第二十六章 二次函数（二十四种题型压轴专练）-2024-2025学年九年级数学下册单元速记·巧练（华东师大版）

第二十六章 二次函数 压轴专练 题型一、二次函数中的将军饮马 1．如图，抛物线交轴于，两交轴于点，点为线段上的动点． (1)求抛物线的解析式； (2)求的最小值； (3)过点作交抛物线的第四象限部分于点，连接，，记与的面积分别为，，设，当最大时，求点的坐标，并求的最大值． 2．如图，二次函数的图像与轴交于两点，与轴交于点，其中．    (1)求这个二次函数的解析式； (2)在抛物线上有一点，使得，求点的坐标； (3)在抛物线的对称轴上，是否存在点，使的周长最小？若存在，求出点的坐标及的周长的最小值，若不存在，请说明理由． 3．如图，二次函数的图像交轴于、两点，交轴于点，连接． (1)直接写出点、的坐标， ； ． (2)是抛物线对称轴上的一点，连接、．求的最小值． (3)点是下方抛物线上的一点， 连接、．当的面积最大时，求点坐标． 题型二、二次函数中的铅锤高 1．综合与探究 如图1，抛物线的图象是一条抛物线，图象与x轴交于点A和点，与y轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图2，连接，点P为直线下方抛物线上的点，过点P作轴交于点M，求的最大值及此时点P的坐标； (3)如图3，将抛物线先向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度得到新的抛物线，在的对称轴上有一点D，坐标平面内有一点E，使得以点B，C，D，E为顶点的四边形是矩形，请直接写出所有满足条件的点E的坐标． 2．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点和点C，与y轴交于点，点P是抛物线上一动点． (1)求抛物线的解析式； (2)动点在抛物线上，且在直线上方，求面积的最大值及此时点的坐标； (3)在（2）的条件下，点为抛物线顶点，Q为抛物线的对称轴上任意一点，若是等腰三角形，求出所有符合条件的点的坐标． 3．如图，已知抛物线与一直线相交于两点，抛物线的顶点为D． (1)求抛物线的解析式； (2)若P是抛物线上位于直线上方的一个动点，设点P的横坐标为t，过点P作y轴的平行线交于点M，当t为何值时，线段的长最大，并求其最大值，和此时点P的坐标； (3)若抛物线的对称轴与直线相交于点B，E为直线上的任意一点，过点E作交抛物线于点F，以B，D，E，F为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，请求出点E的坐标；若不能，请说明理由． 题型三、二次函数中的全等三角形 1．如图①，二次函数的图象交x轴于A、B两点（点A在点B的左侧），交y轴于C点，连接，过点C作交于点D． (1)求点D的坐标； (2)如图②，在直线上取一点M（不与点B重合），在直线的右上方是否存在这样的点N，使得以C、M、N为顶点的三角形与全等？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 2．如图，在平面直角坐标系中，已知直线与x轴交于点A，与y轴交于点C，过A，C两点的抛物线与x轴交于另一点，抛物线对称轴为直线l． (1)求抛物线的解析式； (2)点M为直线下方抛物线上一点，当的面积最大时，求点M的坐标； (3)点P是抛物线上一点，过点P作l的垂线，垂足为D，E是l上一点． 要使得以P，D，E为顶点的三角形与全等，请直接写出点P的坐标． 3．如图，抛物线L：经过点和，与两坐标轴的交点分别为A，B，C，它的对称轴为直线l． (1)求该抛物线的表达式； (2)点F在对称轴l上，点P在抛物线上，过点P作对称轴l的垂线，垂足为E，若使以P、E、F为顶点的三角形与全等，则点P的坐标为 　 ； (3)点Q是y轴上的一点，在抛物线L上，是否存在点P，使得以点A，B，P，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，说明理由． 题型四、二次函数中的等腰三角形 1．如图，已知二次函数的图象经过点，，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)点为抛物线的顶点，求的面积； (3)抛物线上是否存在点，使是以为底的等腰三角形，若存在求出点坐标，若不存在说明理由． 2．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于A、两点（A在的左侧），与轴交于点，其中，. (1)求该抛物线的解析式； (2)若点，是线段上的两点（在的右侧），，过点作轴，交直线下方抛物线于点，交轴于点，过点作轴于点，连接、.则此时的长为______，当点的坐标为______时，的面积最大，最大值为______； (3)轴上是否存在点，使以点A、点、点为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由. 3．在平面直角坐标系中，规定：抛物线的“伴随直线”为． 例如：抛物线的“伴随直线”为，即． (1)在上面规定下，抛物线的顶点坐标为__________，“伴随直线”为__________． (2)如图，顶点在第一象限的抛物线与其“伴随直线”相交于点，（点在点的左侧），与轴交于点，．若为等腰三角形时，求的值． 题型五、二次函数中的等边三角形 1．二次函数图象的顶点在原点O，经过点A；点F在y轴上，直线与y轴交于点H． (1)求二次函数的解析式； (2)点P是抛物线上的点，过点P作x轴的垂线与直线交于点M，求证：； (3)当是等边三角形时，求P点的坐标． 2．在平面直角坐标系中，已知抛物线． (1)求抛物线的对称轴； (2)当时，设抛物线与轴交于A，B两点（点A在点B左侧），顶点为，若为等边三角形，求的值； (3)过（其中）且垂直轴的直线与抛物线交于M，N两点．若对于满足条件的任意值，线段的长都不小于1，结合函数图象，直接写出的取值范围． 3．如图，已知抛物线：与轴交于点，，（在的左侧），与轴交于点，对称轴是直线，是第一象限内抛物线上的任一点． (1)求抛物线的解析式； (2)有可能是等边三角形吗？若是，请求点P的坐标，若不是，请说明理由； (3)过点作轴的垂线与线段交于点，垂足为点，若以，，为顶点的三角形与相似，求点的坐标． 题型六、二次函数中的直角三角形 1．如图，已知抛物线与x轴交于、两点，与y轴交于C点． (1)求该抛物线的函数表达式． (2)如图1，当点P的坐标为时，求的面积． (3)如图2，在抛物线的对称轴上是否存在点F，使是直角三角形？若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由． (4)如图3，当点P在直线下方的抛物线上，连接交于点N，当最大时，求点P的坐标及的最大值． 2．如图，一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，二次函数的图象与一次函数的图象交于、两点，与轴交于、两点，且点坐标为． (1)求二次函数的解析式； (2)求四边形的面积； (3)在轴上是否存在点，使得是直角三角形？若存在，请直接写出所有满足条件的点的坐标，若不存在，请说明理由． 3．如图，抛物线经过，与y轴交于点C，过点C作轴，交抛物线于点B，连接交y轴于点D，且． (1)求该抛物线的解析式； (2)若点Q是抛物线上一点，其横坐标是m，当点Q到直线的距离是7时，求m的值； (3)点P为抛物线对称轴上一点，连接，若是以为直角边的直角三角形，求点P的坐标． 题型七、二次函数中的等腰直角三角形 1．如图，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C． (1)求抛物线的解析式； (2)点D是抛物线的顶点，求出四边形的面积； (3)点E是抛物线上一动点，设点E的横坐标为，点F为抛物线对称轴l上一点．若是等腰直角三角形且，请直接写出此时点E的坐标． 2．如图，抛物线与轴交于，两点（点在点的左侧），点的坐标为，与轴交于点，作直线．动点在轴上运动，过点作轴，交抛物线于点，交直线于点，设点的横坐标为． (1)求抛物线的解析式和直线的解析式； (2)当点在线段上运动时，若是以为腰的等腰直角三角形时，求的值； (3)当以，，，为顶点的四边形是平行四边形时，求的值． 3．如图1，直线与x轴、y轴分别交于B、C两点，经过B、C两点的抛物线与x轴的另一交点坐标为A． (1)求B、C两点的坐标及该抛物线所对应的函数关系式； (2)P在线段上的一个动点（与B、C不重合），过点P作直线轴，交抛物线于点E，交x轴于点F，设点P的横坐标为m，的面积为S． 求S与m之间的函数关系式，并写出自变量m的取值范围； 有人认为：当直线a与抛物线的对称轴重合时，S的值最大，你同意他的观点吗？请说明理由； ③过点P作直线轴（图2），交于点Q，那么在x轴上是否存在点R，使得为等腰直角三角形？若存在，请求出点R的坐标；若不存在，请说明理由． 题型八、二次函数中的相似三角形 1．如图，已知点，，经过B，C两点的抛物线与x轴的另一个交点为A，顶点为P． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)连接，，若点N在x轴上，要使以B，P，N为顶点的三角形与相似，求满足条件的点N的坐标． 2．如图，二次函数的图象与轴交于，两点，与轴交于点，已知，． (1)求该二次函数的表达式； (2)连接，为第一象限内抛物线上一点，过点作轴，垂足为，连接，若与相似，请求出满足条件的点坐标；若没有满足条件的点，说明理由． 3．如图1，平面直角坐标系中，抛物线交轴于，两点，交y轴于点，点M是线段上一个动点，过点M作x轴的垂线，交直线于点F，交抛物线于点E． (1)求抛物线的解析式； (2)当面积最大时，求M点的坐标； (3)如图2，是否存在以点C、E、F为顶点的三角形与相似，若存在，求点M的坐标；若不存在，请说明理由． 题型九、二次函数中的平行四边形 1．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点． 与轴交于点． 且点的坐标为，点的坐标为． 点是直线上方抛物线上的一个动点，过作轴交于点． 连结、．    (1)该抛物线的表达式 ：直线的表达式为 ． (2)当四边形 是平行四边形时，求点的坐标． 2．综合与实践 如图，在半面直角坐标系中，为坐标原点，抛物线经过点，点，与轴交于点，过作轴的垂线交抛物线于点，过作轴的垂线交轴于点，连接，是第一象限抛物线上一个动点，设点的横坐标为． (1)求的值； (2)过点作交直线于点．求线段的最大值和此时点的坐标； (3)点在上（点不与点、点重合），连接，过点作于点，的平分线交于点． ①当直线经过的中点时，点也恰好在直线上，求此时点坐标． ②在①的情况下，平面内有一点，使得以为顶点的四边形是平行四边形，直接写出点的坐标． 3．如图，抛物线与x轴交于，两点，过点A的直线l交抛物线于点． (1)求抛物线的解析式以及点C的坐标； (2)点P是线段上一个动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于点E，设P点的横坐标为m，求线段的长与m的函数关系式，并求线段的最大值； (3)抛物线与y轴交于D，线段与y轴交于F，在（2）基础上，线段上是否存在点P，使得点P、E、D、F为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，请求出满足条件的点P的坐标，并说明理由；如果不存在，请说明理由． 题型十、二次函数中的菱形 1．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，与轴交于点，作直线，点是抛物线在第四象限上一个动点（点不与点重合），连结，，以，为边作，点的横坐标为． (1)求抛物线对应的函数表达式； (2)当有两个顶点在轴上时，则点的坐标为____________； (3)当是菱形时，求的值． (4)当为何值时，的面积有最大值？ 2．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点，点B的坐标为，点P是抛物线上一个动点，且在直线的上方．    (1)求该二次函数的解析式； (2)求点A的坐标； (3)连接，当点P运动到什么位置时，的面积最大？请求出点P的坐标和面积的最大值； (4)连接，并把沿翻折，得到四边形，那么是否存在点P，使四边形为菱形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 3．如图1，抛物线交x轴于点和点，交轴于点． (1)求抛物线的表达式； (2)若点是直线下方抛物线上动点，连接，，当的面积最大时，求点的坐标及面积的最大值； (3)在（2）的条件下，若点是直线上的动点，在平面内，是否存在点，使得以、、、分别为顶点的四边形是菱形？若存在，请求出符合条件的所有点的坐标，若不存在，请说明理由． 题型十一、二次函数中的矩形 1．如图，抛物线过点，，矩形的边在线段上（点在点的左侧），点，在抛物线上．设，当时，． (1)求抛物线的函数表达式； (2)当为何值时，矩形的周长有最大值，最大值是多少； (3)保持时的矩形不动，向右平移抛物线，当平移后的抛物线与矩形的边有两个交点，，且直线平分矩形的面积时，直接写出抛物线平移的距离． 2．如图1，已知抛物线与轴交于点两点，与轴交于点． (1)求的值及点的坐标； (2)如图2，点为直线下方抛物线上的两点，点的横坐标比点的横坐标大1，过点作轴，交于点，过点作轴交于点，求的最大值及此时点的坐标； (3)如图3，将抛物线先向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度得到新的抛物线，在抛物线的对称轴上有一点，坐标平面内有一点，使得以点为顶点的四边形是矩形，且为矩形的一边，求出此时所有满足条件的点的坐标． 3．如图，在平面直角坐标系中，抛物线交 x 轴于、两点，交 y 轴于点 C．一次函数与抛物线交于 A 、D 两点，交y 轴于点 E ． (1)求抛物线的解析式； (2)若点 P 是第四象限内抛物线上的一动点，过点 P 作 轴交 于点 M，求出 的最大值及相应的点 P 的坐标； (3)将抛物线沿着射线 AE 方向平移了个长度得到新的抛物线，新抛物线与原抛物线 交于 R 点，点 H 是原抛物线对称轴上一动点，在平面内是否存在 N 点，使得以点 A、 R、H、N 为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点 N 的坐标；若不存在，请说明理由． 题型十二、二次函数中的正方形 1．如图，抛物线的对称轴l与x轴交于点A，与y轴交于点B． (1)求点A、B的坐标； (2)C为该抛物线上的一个动点，点D为点C关于直线l的对称点（点D在点C的左侧），点M在坐标平面内，请问是否存在这样的点C，使得四边形是正方形？若存在，请求出点C的坐标；若不存在，请说明理由． 2．综合与探究 如图1，二次函数的图象与x轴交于点A，B（点A在点B左侧），与y轴交于点．点P是y轴左侧抛物线上的一个动点，设点P的横坐标为m，过点P作x轴的平行线交y轴于点D，交抛物线于另一点E． (1)求点A，B，C的坐标． (2)如图2，当点P在第二象限时，连接，交直线于点F．当时，求m的值． (3)当点P在第三象限时，以为边作正方形，当点C在正方形的边上时，直接写出点D的坐标． 3．在平面直角坐标系xOy中，正方形OABC的边长为n（n为正整数），点A在x轴正半轴上，点C在y轴正半轴上．若点在正方形OABC的边上，且x，y均为整数，定义点M为正方形OABC的“LS点”．若某函数的图象与正方形OABC只有两个交点，且交点均是正方形OABC的“LS点”，定义该函数为正方形OABC的“LS函数”． 例如：如图1，当时，某函数的图象经过点和，则该函数是正方形OABC的“LS函数”． (1)当时，若一次函数是正方形OABC的“LS函数”，则一次函数的表达式是______（写出一个即可）； (2)如图2，当时，函数的图象经过点，与边AB相交于点E，判断该函数是否是正方形OABC的“LS函数”，并说明理由； (3)当时，二次函数的图象经过点B，若该函数是正方形OABC的“LS函数”，求a的取值范围； (4)在（3）的条件下，点是二次函数图象上两点，若点P，Q之间的图象（包括点P，Q）的最高点与最低点纵坐标的差为，求a的值． 题型十三、二次函数中的取值范围 1．抛物线与轴交于两点，与轴交于点．已知点． (1)求的坐标； (2)若对任意的实数，且当取其范围中的最小值时，代数式的值都不大于． 求出抛物线的解析式； 点是抛物线上的任意一点（不与点重合），过点做轴于点，在轴上，以，为邻边作矩形，当在矩形内的抛物线所对应的函数值随增大而减小时，直接写出的取值范围． 2．阅读材料：如图，函数的图像是一条抛物线，当时，；当时，．由此可知，抛物线与x轴的一个交点的横坐标在0与1之间．即方程的一个根所在的范围是． 根据上述材料解决下面的问题： 已知抛物线（a、c是常数，）． (1)①写出抛物线的对称轴________； ②若抛物线过点和，求抛物线的解析式； (2)当时，若关于x的方程在的范围内有解，求c的取值范围． 3．如图，边长为1的正方形中，轴，轴（在的右侧、在的下方），点在二次函数（为常数，且）的图像上． (1)若点的坐标为 ①求二次函数图像顶点坐标； ②判断二次函数图像与边是否相交，并说明理由； (2)若点的横坐标为，且二次函数的图像与边相交，求的范围； (3)在（2）的条件下，若二次函数在正方形内（包括边界）的部分函数最小值为，求的范围． 题型十四、二次函数中的不等式证明 1．设一次函数的图象与x轴交于点A，二次函数，B两个不同的点，设函数． (1)设点 在函数y的图象上，若，求证 (2)若函数，y的图象在x轴上截得的线段长分别为，，求，的数量关系式． (3)若函数的图象分别与函数的图象、函数y的图象交于点，，且点E，F不同于点A，求的值． 2．已知二次函数（是常数，）的图像经过点． (1)若抛物线的顶点为，求函数的表达式． (2)在（1）的条件下，若函数图像过点，，求证：． (3)若函数图像经过点，，其中，且关于的方程有两个相等的实数根，求的取值范围． 3．在平面直角坐标系中，设二次函数（m是常数）． (1)若函数图象经过点，求函数图象的顶点坐标． (2)若函数图象经过点，，求证：． (3)已知函数图象经过点，，．若对于任意的，都有成立，求m的取值范围． 题型十五、二次函数中的平移 1．如图，抛物线经过原点，与轴正半轴交于点． (1)求抛物线的函数解析式； (2)嘉淇利用软件将抛物线复制后，向下平移5个单位长度得到抛物线，抛物线与轴正半轴交于点，求的长； (3)嘉淇利用软件将抛物线复制后，经过平移得到抛物线，若的函数解析式为，求抛物线移动到抛物线的最短路程． 2．如图，已知抛物线交x轴于点，，交y轴于点C． (1)求抛物线的解析式： (2)若D为直线上方的抛物线上的一点，且的面积为3，求点D的坐标； (3)将抛物线向右平移个单位长度，设平移后的抛物线中y随x增大而增大的部分记为图象G， 若图象G与直线只有一个交点，求m的取值范围． 3．小明在研究某二次函数时，函数值y与自变量x的部分对应值如表： x … 2 3 5 … y … 1 0 … (1)求该二次函数的表达式； (2)当时，该二次函数的最大值与最小值的差为，求p的值； (3)已知点C是该二次函数图象与y轴的交点，把点C向下平移个单位得到点M．若点M向左平移个单位，将与该二次函数图象上的点P重合；若点M向右平移5n个单位，将与该二次函数图象上的点Q重合，求m，n的值． 题型十六、二次函数中的翻折 1．综合运用 如图，在平面直角坐标系中，抛物线交x轴于A，B两点(点A在点B的左边)，交y轴于点C． (1)直接写出A，B，C三点的坐标． (2)作直线，分别交x轴、线段、抛物线于D，E，F三点，连接．若与相似，求t的值． (3)如图2，过点C作轴，交抛物线于点G，将抛物线在点G右下方的图象沿直线向上翻折，抛物线的其余部分保持不变，得到一个新的图象，当直线与新的图象只有2个公共点时，请求出n的值． 2．顶点为的抛物线交轴于、，交轴于点，直线经过点，交轴于． (1)求出抛物线的解析式； (2)如图1，点为线段上不与、重合的一个动点，过点作轴的垂线，垂足为，设点的横坐标为，四边形的面积为，求与之间的函数关系式，并求的最大值； (3)点为轴的正半轴上一个动点，过作轴的垂线，交直线于，交抛物线于，连接，将沿翻折，若点的对应点恰好落在轴上时，请直接写出点的坐标． 3．已知抛物线：．    (1)下列有关抛物线的结论正确的有 　 　（填序号）． ①开口向下； ②对称轴在y轴的左侧； ③与y轴的交点坐标为； ④函数值y有最小值； (2)当时，抛物线的顶点坐标为 　 　，将抛物线沿直线 翻折得到抛物线，则抛物线的表达式为 　 　； (3)如图，设抛物线与y轴相交于点C，将抛物线沿直线翻折，得到抛物线，抛物线，的交点为A，抛物线的顶点为P．是否存在实数m，使得∠PCA＝90°？若存在，请求出m的值；若不存在，请说明理由． 题型十七、二次函数中的旋转 1．阅读以下材料，并解决相应问题： 小明在课外学习时遇到这样一个问题： 定义：如果二次函数（，，，是常数）与（，，，是常数）满足，，，则这两个函数互为“旋转函数”．求函数的旋转函数．小明是这样思考的，由函数可知，，，，根据，，，求出，，就能确定这个函数的旋转函数． 请思考小明的方法解决下面问题： (1)写出函数的旋转函数． (2)若函数与互为旋转函数，求的值． (3)已知函数的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点A、B、C关于原点的对称点分别是，试求证：经过点的二次函数与互为“旋转函数”． 2．如图，抛物线与x轴分别交于点A、B，它们的坐标分别为、，与y轴交于点C；直线的表达式为；点P在抛物线的对称轴上，连接，将绕点P按顺时针方向旋转一定角度得到． (1)求抛物线与直线的表达式； (2)如图1，若点Q恰好落在该抛物线位于第四象限的图象上，连接交于点E，是否存在最大值？若存在，请求出该数值；若不存在，请说明理由； (3)如图2，在点P运动的过程中，若绕点P按顺时针方向旋转得到，当有两个顶点落在该抛物线的图象上时，请直接写出点Q的坐标． 3．如图，抛物线（、为常数）与轴交于、两点，与轴交于点，直线的函数关系式为．    (1)求该抛物线的函数关系式与点坐标； (2)已知点是线段上的一个动点，过点作轴的垂线分别与直线和抛物线交于、两点，当为何值时，恰好是以为底边的等腰三角形？ (3)在（2）问条件下，当恰好是以为底边的等腰三角形时，动点相应位置记为点，将绕原点顺时针旋转得到（旋转角在到之间）； ①探究：线段上是否存在定点（不与、重合），无论如何旋转，始终保持不变，若存在，试求出点坐标；若不存在，请说明理由； ②试求出此旋转过程中，的最小值． 题型十八、二次函数中的新定义 1．定义：在平面直角坐标系中，抛物线与轴的交点坐标为，我们就把直线称为这条抛物线的极限分割线． (1)抛物线的极限分割线与这条抛物线的交点坐标为 ； (2)经过点和的抛物线与轴交于点，它的极限分割线与该抛物线的另一个交点为，请用含的代数式表示点的坐标； (3)在（）的条件下，设抛物线的顶点为，直线垂直平分，垂足为，交该抛物线的对称轴于点．连接，若，求点的坐标． 2．定义：函数图象上的点的纵坐标与横坐标的差叫做点的“双减差”，图象上所有点的“双减差”中最小值称为函数图象的“幸福值”如：抛物线上有点，则点的“双减差”为12；而抛物线上所有点的“双减差”，即该抛物线的“幸福值”为．根据定义，解答下列问题： (1)已知函数图象上点的横坐标，求点的“双减差”的值； (2)若直线的“幸福值”为，求的值； (3)设抛物线顶点的横坐标为，且该抛物线的顶点在直线上，当时，抛物线的“幸福值”是5，求该抛物线的解析式． 3．定义；若当点在某一函数图象上时，点也在该函数图象上，则称该函数为“知返函数”，点称为“知返点”． (1)已知一次函数为“知返函数”，求该一次函数的解析式； (2)若反比例函数（为整数）的函数图象上存在“知返点”，求的最大值； (3)函数的图象是由二次函数的图象x轴下方的部分沿x轴翻折到x轴上方，图象的其余部分保持不变得到的．若函数的图象与“知返函数”的图象有四个交点，求m的取值范围． 题型十九、二次函数中的三角函数 1．【基础应用】 (1)如图1，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，点在第一象限，且轴，求点的坐标； 【变式应用一】 (2)如图2，在平面直角坐标系中，点在函数的图象上，点在第二象限，连接，点恰好在反比例函数的图象上，则的值为 ； 【变式应用二】 (3)如图3，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于点和点，点在点的右侧，点在轴的正半轴上，连接，在第一象限作矩形，点在二次函数的图象的对称轴上，连接，若，求点的坐标． 2．如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，抛物线交轴于两点（在左侧），交轴于点，直线的解析式为，且． (1)如图1，求抛物线的解析式； (2)如图2，点是第一象限抛物线上的一点，过点作轴交于点，连接，设点的横坐标为，的面积为，求与的函数关系式（不要求写出自变量取值范围）； (3)如图3，在（2）的条件下，连接交轴于点、交于点，连接，过作交于点，连接，，点在第四象限的抛物线上，连接交于点，若，求点的坐标． 3．已知抛物线关于y轴对称，且过点和点．    (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，连接抛物线上两点，N，若，求点N的坐标； (3)如图2，过点作与y轴不垂直的直线交抛物线于点A和点B，线段的垂直平分线交y轴于点M，交于P，试探究是否为定值？若是，求出定值；若不是，请说明理由． 题型二十、二次函数中的等角 1．如图，抛物线与轴交于点、两点，与轴交点，连接，顶点为． (1)求抛物线的解析式及顶点的坐标； (2)已知点是抛物线上的一点，连接，若，求点的坐标． (3)如图2，若是直线上方抛物线上一动点，连接交于点，当的值最大时，求点的坐标． 2．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线交轴于点，交轴于点，其中，，抛物线的对称轴是直线， (1)求抛物线的表达式； (2)平分交轴于，点是直线上方抛物线上的一动点，过点作交直线于点，交直线于点，点是线段上一动点，连接，当线段取最大值时，求的最小值； (3)如图2，连接，将该抛物线沿射线方向平移，使得新抛物线经过点，且与直线相交于另一点，点为新抛物线上的一个动点当时，直接写出所有符合条件的点的坐标． 3．如图，抛物线与x轴交于点，与y轴交于点B，点C在直线上，过点C作轴于点，将沿所在直线翻折，使点A恰好落在抛物线上的点E处． (1)求抛物线的函数表达式； (2)抛物线上是否存在一点P，使？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由； (3)已知点M在抛物线上，点N在直线上，若存在以A、B、M、N为顶点的平行四边形，请直接写出点M的坐标． 题型二十一、二次函数中的倍角 1．如图1，抛物线经过，两点，与轴交于点，为第四象限内抛物线上一点．    (1)求抛物线的函数表达式； (2)设四边形的面积为S，求S的最大值； (3)如图2，过点作轴于点，连接，，与轴交于点．当时，求直线的函数表达式及点的坐标． 2．如图1，抛物线经过两点，与轴交于点为第四象限内抛物线上一点，过点作轴于点，连接与轴交于点． (1)求抛物线的函数表达式； (2)设的面积为，求的最大值； (3)当时，求直线的函数表达式及点的坐标． 3．如图，已知抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，并且经过，两点． (1)求抛物线的解析式； (2)点D为直线下方抛物线上的一动点，直线交线段于点E，请求出的最大值； (3)探究：在抛物线上是否存在点M，使得？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由． 题型二十二、二次函数中的定值 1．如图1，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，已知，对称轴为直线 (1)求抛物线的解析式； (2)点P在抛物线上，点Q在x轴上，以B，C，P，Q为顶点的四边形为平行四边形，求点P的坐标； (3)如图2，抛物线顶点为D，对称轴与x轴交于点E，过点的直线（不与直线重合）与抛物线交于G，H两点，直线分别交x轴于点M，N，画出图形，试探究是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由． 2．如图，已知拋物线与x轴交于点，B，与y轴交于点，P点是抛物线上一动点． (1)求抛物线的函数解析式； (2)如图1，P点是直线上方抛物线上一点，当点P到直线的距离为最大时，求此时P点坐标； (3)如图2，点K是抛物线对称轴直线上一动点，点M，N在直线左侧的抛物线上，点N在M的左侧，若为等腰直角三角形，，设点M，N的横坐标分别为m，n，探究的值是否为定值，若是，求的值；若不是，请说明理由； (4)点P是y轴左侧抛物线上一点（不与点A重合），过点P作轴，垂足为点D，直线与直线交于点E，当点E关于直线的对称点落在y轴上时，求点P的坐标． 3．已知抛物线与x轴交于点和点，与y轴负半轴交于点A． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)如图，若直线下方的抛物线上有一动点P，过点P作y轴平行线交于点F，过点P作的垂线，垂足为E，求周长的最大值； (3)将抛物线向左平移1个单位，再向上平移4个单位，得到一个新的抛物线，问在y轴正半轴上是否存在一点M，使得当经过点M的任意一条直线与新抛物线交于S，T两点时，总有为定值？若存在，直接写出出点M坐标及定值，若不存在，说明理由． 题型二十三、二次函数中的比值 1．在平面直角坐标系中，抛物线经过，两点，与轴交于点，点是抛物线上一动点，且在直线的上方． (1)求抛物线的表达式． (2)如图1，过点作轴，交直线于点，若，求点的坐标． (3)如图2，连接，与交于点，过点作交于点．记、、的面积分别为．求的最大值． 2．已知，抛物线与x轴交于两点，与y轴交于点C，且对称轴为直线． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，在第二象限的抛物线上作点D，连接交直线于点E，若与相似，求点D的横坐标； (3)如图2，经过点的直线交抛物线于两点（M在第三象限，N在第一象限），直线交线段于点Q（不与重合），若的值与k无关，求的值． 3．抛物线交轴于是第一象限抛物线上一点，直线交轴于点． (1)求抛物线的函数表达式； (2)如图（1），当时，在抛物线上存在点（异于点），使和面积相等，如果存在，求出所有满足条件的点的横坐标；如果不存在，说明理由； (3)如图（2），直线交抛物线于另一点，连接交轴于点，点的横坐标为．求的值（用含的式子表示）． 题型二十四、二次函数中的交点 1．我们约定：抛物线与轴的两个交点以及顶点构成的三角形称为“顶点三角形”，若顶点三角形为等边三角形，则称该抛物线为“正抛物线”（如图3），若顶点三角形为等腰直角三角形，则称该抛物线为“正直抛物线”（如图2）． (1)如图1，已知，是线段的中点，，，求证：以为顶点且过点、的抛物线是“正抛物线”； (2)若点与点在“正直抛物线”上，求该“正直抛物线”的解析式； (3)已知：与“正抛物线”关于原点中心对称的抛物线为，将抛物线图象中在直线上方的图象沿直线向下翻折，当直线与翻折后的图象有个交点时，求的取值范围． 2．在平面直角坐标系中，抛物线（c为常数）经过点，点A在抛物线上，且点A的横坐标为． (1)求抛物线的解析式，并直接写出顶点的坐标； (2)当时，过点A作轴，垂足为点M，过点A作y轴的垂线交抛物线于点N，若，求m的值； (3)点A关于x轴的对称点是点B，点C也在抛物线上，点C的横坐标是，当线段不与坐标轴平行时，以为对角线构造矩形，使矩形各边与坐标轴垂直． ①若抛物线在矩形内部的点的纵坐标y随x的增大而增大时，或者y随x的增大而减小时，求m的取值范围； ②当抛物线与矩形的边只有2个交点，且交点的纵坐标之差为1时，直接写出m的值． 3．如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线（b是常数）经过点．点A的坐标为，点B在该抛物线上，且横坐标为，其中． (1)求该抛物线对应的函数解析式； (2)当轴时，求点B的坐标； (3)以为对角线作矩形，使矩形的各边均与某条坐标轴平行．当抛物线在矩形内部的点的纵坐标y随着x的增大而增大时，且此抛物线在矩形内（包括抛物线与矩形各边的交点）的最高点与最低点的纵坐标的差为3时，求m的值； (4)当点B在点A的上方时，过点B作轴于点C，连接、．若四边形的边和抛物线有两个交点（不包括四边形的顶点），设这两个交点分别为点D、E．当以点C、E、O（或以点C、D、O）为顶点的三角形的面积是面积的时，直接写出所有满足条件的m的值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！21 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第二十六章 二次函数 压轴专练 题型一、二次函数中的将军饮马 1．如图，抛物线交轴于，两交轴于点，点为线段上的动点． (1)求抛物线的解析式； (2)求的最小值； (3)过点作交抛物线的第四象限部分于点，连接，，记与的面积分别为，，设，当最大时，求点的坐标，并求的最大值． 【答案】(1) (2)10 (3)最大值为，此时点的坐标为 【分析】（1）：将，分别代入，利用待定系数法求出二次函数解析式即可； （2）作点O关于直线的对称点坐标为．连接、．证明四边形是正方形．则点O关于直线的对称点坐标为．连接，由是的垂直平分线得到，则（当点位于直线与直线交点时取等号），即可得到的最小值为． （3）过点P作轴，交x轴于点M．连接．得到．设点，则，再利用二次函数的性质即可求解． 【详解】（1）解：将，分别代入，得方程组 ， 解得． ∴抛物线的解析式为． （2）当时，，即，则， 作点O关于直线的对称点坐标为．连接、． ∵，， ∴平分， ∴垂直平分． 又∵垂直平分，且， ∴四边形是正方形． ∴点O关于直线的对称点坐标为． 连接， ∵是的垂直平分线， ∴， ∴（当点位于直线与直线交点时取等号）， ∴的最小值为． （3）过点P作轴，交x轴于点M．连接．    ∵， ∴（同底等高）， ∴． 设点， 则， ， ． ∴， 即： ∴当时，有最大值，此时点的坐标为， 综上，最大值为，此时点的坐标为． 【点睛】此题是二次函数和几何综合题，考查了待定系数法、正方形的判定和性质、轴对称的性质、勾股定理等知识，数形结合和准确计算是解题的关键． 2．如图，二次函数的图像与轴交于两点，与轴交于点，其中．    (1)求这个二次函数的解析式； (2)在抛物线上有一点，使得，求点的坐标； (3)在抛物线的对称轴上，是否存在点，使的周长最小？若存在，求出点的坐标及的周长的最小值，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)或或 (3)点的坐标为；存在，最小值为 【分析】（1）用待定系数法求解即可； （2）先求出，进而求出，由得，设点到轴的距离为，利用三角形面积公式求出，代入解析式可求出点的坐标； （3）由点与点关于对称轴直线对称，可知的周长最小值为，求出直线的解析式为，可求出点Q的坐标，由勾股定理求出，，进而可求出的周长的最小值． 【详解】（1）解：二次函数的图象经过， 解得． 这个二次函数的解析式为； （2）解：令，则， 解得， ， ， ， ， ． 设点到轴的距离为，则， 解得． 当时，即， 解得． 当时，即， 解得． 满足条件的点的坐标为或或； （3）解：存在． ， ∴抛物线的对称轴为直线． 点与点关于对称轴直线对称， 连接与交于点，则点即为所求，    此时的周长最小，其最小值为， 设直线的解析式为， 由题意可得 解得 直线的解析式为， 当时，， ∴点的坐标为， ∴，， 此时的周长最小值为． 【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数和二次函数解析式，二次函数的图象与性质，二次函数与几何综合，轴对称最短路径问题，以及勾股定理等知识，灵活运用各知识点是解答本题的关键． 3．如图，二次函数的图像交轴于、两点，交轴于点，连接． (1)直接写出点、的坐标， ； ． (2)是抛物线对称轴上的一点，连接、．求的最小值． (3)点是下方抛物线上的一点， 连接、．当的面积最大时，求点坐标． 【答案】(1)， (2)的最小值为 (3)点坐标为 【分析】（1）在二次函数中，令，令，即刻求解； （2）根据题意可得：、关于抛物线的对称轴对称，且是抛物线对称轴上的一点，得到当点在直线上，即时，最小，最小值为，再根据勾股定理求出，即可求解； （3）如图，过点作，交轴于点，交于点，先求出直线的解析式为，设，则， 得到，再根据，得到关于的二次函数即可求解． 【详解】（1）解：令，则， 解得：或， ，， 令，则， ， 故答案为：，； （2）二次函数的对称轴为：， 根据题意可得：、关于对称轴对称，且是抛物线对称轴上的一点， 当点在直线上，即时，最小，最小值为， 由（1）知，，， ，， ， 的最小值为； （3）如图，过点作，交轴于点，交于点， 设直线的解析式为，将，代入得： ， 解得：， 直线的解析式为， 设，则， ， ， 即， 当时，的面积最大， 此时点坐标为． 【点睛】本题考查了二次函数的综合，涉及二次函数的图像与性质，一次函数的图像与性质，勾股定理，线段的最值问题等知识，解题的关键是灵活运用这些知识． 题型二、二次函数中的铅锤高 1．综合与探究 如图1，抛物线的图象是一条抛物线，图象与x轴交于点A和点，与y轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图2，连接，点P为直线下方抛物线上的点，过点P作轴交于点M，求的最大值及此时点P的坐标； (3)如图3，将抛物线先向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度得到新的抛物线，在的对称轴上有一点D，坐标平面内有一点E，使得以点B，C，D，E为顶点的四边形是矩形，请直接写出所有满足条件的点E的坐标． 【答案】(1) (2)， (3)存在点或或或 【分析】（1）把和代入求解即可． （2）先解得直线的解析式为，设，，得到的的值，当时，最大即可解答． （3）分情况讨论，当为矩形一边时，且点D在x轴的下方；当为矩形一边时，且点D在x轴的上方；当为矩形对角线时，分别求解即可． 【详解】（1）解：把和代入，得： ，解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）设直线的解析式为，把B，C点的坐标代入得： ，解得：， ∴直线的解析式为 点P为直线下方抛物线上的点， 设， ， ， 当时，， ； （3）由题意可得：， 的对称轴为. ∵，， ∴， 如图3.1：当为矩形一边时，且点D在x轴的下方，过D作轴于点F， ∵D在的对称轴上， ， ∵，， ∴， ，，即点， ∴点C向右平移2个单位、向下平移2个单位可得到点D，则点B向右平移2个单位、向下平移2个单位可得到点； 如图3.2：当为矩形一边时，且点D在x轴的上方，的对称轴为与x轴交于点F， ∵D在的对称轴上， ∴， ， ，即， ，即点， ∴点B向左平移1个单位、向上平移1个单位可得到点D，则点C向左平移1个单位、向上平移1个单位可得到点； 如图3.3：当为矩形对角线时，设，，的中点F的坐标为， 依意得：，解得， 又， ， 解得：， 联立， 解得：， ∴点E的坐标为或. 综上，存在点或或或， 使得以点B，C，D，E为顶点的四边形是矩形． 【点睛】本题是二次函数的综合应用题，主要考查了待定系数法求函数解析式，矩形的性质，利用平移的性质解决问题是解本题的关键． 2．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点和点C，与y轴交于点，点P是抛物线上一动点． (1)求抛物线的解析式； (2)动点在抛物线上，且在直线上方，求面积的最大值及此时点的坐标； (3)在（2）的条件下，点为抛物线顶点，Q为抛物线的对称轴上任意一点，若是等腰三角形，求出所有符合条件的点的坐标． 【答案】(1) (2)8； (3)，   ， ， 【分析】（1）把点A、B的坐标代入抛物线的解析式，求出a、c的值，即可得出结果； （2）设直线的解析式为，根据点，的坐标求出解析式，过点P作x轴的垂线交于点H，求出，根据，即可； （3）先求出，，，分三种情况：当时，当时，当时，分别求出结果即可． 【详解】（1）解：把点，点代入得： ， 解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）解：设直线的解析式为， ∵直线经过， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为， 过点作轴的垂线交于点，如图所示： 设， ∴， ∴， ∵面积， ∴， ∴当时，面积最大值为8， 此时． （3）解：抛物线整理得：， ∴顶点的坐标为，对称轴为直线， 设点Q的坐标为， ∴，，， 当时，则， 解得：，， ∴此时点Q的坐标为：，   ； 当时，则， 解得：， ∴点的坐标为：； 当时，， 解得：，， 当时，P、Q重合，不符合题意舍去， ∴此时点Q的坐标为； 综上所述，点的坐标为：，   ， ，． 【点睛】本题考查二次函数与几何的综合，解题的关键是掌握待定系数法求函数解析式，二次函数的图象和性质，等腰三角形的定义，熟练掌握二次函数的性质，是解题的关键． 3．如图，已知抛物线与一直线相交于两点，抛物线的顶点为D． (1)求抛物线的解析式； (2)若P是抛物线上位于直线上方的一个动点，设点P的横坐标为t，过点P作y轴的平行线交于点M，当t为何值时，线段的长最大，并求其最大值，和此时点P的坐标； (3)若抛物线的对称轴与直线相交于点B，E为直线上的任意一点，过点E作交抛物线于点F，以B，D，E，F为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，请求出点E的坐标；若不能，请说明理由． 【答案】(1) (2)当， 有最大值，且最大值为，点； (3)以B，D，E，F为顶点的四边形能为平行四边形，点E的坐标为或或，理由见解析 【分析】本题考查了二次函数的综合问题，涉及了待定系数法求解二次函数与一次函数的解析式、二次函数与线段及特殊四边形问题，掌握函数的性质是解题关键． （1）将代入即可求解； （2）求出直线的解析式，设点，则，根据即可求解； （3）由题意得，；若以B，D，E，F为顶点的四边形为平行四边形，则；设，则，根据即可求解； 【详解】（1）解：将代入得： ， 解得：， ∴； （2）解：设直线的解析式为：， 则， 解得：， ∴直线的解析式为：， 设点，则， ∴ ； ∵， ∴当，有最大值，且最大值为； 此时，即点； （3）解：∵， ∴，抛物线的对称轴为直线， ∵抛物线的对称轴与直线相交于点B， ∴， ∵， 若以B，D，E，F为顶点的四边形为平行四边形，则， 设，则， ∴， 解得：（舍）， ∴或或， ∴点E的坐标为或或． 题型三、二次函数中的全等三角形 1．如图①，二次函数的图象交x轴于A、B两点（点A在点B的左侧），交y轴于C点，连接，过点C作交于点D． (1)求点D的坐标； (2)如图②，在直线上取一点M（不与点B重合），在直线的右上方是否存在这样的点N，使得以C、M、N为顶点的三角形与全等？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)存在，满足要求的N点坐标有，，． 【分析】（1）根据二次函数图象的与坐标轴交点的计算方法，分别求出的坐标，根据题意，可证，可得，由此即可求解； （2）根据题意，运用勾股定理求出的值，可得是等腰三角形，结合图形，分类讨论：①如图所示，，可证，即可求解；②如图所示，，根据平行线，等腰三角形的性质即可求解；③如图所示，，运用勾股定理即可求解． 【详解】（1）解：令，则， ∴， ∴． 令，则， 解得，， ∴，， ∴，． ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴； （2）解：存在，理由如下， ∵，，， ∴，，则， ∴， ∴． ①如图所示，，交轴于， 则，，， ∴， ∴轴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； ②如图所示，， 则，， ∴， ∴； ③如图所示，， 则，，， ∴， 作轴于，则， ∴，， ∴， 作轴，于点，则，， ∴， ∴， ∵在中，， ∴，， ∴，， ∴． 综上所述，满足要求的N点坐标有，，． 【点睛】本题主要考查了二函数图象的性质，解一元二次方程，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的判定和性质，掌握以上知识的综合运用，图形结合分析，分类讨论思想是解题的关键． 2．如图，在平面直角坐标系中，已知直线与x轴交于点A，与y轴交于点C，过A，C两点的抛物线与x轴交于另一点，抛物线对称轴为直线l． (1)求抛物线的解析式； (2)点M为直线下方抛物线上一点，当的面积最大时，求点M的坐标； (3)点P是抛物线上一点，过点P作l的垂线，垂足为D，E是l上一点． 要使得以P，D，E为顶点的三角形与全等，请直接写出点P的坐标． 【答案】(1) (2) (3)点坐标为或或或 【分析】（1）先求出的坐标，进而利用待定系数法求出二次函数解析式即可； （2）过点作垂直于轴交于点，设，，则，由即可求解； （3）抛物线对称轴为直线．，，．设，则，分两种情况当，时，，此时，当，时，，此时，求解即可． 【详解】（1）解：把代入得； 把代入得． ，． 抛物线经过三点， ， 解得． 抛物线的解析式为； （2）过点作垂直于轴交于点，设，则， 则， ， 当时，最大，此时． 当坐标为时，取得最大值． （3）∵， ∴抛物线对称轴为直线． ∵过点P作l的垂线，垂足为D， ∴， ∵，， ∴，． 设，则 当，时，， 此时， 解得或． ∴点坐标为或, 当，时，， 此时， 解得或． ∴点坐标为或, 综上：或或或． 【点睛】本题考查了二次函数求解析式，二次函数的性质，三角形全等的性质，最值问题等，熟练掌握各知识点，能准确作出辅助线，并结合图形列出相应关系式是解题的关键． 3．如图，抛物线L：经过点和，与两坐标轴的交点分别为A，B，C，它的对称轴为直线l． (1)求该抛物线的表达式； (2)点F在对称轴l上，点P在抛物线上，过点P作对称轴l的垂线，垂足为E，若使以P、E、F为顶点的三角形与全等，则点P的坐标为 　 ； (3)点Q是y轴上的一点，在抛物线L上，是否存在点P，使得以点A，B，P，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)或 (3)存在，P的坐标为或或 【分析】本题考查用待定系数法确定二次函数解析式，全等三角形的判定，平行四边形的判定和性质，中点坐标公式．根据题意分情况讨论是解题的关键． （1）利用待定系数法即可确定抛物线的解析式； （2）根据全等三角形性质得出可得出，然后进行求解即可； （3）设，，根据平行四边形的对角线互相平分，再利用中点坐标公式建立方程组即可求解，可分三种情况进行讨论． 【详解】（1） 解：（1）将和代入得：， 解得， ∴抛物线的表达式为； （2）解：如图： 由得对称轴为直线，，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∵F在对称轴l上，点P在抛物线上，过点P作对称轴l的垂线，垂足为E， ∴， ∵以P、E、F为顶点的三角形与全等， ∴， ∴或， ∴或； （3）解：存在， 设，，而， ①以为对角线，则的中点即为的中点，如图： ∴， 解得， ∴， ②以为对角线， ∴， 解得， ∴， ③以为对角线， ∴， 解得， ∴， 综上所述，P的坐标为或或． 题型四、二次函数中的等腰三角形 1．如图，已知二次函数的图象经过点，，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)点为抛物线的顶点，求的面积； (3)抛物线上是否存在点，使是以为底的等腰三角形，若存在求出点坐标，若不存在说明理由． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）运用待定系数法将代入，即可求解； （2）先求出点C的坐标，再利用待定系数法求出直线的解析式，运用配方法将抛物线解析式化为顶点式即可求得顶点坐标，过点D作轴交直线于点E，求得，利用，即可求得答案； （3）由（2）得，，当以为底的等腰三角形，得出，则点在上，联立抛物线解析式解方程组即可求解． 【详解】（1）解：∵二次函数的图象经过点，， ∴， 解得：， ∴抛物线的解析式为：； （2）在中，令时，得：， ∴， 设直线的解析式为， ∵，， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为， ∵， ∴， 过点作轴交直线于点， ∴， ∴， ∴； （3）解：∵，， ∴， 则是等腰直角三角形， ∴当以为底的等腰三角形，则， ∴在的角平分线上，即上 联立得 解得：或 ∴或． 【点睛】本题考查了二次函数综合题，运用待定系数法求一次函数和二次函数解析式，配方法，三角形面积，等腰三角形的性质，熟练掌握二次函数图象和性质，利用待定系数法求函数解析式等相关知识是解题关键． 2．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于A、两点（A在的左侧），与轴交于点，其中，. (1)求该抛物线的解析式； (2)若点，是线段上的两点（在的右侧），，过点作轴，交直线下方抛物线于点，交轴于点，过点作轴于点，连接、.则此时的长为______，当点的坐标为______时，的面积最大，最大值为______； (3)轴上是否存在点，使以点A、点、点为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)该抛物线的解析式 (2)1，， (3)存在，、、、 【分析】（1）根据抛物线与轴交于点，得，则抛物线解析式为，根据抛物线与轴交于A、两点（A在的左侧），，则当时，，进行计算即可得； （2）由（1）知，，则对称轴为，根据进行计算得，则，设直线的解析式为，把代入中计算得，即可得直线的解析式为，根据，，得，设，根据轴得，过点E作轴，交于点H，则，根据得，即可得，则，设则，即， 即可得，当时，有最大值为，则点P的坐标为，把代入得，即可得点P的坐标为， （3）分情况讨论，①当时，设，根据轴得A与M关于y轴对称，根据得，即可得，②当时，即可得，根据点M在点A的左，右两边得点M的坐标为，，③当时，设，根据，得，进行计算得，即可得点M的坐标为． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于点，， ∴， ∴抛物线解析式为， ∵抛物线与轴交于A、两点（A在的左侧），， ∴当时，， ， ∴该抛物线的解析式； （2）解：由（1）知，， 则对称轴为， ∵， ， ∴， 设直线的解析式为， 把代入中，得， ， ∴直线的解析式为， ∵，，， ∴， 设， ∵轴， ∴， 如图所示，过点E作轴，交于点H，   ∴， ∵， ∴，   ∴， ∴， 设， ∴， ∴， ∴ 当时，有最大值为， ∴点P的坐标为， 把代入得，， ∴点P的坐标为， 故答案为：1，，； （3）存在，、、、 解：当时，设， ∵轴， ∴A与M关于y轴对称， ∵， ∴， ∴， 当时，， ∵点M在点A的左，右两边， ∴点M的坐标为，， 当时，设， ∵，， ∴， ， ， ∴点M的坐标为， 综上，轴上存在点，使以点A、点、点为顶点的三角形为等腰三角形，、、、． 【点睛】本题考查了二次函数与三角形，解题的关键是理解题意，掌握二次函数的图像与性质，勾股定理，三角函数，学会分类讨论． 3．在平面直角坐标系中，规定：抛物线的“伴随直线”为． 例如：抛物线的“伴随直线”为，即． (1)在上面规定下，抛物线的顶点坐标为__________，“伴随直线”为__________． (2)如图，顶点在第一象限的抛物线与其“伴随直线”相交于点，（点在点的左侧），与轴交于点，．若为等腰三角形时，求的值． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查二次函数的综合应用，熟练掌握二次函数的图象和性质，以及新定义，是解题的关键． （1）由抛物线的顶点式可求得其顶点坐标，由伴随直线的定义可求得伴随直线的解析式； （2）联立伴随直线和抛物线解析式可求得其交点A、B的坐标，还可求得抛物线与x轴的交点C、D的坐标，从而可求得，根据图形可知为等腰三角形时，只能是，从而可求得a的值； 【详解】（1）解：的顶点坐标为，“伴随直线”为； 故答案为：，； （2）解：的伴随直线为，即， 联立抛物线与伴随直线的解析式可得， 解得或， ，， 在中，令可解得或， ，， ，， 当为等腰三角形时，只存在一种可能为，如图所示， ，即，解得（抛物线开口向下，正值舍去） 若为等腰三角形时，a的值为． 题型五、二次函数中的等边三角形 1．二次函数图象的顶点在原点O，经过点A；点F在y轴上，直线与y轴交于点H． (1)求二次函数的解析式； (2)点P是抛物线上的点，过点P作x轴的垂线与直线交于点M，求证：； (3)当是等边三角形时，求P点的坐标． 【答案】(1)二次函数的解析式为； (2)见解析 (3)点P的坐标为或． 【分析】（1）根据题意可设函数的解析式为，将点A代入函数解析式，求出a的值，继而可求得二次函数的解析式； （2）利用勾股定理求出，表示出，可得； （3）首先可得，根据，可得关于x的方程，求出x的值即可得出答案． 【详解】（1）解：∵二次函数图象的顶点在原点O， ∴设二次函数的解析式为， 将点A代入得：， ∴二次函数的解析式为； （2）解：设P ， ∵F， ∴， ∵，且点M在直线上， ∴， ∴； （3）解：当是等边三角形时，， ∴， 在中，， ∵， ∴， 解得：， ∴， ∴满足条件的点P的坐标为或． 【点睛】本题考查了二次函数的综合问题，涉及了待定系数法求函数解析式、直角三角形的性质，解答本题的关键是熟练基本知识，数形结合，将所学知识融会贯通． 2．在平面直角坐标系中，已知抛物线． (1)求抛物线的对称轴； (2)当时，设抛物线与轴交于A，B两点（点A在点B左侧），顶点为，若为等边三角形，求的值； (3)过（其中）且垂直轴的直线与抛物线交于M，N两点．若对于满足条件的任意值，线段的长都不小于1，结合函数图象，直接写出的取值范围． 【答案】(1)直线 (2) (3)或 【分析】本题考查了二次函数的图像与性质，等边三角形的性质，勾股定理，掌握二次函数图象与性质是解题的关键． （1）化为顶点式，即可求得对称轴； （2）根据题意，画出图形，当时，，求得，则，由（1）可知，顶点C的坐标为．根据为等边三角形，得到，在中，由勾股定理得，则，继而可求解； （3）分两种情况考虑，根据对称性求得的横坐标，确定的值，即的纵坐标，分①当时，②当时画出图形，结合图象列出不等式，解不等式即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴抛物线的对称轴为直线； （2）解：依照题意，画出图形，如图1所示． 当时，，即， 解得：． ∴， 设对称轴交x轴于，则， ∵为等边三角形， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴， 由（1）知顶点为， ∴； （3）解：分两种情况考虑，如图2所示： ①当时，， ∴ ， 解得：； ②当时，， ∴， 解得： 综上，或． 3．如图，已知抛物线：与轴交于点，，（在的左侧），与轴交于点，对称轴是直线，是第一象限内抛物线上的任一点． (1)求抛物线的解析式； (2)有可能是等边三角形吗？若是，请求点P的坐标，若不是，请说明理由； (3)过点作轴的垂线与线段交于点，垂足为点，若以，，为顶点的三角形与相似，求点的坐标． 【答案】(1) (2)不可能是等边三角形，理由见解析 (3)点的坐标为或 【分析】（1）把点代入中，再由对称轴是直线列方程，两个方程组成方程组可解答； （2）当是等边三角形时，点在的垂直平分线上，所以取的中点，过点作轴交抛物线于点，连接，计算，可知不可能是等边三角形； （3）分两种情况：①当时，根据的长列方程可解答；②当，过点作轴于，证明，可得结论． 【详解】（1）解：由题意得：， 解得：， 抛物线的解析式为：； （2）解：不可能是等边三角形，理由如下： 取的中点，过点作轴交抛物线于点，连接， ，则， 令，则，， ， ， 不可能是等边三角形； （3）解：设点的坐标为，则，， 分两种情况： ①如图2，， ，， ， ， ，， ， ， 解得：，， ； ②如图3，，则， 过点作轴于， ， ， ， ， ， ， 解得：（舍，， ； 综上，点的坐标为或． 【点睛】本题是二次函数的综合题，涉及待定系数法，等边三角形的判定，相似三角形性质和判定，三角函数等知识，解题的关键是运用分类讨论的思想解决以，，为顶点的三角形与相似的情况． 题型六、二次函数中的直角三角形 1．如图，已知抛物线与x轴交于、两点，与y轴交于C点． (1)求该抛物线的函数表达式． (2)如图1，当点P的坐标为时，求的面积． (3)如图2，在抛物线的对称轴上是否存在点F，使是直角三角形？若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由． (4)如图3，当点P在直线下方的抛物线上，连接交于点N，当最大时，求点P的坐标及的最大值． 【答案】(1) (2)6 (3)存在，或或或 (4)的最大值为，． 【分析】（1）用待定系数法求函数的解析式即可； （2）先求直线的解析式为，过P点作轴交于点G，可得，即可求的面积； （3）设，分别求出，，，分三种情况讨论，再由勾股定理求t的值； （4）过点A作轴交直线于点M，过P点作轴交于点G，则，有，可得，设，则，分别求出，的长，则有，即可可求得答案． 【详解】（1）解：将点、代入， 得：， 解得：， ∴函数的解析式为． （2）当时，， ∴， 设直线的解析式为， 把代入， 得：， 解得：． 直线的解析式为， 过P点作轴交于点G，如下图： ∵， ∴， ∴． （3）存在点F，使是直角三角形，理由如下∶ ∵ ∴抛物线的对称轴为直线， 设， ∴，，， ①当时， ， 解得， ∴ 或； ②当时， ， 解得：， ∴； ③当时， ， 解得， ∴； 综上所述：或或或． （4）过点A作轴交直线于点M，过P点作轴交于点G，如图， 则， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 当时，的最大值为， 此时． 【点睛】本题主要考查二次函数的图象及性质，涉及待定系数法确定函数关系式、勾股定理、相似三角形的判定和性质、二次函数最值，解题的关键是熟悉二次函数的性质以及分类讨论思想． 2．如图，一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，二次函数的图象与一次函数的图象交于、两点，与轴交于、两点，且点坐标为． (1)求二次函数的解析式； (2)求四边形的面积； (3)在轴上是否存在点，使得是直角三角形？若存在，请直接写出所有满足条件的点的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)P的坐标为或或或 【分析】题目主要考查二次函数与一次函数综合问题，勾股定理解三角形，面积问题等，理解题意，进行分类讨论是解题关键． （1）根据题意得出，然后利用待定系数法确定函数解析式即可； （2）根据两个函数得出，结合图象得出求解即可； （3）设点，根据题意得出，然后分三种情况：当P为直角顶点时，当B为直角顶点时，当C为直角顶点时，分别求解即可． 【详解】（1）解：根据题意得，当时，， ∴， 将， 代入得 ，解得， 得解析式； （2）根据题意得：联立两个函数， 解得：或， ∴， ∴，， ∴四边形的面积为：； （3）设点， ∵， ∴， 当P为直角顶点时，， ∴， 解得：或， ∴或； 当B为直角顶点时，， ∴， 解得：， ∴； 当C为直角顶点时，， ∴， 解得：， ∴； 综上可得：P的坐标为或或或 ． 3．如图，抛物线经过，与y轴交于点C，过点C作轴，交抛物线于点B，连接交y轴于点D，且． (1)求该抛物线的解析式； (2)若点Q是抛物线上一点，其横坐标是m，当点Q到直线的距离是7时，求m的值； (3)点P为抛物线对称轴上一点，连接，若是以为直角边的直角三角形，求点P的坐标． 【答案】(1) (2)， (3)或 【分析】本题主要考查了二次函数、二次函数与直角三角形综合，点到直线的距离，解决问题的关键是熟练掌握二次函数性质、用待定系数法确定二次函数的解析式、运用勾股定理解直角三角形． （1）根据，，得到，，对，令，则，得到，则，根据轴，得得到，把，代入，求得，的值，即可求得到抛物线解析式； （2）由题意得，，则点Q到直线的距离为，故，解方程即可； （3）抛物线解析式并配方为，得到抛物线的对称轴是直线，设，写出，，，根据是以为直角边的直角三角形，分两种情况：当时，；当时，，分别列方程即可求解． 【详解】（1）解：∵，， ∴，， 在中，令，则， ∴，则， ∵轴， ∴； 把点，代入， 得：，解得：， ∴抛物线的表达式为； （2）解：由题意得，， 则点Q到直线的距离为， ∴， 则或 解①得：或 解②，无解， ∴或； （3）解： ∵抛物线的表达式为， ∴抛物线的对称轴是直线， 设， 则，，， ∵是以为直角边的直角三角形， ∴当时，， ∴， ∴， ∴ 当时，, ∴ 解得：， ∴ 综上：或． 题型七、二次函数中的等腰直角三角形 1．如图，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C． (1)求抛物线的解析式； (2)点D是抛物线的顶点，求出四边形的面积； (3)点E是抛物线上一动点，设点E的横坐标为，点F为抛物线对称轴l上一点．若是等腰直角三角形且，请直接写出此时点E的坐标． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）如图所示，过点作轴于，先求出，再根据进行求解即可； （3）如图，构造全等三角形，证明，则，建立方程进行求解即可． 【详解】（1）解：把，代入中， 得：， ， 抛物线解析式为； （2）解：如图所示，过点作轴于， 抛物线解析式为， 抛物线顶点的坐标为， ， 在中，当时，， ， ， ，， ，， ； （3）解：设， 如图所示，当时， 过点作轴于， ， 是等腰直角三角形，， ， ， ， ， ， ， 解得或（舍去）， ； 【点睛】本题是二次函数综合，考查了待定系数法求函数解析式，割补法求不规则面积，等腰三角形的性质，全等三角形的性质与判定等等，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． 2．如图，抛物线与轴交于，两点（点在点的左侧），点的坐标为，与轴交于点，作直线．动点在轴上运动，过点作轴，交抛物线于点，交直线于点，设点的横坐标为． (1)求抛物线的解析式和直线的解析式； (2)当点在线段上运动时，若是以为腰的等腰直角三角形时，求的值； (3)当以，，，为顶点的四边形是平行四边形时，求的值． 【答案】(1)抛物线的解析式为，直线的解析式为； (2)点的横坐标为； (3)的值为． 【分析】本题主要考查了二次函数与方程、几何知识的综合应用，解题的关键是将函数问题转化为方程问题，善于利用几何图形的有关性质、定理和二次函数的知识求解． （1）把点，点的坐标代入抛物线，得出抛物线的解析式为，令，得点的坐标，设直线的解析式为，把，的坐标代入，得出直线的解析式为； （2）由是以为腰的等腰直角三角形，得出轴，即点的纵坐标为3，把代入，得或2，由轴，得出点的横坐标为； （3）由抛物线的解析式可得出，由直线的解析式可得，由以、、、为顶点的四边形是以为一边的平行四边形，可得，由方程，即可得无解． 【详解】（1）解：把点，点代入抛物线， 得， 解得 所以抛物线的解析式为， 令，解得，，得点的坐标， 设直线的解析式为，把，的坐标代入， 得， 解得 所以直线的解析式为； （2）解：是以为腰的等腰直角三角形， 轴，即点的纵坐标为3， 把代入，得或2， 轴， 点的横坐标为； （3）解：抛物线的解析式为，的横坐标为 ， 直线的解析式为． ， 以、、、为顶点的四边形是以为一边的平行四边形， ， ，化简得，无解， 或，化简得， 解得， 当以、、、为顶点的四边形是以为一边的平行四边形时，的值为． 3．如图1，直线与x轴、y轴分别交于B、C两点，经过B、C两点的抛物线与x轴的另一交点坐标为A． (1)求B、C两点的坐标及该抛物线所对应的函数关系式； (2)P在线段上的一个动点（与B、C不重合），过点P作直线轴，交抛物线于点E，交x轴于点F，设点P的横坐标为m，的面积为S． 求S与m之间的函数关系式，并写出自变量m的取值范围； 有人认为：当直线a与抛物线的对称轴重合时，S的值最大，你同意他的观点吗？请说明理由； ③过点P作直线轴（图2），交于点Q，那么在x轴上是否存在点R，使得为等腰直角三角形？若存在，请求出点R的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)B、C， (2)① ②不同意他的观点，理由见解析 ③存在，，， 【分析】（1）根据直线解析式令，求得点的坐标，令求得点的坐标，然后利用待定系数法求二次函数解析式即可； （2）①根据直线和抛物线解析式表示出线段的长度，再根据点在线段上确定的取值范围； ②把求得的二次函数解析式整理成顶点式，然后根据最值问题求出S的最大值，即可得出结论； ③可得出是等腰直角三角形，再根据等腰直角三角形的性质，分三种情况讨论求解即可． 【详解】（1）解：对于直线，令，得，令，得． ∴B、C， 设抛物线的函数关系式为． ∴，解得． ∴抛物线的函数关系式为， 即． （2）解：①设，则 ∴() ∴ ②不同意他的观点 ∵， ∴当时，S的值最大，而抛物线的对称轴是 此时，直线a与抛物线的对称轴不重合， 则不同意他的观点； ③存在 设直线解析式为， ∵A和C， ∴，解得， 则直线解析式∶ 设， ， ∴， 当时， ∴，解得，∴ 当时，， ∴，解得，∴ 当时，边上的高=，∴，解得，∴ 【点睛】本题是二次函数的综合题，主要利用了求直线与坐标轴的交点，待定系数法求二次函数解析式，二次函数最值问题，等腰直角三角形的性质，根据两函数图像解析式表示出，分类讨论并根据等腰直角三角形的性质求解是解题关键． 题型八、二次函数中的相似三角形 1．如图，已知点，，经过B，C两点的抛物线与x轴的另一个交点为A，顶点为P． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)连接，，若点N在x轴上，要使以B，P，N为顶点的三角形与相似，求满足条件的点N的坐标． 【答案】(1)该抛物线的函数表达式为 (2)点N的坐标为或 【分析】本题考查了用待定系数法求二次函数解析式及二次函数与相似三角形综合，掌握求二次函数解析式和相似三角形的性质与判定是解题关键． （1）将点，，代入，用待定系数法求二次函数解析式； （2）连接，可得顶点P的坐标为，设，求出，进而得出，再分两种情况进行讨论即可得出答案． 【详解】（1）解：将点，，代入， 得解得， 该抛物线的函数表达式为． （2）解：如图，连接，顶点P的坐标为． 设， 当时，，解得，， ． ，，， ． 当时，， ，解得． 点N的坐标为． 当时，， ，解得， 点N的坐标为． 综上所述，点N的坐标为或． 2．如图，二次函数的图象与轴交于，两点，与轴交于点，已知，． (1)求该二次函数的表达式； (2)连接，为第一象限内抛物线上一点，过点作轴，垂足为，连接，若与相似，请求出满足条件的点坐标；若没有满足条件的点，说明理由． 【答案】(1)该二次函数的表达式为； (2)满足条件的点坐标为． 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，相似三角形的性质，一元二次方程法解法，利用点的坐标表示出相应线段的长度是解题的关键． （1）利用待定系数法解答即可； （2）设，由题意得：，，，再利用相似三角形的性质得出比例式，解关于的方程即可得出结论． 【详解】（1）解：， ， ，， ． ，， 二次函数的图象经过点，，， ， 解得：， 该二次函数的表达式为； （2）解：设， 轴，为第一象限内抛物线上一点， ，，， ， 与相似， 或， 或． 解得：，或，． ， ． 与相似，满足条件的点坐标为． 3．如图1，平面直角坐标系中，抛物线交轴于，两点，交y轴于点，点M是线段上一个动点，过点M作x轴的垂线，交直线于点F，交抛物线于点E． (1)求抛物线的解析式； (2)当面积最大时，求M点的坐标； (3)如图2，是否存在以点C、E、F为顶点的三角形与相似，若存在，求点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)； (3)存在， 或． 【分析】（1）将A，B，C三点的坐标代入，得到关于a，b，c的三元一次方程组，解方程组即可； （2）设，则，求得直线的解析式为，即可得到，根据三角形面积公式可得，由二次函数的性质可得结论； （3）分和两种情况列式求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线过点，，， ∴， 解得， ∴抛物线的解析式为：； （2）解：设，则， 设直线解析式为， ∵直线经过点，， ∴， 解得， ∴直线的解析式为， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴当时，即当时，； （3）解：存在以点，，为顶点的三角形与相似，理由如下： 设，则，． ∴， 如图，过点作轴于点，则， 由（1）可得：，，则 ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴． ∴当以点，，为顶点的三角形与相似时，与为对应顶点， ①当时，则，即， 解得：或（舍去）， 经检验，是原方程的解， ∴； ②当时，，即， 解得：或（舍去）， 经检验，是原方程的解， ∴ 综上所述，或 【点睛】本题主要考查了用待定系数法求二次函数的解析式，二次函数综合，勾股定理，等腰直角三角形的性质与判定，相似三角形的性质以及坐标系中面积的求法，其中第（3）小问，要注意分类求解，避免漏解． 题型九、二次函数中的平行四边形 1．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点． 与轴交于点． 且点的坐标为，点的坐标为． 点是直线上方抛物线上的一个动点，过作轴交于点． 连结、．    (1)该抛物线的表达式 ：直线的表达式为 ． (2)当四边形 是平行四边形时，求点的坐标． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了二次函数综合问题，待定系数法求解析式，平行四边形的性质； （1）待定系数法求解析式即可求解． （2）设，表示出，进而根据平行四边形的性质可得，即可求解． 【详解】（1）解：∵过点，点． ∴ 解得： ∴； 设直线的解析式为，将点代入得， 解得： ∴直线的解析式为 故答案为：，． （2）解：设， ∴ ∵四边形 是平行四边形， ∴ 即 解得： 当时， ∴点的坐标为 ． 2．综合与实践 如图，在半面直角坐标系中，为坐标原点，抛物线经过点，点，与轴交于点，过作轴的垂线交抛物线于点，过作轴的垂线交轴于点，连接，是第一象限抛物线上一个动点，设点的横坐标为． (1)求的值； (2)过点作交直线于点．求线段的最大值和此时点的坐标； (3)点在上（点不与点、点重合），连接，过点作于点，的平分线交于点． ①当直线经过的中点时，点也恰好在直线上，求此时点坐标． ②在①的情况下，平面内有一点，使得以为顶点的四边形是平行四边形，直接写出点的坐标． 【答案】(1)， (2)， (3)①，②，，， 【分析】利用待定系数法即可求得解析式，得到对应系数； 过点P作轴交y轴于点H，交于点G，根据已知求得点D和点E，即可求得直线的解析式，则有点G的坐标，将求线段的最大值转化为求的最大值，利用二次函数的性质即可求得； ①根据题意得则点O，K，N和E四点共圆，且为直径，连接，连接，得到点N为的中点，且，即可求得直线的解析式，联立二次函数即可求得点；②由①知，点，，的坐标，结合平行四边形的性质中点坐标公式即可求得点R． 【详解】（1）解：抛物线过点和点，则 ，解得， 则，； （2）过点P作轴交y轴于点H，交于点G，如图， 抛物线，则点， 当时，，解得，， 则点，点， 设直线的解析式为，得，解得， 直线的解析式为， ∵点的横坐标为， ∴， ∵轴，点在直线的图象上， ∴点， 则， 根据题意得，则， 在中，， ， ∵， ∴时，取到最大值， 则点， 则． 故取到最大值为，此时点； （3） ①∵， ∴， ∵平分， ∴， 则， ∵， ∴， 则点O，K，N和E四点共圆，且为直径， 连接，则， ∵四边形为正方形， ∴点N为的中点， ∴， ∵点为的中点，且， ∴， 设直线的解析式为，得，解得， 那么，直线的解析式为， ，解得或（舍去）， 故点． ②由①知，点，，， ∵以为顶点的四边形是平行四边形， ∴设的对角线交点为，则， ∵，解得 ∴， 同理得，， 故点，，． 【点睛】本题主要考查二次函数的性质，待定系数法求解析式、勾股定理、二次函数最值、平行四边形的性质和中点坐标，解题的关键是熟练二次函数的性质和找到四点共圆的隐含条件． 3．如图，抛物线与x轴交于，两点，过点A的直线l交抛物线于点． (1)求抛物线的解析式以及点C的坐标； (2)点P是线段上一个动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于点E，设P点的横坐标为m，求线段的长与m的函数关系式，并求线段的最大值； (3)抛物线与y轴交于D，线段与y轴交于F，在（2）基础上，线段上是否存在点P，使得点P、E、D、F为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，请求出满足条件的点P的坐标，并说明理由；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)，的最大值为 (3)存在， 【分析】（1）将A、B的坐标代入抛物线中，易求出抛物线的解析式；将C点横坐标代入抛物线的解析式中，即可求出C点的坐标． （2）由待定系数法可求出直线的解析式，的长实际是直线与抛物线的函数值的差，可设P点的横坐标为m，用m分别表示出P、E的纵坐标，即可得到关于的长与m的函数关系式，根据所得函数的性质即可求得的最大值． （3）存在．由题意可得，设P点的横坐标为m，用m分别表示出P、E的纵坐标，由求解即可． 【详解】（1）解：将，代入， 得到， 解得：， ． 将C点的横坐标代入，得， ； （2）设直线的函数解析式是 ， ， 解得：， 直线的函数解析式是． 设P点的横坐标为，则P、E的坐标分别为：，， 点在E点的上方，， 当时，的最大值，此时； （3）存在．理由：如图， ∵抛物线与y轴交于D，线段与y轴交于F，直线的函数解析式是，抛物线的解析式是． ， ， 点P、E、D、F为顶点的四边形是平行四边形，轴， ， 由（2）知， ，解得或0（舍去）， 点P的坐标为． 【点睛】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，一次函数的性质，平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是学会构建二次函数解决最值问题，属于中考压轴题． 题型十、二次函数中的菱形 1．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，与轴交于点，作直线，点是抛物线在第四象限上一个动点（点不与点重合），连结，，以，为边作，点的横坐标为． (1)求抛物线对应的函数表达式； (2)当有两个顶点在轴上时，则点的坐标为____________； (3)当是菱形时，求的值． (4)当为何值时，的面积有最大值？ 【答案】(1) (2) (3) (4)当时，平行四边形的面积有最大值 【分析】（1）根据抛物线与轴交于点得抛物线的解析式为，即可得； （2）抛物线的解析式为，令，则，则，根据有两个顶点在轴上时得点D在x轴上，根据四边形是平行四边形得，可得点P和点C为抛物线上的对称点，根据抛物线的对称轴为，，即可得； （3）设点P的坐标为，根据，，得，，根据是菱形得，可得，计算得，根据得，计算得，，根据点是抛物线在第四象限上一个动点（点不与点重合）得，即可得； （4）过点P作轴交直线于点E，设直线的解析式为，将，代入得，解得，，可得直线的解析式为，设，则，可得，根据三角形面积计算公式得，根据和二次函数的性质即可得． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于点， ∴抛物线的解析式为， 即， （2）解：∵抛物线的解析式为，令，则， ∴， ∵有两个顶点在轴上时， ∴点D在x轴上， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴点P和点C为抛物线上的对称点， ∵抛物线的对称轴为，， ∴， 故答案为：； （3）解：设点P的坐标为， ∵，， ∴， ， ∵是菱形， ∴， ∴， ∴， ， ， ∵， ∴， ， ， 即，， ∵点是抛物线在第四象限上一个动点（点不与点重合）， ∴， ∴； （4）解：如图所示，过点P作轴交直线于点E， 设直线的解析式为，将，代入得， ， 解得，， ∴直线的解析式为， 设，则， ∴， ∴， ∵ ， ∴当时，平行四边形的面积有最大值． 【点睛】本题考查了二次函数的综合题，解题的关键是掌握二次函数的性质，菱形的性质，平行四边形的性质． 2．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点，点B的坐标为，点P是抛物线上一个动点，且在直线的上方．    (1)求该二次函数的解析式； (2)求点A的坐标； (3)连接，当点P运动到什么位置时，的面积最大？请求出点P的坐标和面积的最大值； (4)连接，并把沿翻折，得到四边形，那么是否存在点P，使四边形为菱形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)当点P的坐标为时，有最大值，且最大值为； (4)存在点P，使四边形为菱形；点P的坐标为 【分析】（1）将、代入即可求解； （2）解一元二次方程即可； （3）过点作轴，求出直线的解析式，设点，则，根据即可建立函数关系式求解； （4）设点，交轴于点，若四边形为菱形，则，可推出，据此即可求解； 【详解】（1）解：将、代入得： ， 解得：， ∴ （2）解：令，解得， ∴点A的坐标 （3）解：设直线的解析式为：， 将代入得：， 解得：； ∴直线的解析式为：， 过点作轴，如图所示：      设点，则 ∴当，即点时，有最大值，且最大值为； （4）解：设点，交轴于点，如图所示：    若四边形为菱形，则， ∴ 即：， 解得：（舍） ∴点P的坐标为 【点睛】本题考查了二次函数综合问题，涉及了待定系数法，二次函数与坐标轴的交点问题，二次函数与面积问题，二次函数与特殊四边形问题，掌握函数的性质是解题关键． 3．如图1，抛物线交x轴于点和点，交轴于点． (1)求抛物线的表达式； (2)若点是直线下方抛物线上动点，连接，，当的面积最大时，求点的坐标及面积的最大值； (3)在（2）的条件下，若点是直线上的动点，在平面内，是否存在点，使得以、、、分别为顶点的四边形是菱形？若存在，请求出符合条件的所有点的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)，面积最大值为 (3)存在，或或或 【分析】本题考查了二次函数的综合运用，掌握二次函数的性质，点的特征，分类讨论等是解题的关键． （1）将点和点代入解析式，求出和即可得到抛物线表达式； （2）过点作轴交于点，设点，，利用表示出面积，即可求解； （3），，，，分①以、为对角线，，②以、为对角线，，③以、为对角线，，三种情况进行讨论． 【详解】（1）解：交轴于点和点， ， ， ； （2）解：当时，， ， 过点作轴交于点， 设直线的解析式为， 代入，， 得：， 解得， 直线的解析式为：， 设点， ， ， ， ，且， 当，即点时，的面积取得最大值，最大值为4； （3）解：，，，， ①以、为对角线时，， ， 或（舍， ； ②以、为对角线时，， ， 或， 或； ③以、为对角线，， ， ， ； 综上所述：或或或． 题型十一、二次函数中的矩形 1．如图，抛物线过点，，矩形的边在线段上（点在点的左侧），点，在抛物线上．设，当时，． (1)求抛物线的函数表达式； (2)当为何值时，矩形的周长有最大值，最大值是多少； (3)保持时的矩形不动，向右平移抛物线，当平移后的抛物线与矩形的边有两个交点，，且直线平分矩形的面积时，直接写出抛物线平移的距离． 【答案】(1)抛物线的函数表达式为； (2)当时，矩形的周长有最大值，最大值为； (3)4． 【分析】（1）由点E的坐标设抛物线的交点式，再把点C的坐标( ． 代入计算可得； （2）由抛物线的对称性得，据此知，再由时 ，根据矩形的周长公式列出函数解析式，配方成顶点式即可得； （3）连接，相交于点，连接，取的中点，连接，根据直线平分矩形的面积，得到直线过点，由平移的性质可知，四边形是平行四边形，根据平行四边形的性质得到，根据矩形的性质得到点是的中点， 求得，于是得到结论． 【详解】（1）解：∵当时，， ∴点的坐标为， ∴将点坐标代入，得：， 解得：， ∴抛物线的函数表达式为：； （2）解：由抛物线的对称性得， ， 当时，点的纵坐标为：， ∴矩形的周长 ， ∴当时，矩形的周长有最大值，最大值为； （3）解：如图， 连接，相交于点，连接，取的中点，连接， ， ∴， ∴， ， ， ∵直线平分矩形的面积， ∴直线过点， 由平移的性质可知，四边形是平行四边形， ， ∵四边形是矩形， ∴点是的中点， ， ，， ∴抛物线向右平移的距离是个单位． 【点睛】本题考查二次函数图象与性质，待定系数法求解析式，二次函数的平移，矩形的性质等知识，解题的关键是掌握待定系数法求函数解析式、二次函数的性质及平移变换的性质等知识点． 2．如图1，已知抛物线与轴交于点两点，与轴交于点． (1)求的值及点的坐标； (2)如图2，点为直线下方抛物线上的两点，点的横坐标比点的横坐标大1，过点作轴，交于点，过点作轴交于点，求的最大值及此时点的坐标； (3)如图3，将抛物线先向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度得到新的抛物线，在抛物线的对称轴上有一点，坐标平面内有一点，使得以点为顶点的四边形是矩形，且为矩形的一边，求出此时所有满足条件的点的坐标． 【答案】(1)，； (2)4，； (3)点的坐标为或． 【分析】（1）直接运用待定系数法即可解答； （2）设，则进而得到，再表示出，最后根据二次函数的性质即可解答； （3）分两种情况：当为矩形一边时，且点D在轴的下方，过D作轴，当为矩形一边时，且点D在轴的上方，分别根据等腰直角三角形的性质、平移和矩形的判定定理解答即可． 本题主要考查了运用待定系数法求解析式、运用二次函数的性质求最值、二次函数与几何的综合等知识点，掌握二次函数的性质和矩形的判定定理是解答本题的关键． 【详解】（1）解：把和代入， 得， 解得：， ∴抛物线的解析式为：， 令，则，解得： ∴点的坐标为； （2）解：设直线的解析式为：． 把代入，得， 解得：， ∴直线的解析式为：， 设，则 ， ， ∴当时，有最大值4，此时， 点的坐标为． （3）解：由题意，得， 抛物线的对称轴为直线， ， 当为矩形的一边，且点在轴的下方时，过点作轴，如图所示： 点在抛物线的对称轴直线上， ， ， ，即， 点向右平移2个单位长度，向下平移2个单位长度可得到点， 则点向右平移2个单位长度，向下平移2个单位长度可得到点； 当为矩形的一边，且点在轴的上方时，如图所示： 设抛物线的对称轴直线与轴交于点， 点在抛物线的对称轴直线上， ， ，即， 点向左平移1个单位长度，向上平移1个单位长度可得到点， 则点向左平移1个单位长度，向上平移1个单位长度可得到点， 综上所述，点的坐标为或． 3．如图，在平面直角坐标系中，抛物线交 x 轴于、两点，交 y 轴于点 C．一次函数与抛物线交于 A 、D 两点，交y 轴于点 E ． (1)求抛物线的解析式； (2)若点 P 是第四象限内抛物线上的一动点，过点 P 作 轴交 于点 M，求出 的最大值及相应的点 P 的坐标； (3)将抛物线沿着射线 AE 方向平移了个长度得到新的抛物线，新抛物线与原抛物线 交于 R 点，点 H 是原抛物线对称轴上一动点，在平面内是否存在 N 点，使得以点 A、 R、H、N 为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点 N 的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)取得最大值9，点 (3)点N的坐标为或或或 【分析】（1）根据题意将点坐标代入求解即可； （2）根据题意求得一次函数解析式，即可判定为等腰直角三角形，得到为等腰直角三角形，则，设点，则点，有化简得到二次函数求最值即可； （3）根据题意可知抛物线沿着x轴和y轴正方向各平移1个单位，得到新的抛物线为，即可得到点，即可设点H的坐标为，设点N的坐标为，可知A，R两点在对称轴两侧，若以为矩形的边，过A，R两点作的垂线与对称轴的交点即H点，H点在直线上面时当A点平移至R点时，H点平移至N点，H点在直线下面时当A点平移至R点时，N点平移至H点，根据平移性质和矩形对角线相等建立方程组求出N点坐标；若以为矩形的对角线，则线段的中点坐标和线段的中点坐标重合且，由此建立方程组求解． 【详解】（1）解：∵抛物线交 x 轴于、两点， ∴，解得， 则抛物线的解析式； （2）解：∵一次函数过点， ∴，解得， 则一次函数解析式， ∴点， ∴， 则为等腰直角三角形， ∵轴，且设与x轴交于点H，如图， ∴为等腰直角三角形， ∴， 设点，则点， ∴ ， 当时，取得最大值9，点； （3）解：∵抛物线沿着射线 AE 方向平移了个长度得到新的抛物线， ∴抛物线沿着x轴和y轴正方向各平移1个单位， ∴新的抛物线为， 联立得，解得， 则点， 由原抛物线的表达式知，其对称轴为直线，故设点H的坐标为，设点N的坐标为， ①当是边时， 点A向右平移3个单位向下平移3个单位得到点R， 则点向右平移3个单位向下平移3个单位得到点，且， 即或， 解得：或 故点N的坐标为或； ②当是对角线时， 由中点坐标公式和得： ，解得或， 故点N的坐标为或． 综上，点N的坐标为或或或． 【点睛】本题考查二次函数的综合，涉及待定系数法求函数解析式，勾股定理解直角三角形，二次函数的性质，矩形的性质和坐标的平移；根据平移特征和矩形性质列出方程组是解题关键． 题型十二、二次函数中的正方形 1．如图，抛物线的对称轴l与x轴交于点A，与y轴交于点B． (1)求点A、B的坐标； (2)C为该抛物线上的一个动点，点D为点C关于直线l的对称点（点D在点C的左侧），点M在坐标平面内，请问是否存在这样的点C，使得四边形是正方形？若存在，请求出点C的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)存在这样的点C，使得四边形是正方形，点C的坐标为或 【分析】（1）将二次函数化为顶点式，然后求出点A的坐标；把代入抛物线的解析式，求出，得出点B的坐标即可； （2）分两种情况进行讨论，当在x轴下方时，当M在x轴上方时，分别画出图形，求出结果即可． 【详解】（1）解：， ， 当时，， ． （2）解：存在，理由如下： 由题意四边形是正方形，则是以点A为直角顶点的等婹直角三角形． 设， ①当在x轴下方时，如图1，过点C作轴于E，此时是等腰直角三角形， ， ， （舍去），， 此时． ②当M在x轴上方时，如图2，过点C作轴于F， 同理可得：， ， ，（舍去）， 此时． 综上所述，存在这样的点C，使得四边形是正方形，此时点C的坐标为或． 【点睛】本题主要考查了二次函数的综合应用，求二次函数与坐标轴的交点，二次函数的性质，正方形的性质，解题的关键是数形结合，注意进行分类讨论． 2．综合与探究 如图1，二次函数的图象与x轴交于点A，B（点A在点B左侧），与y轴交于点．点P是y轴左侧抛物线上的一个动点，设点P的横坐标为m，过点P作x轴的平行线交y轴于点D，交抛物线于另一点E． (1)求点A，B，C的坐标． (2)如图2，当点P在第二象限时，连接，交直线于点F．当时，求m的值． (3)当点P在第三象限时，以为边作正方形，当点C在正方形的边上时，直接写出点D的坐标． 【答案】(1)，， (2) (3)或 【分析】（1）在中，分别令，，计算即可得出答案； （2）利用待定系数法求出直线的解析式为，由题意得，则，求出，得到，计算即可得解； （3）设，且，则，分两种情况：当点在正方形的边上时，设边交轴于；当点在正方形的边上时；分别计算即可得出答案． 【详解】（1）解：在中，令，则， 解得：，， ∴，， 令，则，即； （2）解：设直线的解析式为， 将，代入解析式得， ∴， ∴直线的解析式为， ∵， ∴抛物线的对称轴为直线， 由题意得：，则， ∵轴， ∴点、关于抛物线的对称轴直线对称，即直线经过线段的中点， 如图， ， ∵交直线于点F，且， ∴当时，，即， ∴， 解得：， ∵点在第二象限， ∴， ∴； （3）解：设，且，则， ∵，， ∴，， 如图，当点在正方形的边上时，设边交轴于， ， 则，， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：（舍去），， ∴； 如图，当点在正方形的边上时， ， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴， 综上所述，点的坐标为或． 【点睛】本题考查了二次函数与坐标轴的交点问题、求一次函数解析式、二次函数综合—线段问题、相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、正方形的性质等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线，采用数形结合与分类讨论的思想是解此题的关键． 3．在平面直角坐标系xOy中，正方形OABC的边长为n（n为正整数），点A在x轴正半轴上，点C在y轴正半轴上．若点在正方形OABC的边上，且x，y均为整数，定义点M为正方形OABC的“LS点”．若某函数的图象与正方形OABC只有两个交点，且交点均是正方形OABC的“LS点”，定义该函数为正方形OABC的“LS函数”． 例如：如图1，当时，某函数的图象经过点和，则该函数是正方形OABC的“LS函数”． (1)当时，若一次函数是正方形OABC的“LS函数”，则一次函数的表达式是______（写出一个即可）； (2)如图2，当时，函数的图象经过点，与边AB相交于点E，判断该函数是否是正方形OABC的“LS函数”，并说明理由； (3)当时，二次函数的图象经过点B，若该函数是正方形OABC的“LS函数”，求a的取值范围； (4)在（3）的条件下，点是二次函数图象上两点，若点P，Q之间的图象（包括点P，Q）的最高点与最低点纵坐标的差为，求a的值． 【答案】(1)（或） (2)是，理由见解析 (3)或 (4)或 【分析】（1）当时，，，，写出一个一次函数，其图象过，即可； （2）求出，点的坐标为，可知函数的图象与正方形只有两个交点，且点，均是“点”，故函数    是正方形的“函数”； （3）当时，把点代入二次函数  可得，故，该函数图象的顶点坐标为，可知点在函数    的图象上，①当时，抛物线顶点在轴上方，即可得，；②当时，函数  图象经过点，，一定是正方形的“函数”；从而可得的取值范围为或； （4）当时，抛物线开口向上，点，之间的图象的最高点是点，最低点是顶点，可得，当时，抛物线开口向下，①当，点，之间的图象的最高点是顶点，最低点是点，知，②当，即时，点，之间的图象的最高点是点，最低点是点，有，分别解方程并检验可得答案． 本题考查二次函数综合应用，涉及新定义，解题的关键是读懂题意，理解“函数”的定义． 【详解】（1）解：如图： 当时，，，， 当一次函数图象过，时，其解析式为，此时直线与正方形只有两个交点， 一次函数是正方形的“函数”； 故答案为：（答案不唯一）； （2）解：该函数是正方形的“函数”；理由如下： 把点代入中得：， 解得， ， 把代入得， 点的坐标为， 函数的图象与正方形只有两个交点，且点，均是“点”， 函数    是正方形的“函数”； （3）解：当时，点的坐标为，点的坐标为， 把点代入二次函数    中得：， ， ， 该函数图象的顶点坐标为， 在中，令得， 点在函数    的图象上， 函数    是正方形的“函数”，其图象经过点，， ①当时，抛物线顶点在轴上方， ， 解得， ； ②当时，函数  图象经过点，，则函数  一定是正方形的“函数”； 综上所述，的取值范围为或； （4）解：由（3）知，该函数图象的对称轴是直线，顶点坐标为， 当时，有，，抛物线开口向上， 点，之间的图象的最高点是点，最低点是顶点， ， 整理得：， 解得：，  （舍去）； 当时，抛物线开口向下， ①当，即时，有，， 点，之间的图象的最高点是顶点，最低点是点， ， 整理得  ，此方程无实数根，的值不存在； ②当，即时，有， 点，之间的图象的最高点是点，最低点是点， ， 整理得， 解得； 综上所述，的值是或． 题型十三、二次函数中的取值范围 1．抛物线与轴交于两点，与轴交于点．已知点． (1)求的坐标； (2)若对任意的实数，且当取其范围中的最小值时，代数式的值都不大于． 求出抛物线的解析式； 点是抛物线上的任意一点（不与点重合），过点做轴于点，在轴上，以，为邻边作矩形，当在矩形内的抛物线所对应的函数值随增大而减小时，直接写出的取值范围． 【答案】(1)点； (2)抛物线的解析式为；或． 【分析】（）由得抛物线的对称轴为，再利用即可求解； （）由过，得，则设的值都不大于，，则，求出，因此对任意的实数都成立时取其范围中的最小值，故抛物线的解析式为； 由当点在上方时且在轴左侧时和当点在下方时且在轴右侧时两种情况讨论即可； 本题考查了二次函数的图象及性质和与特殊四边形的关系，熟练掌握知识点的应用及分类讨论思想是解题的关键． 【详解】（1）解：∵， ∴抛物线的对称轴为， ∴，即， 解得：， ∴点； （2）∵过， ∴， ∴， ∴， ∴， 则， ∵代数式的值都不大于， ∴， ∵，即， ∴， ∴对任意的实数都成立时，， ∴取其范围中的最小值， ∴抛物线的解析式为； ∵抛物线的解析式为， ∴，，， 如图，当点在上方时且在轴左侧时， ∴解得：， 如图，当点在下方时且在轴右侧时， ∴，解得：， 综上可知：或． 2．阅读材料：如图，函数的图像是一条抛物线，当时，；当时，．由此可知，抛物线与x轴的一个交点的横坐标在0与1之间．即方程的一个根所在的范围是． 根据上述材料解决下面的问题： 已知抛物线（a、c是常数，）． (1)①写出抛物线的对称轴________； ②若抛物线过点和，求抛物线的解析式； (2)当时，若关于x的方程在的范围内有解，求c的取值范围． 【答案】(1)①；② (2) 【分析】本题考查的知识点比较多，主要有二次函数的性质、利用待定系数法求抛物线的解析式、根的判别式以及根与系数的关系等，需要认真分析推理并计算． （1）①用计算即可得；②将点和代入，利用待定系数法求抛物线的解析式； （2）根据抛物线的开口方向，利用它与x轴交点之间函数值的特点进行求解 再利用根的判别式即可解答． 【详解】（1）解：①抛物线的对称轴为；                 ②抛物线过点和， 解得，     ； （2）解：， 抛物线开口向下  ，                 ∴对称轴，顶点， 关于x的方程有解， ， 即：，     ，               在的范围内有解， ∴据图象知：时对应的函数值， 时对应的函数值， 解得：． 3．如图，边长为1的正方形中，轴，轴（在的右侧、在的下方），点在二次函数（为常数，且）的图像上． (1)若点的坐标为 ①求二次函数图像顶点坐标； ②判断二次函数图像与边是否相交，并说明理由； (2)若点的横坐标为，且二次函数的图像与边相交，求的范围； (3)在（2）的条件下，若二次函数在正方形内（包括边界）的部分函数最小值为，求的范围． 【答案】(1)①②不相交，理由见解析 (2) (3) 【分析】（1）①将A点坐代入解析式直接求出；②求出点C坐标，代入横坐标，判断函数值是否等于点C的纵坐标即可． （2）求出P、D、C三点的纵坐标，根据P点要处在C、D之间列出不等式组即可解决问题． （3）对应的函数的最小值为，即点P的纵坐标的值为，由此列出关系式，即可解决问题．再结合（2）的结果确定m的范围． 【详解】（1）解：①把代入，得： ， 解得， ∴抛物线的解析式为：， ∴， ∴抛物线的顶点坐标为； ②∵正方形的边长为1，且， ∴， ∴ ∴点D的坐标为，点C的坐标为 当时，， 所以，二次函数图像与边不相交； （2）解：如图， ∵A点的横坐标为m，正方形边长为1， ∴，，，，， ∵， 解得：， ∵， 解得：， 综上所述，． （3）解：∵对应的函数的最小值为， ∴， ∴． ∴， 由图象可知点P不在y轴上， ∴， ∴ 由（2）可知，且， 解得． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数和反比例函数在特定范围内的增减性、不等式与不等式组等重要知识点．第（2）问的关键是利用函数增减性列出不等式组，第（3）问的关键是利用（2）的结论，转化为不等式确定自变量取值范围． 题型十四、二次函数中的不等式证明 1．设一次函数的图象与x轴交于点A，二次函数，B两个不同的点，设函数． (1)设点 在函数y的图象上，若，求证 (2)若函数，y的图象在x轴上截得的线段长分别为，，求，的数量关系式． (3)若函数的图象分别与函数的图象、函数y的图象交于点，，且点E，F不同于点A，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) (3)1 【分析】本题主要考查了二次函数和一次函数综合．熟练掌握二次函数和一次函数图象及性质，二次函数、一次函数与方程的关系，是解题的关键． （1）写出，把代入，得到，根据即得； （2）求出，设，则，得到，当时，， ，得到，，即得； （3）设，得到， ，当时，，根据，得到；当时，，得到，即得． 【详解】（1）∵，， ∴ ， ∵点在函数y的图象上， ∴， 即， ∵， ∴； （2）中，当时，， ∵， ∴， ∴， ∴， 设， 则， ∴， 当时，， ∴，， ∴； ， ∴，， ∴， ∴； （3）设， 由（2）知，， ， 当时，， ∵E，F不同于点A， ∴， ∴， ∴； 当时，， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】 2．已知二次函数（是常数，）的图像经过点． (1)若抛物线的顶点为，求函数的表达式． (2)在（1）的条件下，若函数图像过点，，求证：． (3)若函数图像经过点，，其中，且关于的方程有两个相等的实数根，求的取值范围． 【答案】(1) (2)见详解 (3) 【分析】（1）设该抛物线的解析式为，利用待定系数法求解即可； （2）根据题意，函数图像过点，，易得，，进而可得，结合，即可获得答案； （3）根据二次函数的图像经过点，易得，结合方程有两个相等的实数根，根据一元二次方程的根的判别式可得，进而可得①．时，即该二次函数图像经过点时，易知②，联立①②并求解，可得函数解析式为，令，可得，求解可知此时；当逐渐增大时，该函数图像与轴的另一交点逐渐向左运动，函数图像与轴的交点逐渐向下运动，结合，结合图像即可获得答案． 【详解】（1）解：设该抛物线的解析式为， 将点代入，可得， 解得， ∴该函数的表达式为； （2）根据题意，函数图像过点，， 分别将点，代入函数解析式， 可得，， ∴， ∵， ∴； （3）∵二次函数的图像经过点， ∴可有， ∴， 将方程整理可得， ∵该方程有两个相等的实数根， ∴， ∴， ∴可有，即有①， 该二次函数解析式为， 当时，即该二次函数图像经过点时， 若，即该函数图像开口向下，如下图， 此时该函数图像与轴交点在轴的正半轴上，此时， 故不符合题意； 若，即该函数图像开口向上，如下图， 可有，即②， 联立①②，可得， 解得， ∴该函数解析式为， 令，可得， 解得，， ∴此时； 当逐渐增大时，该函数图像与轴的另一交点逐渐向左运动，函数图像与轴的交点逐渐向下运动， ∵该函数图像开口向上，， ∴函数图像与轴的交点在轴的正半轴上， ∴函数图像与轴的交点在轴的正半轴上， ∴当逐渐增大时，可有． 综上所述，的取值范围为． 【点睛】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析、二次函数综合应用、非负数的性质、一元二次方程的应用等知识，解题关键是运用数形结合的思想分析问题． 3．在平面直角坐标系中，设二次函数（m是常数）． (1)若函数图象经过点，求函数图象的顶点坐标． (2)若函数图象经过点，，求证：． (3)已知函数图象经过点，，．若对于任意的，都有成立，求m的取值范围． 【答案】(1)函数图象的顶点坐标为； (2)见解析 (3)m的取值范围为或． 【分析】本题考查了二次函数的图象与系数的关系、二次函数图象上的点的坐标特点、二次函数的增减性，熟练掌握二次函数图象上的点的坐标特点及二次函数的性质是解题的关键． （1）先求出二次函数解析式，由配方法可求出顶点坐标； （2）将已知两点代入求出，，再用表示出，配方，即可求解； （3）分两种情况，当和时，再根据对称性将所有点转化到对称轴的同一侧，根据增减性分析，解不等式（组）即可． 【详解】（1）解：∵函数图象经过点， ∴． 解得． ∴． 所以函数图象的顶点坐标为； （2）解：∵函数图象经过点，， ∴．． ∴． 所以； （3）解：，设函数图象经过点，，． 二次函数图象开口向上，对称轴为直线，则点在对称轴右侧， 对于任意的，都有成立， 存在如下情况： 情况1，如图1，当时， 则关于对称轴的对称点的横坐标为， ∴，且， ∴有，解得； 情况2，如图2， ∴， ∵点关于对称轴对称的点的横坐标为， ∴，且， 可得，解得：， 综上所述，m的取值范围为或． 题型十五、二次函数中的平移 1．如图，抛物线经过原点，与轴正半轴交于点． (1)求抛物线的函数解析式； (2)嘉淇利用软件将抛物线复制后，向下平移5个单位长度得到抛物线，抛物线与轴正半轴交于点，求的长； (3)嘉淇利用软件将抛物线复制后，经过平移得到抛物线，若的函数解析式为，求抛物线移动到抛物线的最短路程． 【答案】(1) (2)1 (3)5 【分析】本题考查待定系数法求二次函数的解析式、二次函数图象的平移、二次函数图象与x轴的交点问题，正确求出抛物线的表达式是解答的关键． （1）利用待定系数法求抛物线的表达式即可； （2）先根据函数图象平移规则“上加下减”求得抛物线的表达式，再令求得点B的坐标，进而可求解； （3）先根据抛物线复制后，经过平移得到抛物线，得到平移方式，最后由勾股定理计算即可得出答案． 【详解】（1）解：∵抛物线C：与x轴正半轴交于点， ∴，则， ∴抛物线C的表达式为； （2）解：由题意，抛物线C向下平移5个单位长度得到抛物线的表达式为， 令，则， 解得，（舍去）， ∴点B坐标为， ， ∴； （3）解：将抛物线复制后，经过平移得到抛物线，即， 抛物线向左平移3个单位，再向上平移4个单位得到抛物线， 抛物线移动到抛物线的最短路程为． 2．如图，已知抛物线交x轴于点，，交y轴于点C． (1)求抛物线的解析式： (2)若D为直线上方的抛物线上的一点，且的面积为3，求点D的坐标； (3)将抛物线向右平移个单位长度，设平移后的抛物线中y随x增大而增大的部分记为图象G， 若图象G与直线只有一个交点，求m的取值范围． 【答案】(1) (2)或 (3)或 【分析】本题考查了二次函数综合，解题的关键是掌握用待定系数法求函数解析式的方法和步骤，以及二次函数的图象和性质． （1）将，代入，求出a和b的值，即可得出解析式； （2）先求出，再用待定系数法求出直线的解析式为，过点D作y轴的平行线，交于点E，设，则，得出，则，列出方程，求出t的值即可； （3）根据题意进行分类讨论：①当平移后的抛物线顶点在直线左侧时，得出平移后的抛物线的顶点坐标为，把代入得出，则；②当平移后的抛物线与直线相切时，得出平移后的解析式为，则方程方程有两个相同实根，根据一元二次方程根的判别式，即可解答． 【详解】（1）解：将，代入得： ， 解得：， ∴抛物线解析式为； （2）解：当时，， ∴， 设直线的解析式为， 把，代入得： ， 解得：， ∴直线的解析式为， 过点D作y轴的平行线，交于点E， 设，则， ∴， ∴， 解得：， ∴或； （3）解：①当平移后的抛物线顶点在直线左侧时： ∵，， ∴抛物线的对称轴为直线， ∴抛物线顶点坐标为， ∴平移后的抛物线的顶点坐标为， 把代入得：， 解得：， ∵图象G与直线只有一个交点， ∴； ②当平移后的抛物线与直线相切时： ∵抛物线解析式为， ∴平移后的解析式为， ∵图象G与直线只有一个交点， ∴方程方程有两个相同实根， 整理为， ∴， 解得：， 综上：或． 3．小明在研究某二次函数时，函数值y与自变量x的部分对应值如表： x … 2 3 5 … y … 1 0 … (1)求该二次函数的表达式； (2)当时，该二次函数的最大值与最小值的差为，求p的值； (3)已知点C是该二次函数图象与y轴的交点，把点C向下平移个单位得到点M．若点M向左平移个单位，将与该二次函数图象上的点P重合；若点M向右平移5n个单位，将与该二次函数图象上的点Q重合，求m，n的值． 【答案】(1)该二次函数的表达式为； (2)； (3)， 【分析】本题考查了二次函数的综合题，二次函数的轴对称的性质，待定系数法求二次函数的解析式，点的平移规律等知识，利用二次函数的轴对称性质是解本题的关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）求得抛物线的对称轴和顶点坐标，知当时，该二次函数的最大值为1，根据题意列得方程，据此求解即可； （3）先求得点P的横坐标为，点Q的横坐标为，且两点纵坐标相同，利用抛物线的对称性，列式计算求得；求得点C的坐标为，得到点P的坐标为，据此求解即可． 【详解】（1）解：设该二次函数的表达式为， 由题意得， 解得， ∴该二次函数的表达式为； （2）解：∵，∴抛物线的对称轴为，抛物线的顶点坐标为，∵，∴当时，二次函数的值随的增大而增大；当时，该二次函数的最大值为1，∵当时，该二次函数的最大值与最小值的差为，∴，解得，∴（舍去），∴； （3）解：∵点M向左平移个单位，将与该二次函数图象上的点P重合；若点M向右平移5n个单位，将与该二次函数图象上的点Q重合， ∴点P的横坐标为，点Q的横坐标为，且两点纵坐标相同， ∴，解得， 当时，， ∴点C的坐标为， ∵点C向下平移个单位得到点M， ∴点M的坐标为， ∴点P的坐标为， 将代入，得， ∴， 答：，． 题型十六、二次函数中的翻折 1．综合运用 如图，在平面直角坐标系中，抛物线交x轴于A，B两点(点A在点B的左边)，交y轴于点C． (1)直接写出A，B，C三点的坐标． (2)作直线，分别交x轴、线段、抛物线于D，E，F三点，连接．若与相似，求t的值． (3)如图2，过点C作轴，交抛物线于点G，将抛物线在点G右下方的图象沿直线向上翻折，抛物线的其余部分保持不变，得到一个新的图象，当直线与新的图象只有2个公共点时，请求出n的值． 【答案】(1) (2)t的值为4或3 (3)n的值为1或 【分析】本题考查了一次函数与二次函数的交点问题，二次函数的几何综合，相似三角形的判定与性质，判别式的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据二次函数的解析式，以及与轴的交点，计算即可作答． （2）先表示，分类讨论且作图，即和，然后根据相似三角形的性质列式计算，即可作答． （3）进行分类讨论且作图，运用数形结合思想，则①发现当直线经过点G或当直线与抛物线只有一个公共点时，建立，运用判别式的意义列式计算，即可作答． 【详解】（1）解：∵抛物线交x轴于A，B两点(点A在点B的左边)，交y轴于点C． ∴令， ∴ 结合图象，得出 （2）解：如图： ∵点F是直线与抛物线的交点， ∴ 当时， 则， ∴ ∵， ∴ 解得 (舍去)或 当时， 过点作轴于点T ∵ ∴ 又， ∴ ∴ ∴是等腰直角三角形 ∴ ∵ ∴ 解得 (舍去)或 综上所述，t的值为4或3 （3）解：由点C的坐标为， ∵ ∴对称轴 ∵过点C作轴，交抛物线于点G ∴点G的坐标为 如图： 画出直线， 通过平移直线，得到直线 ①发现当直线经过点G时， 直线与新图象只有2个公共点． 将点代入， 得 解得； ②当直线与抛物线只有一个公共点时， 直线与新图象只有2个公共点． 令 化简得 ∴ 解得 综上所述，n的值为1或 2．顶点为的抛物线交轴于、，交轴于点，直线经过点，交轴于． (1)求出抛物线的解析式； (2)如图1，点为线段上不与、重合的一个动点，过点作轴的垂线，垂足为，设点的横坐标为，四边形的面积为，求与之间的函数关系式，并求的最大值； (3)点为轴的正半轴上一个动点，过作轴的垂线，交直线于，交抛物线于，连接，将沿翻折，若点的对应点恰好落在轴上时，请直接写出点的坐标． 【答案】(1)； (2)，最大值为； (3)或，． 【分析】此题考查了待定系数法求函数解析式，点坐标转换为线段长度，几何图形与二次函数结合的问题，最后一问推出为解题关键． （1）将点代入直线解析式中，可求出点的坐标，将点、代入抛物线解析式中，可求出抛物线解析式； （2）将抛物线解析式配成顶点式，可求出点的坐标，设直线的解析式，代入点、，可求出直线的解析式，则可表示，则可表示； （3）设点的坐标，则点的坐标可表示，点的坐标可表示，长度可表示，利用翻折推出，列等式求解即可． 【详解】（1）解：将点代入直线解析式中， ， 解得， 解析式为， ， ， 则有， 解得， 抛物线的解析式为：； （2）解： ， ， 设直线的解析式为：，代入点、，得： ， 解得， 直线的解析式为：， 则点的坐标为， ， 当时，有最大值，最大值为； （3）解：存在，如图所示， 设点的坐标为， 则点，， ， 沿翻折，的对应点为点，落在轴上，而轴， ，，， ， ， ， ， ， ， 当时， 解得（舍），， 此时点． 当时， 解得（舍），， 此时点，． 综上，点的坐标为或． 3．已知抛物线：．    (1)下列有关抛物线的结论正确的有 　 　（填序号）． ①开口向下； ②对称轴在y轴的左侧； ③与y轴的交点坐标为； ④函数值y有最小值； (2)当时，抛物线的顶点坐标为 　 　，将抛物线沿直线 翻折得到抛物线，则抛物线的表达式为 　 　； (3)如图，设抛物线与y轴相交于点C，将抛物线沿直线翻折，得到抛物线，抛物线，的交点为A，抛物线的顶点为P．是否存在实数m，使得∠PCA＝90°？若存在，请求出m的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)③④ (2)； (3)存在实数m，使得，m的值为 【分析】（1）根据二次函数的图象和性质逐项进行判断即可； （2）当时，，即可得到抛物线的顶点坐标为；由翻折得到抛物线的顶点坐标为，设抛物线的解析式为，求出．代入得，则．即可得到抛物线的解析式． （3）抛物线的顶点坐标为，将抛物线沿直线翻折，得到抛物线，抛物线的顶点P的坐标为，求出点A的坐标为，过点A作轴于点B，过点P作轴于点D，证明，则可以得到求出，进一步即可得到m的值． 【详解】（1）解：①∵， ∴抛物线的开口方向向上， ∴①的结论不正确； ②∵抛物线的对称轴为直线，m的值不确定， ∴对称轴在y轴的左侧，也可能对称轴在y轴的右侧， ∴②的结论不正确； ③令，则， ∴抛物线与y轴的交点坐标为， ∴③的结论正确； ④， ∵， ∴当时，函数值y有最小值， ∴④的结论正确． 故答案为：③④； （2）当时， ∵， ∴抛物线的顶点坐标为； ∵将抛物线沿直线翻折得到抛物线l2， ∴抛物线的顶点坐标为， ∴抛物线的解析式为， 当时，， ∴．代入得， ， ∴． 即抛物线的解析式为． 故答案为：；； （3）存在实数m，使得，m的值为．理由： ∵抛物线的顶点坐标为， 将抛物线沿直线翻折，得到抛物线， ∴抛物线的顶点P的坐标为， 把代入，得：， ∴点A的坐标为， 如图，过点A作轴于点B，过点P作轴于点D，    ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． ∴存在实数m，使得，m的值为． 【点睛】此题是二次函数综合题，考查了二次函数的图象和性质、待定系数法、相似三角形的判定和性质等知识，数形结合和准确计算是解题的关键． 题型十七、二次函数中的旋转 1．阅读以下材料，并解决相应问题： 小明在课外学习时遇到这样一个问题： 定义：如果二次函数（，，，是常数）与（，，，是常数）满足，，，则这两个函数互为“旋转函数”．求函数的旋转函数．小明是这样思考的，由函数可知，，，，根据，，，求出，，就能确定这个函数的旋转函数． 请思考小明的方法解决下面问题： (1)写出函数的旋转函数． (2)若函数与互为旋转函数，求的值． (3)已知函数的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点A、B、C关于原点的对称点分别是，试求证：经过点的二次函数与互为“旋转函数”． 【答案】(1) (2)1 (3)证明见解析 【分析】（1）根据“旋转函数”的定义求出另一个函数的a、b、c的值，从而得出函数解析式； （2）根据定义得出m和n的二元一次方程组，从而得出答案； （3）首先求出三点的坐标，然后得出对称点的坐标，从而求出函数解析式，然后根据新定义进行判定． 【详解】（1）解：根据题意得， 解得 故解析式为：． （2）解：根据题意得， ∴ ∴． （3）证明：当时，， ∴， 当时，， 解得：， ， 点A、B、C关于原点的对称点分别是， ∴， 设过点的二次函数解析式为， 将代入，得：， 解得：， 过点的二次函数解析式为． ，，， ∵， ，，， ∵， ∴两个函数互为“旋转函数”． 【点睛】本题考查了二次函数，新定义型；涉及了待定系数法，关于原点对称的点的坐标等知识，正确理解题意，熟练运用相关知识是解题的关键． 2．如图，抛物线与x轴分别交于点A、B，它们的坐标分别为、，与y轴交于点C；直线的表达式为；点P在抛物线的对称轴上，连接，将绕点P按顺时针方向旋转一定角度得到． (1)求抛物线与直线的表达式； (2)如图1，若点Q恰好落在该抛物线位于第四象限的图象上，连接交于点E，是否存在最大值？若存在，请求出该数值；若不存在，请说明理由； (3)如图2，在点P运动的过程中，若绕点P按顺时针方向旋转得到，当有两个顶点落在该抛物线的图象上时，请直接写出点Q的坐标． 【答案】(1)，； (2)存在，； (3)或或． 【分析】本题考查二次函数，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质： （1）先求出，求出的表达式为，得出，将点、、的坐标分别代入中，求解即可得出答案； （2）作轴交直线于点M，作轴交直线于点N，得出∽，求出，设，则，得出，得出，进而得出答案； （3）分两种情况：①当点Q在抛物线上时，如图，作对称轴交对称轴于点G，对称轴交x轴于点D，证明≌（），得出，设，则，得出，求解即可；②当点P在抛物线上时，点P所在位置为抛物线的顶点，其坐标为，得出≌，则，，进而可得出答案． 【详解】（1）解：∵直线经过点， ∴， 解得， ∴直线的表达式为， 当时，， ∴， 将点、、的坐标分别代入中， 得， 解得， ∴抛物线的表达式为． （2）如图，作轴交直线于点M，作轴交直线于点N， 则， ∴∽， ∴． 将代入， 解得， ∴， ∴． 设， 则， ∴， ∴， ∵，， ∴当时，有最大值． （3）①当点Q在抛物线上时，如图，作对称轴交对称轴于点G，对称轴交x轴于点D， 由题意可得对称轴为直线． ∵， ∴， ∵， ∴≌（）， ∴， 设，则， ∴， ∴， ∴， 解得，， ∴或． ②当点P在抛物线上时，点P所在位置为抛物线的顶点，其坐标为， 则，， 如图，≌， 则，， ∴点Q坐标为． 综述，点或或． 3．如图，抛物线（、为常数）与轴交于、两点，与轴交于点，直线的函数关系式为．    (1)求该抛物线的函数关系式与点坐标； (2)已知点是线段上的一个动点，过点作轴的垂线分别与直线和抛物线交于、两点，当为何值时，恰好是以为底边的等腰三角形？ (3)在（2）问条件下，当恰好是以为底边的等腰三角形时，动点相应位置记为点，将绕原点顺时针旋转得到（旋转角在到之间）； ①探究：线段上是否存在定点（不与、重合），无论如何旋转，始终保持不变，若存在，试求出点坐标；若不存在，请说明理由； ②试求出此旋转过程中，的最小值． 【答案】(1)， (2) (3)①存在，；② 【分析】（1）先求出，再运用待定系数法求出抛物线的函数关系式，即，再令，解出，即可作答． （2）先表达，结合“恰好是以为底边的等腰三角形”得出，代入数值，运用因式分解法解方程，即可作答． （3）①证明，根据，得出不变，则，即可作答．②在以为圆心，4为半径的半圆上，，结合运动轨迹，得出的最小值，再运用勾股定理列式计算，即可作答． 【详解】（1）解：在中， 令，则， 令，则， ， 把代入 得， ， 抛物线的函数关系式为：， 令，则， ， ； （2）解：点，过点作轴的垂线分别与直线和抛物线交于、两点， ， 当为底时，作于，    则， ， ， 解得：（不合题意，舍去）， 当时，恰好是以为底边的等腰三角形； （3）解：①存在，，过程如下： ， ， 当时，， 不变， 即， ②将绕原点顺时针旋转得到（旋转角在到之间）； ∴在以为圆心，4为半径的半圆上， 由①知，， ， 的最小值， 此时三点共线，    ∵ 的最小值． 【点睛】本题考查了二次函数的几何综合，解一元二次方程，相似三角形的判定与性质，勾股定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 题型十八、二次函数中的新定义 1．定义：在平面直角坐标系中，抛物线与轴的交点坐标为，我们就把直线称为这条抛物线的极限分割线． (1)抛物线的极限分割线与这条抛物线的交点坐标为 ； (2)经过点和的抛物线与轴交于点，它的极限分割线与该抛物线的另一个交点为，请用含的代数式表示点的坐标； (3)在（）的条件下，设抛物线的顶点为，直线垂直平分，垂足为，交该抛物线的对称轴于点．连接，若，求点的坐标． 【答案】(1)和； (2)点的坐标为； (3)点的坐标为或． 【分析】（）由抛物线与轴的交点可知其极限分割线，求得抛物线的对称轴，根据抛物线的对称性可得极限分割线与这条抛物线的另一个交点坐标； （）由抛物线经过点代入抛物线的解析式，可用表示出，将函数解析式中的用表示，再对解析式配方，则可得抛物线的对称轴，然后由抛物线的对称性可得点的坐标； （）设与对称轴交于点，若，则，由此可得关于的绝对值方程，解得的值，再求得相应的值即可得出答案； 本题考查了二次函数的图象与性质，抛物线与坐标轴的交点坐标，直线与抛物线的交点坐标，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】（1）∵抛物线的对称轴为直线，极限分割线为， ∴极限分割线与这条抛物线的一个交点坐标为，则另一个交点坐标为， 故答案为：和； （2）∵抛物线经过点， ∴， ∴， ∵ ， ∴对称轴为直线， ∴点的坐标为； （3）设与对称轴交于点，若，则， ∴， ∴或， ∴当 时，，点的坐标为 ； 当时，，点的坐标为 ， ∴点的坐标为或． 2．定义：函数图象上的点的纵坐标与横坐标的差叫做点的“双减差”，图象上所有点的“双减差”中最小值称为函数图象的“幸福值”如：抛物线上有点，则点的“双减差”为12；而抛物线上所有点的“双减差”，即该抛物线的“幸福值”为．根据定义，解答下列问题： (1)已知函数图象上点的横坐标，求点的“双减差”的值； (2)若直线的“幸福值”为，求的值； (3)设抛物线顶点的横坐标为，且该抛物线的顶点在直线上，当时，抛物线的“幸福值”是5，求该抛物线的解析式． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题以新定义题型为背景，考查了一次函数的增减性、二次函数的最值等知识点，掌握相关函数的性质是解题关键. （1）求出点的坐标即可求解； （2）由题意得，根据可得随的增大而增大．即可得当时，有最小值，据此即可求解； （3）由题意得抛物线的顶点坐标为：，继而得；令可求其对称轴为直线；分类讨论，，，三种情况即可求解； 【详解】（1）解：将代入得：， ∴ ∴点的“双减差”的值为： （2）解：由得：， ∵， ∴， ∴随的增大而增大． 故：当时，有最小值，且最小值为：， ∴， 解得：（舍去） ∴ （3）解：由题意得：抛物线的顶点坐标为：， ∴ ∴ 令，则其对称轴为直线； ∵， ∴，即：； ，此时（不符合题意）； ，即：， 此时，当，取最小值， 则， 解得：（舍去）， ∴； ，即：， 此时，当，取最小值， 则， 解得：（舍去）， 综上所述，该抛物线的解析式为：； 3．定义；若当点在某一函数图象上时，点也在该函数图象上，则称该函数为“知返函数”，点称为“知返点”． (1)已知一次函数为“知返函数”，求该一次函数的解析式； (2)若反比例函数（为整数）的函数图象上存在“知返点”，求的最大值； (3)函数的图象是由二次函数的图象x轴下方的部分沿x轴翻折到x轴上方，图象的其余部分保持不变得到的．若函数的图象与“知返函数”的图象有四个交点，求m的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)或； 【分析】（1）将点、代入即可求解； （2）由题意得：，整理得；根据即可求解； （3）令，整理得：，可得或；结合函数经过点时，此时函数与有三个交点即可求解； 【详解】（1）解：将点、代入得： ， 解得： ∴ （2）解：由题意得：， 即：， ∵反比例函数（为整数）的函数图象上存在“知返点”， ∴ 解得： ∵ ∴整数的最大值为 （3）解：函数的图象中，由二次函数的图象x轴下方的部分沿x轴翻折到x轴上方部分对应的函数解析式为： 由（1）得：“知返函数”为， 令，整理得： 令 解得：或； 当函数经过点时，此时函数与有三个交点 有：，解得： ∴ 综上所述：或； 【点睛】本题以新定义题型为背景，考查了一次函数的解析式、反比例函数、二次函数的图象与性质、一元二次方程根的判别式等知识点，综合性较强，需要学生具备扎实的函数基础. 题型十九、二次函数中的三角函数 1．【基础应用】 (1)如图1，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，点在第一象限，且轴，求点的坐标； 【变式应用一】 (2)如图2，在平面直角坐标系中，点在函数的图象上，点在第二象限，连接，点恰好在反比例函数的图象上，则的值为 ； 【变式应用二】 (3)如图3，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于点和点，点在点的右侧，点在轴的正半轴上，连接，在第一象限作矩形，点在二次函数的图象的对称轴上，连接，若，求点的坐标． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）证明，得到，得到，计算坐标即可． （2）过点A作轴于点C，过点B作轴于点D， 证明，结合,得到．结合反比例函数的性质，得，得，，根据反比例函数的图象分布在第二、第四象限，计算即可． （3）过点D作轴于点F，确定对称轴为直线，，结合矩形，，可得，证明,计算即可． 【详解】（1）∵点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为， ∴， ∴， ∵点在第一象限，轴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故点． （2）过点A作轴于点C，过点B作轴于点D， ∵ ∴， ∴，, ∴， ∴， ∴． ∴， ∵点A是反比例函数图象上的一点， ∴， ∴， ∵点恰好在反比例函数的图象上， ∴， ∵反比例函数的图象分布在第二、第四象限， ∴， 故答案为：． （3）过点D作轴于点F， ∵二次函数的图象与轴交于点和点，点在点的右侧， ∴，对称轴为直线， 解得， ∴， ∵矩形，， ∴，， ∴， ∵， ∴, ∴， ∴， ∴． ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了一线三直角相似模型，三角函数的应用，矩形的性质，反比例函数的性质，熟练掌握一线三直角相似模型，三角函数的应用，是解题的关键． 2．如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，抛物线交轴于两点（在左侧），交轴于点，直线的解析式为，且． (1)如图1，求抛物线的解析式； (2)如图2，点是第一象限抛物线上的一点，过点作轴交于点，连接，设点的横坐标为，的面积为，求与的函数关系式（不要求写出自变量取值范围）； (3)如图3，在（2）的条件下，连接交轴于点、交于点，连接，过作交于点，连接，，点在第四象限的抛物线上，连接交于点，若，求点的坐标． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用直线解析式和三角函数求出点B，点A坐标，再用待定系数法求出解析式即可； （2）根据点的横坐标为，表示出点E，点F坐标，再根据三角形面积公式求出与的函数关系式即可； （3）延长交于点Q，连接交于点P，作交于点G，求出点E坐标，再根据求出点R坐标即可． 【详解】（1）解：把代入得，， ∴点C坐标为， 把代入得，， ∴点B坐标为， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴点B坐标为， 把点B，点A坐标代入得， ，解得， 所以，抛物线解析式为． （2）解：∵设点的横坐标为，轴， ∴，， 则， ． （3）解：延长交于点Q，连接交于点P，作交于点G， ∵点E坐标为，点B坐标为， ∴直线的解析式为， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即 ∵， ∴， ∴，即， ∴≌， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴≌， ∴， ∴， 解得，， ∴点E坐标为，直线的解析式为， 则点D坐标为， 将线段绕点D逆时针旋转，得到线段， 则点U坐标为，， ∵点B坐标为， ∴直线的解析式为， ∵，， ∴，即， ∴， ∴， ∴直线的解析式为， 与抛物线解析式联立得，， 解得，（舍去），， ∴点的坐标为． 【点睛】本题考查了二次函数与一次函数、几何变换的综合，解题关键是求出二次函数解析式，利用点的坐标，通过列方程，求解析式来解决问题． 3．已知抛物线关于y轴对称，且过点和点．    (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，连接抛物线上两点，N，若，求点N的坐标； (3)如图2，过点作与y轴不垂直的直线交抛物线于点A和点B，线段的垂直平分线交y轴于点M，交于P，试探究是否为定值？若是，求出定值；若不是，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)固定不变 【分析】（1）由抛物线对称轴为轴可得，再通过待定系数法求解． （2）过作交于，再过作轴于，过作轴于，则，，即可求出点坐标，再联立和抛物线求出点坐标． （3）设直线解析式为，由点可得，联立抛物线方程可得，，从而可得中点坐标，点作轴于点，作轴的平行线交过点的轴平行线于点，由垂直平分可得所在直线解析式，进而求解． 【详解】（1）解：抛物线关于轴对称， ，即， ， 将，代入得， 解得， ． （2）解：过作交于，再过作轴于，过作轴于，则， ∵，轴，轴 ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴，， ∴， 设直线解析式为， ∴，解得， ∴直线解析式为， 联立，解得或， ∴ （3）解：设直线解析式为， 直线过点， ， 令，整理得， 设点，，，， ，， 设中点为，，则， ， ， 如图，过点作轴于点，则点坐标为，作轴的平行线交过点的轴平行线于点，   ，， ， ， ，即， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查二次函数的综合应用，涉及求抛物线解析式，正切，相似三角形的判定与性质，二次函数与一元二次方程的关系等知识点． 题型二十、二次函数中的等角 1．如图，抛物线与轴交于点、两点，与轴交点，连接，顶点为． (1)求抛物线的解析式及顶点的坐标； (2)已知点是抛物线上的一点，连接，若，求点的坐标． (3)如图2，若是直线上方抛物线上一动点，连接交于点，当的值最大时，求点的坐标． 【答案】(1)， (2)点的坐标为：或 (3) 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）分点P在上方和下方两种情况讨论，点P在上方时，根据内错角相等，两直线平行，得到，即得到点P纵坐标与点C纵坐标相等，即可求解；点P在下方时，设直线与x轴交于点G，此时，，求出点G的坐标，再求出直线的解析式，联立二次函数即可求解； （3）过点作轴，交于点，设，直线的解析式为，然后求出直线的解析式为：，得到点坐标，进而可得，最后根据进行求解． 【详解】（1）解：抛物线与轴交于点、两点， ， 解得：， 抛物线的解析式为； ， 顶点； （2）解：如图，当点P在上方时， ， ， 令抛物线的解析式中，则， ， 点P纵坐标与点C纵坐标相等，即， ，即， 解得：或（舍去）， ； 如图，当点P在下方时，设直线与x轴交于点G， ， ， ， ， 设，则， ， 在中，， ， 解得：， ， 设直线的解析式， 则， 解得：， 直线的解析式为， 联立，即， 解得：或（舍去）， 则， ； 综上，点的坐标为：或； （3）解：过点作轴，交于点，如图所示： 设，直线的解析式为， 由（1）可知：，， ， 解得：， 直线的解析式为：， ， ， 轴， ， ， 当时，有值最大， 则， ． 【点睛】本题考查二次函数综合应用，涉及待定系数法、二次函数图象上点坐标的特征、相似三角形的判定及性质、等腰三角形的判定等知识，熟练掌握分类讨论的思想是解题的关键． 2．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线交轴于点，交轴于点，其中，，抛物线的对称轴是直线， (1)求抛物线的表达式； (2)平分交轴于，点是直线上方抛物线上的一动点，过点作交直线于点，交直线于点，点是线段上一动点，连接，当线段取最大值时，求的最小值； (3)如图2，连接，将该抛物线沿射线方向平移，使得新抛物线经过点，且与直线相交于另一点，点为新抛物线上的一个动点当时，直接写出所有符合条件的点的坐标． 【答案】(1) (2)的最小值 (3)点的坐标为或 【分析】（1）根据可得，根据对称轴可得，运用待定系数法即可求解； （2）根据二次函数图象的性质，分别求出点的坐标，确定直线的解析式为，根据三角函数的计算可得，如图所示，过点作轴于点，过点作轴于点，交于点，且，可得，设，用含的式子表示出的值，根据二次函数求最值的方法确定点的坐标及，如图所示，连接，根据三角形三边数量关系可得当轴时，即点与点重合时，的值最小，即时的值最小，由此即可求解； （3）根据二次函数图象的平移可得新的二次函数解析式为，再运用三角函数的计算可得，则点关于轴的对称点是点，则，求出直线的解析式，如图所示，延长交新抛物线与点，联立直线与新抛物线解析式为二元一次方程组求解可得点的坐标；当时，可得轴，得到点的纵坐标为，且点在新抛物线的图象上，代入计算即可求解的坐标，由此即可求解． 【详解】（1）解：∵，抛物线的对称轴是直线， ∴，， ∴， 解得，， ∴抛物线的解析式为：； （2）解：已知，对称轴为， ∴，即， 解得，， ∴， 在抛物线中，当时，， ∴， 设直线的解析式为， ∴， 解得，， ∴直线的解析式为， ∵，， ∴，，且， ∴， ∴，则， ∵是的角平分线， ∴， 如图所示，过点作轴于点，过点作轴于点，交于点，且， ∵，轴，， ∴， ∴在中，， 已知点是直线上方抛物线上的一动点， ∴设，则，， ∴，， ∴，，， ∵， ∴， 在中，，则， ∴， ∴， ∴， ∵，对称轴为， ∴当时，有最大值， ∴，即， 如图所示，连接，且， ∴在中，， 当轴时，即点与点重合时，的值最小，即时的值最小， ∴的最小值为； （3）解：二次函数解析式为， ∵将该抛物线沿射线方向平移，使得新抛物线经过点，且， ∴移动规律为：向左平移个单位，向上平移个单位， ∴平移后的二次函数解析式为， ∵，， ∴在中，， ∴， ∵， ∴点关于轴的对称点是点，则， 如图所示，延长交新抛物线与点， ∴， 设直线的解析式为， ∴， 解得，， ∴直线的解析式为， 联立直线与新抛物线解析式为方程组得， ， 解得，（与点重合，不符合题意，舍去），， ∴； 当时， ∵， ∴，则， ∴， ∴， ∴轴， ∴点的纵坐标为，且点在新抛物线的图象上， ∴， 解得，（与点重合，不符合题意，舍去），， ∴； 综上所述，点为新抛物线上的一个动点当时，点的坐标为或． 【点睛】本题主要考查了待定系数法求一次函数，二次函数解析式，二次函数与图形的综合，含角的直角三角形的性质，解直角三角形的运用，三角形三边数量关系确定线段最小值，二次函数图象的平移，二次函数与二元一次方程组计算交点等问题的综合运用，掌握二次函数图象的性质，与几何图形的综合运用，图形结合分析，分类讨论思想是解题的关键． 3．如图，抛物线与x轴交于点，与y轴交于点B，点C在直线上，过点C作轴于点，将沿所在直线翻折，使点A恰好落在抛物线上的点E处． (1)求抛物线的函数表达式； (2)抛物线上是否存在一点P，使？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由； (3)已知点M在抛物线上，点N在直线上，若存在以A、B、M、N为顶点的平行四边形，请直接写出点M的坐标． 【答案】(1) (2)符合条件的P点坐标是或 (3)或或 【分析】（1）先根据翻折得到E点坐标，然后结合，，运用待定系数法求解即可； （2）先说明是等腰直角三角形，设点P的坐标为，然后分点P在x轴上方和下方两种情况分别解答即可． （3）分三种情况讨论：当为对角线时，当为对角线时，当为对角线时，设，，而，，再利用平行四边形的性质求解即可． 【详解】（1）解：∵沿CD所在直线翻折，点A落在点E处，， ∴， 把A，E两点坐标代入得：， 解得， ∴抛物线的解析式为． （2）解：存在，理由如下： ∵，， ∴， 在中，， ∴是等腰直角三角形， ， ∵点P在抛物线上， ∴设点P的坐标为， ①当点P在x轴上方时记为，过作轴于点M， 在中， ∵， ∴， 即， 解得，（舍去）， 当时，， ∴， ②当点P在x轴下方时记为，过作轴于点N， 在中， ∴， ∴， ∴， 解得，（舍去）， 当时，， ∴， 综上，符合条件的P点坐标是或． （3）解：∵以A、B、M、N为顶点的四边形是平行四边形， 如图，当为对角线时， 设，，而，， ∴， 解得：， ∴， 当为对角线时，如图， 设，，而，， ∴， 解得：， ∴， 如图，当为对角线时， 设，，而，， ∴， 解得：， ∴， 综上：或或． 【点睛】本题属于二次函数综合题，涉及二次函数的性质、求二次函数解析式、二次函数与几何图形综合等知识点，灵活运用二次函数的性质以及其与几何知识的联系是解答本题的关键． 题型二十一、二次函数中的倍角 1．如图1，抛物线经过，两点，与轴交于点，为第四象限内抛物线上一点．    (1)求抛物线的函数表达式； (2)设四边形的面积为S，求S的最大值； (3)如图2，过点作轴于点，连接，，与轴交于点．当时，求直线的函数表达式及点的坐标． 【答案】(1) (2)S的最大值为 (3)； 【分析】（1）将，代入，即可求解； （2）过点P作PM⊥x轴于点N，P为第四象限内抛物线上一点，设点，则，，根据得，然后根据二次函数的最值求解即可； （3）由题意得到，则，设，由，求出，再由待定系数法求直线的解析式即可；分解直线的解析式和抛物线的解析式，求出点P的坐标即可． 【详解】（1）解：将，代入，得： ， ， ； （2）解：过点P作轴于点N，如图所示，    令，则， ∴， ∴， ∵P为第四象限内抛物线上一点，设点， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴ ， ∵ ∴当时，S有最大值，． （3）解：设交y轴于点N，如图，    ∵轴，轴， ∴， ， ， ， ， ， 设，则， ， ， ， 设直线的解析式为，把，代入得： ， ， ， 令， 解得：，， ∴点P的横坐标为， 把代入得：， ∴点P的坐标为． 【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，等腰三角形的判定，求一次函数解析式，勾股定理，求二次函数解析式，待定指数法求函数解析式，熟练掌握二次函数的图象及性质，勾股定理，注意数形结合思想是解题的关键． 2．如图1，抛物线经过两点，与轴交于点为第四象限内抛物线上一点，过点作轴于点，连接与轴交于点． (1)求抛物线的函数表达式； (2)设的面积为，求的最大值； (3)当时，求直线的函数表达式及点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)直线的函数表达式为，点P的坐标为 【分析】（1）把A、B两点坐标分别代入解析式中，解二元一次方程组即可求解； （2）连接，设，由，利用二次函数的性质即可求解； （3）作关于直线的对称线段，连接，设中点为G，则易得：，；从而，即轴；设，，则可得点G的坐标；再求出直线的解析式，把点G的坐标代入直线解析式中，求得h；根据，得到关于t的方程，求得t，从而可求得点P的坐标，用待定系数法求得直线的函数表达式． 【详解】（1）解：∵抛物线经过两点， ∴， 解得：， ∴ （2）解：对于，令，则， ∴； ∵， ∴； 连接，设， ∵点P在第四象限， ∴， ∴ ， 当时，S有最大值； （3）解：如图，作关于直线的对称线段，连接，设中点为G， 则，； ∵， ∴， ∴， ∵轴， ∴轴； 设，， 则点G的坐标为； 设直线的解析式为，其中， 把点A、C的坐标代入解析式中，得：， 解得：； 即直线的解析式为； 把点G的坐标代入直线解析式中，得， ∴； ∴； ∵ ∵， ∴， 解得：或（舍去）， 则， 即点P的坐标为； 设直线的函数表达式为， 把A、P坐标分别代入得：， 解得：， 即直线的函数表达式为． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，待定系数法求函数解析式，对称的性质，割补法求图形面积，勾股定理等知识，掌握相关知识，善于转化是解题的关键． 3．如图，已知抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，并且经过，两点． (1)求抛物线的解析式； (2)点D为直线下方抛物线上的一动点，直线交线段于点E，请求出的最大值； (3)探究：在抛物线上是否存在点M，使得？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，M坐标为或 【分析】（1）由抛物线经过，两点，知对称轴为直线，可得，即可求出b的值，从而得到抛物线的解析式； （2）过D作轴交于F，过B作轴交于G，在中，得，直线解析式为，即可知，设，则，从而表示出，由，得， 可得当时，取最大值； （3）作关于y轴的对称点，连接，在上取点K，使，作直线交抛物线于M，根据关于y轴对称，，可知M是满足条件的点，设，由得，直线解析式为，解，即可得；由对称性可知，若为关于x轴的对称点，则直线与抛物线交点也满足，此时直线解析式为，同理可得． 【详解】（1）解：∵抛物线经过，两点， ∴抛物线的对称轴为直线， ∴， ∴， ∴抛物线的解析式为； （2）过D作轴交于F，过B作轴交于G，如图： 在中，令得，令得或， ， 由得直线解析式为， 在中，令得， ∴， 设，则， ∴， ∵轴，轴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴当时，取最大值； 答：的最大值为； （3）存在，理由如下： 作关于y轴的对称点，连接，在上取点K，使，作直线交抛物线于M，如图： ∵关于y轴对称， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴M是满足条件的点， 由得直线解析式为， 设， ∵， ∴， 解得或， ∴， 由，得直线解析式为， 解， 得或， ∴； 由对称性可知，若为关于x轴的对称点，则直线与抛物线交点也满足， 此时直线解析式为， 由 得或， ∴； 综上所述，M坐标为或． 【点睛】本题考查了二次函数的综合应用，涉及待定系数法求解析式、相似三角形的判定与性质、等腰三角形等知识，解题的关键是作辅助线，构造相似三角形、等腰三角形解决问题． 题型二十二、二次函数中的定值 1．如图1，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，已知，对称轴为直线 (1)求抛物线的解析式； (2)点P在抛物线上，点Q在x轴上，以B，C，P，Q为顶点的四边形为平行四边形，求点P的坐标； (3)如图2，抛物线顶点为D，对称轴与x轴交于点E，过点的直线（不与直线重合）与抛物线交于G，H两点，直线分别交x轴于点M，N，画出图形，试探究是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由． 【答案】(1) (2)点P的坐标为或或 (3)是定值，定值为 【分析】（1）根据题意可得点B的坐标为，进而得抛物线的表达式为：，即可求解； （2）设点P的坐标为：，点，分类讨论当或或为对角线三种情况即可求解； （3）设直线的表达式为：，点G、H的坐标分别为，；联立和可得； 由点G、D的坐标得，直线的表达式为：，据此即可求解； 【详解】（1）解：∵抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，，对称轴为直线 点B的横坐标为 点B的坐标为， 抛物线的表达式为：， 即 ∴， 则抛物线的表达式为：； （2）解：由题意得： 设点P的坐标为：，点， 当或为对角线时，由中点坐标公式得 解得（舍去）或2， 则点； 当为对角线时，同理可得： 解得： 则点P的坐标为：或 综上所述，点P的坐标为或或 （3）解：是定值，理由： 直线过点，故设直线的表达式为： 设点G、H的坐标分别为， 联立和并整理得： 则 由点G、D的坐标得，直线的表达式为： 令，则，即点， 则, 同理可得， 则 【点睛】本题考查了二次函数综合问题，涉及了二次函数的解析式求解、二次函数与特殊四边形问题、二次函数与一次函数综合问题等知识点，掌握函数的性质是解题关键． 2．如图，已知拋物线与x轴交于点，B，与y轴交于点，P点是抛物线上一动点． (1)求抛物线的函数解析式； (2)如图1，P点是直线上方抛物线上一点，当点P到直线的距离为最大时，求此时P点坐标； (3)如图2，点K是抛物线对称轴直线上一动点，点M，N在直线左侧的抛物线上，点N在M的左侧，若为等腰直角三角形，，设点M，N的横坐标分别为m，n，探究的值是否为定值，若是，求的值；若不是，请说明理由； (4)点P是y轴左侧抛物线上一点（不与点A重合），过点P作轴，垂足为点D，直线与直线交于点E，当点E关于直线的对称点落在y轴上时，求点P的坐标． 【答案】(1) (2) (3)的值是定值，定值为1 (4)或 【分析】（1）利用待定系数法解答，即可求解； （2）连接，过点P作轴交于点S，过P作于点T，求出直线的解析式为，设点P的坐标为，则点S的坐标为，可得，再由，可得，即可求解； （3）根据题意可得点，，设直线l交x轴于点Q，分别过点M，N作，，垂足分别为H，G，则，证明，可得，再由，即可求解； （4）分两种情况讨论：当点P在第二象限时；当点P在第三象限时，即可求解． 【详解】（1）解：把，代入拋物线得： ，解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）解：如图，连接，过点P作轴交于点S，过P作于点T， 设直线的解析式为， 把点，代入得： ，解得：， ∴直线的解析式为， 设点P的坐标为，则点S的坐标为， ∴， ∵点，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴当时，得值最小，即点P到得距离最小， 此时点P的坐标为； （3）解：∵抛物线的解析式为 ∴对称轴为直线， ∴点，， 如图，设直线l交x轴于点Q，分别过点M，N作，，垂足分别为H，G，则， ∴， ∵为等腰直角三角形，， ∴， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴， 即的值是定值，定值为1； （4）解：当点P在第二象限时，如图， 设点P的坐标为，则点D的坐标为， 由（2）得：直线的解析式为， ∴点E的坐标为， ∵轴， ∴轴， ∴， ∵点E关于直线的对称点落在y轴上， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：或0（舍去）， ∴点P的坐标为； 当点P在第三象限时，如图， 同理， ∴， 解得：或0（舍去）， ∴点P的坐标为； 综上所述，点P的坐标为或． 【点睛】本题考查二次函数与几何综合，涉及待定系数法求二次函数解析式，一次函数，两点间距离公式，轴对称的性质，全等三角形的判定和性质等，熟练运用数形结合及分类讨论思想是解题的关键． 3．已知抛物线与x轴交于点和点，与y轴负半轴交于点A． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)如图，若直线下方的抛物线上有一动点P，过点P作y轴平行线交于点F，过点P作的垂线，垂足为E，求周长的最大值； (3)将抛物线向左平移1个单位，再向上平移4个单位，得到一个新的抛物线，问在y轴正半轴上是否存在一点M，使得当经过点M的任意一条直线与新抛物线交于S，T两点时，总有为定值？若存在，直接写出出点M坐标及定值，若不存在，说明理由． 【答案】(1)； (2)； (3)存在，为定值4． 【分析】（1）把点，点代入，得出关于、的二元一次方程组，解方程组求出、的值，即可得解； （2）根据抛物线解析式求出点，利用待定系数法求出直线解析式为，根据轴，，以及，，得到为等腰直角三角形，继而得到，设，则，，根据动点P在直线下方的抛物线上得，求得，进而得到周长为，利用二次函数的性质求出最大值即可； （3）根据平移规律得出新的抛物线解析式为，设直线的解析式为，点，点，则，联立新抛物线与直线的解析式得，利用一元二次方程根与系数的关系得到，，结合两点间的距离公式，进而得到，根据为定值，求出值及定值即可． 【详解】（1）解： 抛物线与x轴交于点和点， ， 解得， 该抛物线的函数表达式为． （2）解： 抛物线的函数表达式为， 当，， ， ，又， ， 轴， ， 又， 为等腰直角三角形， ， 设直线解析式为，将，代入，则 ， 解得， 直线解析式为， 设，由于动点P在直线下方的抛物线上， ， 轴， ， 在直线上， ， ， 周长为 ， 当时，周长最大值为． （3）解：将抛物线向左平移1个单位，再向上平移4个单位，得到一个新的抛物线为，即， 设直线的解析式为，点，点，则， 联立新抛物线与直线的解析式得： ， ， ，， ， 同理可得，， ， 为定值， ， 解得， 当时，， 存在点，使得当经过点M的任意一条直线与新抛物线交于S，T两点时，总有为定值4． 【点睛】本题考查二次函数的综合，待定系数法求函数解析式、二次函数图像的平移、求二次函数的最大值、一元二次方程根与系数的关系，勾股定理，等腰三角形的性质，两点间的距离公式，熟练掌握相关的性质及规律是解题关键． 题型二十三、二次函数中的比值 1．在平面直角坐标系中，抛物线经过，两点，与轴交于点，点是抛物线上一动点，且在直线的上方． (1)求抛物线的表达式． (2)如图1，过点作轴，交直线于点，若，求点的坐标． (3)如图2，连接，与交于点，过点作交于点．记、、的面积分别为．求的最大值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用待定系数法求函数解析式即可； （2）令时，，求出，进一步求出直线的解析式为，设，则，表示出，，利用，可得，可得； （3）由得到，进而得到，作交y轴于N，作轴交于Q，求出直线的解析式为，进而得到，求出，再证明，设，则，得到，得到即可． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于点，， ∴， 解得：， ∴抛物线解析式为．； （2）解：∵当时，， ∴， 设直线的解析式为， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为， 设，则， ∵轴于点D， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得，（此时，重合，不合题意舍去）， ∴， ∴； （3）解：∵， ， ∴， ， 作交y轴于N，作轴交于Q， 直线的解析式为，， 直线的解析式为， 将代入，得：， 解得：， 直线的解析式为， 当时，， ， ∴，， ，， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ， 设，则， ∴， ， ∵， ∴当时，有最大值． 【点睛】此题是二次函数综合题，考查了待定系数法求一次函数和二次函数解析式、相似三角形的判定和性质、二次函数的图象和性质等知识，数形结合和准确计算是解题的关键． 2．已知，抛物线与x轴交于两点，与y轴交于点C，且对称轴为直线． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，在第二象限的抛物线上作点D，连接交直线于点E，若与相似，求点D的横坐标； (3)如图2，经过点的直线交抛物线于两点（M在第三象限，N在第一象限），直线交线段于点Q（不与重合），若的值与k无关，求的值． 【答案】(1)抛物线的解析式为 (2)或者 (3) 【分析】（1）利用待定系数法求函数解析式即可； （2）分为和两种情况分别画图，求出直线解析式，联立直线和二次函数的解析式求解即可； （3）设点，可以求出直线，然后求出，，然后分别作，则，进而得到代入求值即可． 【详解】（1）由已知，知点， 且对称轴为直线则 解得 所以抛物线的解析式为． （2）如图，①当时，，则 设直线为， 将代入得解得， 所以直线， 因为，所以直线为：， 联立抛物线与直线得 即， 解得（舍去）； ②当时，， 作， 由，对称轴为直线， 则， 所以， 所以， 作，则， 设得，点， 直线为：，联立抛物线与直线， 解得（舍去） 综上所述点D的横坐标为或者．          （3）  如图，设点， 因为直线经过点， 所以，直线 联立直线与直线，解得① 联立直线与抛物线得 即 由韦达定理得② 如图分别作，则， ， 所以， 将及①②代入得， 设， ，因为若的值与k无关， 解得，或． 当时，P与Q重合，不合题意，故舍 ． 【点睛】本题考查二次函数的图像和性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形，作辅助线构造相似三角形是解题的关键． 3．抛物线交轴于是第一象限抛物线上一点，直线交轴于点． (1)求抛物线的函数表达式； (2)如图（1），当时，在抛物线上存在点（异于点），使和面积相等，如果存在，求出所有满足条件的点的横坐标；如果不存在，说明理由； (3)如图（2），直线交抛物线于另一点，连接交轴于点，点的横坐标为．求的值（用含的式子表示）． 【答案】(1) (2)存在，满足条件的点的横坐标为0，， (3) 【分析】（1）由待定系数法确定二次函数解析式即可得到答案； （2）根据题意，分类求解：①若点在的下方时，由，即可求解；②若点在的上方时，点关于点的对称点，过点作的平行线交抛物线于点，，，符合条件，进而求解； （3）设，是方程的两根，则，得到，进而求解． 【详解】（1）解：∵， ∴，解得， ∴； （2）解：， ， 直线的解析式为， 又∵ ∴两点到的距离相等， ①若点在的下方时，过点作的平行线与抛物线交点即为，如图所示： ，， 直线的解析式为， 由，解得， ， 的横坐标为0． ②若点在的上方时，点关于点的对称点，过点作的平行线交抛物线于点，，则，符合条件，如图所示： 直线的解析式为， 由，可得，解得， ，的横坐标为，， 综上所述，满足条件的点的横坐标为0，，； （3）解：设点的横坐标为，过点的直线的解析式为， 由，可得， 设，是方程的两根，则， ， ， ， ， ， ， ， 设直线的解析式为，同理，可得， ， ， ， ． 【点睛】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的图象与性质、待定系数法确定函数解析式、一次函数的性质，一元二次方程的根与系数的关系等知识，解题的关键是学会构建一次函数，构建方程组确定交点坐标，学会利用参数解决问题，属于中考压轴题． 题型二十四、二次函数中的交点 1．我们约定：抛物线与轴的两个交点以及顶点构成的三角形称为“顶点三角形”，若顶点三角形为等边三角形，则称该抛物线为“正抛物线”（如图3），若顶点三角形为等腰直角三角形，则称该抛物线为“正直抛物线”（如图2）． (1)如图1，已知，是线段的中点，，，求证：以为顶点且过点、的抛物线是“正抛物线”； (2)若点与点在“正直抛物线”上，求该“正直抛物线”的解析式； (3)已知：与“正抛物线”关于原点中心对称的抛物线为，将抛物线图象中在直线上方的图象沿直线向下翻折，当直线与翻折后的图象有个交点时，求的取值范围． 【答案】(1)证明见解析 (2)或 (3) 【分析】（1）根据角所对的直角边等于斜边的一半，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半证明是等边三角形即可； （2）确定该抛物线的对称轴为，设抛物线与轴的另一个交点为点，抛物线的顶点为点，对称轴与轴交于点，根据“正直抛物线”的定义得为等腰直角三角形且，然后分两种情况求解：当时，当时； （3）如图，设抛物线与轴的两个交点为点、，顶点为，对称轴与轴交于点，根据“正抛物线”的定义确定该抛物线的解析式为，继而推出抛物线的解析式为，联立，解得：或，得到，代入直线得，若直线与抛物线只有一个交点，联立，求解后可得结论． 【详解】（1）证明：∵，，， ∴， ∵是线段的中点， ∴，， ∴， ∴是等边三角形， ∴以为顶点且过点、的抛物线是“正抛物线”； （2）解：∵点与点在“正直抛物线”上， ∴抛物线的对称为：， ∴， ∵，得：， ∴抛物线经过原点， 设抛物线与轴的另一个交点为点，抛物线的顶点为点，对称轴与轴交于点， ∵抛物线是“正直抛物线”， ∴顶点三角形为等腰直角三角形，且， 当时，如图， ∵为等腰直角三角形，且， ∴， ∵对称轴与轴交于点， ∴， ∴， ∴， ∵， 解得：，， ∴该“正直抛物线”的解析式为； 当时，如图， ∵为等腰直角三角形，且， ∴， ∵对称轴与轴交于点， ∴， ∴， ∴， ∵， 解得：，， ∴该“正直抛物线”的解析式为； 综上所述，该“正直抛物线”的解析式为或； （3）如图，设抛物线与轴的两个交点为点、，顶点为，对称轴与轴交于点， ∴， ∵抛物线是“正抛物线”， ∴为等边三角形，，设边长为， ∴，， ∴， ∴， 当时，， ∴，，， ， ∴，即， ∴， 解得：，（不符合题意，舍去）， ∴该抛物线的解析式为， 设点为抛物线上任意一点， ∵点关于原点对称的点的坐标为， ∴与“正抛物线”关于原点中心对称的抛物线为：， ∴抛物线的解析式为， 联立， 解得：或， ∴， 当直线过点时， 得：， 解得：， 若直线与抛物线只有一个交点， 联立：， 整理得：， ∴， 解得：或， ∴当时，直线与翻折后的图像有个交点． 【点睛】本题是抛物线的综合题，考查了等边三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，待定系数法确定函数解析式，关于原点对称的函数的解析式，直线与抛物线的交点，一元二次方程根的判别式及根与系数的关系等知识点．掌握“正抛物线”、“正直抛物线”的定义及数形结合思想的运用是解题的关键． 2．在平面直角坐标系中，抛物线（c为常数）经过点，点A在抛物线上，且点A的横坐标为． (1)求抛物线的解析式，并直接写出顶点的坐标； (2)当时，过点A作轴，垂足为点M，过点A作y轴的垂线交抛物线于点N，若，求m的值； (3)点A关于x轴的对称点是点B，点C也在抛物线上，点C的横坐标是，当线段不与坐标轴平行时，以为对角线构造矩形，使矩形各边与坐标轴垂直． ①若抛物线在矩形内部的点的纵坐标y随x的增大而增大时，或者y随x的增大而减小时，求m的取值范围； ②当抛物线与矩形的边只有2个交点，且交点的纵坐标之差为1时，直接写出m的值． 【答案】(1)， (2) (3)①或②或 【分析】（1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）设，根据题意，列出方程进行求解即可． （3）①按m值，分几种情况画出图形，确定m的范围即可． ②与①相同的讨论方式，结合图象列出关于m的方程即可得解． 【详解】（1）解：把代入，得：， 解得：， ∴， ∴， ∴顶点坐标为； （2）设，由题意，得：，， ∴， ∴， 解得：或（舍去）； ∴； （3）①由题意：， 当轴时，则：，解得：， 如图1，当时，B在C点左下方，矩形内部既有增有减，不符合题意． 如图2，当时，B在C的左上方，符合题意． ∴； 如图3，当时，B在C的右上方，矩形内无图象，不符合题意． 如图4，当时，B在C的右下方，符合题意． 如图5，当时，矩形内部有两段图象，不符合题意． 综上：m的取值范围为：或． ②当，且图象与矩形只有两个交点时，此时两个交点的纵坐标相同，不符合题意； 当时，图象与矩形只有两个交点时，两个交点分别为点和点，如图， 则：，解得：； ③当时，此时一个交点为点，另一个交点在边上，则，另一个点的纵坐标与的纵坐标相同，为， ∴，解得：或（舍去）； 综上：或． 【点睛】本题考查二次函数的综合应用，综合性强，难度大，属于压轴题，正确的求出函数解析式，利用数形结合和分类讨论的思想，进行求解，时解题的关键． 3．如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线（b是常数）经过点．点A的坐标为，点B在该抛物线上，且横坐标为，其中． (1)求该抛物线对应的函数解析式； (2)当轴时，求点B的坐标； (3)以为对角线作矩形，使矩形的各边均与某条坐标轴平行．当抛物线在矩形内部的点的纵坐标y随着x的增大而增大时，且此抛物线在矩形内（包括抛物线与矩形各边的交点）的最高点与最低点的纵坐标的差为3时，求m的值； (4)当点B在点A的上方时，过点B作轴于点C，连接、．若四边形的边和抛物线有两个交点（不包括四边形的顶点），设这两个交点分别为点D、E．当以点C、E、O（或以点C、D、O）为顶点的三角形的面积是面积的时，直接写出所有满足条件的m的值． 【答案】(1) (2)点B的坐标为 (3)或或 (4)或 【分析】（1）根据抛物线经过点即可求得答案； （2）点A在x轴上，根据轴可以得到点B也在x轴上，根据点B的纵坐标为0建立方程即可求得m的值，从而求得答案； （3）分别根据、和三种情况展开讨论，通过最高点与最低点的纵坐标的差为3建立方程，解方程即可得到答案； （4）由题意得，设，作轴，轴．①当时，可得，，即，．J将E点坐标代入抛物线的表达式中，即可求出m的值；②当时， 可得 ，将D点坐标代入抛物线的表达式中，即可求出m的值． 【详解】（1）解：∵抛物线（b是常数）经过点， ， 解得， ∴抛物线的解析式为. （2）解：∵点A的坐标为，点B在抛物线上，且轴， ∴点B在x轴上， ∵点B在该抛物线上，横坐标为， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴B点的坐标为； （3）解：点A和点B关于直线对称， 当时，，． ∵点B在该抛物线上，横坐标为， ∴ ①当时，如图， 可得 解得； ②当时，如图， 可得， 解得或（舍去）； ③当时，如图 可得， 解得或（舍去）， 综上，或或． （4）解：∵，， 又∵， ∴， ∵点B在点A的上方 ∴， 或（舍去）， 设，作轴，轴， ①当时，， 则，， ∴，， ∴，． ∵E点在抛物线上， ∴， 解得：，（舍去）； ②当时，， 则． ∵D点在抛物线上， ∴， 解得：，（舍去）． 综上，或． 【点睛】本题考查了二次函数综合运用，二次函数的性质，面积问题．熟练掌握二次函数的性质，根据题意画出图形，分类讨论，是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$