专题07 解一元一次方程压轴五种题型-【常考压轴题】2024-2025学年七年级数学上册压轴题攻略（苏科版2024）

专题07解一元一次方程压轴五种题型 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 1 类型一、一元一次方程无数解问题 1 类型二、一元一次方程相同解问题 3 类型三、新定义运算-解一元一次方程 5 类型四、运用一元一次方程-无限循环小数化为分数 7 类型五、含绝对值的一元一次方程 11 压轴能力测评（9题） 14 1.一元一次方程无解问题： 方法大招:1.整理成标准式ax=b形式2.分类讨论 2. 解决一元一次方程同解问题的方法：找到方程的根，并将这个根代入到另一个方程 。 3.解一元一次方程步骤：合并同类项、移项、化系数为1 类型一、一元一次方程无数解问题 【典例1】若关于的方程有无数个解，则的值为（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】若一元一次方程有无数个解，则的值为（   ） A． B． C． D．1 【变式1-2】已知关于的方程有无数个解，则的值为 ． 【变式1-3】阅读下列分析过程，并解答问题． 一元一次方程 ①当时，方程有唯一解； ②当时，方程无解； ③当，时，方程有无数解． 根据上面的方法， (1)当满足唯一解、无解时，求m的值； (2)满足无数解时，求m、n的值． 类型二、一元一次方程相同解问题 【典例2】嘉淇在进行解一元一次方程的练习时，发现有一个方程“■”中的常数被“■”遮挡． (1)嘉淇猜想“■”遮挡的常数是1，请你算一算x的值； (2)老师说此方程的解与方程的解相同，请你算一算“■”遮挡的常数是多少？ 【变式2-1】已知关于的一元一次方程 和的解相同，则的值为（   ） A． B．1 C． D． 【变式2-2】若方程与关于的方程的解相同，则的值为（    ） A． B． C．1 D． 【变式2-3】已知关于的一元一次方程． (1)求这个方程的解； (2)若这个方程的解与关于的方程的解相同，求的值． 类型三、新定义运算-解一元一次方程 【典例3】用“☆”定义一种新运算：对于任意有理数和，规定，如 (1)求的值； (2)若，求的值． 【变式3-1】定义一种新运算“”：，比如：． (1)求的值； (2)若，求的值． 【变式3-2】是新规定的一种运算法则：，例如． (1)求的值； (2)若，求x的值． 【变式3-3】定义：关于的方程与方程（均为不等于0的常数）互为“反对方程”．例如：方程与方程互为“反对方程”． (1)若方程与方程互为“反对方程”，则______； (2)写出的“反对方程”：______； (3)若关于的方程与方程互为“反对方程”，求的值． 类型四、运用一元一次方程-无限循环小数化为分数 【典例4】阅读与探究： 我们把整数和分数统称为“有理数”，那为什么叫有理数呢？有理数在英语中是“”，而“”通常的意思是“理性的”，中国近代译著者在翻译时参考了这种方法，而“”这个词的词根“”源于古希腊，是“比率”的意思，这个词的意思就是整数的“比”，所谓有理数，就是可以写成两个整数之比的形式的数．比如：整数5可以写成，分数就是整数12和整数5的比． (1)【探究】对于是不是有理数呢？我们不妨设，由，于是可得：；等式两边同乘以10，可得：；即：； 化简，得：；解方程，得：；所以，由此得：得_________有理数（填“是”或“不是”）； (2)【类比】请你把无限循环小数写成两个整数之比的形式即分数的形式，即_________； (3)【迁移】你能化无限循环小数为分数吗？请完成你的探究过程． (4)【拓展】请按照这个方法把无限循环小数化为分数，即_________ 【变式4-1】【阅读理解】我们知道，有理数包括整数、有限小数和无限循环小数，事实上，所有的有理数都可以化为分数形式（整数可看作分母为1的分数），运用方程思想可以将无限循环小数表示为分数形式．请看以下示例： 例1、将化为分数形式：由于，设①则②，②-①得，解得，于是得． 例2、将化为分数形式：由于，设①则②，②-①得，解得，于是得． 请根据以上知识解决下列问题 【应用新知】（1）把化成分数为_______； （2）把循环小数  化成分数．（注：．）． 【拓展提升】请用一元一次方程把循环小效化为分数． 【变式4-2】你知道为什么任何无限循环小数都可以写成分数形式吗？下面的解答过程会告诉你原因和方法． (1)阅读下列材料： 问题：利用一元一次方程将化成分数． 解：设． 方程两边都乘以10，可得． 由，可知， 即7＋x＝10x．（请你体会将方程两边都乘以10起到的作用） 可解得，即． 填空：将写成分数形式为______． (2)请你仿照上述方法把下列两个小数化成分数，要求写出利用一元一次方程进行解答的过程： ①        ② 类型五、含绝对值的一元一次方程 【典例5】解方程：． 【变式5-1】阅读下列例题： 例．解方程 解：当，即时，，∴ 当，即时，，∴ ∴方程的解为或． 请你参照例题的解法，求方程的解． 【变式5-2】先阅读下面的解题过程，然后解答问题（1）、（2）、（3）． 例：解绝对值方程：． 解：讨论：①当时，原方程可化为，它的解是． ②当时，原方程可化为，它的解是． ∴原方程的解为或． (1)依例题的解法，方程的解是______； (2)依例题的解法，解方程：； (3)依例题的解法，方程的解是______． 【变式5-3】先阅读下列的解题过程，然后回答下列问题. 例：解绝对值方程：. 解：讨论：①当时，原方程可化为，它的解是； ②当时，原方程可化为，它的解是. 原方程的解为或. （1）依例题的解法，方程算的解是_______； （2）尝试解绝对值方程：； （3）在理解绝对值方程解法的基础上，解方程：. 1．定义新运算“※”，规定：，则方程的解为（   ） A． B． C． D． 2．任何一个无限循环小数都可以写成分数的形式，应该怎样写呢？我们以无限循环小数为例，进行说明：设，由可知，，所以，解方程，得，于是得，则将写成分数的形式是（    ） A． B． C． D． 3．已知方程与方程的解相同，则的值为 ． 4．已知关于x的两个方程和的解相同，求代数式的值． 5．规定一种新运算法则：． (1)求的值； (2)若，求的值． 6．阅读下面一段文字． 【问题】我们知道整数和分数统称为有理数，那么无限循环小数是有理数吗？ 【探求】步骤①：设， 步骤②：， 步骤③：， 步骤④：，解得，即，从而可知是有理数． 根据对这段文字的理解，请你回答下列问题： (1)步骤①到步骤②的依据是______； (2)依照上述探求过程，请尝试把化为分数形式． 步骤①：设， 步骤②：， 步骤③：______； 步骤④：解得______； (3)请你将化为分数形式． (4)思考可以化为分数形式吗？若能，请直接写出答案，不能，则说明理由． 7．明明在做解方程练习时，一本资料中有一个方程“■”中的■没印清晰，明明问老师，老师只是说：“■是一个有理数，该方程的解与当时代数式的值相同．”聪明的你帮明明把这个方程中■代表的数补充出来？ 8．已知关于的方程和的解相同． (1)求的值； (2)求的值． 9．点在数轴上的位置如图所示，表示数轴上点A与点之间的距离．若点表示的数为，点表示的数为，且． (1)______，______； (2)动点从原点出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，设运动时间为秒，当为多少秒时，两点之间的距离为4？ (3)表示5与3之差的绝对值，实际上也可理解为5与3两数在数轴上所对应的两点之间的距离，如的几何意义是数轴上表示数的点与表示数3的点之间的距离． ①若，则的取值范围为______； ②直接写出当或时，的最小值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题07解一元一次方程压轴五种题型 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 1 类型一、一元一次方程无数解问题 1 类型二、一元一次方程相同解问题 3 类型三、新定义运算-解一元一次方程 5 类型四、运用一元一次方程-无限循环小数化为分数 7 类型五、含绝对值的一元一次方程 11 压轴能力测评（9题） 14 1.一元一次方程无解问题： 方法大招:1.整理成标准式ax=b形式2.分类讨论 2. 解决一元一次方程同解问题的方法：找到方程的根，并将这个根代入到另一个方程 。 3.解一元一次方程步骤：合并同类项、移项、化系数为1 类型一、一元一次方程无数解问题 【典例1】若关于的方程有无数个解，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，解题的关键是将方程进行变形为，根据关于的方程有无数个解，得出，，求出，，最后代入求值即可． 【详解】解：， 去分母得：， 移项合并同类项得：， ∵关于的方程有无数个解， ∴，， 解得：，， ∴． 故选：B． 【变式1-1】若一元一次方程有无数个解，则的值为（   ） A． B． C． D．1 【答案】A 【分析】当方程满足时，有无数个解． 【详解】解： 整理得： 方程有无数个解， ，， 解得：，， ． 故选A 【点睛】本题考查了解一元一次方程，以及方程解的情况，熟悉方程的解的各种情况是解题关键． 【变式1-2】已知关于的方程有无数个解，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查一元一次方程的解．根据题意，先将方程整理为的形式，再根据其有无数个解即可． 【详解】解：由得 关于的方程有无数个解 ， ． 故答案为：． 【变式1-3】阅读下列分析过程，并解答问题． 一元一次方程 ①当时，方程有唯一解； ②当时，方程无解； ③当，时，方程有无数解． 根据上面的方法， (1)当满足唯一解、无解时，求m的值； (2)满足无数解时，求m、n的值． 【答案】(1)时有唯一解；时，无解； (2)且． 【分析】本题考查一元一次方程的解，解一元一次方程． （1）将方程转化为，根据题干给出的方法，求解即可； （2）根据题意，得到，，求解即可． 理解并掌握题干中的解题方法，是解题的关键． 【详解】（1）解：将方程整理得：， ①当方程无解时： ②当方程有唯一解时： ； （2）由题意，得：当方程有无数解时：且 ∴，． 类型二、一元一次方程相同解问题 【典例2】嘉淇在进行解一元一次方程的练习时，发现有一个方程“■”中的常数被“■”遮挡． (1)嘉淇猜想“■”遮挡的常数是1，请你算一算x的值； (2)老师说此方程的解与方程的解相同，请你算一算“■”遮挡的常数是多少？ 【答案】(1) (2)遮挡的常数是19 【分析】本题主要考查了解一元一次方程； （1）根据题意得出方程，然后解方程即可； （2）先解方程得出，设遮挡的常数为a，然后把代入方程得，求出a的值即可． 解题的关键是熟练掌握解一元一次方程的一般方法，准确计算． 【详解】（1）解：由题意得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得． （2）解：， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得， 设遮挡的常数为a， 把代入方程得， 解得． 故遮挡的常数是19． 【变式2-1】已知关于的一元一次方程 和的解相同，则的值为（   ） A． B．1 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了解一元一次方程的知识．分别求出两方程的解，使它们相等，求的值． 【详解】解：解方程， 得：， 解方程， 得：， 则， 解得：； 故选：A． 【变式2-2】若方程与关于的方程的解相同，则的值为（    ） A． B． C．1 D． 【答案】A 【分析】本题考查了同解方程，解一元一次方程，首先解出x的值，再代入方程求出a的值即可． 【详解】解：解方程，得：， 方程与关于的方程的解相同， 将代入方程中， 得到， 解得：， 故选：A． 【变式2-3】已知关于的一元一次方程． (1)求这个方程的解； (2)若这个方程的解与关于的方程的解相同，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）按照去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解方程即可； （2）根据题意可知是方程的解，把代入方程中得到关于m的方程，解方程即可． 【详解】（1）解： 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：； （2）解：由题意得是方程的解， ∴， ∴， 解得． 【点睛】本题主要考查了解一元一次方程，一元一次方程的解，熟知解一元一次方程的步骤是解题的关键． 类型三、新定义运算-解一元一次方程 【典例3】用“☆”定义一种新运算：对于任意有理数和，规定，如 (1)求的值； (2)若，求的值． 【答案】(1)0 (2) 【分析】（1）根据新定义计算即可得到的值； （2）根据新定义进行计算，解一元一次方程即可求得的值． 【详解】（1） （2）∵        ∴ ∴        ∴ ∴      ∴         ∴ 【点睛】本题主要考查新定义题型，理解新定义题型的运算法则是解题的关键． 【变式3-1】定义一种新运算“”：，比如：． (1)求的值； (2)若，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据新定义运算求解即可； （2）根据新定义运算列出一元一次方程，解方程求解即可 【详解】（1）解： （2） 【点睛】本题考查了新定义运算，代数式求值，解一元一次方程，理解新定义运算是解题的关键． 【变式3-2】是新规定的一种运算法则：，例如． (1)求的值； (2)若，求x的值． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了解一元一次方程，其步骤为：去分母，去括号，移项合并，把未知数系数化为1，求出解． （1）利用题中新定义计算即可得到结果； （2）已知等式利用新定义化简，求出方程的解即可． 【详解】（1） （2）根据题意，得， 即， 解得． 【变式3-3】定义：关于的方程与方程（均为不等于0的常数）互为“反对方程”．例如：方程与方程互为“反对方程”． (1)若方程与方程互为“反对方程”，则______； (2)写出的“反对方程”：______； (3)若关于的方程与方程互为“反对方程”，求的值． 【答案】(1) (2) (3)m，n的值分别是，； 【分析】本题考查解一元一次方程的解法，掌握“反对方程”的定义，是解题的关键． （1）根据“反对方程”的定义，求解即可； （2）把化为，结合“反对方程”的定义，求解即可； （3）根据“反对方程”的定义，得到，再求解即可； 【详解】（1）解：∵方程与方程互为“反对方程”， ∴； （2）∵， ∴， ∴的“反对方程”为； （3）将写成的形式， 将写成的形式， ∵与方程互为“反对方程”， ∴，所以， ∴m，n的值分别是，； 类型四、运用一元一次方程-无限循环小数化为分数 【典例4】阅读与探究： 我们把整数和分数统称为“有理数”，那为什么叫有理数呢？有理数在英语中是“”，而“”通常的意思是“理性的”，中国近代译著者在翻译时参考了这种方法，而“”这个词的词根“”源于古希腊，是“比率”的意思，这个词的意思就是整数的“比”，所谓有理数，就是可以写成两个整数之比的形式的数．比如：整数5可以写成，分数就是整数12和整数5的比． (1)【探究】对于是不是有理数呢？我们不妨设，由，于是可得：；等式两边同乘以10，可得：；即：； 化简，得：；解方程，得：；所以，由此得：得_________有理数（填“是”或“不是”）； (2)【类比】请你把无限循环小数写成两个整数之比的形式即分数的形式，即_________； (3)【迁移】你能化无限循环小数为分数吗？请完成你的探究过程． (4)【拓展】请按照这个方法把无限循环小数化为分数，即_________ 【答案】(1)是 (2) (3)是，过程见解析 (4) 【分析】本题考查解一元一次方程、有理数，熟练掌握解一元一次方程的步骤及有理数的定义，如何把无限循环小数化为一元一次方程是解题关键． （1）根据有理数的定义可得答案； （2）根据阅读材料的知识，可先设，方程两边都乘10，然后等量代换，化为一元一次方程，解出即可； （3）设，方程两边都乘100，然后等量代换，化为一元一次方程，解出即可； （4）设，方程两边都乘10，然后等量代换，化为一元一次方程，解出即可． 【详解】（1），由此得：得是有理数． 故答案为：是； （2）设， ， ， ， ， 解得， ， 故答案为：； （3）是分数，理由如下： 设， ， ， ， ， 解得， 是分数； （4）设， ， ， ， ， 解得， ， 故答案为： 【变式4-1】【阅读理解】我们知道，有理数包括整数、有限小数和无限循环小数，事实上，所有的有理数都可以化为分数形式（整数可看作分母为1的分数），运用方程思想可以将无限循环小数表示为分数形式．请看以下示例： 例1、将化为分数形式：由于，设①则②，②-①得，解得，于是得． 例2、将化为分数形式：由于，设①则②，②-①得，解得，于是得． 请根据以上知识解决下列问题 【应用新知】（1）把化成分数为_______； （2）把循环小数  化成分数．（注：．）． 【拓展提升】请用一元一次方程把循环小效化为分数． 【答案】（1）；（2），；[拓展提升] 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，正确理解题意的解答过程并转化运用到循环小数的转化过程中是解决本题的关键． （1）根据题干示例进行推导求解即可得解； （2）根据题干示例进行推导求解即可得解． [拓展提升]根据题干示例进行推导求解即可得解． 【详解】解：（1）设， 则， 两式相减，得， 解得， ∴； 故答案为：； （2）设， 则， 两式相减，得， 解得， ∴； 设， 则， 两式相减，得， 解得， ∴； [拓展提升] 设， 则，， 两式相减，得， 解得， ∴． 【变式4-2】你知道为什么任何无限循环小数都可以写成分数形式吗？下面的解答过程会告诉你原因和方法． (1)阅读下列材料： 问题：利用一元一次方程将化成分数． 解：设． 方程两边都乘以10，可得． 由，可知， 即7＋x＝10x．（请你体会将方程两边都乘以10起到的作用） 可解得，即． 填空：将写成分数形式为______． (2)请你仿照上述方法把下列两个小数化成分数，要求写出利用一元一次方程进行解答的过程： ①        ② 【答案】(1) (2)①② 【分析】本题考查了无限循环小数转化为分数的运用，运用一元一次方程解实际问题的运用． （1）根据阅读材料设，方程两边都乘以10，转化为，求出其解即可； （2）①设，程两边都乘以100，转化为，求出其解即可．②设，就可以得到，就有，就有，求出其解即可． 【详解】（1）设， 方程两边都乘以10得：， ∴． 故答案为：； （2）①设，方程两边都乘以100，可得. 由，可知， 即7， 解得， 即． ②设，则， ∴， ∴， 解得， 类型五、含绝对值的一元一次方程 【典例5】解方程：． 【答案】时，；时 【分析】令，，得，，根据这两个数进行分段，去绝对值符号求值. 【详解】 解：①当时，， ，不存在； ②当时，，； ③当时，，， 的解是时，；时． 【点睛】本题主要考查了含绝对值符号的一元一次方程的解法，解题的方法是令每个绝对值部分为0，将的值分段去绝对值解方程． 【变式5-1】阅读下列例题： 例．解方程 解：当，即时，，∴ 当，即时，，∴ ∴方程的解为或． 请你参照例题的解法，求方程的解． 【答案】或． 【分析】①当时得到方程，②当时得到方程，求出两个方程的解即可． 【详解】∵， ①当，即时，， 解得：； ②当，即时，， 解得：； ∴原方程的解是或． 【点睛】本题考查了含绝对值符号的一元一次方程的应用，解此题的关键是去掉绝对值符号，题目比较典型，难度适中． 【变式5-2】先阅读下面的解题过程，然后解答问题（1）、（2）、（3）． 例：解绝对值方程：． 解：讨论：①当时，原方程可化为，它的解是． ②当时，原方程可化为，它的解是． ∴原方程的解为或． (1)依例题的解法，方程的解是______； (2)依例题的解法，解方程：； (3)依例题的解法，方程的解是______． 【答案】(1)或 (2)或 (3)或 【分析】本题考查了解一元一次方程、绝对值： （1）分类讨论：①当时，②当时，去绝对值并解一元一次方程即可求解； （2）分类讨论：①当时，②当时，去绝对值并解一元一次方程即可求解； （3）分类讨论：①当，②当，③当时，去绝对值并解一元一次方程即可求解； 利用分类讨论思想解决问题是解题的关键． 【详解】（1）解：讨论：①当时，原方程可化为， 解得：． ②当时，原方程可化为， 解得：． ∴原方程的解为或， 故答案为：或． （2）， ①当时，原方程可化为，它的解是； ②当时，原方程可化为，它的解是； ∴原方程的解为或． （3）， ①当，即时，原方程可化为，它的解是； ②当，即时，原方程可化为，它的解是； ③当时，原方程可化为，此时方程无解； ∴原方程的解为或． 故答案为：或． 【变式5-3】先阅读下列的解题过程，然后回答下列问题. 例：解绝对值方程：. 解：讨论：①当时，原方程可化为，它的解是； ②当时，原方程可化为，它的解是. 原方程的解为或. （1）依例题的解法，方程算的解是_______； （2）尝试解绝对值方程：； （3）在理解绝对值方程解法的基础上，解方程：. 【答案】（1）x=6或x=-6；（2）x=5或x=-1；（3）x=0或x=3. 【分析】(1)分两种情况 ：、时，去绝对值符号解方程即可； (2)分两种情况：、时，去掉绝对值符号得到关于x的方程，解方程即可； (3)分三种情况：、、、x＞2时，去绝对值符号解方程即可. 【详解】(1)分两种情况：①当时，原方程可化为，它的解是x=6； ②当时，原方程可化为，它的解是x=-6. ∴原方程的解为x=6或x=-6. (2)①当时，原方程可化为2（x-2）=6，它的解是x=5； ②当时，原方程可化为-2（x-2）=6，它的解是x=-1； ∴原方程的解为x=5或x=-1. (3)①当时，原方程可化为2-x+1-x=3，它的解是x=0； ②当时，原方程可化为2-x+x-1=3，此时方程无解； ③当x＞2时，原方程可化为x-2+x-1=3，它的解是x=3； ∴原方程的解为x=0或x=3. 【点睛】此题考查含有绝对值符号的一元一次方程的解法，先根据未知数的取值范围去掉绝对值符号得到方程，依次解方程即可得到原方程的解. 1．定义新运算“※”，规定：，则方程的解为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，先根据新定义得到，再解方程即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， 解得， 故选：C． 2．任何一个无限循环小数都可以写成分数的形式，应该怎样写呢？我们以无限循环小数为例，进行说明：设，由可知，，所以，解方程，得，于是得，则将写成分数的形式是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元一次方程在将循环小数化为分数中的应用，读懂题例子的解法，是解题的关键． 仿照题中解法，设，得到，解方程即可． 【详解】解：设，则， ∴， 解得：， 故选：D． 3．已知方程与方程的解相同，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查解一元一次方程，解决本题的关键是要熟练掌握解一元一次方程的解法．根据解一元一次方程的一般步骤，可得的解，把解代入方程，解方程可得答案． 【详解】解： 解得：， ∵方程与方程的解相同， ∴把代入得：， 解得：． 故答案为： 4．已知关于x的两个方程和的解相同，求代数式的值． 【答案】 【分析】解方程，将其解代入另一方程，求出m的值，将m的值代入求解即可． 【详解】解：解方程，得． 因为方程和方程的解相同， 所以将代入， 得， 解得， 所以． 【点睛】本题考查了同解方程，解一元一次方程和代数式求值，列出关于m的方程是解题的关键． 5．规定一种新运算法则：． (1)求的值； (2)若，求的值． 【答案】(1)3 (2)21 【分析】（1）根据新定义的运算代入求解即可； （2）根据新定义的运算得出，然后代入求解即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）由题意得，， 解得， ∴原式 ． 【点睛】题目主要考查求代数式的值及解一元一次方程，理解新定义的运算，熟练掌握运算法则是解题关键． 6．阅读下面一段文字． 【问题】我们知道整数和分数统称为有理数，那么无限循环小数是有理数吗？ 【探求】步骤①：设， 步骤②：， 步骤③：， 步骤④：，解得，即，从而可知是有理数． 根据对这段文字的理解，请你回答下列问题： (1)步骤①到步骤②的依据是______； (2)依照上述探求过程，请尝试把化为分数形式． 步骤①：设， 步骤②：， 步骤③：______； 步骤④：解得______； (3)请你将化为分数形式． (4)思考可以化为分数形式吗？若能，请直接写出答案，不能，则说明理由． 【答案】(1)等式的基本性质 (2)， (3)； (4)能，． 【分析】本题考查的是无限循环小数化分数，运用换元思想，根据等式的性质，最后解方程即可求出答案． （1）在等式两边同时乘以，得到等式，利用的是等式的性质； （2）根据等式的性质，两位循环小数，解方程即可求出答案； （3）设，则，再利用（2）的方法，解方程即可求出答案； （4）设，则，再利用（2）的方法，解方程即可求出答案． 【详解】（1）解：在等式两边同时乘以，左右两边仍成立，是等式的性质， 故答案是：等式的性质； （2）解：根据根式的性质，有两位循环小数， 步骤①：设， 步骤②：， 步骤③：； 步骤④：解得； 故答案是：，． （3）解：设， ∴， 即， ∴， ∴，， ∴； （4）解：能，． 设， ∴， 即， ∴， ∴，， ∴． 7．明明在做解方程练习时，一本资料中有一个方程“■”中的■没印清晰，明明问老师，老师只是说：“■是一个有理数，该方程的解与当时代数式的值相同．”聪明的你帮明明把这个方程中■代表的数补充出来？ 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次方程和一元一次方程的解的应用，本题主要考查学生的理解能力，题目比较典型，难度不大．根据题意把代入中得到，把代入原方程，求出方程的解即可． 【详解】解：把代入中得：， 把代入原方程■得，■， 解得：■． 8．已知关于的方程和的解相同． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先根据等式的性质求出每个方程的解，根据同解方程得出，再求出的值即可； （2）把代入，再根据积的乘方和有理数的运算法则进行计算即可． 【详解】（1）解：由，得， 由，得． 因为这两个方程的解相同， 所以， 解得； （2）解：把代入，得 原式 ． 【点睛】本题考查了同解方程和实数的混合运算，能得出关于m的一元一次方程是解题的关键． 9．点在数轴上的位置如图所示，表示数轴上点A与点之间的距离．若点表示的数为，点表示的数为，且． (1)______，______； (2)动点从原点出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，设运动时间为秒，当为多少秒时，两点之间的距离为4？ (3)表示5与3之差的绝对值，实际上也可理解为5与3两数在数轴上所对应的两点之间的距离，如的几何意义是数轴上表示数的点与表示数3的点之间的距离． ①若，则的取值范围为______； ②直接写出当或时，的最小值． 【答案】(1)，8． (2)2或6秒； (3)①；②13． 【分析】本题考查了一元一次方程的应用、偶次方及绝对值的非负性、数轴以及列代数式，解题的关键是： （1）由偶次方及绝对值的非负性，可求出a,b的值，进而可得出结论； （2）分点M在点B的左侧及点M在点B的右侧两种情况考虑，由，即可得出关于t的一元一次方程，解之即可得出结论； （3）①根据绝对值的几何意义找出所有符合条件的x,再利用有理数的加减运算法则求和即可得；②分，及三种情况，利用数轴上两点间的距离公式可用含x的代数式（或数）表示出，再结合代数式值变化的规律，即可找出的最小值． 【详解】（1）解：∵， ， ， ∴点A表示的数为，点B表示的数为8， 故答案为：，8． （2）解：当点M在点B的左侧时，， 解得：； 当点M在点B的右侧时，， 解得：． 答：当t为2或6时，B、M两点之间的距离为4． （3）解：①当时，， ， 随x的增大而减小， ； 当时，； 故答案为：； ②当时，， ， 随x的增大而增大， ． 的最小值为13． 故答案为：13． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$