 一．一元二次方程的解（共1小题） 1．关于x的一元二次方程（m﹣2）x2+3x+m2﹣4＝0有一个解是0，则m＝　﹣2　． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：把x＝0代入一元二次方程（m﹣2）x2+3x+m2﹣4＝0，得m2﹣4＝0，即m＝±2．又m﹣2≠0，m≠2，取m＝﹣2． 故答案为：m＝﹣2． 二．解一元二次方程-配方法（共2小题） 2．用配方法解一元二次方程3x2+6x﹣1＝0时，将它化为（x+a）2＝b的形式，则a+b的值为（　　） A． B． C．2 D． 【答案】B 【解答】解：∵3x2+6x﹣1＝0， ∴3x2+6x＝1， x2+2x＝， 则x2+2x+1＝，即（x+1）2＝， ∴a＝1，b＝， ∴a+b＝． 故选：B． 3．用配方法解方程x2﹣6x﹣7＝0，下列配方正确的是（　　） A．（x﹣3）2＝16 B．（x+3）2＝16 C．（x﹣3）2＝7 D．（x﹣3）2＝2 【答案】A 【解答】解：由原方程移项，得 x2﹣6x＝7， 等式两边同时加上一次项系数的绝对值一半的平方32， x2﹣6x+32＝7+32， ∴（x﹣3）2＝16； 故选：A． 三．解一元二次方程-因式分解法（共1小题） 4．方程x2﹣9x+18＝0的两个根是等腰三角形的底和腰，则这个等腰三角形的周长为　15　． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：x2﹣9x+18＝0， ∴（x﹣3）（x﹣6）＝0， ∴x﹣3＝0，x﹣6＝0， ∴x1＝3，x2＝6， 当等腰三角形的三边是3，3，6时，3+3＝6，不符合三角形的三边关系定理， ∴此时不能组成三角形， 当等腰三角形的三边是3，6，6时，此时符合三角形的三边关系定理，周长是3+6+6＝15， 故答案为：15． 四．换元法解一元二次方程（共1小题） 5．已知实数x满足（x2﹣x）2﹣4（x2﹣x）﹣12＝0，则代数式x2﹣x+1的值是（　　） A．7 B．﹣1 C．7或﹣1 D．﹣5或3 【答案】A 【解答】解：∵（x2﹣x）2﹣4（x2﹣x）﹣12＝0， ∴（x2﹣x+2）（x2﹣x﹣6）＝0， ∴x2﹣x+2＝0或x2﹣x﹣6＝0， ∴x2﹣x＝﹣2或x2﹣x＝6． 当x2﹣x＝﹣2时，x2﹣x+2＝0， ∵b2﹣4ac＝1﹣4×1×2＝﹣7＜0， ∴此方程无实数解． 当x2﹣x＝6时，x2﹣x+1＝7 故选：A． 五．根的判别式（共3小题） 6．如果关于x的一元二次方程kx2﹣6x+9＝0有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是（　　） A．k＜1 B．k≠0 C．k＜1且k≠0 D．k＞1 【答案】C 【解答】解：由题意知：k≠0，Δ＝36﹣36k＞0， ∴k＜1且k≠0． 故选：C． 7．对于一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），下列说法： ①若a+b+c＝0，则b2﹣4ac≥0； ②若方程ax2+c＝0有两个不相等的实根，则方程ax2+bx+c＝0必有两个不相等的实根； ③若c是方程ax2+bx+c＝0的一个根，则一定有ac+b+1＝0成立； ④若x0是一元二次方程ax2+bx+c＝0的根，则 ⑤存在实数m、n（m≠n），使得am2+bm+c＝an2+bn+c； 其中正确的（　　） A．只有①②④ B．只有①②④⑤ C．①②③④⑤ D．只有①②③ 【答案】B 【解答】解：①若a+b+c＝0，则x＝1是方程ax2+bx+c＝0的解， 由一元二次方程的实数根与判别式的关系可知Δ＝b2﹣4ac≥0，故①正确； ②∵方程ax2+c＝0有两个不相等的实根， ∴Δ＝0﹣4ac＞0， ∴﹣4ac＞0， 则方程ax2+bx+c＝0的判别式Δ＝b2﹣4ac＞0， ∴方程ax2+bx+c＝0必有两个不相等的实根，故②正确； ③∵c是方程ax2+bx+c＝0的一个根， 则ac2+bc+c＝0， ∴c（ac+b+1）＝0， 若c＝0，等式仍然成立， 但ac+b+1＝0不一定成立，故③不正确； ④若x0是一元二次方程ax2+bx+c＝0的根， 则由求根公式可得： x0＝或x0＝ ∴2ax0+b＝或2ax0+b＝﹣ ∴ 故④正确． ⑤存在实数m、n（m≠n），使得am2+bm+c＝an2+bn+c成立； ∵由am2+bm+c＝an2+bn+c， ∴a（m2﹣n2）+b（m﹣n）＝0， ∴a（m﹣n）（m+n）+b（m﹣n）＝0， 即（m﹣n）[a（m+n）+b]＝0， ∵m≠n， ∴a（m+n）+b＝0， ∴当a≠0时，存在实数m、n（m≠n），使得am2+bm+c＝an2+bn+c成立； 故⑤正确． 故选：B． 8．已知关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣3m2＝0． （1）求证：方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程的两个实数根分别为α，β，且α+2β＝5，求m的值． 【答案】见试题解答内容 【解答】（1）证明：∵a＝1，b＝﹣2，c＝﹣3m2， ∴Δ＝（﹣2）2﹣4×1•（﹣3m2） ＝4+12m2＞0， ∴方程总有两个不相等的实数根； （2）解：由题意得： ， 解得：， ∵αβ＝﹣3m2， ∴﹣3m2＝﹣3， ∴m＝±1， ∴m的值为±1． 六．根与系数的关系（共1小题） 9．已知关于x的方程x2﹣（2m﹣1）x+m2＝0的两实数根为x1，x2，若（x1+1）（x2+1）＝3，则m的值为（　　） A．﹣3 B．﹣1 C．﹣3或1 D．﹣1或3 【答案】A 【解答】解：∵方程x2﹣（2m﹣1）x+m2＝0的两实数根为x1，x2， ∴x1+x2＝2m﹣1，x1x2＝m2， ∵（x1+1）（x2+1）＝x1x2+x1+x2+1＝3， ∴m2+2m﹣1+1＝3， 解得：m＝1或m＝﹣3， ∵方程有两实数根， ∴Δ＝（2m﹣1）2﹣4m2≥0， 即m≤， ∴m＝1不合题意，舍去， ∴m＝﹣3； 故选：A． 七．由实际问题抽象出一元二次方程（共2小题） 10．某农机厂四月份生产零件50万个，第二季度共生产零件182万个．设该厂五、六月份平均每月的增长率为x，那么x满足的方程是（　　） A．50（1+x）2＝182 B．50+50（1+x）+50（1+x）2＝182 C．50（1+2x）＝182 D．50+50（1+x）+50（1+2x）＝182 【答案】B 【解答】解：依题意得五、六月份的产量为50（1+x）、50（1+x）2， ∴50+50（1+x）+50（1+x）2＝182． 故选：B． 11．在某次聚会上，每两人都握了一次手，所有人共握手10次，设有x人参加这次聚会，则列出方程正确的是（　　） A．x（x﹣1）＝10 B．＝10 C．x（x+1）＝10 D．＝10 【答案】B 【解答】解：设x人参加这次聚会，则每个人需握手：x﹣1（次）； 依题意，可列方程为：＝10； 故选：B． 八．一元二次方程的应用（共1小题） 12．如图，利用一面墙（墙EF最长可利用28米），围成一个矩形花园ABCD．与墙平行的一边BC上要预留2米宽的入口（如图中MN所示，不用砌墙）．用砌60米长的墙的材料，当矩形的长BC为多少米时，矩形花园的面积为300平方米；能否围成480平方米的矩形花园，为什么？ 【答案】见试题解答内容 【解答】解：设矩形花园BC的长为x米，则其宽为（60﹣x+2）米，依题意列方程得： （60﹣x+2）x＝300， x2﹣62x+600＝0， 解这个方程得：x1＝12，x2＝50， ∵28＜50， ∴x2＝50（不合题意，舍去）， ∴x＝12． （60﹣x+2）x＝480， x2﹣62x+960＝0， 解这个方程得：x1＝32，x2＝30， ∵墙EF最长可利用28米， 而28＜30＜32， ∴x1＝32，x2＝30均不合题意，舍去， 答：当矩形的长BC为12米时，矩形花园的面积为300平方米；不能围成480平方米的矩形花园． 九．二次函数的图象（共2小题） 13．在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝ax+c和二次函数y＝ax2+c的图象大致为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解答】解：∵一次函数和二次函数都经过y轴上的（0，c）， ∴两个函数图象交于y轴上的同一点，故B选项错误； 当a＞0时，二次函数开口向上，一次函数经过一、三象限，故C选项错误； 当a＜0时，二次函数开口向下，一次函数经过二、四象限，故A选项错误； 故选：D． 14．如图，抛物线y＝ax2+bx+c的部分图象与x轴交于点（3，0），对称轴为直线x＝1，对于整个抛物线来说，当y≤0时，x的取值范围是（　　） A．0＜x≤3 B．﹣2≤x≤3 C．﹣1≤x≤3 D．x≤﹣1或x≥3 【答案】C 【解答】解：因为抛物线的对称轴x＝1，与x轴的一个交点（3，0）， 根据抛物线的对称性可知，抛物线与x轴的另一交点为（﹣1，0）， 因为抛物线开口向上，当y≤0时，﹣1≤x≤3． 故选：C． 一十．二次函数的性质（共3小题） 15．对于二次函数y＝﹣（x+2）2﹣1，当函数值y随x的增大而减小时，则x的取值范围是（　　） A．x＜﹣1 B．x＜﹣2 C．x＞﹣1 D．x＞﹣2 【答案】D 【解答】解：由题意，∵二次函数为y＝﹣（x+2）2﹣1，且a＝﹣1＜0， ∴二次函数开口向下，对称轴为直线x＝﹣2． ∴当x＞﹣2时，y随x的增大而减小． 故选：D． 16．二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，且a≠0）中的x与y的部分对应值如下表： x ﹣1 0 1 3 y ﹣1 3 5 3 下列结论： （1）ac＜0； （2）当x＞1时，y的值随x值的增大而减小． （3）3是方程ax2+（b﹣1）x+c＝0的一个根； （4）当﹣1＜x＜3时，ax2+（b﹣1）x+c＞0． 其中正确的个数为（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【解答】解：（1）由图表中数据可得出：x＝1时，y＝5，所以二次函数y＝ax2+bx+c开口向下，a＜0；又x＝0时，y＝3，所以c＝3＞0，所以ac＜0，故（1）正确； （2）∵二次函数y＝ax2+bx+c开口向下，且对称轴为x＝＝1.5，∴当x≥1.5时，y的值随x值的增大而减小，故（2）错误； （3）∵x＝3时，y＝3，∴9a+3b+c＝3，∵c＝3，∴9a+3b+3＝3，∴9a+3b＝0，∴3是方程ax2+（b﹣1）x+c＝0的一个根，故（3）正确； （4）∵x＝﹣1时，ax2+bx+c＝﹣1，∴x＝﹣1时，ax2+（b﹣1）x+c＝0，∵x＝3时，ax2+（b﹣1）x+c＝0，且函数有最大值，∴当﹣1＜x＜3时，ax2+（b﹣1）x+c＞0，故（4）正确． 故选：B． 17．如图，矩形ABCD的长AB＝4cm，宽AD＝2cm．O是AB的中点，OP⊥AB，两半圆的直径分别为AO与OB．抛物线的顶点是O，关于OP对称且经过C、D两点，则图中阴影部分的面积是　　cm2． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：观察图形， 根据二次函数的对称性可得图中阴影部分的面积是半圆的面积， 其半径为AB的，即半径为1，易得其面积为． 故答案为：． 一十一．二次函数图象与系数的关系（共2小题） 18．已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，有以下结论： ①a+b+c＜0；②a﹣b+c＞1；③abc＞0；④4a﹣2b+c＜0；⑤c﹣a＞1， 其中所有正确结论的序号是（　　） A．①② B．①③④ C．①②③⑤ D．①②③④⑤ 【答案】C 【解答】解：①当x＝1时，y＝a+b+c＜0，故①正确； ②当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＞1，故②正确； ③由抛物线的开口向下知a＜0，与y轴的交点为在y轴的正半轴上， ∴c＞0，对称轴为x＝﹣＝﹣1，得2a＝b， ∴a、b同号，即b＜0， ∴abc＞0，故③正确； ④∵对称轴为x＝﹣＝﹣1， ∴点（0，1）的对称点为（﹣2，1）， ∴当x＝﹣2时，y＝4a﹣2b+c＝1，故④错误； ⑤∵x＝﹣1时，a﹣b+c＞1，又﹣＝﹣1，即b＝2a， ∴c﹣a＞1，故⑤正确． 故选：C． 19．如图，抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴是直线x＝﹣1．且过点（，0），有下列结论：①abc＞0；②a﹣2b+4c＝0；③25a﹣10b+4c＝0；④3b+2c＞0；⑤a﹣b≥m（am﹣b）；其中所有正确的结论是　①③⑤　．（填写正确结论的序号） 【答案】见试题解答内容 【解答】解：由抛物线的开口向下可得：a＜0， 根据抛物线的对称轴在y轴左边可得：a，b同号，所以b＜0， 根据抛物线与y轴的交点在正半轴可得：c＞0， ∴abc＞0，故①正确； 直线x＝﹣1是抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴，所以﹣＝﹣1，可得b＝2a， a﹣2b+4c＝a﹣4a+4c＝﹣3a+4c， ∵a＜0， ∴﹣3a＞0， ∴﹣3a+4c＞0， 即a﹣2b+4c＞0，故②错误； ∵抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴是直线x＝﹣1．且过点（，0）， ∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为（，0）， 当x＝﹣时，y＝0，即， 整理得：25a﹣10b+4c＝0，故③正确； ∵b＝2a， ∴25a﹣20a+4c＝0， ∴5a+4c＝0，即c＝﹣a； ∵b＝2a，a+b+c＜0， ∴， 即3b+2c＜0，故④错误； 由二次函数的性质可知，当x＝﹣1时，y取最大值， ∴对任意﹣m的值，满足a﹣b+c≥am2﹣bm+c， 整理得，a﹣b≥m（am﹣b）； 故⑤正确； 故答案为：①③⑤． 一十二．二次函数图象上点的坐标特征（共1小题） 20．已知二次函数y＝x2+bx+c的图象过点A（1，m），B（3，m），若点M（﹣2，y1），N（﹣1，y2），K（8，y3）也在二次函数y＝x2+bx+c的图象上，则下列结论正确的是（　　） A．y1＜y2＜y3 B．y2＜y1＜y3 C．y3＜y1＜y2 D．y1＜y3＜y2 【答案】B 【解答】解：∵二次函数y＝x2+bx+c的图象过点A（1，m），B（3，m）， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线x＝2， ∵M（﹣2，y1），N（﹣1，y2），K（8，y3）， ∴K点离对称轴最远，N点离对称轴最近， ∴y2＜y1＜y3． 故选：B． 一十三．二次函数的最值（共1小题） 21．如图，已知二次函数y＝（x+1）2﹣4，当﹣2≤x≤2时，则函数y的最小值和最大值（　　） A．﹣3和5 B．﹣4和5 C．﹣4和﹣3 D．﹣1和5 【答案】B 【解答】解：∵二次函数y＝（x+1）2﹣4， 对称轴是：x＝﹣1 ∵a＝1＞0， ∴x＞﹣1时，y随x的增大而增大，x＜﹣1时，y随x的增大而减小， 由图象可知：在﹣2≤x≤2内，x＝2时，y有最大值，y＝（2+1）2﹣4＝5， x＝﹣1时y有最小值，是﹣4， 故选：B． 一十四．抛物线与x轴的交点（共1小题） 22．对于二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0），我们把使函数值等于0的实数x叫做这个函数的零点，则二次函数y＝x2﹣mx+m﹣2（m为实数）的零点的个数是（　　） A．1 B．2 C．0 D．不能确定 【答案】B 【解答】解：由题意可知：函数的零点也就是二次函数y＝ax2+bx+c与x轴的交点 △＝（﹣m）2﹣4×1×（m﹣2）＝m2﹣4m+8＝（m﹣2）2+4 ∵（m﹣2）2一定为非负数 ∴（m﹣2）2+4＞0， ∴该抛物线与x轴有2个不同的交点， ∴二次函数y＝x2﹣mx+m﹣2（m为实数）的零点的个数是2． 故选：B． 一十五．二次函数与不等式（组）（共1小题） 23．如图，直线y＝x+m和抛物线y＝x2+bx+c都经过点A（1，0）和B（3，2），不等式x2+bx+c＞x+m的解集为 　x＜1或x＞3　． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：∵直线y＝x+m和抛物线y＝x2+bx+c都经过点A（1，0）和B（3，2）， ∴根据图象可知，不等式x2+bx+c＞x+m 的解集为x＜1或x＞3； 故答案为：x＜1或x＞3． 一十六．根据实际问题列二次函数关系式（共1小题） 24．如图，四边形ABCD中，∠BAD＝∠ACB＝90°，AB＝AD，AC＝4BC，设CD的长为x，四边形ABCD的面积为y，则y与x之间的函数关系式是（　　） A．y＝ B．y＝ C．y＝ D．y＝ 【答案】C 【解答】解：作AE⊥AC，DE⊥AE，两线交于E点，作DF⊥AC垂足为F点， ∵∠BAD＝∠CAE＝90°，即∠BAC+∠CAD＝∠CAD+∠DAE ∴∠BAC＝∠DAE 又∵AB＝AD，∠ACB＝∠E＝90° ∴△ABC≌△ADE（AAS） ∴BC＝DE，AC＝AE， 设BC＝a，则DE＝a，DF＝AE＝AC＝4BC＝4a， CF＝AC﹣AF＝AC﹣DE＝3a， 在Rt△CDF中，由勾股定理得， CF2+DF2＝CD2，即（3a）2+（4a）2＝x2， 解得：a＝， ∴y＝S四边形ABCD＝S梯形ACDE＝×（DE+AC）×DF ＝×（a+4a）×4a ＝10a2 ＝x2． 故选：C． 一十七．二次函数的应用（共3小题） 25．某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件．求： （1）若商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？ （2）每件衬衫降价多少元时，商场平均每天盈利最多？ 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）设每件衬衫降价x元，商场平均每天盈利y元， 则y＝（40﹣x）（20+2x）＝800+80x﹣20x﹣2x2＝﹣2x2+60x+800， 当y＝1200时，1200＝（40﹣x）（20+2x）， 解得 x1＝10，x2＝20， 经检验，x1＝10，x2＝20都是原方程的解，但要尽快减少库存， 所以x＝20， 答：每件衬衫应降价20元； （2）∵y＝﹣2x2+60x+800＝﹣2（x﹣15）2+1250， ∴当x＝15时，y的最大值为1250， 答：当每件衬衫降价15元时，专卖店每天获得的利润最大，最大利润是1250元． 26．某公园在人工湖里安装一个喷泉，在湖心处竖直安装一根水管，在水管的顶端安一个喷水头，水柱从喷水头喷出到落于湖面的路径形状可以看作是抛物线的一部分．若记水柱上某一位置与水管的水平距离为d米，与湖面的垂直高度为h米．下面的表中记录了d与h的五组数据： d（米） 0 1 2 3 4 h（米） 0.5 1.25 1.5 1.25 0.5 根据上述信息，解决以下问题： （1）在下面网格（图1）中建立适当的平面直角坐标系，并根据表中所给数据画出表示h与d函数关系的图象； （2）若水柱最高点距离湖面的高度为m米，则m＝　1.5　； （3）现公园想通过喷泉设立新的游玩项目，准备通过只调节水管露出湖面的高度，使得游船能从水柱下方通过．如图2所示，为避免游船被喷泉淋到，要求游船从水柱下方中间通过时，顶棚上任意一点到水柱的竖直距离均不小于0.5米．已知游船顶棚宽度为3米，顶棚到湖面的高度为2米，那么公园应将水管露出湖面的高度（喷水头忽略不计）至少调节到多少米才能符合要求？请通过计算说明理由（结果保留一位小数）． 【答案】（1）如图所示； （2）1.5． （3）2.1米 【解答】解：（1）以喷泉与湖面的交点为原点，喷泉所在的直线为纵轴建立平面直角坐标系，如图1所示： （2）根据题意可知，该抛物线的对称轴为x＝2，此时最高， 即m＝1.5， 故答案为：1.5． （3）根据图象可设二次函数的解析式为：h＝a（d﹣2）2+1.5， 将（0，0.5）代入h＝a（d﹣2）2+1.5，得a＝﹣， ∴抛物线的解析式为：h＝﹣d2+d+0.5， 设调节后的水管喷出的抛物线的解析式为：h＝﹣d2+d+0.5+m， 由题意可知，当横坐标为2+＝时，纵坐标的值大于2+0.5＝2.5， ∴﹣×（）2++0.5+m≥2.5， 解得m≥1.6， ∴水管高度至少向上调节1.6米， ∴0.5+1.6＝2.1（米）， ∴公园应将水管露出湖面的高度（喷水头忽略不计）至少调节到2.1米才能符合要求． 27．2022年在中国举办的冬奥会和残奥会令世界瞩目，冬奥会和残奥会的吉祥物冰墩墩和雪容融家喻户晓，成为热销产品．某商家以每套34元的价格购进一批冰墩墩和雪容融套件．若该产品每套的售价是48元时，每天可售出200套；若每套售价提高2元，则每天少卖4套． （1）设冰墩墩和雪容融套件每套售价定为x元时，求该商品销售量y与x之间的函数关系式； （2）求每套售价定为多少元时，每天销售套件所获利润W最大，最大利润是多少元？ 【答案】每套售价定为：91元时，每天销售套件所获利润最大，最大利润是6498元． 【解答】解：（1）根据题意，得y＝200﹣×4（x﹣48） ＝﹣2x+296， ∴y与x之间的函数关系式：y＝﹣2x+296； （2）根据题意，得W＝（x﹣34）（﹣2x+296） ＝﹣2（x﹣91）2+6498， ∵a＝﹣2＜0， ∴抛物线开口向下，W有最大值， 当x＝91时，W最大值＝6498， 答：每套售价定为：91元时，每天销售套件所获利润最大，最大利润是6498元． 一十八．二次函数综合题（共5小题） 28．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+4与x轴的一个交点为A（﹣2，0），与y轴的交点为C，对称轴是直线x＝3，对称轴与x轴交于点B． （1）求抛物线的函数表达式； （2）经过B，C的直线l平移后与抛物线交于点M，与x轴交于点N，当以B，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形时，求出点M的坐标； （3）若点D在x轴上，在抛物线上是否存在点P，使得△PBD≌△PBC？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+4交x轴于A（﹣2，0）， ∴0＝4a﹣2b+4， ∵对称轴是直线x＝3， ∴﹣＝3，即6a+b＝0， 两关于a、b的方程联立解得 a＝﹣，b＝， ∴抛物线为y＝﹣x2+x+4． （2）如图1所示， ∵四边形为平行四边形，且BC∥MN， ∴BC＝MN． ①N点在M点下方，即M向下平移4个单位，向右平移3个单位与N重合． 设M1（x，﹣x2+x+4），则N1（x+3，﹣x2+x）， ∵N1在x轴上， ∴﹣x2+x＝0， 解得 x＝0（M与C重合，舍去），或x＝6， ∴xM＝6， ∴M1（6，4）． ②M点在N点右下方，即N向下平移4个单位，向右平移3个单位与M重合． 设M（x，﹣x2+x+4），则N（x﹣3，﹣x2+x+8）， ∵N在x轴上， ∴﹣x2+x+8＝0， 解得 x＝3﹣，或x＝3+， ∴xM＝3﹣，或3+． ∴M2（3﹣，﹣4）或M3（3+，﹣4） 综上所述，M的坐标为（6，4）或（3﹣，﹣4）或（3+，﹣4）． （3）∵OC＝4，OB＝3， ∴BC＝5． 如果△PBD≌△PBC，那么BD＝BC＝5， ∵D在x轴上， ∴D为（﹣2，0）或（8，0）． ①当D为（﹣2，0）时，连接CD，过B作直线BE平分∠DBC交CD于E，交抛物线于P1，P2，连接P2C、P2D，如图2所示， 此时△P1BC≌△P1BD，△P2BC≌△P2BD， ∵BC＝BD， ∴E为CD的中点，即E（﹣1，2）， 设过E（﹣1，2），B（3，0）的直线为y＝kx+b，则 ， 解得 ， ∴BE：y＝﹣x+． 设P（x，y），则有， 解得 ，或， 则P1（4+，），P2（4﹣，）． ②当D为（8，0）时，连接CD，过B作直线BF平分∠DBC交CD于F，交抛物线于P3，P4，如图3所示， 此时△P3BC≌△P3BD，△P4BC≌△P4BD， ∵BC＝BD， ∴F为CD的中点，即F（4，2）， 设过F（4，2），B（3，0）的直线为y＝kx+b，则， 解得 ， ∴BF：y＝2x﹣6． 设P（x，y），则有， 解得 或 ， 则P3（﹣1+，﹣8+2），P4（﹣1﹣，﹣8﹣2）． 综上所述，点P的坐标为（4+，）或（4﹣，）或（﹣1+，﹣8+2）或（﹣1﹣，﹣8﹣2）． 29．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx+c交x轴于点A（﹣4，0）、B（2，0），交y轴于点C（0，6），在y轴上有一点E（0，﹣2），连接AE． （1）求二次函数的表达式； （2）若点D为抛物线在x轴负半轴上方的一个动点，求△ADE面积的最大值； （3）抛物线对称轴上是否存在点P，使△AEP为等腰三角形？若存在，请直接写出所有P点的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）∵二次函数y＝ax2+bx+c经过点A（﹣4，0）、B（2，0），C（0，6）， ∴， 解得， 所以二次函数的解析式为：y＝， （2）由A（﹣4，0），E（0，﹣2），可求AE所在直线解析式为y＝， 过点D作DG⊥x轴于G，交AE于点F，交x轴于点G，过点E作EH⊥DF，垂足为H，如图 设D（m，），则点F（m，）， ∴DF＝﹣（）＝， ∴S△ADE＝S△ADF+S△EDF＝×DF×AG+DF×EH ＝×DF×（AG+EH） ＝×4×DF ＝2×（） ＝， ∴当m＝时，△ADE的面积取得最大值为． （3）y＝的对称轴为x＝﹣1， 设P（﹣1，n），又E（0，﹣2），A（﹣4，0）， 可求PA2＝9+n2，PE2＝1+（n+2）2，AE2＝16+4＝20， 当PA2＝PE2时，9+n2＝1+（n+2）2， 解得，n＝1，此时P（﹣1，1）； 当PA2＝AE2时，9+n2＝20， 解得，n＝，此时点P坐标为（﹣1，）； 当PE2＝AE2时，1+（n+2）2＝20， 解得，n＝﹣2，此时点P坐标为：（﹣1，﹣2）． 综上所述， P点的坐标为：（﹣1，1），（﹣1，），（﹣1，﹣2）． 30．如图1，抛物线y＝ax2+2x+c，交x轴于A、B两点，交y轴于点C，F为抛物线顶点，直线EF垂直于x轴于点E，当y≥0时，﹣1≤x≤3． （1）求抛物线的表达式； （2）点P是线段BE上的动点（除B、E外），过点P作x轴的垂线交抛物线于点D． ①当点P的横坐标为2时，求四边形ACFD的面积； ②如图2，直线AD，BD分别与抛物线对称轴交于M、N两点．试问，EM+EN是否为定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由． 【答案】（1）y＝﹣x2+2x+3； （2）①4；②是，定值为8，理由见解析． 【解答】解：（1）∵当y≥0时，﹣1≤x≤3， ∴x1＝﹣1，x2＝3是ax2+2x+c＝0的两根，A（﹣1，0），B（3，0）， ∴， 解得：， ∴抛物线的表达式为：y＝﹣x2+2x+3； （2）①把x＝2代入y＝﹣x2+2x+3得：y＝3， ∴D（2，3）． 又当x＝0，y＝3， ∴C（0，3）， ∴线段CD∥x轴． ∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4， ∴F（1，4），； ②设D（m，﹣m2+2m+3）（1＜m＜3）， 直线AD：y＝k1x+b1，BD：y＝k2x+b2， 因此可得：或， 解得：或， ∴直线AD：y＝（3﹣m）x+（3﹣m），BD：y＝﹣（m+1）x+3（m+1）． 令x＝1得yM＝6﹣2m，yN＝2m+2， ∴ME＝6﹣2m，NE＝2m+2， ∴NE+ME＝8． 31．如图1，抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）与x轴、y轴分别交于点A（﹣1，0）、B（3，0）、点C三点． （1）试求抛物线的解析式； （2）点D（2，m）在第一象限的抛物线上，连接BC、BD．试问，在对称轴左侧的抛物线上是否存在一点P，满足∠PBC＝∠DBC？如果存在，请求出点P点的坐标；如果不存在，请说明理由； （3）如图2，在（2）的条件下，将△BOC沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度向右平移，记平移后的三角形为△B′O′C′．在平移过程中，△B′O′C′与△BCD重叠的面积记为S，设平移的时间为t秒，试求S与t之间的函数关系式？ 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）将A（﹣1，0）、B（3，0）代入抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）， ， 解得：a＝﹣1，b＝2． 故抛物线解析式为：y＝﹣x2+2x+3． （2）存在 将点D代入抛物线解析式得：m＝3， ∴D（2，3）， 令x＝0，y＝3， ∴C（0，3）， ∴OC＝OB， ∴∠OCB＝∠CBO＝45°， 如图， 在y轴上取点G，使GC＝CD＝2， 在△CDB与△CGB中 ∵BC＝BC、∠DCB＝∠BCO、GC＝DC（SAS） ∴△CDB≌△CGB， ∴∠PBC＝∠DBC， ∵点G（0，1）， 设直线BP：y＝kx+1， 代入点B（3，0）， ∴k＝﹣， ∴直线BP：y＝﹣x+1， 联立直线BP和二次函数解析式： ， 解得：或（舍）， ∴P（﹣，）． （3）直线BC：y＝﹣x+3，直线BD：y＝﹣3x+9， 当0≤t≤2时，如图： 设直线C′B′：y＝﹣（x﹣t）+3 联立直线BD求得F（，）， S＝S△BCD﹣S△CC′E﹣S△C′DF ＝×2×3﹣×t×t﹣×（2﹣t）（3﹣） 整理得：S＝﹣t2+3t（0≤t≤2）． 当2＜t≤3时，如图： H（t，﹣3t+9），I（t，﹣t+3） S＝S△HIB＝[（﹣3t+9）﹣（﹣t+3）]×（3﹣t） 整理得：S＝t2﹣6t+9（2＜t≤3） 综上所述：S＝． 32．已知抛物线y＝ax2+x+4的对称轴是直线x＝3，与x轴相交于A，B两点（点B在点A右侧），与y轴交于点C． （1）求抛物线的解析式和A，B两点的坐标； （2）如图1，若点P是抛物线上B、C两点之间的一个动点（不与B、C重合），是否存在点P，使四边形PBOC的面积最大？若存在，求点P的坐标及四边形PBOC面积的最大值；若不存在，请说明理由； （3）如图2，若点M是抛物线上任意一点，过点M作y轴的平行线，交直线BC于点N，当MN＝3时，求点M的坐标． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）∵抛物线的对称轴是直线x＝3， ∴﹣＝3，解得a＝﹣， ∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2+x+4． 当y＝0时，﹣x2+x+4＝0，解得x1＝﹣2，x2＝8， ∴点A的坐标为（﹣2，0），点B的坐标为（8，0）． 答：抛物线的解析式为：y＝﹣x2+x+4；点A的坐标为（﹣2，0），点B的坐标为（8，0）． （2）当x＝0时，y＝﹣x2+x+4＝4， ∴点C的坐标为（0，4）． 设直线BC的解析式为y＝kx+b（k≠0），将B（8，0），C（0，4）代入y＝kx+b得 ，解得， ∴直线BC的解析式为y＝﹣x+4． 假设存在点P，使四边形PBOC的面积最大， 设点P的坐标为（x，﹣x2+x+4），如图1所示，过点P作PD∥y轴，交直线BC于点D，则点D的坐标为（x，﹣x+4）， 则PD＝﹣x2+x+4﹣（﹣x+4）＝﹣x2+2x， ∴S四边形PBOC＝S△BOC+S△PBC ＝×8×4+PD•OB ＝16+×8（﹣x2+2x） ＝﹣x2+8x+16 ＝﹣（x﹣4）2+32 ∴当x＝4时，四边形PBOC的面积最大，最大值是32 ∵0＜x＜8， ∴存在点P（4，6），使得四边形PBOC的面积最大． 答：存在点P，使四边形PBOC的面积最大；点P的坐标为（4，6），四边形PBOC面积的最大值为32． （3）设点M的坐标为（m，﹣++4）则点N的坐标为（m，﹣）， ∴MN＝|﹣++4﹣（﹣）|＝|﹣+2m|， 又∵MN＝3， ∴|﹣+2m|＝3， 当0＜m＜8时，﹣+2m﹣3＝0，解得m1＝2，m2＝6， ∴点M的坐标为（2，6）或（6，4）； 当m＜0或m＞8时，﹣+2m+3＝0，解得m3＝4﹣2，m4＝4+2， ∴点M的坐标为（4﹣2，﹣1）或（4+2，﹣﹣1）． 答：点M的坐标为（2，6）、（6，4）、（4﹣2，﹣1）或（4+2，﹣﹣1）． 一十九．圆周角定理（共1小题） 33．如图，以AB为直径的⊙O经过△ABC的顶点C，AE，BE分别平分∠BAC和∠ABC，AE的延长线交⊙O于点D，连接BD． （1）判断△BDE的形状，并证明你的结论； （2）若AB＝10，BE＝2，求BC的长． 【答案】（1）△BDE为等腰直角三角形．证明过程见解答部分； （2）BC＝8． 【解答】（1）解：△BDE为等腰直角三角形． 证明：∵AE 平分∠BAC，BE 平分∠ABC， ∴∠BAE＝∠CAD＝∠CBD，∠ABE＝∠EBC． ∵∠BED＝∠BAE+∠ABE，∠DBE＝∠DBC+∠CBE， ∴∠BED＝∠DBE． ∴BD＝ED． ∵AB为直径， ∴∠ADB＝90°， ∴△BDE是等腰直角三角形． 另解：计算∠AEB＝135°也可以得证． （2）解：连接OC、CD、OD，OD交BC于点F. ∵∠DBC＝∠CAD＝∠BAD＝∠BCD． ∴BD＝DC． ∵OB＝OC． ∴OD垂直平分BC． ∵△BDE是等腰直角三角形，BE＝2， ∴BD＝2． ∵AB＝10， ∴OB＝OD＝5． 设OF＝t，则DF＝5﹣t． 在Rt△BOF和Rt△BDF中，52﹣t2＝（2）2﹣（5﹣t）2， 解得t＝3， ∴BF＝4． ∴BC＝8． 另解：分别延长AC，BD相交于点G．则△ABG为等腰三角形，先计算AG＝10，BG＝4，AD＝4，再根据面积相等求得BC． 二十．点与圆的位置关系（共1小题） 34．如图，点A，B的坐标分别为A（2，0），B（0，2），点C为坐标平面内一点，BC＝1，点M为线段AC的中点，连接OM，则OM的最大值为（　　） A．+1 B．+ C．2+1 D．2﹣ 【答案】B 【解答】解：如图， ∵点C为坐标平面内一点，BC＝1， ∴C在⊙B上，且半径为1， 取OD＝OA＝2，连接CD， ∵AM＝CM，OD＝OA， ∴OM是△ACD的中位线， ∴OM＝CD， 当OM最大时，即CD最大，而D，B，C三点共线时，当C在DB的延长线上时，OM最大， ∵OB＝OD＝2，∠BOD＝90°， ∴BD＝2， ∴CD＝2+1， ∴OM＝CD＝，即OM的最大值为+； 故选：B． 二十一．切线的判定（共2小题） 35．如图，⊙O的直径AB为10cm，弦BC为6cm，D、E分别是∠ACB的平分线与⊙O，AB的交点，P为AB延长线上一点，且PC＝PE． （1）求AC、AD的长； （2）试判断直线PC与⊙O的位置关系，并说明理由． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）①如图，连接BD， ∵AB是直径， ∴∠ACB＝∠ADB＝90°， 在Rt△ABC中， AC＝＝＝8（cm）， ②∵CD平分∠ACB， ∴∠ACD＝∠BCD， ∴， ∴AD＝BD， ∴Rt△ABD是直角等腰三角形， ∴AD＝AB＝×10＝5cm； （2）直线PC与⊙O相切．理由如下： 连接OC如图， ∵PC＝PE， ∴∠PCE＝∠PEC， ∵CE平分∠ACB， ∴∠ACE＝∠BCE， 而∠PEC＝∠EAC+∠ACE，∠PCE＝∠PCB+∠BCE， ∴∠EAC＝∠PCB， ∵AB为⊙O的直径， ∴∠ACB＝90°， ∴∠BAC+∠ABC＝90°， 而∠ABC＝∠OCB， ∴∠BAC+∠OCB＝90°， ∴∠PCB+∠OCB＝90°，即∠PCO＝90°， ∴PC⊥OC ∴直线PC与⊙O相切 36．如图，AH是⊙O的直径，AE平分∠FAH，交⊙O于点E，过点E的直线FG⊥AF，垂足为F，B为半径OH上一点，点E、F分别在矩形ABCD的边BC和CD上． （1）求证：直线FG是⊙O的切线； （2）若CD＝10，EB＝5，求⊙O的直径． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）如图1，连接OE， ∵OA＝OE， ∴∠EAO＝∠AEO， ∵AE平分∠FAH， ∴∠EAO＝∠FAE， ∴∠FAE＝∠AEO， ∴AF∥OE， ∴∠AFE+∠OEF＝180°， ∵AF⊥GF， ∴∠AFE＝∠OEF＝90°， ∴OE⊥GF， ∵点E在圆上，OE是半径， ∴GF是⊙O的切线． （2）∵四边形ABCD是矩形，CD＝10， ∴AB＝CD＝10，∠ABE＝90°， 设OA＝OE＝x，则OB＝10﹣x， 在Rt△OBE中，∠OBE＝90°，BE＝5， 由勾股定理得：OB2+BE2＝OE2， ∴（10﹣x）2+52＝x2， ∴， ， ∴⊙O的直径为． 二十二．圆与圆的位置关系（共3小题） 37．已知两圆半径分别为2和3，圆心距为d，若两圆没有公共点，则下列结论正确的是（　　） A．0＜d＜1 B．d＞5 C．0＜d＜1或d＞5 D．0≤d＜1或d＞5 【答案】D 【解答】解：若两圆没有公共点，则可能外离或内含， 外离时的数量关系应满足d＞5； 内含时的数量关系应满足0≤d＜1． 故选：D． 38．已知⊙O1和⊙O2相切，两圆的圆心距为9cm，⊙O1的半径为4cm，则⊙O2的半径为（　　） A．5cm B．13cm C．9cm或13cm D．5cm或13cm 【答案】D 【解答】解：两圆相切时，有两种情况：内切和外切． 当外切时，另一圆的半径＝9+4＝13cm； 当内切时，另一圆的半径＝9﹣4＝5cm． 故选：D． 39．已知两圆的半径分别是1和5，圆心距为3，则两圆位置关系为（　　） A．相交 B．外切 C．内切 D．内含 【答案】D 【解答】解：因为圆心距＝3，两圆半径差＝5﹣1＝4＞3， 根据圆心距与半径之间的数量关系可知， 两圆的位置关系是内含．故选D． 二十三．圆锥的计算（共2小题） 40．已知圆锥的侧面展开图的圆心角为120°，则这个圆锥的侧面积是底面积的（　　） A．2倍 B．3倍 C． D． 【答案】B 【解答】解：设母线长为R，底面半径为r，则底面周长C＝2πr． 圆锥的侧面展开是扇形，母线是扇形的半径． ∴扇形面积S扇＝＝＝＝CR， ∴C＝2πr＝， ∴r＝， ∴底面面积S底＝， ∴S扇：S底＝3， 故选：B． 41．用一直径为10cm的玻璃球和一个圆锥形的牛皮纸纸帽可以制成一个不倒翁玩具，不倒翁的轴剖面图如图所示，圆锥的母线AB与⊙O相切于点B，不倒翁的顶点A到桌面L的最大距离是18cm．若将圆锥形纸帽的表面全涂上颜色，则需要涂色部分的面积约为　174　cm2（精确到1cm2）． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：直径为10cm的玻璃球，玻璃球半径OB＝5，所以AO＝18﹣5＝13，由勾股定理得，AB＝12， ∵BD×AO＝AB×BO，BD＝＝， 圆锥底面半径＝BD＝，圆锥底面周长＝2×π，侧面面积＝×2×π×12＝π≈174cm2． 二十四．利用轴对称设计图案（共1小题） 42．如图1所示的图形是一个轴对称图形，且每个角都是直角，长度如图所示，小明按图2所示方法玩拼图游戏，两两相扣，相互间不留空隙，那么小明用9个这样的图形（图1）拼出来的图形的总长度是 　a+8b　（结果用含a，b代数式表示）． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：方法1、如图，由图可得，拼出来的图形的总长度＝5a+4[a﹣2（a﹣b）]＝a+8b 故答案为：a+8b． 方法2、∵小明用9个这样的图形（图1）拼出来的图形 ∴口朝上的有5个，口朝下的有四个， 而口朝上的有5个，长度之和是5a，口朝下的有四个，长度为4[b﹣（a﹣b）]＝8b﹣4a， 即：总长度为5a+8b﹣4a＝a+8b， 故答案为a+8b． 二十五．生活中的旋转现象（共1小题） 43．如图，小慧用如图的胶滚沿从左到右的方向将图案滚涂到墙上，下列给出的四个图形中，符合胶滚滚出的图案是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解答】解：根据旋转的性质和胶滚上的图案可知，横向状态转为正立状态，胶滚滚出的图案是． 故选：A． 二十六．旋转的性质（共5小题） 44．如图，△ACD和△AEB都是等腰直角三角形，∠CAD＝∠EAB＝90°，四边形ABCD是平行四边形，下列结论中错误的是（　　） A．△ACE以点A为旋转中心，逆时针方向旋转90°后与△ADB重合 B．△ACB以点A为旋转中心，顺时针方向旋转270°后与△DAC重合 C．沿AE所在直线折叠后，△ACE与△ADE重合 D．沿AD所在直线折叠后，△ADB与△ADE重合 【答案】B 【解答】解：A、根据题意可知AE＝AB，AC＝AD，∠EAC＝∠BAD＝135°，△EAC≌△BAD，旋转角∠EAB＝90°，正确； B、因为平行四边形是中心对称图形，要想使△ACB和△DAC重合，△ACB应该以对角线的交点为旋转中心，顺时针旋转180°，即可与△DAC重合，错误； C、根据题意可知∠EAC＝135°，∠EAD＝360°﹣∠EAC﹣∠CAD＝135°，AE＝AE，AC＝AD，△EAC≌△EAD，正确； D、根据题意可知∠BAD＝135°，∠EAD＝360°﹣∠BAD﹣∠BAE＝135°，AE＝AB，AD＝AD，△EAD≌△BAD，正确． 故选：B． 45．如图，P为等边三角形ABC内的一点，且P到三个顶点A，B，C的距离分别为3，4，5，则△ABC的面积为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解答】解：∵△ABC为等边三角形， ∴BA＝BC， 可将△BPC绕点B逆时针旋转60°得△BEA，连EP，且延长BP，作AF⊥BP于点F．如图， ∴BE＝BP＝4，AE＝PC＝5，∠PBE＝60°， ∴△BPE为等边三角形， ∴PE＝PB＝4，∠BPE＝60°， 在△AEP中，AE＝5，AP＝3，PE＝4， ∴AE2＝PE2+PA2， ∴△APE为直角三角形，且∠APE＝90°， ∴∠APB＝90°+60°＝150°． ∴∠APF＝30°， ∴在直角△APF中，AF＝AP＝，PF＝AP＝． ∴在直角△ABF中，AB2＝BF2+AF2＝（4+）2+（）2＝25+12． 则△ABC的面积是•AB2＝•（25+12）＝． 故选：A． 46．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝5cm，BC＝12cm，将△ABC绕点B顺时针旋转60°，得到△BDE，连接DC交AB于点F，则△ACF与△BDF的周长之和为　42　cm． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：∵将△ABC绕点B顺时针旋转60°，得到△BDE， ∴△ABC≌△BDE，∠CBD＝60°， ∴BD＝BC＝12cm， ∴△BCD为等边三角形， ∴CD＝BC＝CD＝12cm， 在Rt△ACB中，AB＝＝13， △ACF与△BDF的周长之和＝AC+AF+CF+BF+DF+BD＝AC+AB+CD+BD＝5+13+12+12＝42（cm）， 故答案为：42． 47．如图，在△ABC中，AB＝6，将△ABC绕点B按逆时针方向旋转30°后得到△A1BC1，则阴影部分的面积为　9　． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：∵在△ABC中，AB＝6，将△ABC绕点B按逆时针方向旋转30°后得到△A1BC1， ∴△ABC≌△A1BC1， ∴A1B＝AB＝6， ∴△A1BA是等腰三角形，∠A1BA＝30°， 如图，过A1作A1D⊥AB于D，则A1D＝A1B＝3， ∴S△A1BA＝×6×3＝9， 又∵S阴影＝S△A1BA+S△A1BC1﹣S△ABC， S△A1BC1＝S△ABC， ∴S阴影＝S△A1BA＝9． 故答案为：9． 48．阅读下面材料，并解决问题： （1）如图①等边△ABC内有一点P，若点P到顶点A、B、C的距离分别为3，4，5，求∠APB的度数． 为了解决本题，我们可以将△ABP绕顶点A旋转到△ACP′处，此时△ACP′≌△ABP，这样就可以利用旋转变换，将三条线段PA、PB、PC转化到一个三角形中，从而求出∠APB＝　150°　； （2）基本运用 请你利用第（1）题的解答思想方法，解答下面问题 已知如图②，△ABC中，∠CAB＝90°，AB＝AC，E、F为BC上的点且∠EAF＝45°，求证：EF2＝BE2+FC2； （3）能力提升 如图③，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝1，∠ABC＝30°，点O为Rt△ABC内一点，连接AO，BO，CO，且∠AOC＝∠COB＝∠BOA＝120°，求OA+OB+OC的值． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）∵△ACP′≌△ABP， ∴AP′＝AP＝3、CP′＝BP＝4、∠AP′C＝∠APB， 由题意知旋转角∠PA P′＝60°， ∴△AP P′为等边三角形， P P′＝AP＝3，∠A P′P＝60°， 易证△P P′C为直角三角形，且∠P P′C＝90°， ∴∠APB＝∠AP′C＝∠A P′P+∠P P′C＝60°+90°＝150°； 故答案为：150°； （2）如图2，把△ABE绕点A逆时针旋转90°得到△ACE′， 由旋转的性质得，AE′＝AE，CE′＝BE，∠CAE′＝∠BAE，∠ACE′＝∠B，∠EAE′＝90°， ∵∠EAF＝45°， ∴∠E′AF＝∠CAE′+∠CAF＝∠BAE+∠CAF＝∠BAC﹣∠EAF＝90°﹣45°＝45°， ∴∠EAF＝∠E′AF， 在△EAF和△E′AF中， ∴△EAF≌△E′AF（SAS）， ∴E′F＝EF， ∵∠CAB＝90°，AB＝AC， ∴∠B＝∠ACB＝45°， ∴∠E′CF＝45°+45°＝90°， 由勾股定理得，E′F2＝CE′2+FC2， 即EF2＝BE2+FC2． （3）如图3，将△AOB绕点B顺时针旋转60°至△A′O′B处，连接OO′， ∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝1，∠ABC＝30°， ∴AB＝2， ∴BC＝， ∵△AOB绕点B顺时针方向旋转60°， ∴△A′O′B如图所示； ∠A′BC＝∠ABC+60°＝30°+60°＝90°， ∵∠C＝90°，AC＝1，∠ABC＝30°， ∴AB＝2AC＝2， ∵△AOB绕点B顺时针方向旋转60°，得到△A′O′B， ∴A′B＝AB＝2，BO＝BO′，A′O′＝AO， ∴△BOO′是等边三角形， ∴BO＝OO′，∠BOO′＝∠BO′O＝60°， ∵∠AOC＝∠COB＝∠BOA＝120°， ∴∠COB+∠BOO′＝∠BO′A′+∠BOO′＝120°+60°＝180°， ∴C、O、A′、O′四点共线， 在Rt△A′BC中，A′C＝， ∴OA+OB+OC＝A′O′+OO′+OC＝A′C＝． 二十七．中心对称（共1小题） 49．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点A在第一象限，点B，C的坐标分别为（2，1），（6，1），∠BAC＝90°，AB＝AC，直线AB交y轴于点P，若△ABC与△A′B′C′关于点P成中心对称，则点A′的坐标为（　　） A．（﹣4，﹣5） B．（﹣5，﹣4） C．（﹣3，﹣4） D．（﹣4，﹣3） 【答案】A 【解答】解：∵点B，C的坐标分别为（2，1），（6，1），∠BAC＝90°，AB＝AC， ∴△ABC是等腰直角三角形， ∴A（4，3）， 设直线AB解析式为y＝kx+b，则 ， 解得， ∴直线AB解析式为y＝x﹣1， 令x＝0，则y＝﹣1， ∴P（0，﹣1）， 又∵点A与点A'关于点P成中心对称， ∴点P为AA'的中点， 设A'（m，n），则＝0，＝﹣1， ∴m＝﹣4，n＝﹣5， ∴A'（﹣4，﹣5）， 故选：A． 二十八．坐标与图形变化-旋转（共2小题） 50．如图，坐标系中，四边形OABC与CDEF都是正方形，OA＝2，M，D分别是AB，BC的中点，当把正方形CDEF绕点C旋转某个角度后，如果点F的对应点为F′，且O F′＝OM．则点F′的坐标是　（﹣1，2），（1，2）　． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：由Rt△AOM三边长产生联想，连接OD，点D符合题意，故点F绕C点顺时针旋转90°或者逆时针旋转90°都符合题意．∴F′（1，2），或（﹣1，2）． 51．平面直角坐标系中，将点A（3，4）绕点B（1，0）旋转90°，得到点A的对应点A'的坐标为　（﹣3，2）或（5，﹣2）　． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：如图， 点A（3，4）绕点B（1，0）顺时针或逆时针旋转90°， 得到点A的对应点A'的坐标为（5，﹣2），A″（﹣3，2）． 故答案为：（﹣3，2）或（5，﹣2）． 二十九．几何概率（共1小题） 52．小明随机地在如图所示的正三角形及其内部区域投针，则针扎到其内切圆（阴影）区域的概率为（　　） A． B．π C．π D． 【答案】C 【解答】解：∵如图所示的正三角形， ∴∠CAB＝60°， 设三角形的边长是a， ∴AB＝a， ∵⊙O是内切圆， ∴∠OAB＝30°，∠OBA＝90°， ∴BO＝tan30°AB＝a， 则正三角形的面积是a2，而圆的半径是a，面积是a2， 因此概率是a2÷a2＝． 故选：C． 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