专题04 相似三角形（知识串讲+热考题型+真题训练）-2024-2025学年九年级数学上学期期中期末考点归纳满分攻略讲练（浙教版）

专题04 相似三角形 【考点01 比例性质】 【考点02 比例线段】 【考点03 黄金分割比】 【考点04 平行线分线段成比例定理及其推论基本应用】 【考点05 相似图形及性质】 【考点06 两三角形相似的判定】 【考点07 相似三角形的性质】 【考点08相似三角形的性质与判定综合应用】 【考点09 相似三角形的应用综合】 【考点10位似图形性质】 【考点11位似图形的点坐标】 【考点12 判定位似中心】 【考点13 位似图形-作图】 知识点1 比例线段 1．线段的比： 如果选用同一长度单位量得两条线段a、b长度分别是m、n，那么就说这两条线段的比是a:b=m:n ，或写成． 2．成比例线段：对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的比与另两条线段的比相等，如a:b=c:d，我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段． 3．比例的基本性质： （1）若a:b=c:d ，则ad=bc； （2）若a:b=b:c ，则 =ac（b称为a、c的比例中项）． 知识点2 平行线分线段成比例 类型1 平行线等分线段定理 如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等,那么在其他直线上截得的线段也相等. 几何语言： 图一 拓展： 1） .如果一组等距的平行线在一条直线上截得的线段相等,那么在其他直线上截得的线段也相等； 2） .经过三角形一边中点且平行于另一边的直线平分第三边； 图二 3）经过梯形一腰中点并平行于底边的直线必过另一腰中点并等于两底和的一半。 图三 类型2 平行线分线段成比例定理 （1）定理1：平行于三角形一边的直线与其它两边(或两边的延长线)相交,截得的对应线段成比例. 图四 图五 （2）定理2：平行于三角形一边的直线与其它两边(或两边的延长线)相交,所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应线段成比例 知识点3 相似图形 在数学上，我们把形状相同的图形称为相似图形(similar figures). 知识点4 相似多边形 相似多边形的概念：如果两个多边形的对应角相等，对应边的比相等，我们就说它们是相似多边形． 知识点5 相似三角形的相关概念 在和中，如果 我们就说与相似，记作 ∽.k就是它们的相似比，“∽”读作“相似于”. 知识点6 相似三角形的判定 1．判定方法（1）平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形和原三角形相似. 2．判定方法（2）：如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似.　 3．判定方法（3）：如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似 知识点7 相似三角形的性质 性质1：相似三角形的对应角相等，对应边对应成比例. 性质2：相似三角形中的重要线段的比等于相似比. 相似三角形对应高，对应中线，对应角平分线的比都等于相似比. 注意：要特别注意“对应”两个字，在应用时，要注意找准对应线段. 性质3：相似三角形周长的比等于相似比 如图一： ∽，则 由比例性质可得： 图一 性质4：相似三角形面积的比等于相似比的平方 如图二，∽，则分别作出与的高和，则 图 注意：相似三角形的性质是通过比例线段的性质推证出来的. 知识点8 利用相似三角形测量高度 测量不能到达顶部的物体的高度，通常使用“在同一时刻物高与影长的比例相等”的原理解决 注意：测量旗杆的高度的几种方法： 平面镜测量法 影子测量法 手臂测量法 标杆测量法 知识点9 利用相似三角形测量距离 测量不能直接到达的两点间的距离，常构造如下两种相似三角形求解。 1．如甲图所示，通常可先测量图中的线段DC、BD、CE的距离（长度），根据相似三角形的性质，求出AB的长. 2．如乙图所示，可先测AC、DC及DE的长，再根据相似三角形的性质计算AB的长. 　　 注意：　 1．比例尺：表示图上距离比实地距离缩小的程度，比例尺= 图上距离/ 实际距离; 2．太阳离我们非常遥远，因此可以把太阳光近似看成平行光线．在同一时刻，两物体影子之比等于其对应高的比; 3．视点：观察事物的着眼点（一般指观察者眼睛的位置）; 4. 仰（俯）角：观察者向上（下）看时，视线与水平方向的夹角． 知识点10 位似图形的概念 如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应点所在的直线都经过同一点，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心． 知识点11 位似图形的性质 （1） 位似图形的对应点和位似中心在同一条直线上；　 （2) 位似图形的对应点到位似中心的距离之比等于相似比； （3）位似图形中不经过位似中心的对应线段平行. 注意： （1）位似图形与相似图形的区别：位似图形是一种特殊的相似图形，而相似图形未 必能构成位似图形. （2）位似变换中对应点的坐标变化规律:在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k. 知识点12平移、轴对称、旋转和位似四种变换的异同 图形经过平移、旋转或轴对称的变换后，虽然对应位置改变了，但大小和形状没有改变，即两个图形是全等的；而位似变换之后图形是放大或缩小的，是相似的 知识点13 作位似图形的步骤 　第一步：在原图上找若干个关键点，并任取一点作为位似中心； 　第二步：作位似中心与各关键点连线； 　第三步：在连线上取关键点的对应点，使之满足放缩比例； 　第四步：顺次连接各对应点. 注意： 位似中心可以取在多边形外、多边形内，或多边形的一边上、或顶点，下面是位似中心不同的画法. 【考点01 比例性质】 1．如果，则（   ） A． B． C． D． 2．已知，则下列比例式成立的是（    ） A． B． C． D． 3．已知线段，线段，则线段a、b的比例中项是（　　） A． B． C． D． 【考点02 比例线段】 4．下列线段中，能成比例的是（   ） A．、、、 B．、、、 C．、、、 D．、、、 5．已知，则下列等式中，正确的是（   ） A． B． C． D． 6．如果在比例尺为的地图上，测得两地的距离为厘米，则这两地的实际距离是 千米． 7．已知三条线段，，满足，且. (1)求，，的值； (2)若线段是线段和的比例中项，求的值. 【考点03 黄金分割比】 8．如图，是著名画家达芬奇的名画《蒙娜丽莎》．画中的脸部被包在矩形内，点是的黄金分割点，，若，则长为（   ） A． B． C． D． 9．大自然是美的设计师，即使是一片树叶，也蕴含着“黄金分割”．如图，点为的黄金分割点．如果的长度为，那么的长度为 ． 10．如图，某品牌汽车为了打造更加精美的外观，特将汽车的倒车镜设计在整个车身黄金分割点的位置，如果车头与倒车镜的水平距离为米，则该车车身总长为 米． 11．鹦鹉螺曲线的每个半径和后一个半径的比都是黄金比例，是自然界最美的鬼斧神工．如图，P是的黄金分割点，若线段的长为 ，则的长为 ． 12．射影中有一种拍摄手法叫黄金分割构图法，其原理是：如图，将正方形的边取中点，以为圆心，线段为半径作圆，其与边的延长线交于点，这样就把正方形延伸为黄金矩形，若，则 ． 【考点04 平行线分线段成比例定理及其推论基本应用】 13．如图，在中，D，E，F分别是边上的点，，且，那么的值为（   ） A． B． C． D． 14．如图，直线m，n与直线a，b，c分别交于点A，B，C，点D，E，F，其中，若，则（    ） A． B． C． D． 15．如图，，若，，，则的长度是（    ） A．2 B．3 C．6 D．9 16．如图，直线，两直线和与，，分别相交于点A、B、C和点D、E、F．下列各式中，不一定成立的是（） A． B． C． D． 17．如图，直线，若，，则的长度为 ． 【考点05 相似图形及性质】 18．下列四组图形中，不是相似图形的是（   ） A．B．   C． D．   19．下列图形不是相似图形的是（　　） A．同一张底片冲洗出来的两张大小不同的照片 B．某人的侧身照片和正面照片 C．用放大镜将一个细小物体图案放大过程中原有图案和放大图案 D．大小不同的两张中国地图 20．下列说法正确的是（　　） A．所有的矩形都相似 B．两个直角三角形相似 C．两个等边三角形相似 D．各有一个角是的两个等腰三角形相似 21．如图，在矩形中，和分别为和的中点，如果矩形矩形，那么他们的相似比为（   ）    A． B． C． D． 22．若两个相似多边形的面积之比为，则它们的周长之比为（   ） A． B． C． D． 23．如图，已知五边形与五边形相似且相似比为，．则的长为 ． 24．若四边形与四边形的相似比为，且两个四边形的面积和为91，则四边形的面积是 ． 【考点06两三角形相似的判定】 25．如图，小正方形的边长均为1，则图中三角形（阴影部分）与相似的是（   ） A． B．C． D． 26．如图，已知，那么添加下列的一个条件后，仍无法判定的是（   ） A． B． C． D． 27．如图，已知，，，．将沿图中的DE剪开，剪下的阴影三角形与不相似的是（    ） A．B．C．D． 28．如图，将绕点B逆时针旋转得到，连接MA，求证：∽ 29．如图，在正方形中，E为边的中点，点F在边上，且，求证：． 30．如图，在中，点，分别在边，上，连接，且．求证：． 【考点07 相似三角形的性质】 31．如图，在中，，与四边形的面积的比是（    ）    A． B． C． D． 32．如图，，，其中， ． 33．如图，，若，，则的长为 ． 34．如图，矩形中，，，为边上的动点，当与相似时， ． 【考点08相似三角形的性质与判定综合应用】 35．如图，已知，且，，，则 ． 36．如图，在正方形中，E、F分别是边、CD上的点，， ，连接并延长交的延长线于点G． (1)求证：； (2)若正方形的边长为4，求的长． 37．如图，在中，，，，．    (1)求证：； (2)求的长． 38．如图，在中，，，点P为边上一动点（不与点B、C重合），过点P作射线交于点M，使． (1)求证：； (2)当为直角三角形时，求线段的长度． 39．如图，锐角中，，边上的高，矩形的边在上，其余两点、分别在、上，且交于点． (1)求的值； (2)设，矩形的面积为． 求与的函数关系式； 请直接写出的最大值为 ． 【考点09 相似三角形的应用综合】 40．数学兴趣小组想测量一棵树的高度，在阳光下，一名同学测得一根长米的竹竿的影长为米，同时另一名同学测量一棵树的高度时，发现树的影子不全落在地面上，有一部影子落在教学楼的墙壁上（如图），其墙壁上影长为米，落在地面上的影长为米，则树高为 ． 41．九年级（1）班课外活动小组想利用标杆测量佛山千灯湖市民广场醒狮雕塑的高度，见图（醒狮雕塑线条图）．已知点A，C，E在同一直线上，标杆高度，标杆与雕塑的水平距离，人的眼睛与地面的高度，人与标杆的水平距离，求醒狮雕塑的高度． 42．一块材料的形状是锐角三角形，边，高，把它加工成矩形零件如图，使矩形的一边在上，其余两个顶点分别在上． (1)若E 、F是中点 求四边形的面积； (2)如果把它加工成矩形零件，且，求该矩形面积． 43．如图，为了测量大树的高度，小华在点处垂直竖起一根长为的木杆，当他站在点处时，他的眼睛、木杆的顶端、树的顶端恰好在同一条直线上，测得，，小华的眼睛与地面的距离为．求大树的高度． 44．阅读理解： 如图1，是的高，点E、F分别在和边上，且，可以得到以下结论：． 拓展应用： (1)如图2，在中，，边上的高为4，在内放一个正方形，使其一边在上，点E、F分别在上，求正方形的边长是多少？ (2)某葡萄酒庄欲在展厅的一面墙上，布置一个腰长为，底边长为的等腰三角形展台．现需将展台用隔板沿平行于底边，每间隔分隔出一排，再将每一排尽可能多的分隔成若干个无盖正方体格子，要求每个正方体格子内放置一瓶葡萄酒．平面设计图如图3所示，将底边的长度看作是0排隔板的长度． ①在分隔的过程中发现，当正方体间的隔板厚度忽略不计时，每排的隔板长度（单位：厘米）随着排数（单位：排）的变化而变化．请完成下表： 排数/排 0 1 2 3 … 隔板长度/厘米 160 __________ 80 … 若用n表示排数，y表示每排的隔板长度，试直接求出y与n的关系式__________； ②在①的条件下，请直接写出该展台最多可以摆放多少瓶葡萄酒？__________ 【考点10位似图形性质】 45．如图，图形甲与图形乙是位似图形，是位似中心，位似比为，点，的对应点分别为点，．若，则的长为（        ）    A． B． C． D． 46．如图，与是以点为位似中心的位似图形，若，，则（    ） A．3 B．6 C．9 D． 47．如图，与位似，点O为位似中心，．若的面积为4，则的面积是 ． 【考点11位似图形的点坐标】 48．如图，线段两个端点的坐标分别为，，以原点O为位似中心，在第一象限内将线段放大为原来的2倍后得到线段，则端点B的坐标为（    ） A． B． C． D． 49．如图，在平面直角坐标系中，A，B，C，D四个点都在格点上．若正方形和正方形是以原点O为位似中心的位似图形，且相似比为，则点的坐标为（    ）    A．或 B．或 C．或 D．或 50．如图，在中，两个顶点在轴的上方，点的坐标是，以点为位似中心，在轴的下方作的位似图形，使得的边长是的边长的倍．设点的坐标是，则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【考点12 判定位似中心】 51．如图，在平面直角坐标系中的两个矩形和矩形是位似图形，对应点和的坐标分别为，，则位似中心的坐标是（   ） A． B． C． D． 52．如图，在正方形网格图中，与是位似图形，则位似中心是（    ） A．点R B．点P C．点Q D．点O 53．如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD与四边形A'B'C'D'是位似图形．位似中心是（　　） A．（8，0） B．（8，1） C．（10，0） D．（10，1） 54．如图，若与是位似图形，则位似中心的坐标是（    ） A． B． C． D． 【考点13 位似图形-作图】 55．如图，在平面直角坐标系中，已知三个顶点的坐标分别为，，．    (1)画出绕点顺时针旋转后得到的； (2)在网格内以点为位似中心，画使它与的位似比为． 56．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫做格点，的顶点都在格点上．    (1)画出关于x轴对称的，并写出三个顶点的坐标； (2)以点O为位似中心，在第一象限内画出与位似的，且与的位似比为2． 一、单选题 1．下列各组线段中是成比例线段的是（   ） A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 2．如图，在四边形中，，点E在上，交于点F，若，，则的长为（   ） A．6 B．3 C．5 D．9 3．如图所示，五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，同一条直线上的点、、都在横线上，如果线段的长为，那么的长是（    ） A．2 B．3 C．6 D．8 4．已知，则下列式子正确的是（　　） A． B． C． D． 5．如图，把一个长方形划分成二个全等的小长方形，若要使每一个小长方形与原长方形相似，则原长方形长和宽之比为（   ） A． B． C． D． 6．如图，已知在中，点，，分别是边，，上的点，，，且，则（    ）    A． B． C． D． 7．如图，已知，和相交于点，，则为（   ） A． B． C． D． 8．“今有井径五尺，不知其深，立五尺木于井上，从木末望水岸，入径四寸，问井深几何？”这是我国古代数学著作《九章算术》中的“井深几何”问题，它的题意可以由如图所示（单位：尺），已知井的截面图为矩形，设井深为尺，下列所列方程中，正确的是（    ） A． B． C． D． 9．操场上有一根竖直的旗杆，它的一部分影子落在水平地面上，另一部分影子落在对面的墙壁上，经测量，墙壁上的影高为，地面的影长为，同时测得一根高为的竹竿的影长是，请根据以上信息，则旗杆的高度是（　　） A． B． C． D． 二、填空题 10．如图，在矩形中，，，P，Q分别是，上的点，且，与相似，则的值为 ． 11．如图，、相交于点，点、分别在、上，．若，则 ． 12．如图，在平面直角坐标系中，等腰直角和是以原点O为位似中心的位似图形，且位似比为，点，，C在上，则点坐标为 ．    13．如图，在中， ，正方形的顶点D、G分别在、上，在上，则正方形的边长为 ． 三、解答题 14．如图，在中，点P、D分别在边、上，，垂足为点A，，垂足为点P，． (1)求证：； (2)如果，，求的长． 15．如图，是的中线，E是线段上的一点，且，连接并延长交于点F． (1)求的值； (2)若，求的长． 16．（1）【问题呈现】如图1，和都是等边三角形，连接．请直接写出和的数量关系． （2）【类比探究】如图2，和都是等腰直角三角形，．连接．请直接写出的值． （3）【拓展提升】如图3，和都是直角三角形，，且．连接． ①求的值； ②延长交于点，交于点．若，，求的长． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 相似三角形 【考点01 比例性质】 【考点02 比例线段】 【考点03 黄金分割比】 【考点04 平行线分线段成比例定理及其推论基本应用】 【考点05 相似图形及性质】 【考点06 两三角形相似的判定】 【考点07 相似三角形的性质】 【考点08相似三角形的性质与判定综合应用】 【考点09 相似三角形的应用综合】 【考点10位似图形性质】 【考点11位似图形的点坐标】 【考点12 判定位似中心】 【考点13 位似图形-作图】 知识点1 比例线段 1．线段的比： 如果选用同一长度单位量得两条线段a、b长度分别是m、n，那么就说这两条线段的比是a:b=m:n ，或写成． 2．成比例线段：对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的比与另两条线段的比相等，如a:b=c:d，我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段． 3．比例的基本性质： （1）若a:b=c:d ，则ad=bc； （2）若a:b=b:c ，则 =ac（b称为a、c的比例中项）． 知识点2 平行线分线段成比例 类型1 平行线等分线段定理 如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等,那么在其他直线上截得的线段也相等. 几何语言： 图一 拓展： 1） .如果一组等距的平行线在一条直线上截得的线段相等,那么在其他直线上截得的线段也相等； 2） .经过三角形一边中点且平行于另一边的直线平分第三边； 图二 3）经过梯形一腰中点并平行于底边的直线必过另一腰中点并等于两底和的一半。 图三 类型2 平行线分线段成比例定理 （1）定理1：平行于三角形一边的直线与其它两边(或两边的延长线)相交,截得的对应线段成比例. 图四 图五 （2）定理2：平行于三角形一边的直线与其它两边(或两边的延长线)相交,所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应线段成比例 知识点3 相似图形 在数学上，我们把形状相同的图形称为相似图形(similar figures). 知识点4 相似多边形 相似多边形的概念：如果两个多边形的对应角相等，对应边的比相等，我们就说它们是相似多边形． 知识点5 相似三角形的相关概念 在和中，如果 我们就说与相似，记作 ∽.k就是它们的相似比，“∽”读作“相似于”. 知识点6 相似三角形的判定 1．判定方法（1）平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形和原三角形相似. 2．判定方法（2）：如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似.　 3．判定方法（3）：如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似 知识点7 相似三角形的性质 性质1：相似三角形的对应角相等，对应边对应成比例. 性质2：相似三角形中的重要线段的比等于相似比. 相似三角形对应高，对应中线，对应角平分线的比都等于相似比. 注意：要特别注意“对应”两个字，在应用时，要注意找准对应线段. 性质3：相似三角形周长的比等于相似比 如图一： ∽，则 由比例性质可得： 图一 性质4：相似三角形面积的比等于相似比的平方 如图二，∽，则分别作出与的高和，则 图 注意：相似三角形的性质是通过比例线段的性质推证出来的. 知识点8 利用相似三角形测量高度 测量不能到达顶部的物体的高度，通常使用“在同一时刻物高与影长的比例相等”的原理解决 注意：测量旗杆的高度的几种方法： 平面镜测量法 影子测量法 手臂测量法 标杆测量法 知识点9 利用相似三角形测量距离 测量不能直接到达的两点间的距离，常构造如下两种相似三角形求解。 1．如甲图所示，通常可先测量图中的线段DC、BD、CE的距离（长度），根据相似三角形的性质，求出AB的长. 2．如乙图所示，可先测AC、DC及DE的长，再根据相似三角形的性质计算AB的长. 　　 注意：　 1．比例尺：表示图上距离比实地距离缩小的程度，比例尺= 图上距离/ 实际距离; 2．太阳离我们非常遥远，因此可以把太阳光近似看成平行光线．在同一时刻，两物体影子之比等于其对应高的比; 3．视点：观察事物的着眼点（一般指观察者眼睛的位置）; 4. 仰（俯）角：观察者向上（下）看时，视线与水平方向的夹角． 知识点10 位似图形的概念 如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应点所在的直线都经过同一点，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心． 知识点11 位似图形的性质 （1） 位似图形的对应点和位似中心在同一条直线上；　 （2) 位似图形的对应点到位似中心的距离之比等于相似比； （3）位似图形中不经过位似中心的对应线段平行. 注意： （1）位似图形与相似图形的区别：位似图形是一种特殊的相似图形，而相似图形未 必能构成位似图形. （2）位似变换中对应点的坐标变化规律:在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k. 知识点12平移、轴对称、旋转和位似四种变换的异同 图形经过平移、旋转或轴对称的变换后，虽然对应位置改变了，但大小和形状没有改变，即两个图形是全等的；而位似变换之后图形是放大或缩小的，是相似的 知识点13 作位似图形的步骤 　第一步：在原图上找若干个关键点，并任取一点作为位似中心； 　第二步：作位似中心与各关键点连线； 　第三步：在连线上取关键点的对应点，使之满足放缩比例； 　第四步：顺次连接各对应点. 注意： 位似中心可以取在多边形外、多边形内，或多边形的一边上、或顶点，下面是位似中心不同的画法. 【考点01 比例性质】 1．如果，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了比例的性质，掌握比例的性质是解题关键．根据题意设，，再代入化简即可． 【详解】解：， 设，， ， 故选：C． 2．已知，则下列比例式成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查比例的性质，根据两内项之积等于两外项之积对各选项分析判断即可得解． 【详解】解：A、由得，故本选项错误，不符合题意； B、由得，故本选项正确，符合题意； C、由得，故本选项错误，不符合题意； D、由得，故本选项错误，不符合题意； 故选：B． 3．已知线段，线段，则线段a、b的比例中项是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了比例中项的概念，注意：求两条线段的比例中项的时候，应舍去负数． 根据比例中项的概念结合比例的基本性质得：比例中项的平方等于两条线段的乘积，求解即可． 【详解】解：设它们的比例中项是，则 ， 解得（线段是正数，负值舍去）． ∴线段a、b的比例中项是 故选：C． 【考点02 比例线段】 4．下列线段中，能成比例的是（   ） A．、、、 B．、、、 C．、、、 D．、、、 【答案】D 【分析】本题考查了比例线段，熟记成比例线段的定义是解题的关键．注意在线段两两相乘的时候，要让最小的和最大的相乘，另外两条相乘，看它们的积是否相等进行判断．如果其中两条线段的乘积等于另外两条线段的乘积，则四条线段叫成比例线段．对选项一一分析，排除错误答案． 【详解】解：A、，故本选项错误； B、，故本选项错误； C、，故本选项错误； D、，故本选项正确． 故选：D． 5．已知，则下列等式中，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键；设，，再根据比例的性质求解即可． 【详解】解：， 设，， ． 由比例的性质得到，故本选项不符合题意； ．，故本选项不符合题意； ．，故本选项不符合题意； ．，故本选项符合题意； 故选：． 6．如果在比例尺为的地图上，测得两地的距离为厘米，则这两地的实际距离是 千米． 【答案】 【分析】本题考查了比例尺的应用，根据：实际距离图上距离比例尺，代入数据计算，再进行单位换算即可得到答案，可直接得出实际距离，掌握比例尺的定义是解题的关键． 【详解】解：（厘米）（千米）， 故答案为：． 7．已知三条线段，，满足，且. (1)求，，的值； (2)若线段是线段和的比例中项，求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了比例的性质，比例线段； （1）设，用含的代数式分别表示出，再由，建立关于的方程，解方程求出的值，从而可求出的值； （2）由已知线段 是线段 和 的比例中项，可得到，代入计算求出的值． 【详解】（1）解：设，则， ∵ ∴ 即， 解得：， ∴； （2）解：∵线段是线段和的比例中项， ∴， ∵ ∴． 【考点03 黄金分割比】 8．如图，是著名画家达芬奇的名画《蒙娜丽莎》．画中的脸部被包在矩形内，点是的黄金分割点，，若，则长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查黄金分割点、一元二次方程的应用等知识点，能根据黄金分割点列一元二次方程是解题的关键． 根据黄金分割点列一元二次方程求解，然后根据矩形的性质即可解答． 【详解】 解：∵是的黄金分割点，， ∴，解得：或（舍去）． 故选：B． 9．大自然是美的设计师，即使是一片树叶，也蕴含着“黄金分割”．如图，点为的黄金分割点．如果的长度为，那么的长度为 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了黄金分割，根据黄金分割点的定义可得，据此计算求解即可． 【详解】解：∵点为的黄金分割点， ∴， ∴， 故答案为：． 10．如图，某品牌汽车为了打造更加精美的外观，特将汽车的倒车镜设计在整个车身黄金分割点的位置，如果车头与倒车镜的水平距离为米，则该车车身总长为 米． 【答案】/ 【分析】本题考查了黄金分割，熟练掌握黄金分割的定义是解题的关键．设该车车身总长为米，根据车尾与倒车镜的距离与车长之比为列方程，即可求解． 【详解】解：设该车车身总长为米， 由题意得：， 解得：， 经检验：是原方程的根， 该车车身总长为：米， 故答案为：． 11．鹦鹉螺曲线的每个半径和后一个半径的比都是黄金比例，是自然界最美的鬼斧神工．如图，P是的黄金分割点，若线段的长为 ，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了黄金分割．熟练掌握黄金分割是解题的关键． 由题意得，，即，计算求解即可． 【详解】解：∵P是的黄金分割点， ， ∴，即， 解得，， 故答案为：． 12．射影中有一种拍摄手法叫黄金分割构图法，其原理是：如图，将正方形的边取中点，以为圆心，线段为半径作圆，其与边的延长线交于点，这样就把正方形延伸为黄金矩形，若，则 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了黄金分割，矩形的性质，正方形的性质，设，根据正方形的性质可得，则，然后根据黄金矩形的定义可得，从而可得，最后进行计算即可解答，熟练掌握黄金分割的定义是解题的关键. 【详解】解：设， ∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∵四边形是黄金矩形， ∴， ∴， 解得：， 经检验：是原方程的解， ∴， 故答案为：． 【考点04 平行线分线段成比例定理及其推论基本应用】 13．如图，在中，D，E，F分别是边上的点，，且，那么的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了平行线分线段成比例定理的运用．熟练利用平行线分线段成比例定理是解题关键． 根据平行线分线段成比例定理，列出比例式求解即可得到答案． 【详解】∵，， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 14．如图，直线m，n与直线a，b，c分别交于点A，B，C，点D，E，F，其中，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是平行线分线段成比例定理，掌握定理的内容、找准对应关系是解题的关键．根据平行线分线段成比例定理即可得到结论． 【详解】解：， ， 直线， ， 故选：B 15．如图，，若，，，则的长度是（    ） A．2 B．3 C．6 D．9 【答案】B 【分析】本题考查了平行线分线段成比例，根据平行线分线段成比例得出，然后代入数值求解即可． 【详解】解∶∵， ∴， 又，，， ∴， ∴， 故选∶B． 16．如图，直线，两直线和与，，分别相交于点A、B、C和点D、E、F．下列各式中，不一定成立的是（） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查平行线分线段成比例的性质，根据平行线分线段成比例的性质（三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例），逐项分析推出正确的比例式，运用排除法即可找到正确的选项，关键在于认真的逐项分析找到成比例的线段． 【详解】解：如图：∵直线， ∴，，， ∴A、B、D选项中的等式成立，C选项中的等式不一定成立， 故选：C． 17．如图，直线，若，，则的长度为 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理；熟练掌握平行线分线段成比例定理，并能进行推理计算是解决问题的关键．由平行线分线段成比例定理得出比例式，即可得出的长，再进一步求解即可． 【详解】解：∵， ∴，即， ∴， ∴， 故答案为： 【考点05 相似图形及性质】 18．下列四组图形中，不是相似图形的是（   ） A．B．   C． D．   【答案】D 【分析】根据相似图形的定义，对选项进行一一分析，排除错误答案； 【详解】解：A、形状相同，但大小不同，符合相似形的定义，故不符合题意； B、形状相同，但大小不同，符合相似形的定义，故不符合题意； C、形状相同，但大小不同，符合相似形的定义，故不符合题意； D、形状不相同，不符合相似形的定义，故符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查的是相似形的定义，是基础题． 19．下列图形不是相似图形的是（　　） A．同一张底片冲洗出来的两张大小不同的照片 B．某人的侧身照片和正面照片 C．用放大镜将一个细小物体图案放大过程中原有图案和放大图案 D．大小不同的两张中国地图 【答案】B 【分析】利用相似图形定义分别分析得出符合题意的图形即可． 【详解】解：A、同一张底片冲洗出来的两张大小不同的照片，是相似图形，故本选项不符合题意； B、某人的侧身照片和正面像，不是相似图形，故本选项符合题意； C、用放大镜将一个细小物体图案放大过程中原有图案和放大图案，是相似图形，故本选项不符合题意； D、大小不同的两张中国地图，是相似图形，故本选项不符合题意； 故选：B． 【点睛】此题考查了相似图形的定义，正确把握定义是解题关键． 20．下列说法正确的是（　　） A．所有的矩形都相似 B．两个直角三角形相似 C．两个等边三角形相似 D．各有一个角是的两个等腰三角形相似 【答案】C 【分析】相似形就是形状相同的两个图形，即对应边的比相等，对应角相等的两个图形，依据定义即可进行判断． 【详解】解：A．所有的矩形对应边比值不一定相等，所以不一定相似，此选项不符合题意； B．两个直角三角形的对应锐角不一定相等，所以不一定相似，此选项不符合题意； C．两个等边三角形相似，故此选项符合题意； D、各有一个角是的两个等腰三角形的对应角不一定相等，不一定是相似形，故此选项不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题主要考查相似三角形的判定定理：（1）两角对应相等的两个三角形相似；（2）两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似；（3）三边对应成比例的两个三角形相似；（4）如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似． 21．如图，在矩形中，和分别为和的中点，如果矩形矩形，那么他们的相似比为（   ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了相似多边形的性质和矩形的性质． 设，，根据相似多边形的性质得到，代入求解即可． 【详解】解：如图，设，．    ∵矩形矩形，和分别为和的中点，， ∴，即， ∴， ∴，即． 故选：A． 22．若两个相似多边形的面积之比为，则它们的周长之比为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了相似多边形的性质，根据周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方，由此即可求解． 【详解】解：∵两个相似多边形的面积比为， ∴两个相似多边形的相似比为， ∴它们的周长比为， 故选：B ． 23．如图，已知五边形与五边形相似且相似比为，．则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查相似多边形的知识，解题的关键是掌握相似多边形的性质， 根据题意，相似比为，则，即可解答． 【详解】解：∵五边形与五边形相似，且相似比为， ∴， ∴． 故答案为：． 24．若四边形与四边形的相似比为，且两个四边形的面积和为91，则四边形的面积是 ． 【答案】28 【分析】本题考查相似多边形，根据相似多边形的面积比等于相似比的平方，得到四边形与四边形的面积比为，设四边形与四边形的面积分别为，根据两个四边形的面积和为91，列出方程进行求解即可． 【详解】解：∵四边形与四边形的相似比为， ∴四边形与四边形的面积比为， 设四边形与四边形的面积分别为，则：， ∴， ∴四边形的面积为； 故答案为：28 【考点06两三角形相似的判定】 25．如图，小正方形的边长均为1，则图中三角形（阴影部分）与相似的是（   ） A． B．C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，勾股定理，先根据题意可知的三边，再分别求出各选项的三边，然后根据三边是否成比例得出答案． 【详解】根据勾股定理，可知，，． 根据勾股定理得A选项的三边为， ∴， 所以不与相似； 根据勾股定理得B选项的三边为， ∴， 所以与相似． 根据勾股定理得C选项的三边为， ∴， 所以不与相似； 根据勾股定理得D选项的三边为， ∴， 所以不与相似． 故选：B． 26．如图，已知，那么添加下列的一个条件后，仍无法判定的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，两组角分别对应相等的两个三角形相似；两边成比例且夹角相等的两个三角形相似；三边对应成比例的两个三角形相似，据此逐一判断即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 添加条件，结合，可以根据两组对边对应成比例且它们的夹角相等的两个三角形相似得到，故A不符合题意； 添加条件，结合，可以根据两组角对应相等的两个三角形相似得到，故B不符合题意； 添加条件，结合，不可以得到，故C不符合题意； 添加条件，结合，可以根据两组角对应相等的两个三角形相似得到，故D不符合题意； 故选：C． 27．如图，已知，，，．将沿图中的DE剪开，剪下的阴影三角形与不相似的是（    ） A．B．C．D． 【答案】D 【分析】本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键．根据相似三角形的判定逐一判断即可． 【详解】解：A、，， ， 故A不符合题意； B、，， ， 故B不符合题意； C、由图形可知，， ， ，， ， 又， ， 故C不符合题意； D、由已知条件无法证明与相似， 故D符合题意， 故选：D． 28．如图，将绕点B逆时针旋转得到，连接MA，求证：∽ 【答案】见解析 【分析】本题考查了相似三角形的判定，旋转的性质，熟练掌握相似三角形的判定定理，旋转的性质是解题的关键． 由旋转性质可得：，，，进而可得，，由此根据相似三角形的判定定理即可证明 【详解】证明：将绕点B逆时针旋转得到， 由旋转性质，得，，， ， ， ， 即， ∽ 29．如图，在正方形中，E为边的中点，点F在边上，且，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了正方形的性质、相似三角形的判定与性质：熟练掌握正方形的性质，熟记两边成比例且夹角相等的两个三角形相似是解题的关键；由正方形的性质得出，设，得出，证出，即可得出结论． 【详解】证明：∵四边形是正方形 设 ∵E为边的中点， ∴ 30．如图，在中，点，分别在边，上，连接，且．求证：． 【答案】证明见解析 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，先证明，再由可以根据两边对应成比例且它们的夹角相等的两三角形相似证明结论． 【详解】证明：∵， ∴， 又∵， ∴． 【考点07 相似三角形的性质】 31．如图，在中，，与四边形的面积的比是（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，比例的性质，熟练掌握三角形的判定和相似三角形的性质是解题的关键．先利用比例性质得出，结合，判定，再利用相似三角形的性质得出，再利用比例的性质即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 32．如图，，，其中， ． 【答案】3 【分析】本题考查相似三角形的性质，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； 故答案为：3． 33．如图，，若，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质，根据相似三角形对应边成比例可得，据此代值计算即可． 【详解】解：∵， ∴，即， ∴或（舍去）， 故答案为：． 34．如图，矩形中，，，为边上的动点，当与相似时， ． 【答案】1或4或2.5 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质，需要分类讨论：和，根据该相似三角形的对应边成比例求得的长度． 【详解】解：①当时， ， 即， 解得：，或； ②当时， ， 即， 解得：． 综上所述，的长度是1或4或2.5． 故答案为：1或4或2.5． 【考点08相似三角形的性质与判定综合应用】 35．如图，已知，且，，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，根据，得到，从而得到，代入求解即可得到答案； 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵，，， ∴，解得：， 故答案为：4． 36．如图，在正方形中，E、F分别是边、CD上的点，， ，连接并延长交的延长线于点G． (1)求证：； (2)若正方形的边长为4，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查正方形的性质及相似三角形的判定和性质，熟练运用相似三角形的判定和性质是解题关键． （1）由正方形的性质可得，，然后根据对应边成比例且夹角相等即可得到结论； （2）通过证明，可得，根据可得、，由勾股定理可求解． 【详解】（1）证明：∵四边形为正方形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，则 ， ∴； （2）∵四边形为正方形， ∴， ，， ∴， ∴， 又∵，正方形的边长为4， ∴，， ∴，， ∴． 37．如图，在中，，，，．    (1)求证：； (2)求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（）根据两角对应相等的两个三角形相似即可求证； （）根据相似三角形的性质解答即可求解； 本题考查了相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵，， ∴； （2）解：∵， ∴， 即， 解得． 38．如图，在中，，，点P为边上一动点（不与点B、C重合），过点P作射线交于点M，使． (1)求证：； (2)当为直角三角形时，求线段的长度． 【答案】(1)见解析 (2)或 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，勾股定理等： （1）根据等边对等角得出，利用三角形外角的性质和，推出，进而证明，根据对应边成比例即可得出结论； （2）分，两种情况，时，，由勾股定理解可得线段的长度；时，可证，由对应线段成比例可得的长度． 【详解】（1）证明： ， ， 又 ，， ， ， ， ； （2）解：由题意知， 当时，如图， 由（1）知， ， ， 点P为中点， ， 在中，由勾股定理得： ； 当时，如图，作于点D，则， 由（1）知， ， ，， ， ，， ， ， ， 综上可知，线段的长度为或． 39．如图，锐角中，，边上的高，矩形的边在上，其余两点、分别在、上，且交于点． (1)求的值； (2)设，矩形的面积为． 求与的函数关系式； 请直接写出的最大值为 ． 【答案】(1) (2)； 【分析】（1）由矩形的性质可得，由垂线的定义和平行线的性质可证得，由可证得，于是有； （2）由可得，由矩形的性质可证得四边形是矩形，于是有，由即可得出与的函数关系式；将与的函数关系式化成顶点式并求其最值，即可得出的最大值． 【详解】（1）解：四边形是矩形， ，即， ， ， ， ， ， ， ， ； （2）解：由（1）可得：， ， 四边形是矩形， ， 又， 四边形是矩形， ， ； ， ， 当时，有最大值， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了垂线的定义，平行线的性质，相似三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，用关系式表示变量间的关系，二次函数的图象与性质，求二次函数的最值等知识点，构建二次函数解决最值问题是解题的关键． 【考点09 相似三角形的应用综合】 40．数学兴趣小组想测量一棵树的高度，在阳光下，一名同学测得一根长米的竹竿的影长为米，同时另一名同学测量一棵树的高度时，发现树的影子不全落在地面上，有一部影子落在教学楼的墙壁上（如图），其墙壁上影长为米，落在地面上的影长为米，则树高为 ． 【答案】/8米 【分析】本题考查了相似三角形的应用，设从墙上的影子的顶端到树的顶端的垂直高度为，则，据此即可求解； 【详解】解：设从墙上的影子的顶端到树的顶端的垂直高度为， 则， 解得： ∴树高为 故答案为： 41．九年级（1）班课外活动小组想利用标杆测量佛山千灯湖市民广场醒狮雕塑的高度，见图（醒狮雕塑线条图）．已知点A，C，E在同一直线上，标杆高度，标杆与雕塑的水平距离，人的眼睛与地面的高度，人与标杆的水平距离，求醒狮雕塑的高度． 【答案】12.8米 【分析】本题考查了相似三角形的应用，利用三角形相似中的比例关系，首先由题目和图形可看出，求的长度分成了2个部分，和部分，其中，剩下的问题就是求的长度，利用，得出，把相关条件代入即可求得的长度即可． 【详解】如图所示，设线段与线段交于点G． ∵， ∴，四边形、是矩形， ∴， ∵， ∴， ， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴ 答：醒狮雕塑的高度为． 42．一块材料的形状是锐角三角形，边，高，把它加工成矩形零件如图，使矩形的一边在上，其余两个顶点分别在上． (1)若E 、F是中点 求四边形的面积； (2)如果把它加工成矩形零件，且，求该矩形面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，熟练利用相似三角形的性质是解题的关键． （1）根据中位线的性质得到，再证明，可得三角形，利用面积之差，即可解答； （2）设，同（1）中原理表示出，再列方程，即可求得的值，即可解答． 【详解】（1）解：E 、F是中点， ， ， ， ， ， ； （2）解：， 四边形为矩形， ， ， ， 是三角形的高， ，即 ， ， 可得方程， 解得， ， 矩形的面积为． 43．如图，为了测量大树的高度，小华在点处垂直竖起一根长为的木杆，当他站在点处时，他的眼睛、木杆的顶端、树的顶端恰好在同一条直线上，测得，，小华的眼睛与地面的距离为．求大树的高度． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，先过作，交于点交于点，可以构造矩形，利用平行线分线段成比例定理的推论易得，再利用比例线段，可求，进而可求，解题的关键是利用平行线分线段成比例定理的推论得出． 【详解】解：如图，过作，交于点交于点， 由题意知，， ，，则， ， ， ， ， ， 所以树高为． 44．阅读理解： 如图1，是的高，点E、F分别在和边上，且，可以得到以下结论：． 拓展应用： (1)如图2，在中，，边上的高为4，在内放一个正方形，使其一边在上，点E、F分别在上，求正方形的边长是多少？ (2)某葡萄酒庄欲在展厅的一面墙上，布置一个腰长为，底边长为的等腰三角形展台．现需将展台用隔板沿平行于底边，每间隔分隔出一排，再将每一排尽可能多的分隔成若干个无盖正方体格子，要求每个正方体格子内放置一瓶葡萄酒．平面设计图如图3所示，将底边的长度看作是0排隔板的长度． ①在分隔的过程中发现，当正方体间的隔板厚度忽略不计时，每排的隔板长度（单位：厘米）随着排数（单位：排）的变化而变化．请完成下表： 排数/排 0 1 2 3 … 隔板长度/厘米 160 __________ 80 … 若用n表示排数，y表示每排的隔板长度，试直接求出y与n的关系式__________； ②在①的条件下，请直接写出该展台最多可以摆放多少瓶葡萄酒？__________ 【答案】(1)正方形的边长为 (2)①；；②最多可以摆放38瓶葡萄酒 【分析】本题考查了相似三角形的应用，等腰三角形的性质，勾股定理等知识，找出规律是解题的关键． （1）过点A作于D，交于H，由，可求解； （2）①由等腰三角形的性质可得，由勾股定理可求，设第1排的隔板长为，由阅读理解的结论可列方程，即可求解． ②分别求出每排最多可以放多少葡萄酒瓶，即可求解． 【详解】（1）解：如图2，过点A作于D，交于H， 由阅读理解的结论可得：， 设正方形的边长为x， ∴， ∴， ∴正方形的边长为； （2）解：①如图，过点A作于D， ∵， ∴， ∴， 设第1排的隔板长为， 由阅读理解的结论可得： 解得：； ∴， ∴； ②当时，隔板长， ∴可以作正方体的个数（个）， 当时，隔板长， ∴可以作正方体的个数（个）， 当时，隔板长， ∴可以作正方体的个数（个）， 当时，隔板长， ∴可以作正方体的个数（个）， 当时，隔板长， ∴可以作正方体的个数（个）， 当时，隔板长， ∴可以作正方体的个数为0个， ∴第1排最多可以摆放13瓶葡萄酒，第2排最多可以摆放10瓶葡萄酒，第3排最多可以摆放8瓶葡萄酒，第4排最多可以摆放5瓶葡萄酒，第5排最多可以摆放2瓶葡萄酒，第6排最多可以摆放0瓶葡萄酒， ∴（瓶）， 综上所述：最多可以摆放38瓶葡萄酒． 【考点10位似图形性质】 45．如图，图形甲与图形乙是位似图形，是位似中心，位似比为，点，的对应点分别为点，．若，则的长为（        ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是位似图形，解题的关键是掌握位似图形的位似比是对应边的比．根据位似比的概念列出比例式解答即可． 【详解】解：∵图形甲与图形乙是位似图形，是位似中心，位似比为， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 46．如图，与是以点为位似中心的位似图形，若，，则（    ） A．3 B．6 C．9 D． 【答案】A 【分析】本题考查了位似图形的性质，根据可得相似比为，再根据位似比即相似，相似三角形的面积比等于相似比的平方，由此即可求解． 【详解】解：∵与是以点为位似中心的位似图形，， ∴，且， ∴， ∴， 故选：A． 47．如图，与位似，点O为位似中心，．若的面积为4，则的面积是 ． 【答案】9 【分析】根据位似比为推知两个三角形的相似比为．根据“相似三角形的面积之比等于相似比的平方”作答．本题考查了位似变换，位似是相似的特殊形式，位似比等于相似比，其对应的面积比等于相似比的平方． 【详解】解：∵与位似，点为位似中心， ∴ 即与的位似比为， 与相似，相似比为， 与的面积比为． 的面积为4， 的面积是9． 故答案为：9 【考点11位似图形的点坐标】 48．如图，线段两个端点的坐标分别为，，以原点O为位似中心，在第一象限内将线段放大为原来的2倍后得到线段，则端点B的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了位似变换，坐标与图形性质，根据题意，将的横纵坐标都乘以2，即可求解． 【详解】解：依题意，点对应的坐标为， 故选：D． 49．如图，在平面直角坐标系中，A，B，C，D四个点都在格点上．若正方形和正方形是以原点O为位似中心的位似图形，且相似比为，则点的坐标为（    ）    A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查了中心位似图形，根据正方形和正方形是以原点O为位似中心的位似图形，且相似比为，即可得出答案，掌握中心位似图形的定义是解题的关键． 【详解】解：如图：    由图可知，点， ∵正方形和正方形是以原点O为位似中心的位似图形，且相似比为， ∴点或， 故选：C． 50．如图，在中，两个顶点在轴的上方，点的坐标是，以点为位似中心，在轴的下方作的位似图形，使得的边长是的边长的倍．设点的坐标是，则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了位似变换、相似三角形的判定及性质、坐标与图形性质，熟练掌握位似变换的性质是解答的关键．作轴于，轴于，根据相似三角形的性质求出，的长，得到点的坐标． 【详解】解：作轴于，轴于， ∵点的坐标是 点的坐标是， ∴， ， ∵的位似图形为， 的边长是的边长的倍 由题意得： 相似比为:， ∴， ∵轴于，轴于， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴，， ∴点的坐标为， 故选：． 【考点12 判定位似中心】 51．如图，在平面直角坐标系中的两个矩形和矩形是位似图形，对应点和的坐标分别为，，则位似中心的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查位似图形的性质、相似图形的应用，连接，交轴于点，则点为位似中心，先根据题意证明，再根据位似比和点的坐标求出线段长度，得到，求出点的坐标即可．解决本题的关键是借助相似比求出线段长度． 【详解】解：连接，交轴于点，则点为位似中心， 矩形与矩形是位似图形，，， ，，，，， ， ， ， 即， ， 故位似中心的坐标为． 故选：A． 52．如图，在正方形网格图中，与是位似图形，则位似中心是（    ） A．点R B．点P C．点Q D．点O 【答案】D 【分析】本题考查确定位似中心，理解位似图形的概念是解题的关键． 根据位似图形的概念，连接对应点，交点即是位似中心． 【详解】连接，，交于点， ∴点是位似中心， 故答案为：D． 53．如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD与四边形A'B'C'D'是位似图形．位似中心是（　　） A．（8，0） B．（8，1） C．（10，0） D．（10，1） 【答案】C 【分析】连接两组对应点，对应点的连线的交点即为位似中心． 【详解】解：如图，点E即为位似中心，E（10，0）， 故选：C． 【点睛】此题考查了位似中心的定义：位似图形的对应点的连线的交点即为位似中心，熟记定义是解题的关键． 54．如图，若与是位似图形，则位似中心的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据位似中心的定义，连接位似图形的对应点，交点即为位似中心． 【详解】解：连接C1C，B1B，A1A并延长，交点P即为所求，由图可知：位似中心的坐标是：(0,−1)， 故选：C． 【点睛】此题考查的是位似图形及位似中心的定义，掌握位似中心的确定方法：位似图形的各个对应点连线的交点即为位似中心是解决此题的关键． 【考点13 位似图形-作图】 55．如图，在平面直角坐标系中，已知三个顶点的坐标分别为，，．    (1)画出绕点顺时针旋转后得到的； (2)在网格内以点为位似中心，画使它与的位似比为． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了作图-位似变换和旋转变换． （1）利用网格特点和旋转的旋转画出点A、B、C的对应点，从而得到； （2）延长到使，则点为点的对应点，同样方法作出的对应点，从而得到． 【详解】（1）解：，如图所示， （2）解：如图所示，   ． 56．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫做格点，的顶点都在格点上．    (1)画出关于x轴对称的，并写出三个顶点的坐标； (2)以点O为位似中心，在第一象限内画出与位似的，且与的位似比为2． 【答案】(1)画图见解析， (2)画图见解析 【分析】本题考查作图位似变换，轴对称变换等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． （1）分别作出，，关于轴的对称点，，再顺次连接，再写出三个顶点的坐标即可； （2）延长到使得，同法作出，即可解决问题； 【详解】（1）如图，即为所作， （2）如图，即为所作，    一、单选题 1．下列各组线段中是成比例线段的是（   ） A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 【答案】B 【分析】本题考查了比例线段，分别计算各组数中最大与最小数的积和另外两数的积，然后根据比例线段的定义进行判断即可得出结论，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：A、， ∴，，，不成比例线段，故选项不符合题意； B、， ∴，，，成比例线段，故选项符合题意； C、， ∴，，，不成比例线段，故选项不符合题意； D、 ∴，，，不成比例线段，故选项不符合题意； 故选：B． 2．如图，在四边形中，，点E在上，交于点F，若，，则的长为（   ） A．6 B．3 C．5 D．9 【答案】A 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理．根据平行线分线段成比例解答即可． 【详解】解：∵在四边形中，， ∴， ∴， ∵，， ∴， 解得：， 故选：A． 3．如图所示，五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，同一条直线上的点、、都在横线上，如果线段的长为，那么的长是（    ） A．2 B．3 C．6 D．8 【答案】C 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，熟练掌握定理是解题的关键．如图，过点作于点，交过点的平行线于点，交点所在直线的邻近平行线于点，根据题意，，利用平行线分线段成比例定理计算即可． 【详解】解：如图，过点作于点，交过点的平行线于点，交点所在直线的邻近平行线于点，根据题意，， ∵五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的， ∴， ∴． 解得． 故选：C． 4．已知，则下列式子正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据，设，计算判断即可． 本题考查了比例的性质，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】解：由，设， 则， 故A错误； ， 故B错误； ， 故C正确； ， 故D错误； 故选：C． 5．如图，把一个长方形划分成二个全等的小长方形，若要使每一个小长方形与原长方形相似，则原长方形长和宽之比为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了相似图形的性质，如图，设，，根据相似图形的性质可得，即得，据此即可求解，掌握相似图形的性质是解题的关键． 【详解】解：如图，设，， ∵每一个小长方形与原长方形相似， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：． 6．如图，已知在中，点，，分别是边，，上的点，，，且，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查平行线分线段成比例，比例的性质，熟练掌握平行线分线段成比例是解题的关键．分别利用和，得出，，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即：， 故选：A． 7．如图，已知，和相交于点，，则为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查的是相似三角形的性质与判定，首先根据平行得出三角形相似，然后根据相似三角形的面积之比等于相似比的平方得出答案． 【详解】解：∵，   ∴，， ∴，， ∴：：， ∴， ∴． 故选：A． 8．“今有井径五尺，不知其深，立五尺木于井上，从木末望水岸，入径四寸，问井深几何？”这是我国古代数学著作《九章算术》中的“井深几何”问题，它的题意可以由如图所示（单位：尺），已知井的截面图为矩形，设井深为尺，下列所列方程中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了相似三角形的应用举例，证明是解题的关键．根据题意可证明得到，然后代入数值即可得到答案． 【详解】解：如图， 由题意得，，，，，， ， ，即， 故选：D 9．操场上有一根竖直的旗杆，它的一部分影子落在水平地面上，另一部分影子落在对面的墙壁上，经测量，墙壁上的影高为，地面的影长为，同时测得一根高为的竹竿的影长是，请根据以上信息，则旗杆的高度是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了相似三角形的应用，矩形的判定与性质，作于，则四边形是矩形，由矩形的性质得到，，由题意得出，求出，即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：如图，作于， 由题意可得：，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵，， ∴由题意得：，即， ∴， ∴， 故选：C． 二、填空题 10．如图，在矩形中，，，P，Q分别是，上的点，且，与相似，则的值为 ． 【答案】3或12或 【分析】本题主要考查了矩形的性质及相似三角形的性质，一元二次方程的解法，注意根据已知，分类讨论相似的条件，体现了分类讨论思想．根据题意与相似，分两种情况讨论，①当时，②当时，分别得到比例式，代入数值，即可解答出． 【详解】解：∵与相似， ①当时， ∴，即， ∵，，， ∴， 解得，或； ②当时， ∴， ∴， 解得：， 综上所述：或或． 故答案为：3或12或． 11．如图，、相交于点，点、分别在、上，．若，则 ． 【答案】18 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理：由平行截线求相关线段的长或比值；由，得出，结合线段和差关系，即，代入数值进行计算，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：． 故答案为：18． 12．如图，在平面直角坐标系中，等腰直角和是以原点O为位似中心的位似图形，且位似比为，点，，C在上，则点坐标为 ．    【答案】 【分析】本题考查位似定义及性质，等腰三角形性质等．根据题意得，再根据等腰直角三角形性质得到点的坐标，再根据位似变换的性质计算即可． 【详解】解：∵点，， ∴， ∵等腰直角和， ∴点的坐标为， ∵和是以原点O为位似中心的位似图形，且位似比为， ∴，即， 故答案为：． 13．如图，在中， ，正方形的顶点D、G分别在、上，在上，则正方形的边长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质及正方形的性质、勾股定理，关键是由平行线得到相似三角形，利用相似三角形的性质列方程． 根据正方形的性质得到，推出，利用相似三角形对应边上高的比等于相似比，列方程求解即可． 【详解】解：过作于，交于点， 设正方形的边长为，， 由正方形得，，即， ， ， ， ， ， ， ，即， ， ， ， ， 得， 解得， 正方形的边长是． 故答案为：． 三、解答题 14．如图，在中，点P、D分别在边、上，，垂足为点A，，垂足为点P，． (1)求证：； (2)如果，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，等腰三角形的判定，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题． （1）通过证明，可得，，由等角对等边可得结论； （2）通过证明，可得，即可求解． 【详解】（1）证明：，， ， ， ， ，， ； （2）解：，， ， ， 又， ， ， ，且， ． 15．如图，是的中线，E是线段上的一点，且，连接并延长交于点F． (1)求的值； (2)若，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查中线定义，线段和差关系，平行线分线段成比例等知识内容，正确掌握相关性质内容是解题的关键．． （1）根据题意可知，继而得到本题答案； （2）过D作交于M点，继而得到，再利用中线定义得到，再利用平行线分线段定理可得，继而得到本题答案． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：如图，过D作交于M点， ∴， ∵是的中线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 16．（1）【问题呈现】如图1，和都是等边三角形，连接．请直接写出和的数量关系． （2）【类比探究】如图2，和都是等腰直角三角形，．连接．请直接写出的值． （3）【拓展提升】如图3，和都是直角三角形，，且．连接． ①求的值； ②延长交于点，交于点．若，，求的长． 【答案】(1) ，理由见解析；(2)；(3)①；② 【分析】（1）证明，从而得出结论； （2）证明，进而得出结果； （3）①先证明，再证得，进而得出结果；②在①的基础上得出，进而，进一步得出结果． 【详解】（1）证明：∵和都是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵和都是等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：①∵，设， ∴． ∴， ， ∴， ∴， ∴； ②由①得：，，，则 ∴， ∵， ∴， ∴ ． ∴ ． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，等边三角形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$