第二十七章 圆（单元重点综合测试）-2024-2025学年九年级数学下册单元速记·巧练（华东师大版）

第二十七章 圆（单元重点综合测试） 班级___________ 姓名___________ 学号____________ 分数____________ 考试范围：全章的内容； 考试时间：120分钟； 总分：150分 一、单项选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。 1．的半径为3，点到圆心的距离为4，点与的位置关系是（   ） A．点在外 B．点在内 C．点在上 D．不能确定 【答案】A 【分析】本题考查了点与圆的位置关系，根据点到圆心的距离与圆的半径的关系进行判定即可求解． 【详解】解：设点到圆心的距离， ∵， ∴点在外， 故选：A ． 2．如图，在中，已知，则与的关系是（　　）    A． B． C． D．不确定 【答案】A 【分析】本题考查了圆心角、弧、弦的关系，由，得到，于是推出，根据圆心角、弧、弦的关系即可得到结论． 【详解】解：， ， ， ． 故选：A． 3．如图，在中，弦的长为4，圆心到弦的距离为2，则圆O的半径长是（  ） A．1 B． C． D．4 【答案】C 【分析】本题考查了垂径定理，解题的关键是掌握垂直于弦的直径平分弦，且平分弦所对的两条弧． 根据垂径定理得出，再根据勾股定理，即可解答． 【详解】解：∵圆心到弦的距离为2， ∴， ∵弦的长为4， ∴， ∴， 即圆O的半径长是， 故选：C． 4．下列关于三角形的外心的说法中，正确的是（   ）． A．三角形的外心在三角形外 B．三角形的外心到三边的距离相等 C．三角形的外心到三个顶点的距离相等 D．等腰三角形的外心在三角形内 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的外心，根据三角形的外心的性质逐项分析即可得解，熟练掌握三角形的外心的性质是解此题的关键． 【详解】解：A、三角形的外心可能在三角形内部，也可能在三角形外部，还可能在斜边上，故原说法错误，不符合题意； B、三角形的外心到三个顶点的距离相等，到三边的距离不一定相等，故原说法错误，不符合题意； C、三角形的外心到三个顶点的距离相等，故原说法正确，符合题意； D、等腰钝角三角形的外心在三角形外部，故原说法错误，不符合题意； 故选：C． 5．苯分子的环状结构是由德国化学家凯库勒提出的，随着研究的不断深入，发现苯分子中的个碳原子与个氢原子均在同一平面，且所有碳碳键的键长都相等（如图），组成了一个完美的六边形（正六边形），图是其平面示意图，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据正六边形的性质，等腰三角形的性质以及三角形的内角和定理进行计算即可． 【详解】解：如图， 六边形是正六边形， ， ， ， 同理，， ， 故选：． 【点睛】本题主要考查了正多边形和圆，正多边形的内角问题，等腰三角形的性质（等边对等角），三角形的内角和定理等知识点，熟练掌握正六边形的性质，等腰三角形的性质以及三角形的内角和定理是解题的关键． 6．如图，是半圆的直径，点是的中点，，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了圆周角定理以及三角形的内角和定理．连接，由点是的中点结合的度数即可得出的度数，根据是半圆的直径即可得出，再利用三角形内角和定理即可求出的度数． 【详解】解：连接，如图所示． 点是的中点， ． ，是半圆的直径， ，， ． 故选：C． 7．如图，中，，是的平分线，是的中点，过点作交于点，交于点．若，则外接圆的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了等腰三角形的三线合一、三角形外接圆，正确找出三角形外接圆的圆心是解题关键． 先根据等腰三角形的三线合一可得是的垂直平分线，从而可得点O即为外接圆的圆心，再利用圆的面积公式即可得． 【详解】解：，是的平分线 ，且是边上的中线（等腰三角形的三线合一） 是的垂直平分线 ∵是的中点，过点作交于点， ∴是的垂直平分线， 点O为外接圆的圆心，为外接圆的半径 ， 外接圆的面积为 故选：D． 8．如图，正六边形的边长为，以顶点为圆心，长为半径画圆，则图中阴影部分的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查正多边形和圆，掌握正六边形的性质以及扇形面积的计算方法是正确解答的关键．根据正六边形的性质求出的度数，再由扇形面积的计算方法进行计算即可． 【详解】解：六边形是正六边形， ，， ， 故选：B 9．如图，在半圆中，，将半圆沿弦所在的直线折叠，若弧恰好过圆心，则的长是（   ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了圆的折叠问题，涉及垂径定理，勾股定理，熟练掌握知识点是解题的关键．过点O作，由折叠可得，运用勾股定理可求，再由垂径定理即可求解． 【详解】解：过点O作，如图所示，    ∵将半圆O沿弦所在的直线折叠，若恰好过圆心O， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得，， ∵，经过圆心， ∴， 故选：A． 10．如图，E，F是正方形的边上两个动点，满足．连接交于点G，连接交于点H．若正方形的边长为1，则线段长度的最小值是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由可判定，由全等三角形的性质得，同理可证，由角的和差得 ，取的中点，连接，的运动轨迹为以为圆心，为半径的半圆，当、、三点共线时，最小，即可求解． 【详解】解：四边形是正方形， ， ， ， ， 在和中， ， （）， ， 在和中， ， （）， ， ， ， ， 如下图，取的中点，连接，   ， 的运动轨迹为以为圆心，为半径的半圆， 如图，    当、、三点共线时，最小， ， ； 故选：B． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定及性质，勾股定理，直角三角形的特征，圆外一点到圆上任一点距离的最值等；能找出动点的运动轨迹及取得最小值的条件，熟练利用勾股定咯求解是解题的关键． 二、填空题：本题共8小题，每小题4分，共32分． 11．平面上有及内一点，到上一点的距离最长为，最短为，则的半径为 ． 【答案】7 【分析】本题考查了圆的基础知识，根据距离最长可得点是在圆的直径上的点，由此作图分析即可求解． 【详解】解：根据直径是圆中最长线段，作图如下， ∴， ∴圆的半径为， 故答案为：7 ． 12．如图，已知，是的半径，，是的两条弦．若，则 °； 【答案】110 【分析】本题考查圆周角定理，根据圆周角定理求解即可． 【详解】解：∵是所对的圆心角，是所对的圆周角， ∴． 故答案为：110 13．一个扇形的弧长是2π，半径是12，则这个扇形的面积为 ． 【答案】12π 【解析】略 14．已知的半径为，点到直线的距离为．把直线向上平移 ，才能使与相切? 【答案】或/或 【分析】本题考查的是直线与圆的位置关系，根据直线与圆的位置关系即可求解． 【详解】解：观察图形：∵的半径为，点到直线的距离为． ∴把直线向上平移或才能使与相切， 故答案为：或． 15．如图，为的内接三角形，为圆心，于点，于点，若，则 ． 【答案】4 【分析】本题考查了三角形中位线判定和性质，垂径定理．由于点，于点，根据垂径定理可得，根据三角形中位线定理可得，即可得出结论． 【详解】解：∵为的内接三角形，于点，于点， ∴， ∴为的中位线， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：4． 16．如图，，分别是的切线，，为切点，切于，交，于点，，若，则的周长是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了切线长定理，对于定理的认识，在图形中找到切线长定理的基本图形是解决本题的关键． 利用切线长定理，可以得到：，据此即可求解． 【详解】∵，分别是的切线， ∴ 同理，． ∴三角形的周长． 故答案为：． 17．我国魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中提到著名的“割圆术”，即利用圆的内接正多边形逼近圆的方法来近似估算．“割圆术”孕育了微积分思想，他用这种思想得到了圆周率的近似值为3.1416，如图，的半径为1，运用“割圆术”，以圆内接正八边形面积近似估计的面积，可得的估计值为，若用圆内接正六边形近似估计的面积，可得的估计值为 ．（结果保留根号）    【答案】/ 【分析】本题考查了正多边形与圆的综合，掌握等边三角形的判定及性质、含 角的直角三角形的特征是解题的关键． 连接、， 作于，利用正多边形的性质得，再根据等边三角形的判定及性质得进而可得，再利用割补法求得正六边形的面积，进而可求解． 【详解】解：连接、， 作于， 如图：    ∵六边形是正六边形， ， ， ， ， ， ∴， ， ， ∴的估计值为 故答案为：． 18．在中，直径，是圆上除外的一点，分别是的中点，是弦的中点，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了圆周角定理，勾股定理，直角三角形的性质，三角形的三边关系，由圆周角定理可得，，即得，利用勾股定理可得，再根据三角形的三边关系得到，据此即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：如图，连接，， ∵分别是的中点， ∴，， ∴，， ∵是直径， ∴， 即， ∴， ∵直径， ∴， ∴， ∵是的中点， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 三、解答题：本题共7小题，共78分． 19．如图，的直径，、是圆上的两点，，，求，两点的距离． 【答案】 【分析】先根据同弧所对的圆周角相等得到，再根据直径所对的圆周角是直角得到，最后根据含30度角的直角三角形的性质求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵的直径， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了同弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角是直角含30度角的直角三角形的性质，灵活运用所学知识是解题的关键． 20．已知在平面直角坐标系中的位置如图所示． (1)分别写出图中点A和点C的坐标； (2)画出绕点按顺时针方向旋转后的； (3)求点A旋转到点所经过的路线长（结果保留π）． 【答案】(1)、 (2)见解析 (3) 【分析】本题考查平面直角坐标系中点的坐标的读取、平面图形的旋转变换．属于基本题型，掌握基本概念是解题关键． （1）根据平面直角坐标系写出点A、C的坐标即可； （2）根据网格结构先找出点A、B、C绕点C顺时针旋转的对应点的位置，然后再找出旋转后的三角形绕点B逆时针旋转的对应点的位置，然后顺次连接即可； （3）根据勾股定理求出的长度，然后根据弧长公式列式求出点A所经过的路线长． 【详解】（1）、； （2）如图，即为所求， （3）， ． 21．如图，是的内接三角形． (1)尺规作图：在图①中，求作的中点．（保留作图痕迹） (2)用无刻度的直尺：在图②中，画一个与互补的圆周角； (3)用无刻度的直尺：在图③中，画一个与互余的圆周角．并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析，理由见解析 【分析】（1）过点作的垂直平分线交于点，则点即为所求； （2）在劣弧上任取一点，连接，则即为所求； （3）连接并延长交于点，则即为所求． 【详解】（1）如图所示，点即为所求， （2）解：如图所示，即为所求 ∵四边形是圆内接四边形， ∴ （3）解：如图所示，连接并延长交于点，则即为所求， 理由如下， ∵是的内接三角形． ∴， ∴， 又∵ ∴ ∴，有，则即为所求． 【点睛】本题考查了作垂直平分线，三角形的外心的性质，圆内接四边形对角互补，圆周角定理，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握以上知识是解题的关键． 22．紫砂壶是我国特有的手工制造陶土工艺品，图2是正确使用该工具时的示意图．如图3，为某紫砂壶的壶口，已知A、B两点在上，直线过点O，且于点D，交于点C．若，，求这个紫砂壶的壶口半径． 【答案】10 【分析】本题考查了垂径定理和勾股定理，解题的关键是理解垂径定理构建关于半径r的等式．根据可得，再根据勾股定理构建关于半径r的等式求解即可． 【详解】解：设这个紫砂壶的壶口半径为r， ，， ， ， ， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得：， 这个紫砂壶的壶口半径为， 23．如图，以半圆O的直径为边作边分别与半圆O交于点E，F，且，过点F作于点D，连接． (1)求证：是半圆O的切线； (2)连接，若，，则长为 ． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】本题考查了切线的判定定理，勾股定理，圆周角定理，角平分线的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先由圆周角定理得，证明，结合，得出，即可作答． （2）先由圆周角定理得，运用勾股定理，结合等面积法列式计算，因为角平分线的判定与性质，得，即可作答． 【详解】（1）解：连接 ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∵是半径 ∴是半圆O的切线 （2）解：∵ ∴ ∵以半圆O的直径为边作 ∴ 过点F作 ∵ ∴ ∴ 由（1）得 ∵ ∴ 故答案为：4 24．在矩形中，，，点P从点A出发沿边以的速度向点B移动（点P可以与点A重合），同时，点Q从点B出发沿以的速度向点C移动（点Q可以与点B重合），其中一点到达终点时，另一点随之停止运动，设运动时间为t秒． (1)如图1，几秒后，的面积等于？ (2)如图2，在运动过程中，若以P为圆心、为半径的与相切，求t值； (3)若以Q为圆心，为半径作⊙Q．如图3，若与四边形的边有三个公共点，则t的取值范围为 ．（直接写出结果，不需说理） 【答案】(1)2秒或4秒 (2) (3) 【分析】（1）由题意可知，，从而得到，，然后根据的面积为列方程求解即可； （2）如图1所示：连接．依据勾股定理可求得的长，然后依据切线长定理可知，从而可求得的长，由圆的半径相等可知，然后在中依据勾股定理列方程求解即可； （3）先求得与四边形有两个公共点时t的值，然后可确定出t的取值范围． 【详解】（1）解：由题意知，，，则， ∵ ∴， 解得或， 故当运动时间为2秒或4秒时，的面积为； （2）解：如图1，设切点为，连接． ∵， ∴与相切， ∴分别与，相切， ∴． ∵与相切， ∴， 在中，依据勾股定理可得． ∴． ∵， ∴，． 在中，依据勾股定理可得，， 解得； （3）解：（Ⅰ）当时，如图4所示： 与四边形有两个公共点； （Ⅱ）如图5所示： 当经过点D时，与四边形有两个公共点，则， 得方程， 解得： （舍），， ∴当，与四边形有三个公共点． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查的是主要考查的是圆的综合应用，解答本题主要应用了三角形的面积公式、切线长定理、勾股定理、圆的性质，依据题意列出关于t的方程是解题的关键． 25．在平面直角坐标系中，对于点P，O，Q给出如下定义：若且，我们称点P是线段的“潜力点”．已知点，． (1)在，，中是线段的“潜力点”是________； (2)若点P在直线上，且为线段的“潜力点”，求点P横坐标的取值范围； (3)直线与x轴交于点M，与y轴交于点N，当线段上存在线段的“潜力点”时，直接写出b的取值范围． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）分别计算出和的长度，比较即可得出答案； （2）先判断点P在以O为圆心，1为半径的圆外且点P在线段垂直平分线的左侧，结合，点P在以O为圆心，2为半径的圆上或圆内，可得点P在如图所示的线段上（不包含点B），过作轴，过作轴，垂足分别为 再根据图形的性质求解 从而可得答案； （3）由（2）得：点P在以O为圆心，1为半径的圆外且点P在以O为圆心，2为半径的圆上或圆内，而，点P在线段OQ垂直平分线的左侧，分别画出临界直线再根据临界直线经过的特殊点求解的值，再确定范围即可. 【详解】（1）解：，， ， ，，， 不满足且， 不是线段的“潜力点”， 同理：，满足且， 是线段的“潜力点”， 同理： 满足且， 是线段OQ的“潜力点”， 故答案为：，； （2）解：∵点P为线段的“潜力点”， ∴且， ∵， ∴点P在以O为圆心，1为半径的圆外， ∵， ∴点P在线段垂直平分线的左侧，而的垂直平分线为直线 ， ∵， ∴点P在以O为圆心，2为半径的圆上或圆内， 又∵点P在直线上， ∴点P在如图所示的线段上（不包含点B） 过作轴，过作轴，垂足分别为 由题意可知和都是等腰三角形， ∴， ， ∴； （3）解：由（2）得：点P在以O为圆心，1为半径的圆外且点P在以O为圆心，2为半径的圆上或圆内， 而， 如图，点P在线段垂直平分线直线的左侧，设直线在x轴上方与半径为2的圆弧交于点D，与x轴交于点E，连接， ， ， ， 过时，则， ，即函数解析式为：， ， 令，则，即， ， ， ， 此时，线段上不存在线段的“潜力点”； 当与半径为2的圆相切于S时，则； 由， ， 而， ， ， ，即函数解析式为：， 此时，线段上存在点S是线段的“潜力点”； 当直线在直线与直线之间运动时，线段上存在线段的“潜力点”， ． 【点睛】本题考查的是新定义情境下的知识运用，圆的基本性质，圆的切线的性质，一次函数的综合应用，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理的应用，数形结合是解本题的关键. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第二十七章 圆（单元重点综合测试） 班级___________ 姓名___________ 学号____________ 分数____________ 考试范围：全章的内容； 考试时间：120分钟； 总分：150分 一、单项选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。 1．的半径为3，点到圆心的距离为4，点与的位置关系是（   ） A．点在外 B．点在内 C．点在上 D．不能确定 2．如图，在中，已知，则与的关系是（　　）    A． B． C． D．不确定 3．如图，在中，弦的长为4，圆心到弦的距离为2，则圆O的半径长是（  ） A．1 B． C． D．4 4．下列关于三角形的外心的说法中，正确的是（   ）． A．三角形的外心在三角形外 B．三角形的外心到三边的距离相等 C．三角形的外心到三个顶点的距离相等 D．等腰三角形的外心在三角形内 5．苯分子的环状结构是由德国化学家凯库勒提出的，随着研究的不断深入，发现苯分子中的个碳原子与个氢原子均在同一平面，且所有碳碳键的键长都相等（如图），组成了一个完美的六边形（正六边形），图是其平面示意图，则的度数为（    ） A． B． C． D． 6．如图，是半圆的直径，点是的中点，，则等于（   ） A． B． C． D． 7．如图，中，，是的平分线，是的中点，过点作交于点，交于点．若，则外接圆的面积为（   ） A． B． C． D． 8．如图，正六边形的边长为，以顶点为圆心，长为半径画圆，则图中阴影部分的面积是（    ） A． B． C． D． 9．如图，在半圆中，，将半圆沿弦所在的直线折叠，若弧恰好过圆心，则的长是（   ） A． B． C． D． 10．如图，E，F是正方形的边上两个动点，满足．连接交于点G，连接交于点H．若正方形的边长为1，则线段长度的最小值是（    ）    A． B． C． D． 二、填空题：本题共8小题，每小题4分，共32分． 11．平面上有及内一点，到上一点的距离最长为，最短为，则的半径为 ． 12．如图，已知，是的半径，，是的两条弦．若，则 °； 13．一个扇形的弧长是2π，半径是12，则这个扇形的面积为 ． 14．已知的半径为，点到直线的距离为．把直线向上平移 ，才能使与相切? 15．如图，为的内接三角形，为圆心，于点，于点，若，则 ． 16．如图，，分别是的切线，，为切点，切于，交，于点，，若，则的周长是 ． 17．我国魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中提到著名的“割圆术”，即利用圆的内接正多边形逼近圆的方法来近似估算．“割圆术”孕育了微积分思想，他用这种思想得到了圆周率的近似值为3.1416，如图，的半径为1，运用“割圆术”，以圆内接正八边形面积近似估计的面积，可得的估计值为，若用圆内接正六边形近似估计的面积，可得的估计值为 ．（结果保留根号）    18．在中，直径，是圆上除外的一点，分别是的中点，是弦的中点，则的取值范围是 ． 三、解答题：本题共7小题，共78分． 19．如图，的直径，、是圆上的两点，，，求，两点的距离． 20．已知在平面直角坐标系中的位置如图所示． (1)分别写出图中点A和点C的坐标； (2)画出绕点按顺时针方向旋转后的； (3)求点A旋转到点所经过的路线长（结果保留π）． 21．如图，是的内接三角形． (1)尺规作图：在图①中，求作的中点．（保留作图痕迹） (2)用无刻度的直尺：在图②中，画一个与互补的圆周角； (3)用无刻度的直尺：在图③中，画一个与互余的圆周角．并说明理由． 22．紫砂壶是我国特有的手工制造陶土工艺品，图2是正确使用该工具时的示意图．如图3，为某紫砂壶的壶口，已知A、B两点在上，直线过点O，且于点D，交于点C．若，，求这个紫砂壶的壶口半径． 23．如图，以半圆O的直径为边作边分别与半圆O交于点E，F，且，过点F作于点D，连接． (1)求证：是半圆O的切线； (2)连接，若，，则长为 ． 24．在矩形中，，，点P从点A出发沿边以的速度向点B移动（点P可以与点A重合），同时，点Q从点B出发沿以的速度向点C移动（点Q可以与点B重合），其中一点到达终点时，另一点随之停止运动，设运动时间为t秒． (1)如图1，几秒后，的面积等于？ (2)如图2，在运动过程中，若以P为圆心、为半径的与相切，求t值； (3)若以Q为圆心，为半径作⊙Q．如图3，若与四边形的边有三个公共点，则t的取值范围为 ．（直接写出结果，不需说理） 25．在平面直角坐标系中，对于点P，O，Q给出如下定义：若且，我们称点P是线段的“潜力点”．已知点，． (1)在，，中是线段的“潜力点”是________； (2)若点P在直线上，且为线段的“潜力点”，求点P横坐标的取值范围； (3)直线与x轴交于点M，与y轴交于点N，当线段上存在线段的“潜力点”时，直接写出b的取值范围． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$