专题09 圆中的最值模型之瓜豆原理（曲线轨迹）（几何模型讲义）数学华东师大版九年级下册

专题09 圆中的最值模型之瓜豆原理（圆弧轨迹） 动点轨迹问题是中考和各类模拟考试的重要题型，学生受解析几何知识的局限和思维能力的束缚，该压轴点往往成为学生在中考中的一个坎，致使该压轴点成为学生在中考中失分的集中点。掌握该压轴题型的基本图形，构建问题解决的一般思路，是中考专题复习的一个重要途径。本专题就最值模型中的瓜豆原理（动点轨迹为圆弧型）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 3 模型运用 4 模型1.瓜豆模型（圆弧轨迹类） 4 13 “主从联动”模型也叫“瓜豆”模型，出自成语“种瓜得瓜，种豆得豆”。这类动点问题中，一个动点随另一个动点的运动而运动，我们把它们分别叫作从动点和主动点，从动点和主动点的轨迹是一致的，即所谓“种”线得线，“种”圆得圆（而当主动点轨迹是其他图形时，从动点轨迹必然也是）。解决这一类问题通常用到旋转、全等和相似。 （2025·山东·二模）如图，点是上一个动点，点在外一个定点，已知是等边三角形．当点在上运动时，点的位置也跟着发生改变，则的最小面积为 ． 模型1、运动轨迹为圆弧 模型1-1. 如图，P是圆O上一个动点，A为定点，连接AP，Q为AP中点．Q点轨迹是？ 分析：如图，连接AO，取AO中点M，任意时刻，均有△AMQ ∽△AOP，QM：PO=AQ：AP=1：2。 则动点Q是以M为圆心，MQ为半径的圆。 模型1-2. 如图，P是圆O上一个动点，A为定点，连接AP，作AQ⊥AP且AQ=AP，当点P在圆O上运动时，Q点轨迹是？ 分析：如图，连结AO，作AM⊥AO，AO=AM；任意时刻均有△APO≌△AQM，且MQ=PO。 则动点Q是以M为圆心，MQ为半径的圆。 模型1-3. 如图，△APQ是直角三角形，∠PAQ=90°且AP=kAQ，当P在圆O运动时，Q点轨迹是？ 分析：如图，连结AO，作AM⊥AO，AO:AM=k:1；任意时刻均有△APO∽△AQM，且相似比为k。 则动点Q是以M为圆心，MQ为半径的圆。 模型1-4.为了便于区分动点P、Q，可称P为“主动点”，Q为“从动点”。 此类问题的两个必要条件：①主动点、从动点与定点连线的夹角是定量（∠PAQ是定值）；②主动点、从动点到定点的距离之比是定量（AP：AQ是定值）。 分析：如图，连结AO，作∠OAM=∠PAQ，AO:AM=AP：AQ；任意时刻均有△APO∽△AQM。 则动点Q是以M为圆心，MQ为半径的圆。 特别注意：很多题目中主动点的运动轨迹并未直接给出，这就需要我们掌握一些常见隐圆的轨迹求法。 （1）定义型：若动点到平面内某定点的距离始终为定值，则其轨迹是圆或圆弧。（常见于动态翻折中） 如图，若P为动点，但AB=AC=AP，则B、C、P三点共圆，则动点P是以A圆心，AB半径的圆或圆弧。 （2） 定边对定角（或直角）模型 1）一条定边所对的角始终为直角，则直角顶点轨迹是以定边为直径的圆或圆弧． 如图，若P为动点，AB为定值，∠APB=90°，则动点P是以AB为直径的圆或圆弧。 2）一条定边所对的角始终为定角，则定角顶点轨迹是圆弧． 如图，若P为动点，AB为定值，∠APB为定值，则动点P的轨迹为圆弧。 模型1.“A”字模型 例1（2026九年级上·江苏·专题练习）如图，在中，，，D是以点A为圆心，3为半径的圆上一点，连接是的中点，则线段长度的最小值为 ． 例2（25-26九年级上·福建厦门·期中）如图，在半径为4的中，弦，是上的一动点（不与点重合），是的中点，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 例3（2025·江苏·校考一模）如图，四边形为正方形，P是以边为直径的上一动点，连接，以为边作等边三角形，连接，若，则线段的最大值为 ． 例4（2025·安徽·模拟预测）如图，是正方形的边的中点，是正方形内一点，连接，将线段以为中心逆时针旋转得到线段．连接．若，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 例5（2025·江苏无锡·校考一模）如图，矩形中，，以为圆心，3为半径作，为上一动点，连接，以为直角边作，使，，则点与点的最小距离为（    ） A． B． C． D． 例6（24-25九年级下·黑龙江佳木斯·期中）如图，正方形的边长为，E是平面上一动点，且．连接，将绕点E顺时针旋转得到，M为边上的点，且，则线段长的最小值是 ． 例7（25-26九年级上·安徽合肥·校考期末）如图，在中，，，，平面上有一点P，，连接，，取的中点G．连接，在绕点A的旋转过程中，则的最大值是（    ） A．3 B．4 C． D．5 例8（2024·北京海淀·一模）在平面直角坐标系中，对于图形与图形给出如下定义：为图形上任意一点，将图形绕点顺时针旋转得到，将所有组成的图形记作，称是图形关于图形的“关联图形”．(1)已知，，，其中．若，请在图中画出点关于线段的“关联图形”；若点关于线段的“关联图形”与坐标轴有公共点，直接写出的取值范围；(2)对于平面上一条长度为的线段和一个半径为的圆，点在线段关于圆的“关联图形”上，记点的纵坐标的最大值和最小值的差为，当这条线段和圆的位置变化时，直接写出的取值范围（用含和的式子表示）． 1．（25-26·江苏扬州·九年级校考阶段练习）如图，A是上任意一点，点C在外，已知是等边三角形，则的面积的最大值为（ ） A． B．4 C． D．6 2.（24-25九年级上·山东泰安·期末）如图，点半径为2，，点M是上的动点，点C是的中点，则的最大值是（　　） A． B． C． D． 3．（25-26九年级·浙江·专题练习）如图，为的直径，C为上一点，其中，，P为上的动点，连接，取中点Q，连接，则线段的最大值为（　　） A． B． C． D． 4.（25-26九年级上·江苏无锡·期中）如图，是上任意一点，点在外，已知，是等边三角形，则的面积的最大值为    5.（25-26.江苏九年级期中）如下图，在正方形中，，点是以为直径的圆上的点，连接，将线段绕点逆时针旋转，得到线段，连接，则线段的最大值与最小值的和 ．    6．（25-26·山东·九年级专题练习）如图，矩形ABCD中，AB=8，BC=12，以D为圆心，4为半径作⊙D，E为⊙D上一动点，连接AE，以AE为直角边作Rt△AEF，使∠EAF=90°，tan∠AEF=，则点F与点C的最小距离为________． 7.（25-26·江苏·九年级专题练习）如图，线段为的直径，点在的延长线上，，，点是上一动点，连接，以为斜边在的上方作，且使，连接，则长的最大值为　　． 8．（25-26九年级上·湖北十堰·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，O为原点，，点C为平面内一动点，，连接，点M是线段上的一点，且满足．当线段取最大值时，点M的坐标是 ． 9．（2020·江苏连云港·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，半径为2的与轴的正半轴交于点，点是上一动点，点为弦的中点，直线与轴、轴分别交于点、，则面积的最小值为 ． 10．（25-26·广东·九年级专题练习）如图，点A，B的坐标分别为为坐标平面内一点，，M为线段的中点，连接，当取最大值时，点M的坐标为__________________． 11．（2025·福建泉州·统考模拟预测）如图，点是正方形的内部一个动点（含边界），且，点在上，，则以下结论：①的最小值为；②的最小值为；③；④的最小值为；正确的是 ．    12．（25-26·浙江宁波·九年级校考期中）如图，矩形中，，，点E是对角线上的动点，点F是边上的动点，点P是半径为1的上的动点，则的最小值为 ． 13．（24-25·江苏连云港·九年级校考阶段练习）已知矩形为矩形内一点，且，若点绕点逆时针旋转到点，则的最小值为 ．    14．（24-25九年级上·江苏徐州·期中）【模型建立】如图①、②，点分别在圆外，在圆内，直线分别交圆于点，则是点到圆上的点的最短距离，是点到圆上的点的最长距离． 【问题解决】(1)请就图①中为何最长进行证明． (2)已知点到圆上的点的最短距离为4，最长距离为8，则圆的半径为_____________． (3)如图③，在中，．点在边上，且，动点在半径为2的圆上，则的最小值是____________．(4)如图④，点，动点在以为圆心，为半径的圆上，的中点为，求线段的最大值． 15．（24-25九年级·山东·专题练习）若，以点C为圆心，2为半径作圆，点P为该圆上的动点，连接． (1)如图1，取点B，使为等腰直角三角形，，将点P绕点A顺时针旋转得到． ①点的轨迹是　　（填“线段”或者“圆”）；②的最小值是　　； (2)如图2，以为边作等边（点A、P、Q按照顺时针方向排列），在点P运动过程中，求的最大值．(3)如图3，将点A绕点P逆时针旋转，得到点M，连接，则的最小值为　　． 16．（2025·北京·校考一模）在平面直角坐标系中、的半径为1，为上一点，点．对于点给出如下定义：将点绕点顺时针旋转，得到点，点关于点的对称点为，称点为点的“对应点”．(1)如图，已知点，点，点为点的“对应点”．①在图中画出点；②求证：．(2)点在轴正半轴上，且，点为点的“对应点”，连接，当点在上运动时，直接写出长的最大值与最小值的积（用含的式子表示） 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题09 圆中的最值模型之瓜豆原理（圆弧轨迹） 动点轨迹问题是中考和各类模拟考试的重要题型，学生受解析几何知识的局限和思维能力的束缚，该压轴点往往成为学生在中考中的一个坎，致使该压轴点成为学生在中考中失分的集中点。掌握该压轴题型的基本图形，构建问题解决的一般思路，是中考专题复习的一个重要途径。本专题就最值模型中的瓜豆原理（动点轨迹为圆弧型）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 3 模型运用 4 模型1.瓜豆模型（圆弧轨迹类） 4 13 “主从联动”模型也叫“瓜豆”模型，出自成语“种瓜得瓜，种豆得豆”。这类动点问题中，一个动点随另一个动点的运动而运动，我们把它们分别叫作从动点和主动点，从动点和主动点的轨迹是一致的，即所谓“种”线得线，“种”圆得圆（而当主动点轨迹是其他图形时，从动点轨迹必然也是）。解决这一类问题通常用到旋转、全等和相似。 （2025·山东·二模）如图，点是上一个动点，点在外一个定点，已知是等边三角形．当点在上运动时，点的位置也跟着发生改变，则的最小面积为 ． 【答案】 【详解】解：如图，以为边作等边，连接， ∵ ∴ ，即， 在和 中， ∴ ；∴ ∴点的运动轨迹是以点为圆心，长为半径的圆上， 要使得 面积最小，则点到线段的距离最小， ∵是边长为2的等边三角形，∴点到的距离为， ∴点到的最小值为，∴面积最小值为： ．故答案为：． 模型1、运动轨迹为圆弧 模型1-1. 如图，P是圆O上一个动点，A为定点，连接AP，Q为AP中点．Q点轨迹是？ 分析：如图，连接AO，取AO中点M，任意时刻，均有△AMQ ∽△AOP，QM：PO=AQ：AP=1：2。 则动点Q是以M为圆心，MQ为半径的圆。 模型1-2. 如图，P是圆O上一个动点，A为定点，连接AP，作AQ⊥AP且AQ=AP，当点P在圆O上运动时，Q点轨迹是？ 分析：如图，连结AO，作AM⊥AO，AO=AM；任意时刻均有△APO≌△AQM，且MQ=PO。 则动点Q是以M为圆心，MQ为半径的圆。 模型1-3. 如图，△APQ是直角三角形，∠PAQ=90°且AP=kAQ，当P在圆O运动时，Q点轨迹是？ 分析：如图，连结AO，作AM⊥AO，AO:AM=k:1；任意时刻均有△APO∽△AQM，且相似比为k。 则动点Q是以M为圆心，MQ为半径的圆。 模型1-4.为了便于区分动点P、Q，可称P为“主动点”，Q为“从动点”。 此类问题的两个必要条件：①主动点、从动点与定点连线的夹角是定量（∠PAQ是定值）；②主动点、从动点到定点的距离之比是定量（AP：AQ是定值）。 分析：如图，连结AO，作∠OAM=∠PAQ，AO:AM=AP：AQ；任意时刻均有△APO∽△AQM。 则动点Q是以M为圆心，MQ为半径的圆。 特别注意：很多题目中主动点的运动轨迹并未直接给出，这就需要我们掌握一些常见隐圆的轨迹求法。 （1）定义型：若动点到平面内某定点的距离始终为定值，则其轨迹是圆或圆弧。（常见于动态翻折中） 如图，若P为动点，但AB=AC=AP，则B、C、P三点共圆，则动点P是以A圆心，AB半径的圆或圆弧。 （2） 定边对定角（或直角）模型 1）一条定边所对的角始终为直角，则直角顶点轨迹是以定边为直径的圆或圆弧． 如图，若P为动点，AB为定值，∠APB=90°，则动点P是以AB为直径的圆或圆弧。 2）一条定边所对的角始终为定角，则定角顶点轨迹是圆弧． 如图，若P为动点，AB为定值，∠APB为定值，则动点P的轨迹为圆弧。 模型1.“A”字模型 例1（2026九年级上·江苏·专题练习）如图，在中，，，D是以点A为圆心，3为半径的圆上一点，连接是的中点，则线段长度的最小值为 ． 【答案】5 【详解】解：作的中点E，连接， 在直角中，， ∵E是直角斜边上的中点，∴， ∵M是的中点，E是的中点，∴， M轨迹为以E为圆心，为半径的圆，∴线段长度的最小值为．故答案为：5． 例2（25-26九年级上·福建厦门·期中）如图，在半径为4的中，弦，是上的一动点（不与点重合），是的中点，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：连接，，，取的中点，连接，，是的中点，， ∵点是的中点，在整个运动过程中， 结合90度的圆周角所对的弦是直径，故点在以为直径的圆上运动， 即点在以为半径的上运动， 当点运动至的延长线与的交点处时，取得最大值为， ，，∵即， ，的最大值为，故选：A 例3（2025·江苏·校考一模）如图，四边形为正方形，P是以边为直径的上一动点，连接，以为边作等边三角形，连接，若，则线段的最大值为 ． 【答案】/ 【详解】解：连接、，将绕点B逆时针旋转得到，连接， ∵绕点B逆时针旋转得到，∴，， ∵为等边三角形，∴，， ∴，即， 在和中，，∴， ∵，四边形为正方形，∴，则，∴， ∴点Q在以点为圆心，为半径的圆上运动；∴当点O，，P三点在同一直线上时，取最大值， 在中，根据勾股定理可得：， ∵，，  ∴为等边三角形，∴， ∴，故答案为：． 例4（2025·安徽·模拟预测）如图，是正方形的边的中点，是正方形内一点，连接，将线段以为中心逆时针旋转得到线段．连接．若，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解，如图，连接，将以为中心，逆时针旋转，点的对应点为， 的运动轨迹是以为圆心，为半径的半圆， 的运动轨迹是以为圆心，为半径的半圆，如图，当、、三点共线时，的值最小， 四边形是正方形，，， 是的中点，，， 由旋转得：，，， 的值最小为．故选：B． 例5（2025·江苏无锡·校考一模）如图，矩形中，，以为圆心，3为半径作，为上一动点，连接，以为直角边作，使，，则点与点的最小距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】如图，取的中点，连接，，，DE． ∵，，∴，∵，，∴， ∵，∴，∴，∵四边形是矩形，∴，∴，∴，∴， ∵，∴，∴点的运动轨迹是以为圆心1为半径的圆， ∵，∴，∴，∴的最小值为．故选：A． 例6（24-25九年级下·黑龙江佳木斯·期中）如图，正方形的边长为，E是平面上一动点，且．连接，将绕点E顺时针旋转得到，M为边上的点，且，则线段长的最小值是 ． 【答案】/ 【详解】解：如图，连接，，， 是正方形，， 绕点E顺时针旋转得到，，， ，，， ，，， 可知在以点为圆心，为半径的圆周上运动， 当三点在同一直线上时，此时长取最小值， 正方形的边长为，，， 在中，由勾股定理可得：， 长的最小值：．故答案为：． 例7（25-26九年级上·安徽合肥·校考期末）如图，在中，，，，平面上有一点P，，连接，，取的中点G．连接，在绕点A的旋转过程中，则的最大值是（    ） A．3 B．4 C． D．5 【答案】A 【详解】解：如图，取的中点，连接，， ∵为的中点，，∴，∴在以为圆心，为半径的圆上， 当C，Q，G三点共线时，最大，， ∵，，，∴，∴， ∴，即的最大值为．故选A 例8（2024·北京海淀·一模）在平面直角坐标系中，对于图形与图形给出如下定义：为图形上任意一点，将图形绕点顺时针旋转得到，将所有组成的图形记作，称是图形关于图形的“关联图形”．(1)已知，，，其中．若，请在图中画出点关于线段的“关联图形”；若点关于线段的“关联图形”与坐标轴有公共点，直接写出的取值范围；(2)对于平面上一条长度为的线段和一个半径为的圆，点在线段关于圆的“关联图形”上，记点的纵坐标的最大值和最小值的差为，当这条线段和圆的位置变化时，直接写出的取值范围（用含和的式子表示）． 【答案】(1)①见详解；②或(2) 【详解】（1）解：如图所示：线段即为所求； 如图：当 时，点关于线段的“关联图形”与轴恰有公共点， ∴时，点关于线段的“关联图形”与轴有公共点； 当 时，点关于线段的“关联图形”与轴恰有公共点， ∴时，点关于线段的“关联图形”与轴有公共点； 综上所述：或； （2）如图，画出分析图，如图所示，线段的长度为，圆的半径为， 点分别绕点顺时针旋转得到，分析可知且相似比为， 可得圆的半径均为，随意转动图，可得． 1．（25-26·江苏扬州·九年级校考阶段练习）如图，A是上任意一点，点C在外，已知是等边三角形，则的面积的最大值为（ ） A． B．4 C． D．6 【答案】A 【详解】解：如图，以为边向上作等边三角形，连接， ∵，∴，即， 在和中，，∴，∴， ∴点D的运动轨迹是以点M为圆心，长为半径的圆，要使的面积最大，则求出点D到线段的最大距离，∵是边长为4的等边三角形，∴点M到的距离为， ∴点D到的最大距离为，∴的面积最大值是，故选A． 2.（24-25九年级上·山东泰安·期末）如图，点半径为2，，点M是上的动点，点C是的中点，则的最大值是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】如图，作射线交于、，连接， 由勾股定理得：，∵，∴， ∴当最大时，最大，∴当M运动到时，最大， 此时的最大值，故选C． 3．（25-26九年级·浙江·专题练习）如图，为的直径，C为上一点，其中，，P为上的动点，连接，取中点Q，连接，则线段的最大值为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：如图，连接，作于H． ∵，∴，∴，∴点Q的运动轨迹为以为直径的，连接， 当点Q在的延长线上时，的值最大（也可以通过求解） 在中，∵，∴，， 在中，，∴CQ的最大值为，故选：D． 4.（25-26九年级上·江苏无锡·期中）如图，是上任意一点，点在外，已知，是等边三角形，则的面积的最大值为    【答案】 【详解】解：如图所示，以为边作等边，连接，    ∵是等边三角形，∴， ∵是等边三角形，∴， ∴，且，，∴，∴， ∴点在以点为圆心的圆上，且半径，过点作于点，即是的垂直平分线，当点在上其在点的上方时，的面积的最大值， ∴在中，，，，∴， ∴，且，∴， ∴，故答案为：． 5.（25-26.江苏九年级期中）如下图，在正方形中，，点是以为直径的圆上的点，连接，将线段绕点逆时针旋转，得到线段，连接，则线段的最大值与最小值的和 ．    【答案】 【详解】解：如图所示，连接、，将绕点逆时针旋转，得到线段，连接，    ∵线段绕点逆时针旋转，绕点逆时针旋转， ∴，，∴， ∴， ∴∴则点在以为圆心，为半径的圆上运动， ∴线段的最大值与最小值的和为 在中， ∴， 如图所示，过点作交的延长线于点，过点作于点，    则四边形是矩形，∴， 在与中，，∴ ∴，，在中，， ∴线段的最大值与最小值的和为 6．（25-26·山东·九年级专题练习）如图，矩形ABCD中，AB=8，BC=12，以D为圆心，4为半径作⊙D，E为⊙D上一动点，连接AE，以AE为直角边作Rt△AEF，使∠EAF=90°，tan∠AEF=，则点F与点C的最小距离为________． 【答案】4 【详解】解：如图，取AB的中点G，连接FG．FC．GC． ∵∠EAF＝90°，tan∠AEF＝，∴＝，∵AB＝8，AG＝GB，∴AG＝GB＝4， ∵AD＝12，∴，∴， ∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD＝∠B＝∠EAF＝90°，∴∠FAG＝∠EAD， ∴△FAG∽△EAD，∴FG：DE＝AF：AE＝1：3， ∵DE＝4，∴FG＝，∴点F的运动轨迹是以G为圆心为半径的圆， ∵GC＝，∴FC≥GC−FG，∴FC≥4， ∴CF的最小值为4．故答案为：4． 7.（25-26·江苏·九年级专题练习）如图，线段为的直径，点在的延长线上，，，点是上一动点，连接，以为斜边在的上方作，且使，连接，则长的最大值为　　． 解：如图，作，使得，，则，，， ，，，， ，，即（定长）， 点是定点，是定长，点在半径为1的上， ，的最大值为，故答案为． 8．（25-26九年级上·湖北十堰·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，O为原点，，点C为平面内一动点，，连接，点M是线段上的一点，且满足．当线段取最大值时，点M的坐标是 ． 【答案】 【详解】解：∵点为平面内一动点，，∴点在以点为圆心，为半径的上， 在轴的负半轴上取点，连接，分别过、作，，垂足为、，    ∵，∴，∴，∵，∴， ∵，∴，∴，∴当取得最大值时，取得最大值，结合图形可知当，，三点共线，且点在线段上时，取得最大值， ∵，，∴，∴， ∵，∴，∵轴轴，，∴， ∵，∴，∴，即，解得， 同理可得，，∴，即，解得， ∴，∴当线段取最大值时，点的坐标是， 故答案为：． 9．（2020·江苏连云港·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，半径为2的与轴的正半轴交于点，点是上一动点，点为弦的中点，直线与轴、轴分别交于点、，则面积的最小值为 ． 【答案】2 【详解】解：如图，连接OB，取OA的中点M，连接CM，过点M作MN⊥DE于N． ∵AC=CB，AM=OM，∴MC=OB=1， ∴点C的运动轨迹是以M为圆心，1为半径的⊙M，设⊙M交MN于C′． ∵直线y=x-3与x轴、y轴分别交于点D、E， ∴D（4，0），E（0，-3），∴OD=4，OE=3，∴， ∵∠MDN=∠ODE，∠MND=∠DOE，∴△DNM∽△DOE， ∴，∴，∴， 当点C与C′重合时，△C′DE的面积最小，△C′DE的面积最小值，故答案为2． 10．（25-26·广东·九年级专题练习）如图，点A，B的坐标分别为为坐标平面内一点，，M为线段的中点，连接，当取最大值时，点M的坐标为__________________． 【答案】 【详解】解：如图，∵点C为坐标平面内一点，， ∴C在⊙B上，且半径为，在x轴上取OD=OA=6，连接CD， ∵AM=CM，OD=OA，∴OM是△ACD的中位线∴OM=CD， ∴即当OM最大时，CD最大，而D，B，C三点共线时，即当C在DB的延长线上时，OM最大， ∵OB=OD=6，∠BOD=90°，∴BD=，∴CD=，且C(2,8), ∴OM=CD，即OM的最大值为， ∵M是AC的中点，则M（4,4），故答案为：（4,4）． 11．（2025·福建泉州·统考模拟预测）如图，点是正方形的内部一个动点（含边界），且，点在上，，则以下结论：①的最小值为；②的最小值为；③；④的最小值为；正确的是 ．    【答案】①②④ 【详解】解：在上截取，连接，，，如图所示：    四边形是正方形，，，， ，，，， 点在以为圆心，为半径的圆上运动，点在以为圆心，为半径的圆上运动， 当点在上时，有最小值为，当点在上时，有最小值为，故①②正确； 在和中，，≌，， 当，，三点共线时，取得最小值，最小值为的长， ，故DE的最小值为，故④正确； 当点在上时，有最小值为，此时，与不一定相等，故③不一定正确； 故答案为：①②④． 12．（25-26·浙江宁波·九年级校考期中）如图，矩形中，，，点E是对角线上的动点，点F是边上的动点，点P是半径为1的上的动点，则的最小值为 ． 【答案】 【详解】解：如图，连接BP，BE，则BP=1， 则要求的最小值，就是要求， 当点B、P、E共线时，BP+PE=BE，当点B、P、E不共线时，BP+PE＞BE， ∴如图，当点B、P、E共线时，BP+PE才会取得最小值，最小值为BE的长， 则，如图，作点B关于AC的对称点，连接，， 则，∴， 当点、E、F共线时，，当点、E、F共线时，， ∴当点、E、F共线时，才会取得最小值，最小值为的长，如图所示 又∵点F为BC上的一动点，∴如图，当⊥BC时，取得最小值， 连接，交AC于点H，∵，，∠ABC=90°，∴， ∵，∴，∴， ∵∠BHC=∠BF=90°，∴，∴， 又∵，∴，∴， 即，解得，∴的最小值为， ∴的最小值为，故答案为：． 13．（24-25·江苏连云港·九年级校考阶段练习）已知矩形为矩形内一点，且，若点绕点逆时针旋转到点，则的最小值为 ．    【答案】 【详解】解：在矩形外，以边为斜边作等腰直角三角形，，再以点O为圆心，为半径作，如图，    ∵点P为矩形内一点，且，∴点P在的劣弧上运动， ∵点绕点逆时针旋转到点，∴，，∴ ∴当最小时，，连接，交于P，此时，最小，则也最小， 在中，∵，，∴，∴， 过点O作于E，交延长线于F，∴， ∵，，∴∵矩形∴∴ ∴四边形正方形，∴，∴， 在中，由勾股定理，得， ∴∴，故答案为：． 14．（24-25九年级上·江苏徐州·期中）【模型建立】如图①、②，点分别在圆外，在圆内，直线分别交圆于点，则是点到圆上的点的最短距离，是点到圆上的点的最长距离． 【问题解决】(1)请就图①中为何最长进行证明． (2)已知点到圆上的点的最短距离为4，最长距离为8，则圆的半径为_____________． (3)如图③，在中，．点在边上，且，动点在半径为2的圆上，则的最小值是____________．(4)如图④，点，动点在以为圆心，为半径的圆上，的中点为，求线段的最大值． 【答案】(1)证明见解析(2)2或6(3)(4) 【详解】（1）解：如图，点C为上任意一点，连接，， 当点C与点B不重合时，∵在中，， 又，∴，即， 当点C与点B重合时，，∴综上可得，， ∵点C为上任意一点，∴的长是点P到上的点的最长距离． （2）（1）若点P在外，如图①， 则，，∴，∴的半径为2； 若点P在内，如图②，则，，∴， ∴的半径为6；综上所述，的半径为2或6．故答案为：2或6． （3）连接，交于点D，由（1）可得的长是点A到上的点的最短距离， ∴的最小值是的长， ∵在中，，，∴， ∴，∴的最小值是． （4）取点，连接，并延长交于点， ∵，，∴点A是线段的中点， ∵点C是线段的中点，∴，∴当线段取得最大值时，线段也取得最大值， ∴当点B位于点时，线段有最大值， ∵，，∴，∵的半径为，即， ∴，∴线段有最大值为， ∴线段的最大值为． 15．（24-25九年级·山东·专题练习）若，以点C为圆心，2为半径作圆，点P为该圆上的动点，连接． (1)如图1，取点B，使为等腰直角三角形，，将点P绕点A顺时针旋转得到． ①点的轨迹是　　（填“线段”或者“圆”）；②的最小值是　　； (2)如图2，以为边作等边（点A、P、Q按照顺时针方向排列），在点P运动过程中，求的最大值．(3)如图3，将点A绕点P逆时针旋转，得到点M，连接，则的最小值为　　． 【答案】(1)①圆；②(2)6(3) 【详解】（1）解：①连接、，如图1所示： 是等腰直角三角形，，， 由旋转的性质得：，，，， 在和中，，， ，即点到点B的距离等于定长， 点的轨迹是以B为圆心，2为半径的圆，故答案为：圆； ②是等腰直角三角形，，， 当点在线段上时，最小,故答案为： ； （2）解：以为边长作等边，连接、，如图2所示： 和是等边三角形，，，，， 在和中，，，， 当C、D、Q三点共线时，有最大值； （3）解：如图3所示：M点的轨迹是以为直径的一个圆， 则，，则是梯形的中位线， ，连接，则， ，，，是等腰直角三角形， ，，，故答案为：． 16．（2025·北京·校考一模）在平面直角坐标系中、的半径为1，为上一点，点．对于点给出如下定义：将点绕点顺时针旋转，得到点，点关于点的对称点为，称点为点的“对应点”．(1)如图，已知点，点，点为点的“对应点”．①在图中画出点；②求证：．(2)点在轴正半轴上，且，点为点的“对应点”，连接，当点在上运动时，直接写出长的最大值与最小值的积（用含的式子表示） 【答案】(1)①见解析；②见解析(2) 【详解】（1）解：①如图所示，点Q即为所求； ②如图所示，过点作轴于T，由旋转的性质可得， ∴，∴， 又∵，∴，∴， ∵，∴，∴，∴， ∵关于点的对称点为Q，∴，∴， ∵，∴； （2）解：如图1所示，取，连接，∴，∴， ∵，∴，， ∴，∴，∴， ∴，∴在以为圆心，半径为的圆上运动， ∵点与点Q关于点对称，点关于点的对称点为， ∴点Q在以为圆心，半径为的圆上运动， 如图2所示，连接交于，延长交于， ∵，，∴， ∴，， ∴． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $