第二十六章 二次函数（单元重点综合测试）-2024-2025学年九年级数学下册单元速记·巧练（华东师大版）

第二十六章 二次函数（单元重点综合测试） 班级___________ 姓名___________ 学号____________ 分数____________ 考试范围：全章的内容； 考试时间：120分钟； 总分：150分 一、单项选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。 1．下列函数关系中，y是x的二次函数的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二次函数的定义．二次函的基本表示形式为，二次函数最高次必须为二次，据此即可求解． 【详解】解：A：，y是x的二次函数，符合题意； B：， y是x的反比例函数，不符合题意； C：，y是x的一次函数，不符合题意； D：， y不是x的二次函数，不符合题意； 故选：A 2．将抛物线向右平移3个单位，再向上平移4个单位得到（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数图象的平移，平移法则是：左加右减，上加下减；依据此平移法则求解即可． 【详解】解：将抛物线向右平移3个单位，再向上平移4个单位，得到的抛物线的函数表达式为：． 故选：A． 3．二次函数的最小值是（    ） A． B． C． D．1 【答案】A 【分析】本题考查二次函数的性质，根据二次函数的性质和顶点坐标可得结论． 【详解】解：∵二次函数中，，顶点坐标为， ∴该二次函数的图象开口向上， ∴当时，二次函数有最小值． 故选：A． 4．一次函数的图象如图所示，则二次函数的图象大致是（    ）    A．   B．   C．   D．   【答案】C 【分析】本题主要考查了一次函数以及二次函数的图象综合判断，正确确定，的符号是解题关键．直接利用一次函数图象经过的象限得出，的符号，进而结合二次函数图象的性质得出答案． 【详解】解：一次函数的图象经过一、三、四象限， ，， ， 二次函数的图象开口方向向上，图象经过原点，对称轴在轴左侧， 故选：C． 5．已知在二次函数的图象上有三点，其坐标分别为，，，则，的大小关系正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，比较函数值的大小；由抛物线的对称性知，，两点关于对称轴对称，则，再利用增减性质可得，从而确定，的大小关系． 【详解】解：∵抛物线的对称轴为直线，且， ∴，两点关于对称轴对称， ∴； ∵，二次项系数， ∴， ∴； 故选：C． 6．已知二次函数的图象上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如下表： x … 0 1 3 4 5 … y … … 关于它的图象，下列判断正确的是（    ） A．开口向上 B．对称轴是直线 C．一定经过点 D．在对称轴左侧部分自左至右是下降的 【答案】C 【分析】本题考查的是二次函数的性质，求解二次函数的解析式，由表格中点，，可知抛物线的对称轴为直线．设抛物线的解析式为，将，分别代入，可解得，再进一步解答即可． 【详解】解：∵点，在抛物线上， ∴抛物线的对称轴为直线． 设抛物线的解析式为，将，分别代入， ， 可解得， ∴抛物线的解析式为， ∴抛物线开口向下，抛物线在对称轴左侧部分自左至右是上升的． 将代入，得． 故选C． 7．已知二次函数的变量，的部分对应值如表： x … 0 1 … y … 1 1 … 根据表中信息，可得一元二次方程的一个近似解的范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点问题：在和时函数值由负数变为正数，即可得到方程的一个近似解的范围． 【详解】解：当时，；当时，， 方程的一个近似根的范围是, 故选：C． 8．如图是根据某拱桥形状建立的直角坐标系，从中得到函数．在正常水位时水面宽，当水位上升时，水面宽（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，由题意得，点A的横坐标为，据此求出，进而得到点C的纵坐标为，再求出即可得到答案． 【详解】解：由题意得，点A的横坐标为， 在中，当时，， ∴， ∴点C的纵坐标为， 在中，当时，解得或， ∴， ∴， 故选：D． 9．如图，抛物线与轴交于，其对称轴为直线，结合图象分析下列结论：①；②若为任意实数，则；③；④；⑤若，且，则，其中正确的个数为（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】本题主要考查图象与二次函数系数之间的关系，由抛物线的开口方向判断与0的关系，由抛物线与轴的交点判断与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断． 【详解】解：①图象开口向下，与轴交于正半轴，对称轴在轴右侧， ，，， ， ，故①错误； ②对称轴是直线，图象开口向下， 时，函数最大值是； 为任意实数，则， ，故②正确； ③对称轴是直线，与轴交点在 二次函数与轴的另一个交点为， ，故③错误； ④， 由③得， ，故④错误； ⑤， ， ， ， ， ， ∴， ∵， ，故⑤正确； 故正确的有3个， 故选：B． 10．定义：若x，y满足且，，且（t为常数），则称点为“和谐点”，若有一个函数满足，其上存在“和谐点”，则k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了新定义，函数图象上点的坐标特征和二次函数的增减性，根据题意得出 ，①②得，由，得出，整理得，由且，得出． 【详解】解：∵双曲线存在“和谐点”， ∴， ①②得， ， ， ， 整理得， ，且， ， 故选：D． 二、填空题：本题共8小题，每小题4分，共32分． 11．关于的函数是二次函数，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的概念：关于自变量的二次三项式，一般形式为，a、b、c是常数；根据概念得，，求解即可． 【详解】解：由题意得：，， 解得：； 故答案为：． 12．抛物线与轴的交点坐标为 ． 【答案】 【分析】本题主要查了抛物线与轴的交点坐标．令，求出函数值即可解答． 【详解】解：当时，， ∴抛物线与轴的交点坐标为． 故答案为： 13．与抛物线顶点相同，形状也相同，而开口方向相反的抛物线的解析式是 ． 【答案】 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的顶点坐标为，决定开口方向和大小是解题的关键．利用对于二次函数，顶点相同即不变，形状也相同即不变，而开口方向相反即二次项系数符号变为相反，即可解决． 【详解】解：与抛物线顶点相同，形状也相同，而开口方向相反的抛物线的解析式， 即只有二次项系数相反， 则其解析式为， 故答案为：． 14．已知二次函数的图象上有两点和，则当时，二次函数的值是 ． 【答案】2022 【分析】本题考查了二次函数的对称性，求函数值等知识，掌握二次函数图象的对称性是关键；由A、B两点坐标知，这两点关于抛物线的对称轴对称，而抛物线的对称轴为y轴，即，得x的值，即可求得此时函数值． 【详解】解：∵点和， ∴A、B关于抛物线的对称轴对称， ∵抛物线的对称轴为y轴， ∴， 即； 当时，； 故答案为：2022． 15．二次函数，当时y的最大值是 ． 【答案】15 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，正确理解取得最大值的条件是关键． 首先求得抛物线的对称轴，抛物线开口向下，在顶点处取得最大值． 【详解】解：∵二次函数， ∴抛物线的对称轴是，开口向下， 当时，是最大值． 故答案为：15． 16．如图，正方形的边长为6，与x轴负半轴的夹角为，点B在抛物线（）的图象上，则a的值为 ． 【答案】 【分析】连接，过B作轴于D，若与x轴负半轴的夹角为，那么；在正方形中，已知了边长，易求得对角线的长，进而可在中求得的值，也就得到了B点的坐标，然后将其代入抛物线的解析式中，即可求得待定系数a的值． 【详解】解：如图，连接，过B作轴于D； ∵四边形是正方形， ∴． ∵与x轴负半轴的夹角为， ∴ ∵正方形的边长为6， ∴； 中，，， 则； 故， 代入抛物线的解析式中，得：， 解得， 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形的性质、直角三角形的性质以及用待定系数法确定函数解析式的方法，求出是解答本题的关键． 17．如图，在中，，．设直线截这个三角形所得的涂色部分的面积为，则与之间的函数解析式为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查的是二次函数的应用，解题的关键是能够找到题目中的有关面积的等量关系，难度不大． 先证明，然后根据三角形的面积公式可求的面积，解答出与之间的函数关系式． 【详解】解：如图所示， ∵中，，且， ， ， ， ， ， ， ， 即． 故答案为：． 18．函数，其中m是常数且，该函数的图象记为G． (1) 当时，图象G与x轴的交点坐标为 ． (2)若直线与该函数图象G恰好只有两个交点，则m的取值为 ． 【答案】 3或/或3 【分析】本题考查了二次函数的综合应用． （1），从而两个解析式是已知的，令，解方程即可； （2）分，两种情况，画出草图，令与二次函数联列得方程组，求解即可． 【详解】解：（1）当时，对称轴为直线， 当时，对称轴为直线， 又当时，函数， 当时，令， ， 或（舍去）， 时，； 当时，令， ， ， ，无解， 与轴的交点坐标为， 故答案为：； （2）当时，图象大致如图1所示， 当经过顶点时，恰有2个交点， 当时，， ， 当时，， （舍去）， 当时，图象大致如图2所示， 当经过顶点时，恰有2个交点， 当时，， （舍去）， 当时，， ， 综上所述，取值为3或． 故答案为：3或． 三、解答题：本题共7小题，共78分． 19．已知抛物线经过点． (1)求此抛物线的函数表达式； (2)判断点是否在此抛物线上． 【答案】(1) (2)不在 【分析】本题考查二次函数的性质： （1）把代入线求出a的值即可； （2）在中，令，求出对应的y值，即可判断． 【详解】（1）解：把代入线得：， 解得， ； （2）解：在中，令，得， 点不在此抛物线上． 20．已知二次函数的解析式，补充下表，并根据表中的数据在如图所示的平面直角坐标系中，利用描点法画出这个二次函数的示意图． x … －3 －2 －1 0 1 … … 0 ___ ___ ___ 0 …    【答案】、、，图象见解析． 【分析】将、、分别代入二次函数解析式中，求出对应的y值，再利用描点、连线画出函数图象即可． 【详解】解：填表如下： x … －3 －2 －1 0 1 … … 0 －3 －4 －3 0 … 描点、连线，如图所示：    【点睛】本题主要考查二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的图象，熟练掌握利用描点法画二次函数的图象是解题关键． 21．已知二次函数． (1)若二次函数的图象与轴交于点，求的值； (2)若当时，的最小值为，求的值． 【答案】(1) (2)的值为或1 【分析】本题考查了待定系数法求解析式，二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． （1）将点代入，即可求出的值； （2）分和两种情况讨论． 【详解】（1）将点代入， 得， 解得； （2）顶点坐标为 当时，当时，函数最小值，解得， 当时，当时，函数最小值为，解得， 综上所述，的值为或1． 22．某校初三年级的一场篮球比赛中，如图队员甲正在投篮，已知球出手时离地面高，当球出手后水平距离为时到达最大高度，设篮球运行的轨迹为抛物线，建立如图的平面直角坐标系． (1)求出抛物线的解析式； (2)若队员与篮圈中心的水平距离为，篮圈距地面，问此球能否准确投中？ 【答案】(1)； (2)此球一定能投中． 【分析】本题考查了二次函数的应用． （1）根据抛物线的顶点坐标及球出手时的坐标，可确定抛物线的解析式； （2）令，求出的值，与比较即可作出判断． 【详解】（1）解：根据题意，球出手点、最高点和篮圈的坐标分别为： ，， 设二次函数解析式为， 将点代入可得：， 解得：， 抛物线解析式为：； （2）解：将点坐标代入抛物线解析式得： ， 左边右边， 即点在抛物线上， 此球一定能投中． 23．如图，已知抛物线经过点，两点，且与轴的另一个交点为，对称轴为直线． (1)求抛物线的表达式； (2)时，求的的取值范围； (3)已知点是抛物线对称轴上一点，当的周长最小时，求点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)点 【分析】本题主要查了待定系数法求函数解析式，二次函数的图象和性质，两点间线段最短： （1）利用待定系数法解答，即可求解； （2）求出点B的坐标，再观察图象，即可求解； （3）设直线与对称轴的交点为点，求出直线的解析式，可得点，再由抛物线的对称性可得，此时的值最小，即可求解． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点，两点，对称轴为直线， ∴，解得：， ∴抛物线的解析式为：． （2）解：∵二次函数的图象与轴交于、两点，，对称轴为直线， ∴， ∴当时，， ∴当时，x的取值范围为． （3）解：设直线与对称轴的交点为点， 设直线的解析式为：， ∴，解得：， ∴直线的解析式为：； ∴点， ∵直线垂直平分， ∴，， ∴，， 当点与点重合时，，此时有最小值， ∴，此时的值最小， ∵，是定值， ∴当点时，有最小值． 24．大学毕业生小李自主创业，开了一家小商品超市．已知超市中某商品的进价为每件20元，售价为每件30元，每个月可卖出180件；如果每件商品的售价每上涨1元，则每个月就会少卖出10件，但每件售价必须低于34元，设每件商品的售价上涨元（为非负整数），每个月的销售利润为元． (1)求与的函数关系式，并直接写出自变量的取值范围； (2)利用函数关系式求出每件商品的售价为多少元时，每个月可获得最大利润？最大利润是多少？ (3)利用函数关系式求出每件商品的售价为多少元时，每个月的利润恰好是1920元？ 【答案】(1)；自变量的取值范围为，且x为整数 (2)每件商品售价为33元时，每个月可获得最大利润，最大利润为1950元 (3)每件商品售价为32元时，每个月可获得的利润恰好为1920元 【分析】本题是函数应用问题，考查了求函数关系式，二次函数的最值，解一元二次方程等知识，根据题意列出函数关系式是解题的关键． （1）根据：每件商品的利润销售量销售利润，列出函数关系式即可； （2）根据二次函数的性质即可求解； （3）根据利润为1920元及所列的函数式，得到关于x的一元二次方程，解此方程即可．注意根据自变量的取值范围舍去不合题意的解． 【详解】（1）解：由题意得：， 整理得：， 其中自变量取值范围为，且x为整数； 答：与的函数关系式为，自变量的取值范围为，且x为整数； （2）解：， ∵， ∴当时，y随x的增大而增大， ∵当，且x为整数时， ∴当时，最大值（元）， 此时售价为（元）； 答：每件商品售价为33元时，每个月可获得最大利润，最大利润为1950元； （3）解：由题意得：， 整理得：， 解得：； ∵，且x为整数， ∴， 此时售价为（元）； 答：每件商品售价为32元时，每个月可获得的利润恰好为1920元． 25．如图所示，已知以M为顶点的抛物线交x轴于A，B两点，交y轴于点C，直线的表达式为． (1)求抛物线的表达式． (2)连接，在x轴上方的抛物线上有一点D，若，求点D的坐标； (3)若点P为抛物线位于第一象限图象上一动点，过P作，求的最大值； (4)在x轴上是否存在一点N，使得以A，C，N为顶点的三角形与相似？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)； (3) (4)存在，或 【分析】（1）求出，，利用待定系数法即可求出抛物线的解析式； （2）设与y 轴交于点E，求出点A的坐标是，得到，证明，则，得到，求出直线的解析式为，联立直线和抛物线解析式即可求出答案； （3）作轴于点K，交于点F，设点P的坐标为，则点F的坐标为，则，证明是等腰直角三角形，得到，则，利用二次函数的性质即可得到答案； （4）求出．得到，．则，证明．则当N的坐标为时，．连接，过点C作，交x轴与点N．证明．得到．则，即，解．即可得到． 【详解】（1）把代入，得， ∴． 把代入得：， ∴， 将、代入得：， 解得． ∴抛物线的解析式为． （2）设与y 轴交于点E，如图， 当时，， 解得， ∴点A的坐标是， ∴ ∵，， ∴， ∴ ∴ 设直线的解析式为，把，代入得， 解得 ∴直线的解析式为， 联立得到，解得，， ∴点D的坐标是； （3）作轴于点K，交于点F，如图， 设点P的坐标为，则点F的坐标为， ∴， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵， ∴抛物线开口向下， ∴当时，有最大值，最大值为； （4）， ∴． 又∵、， ∴，． ∴， ∴． ∵， ∴．， ∴． 又∵， ∴． ∴当N的坐标为时，． 如图所示：连接，过点C作，交x轴与点N． ∵，， ∴． 又∵， ∴． ∴，即，解得：． ∴， ∴． 综上所述，当N的坐标为或时，以A，C，N为顶点的三角形与相似． 【点睛】此题考查了二次函数图象和性质、相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理、待定系数法求函数解析式、二次函数和一次函数的交点问题等知识，数形结合是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第二十六章 二次函数（单元重点综合测试） 班级___________ 姓名___________ 学号____________ 分数____________ 考试范围：全章的内容； 考试时间：120分钟； 总分：150分 一、单项选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。 1．下列函数关系中，y是x的二次函数的是（　　） A． B． C． D． 2．将抛物线向右平移3个单位，再向上平移4个单位得到（　　） A． B． C． D． 3．二次函数的最小值是（    ） A． B． C． D．1 4．一次函数的图象如图所示，则二次函数的图象大致是（    ）    A． B．  C． D．   5．已知在二次函数的图象上有三点，其坐标分别为，，，则，的大小关系正确的是（   ） A． B． C． D． 6．已知二次函数的图象上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如下表： x … 0 1 3 4 5 … y … … 关于它的图象，下列判断正确的是（    ） A．开口向上 B．对称轴是直线 C．一定经过点 D．在对称轴左侧部分自左至右是下降的 7．已知二次函数的变量，的部分对应值如表： x … 0 1 … y … 1 1 … 根据表中信息，可得一元二次方程的一个近似解的范围是（    ） A． B． C． D． 8．如图是根据某拱桥形状建立的直角坐标系，从中得到函数．在正常水位时水面宽，当水位上升时，水面宽（    ） A． B． C． D． 9．如图，抛物线与轴交于，其对称轴为直线，结合图象分析下列结论：①；②若为任意实数，则；③；④；⑤若，且，则，其中正确的个数为（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 10．定义：若x，y满足且，，且（t为常数），则称点为“和谐点”，若有一个函数满足，其上存在“和谐点”，则k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、填空题：本题共8小题，每小题4分，共32分． 11．关于的函数是二次函数，则的值是 ． 12．抛物线与轴的交点坐标为 ． 13．与抛物线顶点相同，形状也相同，而开口方向相反的抛物线的解析式是 ． 14．已知二次函数的图象上有两点和，则当时，二次函数的值是 ． 15．二次函数，当时y的最大值是 ． 16．如图，正方形的边长为6，与x轴负半轴的夹角为，点B在抛物线（）的图象上，则a的值为 ． 17．如图，在中，，．设直线截这个三角形所得的涂色部分的面积为，则与之间的函数解析式为 ． 18．函数，其中m是常数且，该函数的图象记为G． (1) 当时，图象G与x轴的交点坐标为 ． (2)若直线与该函数图象G恰好只有两个交点，则m的取值为 ． 三、解答题：本题共7小题，共78分． 19．已知抛物线经过点． (1)求此抛物线的函数表达式； (2)判断点是否在此抛物线上． 20．已知二次函数的解析式，补充下表，并根据表中的数据在如图所示的平面直角坐标系中，利用描点法画出这个二次函数的示意图． x … －3 －2 －1 0 1 … … 0 ___ ___ ___ 0 …    21．已知二次函数． (1)若二次函数的图象与轴交于点，求的值； (2)若当时，的最小值为，求的值． 22．某校初三年级的一场篮球比赛中，如图队员甲正在投篮，已知球出手时离地面高，当球出手后水平距离为时到达最大高度，设篮球运行的轨迹为抛物线，建立如图的平面直角坐标系． (1)求出抛物线的解析式； (2)若队员与篮圈中心的水平距离为，篮圈距地面，问此球能否准确投中？ 23．如图，已知抛物线经过点，两点，且与轴的另一个交点为，对称轴为直线． (1)求抛物线的表达式； (2)时，求的的取值范围； (3)已知点是抛物线对称轴上一点，当的周长最小时，求点的坐标． 24．大学毕业生小李自主创业，开了一家小商品超市．已知超市中某商品的进价为每件20元，售价为每件30元，每个月可卖出180件；如果每件商品的售价每上涨1元，则每个月就会少卖出10件，但每件售价必须低于34元，设每件商品的售价上涨元（为非负整数），每个月的销售利润为元． (1)求与的函数关系式，并直接写出自变量的取值范围； (2)利用函数关系式求出每件商品的售价为多少元时，每个月可获得最大利润？最大利润是多少？ (3)利用函数关系式求出每件商品的售价为多少元时，每个月的利润恰好是1920元？ 25．如图所示，已知以M为顶点的抛物线交x轴于A，B两点，交y轴于点C，直线的表达式为． (1)求抛物线的表达式． (2)连接，在x轴上方的抛物线上有一点D，若，求点D的坐标； (3)若点P为抛物线位于第一象限图象上一动点，过P作，求的最大值； (4)在x轴上是否存在一点N，使得以A，C，N为顶点的三角形与相似？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$