专题08 一元一次方程应用压轴十二种题型-【常考压轴题】2024-2025学年七年级数学上册压轴题攻略（苏科版2024）

专题08一元一次方程应用压轴十二种题型 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 1 类型一、一元一次方程应用行程问题 2 类型二、一元一次方程应用工程问题 3 类型三、一元一次方程应用销售问题 4 类型四、一元一次方程应用方案问题 5 类型五、一元一次方程应用配套问题 7 类型六、一元一次方程应用比赛积分问题 9 类型七、一元一次方程应用数字问题 10 类型八、一元一次方程应用几何问题 11 类型九、一元一次方程应用日历问题 13 类型十、一元一次方程应用电费和水费问题 15 类型十一、一元一次方程应用数轴动点问题 16 类型十二、一元一次方程应用其他问题 17 压轴能力测评（11题） 17 1.行程问题 距离=速度·时间 2. 工程问题 工作量=工效×工时 ；工程问题常用等量关系： 先做的+后做的=完成量 3. 顺水逆水问题】 顺流速度=静水速度+水流速度，逆流速度=静水速度-水流速度； 顺水逆水问题常用等量关系：顺水路程=逆水路程 4. 商品利润问题 售价=定价 ； 利润问题常用等量关系：售价-进价=利润 类型一、一元一次方程应用行程问题 【典例1】一艘船从甲码头到乙码头顺水而行，用了；从乙码头返回甲码头逆水而行，用了．已知水流的速度是． 求： (1)船在静水中的平均速度； (2)甲、乙两地之间的距离． 【变式1-1】某中学学生步行到郊外旅游，七（1）班学生组成前队，步行速度为4千米/时，七（2）班的学生组成后队，步行速度为6千米/时：前队出发1小时后，后队才出发，同时后队派一名联络员骑自行车在两队之间不间断地来回联络，他骑的速度为10千米/时． (1)后队追上前队需要多长时间？ (2)后队追上前队时间内，联络员骑车的路程是多少？ (3)两队何时相距2千米？ 【变式1-2】小芳早上出门赶到距家的学校上学．已知小芳的速度是，她刚出门，妈妈想起昨晚班主任在家长群发通知，今天学生在家上网课，网课开始，于是妈妈立即以的速度跑出门去追小芳，并且在途中追上了她，小芳立即和妈妈以的速度走回家 (1)妈妈追上小芳用了多长时间？ (2)小芳是否能赶在网课开始前进入网课直播间上课？ 类型二、一元一次方程应用工程问题 【典例2】为庆祝校运会开幕，七（2）班学生接受了制作小旗的任务，原计划一半的同学参加制作，每天制作40面，完成了以后，全班同学一起参加，结果比原计划提前一天半完成任务，假设每人制作效率相同，问共制作小旗多少面？ 【变式2-1】列方程解应用题：甲、乙两个工程队共同承包了一项总长度为5400米的修路工程，原计划由甲、乙两个工程队分别从两端同时开始施工，恰好9天完成整个工程，已知乙队平均每天比甲队多施工120米． (1)求甲、乙两个工程队原计划平均每天分别施工多少米？ (2)若甲、乙两个工程队共同施工6天后，因另有紧急任务，乙工程队被调离该工程，剩余部分由甲工程队单独完成．为尽量减少延误工期，甲工程队提高工作效率后继续施工，结果比原计划延迟2天完成整个工程．求甲工程队提高工作效率后平均每天施工多少米？ 【变式2-2】有一些相同的房间需要粉刷墙面，一天4名一级技工去粉刷8个房间，结果其中有墙面未来得及粉刷；同样时间内6名二级技工粉刷了10个房间之外，还多粉刷了另外的墙面．每名一级技工比二级技工一天多粉刷墙面，求每个房间需要粉刷的墙面面积． 【变式2-3】甲、乙两工程队共同承包了一段长4600米的排污管道铺设工程，计划由两工程队分别从两端相向施工．已知甲队平均每天可完成230米，乙队平均每天比甲队多完成115米． (1)若甲乙两队同时施工，共同完成全部任务需要几天？ (2)若甲乙两队共同施工5天后，甲队被调离去支援其他工程，剩余的部分由乙队单独完成，则乙队需再施工多少天才能完成任务？ 类型三、一元一次方程应用销售问题 【典例3】2023年十一国庆期间，某商场打出促销广告，如下表所示： 优惠条件 一次性购物不超过200元 一次性购物超过200元，但不超过600元 一次性购物超过600元 优惠办法 没有优惠 全部按九折优惠 其中600元扔按九折优惠，超过600元部分按八折优惠 (1)用代数式表示（所填结果需化简）： 设一次性购买的物品原价为x元，当原价x超过200元，但不超过600元时，实际付款为______元；当原价x超过600元时，实际付款为______元； (2)若甲一次性购买的物品原价为800元，实际付款多少元？ (3)若甲购物时一次性付款580元，则所需物品的原价是多少元？ 【变式3-1】某商店用70000元的资金购进A，B两种商品共600件． 类型 进价（元/件） 标价（元/件） A 150 220 B 100 150 (1)求A，B商品购进的数量 (2)商店为了促销，决定推出优惠活动，A商品在标价的基础上打8折，B商品在标价的基础上也打折．当600件商品销售完时，商店获得的利润为19200元，求B商品在标价的基础上打了几折？ 【变式3-2】2023年9月在杭州举行了亚运会，在这期间，亚运官方授权特许的零售店上新了不少亚运吉祥物盲盒，不仅可以选择心仪款式，甚至还可以开出隐藏款，在市民朋友中掀起了一波打卡和购买热潮，某商家购用元购进一批甲乙两种盲盒，其中甲盲盒的件数比乙盲盒的件数的4倍少40件，两件商品的进价和售价如图所示： 甲 乙 进价（元/件） 15 20 售价（元/件） 21 30 (1)商家购进的这批盲盒中甲乙两种盲盒分别有多少件？ (2)双十二活动到了，为了保证货源充足，该商家第二次分别以第一次同样的进价购进第二批甲乙两种盲盒，其中乙盲盒的件数是第一批乙盲盒件数的3倍，甲盲盒件数不变，甲商品按照原售价销售，乙商品在原价的基础上打折销售，第二批商品全部售出后获得的总利润是元，求第二批乙盲盒在原价基础上打几折销售？ 【变式3-3】某商场从厂家购进了A，B两种品牌足球共80个，已知购进A品牌足球比购进B品牌足球少花2800元，其中A品牌足球每个进价是40元，B品牌足球每个进价是60元． (1)购进A，B两种品牌足球各多少个？ (2)在销售过程中，A品牌足球每个售价是80元，很快全部售出；B品牌足球每个按进价加价25％销售，售出一部分后出现滞销，商场决定打九折出售剩余的B品牌足球，两种品牌足球全部售出后共获利1400元，有多少个B品牌足球打九折出售？ 类型四、一元一次方程应用方案问题 【典例4】为庆祝“五一”，学校统一组织合唱比赛，七、八年级共92人（其中七年级的人数超过46人但不足90人）准备统一购买服装参加比赛．若两个年级分别单独购买服装一共应付5000元，下表是某服装厂给出服装的价格表： 购买服装的套数 1套至45套 46套至90套 91套以上（含91套） 每套服装的价格 60元 50元 40元 (1)求七、八年级各有多少学生参加合唱比赛； (2)七年级参加合唱比赛的学生中，有10名同学抽调去参加绘画比赛，不能参加合唱比赛，请你为两个年级设计一种最省钱的购买服装方案． 【变式4-1】某蔬菜公司的一种绿色蔬菜，若在市场上直接销售，每吨利润为1000元，经粗加工后销售，每吨利润可达4500元，经精加工后销售，每吨利润涨至7500元，当地一家公司收购这种蔬菜140吨，该公司的加工生产能力是：如果对蔬菜进行粗加工，每天可加工16吨，如果进行精加工，每天可加工6吨，但两种加工方式不能同时进行，受季节等条件限制，公司必须在15天将这批蔬菜全部销售或加工完毕，为此公司研制了三种可行方案： 方案一：将蔬菜全部进行粗加工． 方案二：尽可能多地对蔬菜进行精加工，没来得及进行加工的蔬菜，在市场上直接销售． 方案三：将部分蔬菜进行精加工，其余蔬菜进行粗加工，并恰好15天完成． 你认为哪种方案获利最多？为什么？ 【变式4-2】池州市红星家具厂生产一种课桌和椅子课桌每张定价200元，椅子每把定价80元，厂方在开展促销活动期间，向客户提供两种优惠方案： 方案一：每买一张课桌就赠送一把椅子： 方案二：课桌和椅子都按定价的80%付款． 某校计划添置100张课桌和x把椅子． (1)用含x的代数式分别表示方案一与方案二各需付款多少元？ (2)当时，通过计算说明该校选择上面的两种购买方案哪种更省钱？ 【变式4-3】有下列两种移动电话计费方法： 月使用费/元 主叫限定时间/min 主叫超时费/（元/min） 被叫 A套餐 38 100 0.2 免费 B套餐 98 500 0.25 免费 其中，月使用费固定收，主叫不超过限定时间不再收费，主叫超过部分加收超时费，被叫免费． (1)小慧的爸爸6月份主叫时间200分钟，则选用A套餐比选用B套餐节省_________元． (2)小宇的爸爸选择A套餐，小谦的爸爸选择B套餐，7月份他们的通话费相等，小宇的爸爸比小谦的爸爸主叫时间少20分钟，求小宇的爸爸7月份的主叫时间． (3)设主叫时间为t分钟，直接写出t满足什么条件时，B套餐省钱． 类型五、一元一次方程应用配套问题 【典例5】第届亚洲夏季运动会于年月日在杭州举行，象征杭州三大世界文化遗产的吉祥物“宸宸”“琮琮”“莲莲”通过不同色彩、不同纹饰向世界讲述“江南忆”的美丽故事，现有工厂生产吉祥物的盲盒，分为、两种包装，该工厂共有名工人． (1)若该工厂生产盲盒的人数比生产盲盒的人数的倍少人，请求出生产盲盒的工人人数； (2)为了促销，工厂按商家要求生产盲盒大礼包，该大礼包由个盲盒和个盲盒组成，已知每个工人平均每天可以生产个盲盒或个盲盒，且每天只能生产一种包装的盲盒．该工厂应该安排多少名工人生产盲盒，多少名工人生产盲盒才能使每天生产的盲盒正好配套？ 【变式5-1】用白铁皮做罐头盒，每张白铁皮可制盒身32个或盒底86个，一个盒身与两个盒底配成一套罐头盒．现有300张白铁皮，用多少张白铁皮制盒身，多少张白铁皮制盒底可以正好制成整套罐头盒无余料？ 【变式5-2】某服装厂要生产同一种型号的服装，已知长的布料可做上衣2件或裤子3条，一件上衣和一条裤子为一套．现在库内存有布料，应如何分配布料做上衣和做裤子才能恰好配套？可以生产多少套衣服？ 【变式5-3】某工厂需要生产一批太空漫步器（如图），每套设备由一个支架和两套脚踏板组装而成；工厂现共有45名工人，每人每天平均生产60个支架或96套脚踏板． (1)应如何分配工人才能使每天生产的支架和脚踏板恰好配套？ (2)若每套太空漫步器的成本为240元，要达到的利润率，则每套应定价多少元？ 类型六、一元一次方程应用比赛积分问题 【典例6】“学习生活两不误，劳逸结合更健康”，某个周末勤奋好学的小明和爸爸下棋，爸爸赢一盘记2分，小明赢一盘记6分，一共下了8盘，每盘都分出了胜负． (1)若两人得分相等，请应用方程求出两人各赢了多少盘； (2)比赛结束时，爸爸得分可能比小明得分多2分吗？为什么？ 【变式6-1】一份试卷共30道题，每道题都给出四个答案，其中只有一个是正确的，要求学生把正确的答案选出来，选对得4分，选错或不选倒扣1分，如果一个学生得了95分，那么他选对了几道题？ 【变式6-2】七年级进行法律知识竞赛，共有道题，答对一道题得4分，不答或答错一道题扣2分，小红同学参加了竞赛，成绩是分，请问小红在竞赛中答对了多少道题？ 【变式6-3】某磁性飞镖游戏的靶盘如图．珍珍玩了两局，每局投10次飞镖，若投到边界则不计入次数，需重新投，计分规则如下： 投中位置 A区 B区 脱靶 一次计分（分） 3 1 在第一局中，珍珍投中A区4次，B区2次，脱靶4次．    (1)求珍珍第一局的得分； (2)第二局，珍珍投中A区k次，B区3次，其余全部脱靶．若本局得分比第一局提高了13分，求k的值． 类型七、一元一次方程应用数字问题 【典例7】【阅读材料】“九宫图”源于《易经》，中国古代称为“河图”、“洛书”，图①记载于《易经》中的《洛书》，用现代数学符号表示如图②，是一个三阶幻方．    (1)观察图②，根据“九宫图”中各数字之间的关系，请总结出“幻方”需要满足的条件是__________； (2)若图③是一个幻方，求图中，，的值． 【变式7-1】“幻方”最早记载于春秋时期的《大戴礼记》中，如图1所示，每个三角形的三个顶点上的数字之和都与中间正方形四个顶点上的数字之和相等，现将-5，-3，-2，2，3，5，7，8填入如图2所示的“幻方”中，部分数据已填入，则的值为（    ） A．-50 B．-100000 C．50 D．100000 【变式7-2】“九宫图”传说是远古时代洛河中的一个神龟背上的图案，故又称“龟背图”，“九宫图”所体现的是一个表格，其对角线，横行，竖列三个数之和都相等，也称为三阶幻方，如图是一个三阶幻方的一部分，则图中m表示的数是 ． 【变式7-3】一个两位数的十位上的数字与个位上数字之和为8，把这个数减去后，结果恰好成为十位数字与个位数字对调后组成的两位数，求这个两位数． 类型八、一元一次方程应用几何问题 【典例8】王老师在茶园购买了一套经济适用房，他准备将地面铺上地砖，地面结构如图所示．根据图中的数据（单位：m），解答下列问题： (1)用含的代数式表示地面总面积； (2)已知客厅面积比厨房面积多，若铺地砖的平均费用为100元，那么铺地砖的总费用为多少元？ 【变式8-1】用张长为，宽为的长方形纸片按如图方式放在大长方形内，未被覆盖的部分恰好为两个长方形，设阴影部分的周长为，的长为，即．    (1)求（用含x的式子表示）； (2)若，，求的值． 类型九、一元一次方程应用日历问题 【典例9】将连续的奇数1，3，5，7，9，…，排成如图所示的数表，用十字形框任意框出5个数． (1)如图十字框中的五个数之和与中间数15有什么关系？ (2)若将十字框上下左右移动，可框住另外五个数，设中间数为． ①用含有的式子表示十字形框中的五个数之和； ②这五个数之和能等于2023吗？请通过计算说明． 【变式9-1】如图1是一个数表，现用一个矩形在数表中图中所示的方式任意框出4个数，若任意框出的数为图2中的a，b，c，d四个数，请根据数表中的规律解决如下问题：    (1)若，则 ； ； (2)a与c的数量关系是 ； (3)当时，求的值． 【变式9-2】如图是年月份的日历． (1)图1中，带阴影的方框中的个数的和与方框正中心的数有什么倍数关系？ (2)在图2中，将带阴影的方框移动，任意框出个数（格子都有数字），（1）中的结论还成立吗？请说明理由； (3)在图中，带阴影的方框移动过程中，个数的和可以是吗？若可以，求出方框正中心的数；若不可以，请说明理由． 类型十、一元一次方程应用电费和水费问题 【典例10】某地政府为鼓励节约用电，采用阶梯式电价计量标准．根据每户居民每月的用电量（用电量均为整数，单位：千瓦·时）分为三档进行收费（第一档：月用电量不高于240千瓦·时．第二档： 月用电量为千瓦·时，第三档： 月用电量超过 400 千瓦·时）．设居民每月应交电费y（元） ，用电量为x（千瓦·时） 用电量（千瓦·时） 收费（元） 不超过 240 千瓦·时 每千瓦·时 元 千瓦·时 每千瓦·时 元 超过 400千瓦·时 超过的部分每千瓦·时 元 (1)①每月用电量不超过240千瓦·时，y= ； ②每月用电量超过 400千瓦·时，y= ． (2)若某户居民用电量为210千瓦·时，则应交电费多少元? (3)若某户居民某月交费210元，则该户居民用电多少千瓦·时? 【变式10-1】为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，某市采用价格调控的手段达到节水的目的，该市自来水收费的收费标准如下表： 收费标准（注：水费按月份结算） 每月用水量 单价（元立方米） 不超出6立方米的部分 2 超出6立方米不超出10立方米的部分 4 超出10立方米的部分 8 例如：某户居民1月份用水8立方米，应收水费为（元） 请根据上表的内容解答下列问题： (1)若某户居民2月份用水7立方米，则应收水费______元 (2)若某户居民4月份用水立方米（其中），请用含的代数式表示应收水费______． (3)若某户居民3月份交水费60元，求3月份用水量为多少立方米？ (4)若某户居民5、6两个月共用水18立方米（6月份的用水量超过了5月份的用水量），设5月份用水立方米，请用含的代数式表示该户居民5、6两个月共交水费多少元？ 【变式10-2】下表为某市居民每月用水收费标准（单位：元/立方米），设用户用水量为立方米． 用水量/立方米 单价/（元/立方米） 超出30的部分 (1)某用户用水10立方米，共交水费29.8元，求的值． (2)在（1）的前提下，该用户10月份交水费109.4元，请问该用户用水多少立方米？ 类型十一、一元一次方程应用数轴动点问题 【典例11】如图，点A，B，C是数轴上三点，点C表示的数为6，，． (1)写出数轴上点A表示的数：________； (2)动点P，Q同时从A，C出发，点P以每秒4个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，点Q以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为t（）秒． ①当时，求出此时P，Q在数轴上表示的数； ②t为何值时，点P，Q相距2个单位长度，并写出此时点P，Q在数轴上表示的数． 【变式11-1】如图，已知数轴上点A表示的数为4，点B表示的数为1，C是数轴上位于A左侧一点，且． (1)直接写出数轴上点C表示的数； (2)动点P从B出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为t（）秒，动点R从点C出发，以每秒2个单位长度沿数轴向左匀速运动，求当t为何值时P，R两点会相遇． (3)动点P从B出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为t（）秒，动点R从点C出发，以每秒2个单位长度沿数轴向左匀速运动，动点Q从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动．若P，Q，R三点同时出发，当点P遇上点R后立即返回向点Q运动，遇到点Q后则停止运动．求点P从开始运动到停止运动，行驶的路程是多少个单位长度？ 【变式11-2】已知是最小的正整数，且满足． (1)填空：_________，_________，_________； (2)数在数轴上对应的点分别是，点为数轴上一动点，其对应的数为，点在1到2之间运动时（即），请化简式子：； (3)在（2）的条件下，点在数轴上运动，若点以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点和点分别以每秒个单位长度和5个单位长度的速度向右运动．点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为．若在运动过程中的值保持不变，求的值． 【变式11-3】数轴上点表示，点表示6，点表示12.点表示18.如图，将数轴在原点和点处各折一下，得到一条“折线数轴”．在“折线数轴”上，把两点所对应的两数之差的绝对值叫这两点间的和谐距离．例如，点和点在折线数轴上的和谐距离为个单位长度，动点从点出发，以4个单位/秒的速度沿着折线数轴的正方向运动，从点运动到点期间速度变为原来的一半，过点后继续以原来的速度向终点运动；点从点出发的同时，点从点出发，一直以3个单位/秒的速度沿着“折线数轴”负方向向终点运动，其中一点到达终点时，两点都停止运动．设运动的时间为秒．      (1)当秒时，两点在折线数轴上的和谐距离为______； (2)当点都运动到折线段上时，两点间的和谐距离______（用含有的代数式表示）；两点间的和谐距离______（用含有的代数式表示）：______时，两点相遇； (3)求当为多少秒时，两点在折线数轴上的和谐距离为4个单位长度． 类型十二、一元一次方程应用其他问题 【典例12】把一些图书分给某班学生阅读，如果每人分3本，则剩余20本；如果每人分4本，则还缺25本． (1)这个班有多少学生？ (2)这批图书共有多少本？ 【变式12-1】第十九届亚运会于2023年9月23日至2023年10月8日在杭州举行。中国运动员发扬顽强拼搏、敢于争先的精神、在比赛场上屡创佳绩、获得金、银、铜牌共302枚，其中金牌比银牌多90枚，铜牌比银牌少40枚．问金、银、铜牌各是多少枚？（请列方程解答） 【变式12-2】一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚得几丁．——程大位《直接算法统宗》意思是：有100个和尚分100个馒头，如果大和尚1人分3个，小和尚3人分1个，正好分完．试问大、小和尚各多少人？ 一、单选题 1．某车间有22名工人，每人每天可以生产1200个螺钉或2000个螺母．1个螺钉需要配2个螺母，为使每天生产的螺钉和螺母刚好配套，应安排 名工人生产螺钉，其余的工人生产螺母，才能使每天生产的产品刚好配套． 2．某市中学生足球联赛规定：胜一场得3分，平一场得1分，负一场不得分．某校中学足球代表队共比赛了8场，其中平场数是负场数的2倍，共得17分，该队胜了（   ）场 A．1 B．2 C．3 D．5 3．某个体商贩在一次买卖中，同时卖出两件上衣，售价都是135元，若按成本计，其中一件盈利，另一件亏本，在这次买卖中他（   ） A．不赚不赔 B．无法比较 C．赔18元 D．赚18元 4．如图，已知两点在数轴上，点表示的数为，，点以每秒个单位长度的速度从点向右运动．点以每秒个单位长度的速度从点向左运动（点、点同时出发）．经过几秒，点、点分别到原点的距离相等？（    ） A．秒 B．秒或者秒 C．秒或秒 D．秒 5．我国古代著作《增删算法统宗》中记载了一首古算诗：“庭前孩童闹如簇，不知人数不知梨，每人四梨多十二，每人六梨恰齐足，”其大意：“孩童们在庭院玩耍，不知有多少人和梨，每人分4个梨，多12个梨：每人分6个梨，恰好分完．”设梨有x个，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 6．把9个数填入方格中，如果满足每个横行、每个竖列和每条对角线上的三个数之和都相等，这样便构成了一个“三阶幻方”，它源于我国古代的“洛书”，如图所示的三阶幻方仅可以看到部分数值，其中x的值应为 ． 7．某厂10月份的产值是125万元，比3月份的产值的3倍少13万元，若设3月份的产值为x万元，则可列出的方程为 8．如图，8张正方形泡沫板拼成一个长方形展板，其中最小的两个正方形边长均为1米，则长方形展板的面积是 平方米． 三、解答题 9．某游乐园有如表A，B，C三种购票方式： 种类 购票方式 A 一次性使用门票，每张15元 B 年票每张元，持票者每次进入游乐园无需再购买门票 C 年票每张80元，持票者进入游乐园时需每次再购买6元的门票 (1)某游客一年中进入该游乐园共有a次，分别求三种购票方式一年的费用．（用含a的代数式表示） (2)某游客一年中进入该游乐园共有12次，选择哪种购买方式比较优惠？请通过计算说明． (3)已知甲、乙、丙三人分别按A，B，C三种方式购票，且他们一年中进入该游乐园的次数相同．一年中，若甲所花的费用与乙所花费用相等，求丙在这一年中进入该游乐园所花的费用． 10．阅读下面的材料：点A，B在数轴上分别表示有理数，A，B两点之间的距离表示为AB．当A，B两点中有一点在原点时，不妨设点A在原点，如图1，；当A，B两点都不在原点时，如图2、图3、图4，同理可得出    综上，数轴上A，B两点之间的距离． 解决问题： (1)数轴上表示和5的两点之间的距离为_________； (2)若数轴上表示和5的两点分别是A和B，则A，B两点之间的距离为_________；若，那么_________； (3)取最小值为_________，此时的取值范围是_________； (4)是否存在x使值为8，如果存在，请直接写出x的值；如果不存在，请说明理由； (5)如图，已知A，B两点对应的数在数轴上互为相反数，且相距20个单位长度．若P，Q两点分别同时从A，B出发向左运动，速度分别为2个单位/秒，4个单位/秒，求相遇点D对应的数．    原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题08一元一次方程应用压轴十二种题型 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 1 类型一、一元一次方程应用行程问题 2 类型二、一元一次方程应用工程问题 4 类型三、一元一次方程应用销售问题 6 类型四、一元一次方程应用方案问题 9 类型五、一元一次方程应用配套问题 12 类型六、一元一次方程应用比赛积分问题 15 类型七、一元一次方程应用数字问题 16 类型八、一元一次方程应用几何问题 19 类型九、一元一次方程应用日历问题 21 类型十、一元一次方程应用电费和水费问题 24 类型十一、一元一次方程应用数轴动点问题 27 类型十二、一元一次方程应用其他问题 31 压轴能力测评（11题） 33 1.行程问题 距离=速度·时间 2. 工程问题 工作量=工效×工时 ；工程问题常用等量关系： 先做的+后做的=完成量 3. 顺水逆水问题】 顺流速度=静水速度+水流速度，逆流速度=静水速度-水流速度； 顺水逆水问题常用等量关系：顺水路程=逆水路程 4. 商品利润问题 售价=定价 ； 利润问题常用等量关系：售价-进价=利润 类型一、一元一次方程应用行程问题 【典例1】一艘船从甲码头到乙码头顺水而行，用了；从乙码头返回甲码头逆水而行，用了．已知水流的速度是． 求： (1)船在静水中的平均速度； (2)甲、乙两地之间的距离． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，熟练掌握航行问题的基本等量关系及找准题目中的等量关系进行列式求解是解决本题的关键． （1）根据题意以甲码头到乙码头的路程是一定的为等量关系，设船在静水中的速度为，进而列方程求解即可． （2）运用速度乘上时间等于距离列式计算，即可作答． 【详解】（1）解：设船在静水中的速度为，依题意得： ， 解得， ∴船在静水中的平均速度为； （2）解：依题意，船在静水中的平均速度为， ∴甲乙两码头之间的距离为， ∴甲乙两码头之间的距离． 【变式1-1】某中学学生步行到郊外旅游，七（1）班学生组成前队，步行速度为4千米/时，七（2）班的学生组成后队，步行速度为6千米/时：前队出发1小时后，后队才出发，同时后队派一名联络员骑自行车在两队之间不间断地来回联络，他骑的速度为10千米/时． (1)后队追上前队需要多长时间？ (2)后队追上前队时间内，联络员骑车的路程是多少？ (3)两队何时相距2千米？ 【答案】(1)后队追上前队需要2小时 (2)20千米 (3)前队出发小时或2小时或4小时时，两队相距2千米 【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用： （1）设后队追上前队需要x小时，根据路程速度时间列方程求解即可； （2）根据（1）所求结合路程速度时间进行求解即可； （3）分当后队没有出发时，两队相距2千米时，当后队没有超过前队时，两队相距2千米时，当后队超过前队时，两队相距2千米时，三种情况讨论求解即可． 【详解】（1）解：设后队追上前队需要x小时， 由题意得，， 解得， 答：后队追上前队需要2小时； （2）解：千米， 答；后队追上前队时间内，联络员骑车的路程是20千米； （3）解：设前队出发t小时时，两队相距2千米 当后队没有出发时，两队相距2千米时，则，解得， 当后队没有超过前队时，两队相距2千米时，则，解得， 当后队超过前队时，两队相距2千米时，则，解得， 综上所述，前队出发小时或2小时或4小时时，两队相距2千米． 【变式1-2】小芳早上出门赶到距家的学校上学．已知小芳的速度是，她刚出门，妈妈想起昨晚班主任在家长群发通知，今天学生在家上网课，网课开始，于是妈妈立即以的速度跑出门去追小芳，并且在途中追上了她，小芳立即和妈妈以的速度走回家 (1)妈妈追上小芳用了多长时间？ (2)小芳是否能赶在网课开始前进入网课直播间上课？ 【答案】(1) (2)小芳能赶在网课开始前进入网课直播间上课 【分析】本题考查了一元一次方程的应用以及有理数的混合运算，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． （1）设妈妈追上小芳用了，利用路程速度时间，结合妈妈追上小芳时两人的路程相同，可列出关于的一元一次方程，解之即可得出结论； （2）利用路程速度时间，可求出妈妈追上小芳时离家的距离，利用时间路程速度，可求出小芳返回家所用时间，将各时间段相加，再与比较后即可得出结论． 【详解】（1）解：设妈妈追上小芳用了， 根据题意得：， 解得：． 答：妈妈追上小芳用了； （2）解：妈妈追上小芳时离家的距离为， 小芳返回家所用时间为， ， ，， 小芳能赶在网课开始前进入网课直播间上课． 类型二、一元一次方程应用工程问题 【典例2】为庆祝校运会开幕，七（2）班学生接受了制作小旗的任务，原计划一半的同学参加制作，每天制作40面，完成了以后，全班同学一起参加，结果比原计划提前一天半完成任务，假设每人制作效率相同，问共制作小旗多少面？ 【答案】共制作小旗180面 【分析】本题考查了一元一次方程的实际问题，解答时根据实际比计划提前一天半完成任务为等量关系建立方程是关键．设共制作小旗x面，则原计划的时间为天，再根据条件求出实际完成任务的时间，由实际比计划提前一天半完成任务建立方程，求出其解即可； 【详解】解：设共制作x面， 由题意得， 解得：， 答：共制作小旗180面． 【变式2-1】列方程解应用题：甲、乙两个工程队共同承包了一项总长度为5400米的修路工程，原计划由甲、乙两个工程队分别从两端同时开始施工，恰好9天完成整个工程，已知乙队平均每天比甲队多施工120米． (1)求甲、乙两个工程队原计划平均每天分别施工多少米？ (2)若甲、乙两个工程队共同施工6天后，因另有紧急任务，乙工程队被调离该工程，剩余部分由甲工程队单独完成．为尽量减少延误工期，甲工程队提高工作效率后继续施工，结果比原计划延迟2天完成整个工程．求甲工程队提高工作效率后平均每天施工多少米？ 【答案】(1)甲原计划每天修，乙原计划每天修 (2)甲工程队提高效率后平均每天施工 【分析】本题考查的是一元次方程的应用，确定相等关系是解本题的关键． （1）设甲原计划每天修米．则乙为米．利用“原计划由甲、乙两个工程队分别从两端同时开始施工，恰好9天完成整个工程”建立一元一次方程求解即可； （2）设甲提高后速度为米/天，由各部分的工作量之和等于总工作量列方程求解即可． 【详解】（1）解：设甲原计划每天修米．则乙为米． , 解得：, 乙：, 答：甲原计划每天修，乙原计划每天修． （2）设甲提高后速度为米/天 解得： 答：甲工程队提高效率后平均每天施工． 【变式2-2】有一些相同的房间需要粉刷墙面，一天4名一级技工去粉刷8个房间，结果其中有墙面未来得及粉刷；同样时间内6名二级技工粉刷了10个房间之外，还多粉刷了另外的墙面．每名一级技工比二级技工一天多粉刷墙面，求每个房间需要粉刷的墙面面积． 【答案】 【分析】设每个房间需要粉刷的墙面面积为，根据每名一级技工比二级技工一天多粉刷墙面，列出方程求解即可． 【详解】解：设每个房间需要粉刷的墙面面积为，由题意，得： ， 解得：； 答：每个房间需要粉刷的墙面面积为． 【点睛】本题考查一元一次方程的应用．解题的关键是找准等量关系，正确的计算． 【变式2-3】甲、乙两工程队共同承包了一段长4600米的排污管道铺设工程，计划由两工程队分别从两端相向施工．已知甲队平均每天可完成230米，乙队平均每天比甲队多完成115米． (1)若甲乙两队同时施工，共同完成全部任务需要几天？ (2)若甲乙两队共同施工5天后，甲队被调离去支援其他工程，剩余的部分由乙队单独完成，则乙队需再施工多少天才能完成任务？ 【答案】(1)甲乙两队同时施工，共同完成全部任务需要8天 (2)乙队需再施工5天才能完成任务 【分析】（1）设甲乙两队同时施工，共同完成全部任务需要天，根据题意列出方程求解即可； （2）设乙队需再施工天才能完成任务，根据甲乙两队共同施工5天，剩余的部分由乙队单独完成列方程求解即可． 【详解】（1）设甲乙两队同时施工，共同完成全部任务需要天 根据题意得， 解得， 答：甲乙两队同时施工，共同完成全部任务需要8天； （2）设乙队需再施工天才能完成任务 根据题意得， 解得， 答：乙队需再施工5天才能完成任务． 【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用，认真审题、找出题中的等量关系是解答本题的关键． 类型三、一元一次方程应用销售问题 【典例3】2023年十一国庆期间，某商场打出促销广告，如下表所示： 优惠条件 一次性购物不超过200元 一次性购物超过200元，但不超过600元 一次性购物超过600元 优惠办法 没有优惠 全部按九折优惠 其中600元扔按九折优惠，超过600元部分按八折优惠 (1)用代数式表示（所填结果需化简）： 设一次性购买的物品原价为x元，当原价x超过200元，但不超过600元时，实际付款为______元；当原价x超过600元时，实际付款为______元； (2)若甲一次性购买的物品原价为800元，实际付款多少元？ (3)若甲购物时一次性付款580元，则所需物品的原价是多少元？ 【答案】(1)； (2)实际付款700元 (3)所需物品的原价为650元 【分析】本题考查了一元一次方程的应用、列代数式及代数式求值，解题的关键是：根据优惠政策，列出代数式；找准等量关系，正确列出一元一次方程． （1）根据给出的优惠办法，用含x的代数式表示出实际付款金额即可； （2）把代入所列代数式，解之即可得出结论； （3）设甲所购物品的原价是x元，先求出购买原价为580元商品时实际付款金额，比较后可得出，结合（1）的结论即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】（1）解：当时，实际付款元； 当时，实际付款元． 故答案为：；； （2）解：， ∴实际付款元， 答：实际付款700元； （3）解：∵甲一次性付了580元元． ∴甲购物享受了600元按9折优惠，超过部分8折优惠． 设甲所购物物品原价为x元， 根据题意，得元， 解得：， ∴所需物品的原价为650元． 【变式3-1】某商店用70000元的资金购进A，B两种商品共600件． 类型 进价（元/件） 标价（元/件） A 150 220 B 100 150 (1)求A，B商品购进的数量 (2)商店为了促销，决定推出优惠活动，A商品在标价的基础上打8折，B商品在标价的基础上也打折．当600件商品销售完时，商店获得的利润为19200元，求B商品在标价的基础上打了几折？ 【答案】(1)A商品购进的数量是200件，B商品购进的数量是400件 (2)B商品在标价的基础上打了9折 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，正确地用代数式表示购进甲、乙两商品各自所需要的钱数是解题的关键． （1）设A商品购进的数量是x件，则B商品购进的数量是件，购进甲种商品需要元，购进乙种商品需要元，列方程进行求解即可． （2）设B商品在标价的基础上打y折，由总利润总售价总进价列方程进行求解即可． 【详解】（1）解：设A商品购进的数量是x件，则B商品购进的数量是件， 根据题意得， 解得， 则件， 答：A商品购进的数量是200件，B商品购进的数量是400件． （2）设B商品在标价的基础上打y折， 根据题意：， 解得：， 答：B商品在标价的基础上打了9折． 【变式3-2】2023年9月在杭州举行了亚运会，在这期间，亚运官方授权特许的零售店上新了不少亚运吉祥物盲盒，不仅可以选择心仪款式，甚至还可以开出隐藏款，在市民朋友中掀起了一波打卡和购买热潮，某商家购用元购进一批甲乙两种盲盒，其中甲盲盒的件数比乙盲盒的件数的4倍少40件，两件商品的进价和售价如图所示： 甲 乙 进价（元/件） 15 20 售价（元/件） 21 30 (1)商家购进的这批盲盒中甲乙两种盲盒分别有多少件？ (2)双十二活动到了，为了保证货源充足，该商家第二次分别以第一次同样的进价购进第二批甲乙两种盲盒，其中乙盲盒的件数是第一批乙盲盒件数的3倍，甲盲盒件数不变，甲商品按照原售价销售，乙商品在原价的基础上打折销售，第二批商品全部售出后获得的总利润是元，求第二批乙盲盒在原价基础上打几折销售？ 【答案】(1)商家购进的这批盲盒中甲有件，乙有件． (2)第二批乙盲盒在原价基础上打九折销售． 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． （1）设商家第一次购进乙盲盒x件，则甲盲盒件，根据总价=单价销量，可得出关于x的一元一次方程，解方程后计算，可得两种盲盒第一次购进数量． （2）设第二次乙种商品是按原价打m折销售，根据总利润=每件的利润销售数量，即可得出关于m的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】（1）解：设商家第一次购进乙盲盒x件，则甲盲盒件． 根据题意得：， 解得：， 甲种盲盒的件数为：， 答：商家购进的这批盲盒中甲有440件，乙有120件． （2）设第二批乙盲盒在原价基础上打折销售． 根据题意得：， 解得：， 答：第二批乙盲盒在原价基础上打九折销售． 【变式3-3】某商场从厂家购进了A，B两种品牌足球共80个，已知购进A品牌足球比购进B品牌足球少花2800元，其中A品牌足球每个进价是40元，B品牌足球每个进价是60元． (1)购进A，B两种品牌足球各多少个？ (2)在销售过程中，A品牌足球每个售价是80元，很快全部售出；B品牌足球每个按进价加价25％销售，售出一部分后出现滞销，商场决定打九折出售剩余的B品牌足球，两种品牌足球全部售出后共获利1400元，有多少个B品牌足球打九折出售？ 【答案】(1)购进A种品牌足球20个，购进B种品牌足球60个 (2)有40个B品牌足球打九折出售 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，打折的意义 (1)设购进A种品牌足球x个，那么购进B种品牌足球个，根据题意列出方程解答即可． （2）设有y个B品牌足球打九折出售，根据题意列出方程解答即可． 【详解】（1）解：设购进A种品牌足球x个，那么购进B种品牌足球个，根据题意得： ， ， ， ， ， ， 答：购进A种品牌足球20个，购进B种品牌足球60个． （2）设有y个B品牌足球打九折出售，根据题意得： 整理得：， ， ， 答：有40个B品牌足球打九折出售． 类型四、一元一次方程应用方案问题 【典例4】为庆祝“五一”，学校统一组织合唱比赛，七、八年级共92人（其中七年级的人数超过46人但不足90人）准备统一购买服装参加比赛．若两个年级分别单独购买服装一共应付5000元，下表是某服装厂给出服装的价格表： 购买服装的套数 1套至45套 46套至90套 91套以上（含91套） 每套服装的价格 60元 50元 40元 (1)求七、八年级各有多少学生参加合唱比赛； (2)七年级参加合唱比赛的学生中，有10名同学抽调去参加绘画比赛，不能参加合唱比赛，请你为两个年级设计一种最省钱的购买服装方案． 【答案】(1)七年级52人，八年级40人 (2)两个年级一起买91套时最省钱 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，利用分类讨论的思维是解题关键． （1）设七年级有x人，根据七年级的人数多于八年级的人数，且七年级的人数不足90人，得出七年级，八年级的人数范围，从而确定服装价格；再根据两个年级分别单独购买服装一共应付5000元，列方程求解即可； （2）分别计算：①两个年级单独买、②两个年级一起买82套、③两个年级一起买91套的总花费，即可判断； 【详解】（1）解：设七年级有x人，则八年级有人， ∵七年级人数超过46但不足90人， （2）∴八年级人数不足46人， ∴七年级每套服装50元，八年级每套服装60元， ∵两个年级分别单独购买服装一共应付5000元， ∴， 解得：， ∴， ∴七年级52人，八年级40人； 解：由题意得：七年级参加合唱比赛的人为（人）， 八年级参加合唱比赛的人为40人，设总花费为y，则： ①两个年级单独买时：（元）， ②两个年级一起买82套时：（元）， ③两个年级一起买91套时：（元）， ∵， ∴两个年级一起买91套时最省钱． 【变式4-1】某蔬菜公司的一种绿色蔬菜，若在市场上直接销售，每吨利润为1000元，经粗加工后销售，每吨利润可达4500元，经精加工后销售，每吨利润涨至7500元，当地一家公司收购这种蔬菜140吨，该公司的加工生产能力是：如果对蔬菜进行粗加工，每天可加工16吨，如果进行精加工，每天可加工6吨，但两种加工方式不能同时进行，受季节等条件限制，公司必须在15天将这批蔬菜全部销售或加工完毕，为此公司研制了三种可行方案： 方案一：将蔬菜全部进行粗加工． 方案二：尽可能多地对蔬菜进行精加工，没来得及进行加工的蔬菜，在市场上直接销售． 方案三：将部分蔬菜进行精加工，其余蔬菜进行粗加工，并恰好15天完成． 你认为哪种方案获利最多？为什么？ 【答案】方案三获利最多，可以粗加工这种蔬菜80吨，精加工这种蔬菜60吨，可获得最高利润为810000元 【分析】本题主要考查的一元一次方程的应用，根据题意列出关于x的方程是解题的关键．方案一：直接用算术方法计算：粗加工的每吨利润×吨数；方案二：首先根据每天精加工的吨数以及天数的限制，可知精加工了吨，还有50吨直接销售；方案三：设精加工x天，则粗加工天，根据加工的总吨数为140吨列方程求得x的值，然后可求得获得的利润． 【详解】解：方案一：（元）， ∴将蔬菜全部进行粗加工后销售，则可获利润630000元， 方案二：（元）， ∴将蔬菜尽可能多的进行精加工，没来得及加工的在市场上直接销售，则可获利润725000元； 方案三：设精加工x天，则粗加工天． 根据题意得：， 解得：， 所以精加工的吨数吨，粗加工的吨数吨． 此时利润为：（元）， 答：方案三获利最多，该公司可以粗加工这种蔬菜80吨，精加工这种蔬菜60吨，可获得最高利润为810000元．　 【变式4-2】池州市红星家具厂生产一种课桌和椅子课桌每张定价200元，椅子每把定价80元，厂方在开展促销活动期间，向客户提供两种优惠方案： 方案一：每买一张课桌就赠送一把椅子： 方案二：课桌和椅子都按定价的80%付款． 某校计划添置100张课桌和x把椅子． (1)用含x的代数式分别表示方案一与方案二各需付款多少元？ (2)当时，通过计算说明该校选择上面的两种购买方案哪种更省钱？ 【答案】(1)方案一：，方案二： (2)方案二，见解析 【分析】本题考查了列代数式，代数式求值等知识， （1）根据各自的优惠方案，用代数式表示所需费用； （2）当时，分别求出（1）中两个代数式的值，通过比较即可求解； 理解两种优惠方案从而正确写出代数式是解决问题的关键． 【详解】（1）方案一：， （元）， 方案二：， （元）， （2）当时， 元， 元， ∵ ∴方案二省钱，       答：方案二比较省钱． 【变式4-3】有下列两种移动电话计费方法： 月使用费/元 主叫限定时间/min 主叫超时费/（元/min） 被叫 A套餐 38 100 0.2 免费 B套餐 98 500 0.25 免费 其中，月使用费固定收，主叫不超过限定时间不再收费，主叫超过部分加收超时费，被叫免费． (1)小慧的爸爸6月份主叫时间200分钟，则选用A套餐比选用B套餐节省_________元． (2)小宇的爸爸选择A套餐，小谦的爸爸选择B套餐，7月份他们的通话费相等，小宇的爸爸比小谦的爸爸主叫时间少20分钟，求小宇的爸爸7月份的主叫时间． (3)设主叫时间为t分钟，直接写出t满足什么条件时，B套餐省钱． 【答案】(1)40 (2)400分或900分 (3) 【分析】（1）根据“A套餐”“B套餐”的计费方式，分别求得通话时间200分钟时的计费，再进行比较即可得出结论； （2）设小宇的爸爸7月份的主叫时间为x分，分别讨论若和，根据“A套餐”“B套餐”的计费方式，列出关于x的一元一次方程，解之即可， （3）根据（2）所求即可得出结论． 【详解】（1）根据题意得： ∵ ∴A套餐需交费：（元）， ∵ ∴B套餐需交费98元 所以，选用A套餐比选用B套餐节省的费用为：（元） 故答案为：40； （2）设小宇的爸爸7月份的主叫时间为x分， 若，根据题意得： ， 解得：， 若，根据题意得： ， 解得：， 综上所述，小宇的爸爸7月份的主叫时间为400分或900分 （3）当，选择B套餐省钱 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，正确找出等量关系，列出一元一次方程，正确掌握分类讨论思想是解题的关键． 类型五、一元一次方程应用配套问题 【典例5】第届亚洲夏季运动会于年月日在杭州举行，象征杭州三大世界文化遗产的吉祥物“宸宸”“琮琮”“莲莲”通过不同色彩、不同纹饰向世界讲述“江南忆”的美丽故事，现有工厂生产吉祥物的盲盒，分为、两种包装，该工厂共有名工人． (1)若该工厂生产盲盒的人数比生产盲盒的人数的倍少人，请求出生产盲盒的工人人数； (2)为了促销，工厂按商家要求生产盲盒大礼包，该大礼包由个盲盒和个盲盒组成，已知每个工人平均每天可以生产个盲盒或个盲盒，且每天只能生产一种包装的盲盒．该工厂应该安排多少名工人生产盲盒，多少名工人生产盲盒才能使每天生产的盲盒正好配套？ 【答案】(1)生产盲盒的工人人数为人 (2)该工厂应该安排名工人生产，名工人生产才能使每天生产的盲盒正好配套 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． （）设生产盲盒的工人人数为人，则生产盲盒的工人人数为人，根据该工厂共有名工人，列出一元一次方程，解方程即可； （）设安排人生产盲盒，则安排人生产盲盒，根据盲盒大礼包由个盲盒和个盲盒组成．列出一元一次方程，解方程即可． 【详解】（1）解：设生产的人数为人，则生产的人数为人， 于是 解得： （人） 答：生产盲盒的工人人数为人． （2）解：设安排人生产，则安排人生产 于是 解得： （人） 答：该工厂应该安排名工人生产，名工人生产才能使每天生产的盲盒正好配套． 【变式5-1】用白铁皮做罐头盒，每张白铁皮可制盒身32个或盒底86个，一个盒身与两个盒底配成一套罐头盒．现有300张白铁皮，用多少张白铁皮制盒身，多少张白铁皮制盒底可以正好制成整套罐头盒无余料？ 【答案】用172张白铁皮制盒身，用128张白铁皮制盒底 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用．设用张白铁皮制盒身，则用张白铁皮制盒底，根据盒身数量的2倍等于盒底的数量，列出方程求解即可．读懂题意，找准等量关系，正确的列出方程，是解题的关键． 【详解】解：设用张白铁皮制盒身，则用张白铁皮制盒底，由题意，得： ， 解得：， ∴； 答：用172张白铁皮制盒身，用128张白铁皮制盒底． 【变式5-2】某服装厂要生产同一种型号的服装，已知长的布料可做上衣2件或裤子3条，一件上衣和一条裤子为一套．现在库内存有布料，应如何分配布料做上衣和做裤子才能恰好配套？可以生产多少套衣服？ 【答案】用108米布做上衣，72米布做裤子才能恰好配套，可以生产72套衣服； 【分析】此题主要考查了一元一次方程的应用，设做上衣的布料用 ，则做裤子的布料用，根据长的某种布料可做上衣2件或裤子3条，得出做上衣与裤子的数量，进而得出方程求解即可； 【详解】解：设做上衣用米布，则做裤子用米布， 依题意得：， 解得， 此时，，， 答：用108米布做上衣，72米布做裤子才能恰好配套，可以生产72套衣服； 【变式5-3】某工厂需要生产一批太空漫步器（如图），每套设备由一个支架和两套脚踏板组装而成；工厂现共有45名工人，每人每天平均生产60个支架或96套脚踏板． (1)应如何分配工人才能使每天生产的支架和脚踏板恰好配套？ (2)若每套太空漫步器的成本为240元，要达到的利润率，则每套应定价多少元？ 【答案】(1)20人生产支架，25人生产脚踏板正好配套 (2)每套应定价288元，可达到的利润率 【分析】本题主要考查一元一次方程的应用． （1）根据等量关系为：生产支架的工人数生产脚踏板的工人数；生产支架总数生产脚踏板总数，把相关数值代入即可； （2）设每套应定价元，根据“售价成本利润”，及“要达到的利润率”，列方程即可求解． 解答的关键是理解清楚题意找到等量关系． 【详解】（1）解：设人生产支架，则人生产脚踏板， 由题意得： ， ， ， ， 答：20人生产支架，25人生产脚踏板正好配套． （2）设每套应定价元，由题意可得： ， 解得：， 答：每套应定价288元，可达到的利润率． 类型六、一元一次方程应用比赛积分问题 【典例6】“学习生活两不误，劳逸结合更健康”，某个周末勤奋好学的小明和爸爸下棋，爸爸赢一盘记2分，小明赢一盘记6分，一共下了8盘，每盘都分出了胜负． (1)若两人得分相等，请应用方程求出两人各赢了多少盘； (2)比赛结束时，爸爸得分可能比小明得分多2分吗？为什么？ 【答案】(1)若两人得分相等时，小明赢了2盘，爸爸赢了6盘 (2)不可能，理由见解析 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找出等量关系列出方程是解答本题的关键． （1）设小明赢了盘，则爸爸赢了盘，根据两人得分相等列方程求解即可； （2）设小明赢了盘，根据爸爸得分比小明得分多2分列方程，然后根据为自然数检验是否符合题意即可． 【详解】（1）设小明赢了盘，则爸爸赢了盘，依据题意可以列方程，得 ， 解得， 当时，， 答：若两人得分相等时，小明赢了2盘，爸爸赢了6盘． （2）不可能，理由如下： 设小明赢了盘，根据题意可以列方程，得 ， 解得， 因为为自然数， 所以，比赛结束时，爸爸不可能比小明多2分． 【变式6-1】一份试卷共30道题，每道题都给出四个答案，其中只有一个是正确的，要求学生把正确的答案选出来，选对得4分，选错或不选倒扣1分，如果一个学生得了95分，那么他选对了几道题？ 【答案】他选对了25道题 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设他选对了x道题，则选错或不选的有道题，据此列方程，解方程即可求解． 【详解】解：设他选对了x道题，则选错或不选的有道题． 根据题意，得，解得． 答：他选对了25道题． 【变式6-2】七年级进行法律知识竞赛，共有道题，答对一道题得4分，不答或答错一道题扣2分，小红同学参加了竞赛，成绩是分，请问小红在竞赛中答对了多少道题？ 【答案】小红在竞赛中答对了道题 【分析】设小红在竞赛中答对了道题，依题意列出，解出，即可作答． 【详解】解：设小红在竞赛中答对了道题， 依题意，， 解得． 所以小红在竞赛中答对了道题． 【点睛】本题考查了一元一次方程的实际应用，难度较小，正确依题意列出方程是解题的关键． 【变式6-3】某磁性飞镖游戏的靶盘如图．珍珍玩了两局，每局投10次飞镖，若投到边界则不计入次数，需重新投，计分规则如下： 投中位置 A区 B区 脱靶 一次计分（分） 3 1 在第一局中，珍珍投中A区4次，B区2次，脱靶4次．    (1)求珍珍第一局的得分； (2)第二局，珍珍投中A区k次，B区3次，其余全部脱靶．若本局得分比第一局提高了13分，求k的值． 【答案】(1)珍珍第一局的得分为6分； (2)． 【分析】（1）根据题意列式计算即可求解； （2）根据题意列一元一次方程即可求解. 【详解】（1）解：由题意得(分)， 答：珍珍第一局的得分为6分； （2）解：由题意得， 解得：． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解． 类型七、一元一次方程应用数字问题 【典例7】【阅读材料】“九宫图”源于《易经》，中国古代称为“河图”、“洛书”，图①记载于《易经》中的《洛书》，用现代数学符号表示如图②，是一个三阶幻方．    (1)观察图②，根据“九宫图”中各数字之间的关系，请总结出“幻方”需要满足的条件是__________； (2)若图③是一个幻方，求图中，，的值． 【答案】(1)每一横行、每一竖列、每一对角线上三个数的和相同； (2)，，． 【分析】（1）计算每横行、每竖行、每条对角线上的三数和，便可回答结果； （2）根据题意确定出“幻方”需要的条件，确定出、、的值即可． 【详解】（1）解：通过观察和口算可知，每一横行、每一竖列、每一对角线上三个数的和相同． 故答案为：每一横行、每一竖列、每一对角线上三个数的和相同； （2）解：由幻方的条件可知， 解得：； ， 解得； ， 解得：， ，，． 【点睛】此题考查了有理数的加法，弄清题意是解本题的关键． 【变式7-1】“幻方”最早记载于春秋时期的《大戴礼记》中，如图1所示，每个三角形的三个顶点上的数字之和都与中间正方形四个顶点上的数字之和相等，现将-5，-3，-2，2，3，5，7，8填入如图2所示的“幻方”中，部分数据已填入，则的值为（    ） A．-50 B．-100000 C．50 D．100000 【答案】B 【分析】设每个三角形的三个顶点上的数字之和为x，列方程求出的值x，再根据题意得出的值即可． 【详解】解：设每个三角形的三个顶点上的数字之和为x，根据题意列方程得， -5-3-2+2+3+5+7+8+x=4x， 解得，x=5， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：B． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，解题关键是根据题意列出方程，求出每个三角形顶点数字的和． 【变式7-2】“九宫图”传说是远古时代洛河中的一个神龟背上的图案，故又称“龟背图”，“九宫图”所体现的是一个表格，其对角线，横行，竖列三个数之和都相等，也称为三阶幻方，如图是一个三阶幻方的一部分，则图中m表示的数是 ． 【答案】8 【分析】本题主要考查一元一次方程的应用，明确题意、找出等量关系、列出相应的方程是解题的关键． 根据题意和表格中的数据可以先求出P的值，然后可以表示出第一列第三个数，再根据第一列的三个数之和等于第二排的三个数之和可以列出关于m的方程求解即可． 【详解】解：由题可得，，解得：， 设第一列的第三个数为x，则，解得：， ∵第一列的三个数之和等于第二排的三个数之和， ∴，解得：． 故答案为：8． 【变式7-3】一个两位数的十位上的数字与个位上数字之和为8，把这个数减去后，结果恰好成为十位数字与个位数字对调后组成的两位数，求这个两位数． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用．根据题意正确的表示两位数是解题的关键． 设这个两位数的个位数字为，则十位数字为，这个两位数为，对调后的两位数为，依题意得，，计算求解，然后作答即可． 【详解】解：设这个两位数的个位数字为，则十位数字为，这个两位数为，对调后的两位数为， 依题意得，， 解得，， ∴， ∴这个两位数为． 类型八、一元一次方程应用几何问题 【典例8】王老师在茶园购买了一套经济适用房，他准备将地面铺上地砖，地面结构如图所示．根据图中的数据（单位：m），解答下列问题： (1)用含的代数式表示地面总面积； (2)已知客厅面积比厨房面积多，若铺地砖的平均费用为100元，那么铺地砖的总费用为多少元？ 【答案】(1) (2)3900元 【分析】（1）根据题中图形表示出地面总面积即可； （2）根据客厅面积比厨房面积多列出方程求出x的值，代入计算即可求出总费用． 此题考查列代数式，一元一次方程的运用，关键是能用x和y表示各部分的面积，求出总面积可求出总费用． 【详解】（1）由已知得：地面总面积为； 答：地面总面积为． （2）由于客厅面积比厨房面积多： ∴， 解得， 当时，地面总面积为， ∵铺地砖的平均费用为100元， ∴铺地砖的总费用为元． 答：总费用为3900元． 【变式8-1】用张长为，宽为的长方形纸片按如图方式放在大长方形内，未被覆盖的部分恰好为两个长方形，设阴影部分的周长为，的长为，即．    (1)求（用含x的式子表示）； (2)若，，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据图形可得，，则，进而得出，根据长方形的周长公式，即可求解； （2）根据（1）的结论可得，根据已知条件可得，则，可得关于的一元一次方程，解方程，即可求解． 【详解】（1）解：如图所示，    依题意，，，则 ∴ ∴； （2）解：∵，， 由（1）可得， 根据图形可得， ∴ ∴ 解得： 【点睛】本题考查了列代数式，整式的加减，一元一次方程的应用，数形结合是解题的关键． 类型九、一元一次方程应用日历问题 【典例9】将连续的奇数1，3，5，7，9，…，排成如图所示的数表，用十字形框任意框出5个数． (1)如图十字框中的五个数之和与中间数15有什么关系？ (2)若将十字框上下左右移动，可框住另外五个数，设中间数为． ①用含有的式子表示十字形框中的五个数之和； ②这五个数之和能等于2023吗？请通过计算说明． 【答案】(1)十字框中的五个数的和是中间数15的5倍； (2)①；②不能，理由见解析． 【分析】此题考查一元一次方程的实际运用，找出数字的排列规律，利用数字和建立方程求得答案即可． （1）先求出这5个数的和，用这个和去除以中间的这个数15就可以得出结论； （2）①由左右相邻两个奇数之间相差2，上下相邻两个奇数之间相差10，就可以分别表示出这5个数，进而得出结论； ②设中间的一个数为，建立方程求出的值就可以得出结论． 【详解】（1）解：由题意，得． ． 因此十字框中的五个数的和是中间数15的5倍； （2）解：①设中间数为，则其余的4个数分别为，，，，由题意，得 ． 答：5个数之和为； ②不能．理由如下： 设中间的一个数为，则其余的4个数分别为，，，， 由题意，得， 解得， ∵不是整数， ∴不存在五个数之和等于2023． 【变式9-1】如图1是一个数表，现用一个矩形在数表中图中所示的方式任意框出4个数，若任意框出的数为图2中的a，b，c，d四个数，请根据数表中的规律解决如下问题：    (1)若，则 ； ； (2)a与c的数量关系是 ； (3)当时，求的值． 【答案】(1)22，21 (2) (3)241 【分析】本题考查了代数式求值和一元一次方程的应用，解题的关键是结合图表弄清题意． （1）结合图可分别求出b和c； （2）结合图任意列举两组数字，即可发现与的关系； （3）根据已知条件列一元一次方程求解，再求代数式的值即可． 【详解】（1）解:由数表可得，若，则，， 故答案为：22，21； （2）由数表可得，a与c的数量关系是， 故答案为：； （3）将代入，得， 解得：， 则， ． 【变式9-2】如图是年月份的日历． (1)图1中，带阴影的方框中的个数的和与方框正中心的数有什么倍数关系？ (2)在图2中，将带阴影的方框移动，任意框出个数（格子都有数字），（1）中的结论还成立吗？请说明理由； (3)在图中，带阴影的方框移动过程中，个数的和可以是吗？若可以，求出方框正中心的数；若不可以，请说明理由． 【答案】(1)带阴影的方框中的个数的和是方框正中心的数的倍 (2)成立，理由见详解 (3)不可以，理由见详解 【分析】（1）根据有理数的混合运算即可求解； （2）根据题意，设中间数为，分别表示出各个数字，再根据有理数的混合运算，解方程的方法即可求解； （3）根据（1）中的结论，设最中间的数为，列方程求解即可． 【详解】（1）解：根据题意得，， ∴带阴影的方框中的个数的和是方框正中心的数的倍． （2）解：成立，理由如下， 设最中间的数为，则个数字如表所示， ∴这个数字的和为 ， ∴方框中的个数字和是方框正中心的数的倍． （3）解：不可以，理由如下， 设最中间的数为， ∴，解得，， ∵图中不存在以数为最中心的方框． ∴不可以． 【点睛1】 本题主要考查有理数的规律题，运用一元一次方程解日历问题，理解图示中数的关系，掌握有理数的混合运算，解一元一次方程的方法是解题的关键． 类型十、一元一次方程应用电费和水费问题 【典例10】某地政府为鼓励节约用电，采用阶梯式电价计量标准．根据每户居民每月的用电量（用电量均为整数，单位：千瓦·时）分为三档进行收费（第一档：月用电量不高于240千瓦·时．第二档： 月用电量为千瓦·时，第三档： 月用电量超过 400 千瓦·时）．设居民每月应交电费y（元） ，用电量为x（千瓦·时） 用电量（千瓦·时） 收费（元） 不超过 240 千瓦·时 每千瓦·时 元 千瓦·时 每千瓦·时 元 超过 400千瓦·时 超过的部分每千瓦·时 元 (1)①每月用电量不超过240千瓦·时，y= ； ②每月用电量超过 400千瓦·时，y= ． (2)若某户居民用电量为210千瓦·时，则应交电费多少元? (3)若某户居民某月交费210元，则该户居民用电多少千瓦·时? 【答案】(1)①；② (2)（元） (3)本月用电344度 【分析】(1) ①根据费用=单价乘以用电量，列式计算即可． ②根据费用=单价乘以用电量，列式计算即可． (2)根据(1)求得的结果，讨论x的值，得出的结论． （3）根据当时，最多费用为元；当时，最多费用为元；当时，费用大于元；根据分档计算即可． 本题考查了一元一次方程的生活实际应用，正确理解分档的界点是解题的关键． 【详解】（1）①根据时，每千瓦·时 元， 故， 故答案为：． ②根据时，每千瓦·时 元， 故 ， 故答案为：． （2）根据时，每千瓦·时 元， 故， 由， 故当时， (元)． 答：应交电费元． （3）根据题意，当时，最多费用为元； 当时，最多费用为元； 当时，费用大于元； ∵， ∴用电量满足， 设用电x度，根据题意，得， 解得， 答：本月用电344度． 【变式10-1】为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，某市采用价格调控的手段达到节水的目的，该市自来水收费的收费标准如下表： 收费标准（注：水费按月份结算） 每月用水量 单价（元立方米） 不超出6立方米的部分 2 超出6立方米不超出10立方米的部分 4 超出10立方米的部分 8 例如：某户居民1月份用水8立方米，应收水费为（元） 请根据上表的内容解答下列问题： (1)若某户居民2月份用水7立方米，则应收水费______元 (2)若某户居民4月份用水立方米（其中），请用含的代数式表示应收水费______． (3)若某户居民3月份交水费60元，求3月份用水量为多少立方米？ (4)若某户居民5、6两个月共用水18立方米（6月份的用水量超过了5月份的用水量），设5月份用水立方米，请用含的代数式表示该户居民5、6两个月共交水费多少元？ 【答案】(1)16 (2)元 (3)立方米 (4)见详解 【分析】本题考查了列代数式，一元一次方程的应用，整式的加减应用： （1）根据用水7立方米，结合水费收费标准表，即可列式作答； （2）根据，结合水费收费标准表，即可列式作答； （3）先算出刚用10立方米的水费，发现交水费60元的用水量大于10立方米，故设该月用水量为立方米（），结合水费收费标准表，即可列式作答； （4）设5月份用水立方米，则6月份用水立方米，且，结合水费收费标准表，即可列式作答； 正确的列出式子和方程，是解题的关键． 【详解】（1）解：依题意， （元） 故某户居民2月份用水7立方米，则应收水费16元； （2）解：依题意， （元） 故某户居民4月份用水立方米（其中），应收水费元； （3）解：依题意，当用水量刚好10立方米，则（元） ∵ ∴设3月份用水量为立方米， 则（元） 即， 解得， 故3月份用水量为14立方米； （4）解：依题意，设5月份用水立方米，则6月份用水立方米，且， 当时，5月份的水费：（元） 当，6月份的水费：（元） ∴该户居民5、6两个月共交水费：（元）； 当时，5月份的水费：（元） 当，6月份的水费： （元） 此时该户居民5、6两个月共交水费：（元）； 当时，5月份的水费：（元） 当，6月份的水费： （元） 此时该户居民5、6两个月共交水费：（元）； 【变式10-2】下表为某市居民每月用水收费标准（单位：元/立方米），设用户用水量为立方米． 用水量/立方米 单价/（元/立方米） 超出30的部分 (1)某用户用水10立方米，共交水费29.8元，求的值． (2)在（1）的前提下，该用户10月份交水费109.4元，请问该用户用水多少立方米？ 【答案】(1)的值为； (2)该用户用水35立方米． 【分析】本题主要考查了一次函数的应用． （1）根据题意列出关于a的方程，解方程即可； （2）先判断用水量超过30立方米，然后列出关于x方程，解方程即可． 【详解】（1）解：由题意，得，解得． 答：的值为； （2）解：∵用水30立方米时，水费为， ∴， ∴， 解得． 答：该用户用水35立方米． 类型十一、一元一次方程应用数轴动点问题 【典例11】如图，点A，B，C是数轴上三点，点C表示的数为6，，． (1)写出数轴上点A表示的数：________； (2)动点P，Q同时从A，C出发，点P以每秒4个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，点Q以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为t（）秒． ①当时，求出此时P，Q在数轴上表示的数； ②t为何值时，点P，Q相距2个单位长度，并写出此时点P，Q在数轴上表示的数． 【答案】(1) (2)①点P表示的数是，点Q表示的数是2；②时，，表示的数分别为和， 时，，表示的数分别为和 【分析】本题考查数轴上两点之间距离，一元一次方程的应用，数形结合是解题的关键． （1）根据题意，点表示的数是，点A表示的数是，即可求解； （2）①求出，，根据A、表示的数求出、表示的数，将代入计算即可； ②利用“点，相距个单位长度”列出关于的方程，并解答即可． 【详解】（1）解：点对应的数为，， 点表示的数是， ∵， ∴点A表示的数是． 故答案是：； （2）解：①由题意得：，，如图所示： 在数轴上点表示的数是， 在数轴上点表示的数是； 当时，，， 故，在数轴上表示的数分别是和， ②当点，相距个单位长度时：， 解得或， 当时，点表示的数是， 点表示的数是； 当时，点表示的数是， 点表示的数是． 【变式11-1】如图，已知数轴上点A表示的数为4，点B表示的数为1，C是数轴上位于A左侧一点，且． (1)直接写出数轴上点C表示的数； (2)动点P从B出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为t（）秒，动点R从点C出发，以每秒2个单位长度沿数轴向左匀速运动，求当t为何值时P，R两点会相遇． (3)动点P从B出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为t（）秒，动点R从点C出发，以每秒2个单位长度沿数轴向左匀速运动，动点Q从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动．若P，Q，R三点同时出发，当点P遇上点R后立即返回向点Q运动，遇到点Q后则停止运动．求点P从开始运动到停止运动，行驶的路程是多少个单位长度？ 【答案】(1)； (2)5； (3)． 【分析】此题考查的是数轴与动点问题，掌握数轴上两点之间的距离公式和行程问题公式是解题关键． （1）根据的距离和点A表示的数即可求出结论； （2）先求出的长度，然后根据题意列出方程即可求出结论； （3）先求出的长，然后求出点P遇上点的时间，并求出此时点P与点Q的距离，从而求出P、Q的相遇时间，然后即可求出结论． 【详解】（1）解：∵数轴上点表示的数为，，点C在点A左侧 ∴点C表示的数为； （2）解：∵点表示的数为，点C表示的数为 ∴ 由题意可得 解得： 答：当时，P，R两点会相遇； （3）解：由题意可得： 点P遇上点的时间为：（秒） 此时点P与点Q的距离为 ∴P、Q的相遇时间为（秒） ∴点从开始运动到停止运动，行驶的路程是个单位长度 答：点从开始运动到停止运动，行驶的路程是个单位长度． 【变式11-2】已知是最小的正整数，且满足． (1)填空：_________，_________，_________； (2)数在数轴上对应的点分别是，点为数轴上一动点，其对应的数为，点在1到2之间运动时（即），请化简式子：； (3)在（2）的条件下，点在数轴上运动，若点以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点和点分别以每秒个单位长度和5个单位长度的速度向右运动．点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为．若在运动过程中的值保持不变，求的值． 【答案】(1)，1，5 (2) (3) 【分析】本题考查了非负数的性质，数轴上的动点，化简绝对值， （1）根据最小的正整数、绝对值和平方的非负性质即可得到结论； （2）根据x的取值范围，去绝对值进行计算即可得； （3）首先求出A，B，C所在位置，然后计算出和，即可得到结论． 【详解】（1）解：∵是最小的正整数， ∴， ∵， ∴，， 解得． （2）∵， ∴， ∴原式， ， ， ， ． （3）由题意知：秒后对应的数分别为． 所以，． ， ， ． ∵的值不变， ∴． 解得． 【变式11-3】数轴上点表示，点表示6，点表示12.点表示18.如图，将数轴在原点和点处各折一下，得到一条“折线数轴”．在“折线数轴”上，把两点所对应的两数之差的绝对值叫这两点间的和谐距离．例如，点和点在折线数轴上的和谐距离为个单位长度，动点从点出发，以4个单位/秒的速度沿着折线数轴的正方向运动，从点运动到点期间速度变为原来的一半，过点后继续以原来的速度向终点运动；点从点出发的同时，点从点出发，一直以3个单位/秒的速度沿着“折线数轴”负方向向终点运动，其中一点到达终点时，两点都停止运动．设运动的时间为秒．      (1)当秒时，两点在折线数轴上的和谐距离为______； (2)当点都运动到折线段上时，两点间的和谐距离______（用含有的代数式表示）；两点间的和谐距离______（用含有的代数式表示）：______时，两点相遇； (3)求当为多少秒时，两点在折线数轴上的和谐距离为4个单位长度． 【答案】(1)12 (2)，， (3)或；8或 【分析】本题考查一次方程的应用，解题的关键是用含t的代数式表示点运动后表示的数及分类讨论． （1）当秒时，M表示的数是，N表示的数是，即的M、N两点在折线数轴上的和谐距离为； （2）当点M、N都运动到折线段上，即时，M表示的数是，N表示的数是，而M、N两点相遇时，M、N表示的数相同，即得，可解得答案； （3）根据M、N两点在折线数轴上的和谐距离为4个单位长度，得，进一步计算，即可得答案． 【详解】（1）解：当秒时，M表示的数是，N表示的数是， ∴M、N两点在折线数轴上的和谐距离为， 故答案为：12； （2）解：由（1）知，2秒时M运动到O，N运动到C， ∴当点M、N都运动到折线段上，即时，M表示的数是，N表示的数是， ∴O、M两点间的和谐距离， C、N两点间的和谐距离， ∵M、N两点相遇时，M、N表示的数相同， ∴， 解得， 故答案为：，，； （3）解：∵M、N两点在折线数轴上的和谐距离为4个单位长度， ∴，即， ∴或， 解得或． 类型十二、一元一次方程应用其他问题 【典例12】把一些图书分给某班学生阅读，如果每人分3本，则剩余20本；如果每人分4本，则还缺25本． (1)这个班有多少学生？ (2)这批图书共有多少本？ 【答案】(1)这个班有名学生 (2)这批图书共有本 【分析】本题考查了一元一次方程的应用、求代数式的值，理解题意，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解此题的关键． （1）设这个班有名学生，根据“如果每人分3本，则剩余20本；如果每人分4本，则还缺25本”列出一元一次方程，解方程即可得出答案； （2）当时，求出的值即可． 【详解】（1）解：设这个班有名学生， 由题意得：， 解得：， ∴这个班有名学生； （2）解：当时，（本）， ∴这批图书共有本． 【变式12-1】第十九届亚运会于2023年9月23日至2023年10月8日在杭州举行。中国运动员发扬顽强拼搏、敢于争先的精神、在比赛场上屡创佳绩、获得金、银、铜牌共302枚，其中金牌比银牌多90枚，铜牌比银牌少40枚．问金、银、铜牌各是多少枚？（请列方程解答） 【答案】获得金牌174枚，银牌84枚，铜牌44枚． 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．设获得银牌枚，则获得金牌枚，铜牌枚，根据获得金、银、铜牌共302枚，可列出关于的一元一次方程，解之可得出获得银牌的数量，再分别将其代入及中，即可求出获得金牌及铜牌的数量． 【详解】解：设获得银牌枚，则获得金牌枚，铜牌枚， 根据题意得：， 解得：， ，． 答：获得金牌174枚，银牌84枚，铜牌44枚． 【变式12-2】一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚得几丁．——程大位《直接算法统宗》意思是：有100个和尚分100个馒头，如果大和尚1人分3个，小和尚3人分1个，正好分完．试问大、小和尚各多少人？ 【答案】大和尚有25人，小和尚有75人． 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，解题的关键是根据等量关系100个和尚分100个馒头，如果大和尚1人分3个，小和尚3人分1个，正好分完，列出方程，解方程即可． 【详解】解：设大和尚有x人，则小和尚有（100-x）人，根据题意可得： 解得 则小和尚有（人） 答：大和尚有25人，小和尚有75人． 一、单选题 1．某车间有22名工人，每人每天可以生产1200个螺钉或2000个螺母．1个螺钉需要配2个螺母，为使每天生产的螺钉和螺母刚好配套，应安排 名工人生产螺钉，其余的工人生产螺母，才能使每天生产的产品刚好配套． 【答案】10 【分析】本题考查了一元一次方程的实际应用，解题的关键是读懂题意，掌握列一元一次方程的方法； 设安排x人生产螺母，则人生产螺钉，由一个螺钉配两个螺母可知螺母的个数是螺钉个数的2倍从而得出等量关系，列方程求解，即可得到答案． 【详解】解：设安排x人生产螺母，则人生产螺钉，由题意得： ， 解得：， ， 则应安排10人生产螺钉， 故答案为：10． 2．某市中学生足球联赛规定：胜一场得3分，平一场得1分，负一场不得分．某校中学足球代表队共比赛了8场，其中平场数是负场数的2倍，共得17分，该队胜了（   ）场 A．1 B．2 C．3 D．5 【答案】D 【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用：设负场数为，则平场数是，胜场数为，根据胜一场得3分，平一场得1分，负一场不得分进行列式计算，即可作答． 【详解】解：依题意，设负场数为， 则平场数是，胜场数为， ∵胜一场得3分，平一场得1分，负一场不得分， ∴， ∴， 则（场）， 故选：D． 3．某个体商贩在一次买卖中，同时卖出两件上衣，售价都是135元，若按成本计，其中一件盈利，另一件亏本，在这次买卖中他（   ） A．不赚不赔 B．无法比较 C．赔18元 D．赚18元 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 设盈利的上衣的进价为x元，亏损的上衣的进价为y元，根据利润销售收入成本，即可得出一元一次方程，解之即可得出两件上衣的成本，再利用总利润两件上衣的总售价两件上衣的总成本即可求出结论． 【详解】解：设在这次买卖中盈利的上衣的原价是x元，根据题意得 ， 解得：， 设亏本的上衣的原价为y元， 则可列方程：， 解得：， ∵（元）， ∴两件相比则一共赔了18元． 故选：C． 4．如图，已知两点在数轴上，点表示的数为，，点以每秒个单位长度的速度从点向右运动．点以每秒个单位长度的速度从点向左运动（点、点同时出发）．经过几秒，点、点分别到原点的距离相等？（    ） A．秒 B．秒或者秒 C．秒或秒 D．秒 【答案】B 【分析】本题考查数轴上点的表示，解一元一次方程，绝对值，结合动点运动情况确定点所表示的数是解题的关键． 由确定点表示的数为，由点、点分别到原点的距离相等，分别表示出，，建立方程求解即可． 【详解】解：∵点表示的数为，， ∴， ∴点表示的数为， 设经过秒，点、点分别到原点的距离相等，则点运动距离为，则点表示的数为，点运动的距离为，点表示的数为， ∴，， 根据题意得：时， 即， ∴或， 解得：或， 即经过秒或秒后，点到原点的距离相等． 故选：B． 5．我国古代著作《增删算法统宗》中记载了一首古算诗：“庭前孩童闹如簇，不知人数不知梨，每人四梨多十二，每人六梨恰齐足，”其大意：“孩童们在庭院玩耍，不知有多少人和梨，每人分4个梨，多12个梨：每人分6个梨，恰好分完．”设梨有x个，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查由实际问题抽象出一元一次方程，理解题意，找到等量关系是解题关键．根据孩童人数不变列方程即可． 【详解】解：由题意可列方程． 故选B． 二、填空题 6．把9个数填入方格中，如果满足每个横行、每个竖列和每条对角线上的三个数之和都相等，这样便构成了一个“三阶幻方”，它源于我国古代的“洛书”，如图所示的三阶幻方仅可以看到部分数值，其中x的值应为 ． 【答案】2 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，准确理解题意是解题的关键．设第三行、第三列的数字为y，根据每个横行、每个竖列和每条对角线上的三个数之和都相等，先求出y的值，进而求解x即可． 【详解】解：设第三行、第三列的数字为y， ∵每个横行、每个竖列和每条对角线上的三个数之和都相等， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：2． 7．某厂10月份的产值是125万元，比3月份的产值的3倍少13万元，若设3月份的产值为x万元，则可列出的方程为 【答案】 【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，设3月份的产值为x万元，根据10月份的产值是3月份的产值的3倍少13万元可得10月份的产值为万元，据此列出方程即可． 【详解】解：由题意得，， 故答案为：． 8．如图，8张正方形泡沫板拼成一个长方形展板，其中最小的两个正方形边长均为1米，则长方形展板的面积是 平方米． 【答案】130 【分析】本题考查一元一次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，先第二小的正方形的边长是米，则五种正方形的边长从小到大依次是1米，米，米，米，米，根据长方形展板上下对边相等，列出相应的方程，从而可以求得x的值，然后即可计算出展板的长和宽，再根据长方形的面积长宽，代入数据计算即可． 【详解】解：设第二小的正方形的边长是米，则五种正方形的边长从小到大依次是1米，米，米，米，米， 根据长方形展板上下对边相等，得， 解得， 展板的长是（米） ，展板的宽是（米）， 长方形展板的面积是（平方米）． 故答案为：130． 三、解答题 9．某游乐园有如表A，B，C三种购票方式： 种类 购票方式 A 一次性使用门票，每张15元 B 年票每张元，持票者每次进入游乐园无需再购买门票 C 年票每张80元，持票者进入游乐园时需每次再购买6元的门票 (1)某游客一年中进入该游乐园共有a次，分别求三种购票方式一年的费用．（用含a的代数式表示） (2)某游客一年中进入该游乐园共有12次，选择哪种购买方式比较优惠？请通过计算说明． (3)已知甲、乙、丙三人分别按A，B，C三种方式购票，且他们一年中进入该游乐园的次数相同．一年中，若甲所花的费用与乙所花费用相等，求丙在这一年中进入该游乐园所花的费用． 【答案】(1)A种购票方式：元；B种购票方式：元；C种购票方式：元． (2)选择B种购买方式比较优惠 (3)元． 【分析】本题考查了列代数式以及代数式求值，一元一次方程的应用，正确理解题意是解题关键． （1）根据表格给出的购票方式即可求解； （2）将分别代入（1）中所得代数式即可求解； （3）设他们一年中进入该游乐园的次数为x，根据甲所花的费用与乙所花费用相等列方程求出x，再利用C种购票方式的费用即可求出丙在这一年中进入该游乐园所花的费用． 【详解】（1）解：A种购票方式：元； B种购票方式：元； C种购票方式：元． （2）解：选择B种购买方式比较优惠，理由如下： 当时，元；元． 而， 所以，选择B种购买方式比较优惠． （3）解：设他们一年中进入该游乐园的次数为x，根据题意得， 解之得，． ∴（元）， 答：丙在这一年中进入该游乐园所花的费用为元． 10．阅读下面的材料：点A，B在数轴上分别表示有理数，A，B两点之间的距离表示为AB．当A，B两点中有一点在原点时，不妨设点A在原点，如图1，；当A，B两点都不在原点时，如图2、图3、图4，同理可得出    综上，数轴上A，B两点之间的距离． 解决问题： (1)数轴上表示和5的两点之间的距离为_________； (2)若数轴上表示和5的两点分别是A和B，则A，B两点之间的距离为_________；若，那么_________； (3)取最小值为_________，此时的取值范围是_________； (4)是否存在x使值为8，如果存在，请直接写出x的值；如果不存在，请说明理由； (5)如图，已知A，B两点对应的数在数轴上互为相反数，且相距20个单位长度．若P，Q两点分别同时从A，B出发向左运动，速度分别为2个单位/秒，4个单位/秒，求相遇点D对应的数．    【答案】(1)8 (2)；7或3 (3)7， (4)x的值为或1； (5)相遇点D对应的数为． 【分析】本题考查实数与数轴，一元一次方程的应用，熟练掌握数轴上点的特征，两点间距离的求法是解题的关键． （1）根据两点间距离的求法直接求解即可； （2）根据两点间距离的求法直接写出即可； （3）根据绝对值的几何意义可知，当时，有最小值7； （4）分和两种情况讨论，根据两点间距离的求法即可求解； （5）先求得A，B两点对应的数分别为，10，再设秒后，P，Q两点相遇，此时P，Q两点对应的数分别为，，根据两点间的距离公式列式计算即可求解． 【详解】（1）解：数轴上表示和5的两点之间的距离为； 故答案为：8； （2）解：若数轴上表示和5的两点分别是A和B，则A，B两点之间的距离为； 若，则，那么或3； 故答案为：；7或3； （3）解：表示数轴上有理数x所对应的点到和5所对应的点的距离之和， ∴当时，有最小值，最小值为， 故答案为：7，； （4）解：表示数轴上有理数x所对应的点到和5所对应的点的距离之和， ∴当时，有最小值，最小值为， ∴当时，则，解得， 当时，则，解得， ∴x的值为或1； （5）解：由题意得A，B两点对应的数分别为，10， 设秒后，P，Q两点相遇，此时P，Q两点对应的数分别为，， 由题意得， 解得， ， 答：相遇点D对应的数为． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$