专题03 圆的基本性质（知识串讲+热点考题+真题训练）-2024-2025学年九年级数学上学期期中期末考点归纳满分攻略讲练（浙教版）

专题03 圆的基本性质 【考点1】圆的基本概念． 【考点2】点与圆的位置关系． 【考点3】确定圆的条件． 【考点4】三角形的外接圆与外心 【考点5】生活中的旋转现象． 【考点6】旋转的性质． 【考点7】坐标与图形变化﹣旋转． 【考点8】作图﹣旋转变换；作图﹣平移变换． 【考点9】垂径定理 【考点10】垂径定理的应用． 【考点11】圆心角、弧、弦的关系． 【考点12】圆周角定理 【考点13】圆内接四边形的性质； 【考点14】正多边形和圆 【考点15】弧长的计算． 【考点16】扇形面积计算 【考点17】不规则图形面积计算 知识点1 ：圆的定义及性质 圆的定义：在一个平面内，线段绕它固定的一个端点旋转一周，另一个端点所形 成的图形叫圆。这个固定的端点叫做圆心，线段叫做半径。 圆的表示方法：以点为圆心的圆记作⊙O，读作圆O。 圆的特点：在一个平面内，所有到一个定点的距离等于定长的点组成的图形。 确定圆的条件：1）圆心；2）半径。 备注：圆心确定圆的位置，半径长度确定圆的大小。 【补充】1）圆心相同且半径相等的圆叫做同圆； 2）圆心相同，半径不相等的两个圆叫做同心圆； 3）半径相等的圆叫做等圆。 圆的对称性：1）圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴； 2）圆是以圆心为对称中心的中心对称图形。 知识点2 ：圆的有关概念 弦的概念：连结圆上任意两点的线段叫做弦(例如：右图中的AB)。 直径的概念：经过圆心的弦叫做直径（例如：右图中的CD）。 备注：1）直径是同一圆中最长的弦。2）直径长度等于半径长度的2倍。 弧的概念：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。以为端点的弧记作，读作圆弧AB或弧AB。 等弧的概念：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧。 半圆的概念：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆。 优弧的概念：在一个圆中大于半圆的弧叫做优弧。 劣弧的概念：小于半圆的弧叫做劣弧。 知识点3 ：确定圆的条件 1.过三点的圆 不在同一直线上的三个点确定一个圆。 知识点4：三角形的外接圆与外心 1.三角形的外接圆 经过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆。 2.三角形的外心 三角形的外接圆的圆心是三角形三条边的垂直平分线的交点，它叫做这个三角形的外心。 知识点5：旋转的概念 把一个平面图形绕着平面内某一点O转动一个角度，叫做图形的旋转，点O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角（如下图中的∠BOF），如果图形上的点B经过旋转变为点F，那么这两个点叫做对应点. 注意 :（1）图形的旋转就是一个图形围绕一点旋转一定的角度，因而旋转一定有旋转中心和旋转角，且旋转前后图形能够重合，这是判断旋转的关键。 （2）旋转中心是点而不是线，旋转必须指出旋转方向。 （3）旋转的范围是平面内的旋转，否则有可能旋转成立体图形，因而要注意此点。 知识点6 ：旋转的性质 旋转的性质： （1）对应点到旋转中心的距离相等。 （2）对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角。 （3）旋转前、后的图形全等。 注意 ： （1）旋转中心、旋转方向、旋转角度是确定旋转的关键. （2）性质是通过学生操作验证得出的结论，性质（1）和（2）是旋转作图的关键，整个性质是旋转这部分内容的核心，是解决有关旋转问题的基础. （3）要正确理解旋转中的变与不变，寻找等量关系，解决问题。 知识点7：旋转作图 （1）旋转图形的作法：根据旋转的性质可知，对应角都相等，都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形。 （2）旋转作图有自己独特的特点，决定图形位置的因素较多，旋转角、旋转方向、旋转中心，其中任一元素不同，位置就不同，但得到的图形全等. 知识点8：垂径定理 垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。 推论1：1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； 2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧； 3）平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。 推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。 常见辅助线做法（考点）：1）过圆心，作垂线，连半径，造，用勾股，求长度； 2） 有弧中点，连中点和圆心，得垂直平分 知识点9 ：垂径定理的应用 经常为未知数，结合方程于勾股定理解答 知识点10： 圆心角的概念 圆心角概念：顶点在圆心的角叫做圆心角。 弧、弦、弦心距、圆心角之间的关系定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等。 推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量分别相等。 知识点11： 圆角角的概念 圆周角概念：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角。 圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。（即：圆周角=） 推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等。 在同圆或等圆中，如果两个圆周角相等，它们所对的弧一定相等。 推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，的圆周角所对的弦是直径。 推论3：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。 知识点12：圆内接四边形 圆的内接四边形定理：圆的内接四边形的对角互补，外角等于它的内对角。 即：在⊙中， ∵四边是内接四边形 ∴ 知识点13: 圆内正多边形的计算 （1）正三角形 在⊙中△是正三角形，有关计算在中进行：； （2）正四边形 同理，四边形的有关计算在中进行，： （3）正六边形 同理，六边形的有关计算在中进行， 知识点14:与正多边形有关的概念 1、正多边形的中心 正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心。 2、正多边形的半径 正多边形的外接圆的半径叫做这个正多边形的半径。 3、正多边形的边心距 正多边形的中心到正多边形一边的距离叫做这个正多边形的边心距。 4、中心角 正多边形的每一边所对的外接圆的圆心角叫做这个正多边形的中心角。 知识点15: 正多边形的对称性 1、正多边形的轴对称性 正多边形都是轴对称图形。一个正n边形共有n条对称轴，每条对称轴都通过正n边形的中心。 2、正多边形的中心对称性 边数为偶数的正多边形是中心对称图形，它的对称中心是正多边形的中心。 3、正多边形的画法 先用量角器或尺规等分圆，再做正多边形。 知识点16：扇形的弧长和面积计算 扇形：（1）弧长公式：； （2）扇形面积公式： ：圆心角 ：扇形多对应的圆的半径 ：扇形弧长 ：扇形面积 注意：　 (1)对于弧长公式，关键是要理解1°的圆心角所对的弧长是圆周长的，即； (2)公式中的ｎ表示1°圆心角的倍数，故ｎ和180都不带单位，R为弧所在圆的半径； (3)弧长公式所涉及的三个量：弧长、圆心角度数、弧所在圆的半径，知道其中的两个量就可以求出第三个量. (4)对于扇形面积公式，关键要理解圆心角是1°的扇形面积是圆面积的， 即； (5)在扇形面积公式中，涉及三个量：扇形面积S、扇形半径R、扇形的圆心角，知道其中的两个量就可以求出第三个量 . 知识点17：扇形与圆柱、圆锥之间联系 1、圆柱： （1）圆柱侧面展开图 = （2） 圆柱的体积： 2、圆锥侧面展开图 （1）= （2）圆锥的体积： 注意：圆锥的底周长=扇形的弧长（） 【考点1】圆的基本概念． 1．下列说法，正确的是（   ） A．优弧大于劣弧 B．平分弦的直径垂直于弦 C．相等的圆心角所对的弧相等 D．直径所对圆周角是直角 2．下列说法正确的是（    ） A．大于半圆的弧叫做优弧 B．长度相等的两条弧叫做等弧 C．过圆心的线段是直径 D．直径一定大于弦 3．下列说法：①同一圆上的点到圆心的距离相等；②如果某几个点到一个定点的距离相等，则这几个点共圆；③半径确定了，圆就确定了，其中正确的是（    ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 4．如图，点A，B，C在上，，，则（　　）． A． B． C． D． 【考点2】点与圆的位置关系． 5．的半径为3，点到圆心的距离为4，点与的位置关系是（   ） A．点在外 B．点在内 C．点在上 D．不能确定 6．的半径为5，点到圆心的距离为5，点与的位置关系是（   ） A．点在内 B．点在外 C．点在上 D．无法确定 7．已知的半径为，，则点P与的位置关系是（   ） A．点P在内 B．点P在上 C．点P在外 D．无法确定 8．在中，，，，以点B为圆心，12为半径画圆，则点A与的位置关系是（   ） A．点A在外 B．点A在上 C．点A在内 D．无法确定 【考点3】确定圆的条件． 9．已知，，三点可以确定一个圆，则以下点坐标不满足要求的是（    ） A． B． C． D． 10．小王不慎把一面圆形镜子打碎了，其中三块如图所示，三块碎片中最有可能配到与原来一样大小的圆形镜子的碎片是（    ） A．① B．② C．③ D．都不能 11．正方形的四个顶点和它的中心共5个点能确定 个不同的圆． 【考点4】三角形的外接圆与外心 12．在中，，，，则这个三角形的外接圆的直径是（   ） A．5 B．10 C．4 D．3 13．如图，在平面直角坐标系中，点，点，点，则经画图操作可知：的外心坐标应是（    ） A． B． C． D． 14．是的外接圆，则点O是（     ） A．三条边的垂直平分线的交点 B．三个内角平分线的交点 C．三条边上的中线的交点 D．三条边上的高的交点 15．如图，在直角坐标系中，点、点、，则外接圆的半径为 ． 【考点5】生活中的旋转现象． 16．下列运动形式属于旋转的是（    ） A．足球在地上的滚动B．电梯的运行 C．热气球点火升空 D．钟摆的摆动 17．下面每组的两个图形，经过平移后可以重合的是（    ）． A．   B．   C．   18．钟表的分针匀速旋转一周需要60分钟，经过20分钟，分针旋转了 ． 【考点6】旋转的性质． 19．如图，将绕B点顺时针方向旋转一个角α到，点A的对应点D恰好落在上，且．若，则α的度数为（   ） A．30° B．40° C．45° D．36° 20．如图，在中．，将绕点A顺时针方向旋转，得到．则的度数是（    ） A． B． C． D． 21．如图，在 中，， ， 将 绕点A 逆时针旋转 ，得到，连 接，则 的长是 ．    22．如图，在中，，、是斜边上两点，且，将绕点顺时针旋转后，得到，连结，则下列结论：①；②为等腰直角三角形；③平分；④．正确的是 ． 23．【课本再现】 （1）正方形的对角线相交于点O，正方形与正方形的边长都等于6，都等于，如图①摆放时，重叠部分的面积是______； （2）（知识在探究）在正方形绕点O旋转的过程中（如图②），上述重叠部分的面积有没有变化？请说明理由． 【拓展延伸】 如图③，四边中，，边，直接写出的长______． 【考点7】坐标与图形变化﹣旋转． 24．将点绕原点逆时针旋转得到的点的坐标是（    ） A． B． C． D． 25．如图，将正方形先向右平移，使点B与原点O重合，再将所得正方形绕原点O顺时针方向旋转，得到四边形，则点A的对应点的坐标是（    ） A． B． C． D． 26．如图，正方形、的两边、分别在轴．轴上，点在边上，以为中心，把旋转，则旋转后点的对应点的坐标是（   ） A． B． C．或 D．或 27．如图，在平面直角坐标系中，绕点旋转得到，已知点的坐标为，则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 28．如图，在平面直角坐标系中，线段与x轴正半轴的夹角为，且，若将线段绕点O沿逆时针方向旋转到线段，则此时点的坐标为（　　） A． B． C． D． 【考点8】作图﹣旋转变换 29．如图所示的方格纸中，每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，建立平面直角坐标系后，的顶点均在格点上． (1)以原点为对称中心，画出关于原点对称的； (2)再画出以点为旋转中心，沿顺时针方向旋转后的图形． 30．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，．（每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形） (1)将先向上平移2个单位长度，再向右平移4个单位长度得到，画出平移后的； (2)将绕着坐标原点顺时针旋转，得到，画出旋转后的； (3)求的面积． 31．如图，三个顶点的坐标分别为，，． (1)请画出关于原点对称的； (2)请画出绕O顺时针旋转后的并写出点的坐标． 【考点9】垂径定理 32．如图，是某供水管道的截面图，里面尚有一些水，若液面宽度，半径于，液面深度，则该管道的直径长为（   ） A． B． C． D． 33．如图，为的直径，弦于点，于点，若的半径为3，，则的长为（   ） A．1 B． C． D． 34．如图，为的弦，于点．若，，则的半径长为 ． 35．如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦交小圆于C、D两点，若，． (1)求证：； (2)若大圆半径为，求小圆的半径． 【考点10】垂径定理的应用． 36．如图是一个在建隧道的横截面，它的形状是以点为圆心的圆的一部分，若是中弦的中点，经过圆心交于点，且，，则的半径为（   ）． A．5 B．6.5 C．7.5 D．8 37．我国明代科学家徐光启在《农政全书》中描绘了一种我国古代常用的水利灌溉工具——筒车．如图，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心O为圆心的圆，已知圆心O在水面的上方，被水面截得的弦长为16米，水面到运行轨道最低点的距离为4米，则的半径为 米．    38．石拱桥的主桥拱是圆弧形．如图，一石拱桥的跨度，拱高，那么桥拱所在圆的半径 m． 39．如图2是根据图1中的石拱桥的实物图画出的几何图形，桥的主桥拱是圆弧形，设所在圆的圆心为，拱顶为点，交于点，连接．当桥下水面宽时，． (1)求这座石拱桥主桥拱的半径； (2)有一条宽为，高出水面的矩形渔船，请你判断一下，此渔船能否顺利通过这座拱桥？并说明理由． 40．赵州桥始建于隋代，是世界上现存年代久远、跨度最大、保存最完整的单孔石拱桥（如图1）．现有一座仿赵州桥建造的圆拱桥（如图2），已知此圆拱桥的跨径（桥拱圆弧所对的弦的长）为，拱高（桥拱圆弧的中点到弦的距离）为．求此桥拱圆弧的半径（精确到．） 41．如图，某公路上有一隧道，顶部是圆弧形拱顶，圆心为O，隧道的水平宽为，离地面的高度，拱顶最高处C离地面的高度为．若在拱顶的M，N处安装照明灯，且M，N离地面的高度相等，都为． (1)求圆弧形拱顶的半径的长度； (2)求的长度． 42．如图，有一座圆弧形拱桥，桥下水面宽，为16米，拱高为4米． (1)求桥拱的半径； (2)若大雨过后，洪水泛滥到河面宽度为12米时，求水面涨高了多少？ 【考点11】圆心角、弧、弦的关系． 43．下列语句中：（1）相等的圆心角所对的弧相等；（2）等弧所对的弦相等；（3）长度相等的两条弧是等弧；（4）圆是轴对称图形，任何一条直径都是对称轴．正确的有（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 44．如图，已知是的直径，D，C是劣弧 的三等分点，，那么（    ） A． B． C． D． 45．如图，的直径，半径，点在弧上，，，垂足分别为、，若点为的中点，弧的度数为 ．    46．如图，在中，，，则 ． 47．如图，在中，是两条直径，弦，若所对圆心角的度数是，则 ． 48．如图，是的直径，，点在上，，为的中点，是直径上一动点，则的最小值是 ． 【考点12】圆周角定理 49．如图，点、、在上，，，则的度数为（    ）． A． B． C． D． 50．如图，在中，是直径，是弦，于点E，且，则（    ） A． B． C． D． 51．如图，内接于，是的直径，，则 °． 52．如图，是的直径，弦，垂足为，连接，若，，则的半径为 ． 【考点13】圆内接四边形的性质； 53．如图，为的直径，点，在上，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 54．如图， ，，，是上的四个点，已知，，则（    ） A． B． C． D． 55．如图，四边形为的内接四边形，，则的大小是 ． 56．如图，在的内接四边形中，，，则的度数为 ． 【考点14】正多边形和圆 57．一个圆的半径为1，则该圆的内接正六边形的周长为（    ） A．1 B．6 C． D．4 58．如图，正五边形内接于，为上一点（点与点、不重合），连接、，，垂足为，的度数为（   ）      A． B． C． D． 59．如图，正六边形与正三角形共顶点，若三角形的边长为，则这个六边形的面积为（    ） A． B． C． D． 60．如图，正五边形内接于，则的度数为 ． 61．如图，A、B、C、D为一个正多边形的顶点，O为正多边形的中心，若，则这个正多边形的边数为 【考点15】弧长的计算． 62．如图，点在上，，，．若的半径为，则的长为（   ）    A． B． C． D． 63．如图，在中，，把绕点A顺时针旋转后，得到，则点B走过的路径长为（   ） A． B． C． D． 64．如图，物理实验中利用一个半径为的定滑轮提起砝码，小明向下拉动绳子一端，使得定滑轮逆时针转动，则砝码被提起了 ．（结果保留） 65．如图，已知，，，半径为2的从点出发，沿方向滚动到点时停止，圆心运动的路程是 ． 【考点16】扇形面积计算 66．如图，一扇形纸扇完全打开后，两竹条外侧和的夹角为，OC长为，贴纸部分的长为，则贴纸部分的面积为 （结果保留）． 67．已知一个扇形的圆心角为，其弧长为，则该扇形的面积为 ． 68．已知圆锥的母线长是9，侧面展开图（扇形）的圆心角是，则它的侧面积是 ． 【考点17】不规则图形面积计算 69．如图，小方格都是边长为1的正方形，则以格点为圆心，半径为1和2的两种弧围成的“叶状”阴影图案的面积为（   ） A． B． C． D． 70．如图，正方形的边长为2，以A为圆心，为半径画弧．连接，以A为圆心，为半径画弧交的延长线于点E，则图中阴影部分的面积是 ． 71．如图，已知六边形 是的内接正六边形，的半径为，连接，则图中阴影部分的面积是 ． 一、单选题 1．已知的半径为4，平面内有一点．若，则点与的位置关系是（    ）． A．在圆内 B．在圆上 C．在圆外 D．不能确定 2．如图，是的直径，是的切线，A为切点，与交于点D，连接．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 3．如图，在中，，则等于（    ） A． B． C． D． 4．如图，正五边形内接于，与相切于点C，则的度数为（　　） A． B． C． D． 5．如图，正六边形的边，与相切于点C，F，连接，，则的度数是（    ） A．120° B．144° C．150° D．160° 6．如图，点A，B是上两点，连接，交于点C，垂足为点D，优弧⊥一点E，连接，已知，则的大小为（        ） A． B． C． D． 7．如图，四边形为的内接四边形，，则 的大小是（   ）    A． B． C． D． 8．如图，在中，，把绕点A顺时针旋转后，得到，则点B走过的路径长为（   ） A． B． C． D． 9．如图，是的内切圆，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 10．如图，如果从半径为的圆形纸片上剪去圆周的一个扇形，将留下的扇形围成一个圆锥（接缝处不重叠），那么这个圆锥的高是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 11．如图，是的弦，若的半径，圆心到弦的距离，则弦的长为 ． 12．如图，将放在每个小正方形的边长为1的网格中，点均在格点上，若点的坐标为，则的外心坐标是 ． 13． 圆锥母线长为，底面圆半径为，则这个圆锥的侧面积等于 （结果保留）． 14．左图是2023年杭州亚运会的会标，抽象成如右图所示的扇形，已知，，，则图形的面积为 ． 三、解答题 15．如图，，交于点C，D，是半径，且于点F． (1)求证：； (2)若，，求的半径． 16．【阅读材料】平面几何中的费马问题是十七世纪法国数学家、被誉为业余数学家之王的皮埃尔·德·费马提出的一个著名的几何问题．请托里拆利解答：如图①，给定不在一条直线上的三个点、、，求平面上到这三个点的距离之和最短的点的位置．托里拆利成功地解决了费马的问题．后来人们为了纪念他们，就把平面上到一个三角形的三个顶点、、距离之和最小的点称为的费马—托里拆利点． 【问题解决】证明：如图②，把绕点逆时针旋转得到，连接， ，， 为等边三角形， ， 点可看成是线段绕点逆时针旋转而得的定点，为定长． 当四点在同一直线上时，最小． （1）观察图②中、和，试猜想这三个角的大小关系． （2）【类比探究】如图③，在直角三角形内部有一动点，，，连接，，，若．求的最小值； （3）【拓展应用】已知正方形内一动点到三点的距离之和的最小值为，求出此正方形的边长． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 圆的基本性质 【考点1】圆的基本概念． 【考点2】点与圆的位置关系． 【考点3】确定圆的条件． 【考点4】三角形的外接圆与外心 【考点5】生活中的旋转现象． 【考点6】旋转的性质． 【考点7】坐标与图形变化﹣旋转． 【考点8】作图﹣旋转变换；作图﹣平移变换． 【考点9】垂径定理 【考点10】垂径定理的应用． 【考点11】圆心角、弧、弦的关系． 【考点12】圆周角定理 【考点13】圆内接四边形的性质； 【考点14】正多边形和圆 【考点15】弧长的计算． 【考点16】扇形面积计算 【考点17】不规则图形面积计算 知识点1 ：圆的定义及性质 圆的定义：在一个平面内，线段绕它固定的一个端点旋转一周，另一个端点所形 成的图形叫圆。这个固定的端点叫做圆心，线段叫做半径。 圆的表示方法：以点为圆心的圆记作⊙O，读作圆O。 圆的特点：在一个平面内，所有到一个定点的距离等于定长的点组成的图形。 确定圆的条件：1）圆心；2）半径。 备注：圆心确定圆的位置，半径长度确定圆的大小。 【补充】1）圆心相同且半径相等的圆叫做同圆； 2）圆心相同，半径不相等的两个圆叫做同心圆； 3）半径相等的圆叫做等圆。 圆的对称性：1）圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴； 2）圆是以圆心为对称中心的中心对称图形。 知识点2 ：圆的有关概念 弦的概念：连结圆上任意两点的线段叫做弦(例如：右图中的AB)。 直径的概念：经过圆心的弦叫做直径（例如：右图中的CD）。 备注：1）直径是同一圆中最长的弦。2）直径长度等于半径长度的2倍。 弧的概念：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。以为端点的弧记作，读作圆弧AB或弧AB。 等弧的概念：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧。 半圆的概念：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆。 优弧的概念：在一个圆中大于半圆的弧叫做优弧。 劣弧的概念：小于半圆的弧叫做劣弧。 知识点3 ：确定圆的条件 1.过三点的圆 不在同一直线上的三个点确定一个圆。 知识点4：三角形的外接圆与外心 1.三角形的外接圆 经过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆。 2.三角形的外心 三角形的外接圆的圆心是三角形三条边的垂直平分线的交点，它叫做这个三角形的外心。 知识点5：旋转的概念 把一个平面图形绕着平面内某一点O转动一个角度，叫做图形的旋转，点O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角（如下图中的∠BOF），如果图形上的点B经过旋转变为点F，那么这两个点叫做对应点. 注意 :（1）图形的旋转就是一个图形围绕一点旋转一定的角度，因而旋转一定有旋转中心和旋转角，且旋转前后图形能够重合，这是判断旋转的关键。 （2）旋转中心是点而不是线，旋转必须指出旋转方向。 （3）旋转的范围是平面内的旋转，否则有可能旋转成立体图形，因而要注意此点。 知识点6 ：旋转的性质 旋转的性质： （1）对应点到旋转中心的距离相等。 （2）对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角。 （3）旋转前、后的图形全等。 注意 ： （1）旋转中心、旋转方向、旋转角度是确定旋转的关键. （2）性质是通过学生操作验证得出的结论，性质（1）和（2）是旋转作图的关键，整个性质是旋转这部分内容的核心，是解决有关旋转问题的基础. （3）要正确理解旋转中的变与不变，寻找等量关系，解决问题。 知识点7：旋转作图 （1）旋转图形的作法：根据旋转的性质可知，对应角都相等，都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形。 （2）旋转作图有自己独特的特点，决定图形位置的因素较多，旋转角、旋转方向、旋转中心，其中任一元素不同，位置就不同，但得到的图形全等. 知识点8：垂径定理 垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。 推论1：1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； 2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧； 3）平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。 推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。 常见辅助线做法（考点）：1）过圆心，作垂线，连半径，造，用勾股，求长度； 2） 有弧中点，连中点和圆心，得垂直平分 知识点9 ：垂径定理的应用 经常为未知数，结合方程于勾股定理解答 知识点10： 圆心角的概念 圆心角概念：顶点在圆心的角叫做圆心角。 弧、弦、弦心距、圆心角之间的关系定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等。 推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量分别相等。 知识点11： 圆角角的概念 圆周角概念：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角。 圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。（即：圆周角=） 推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等。 在同圆或等圆中，如果两个圆周角相等，它们所对的弧一定相等。 推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，的圆周角所对的弦是直径。 推论3：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。 知识点12：圆内接四边形 圆的内接四边形定理：圆的内接四边形的对角互补，外角等于它的内对角。 即：在⊙中， ∵四边是内接四边形 ∴ 知识点13: 圆内正多边形的计算 （1）正三角形 在⊙中△是正三角形，有关计算在中进行：； （2）正四边形 同理，四边形的有关计算在中进行，： （3）正六边形 同理，六边形的有关计算在中进行， 知识点14:与正多边形有关的概念 1、正多边形的中心 正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心。 2、正多边形的半径 正多边形的外接圆的半径叫做这个正多边形的半径。 3、正多边形的边心距 正多边形的中心到正多边形一边的距离叫做这个正多边形的边心距。 4、中心角 正多边形的每一边所对的外接圆的圆心角叫做这个正多边形的中心角。 知识点15: 正多边形的对称性 1、正多边形的轴对称性 正多边形都是轴对称图形。一个正n边形共有n条对称轴，每条对称轴都通过正n边形的中心。 2、正多边形的中心对称性 边数为偶数的正多边形是中心对称图形，它的对称中心是正多边形的中心。 3、正多边形的画法 先用量角器或尺规等分圆，再做正多边形。 知识点16：扇形的弧长和面积计算 扇形：（1）弧长公式：； （2）扇形面积公式： ：圆心角 ：扇形多对应的圆的半径 ：扇形弧长 ：扇形面积 注意：　 (1)对于弧长公式，关键是要理解1°的圆心角所对的弧长是圆周长的，即； (2)公式中的ｎ表示1°圆心角的倍数，故ｎ和180都不带单位，R为弧所在圆的半径； (3)弧长公式所涉及的三个量：弧长、圆心角度数、弧所在圆的半径，知道其中的两个量就可以求出第三个量. (4)对于扇形面积公式，关键要理解圆心角是1°的扇形面积是圆面积的， 即； (5)在扇形面积公式中，涉及三个量：扇形面积S、扇形半径R、扇形的圆心角，知道其中的两个量就可以求出第三个量 . 知识点17：扇形与圆柱、圆锥之间联系 1、圆柱： （1）圆柱侧面展开图 = （2） 圆柱的体积： 2、圆锥侧面展开图 （1）= （2）圆锥的体积： 注意：圆锥的底周长=扇形的弧长（） 【考点1】圆的基本概念． 1．下列说法，正确的是（   ） A．优弧大于劣弧 B．平分弦的直径垂直于弦 C．相等的圆心角所对的弧相等 D．直径所对圆周角是直角 【答案】D 【分析】此题主要考查了圆的有关概念，熟练掌握相关概念是解决此题的关键. 根据圆的有关概念进行逐项辨析即可得解. 【详解】A、同圆或等圆中，优弧一定大于劣弧，故该选项错误； B、平分弦的直径，当被平分的弦是直径时，直径不垂直于弦，故该选项错误； C、同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，故该选项错误； D、直径所对圆周角是直角，故该选项正确； 故选：D． 2．下列说法正确的是（    ） A．大于半圆的弧叫做优弧 B．长度相等的两条弧叫做等弧 C．过圆心的线段是直径 D．直径一定大于弦 【答案】A 【分析】此题考查了圆的有关定义及性质，解题的关键是掌握以上知识点． 根据圆的有关定义及性质分别判断后即可确定正确的选项． 【详解】解：A、大于半圆的弧叫做优弧，原说法正确，符合题意； B、在同圆或等圆中长度相等的两条弧叫做等弧，原说法错误，不符合题意； C、过圆心的弦是直径，原说法错误，不符合题意； D、在同圆或等圆中，直径一定大于除直径外的弦，原说法错误，不符合题意； 故选：A． 3．下列说法：①同一圆上的点到圆心的距离相等；②如果某几个点到一个定点的距离相等，则这几个点共圆；③半径确定了，圆就确定了，其中正确的是（    ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】A 【分析】本题考查了圆的定义，半径的概念以及确定一个圆的基本要素，熟悉基本概念是解决本题的关键．根据圆的定义，半径，确定一个圆的基本要素进行判定即可． 【详解】解：同一圆上的点到圆心的距离相等，且都等于半径，故①正确； 如果某几个点到一个定点的距离相等，则这几个点共圆，故②正确； 圆心和半径共同确定一个圆，半径确定了，圆心位置不确定，圆也不能确定，故③错误． 故选：A． 4．如图，点A，B，C在上，，，则（　　）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了圆的半径相等，等边对等角性质，解题的关键是掌握以上知识点． 连接，根据等边对等角得到，然后求出，然后利用等边对等角求解即可． 【详解】解：连接， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 故选：A． 【考点2】点与圆的位置关系． 5．的半径为3，点到圆心的距离为4，点与的位置关系是（   ） A．点在外 B．点在内 C．点在上 D．不能确定 【答案】A 【分析】本题考查了点与圆的位置关系，根据点到圆心的距离与圆的半径的关系进行判定即可求解． 【详解】解：设点到圆心的距离， ∵， ∴点在外， 故选：A ． 6．的半径为5，点到圆心的距离为5，点与的位置关系是（   ） A．点在内 B．点在外 C．点在上 D．无法确定 【答案】C 【分析】本题考查了点与圆的位置关系：点与圆的位置关系有3种．设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离，则有：点P在圆外⇔；点P在圆上⇔；点P在圆内⇔． 直接根据点与圆的位置关系的判定方法进行判断． 【详解】解：∵的半径为5，点P到圆心O的距离为5， ∴点P到圆心O的距离等于圆的半径， ∴点P在上． 故选：C． 7．已知的半径为，，则点P与的位置关系是（   ） A．点P在内 B．点P在上 C．点P在外 D．无法确定 【答案】A 【分析】本题考查的是点与圆的位置关系：当点到圆心距离小于半径时，点在圆内；当点到圆心距离等于半径时，点在圆上；当点到圆心距离大于半径时，点在圆外． 根据点到圆心的距离即可得出答案． 【详解】解：∵ 即的半径， ∴点P在内， 故选：A． 8．在中，，，，以点B为圆心，12为半径画圆，则点A与的位置关系是（   ） A．点A在外 B．点A在上 C．点A在内 D．无法确定 【答案】A 【分析】本题考查了点与圆的位置关系，利用勾股定理求得边的长，然后通过比较与半径的长即可得到结论，解题的关键是确定圆的半径和点与圆心之间的距离之间的大小关系． 【详解】解：∵在中，，，， ∴， ∵， ∴点A在外， 故选：． 【考点3】确定圆的条件． 9．已知，，三点可以确定一个圆，则以下点坐标不满足要求的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】考查了确定圆的条件及一次函数图象与点的关系，解题的关键是了解“不在同一直线上的三点确定一个圆”，难度不大．利用待定系数法求出直线的解析式，再把每点代入函数解析式，根据不在同一直线上的三点能确定一个圆，由于在直线上，可知答案． 【详解】解：设直线的解析式为， ， 解得， ， A、当，，故不在直线上，根据不在同一直线三点确定一个圆得与，可以确定一个圆，故本选项不符合题意； B、当，，同理，故本选项不符合题意； C、当，，故在直线上，故不能确定一个圆，故本选项符合题意； D、，，同理，故本选项不符合题意． 故选：C． 10．小王不慎把一面圆形镜子打碎了，其中三块如图所示，三块碎片中最有可能配到与原来一样大小的圆形镜子的碎片是（    ） A．① B．② C．③ D．都不能 【答案】B 【分析】要确定圆的大小需知道其半径．根据垂径定理知第②块可确定半径的大小． 【详解】解：第②块出现两条完整的弦，作出这两条弦的垂直平分线，两条垂直平分线的交点就是圆心，进而可得到半径的长． 故选：B． 【点睛】本题考查了垂径定理的应用，确定圆的条件，解题的关键是熟练掌握：圆上任意两弦的垂直平分线的交点即为该圆的圆心． 11．正方形的四个顶点和它的中心共5个点能确定 个不同的圆． 【答案】5 【分析】根据不在同一条直线上的三点可以确定一个圆分析得出． 【详解】解：正方形的四个顶点和它的中心的点的距离相等，中心与一边的两个端点可以确定一个圆，正方形有四条边，因而有四个圆；而正方形的四个顶点都在以中心为圆心的圆上，因而能确定5个不同的圆． 故答案为5． 【点睛】本题考查了确定圆的条件，解题的关键是熟记不在同一条直线上的三点可以确定一个圆． 【考点4】三角形的外接圆与外心 12．在中，，，，则这个三角形的外接圆的直径是（   ） A．5 B．10 C．4 D．3 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的外接圆与外心、勾股定理，熟记直角三角形的斜边就是外接圆直径是解题关键．先根据勾股定理求得斜边长为10，再根据直角三角形外接圆直径等于斜边即可求解． 【详解】解：在中，，，， 斜边， 这个三角形的外接圆的直径是10， 故选：B． 13．如图，在平面直角坐标系中，点，点，点，则经画图操作可知：的外心坐标应是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了三角形外心，坐标与图形，垂直平分线的性质，首先由的外心即是三角形三边垂直平分线的交点，所以在平面直角坐标系中作与的垂直平分线，两垂线的交点即为的外心，解题的关键是正确理解三角形的外心即是三角形三边垂直平分线的交点． 【详解】解：如图， ∵的外心即是三角形三边垂直平分线的交点， ∴分别作与的垂直平分线，两垂线的交点即为的外心， 根据坐标可得：， 故选：B． 14．是的外接圆，则点O是（     ） A．三条边的垂直平分线的交点 B．三个内角平分线的交点 C．三条边上的中线的交点 D．三条边上的高的交点 【答案】A 【分析】本题考查了三角形的外接圆和外心，正确把握外心的定义是解题关键．根据三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心，进而得出答案． 【详解】解：是的外接圆，则点O是三条边的垂直平分线的交点， 故选：A． 15．如图，在直角坐标系中，点、点、，则外接圆的半径为 ． 【答案】 【分析】连接AB，分别作AC、AB的垂直平分线，两直线交于点H，根据垂径定理、坐标与图形性质求出点H的坐标，根据勾股定理计算即可． 【详解】解：连接AB，分别作AC、AB的垂直平分线，两直线交于点H， 由垂径定理得，点H为的外接圆的圆心， 、点、， 点H的坐标为， 则外接圆的半径， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查的是三角形的外接圆与外心、垂径定理、坐标与图形性质，掌握垂径定理、勾股定理是解题的关键． 【考点5】生活中的旋转现象． 16．下列运动形式属于旋转的是（    ） A．足球在地上的滚动B．电梯的运行 C．热气球点火升空 D．钟摆的摆动 【答案】D 【分析】本题考查了旋转的定义，根据“在平面内，将一个图形绕一点按某个方向转动一个角度，这样的运动叫做图形的旋转”即可解答． 【详解】解：A、足球在地上的滚动是旋转加上平移，不符合题意； B、电梯的运行是平移，不符合题意； C、热气球点火升空是平移，不符合题意； D、钟摆的摆动是旋转，符合题意； 故选：D． 17．下面每组的两个图形，经过平移后可以重合的是（    ）． A．   B．   C．   【答案】B 【分析】根据平移、旋转的定义即可解答． 【详解】 解：  经过旋转后可以重合；   经过平移后可以重合；   经过旋转后可以重合． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了平移和旋转的意义，平移是物体运动时，物体上任意两点间，从一点到另一点的方向与距离都不变的运动；旋转是物体运动时，每一个点离同一个点（可以在物体外）的距离不变的运动，称为绕这个点的转动，这个点称为物体的转动中心；所以它并不一定是绕某个轴的运动；也可以这样说平移是不转动的，旋转自然是转动的． 18．钟表的分针匀速旋转一周需要60分钟，经过20分钟，分针旋转了 ． 【答案】/120度 【分析】根据钟表一周为，分针匀速旋转一周需要60分钟，得到1分钟分针旋转，进而求出20分钟，分针旋转的度数即可． 【详解】解：∵钟表一周为，分针匀速旋转一周需要60分钟， ∴1分钟分针旋转， ∴经过20分钟，分针旋转了：； 故答案为：． 【点睛】本题考查钟表中的旋转．熟练掌握钟表一周为，分针旋转一分钟是，是解题的关键． 【考点6】旋转的性质． 19．如图，将绕B点顺时针方向旋转一个角α到，点A的对应点D恰好落在上，且．若，则α的度数为（   ） A．30° B．40° C．45° D．36° 【答案】B 【分析】此题主要考查了旋转的性质，等腰三角形的性质与平行线的性质，三角形内角和定理．首先利用旋转的性质和等腰三角形的性质得到，，然后利用已知条件可以求出，然后利用三角形内角和定理列式计算即可求解． 【详解】解：∵将绕点B顺时针旋转到，， ∴，，， ∴，， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴， 解得， 故选：B． 20．如图，在中．，将绕点A顺时针方向旋转，得到．则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了旋转的性质，解题时注意：对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角．先根据旋转的性质，求得，再根据，即可求得的度数． 【详解】解：根据题意得：， ， ， 故选：B． 21．如图，在 中，， ， 将 绕点A 逆时针旋转 ，得到，连 接，则 的长是 ．    【答案】4 【分析】本题考查勾股定理，旋转的性质和等边三角形的判定与性质，根据旋转的性质得出是等边三角形是解题的关键．由旋转的性质可知，，，故是等边三角形，即可求解． 【详解】解：∵， ， ∴， 由旋转的性质可知，，， ∴是等边三角形， ∴． 故答案为：4． 22．如图，在中，，、是斜边上两点，且，将绕点顺时针旋转后，得到，连结，则下列结论：①；②为等腰直角三角形；③平分；④．正确的是 ． 【答案】①③④ 【分析】①根据旋转的性质，可得，结合，即可判断， ③根据旋转的性质，可证，得到，即可判断， ④由，，在中，应用勾股定理，即可判断， ②根据与的关系，判断与的关系，即可判断， 本题考查了旋转的性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理，解题的关键是：熟练掌握旋转的性质． 【详解】解：由旋转的性质可得：， ，， ， ，故①正确， ， ，即：平分，故③正确， ， ， 在中，，即：，故④正确， 与不一定相等， 与不一定相等，故②不正确， 综上所述，①③④正确， 故答案为：①③④． 23．【课本再现】 （1）正方形的对角线相交于点O，正方形与正方形的边长都等于6，都等于，如图①摆放时，重叠部分的面积是______； （2）（知识在探究）在正方形绕点O旋转的过程中（如图②），上述重叠部分的面积有没有变化？请说明理由． 【拓展延伸】 如图③，四边中，，边，直接写出的长______． 【答案】（1）；（2）不变，理由见解析；（3） 【分析】（1）直接根据正方形的面积求解面积即可； （2）在和中，利用正方形的性质和已知可证出，再利用全等三角形的面积相等即可得结论； （3）如图，过作于，过作于，证明，可得，，证明四边形为正方形，可得，再进一步求解即可． 【详解】解：（1）∵正方形ABCD的边长都等于6， ∴，， ∴如图①摆放时，重叠部分的面积是； （2）没有变化， 理由如下：如图，在正方形和正方形中， ，，， ，， ，， 在和中， ，，， ， ， ， 正方形绕点无论怎样旋转，两个正方形重叠部分的面积总等于一个正方形面积的四分之一 ； （3）如图，过作于，过作于， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴四边形为正方形， ∴， ∵， ∴， ∴； ∴． 【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，正方形的判定与性质，勾股定理的应用，化为最简二次根式，旋转的性质，掌握基础知识是解本题的关键． 【考点7】坐标与图形变化﹣旋转． 24．将点绕原点逆时针旋转得到的点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查坐标与图形，以及旋转的性质，熟练掌握旋转图形的作法是解题关键．根据题意作出图象，然后读出点的坐标，即可解题． 【详解】解：记点为，连接，将绕原点逆时针旋转得到，即点绕原点逆时针旋转得到的点为， 由图知其坐标为， 故选：B． 25．如图，将正方形先向右平移，使点B与原点O重合，再将所得正方形绕原点O顺时针方向旋转，得到四边形，则点A的对应点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—旋转和平移，全等三角形的性质与判定，先根据题意得到平移方式为向右平移3个单位长度，则可得平移后点A的对应点坐标为；如图所示，设绕原点O顺时针旋转90度后的对应点为F，分别过E、F作x轴的垂线，垂足分别为G、H，证明，得到，则，即点A的对应点的坐标是． 【详解】解：由题意得，平移前， ∵将正方形先向右平移，使点B与原点O重合， ∴平移方式为向右平移3个单位长度， ∴平移后点A的对应点坐标为， 如图所示，设绕原点O顺时针旋转90度后的对应点为F，分别过E、F作x轴的垂线，垂足分别为G、H， ∴， 由旋转的性质可得， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点A的对应点的坐标是， 故选：A． 26．如图，正方形、的两边、分别在轴．轴上，点在边上，以为中心，把旋转，则旋转后点的对应点的坐标是（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查了正方形性质，坐标与图形变换——旋转，求直角坐标系中点的坐标，做题时分两种情况，顺时针和逆时针旋转，作出相应图形进行计算即可．作出图形分类讨论是解答本题的关键． 【详解】解：顺时针旋转时，如下图： ， 正方形的边长为， ，， 四边形是正方形， ， 由旋转性质可得：，， 在x轴上， ； 逆时针旋转时，如下图： 由旋转性质可得：，，，， 在y轴上，轴， ， ， 综上，的坐标为或 故选：C． 27．如图，在平面直角坐标系中，绕点旋转得到，已知点的坐标为，则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—旋转，两点中点坐标计算，根据旋转的性质得到点C为的中点，设，利用两点中点坐标计算公式求出m、n的值即可得到答案． 【详解】解：∵绕点旋转得到， ∴，即点C为的中点， 设， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 28．如图，在平面直角坐标系中，线段与x轴正半轴的夹角为，且，若将线段绕点O沿逆时针方向旋转到线段，则此时点的坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了旋转的性质，平角的定义，解直角三角形等知识，正确做出辅助线是解题的关键．过点作轴于点B，求出，解直角三角形得到的长度即可得到答案． 【详解】如答图，过点作轴于点B． 将线段绕点O沿逆时针方向旋转到线段， ， ． 在中， ， ． 根据勾股定理，得， 点的坐标为． 故选C． 【考点8】作图﹣旋转变换 29．如图所示的方格纸中，每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，建立平面直角坐标系后，的顶点均在格点上． (1)以原点为对称中心，画出关于原点对称的； (2)再画出以点为旋转中心，沿顺时针方向旋转后的图形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查的是中心对称的作图，旋转的作图，坐标与图形的计算，掌握旋转与中心对称的性质是解题的关键． （1）分别确定，，关于原点对称的，，，再顺次连接，，即可得到答案； （2）分别确定，绕顺时针旋转的对应点，，再顺序连接，，即可得到答案； 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）解：如图所示，即为所求， 30．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，．（每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形） (1)将先向上平移2个单位长度，再向右平移4个单位长度得到，画出平移后的； (2)将绕着坐标原点顺时针旋转，得到，画出旋转后的； (3)求的面积． 【答案】(1)作图见详解 (2)作图见详解 (3)2 【分析】本题主要考查平面直角坐标系中图形的变换，利用网格求图形面积， （1）根据图形平移的性质作图即可； （2）根据图形旋转的性质作图即可； （3）根据网格特点，运用割补法计算即可求解． 【详解】（1）解：根据平移的性质作图如下， （2）解：根据旋转作图如下， （3）解：， ∴的面积为． 31．如图，三个顶点的坐标分别为，，． (1)请画出关于原点对称的； (2)请画出绕O顺时针旋转后的并写出点的坐标． 【答案】(1)见解析 (2)见解析， 【分析】本题考查的是中心对称的作图，旋转的作图，坐标与图形，利用旋转的性质作图是解本题的关键． （1）分别确定关于原点的对称点，再顺次连接，可得答案； （2）分别确定绕原点顺时针旋转后的对应点，再顺次连接，再根据的位置可得答案； 【详解】（1）解：如图所示：，即为所求； （2）解：如图所示：，即为所求；． 【考点9】垂径定理 32．如图，是某供水管道的截面图，里面尚有一些水，若液面宽度，半径于，液面深度，则该管道的直径长为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了垂径定理，勾股定理，解一元一次方程等知识点，熟练掌握垂径定理是解题的关键． 连接，由，利用垂径定理可得为的中点，于是可求出的长，设圆的半径为，由可表示出，在中，利用勾股定理即可求出的值，进而可得出答案． 【详解】解：如图，连接， ， 为的中点， ， 设圆的半径为， 在中， ， 根据勾股定理，得： ， 即：， 整理，得：， 解得：， 该管道的直径长为， 故选：． 33．如图，为的直径，弦于点，于点，若的半径为3，，则的长为（   ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查圆周角定理，垂径定理，勾股定理．利用勾股定理求出，，再利用垂径定理求得，再求解即可． 【详解】解：如图，连接． ∵的半径为3，， ∴，， 在中，， 在中，， ， ， 在中，． 故选：C． 34．如图，为的弦，于点．若，，则的半径长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了垂径定理，勾股定理，根据垂径定理得出，根据勾股定理求出，即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴为的中点， ∴ 在中，， ∴． ∴的半径为． 故答案为： 35．如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦交小圆于C、D两点，若，． (1)求证：； (2)若大圆半径为，求小圆的半径． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】此题考查了垂径定理、勾股定理等知识，熟练掌握垂径定理是解题的关键． （1）作，垂足为E，根据垂径定理求出，，得到，即可推出； （2）连接，，在中，利用勾股定理求出，在中，利用勾股定理求出． 【详解】（1）证明：作，垂足为E， 由垂径定理知，点E是的中点，也是的中点， ∴，， ， 即； （2）解：连接，， 在中，，， ∴， 在中，， ∴， ∴小圆的半径为． 【考点10】垂径定理的应用． 36．如图是一个在建隧道的横截面，它的形状是以点为圆心的圆的一部分，若是中弦的中点，经过圆心交于点，且，，则的半径为（   ）． A．5 B．6.5 C．7.5 D．8 【答案】A 【分析】本题主要考查了垂径定理的应用，勾股定理等知识；熟练掌握垂径定理，由勾股定理得出方程是解题的关键．根据垂径定理得，则，在中，由勾股定理得，进而可求得半径即可． 【详解】解：连接，如图所示： ∵是中弦的中点，， ∴， ， 设的半径为，则， ∴ 在中，由勾股定理得：， 即：， 解得：， 即的半径为， 故选：A． 37．我国明代科学家徐光启在《农政全书》中描绘了一种我国古代常用的水利灌溉工具——筒车．如图，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心O为圆心的圆，已知圆心O在水面的上方，被水面截得的弦长为16米，水面到运行轨道最低点的距离为4米，则的半径为 米．    【答案】 【分析】本题考查了垂径定理和勾股定理的应用，熟练掌握垂径定理和勾股定理是解题的关键．连接，交于点，根据题意得到，以及，根据勾股定理即可得到答案． 【详解】解：连接，交于点，连接    设半径为， 根据题意可得：， ， ， ， ， 解得， 故答案为：． 38．石拱桥的主桥拱是圆弧形．如图，一石拱桥的跨度，拱高，那么桥拱所在圆的半径 m． 【答案】10 【分析】本题主要考查了桥拱问题，熟练利用勾股定理和垂径定理，是解答问题的关键． 设圆弧形桥拱所在圆的半径为r，则，根据 得到，中根据，解得． 【详解】设圆弧形桥拱所在圆的半径为r， 则， ∵，， ∴， ∴， ∵在中，， ∴， 解得． 故圆弧形拱桥所在圆的半径是10米． 故答案为：10． 39．如图2是根据图1中的石拱桥的实物图画出的几何图形，桥的主桥拱是圆弧形，设所在圆的圆心为，拱顶为点，交于点，连接．当桥下水面宽时，． (1)求这座石拱桥主桥拱的半径； (2)有一条宽为，高出水面的矩形渔船，请你判断一下，此渔船能否顺利通过这座拱桥？并说明理由． 【答案】(1)这座石拱桥主桥拱的半径为 (2)此渔船不能顺利通过这座桥 【分析】本题主题考查圆的基础知识，勾股定理的运用，掌握垂径定理，勾股定理的综合运用是解题的关键． （1）根据垂径定理可得，，，设主桥拱半径为，可得，根据勾股定理即可求解； （2）如图，设为该渔船的上端，连接，根据题意可求出的值，根据勾股定理可求出的值，再与矩形船的宽比较，由此即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， 设主桥拱半径为，由题意可知，， ∴，， ∵， ∴， ∴，解得，， ∴这座石拱桥主桥拱的半径为． （2）解：此渔船不能顺利通过这座拱桥，理由如下， 如图，设为该渔船的上端，连接， ∵，船舱顶部为长方形并高出水面， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴， ∴此渔船不能顺利通过这座桥． 40．赵州桥始建于隋代，是世界上现存年代久远、跨度最大、保存最完整的单孔石拱桥（如图1）．现有一座仿赵州桥建造的圆拱桥（如图2），已知此圆拱桥的跨径（桥拱圆弧所对的弦的长）为，拱高（桥拱圆弧的中点到弦的距离）为．求此桥拱圆弧的半径（精确到．） 【答案】此桥拱圆弧的半径约为 【分析】本题考查了垂径定理的应用以及勾股定理的应用，熟练掌握垂径定理和勾股定理是解题的关键．设弦所在圆的圆心为，弧的中点为，弦的中点为，连接，，，圆的半径为 ，由垂径定理得，然后在中，由勾股定理得出方程，解方程即可． 【详解】解：如图2所示，设弦所在圆的圆心为，弧的中点为，弦的中点为，连接，，，圆的半径为， 由垂径定理可知，， ，，三点共线， ，， ， 在中，由勾股定理得：， ， 解得， 此桥拱圆弧的半径约为． 41．如图，某公路上有一隧道，顶部是圆弧形拱顶，圆心为O，隧道的水平宽为，离地面的高度，拱顶最高处C离地面的高度为．若在拱顶的M，N处安装照明灯，且M，N离地面的高度相等，都为． (1)求圆弧形拱顶的半径的长度； (2)求的长度． 【答案】(1)13m (2)10m 【分析】本题考查了垂径定理的应用： （1）设与交于G，与交于H，根据题意和垂径定理可得，，，利用勾股定理求半径即可； （2）利用勾股定理求得，即可求解． 【详解】（1）解：设与交于G，与交于H． ，，，， ，，， 设圆拱的半径为r， 在中，， ， 解得， 圆弧形拱顶的半径的长度为； （2）解：， ， 在中，， ， 解得， ， ． 42．如图，有一座圆弧形拱桥，桥下水面宽，为16米，拱高为4米． (1)求桥拱的半径； (2)若大雨过后，洪水泛滥到河面宽度为12米时，求水面涨高了多少？ 【答案】(1)桥拱的半径是10米； (2)水面涨高了2米． 【分析】本题考查勾股定理，垂径定理，关键是由勾股定理，垂径定理列出关于圆半径的方程． （1）设桥拱的半径是米，由垂径定理求出（米，而米，由勾股定理得到，求出； （2）由垂径定理求出的长，由勾股定理求出的长，即可求出的长． 【详解】（1）解：如图，半径，， 设桥拱的半径是米， ， （米， 拱高为4米， 米， ， ， ， 桥拱的半径是10米； （2）解：， （米， （米， （米， （米， 水面涨高了2米． 【考点11】圆心角、弧、弦的关系． 43．下列语句中：（1）相等的圆心角所对的弧相等；（2）等弧所对的弦相等；（3）长度相等的两条弧是等弧；（4）圆是轴对称图形，任何一条直径都是对称轴．正确的有（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】B 【分析】本题考查了圆心角、弧、弦的关系以及垂径定理，圆的对称轴，熟练掌握以上知识是解题的关键． 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，据此判断（1）；能重合的弧叫做等弧，据此判断（2）（3）；圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是对称轴，据此判断（4）． 【详解】解：（1）、不符合题意，需要添加前提条件，即在同圆或等圆中； （2）、等弧所对的弦相等，正确，符合题意； （3）、不符合题意，等弧是能重合的弧； （4）、不符合题意，圆的对称轴是直径所在的直线． 故答案为：B． 44．如图，已知是的直径，D，C是劣弧 的三等分点，，那么（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是弧与圆心角的关系，根据题意先求出，再利用邻补角即可求出即可． 【详解】解：∵D，C是劣弧 的三等分点，， ∴， ∴， 故选B． 45．如图，的直径，半径，点在弧上，，，垂足分别为、，若点为的中点，弧的度数为 ．    【答案】/度 【分析】本题考查了矩形的性质，弧与圆心角的关系，等边三角形的性质与判定；连接，交于点，进而得出四边形是矩形，结合已知条件证明是等边三角形，即可求解． 【详解】解：如图所示，连接，交于点，      ∵，，， ∴四边形是矩形， ∴ ∵点为的中点， ∴ ∴ ∴是等边三角形， ∴，即弧的度数为 故答案为：． 46．如图，在中，，，则 ． 【答案】/73度 【分析】本题综合考查了圆心角、弧、弦的关系，以及等腰三角形的性质．根据等弧所对的弦相等求得，从而判定是等腰三角形；然后根据等腰三角形的两个底角；最后由三角形的内角和定理求的度数即可． 【详解】解∶∵在中，， ∴， ∴是等腰三角形， ∴； 又， ∴． 故答案为：． 47．如图，在中，是两条直径，弦，若所对圆心角的度数是，则 ． 【答案】/110度 【分析】本题主要考查了弧与圆心角之间的关系，平行线的性质，等边对等角，连接，则，根据等边对等角和平行线的性质推出，则由平角的定义可得． 【详解】解：如图所示，连接， ∵所对圆心角的度数是 ∴， ∵， ∵， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 48．如图，是的直径，，点在上，，为的中点，是直径上一动点，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了垂径定理，圆周角定理，勾股定理，解题的关键是确定点的位置．作点关于的对称点，连接交于点，连接，则点就是所求作的点．此时最小，且等于的长，连接，，由，可得，根据为的中点，推出，根据垂径定理可推出，得到，最后根据勾股定理求解即可． 【详解】解：作点关于的对称点，连接交于点，连接，则点就是所求作的点． 此时最小，且等于的长． 连接，， ， ， 为的中点， ， ， ， ， ， 则，又， 则， 故答案为：． 【考点12】圆周角定理 49．如图，点、、在上，，，则的度数为（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据，得出，再由平行线的性质得出，根据圆周角定理即可得出结论．本题考查的是圆周角定理，熟知在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解答此题的关键． 【详解】解：，， ． ∵， ， ．（同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍） 故选：B． 50．如图，在中，是直径，是弦，于点E，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查垂径定理，圆周角定理，根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半，求出的度数，再根据垂径定理以及等弧所对的圆周角相等，求出的度数即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵是直径，是弦，于点E， ∴， ∴； 故选D． 51．如图，内接于，是的直径，，则 °． 【答案】50 【详解】本题考查了圆周角定理，掌握直径所对的圆周角是直角，同弧所对的圆周角相等是解题的关键． 根据是的直径，则，从而有，从而求得的度数，再根据圆周角定理即可求解． 【解答】解：∵是的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：50． 52．如图，是的直径，弦，垂足为，连接，若，，则的半径为 ． 【答案】 【分析】本题考查了圆周角定理，垂径定理，等腰直角三角形判定和性质，勾股定理，连接，由圆周角定理可得，由可得，，即得是等腰直角三角形，可得，最后利用勾股定理即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：连接，则， ∵， ∴，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴的半径为， 故答案为：． 【考点13】圆内接四边形的性质； 53．如图，为的直径，点，在上，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了圆内接四边形对角互补，直径所对的圆周角是直角，直角三角形两个锐角互余，根据圆内接四边形对角互补求得，根据直径所对的圆周角是直角可得，根据直角三角形的两个锐角互余即可求解，掌握以上知识是解题的关键． 【详解】∵为的直径， ∴， ∵四边形是圆内接四边形，， ∴， ∴， 故选：． 54．如图， ，，，是上的四个点，已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了圆内接四边形的性质.先求出，再根据圆内接四边形对角互补即可得到答案. 【详解】解：∵，， ∴， ∵四边形是的内接四边形， ∴， 故选：D 55．如图，四边形为的内接四边形，，则的大小是 ． 【答案】/度 【分析】本题考查了圆的内接四边形互补，以及圆周角定理，由题意得，根据 即可求解． 【详解】解：∵四边形为的内接四边形， ∴， ∴ 故答案为： 56．如图，在的内接四边形中，，，则的度数为 ． 【答案】100 【分析】本题考查的是圆内接四边形的性质，等边对等角的知识，熟知圆内接四边形的对角互补是解答此题的关键． 连接，先根据圆内接四边形的性质求出的度数，再由等边对等角的性质以及三角形内角和的定理求出的度数，由圆内接四边形的性质即可得出结论． 【详解】解：如图，连接， ∵四边形是圆内接四边形，， ∴． ∵， ∴． ∴， ∵四边形是圆内接四边形， ∴． 故答案为： 【考点14】正多边形和圆 57．一个圆的半径为1，则该圆的内接正六边形的周长为（    ） A．1 B．6 C． D．4 【答案】B 【分析】本题主要正六边形外接圆、等边三角形的性质等知识点，说明为等边三角形是解题的关键． 首先求出,进而证明为等边三角形，即可求得正六边形的边长为1，进而求得周长． 【详解】解：如图： ∵， ∴为等边三角形， ∴正六边形的边长为， ∴该圆的内接正六边形的周长为6． 故选：B． 58．如图，正五边形内接于，为上一点（点与点、不重合），连接、，，垂足为，的度数为（   ）      A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查正多边形的性质，圆周角定理等知识，连接．求出正五边形的中心角，再利用圆周角定理可得结论． 【详解】解：连接．      在正五边形中，， ， ， ， 故选：B． 59．如图，正六边形与正三角形共顶点，若三角形的边长为，则这个六边形的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接、，设交于点G，根据正六边形性质证明是等边三角形， 推出，，推出，得到,． 【详解】连接、，设交于点G， ∵正六边形中，，， ∴是等边三角形， ∴ ，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵正三角形的边长为， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了正多边形．熟练掌握正六边形性质，等边三角形的判断和性质，垂径定理，圆周角定理，含的直角三角形性质，是解决问题的关键． 60．如图，正五边形内接于，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查正多边形与圆，正多边形的性质，等腰三角形的性质，先利用正多边形的性质求出，，再利用等腰三角形的性质，角度和差求解即可，解题的关键是熟练掌握知识点的应用． 【详解】解：∵正五边形内接于， ∴，， ∴， ∴, 故答案为：． 61．如图，A、B、C、D为一个正多边形的顶点，O为正多边形的中心，若，则这个正多边形的边数为 【答案】九/9 【分析】本题考查正多边形与圆，圆周角，掌握圆周角定理是解决问题的关键，理解正多边形的边数与相应的圆心角之间的关系是解决问题的前提． 根据圆周角定理可得正多边形的边所对的圆心角，再根据正多边形的一条边所对的圆心角的度数与边数之间的关系可得答案． 【详解】解：如图，设正多边形的外接圆为，连接，， ， ， 而， 这个正多边形为正九边形， 故答案为：九． 【考点15】弧长的计算． 62．如图，点在上，，，．若的半径为，则的长为（   ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了弧弦圆心角的关系，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，圆周角定理，弧长公式，连接，由可得，进而得，即得，得到，再根据圆周角定理可得，，即可得，最后根据弧长公式计算即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：连接，    ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的长为， 故选：． 63．如图，在中，，把绕点A顺时针旋转后，得到，则点B走过的路径长为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了勾股定理，求弧长，旋转的性质，先利用勾股定理得到，再由由旋转的性质可得，据此利用弧长公式求解即可． 【详解】解：在中，由勾股定理得， 由旋转的性质可得， ∴点B走过的路径长为， 故选：D． 64．如图，物理实验中利用一个半径为的定滑轮提起砝码，小明向下拉动绳子一端，使得定滑轮逆时针转动，则砝码被提起了 ．（结果保留） 【答案】 【分析】本题主要考查弧长公式，熟练掌握弧长公式是解题的关键；因此此题可直接根据弧长公式及题意进行求解即可． 【详解】解：由题意得：； 故答案为． 65．如图，已知，，，半径为2的从点出发，沿方向滚动到点时停止，圆心运动的路程是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了弧长的计算，找到运动轨迹，将运动轨迹分为三部分进行计算是解题关键．根据题意画出图形，将运动路径分为三部分：，，，分别计算出各部分的长再相加即可． 【详解】解：圆心O运动路径如图：    ∵；弧的长度为；， ∴圆心O运动的路程是． 故答案为：． 【考点16】扇形面积计算 66．如图，一扇形纸扇完全打开后，两竹条外侧和的夹角为，OC长为，贴纸部分的长为，则贴纸部分的面积为 （结果保留）． 【答案】 【分析】本题考查扇形的面积计算，分别求出两个扇形的面积作差即可求出答案． 【详解】解：依题意，贴纸的面积为 故答案为：． 67．已知一个扇形的圆心角为，其弧长为，则该扇形的面积为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了弧长公式，扇形面积的计算等知识点，注意：圆心角为，半径为的扇形的面积弧长．设扇形的半径为 ，根据弧长公式和已知条件得出，求出，再根据扇形的面积公式求出面积即可． 【详解】解：设扇形的半径为 ， 扇形的圆心角为，弧长为， ， 解得：， 扇形的面积为， 故答案为：． 68．已知圆锥的母线长是9，侧面展开图（扇形）的圆心角是，则它的侧面积是 ． 【答案】 【分析】根据圆锥的侧面展开图是扇形，圆锥的母线是扇形的半径，利用扇形的面积公式，代入数值即可求出． 【详解】解：∵圆锥的母线长是9，侧面展开图（扇形）的圆心角是， ∴ 故答案为： 【考点17】不规则图形面积计算 69．如图，小方格都是边长为1的正方形，则以格点为圆心，半径为1和2的两种弧围成的“叶状”阴影图案的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了扇形的面积公式，应用与设计作图．连接，则阴影部分面积，依此计算即可求解． 【详解】解：连接， 由题意得，阴影部分面积． 故选：A． 70．如图，正方形的边长为2，以A为圆心，为半径画弧．连接，以A为圆心，为半径画弧交的延长线于点E，则图中阴影部分的面积是 ． 【答案】 【分析】本题考查了正方形的性质，扇形的面积的计算，图中阴影部分的面积扇形的面积的面积正方形的面积扇形的面积，据此计算即可． 根据正方形的性质和扇形的面积公式即可得到结论． 【详解】解：正方形的边长为2， ，，， ， 图中阴影部分的面积， 故答案为：． 71．如图，已知六边形 是的内接正六边形，的半径为，连接，则图中阴影部分的面积是 ． 【答案】 【分析】本题考查了圆内接多边形的性质，扇形的面积，如图，连接，，证明即可得到答案，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】如图，连接，， ∵六边形是的内接正六边形， ∴， ∴， ∴，，三点共线， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 一、单选题 1．已知的半径为4，平面内有一点．若，则点与的位置关系是（    ）． A．在圆内 B．在圆上 C．在圆外 D．不能确定 【答案】C 【分析】本题考查了点与圆的位置关系：设圆的半径为r，点P到圆心的距离为d，当时，则点P在圆外；当时，点P在圆上；当时，点P在圆内，根据点P与圆的位置关系的判定方法对点M与位置关系进行判断． 【详解】解：∵的半径为4， ∴点M到圆心的距离大于圆的半径， ∴点M在圆外． 故选：C． 2．如图，是的直径，是的切线，A为切点，与交于点D，连接．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查圆周角定理，圆的切线的性质定理，直角三角形两锐角互余，利用同弧所对的圆周角等于圆心角的一半求得，根据AC是的切线得到，即可求出答案．正确理解圆周角定理及切线的性质定理是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵为的切线，A为切点， ∴， ∴， 故选：A． 3．如图，在中，，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了圆周角定理.同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，据此进行解答即可. 【详解】解：∵， ∴ 故选：C 4．如图，正五边形内接于，与相切于点C，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接，，，首先根据正多边形的性质得到，然后证明出，得到，然后切线的性质得到，进而求解即可． 【详解】如图所示，连接，， ∵四边形是正五边形 ∴ ∵，， ∴ ∴ ∵与相切于点C， ∴ ∴ ∴． 故选：C． 【点睛】此题考查了正多边形和圆，全等三角形的性质和判定，圆切线的性质等知识，解题的关键是正确作出辅助线． 5．如图，正六边形的边，与相切于点C，F，连接，，则的度数是（    ） A．120° B．144° C．150° D．160° 【答案】A 【分析】本题考查正多边形和圆，切线的性质，掌握正六边形的性质，切线的性质以及多边形内角和的计算方法是正确解答的关键．根据正六边形的性质可求出各个内角的度数，由切线的性质以及五边形内角和的计算方法即可求出答案． 【详解】解：∵正六边形的边，与相切于点C，F， ∴， ∵六边形是正六边形， ∴， 在五边形中， ， 故选：A． 6．如图，点A，B是上两点，连接，交于点C，垂足为点D，优弧⊥一点E，连接，已知，则的大小为（        ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查垂径定理及圆周角定理，根据垂径定理可得，由圆周角定理可得即可求解． 【详解】∵交于点C， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：A． 7．如图，四边形为的内接四边形，，则 的大小是（   ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了圆内接四边形的性质，圆周角定理，由根据圆内接四边形的性质得，求出，然后由圆周角定理即可求解，解题的关键是掌握圆内接四边形的对角互补． 【详解】∵四边形为的内接四边形， ∴， ∴， ∴， 故选：． 8．如图，在中，，把绕点A顺时针旋转后，得到，则点B走过的路径长为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了勾股定理，求弧长，旋转的性质，先利用勾股定理得到，再由由旋转的性质可得，据此利用弧长公式求解即可． 【详解】解：在中，由勾股定理得， 由旋转的性质可得， ∴点B走过的路径长为， 故选：D． 9．如图，是的内切圆，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了三角形内切圆的定义，三角形内角和定理，根据三角形内角和定理得到，再根据三角形内切圆圆心是其角平分线的交点得到，据此求出，则由三角形内角和定理可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵是的内切圆， ∴分别平分， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 10．如图，如果从半径为的圆形纸片上剪去圆周的一个扇形，将留下的扇形围成一个圆锥（接缝处不重叠），那么这个圆锥的高是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了扇形的弧长以及勾股定理，先根据留下的扇形围成一个圆锥（接缝处不重叠）得出圆锥的底面半径为，再运用勾股定理列式计算，即可作答． 【详解】解：留下的扇形的弧长为， 则圆锥的底面半径为， 圆锥的高为． 故选：C 二、填空题 11．如图，是的弦，若的半径，圆心到弦的距离，则弦的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，由可得，，进而利用勾股定理求出即可求解，掌握垂径定理是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴，， ∵，， ∴， ∴， 故答案为：． 12．如图，将放在每个小正方形的边长为1的网格中，点均在格点上，若点的坐标为，则的外心坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查了三角形的外心，线段垂直平分线的性质，两点之间距离公式，确定外心的性质是解题的关键． 先根据点坐标建立平面直角坐标系，由外心的性质得到点为与垂直平分线的交点，设，通过两点之间距离公式建立方程求解即可． 【详解】解：∵， ∴建立如图所示平面直角坐标系， 则， 设外心为，连接， ∴点为与垂直平分线的交点， ∴点在直线上，， 设， 由得，， 解得：， ∴， 故答案为：． 13．圆锥母线长为，底面圆半径为，则这个圆锥的侧面积等于 （结果保留）． 【答案】 【分析】本题考查了圆锥的计算，解题的关键是弄清圆锥的侧面积的计算方法，特别是圆锥的底面周长等于圆锥的侧面扇形的弧长． 圆锥的侧面积=底面周长×母线长÷2，把相应数值代入即可求解． 【详解】解：∵底面圆半径为， ∴底面圆的周长为， ∴圆锥的侧面积：， 故答案为：． 14．左图是2023年杭州亚运会的会标，抽象成如右图所示的扇形，已知，，，则图形的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查与扇形相关的阴影部分面积计算，正确识别阴影部分面积为两个扇形面积之差，以及正确运用扇形面积公式进行计算是解题的关键．图形的面积为扇形的面积与扇形的面积之差． 【详解】解：∵， ∴， ∴图形的面积为， 故答案为：． 三、解答题 15．如图，，交于点C，D，是半径，且于点F． (1)求证：； (2)若，，求的半径． 【答案】(1)证明见解析 (2)5 【分析】本题考查垂径定理、勾股定理等知识； （1）由垂径定理得，根据等腰三角形的性质可得，再根据线段的和差关系可得结论； （2）连接，结合垂径定理和勾股定理列方程求解即可． 【详解】（1）证明：，为的弦， ， ，， ， ， ； （2）如图，连接， ，为的弦， ，， ∴ 设的半径是， ∴， 解得， 的半径是5． 16．【阅读材料】平面几何中的费马问题是十七世纪法国数学家、被誉为业余数学家之王的皮埃尔·德·费马提出的一个著名的几何问题．请托里拆利解答：如图①，给定不在一条直线上的三个点、、，求平面上到这三个点的距离之和最短的点的位置．托里拆利成功地解决了费马的问题．后来人们为了纪念他们，就把平面上到一个三角形的三个顶点、、距离之和最小的点称为的费马—托里拆利点． 【问题解决】证明：如图②，把绕点逆时针旋转得到，连接， ，， 为等边三角形， ， 点可看成是线段绕点逆时针旋转而得的定点，为定长． 当四点在同一直线上时，最小． （1）观察图②中、和，试猜想这三个角的大小关系． （2）【类比探究】如图③，在直角三角形内部有一动点，，，连接，，，若．求的最小值； （3）【拓展应用】已知正方形内一动点到三点的距离之和的最小值为，求出此正方形的边长． 【答案】（1），理由见详解（2）（3） 【分析】（1）由等边三角形的性质得，由旋转的性质得，即可求解； （2）同理将绕点逆时针旋转得到，当四点在同一直线上时，最小，此时，由等边三角形的性质及直角三角形的特征得 ，由勾股定理得，即可求解； （3）绕点逆时针旋转得到，过作交的延长线于，同理可得 ，设正方形的边长为，由勾股定理得，即可求解． 【详解】（1）解：； 理由如下： 是等边三角形， ， 四点在同一直线上， ， ， 由旋转得： ， ， ； （2）解：如图，由【问题解决】同理将绕点逆时针旋转得到， 当四点在同一直线上时， 最小， 此时， 由旋转得：，， 是等边三角形， ， ， ， ， ， ， ， 在中 ， 故最小值为； （3）解：如图，绕点逆时针旋转得到，过作交的延长线于， 当四点在同一直线上时， 最小， 此时 ， 由旋转得：， ， ， 设正方形的边长为，则有 ， ， ， ， 在中， ， ， 解得：，（舍去）， ， 故正方形的边长为． 【点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定及性质，勾股定理，直角三角形的特征，正方形的性质；掌握“费马点”典型模型的解法是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$