专题10 平面直角坐标系压轴题归纳-【常考压轴题】2024-2025学年八年级数学上册压轴题攻略（苏科版）

专题10 平面直角坐标系压轴题归纳 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 1 类型一、点坐标规律探索 （5种类型） 1 类型二、平面直角坐标与几何综合 7 压轴能力测评（11题） 10 知识点1：平面直角坐标 平面内画两条 相互垂直，原点重合 的数轴，组成平面直角坐标系． 水平的数轴称为 横轴或 x 轴 ，取 向右 为正方向； 竖直的数轴称为 纵轴或 y 轴 ，取 向上 为正方向； 两坐标轴的交点称为平面直角坐标系的原点． 知识点2：象限 x轴y轴将坐标平面分成了四个象限（quadrant），右上方的部分叫做第一象限，其他三个部分按逆时针方向依次叫做第二象限、第三象限和第四象限。 类型一、点坐标规律探索 （5种类型） 【典例1】如图所示，在平面直角坐标系中，半径均为个单位长度的半圆，，，成一条平滑的曲线，点从原点出发，沿这条曲线向右运动，速度为每秒个单位长度，则第秒时，点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】在平面直角坐标系中，一个智能机器人接到的指令是：从原点O出发，按“向上→向右→向下→向右”的方向依次移动，每次移动一个单位长度，其移动路线如图所示，第1次移动到点，第2次移动到点，……第n次移动到点，则点的坐标是（　　） A． B． C． D． 【变式1-2】如图，动点P在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点，第2次接着运动到点，第3次接着运动到点，…按这样的运动规律，经过第2024次运动后，动点P的坐标是（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点出发，沿着箭头所示方向，每次移动一个单位长度，依次得到点；；；；；，则点的坐标是（     ） A． B． C． D． 【典例2】如图，在平面直角坐标系中，，把一条长为2024个单位长度且没有弹性的细线（线的粗细忽略不计）的一端固定在点A处，并按…的规律绕在四边形的边上，则细线另一端所在位置的点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】如图，在平面直角坐标系中，已知点，，，，动点P从点A出发，以每秒2个单位的速度按逆时针方向沿四边形的边做环绕运动：另一动点Q从点C出发，以每秒3个单位的速度按顺时针方向沿四边形的边做环绕运动，则第2024次相遇点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【变式2-2】如图，在平面直角坐标系中，一只瓢虫从点A出发以2个单位长度/秒的速度沿循环爬行，第2024秒瓢虫在（    ）处． A． B． C． D． 【变式2-3】如图所示，在平面直角坐标系中，，，，．把一条长为2019个单位长度且没有弹性的细线（线的粗细忽略不计）的一端固定在点A处，并按…的规律紧绕在四边形的边上，则细线另一端所在位置的点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【典例3】如图，在平面直角坐标系中，一动点自处向上运动个单位长度至点，然后向左运动个单位长度至点处，再向下运动个单位长度至点处，再向右运动个单位长度至点处，…，按如此规律继续运动下去，当这点运动至处时，点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】如图，已知坐标，，，，，，，则的坐标是（　　） A． B． C． D． 【变式3-2】如图，在一个单位面积为1的方格纸上，三角形，三角形，三角形，…是斜边在x轴上，且斜边长分别为2，4，6，…的等腰直角三角形．若三角形的顶点坐标分别为，，，则依图中所示规律，点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【变式3-3】如图，在平面直角坐标系中，从点，，，，，……依次扩展下去，则的坐标为（    ） A． B． C． D． 【典例4】如图，一个粒子在第一象限内及x轴、y轴上运动，在第1分钟后，它从原点运动到点，在第2分钟后，它从点运动到点，而后它接着按图中箭头所示在与x轴，y轴平行的方向上来回运动，且每分钟移动1个单位长度，则在第200分钟后，这个粒子所在位置的坐标是（　　）    A． B． C． D． 【变式4-1】如图，在平面直角坐标系中，有若干个横坐标分别为整数的点，其顺序按图中“→”方向排列，如，，，，，…根据这个规律，第2024个点的横坐标为（    ） A．42 B．43 C．44 D．45 【变式4-2】如图，在平面直角坐标系中，有若干个整数点，其顺序按图中箭头方向排列，如，，，，，，，…，根据规律探索可得，第2024个点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【变式4-3】如图，在平面直角坐标系中，一动点从点出发，其顺序按图中“→”方向排列，如：，，，，，，……按照这样的运动规律，第2023个点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【典例5】如图，在平面直角坐标系中，一个点从出发沿图中路线依次经过，，，…，按此一直运动下去，则的值为（    ） A．1006 B．1007 C．1509 D．1511 【变式5-1】如图，在平面直角坐标系上有个点，点A第1次向上跳动1个单位至点，紧接着第2次向右跳动2个单位至点，第3次向上跳动1个单位，第4次向左跳动3个单位，第5次又向上跳动1个单位，第6次向右跳动4个单位，…，依次规律跳动下去，点A第2022次跳动至点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【变式5-2】如图，在平面直角坐标系中有点，点第一次向左跳动至，第二次向右跳动至，第三次向左跳动至，第四次向右跳动至，…，依照此规律跳动下去，点第2024次跳动至点的坐标为（    ） A． B． C． D． 类型二、平面直角坐标与几何综合 【典例6】如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标，点B的坐标是，将线段向右平移得到线段，点D的坐标为，过点D作轴，垂足为E，动点P以每秒2个单位长度的速度匀速从点A出发，沿着A→E→D的方向向终点D运动，设运动时间为t秒. (1)点C的坐标是______，当点P出发5秒时，则点P的坐标是______； (2)当点P运动时，用含t的式子表示出点P的坐标； (3)当点P在线段上运动时，是否存在点P使得三角形的面积是四边形面积的，若存在，求出此时点P的坐标；若不存在，试说明理由. 【变式6-1】如图，在平面直角坐标系中，已知，点A的坐标是，点B的坐标是且点C在x轴的负半轴上，且． (1)直接写出点B坐标______，点C的坐标______ (2)在x轴上是否存在点P，使，若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由； (3)把点C往上平移3个单位得到点H，作射线，连接，点M在射线上运动(不与点C、H重合)，试探究之间的数量关系，并证明你的结论． 【变式6-2】如图，在平面直角坐标系中，A，B坐标分别为、，且a，b满足：，现同时将点A，B分别向下平移4个单位，再向左平移1个单位，分别得到点A，B的对应点C，D，连接．    (1)求C，D两点的坐标及四边形的面积； (2)点P是线段上的一个动点，连接，当点P在上移动时（不与B，D重合），的值是否发生变化，并说明理由； (3)已知点M在y轴上，且点D在的外部，连接，若的面积与四边形的面积相等，求点M的坐标． 【变式6-3】如图，平面直角坐标系中，，，，，． (1)求的面积； (2)如图，点以每秒个单位的速度向下运动至，与此同时，点从原点出发，以每秒个单位的速度沿轴向右运动至，秒后，、、在同一直线上，求的值； (3)如图，点在线段上，将点向右平移个单位长度至点，若的面积等于，求点坐标． 【变式6-4】如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为A(0，3)，B(6，3)，现同时将点A，B分别向下平移3个单位，再向左平移2个单位，分别得到点A，B的对应点C，D，连接AC，BD，AB． (1)求点C，D的坐标； (2)点M从O点出发，以每秒1个单位的速度向上平移运动．设运动时间为秒，问：是否存在这样的使得四边形OMDB的面积为12？若存在，请求出的值，若不存在，请说明理由． (3)在（2）的条件下，点M从O点出发的同时，点N从D点出发，以每秒2个单位的速度向左平移运动，当点N到达点O时运动停止．设射线BN交轴于点E．设运动时间为秒，问：的值是否会发生变化？若不变，请求出它的值；若变化，请说明理由． 1．如图，所有正方形的中心均在坐标原点，且各边轴或轴平行，从内到外，它们的边长依次为2，4，6，8，…顶点依次用，，，，…表示，（在第三象限，顺时针依次为，，，在第三象限顺时针依次为，依此类推…）则顶点的坐标是（    ）    A． B． C． D． 2．如图，在平面直角坐标系上有点，点A第一次向左跳动至，第二次向右跳动至，第三次向左跳动至，第四次向右跳动至…依照此规律跳动下去，点A第2021次跳动至的坐标（    ） A． B． C． D． 3．如图，在平面直角坐标系中，有若干个整数点，其顺序按图中箭头方向排列，如，，，，，，，…，根据规律探索可得，第2024个点的坐标为（   ） A． B． C． D． 4．在一单位为1的方格纸上，有一列点（其中n为正整数）均为网格上的格点，按如图所示规律排列，点，则的坐标为（    ） A． B． C． D． 5．如图，在平面直角坐标系中有若干个整数点，其顺序按图中“→”方向排列，依次为，，，，，，，根据这个规律，可得第50个点的坐标为（   ） A． B． C． D． 6．如图所示，在平面直角坐标系中，，将边长为1的正方形一边与x轴重合，按图中规律摆放，其中相邻两个正方形的间距都是1，则点的坐标为（    ）    A． B． C． D． 7．如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点出发，沿着箭头所示方向，每次移动1个单位，依次得到点，…，根据这个规律，点的坐标为（    ）    A． B． C． D． 8．如图，一个机器人从点出发，向正西方向走到达点；再向正北方向走到达点，再向正东方向走到达点，再向正南方向走到达点，再向正西方向走到达点，…按如此规律走下去，当机器人走到点时，点的坐标为 ．    9．如图，长方形的各边分别平行于x轴或y轴，物体甲和物体乙分别由点同时出发，沿矩形的边作环绕运动，物体甲按逆时针方向以1个单位/秒匀速运动，物体乙按顺时针方向以2个单位/秒匀速运动，则两个物体运动后的第2022次相遇地点的坐标是 ． 10．如图，在平面直角坐标系中，一巡查机器人接到指令，从原点O出发，沿的路线移动，每次移动1个单位长度，依次得到点， ， ， ， ， ， ， ，…，则点的坐标是 ．    11．如图，在平面直角坐标系中，点，的坐标分别为，，现同时将，两点先向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度，分别得到点，的对应点，，连接，，． （1）写出点，的坐标分别是______，______；四边形的面积为______； （2）在轴上是否存在点，连接，，使得三角形面积是三角形面积的2倍，若存在，请求出点的坐标：若不存在，请说明理由； （3）若点是直线上一点，连接，，请你直接写出，与的数量关系． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题10 平面直角坐标系压轴题归纳 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 1 类型一、点坐标规律探索 （5种类型） 1 类型二、平面直角坐标与几何综合 14 压轴能力测评（11题） 23 知识点1：平面直角坐标 平面内画两条 相互垂直，原点重合 的数轴，组成平面直角坐标系． 水平的数轴称为 横轴或 x 轴 ，取 向右 为正方向； 竖直的数轴称为 纵轴或 y 轴 ，取 向上 为正方向； 两坐标轴的交点称为平面直角坐标系的原点． 知识点2：象限 x轴y轴将坐标平面分成了四个象限（quadrant），右上方的部分叫做第一象限，其他三个部分按逆时针方向依次叫做第二象限、第三象限和第四象限。 类型一、点坐标规律探索 （5种类型） 【典例1】如图所示，在平面直角坐标系中，半径均为个单位长度的半圆，，，成一条平滑的曲线，点从原点出发，沿这条曲线向右运动，速度为每秒个单位长度，则第秒时，点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了点的规律变化，解答本题的关键是仔细观察图象，得到点的变化规律，解决问题.根据图象可得移动 次图象完成一个循环，从而可得出点的坐标． 【详解】解：半径为个单位长度的半圆的周长为：， 点从原点出发，沿这条曲线向右运动，速度为每秒个单位长度， 点秒走个半圆， 当点从原点出发，沿这条曲线向右运动，运动时间为秒时，点的坐标为， 当点从原点出发，沿这条曲线向右运动，运动时间为秒时，点的坐标为， 当点从原点出发，沿这条曲线向右运动，运动时间为秒时，点的坐标为， 当点从原点出发，沿这条曲线向右运动，运动时间为秒时，点的坐标为， 当点从原点出发，沿这条曲线向右运动，运动时间为秒时，点的坐标为， 当点从原点出发，沿这条曲线向右运动，运动时间为秒时，点的坐标为， ， ， 的坐标是， 故选：． 【变式1-1】在平面直角坐标系中，一个智能机器人接到的指令是：从原点O出发，按“向上→向右→向下→向右”的方向依次移动，每次移动一个单位长度，其移动路线如图所示，第1次移动到点，第2次移动到点，……第n次移动到点，则点的坐标是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查点的坐标变化规律探究，根据题意可得移动四次完成一次循环，从而得到点的坐标． 【详解】解：根据题意得：，…， 根据变化规律可得，纵坐标4个为一个循环，前两个都为1，后两个都为0； 横坐标第一个为0，后面分别依次是2个点的横坐标为1，2个点的横坐标为2，2个点的横坐标为3，……， ， ∴点的坐标为，即． 故选：C． 【变式1-2】如图，动点P在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点，第2次接着运动到点，第3次接着运动到点，…按这样的运动规律，经过第2024次运动后，动点P的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题是平面直角坐标系下的坐标规律探究题，解答关键是利用数形结合解决问题．分析点的运动规律找到循环规律即可． 【详解】解：点坐标运动规律可以看做每运动四次一个循环，每个循环向右移动个单位， ∵， ∴经过第2024次运动后，点P正好完成了506个循环， ∴向右移动的距离为， ∴此时点P的坐标为， 故选：B． 【变式1-3】如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点出发，沿着箭头所示方向，每次移动一个单位长度，依次得到点；；；；；，则点的坐标是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查坐标系下点的规律探究，根据图形找到点的规律是解题的关键．根据， ，得到，再结合图中点坐标规律可得，，由于，得到，由此可得． 【详解】解： ， ， ， 由图中点的坐标规律可得， ， , ，即， ，即． 故选：D． 【典例2】如图，在平面直角坐标系中，，把一条长为2024个单位长度且没有弹性的细线（线的粗细忽略不计）的一端固定在点A处，并按…的规律绕在四边形的边上，则细线另一端所在位置的点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题利用点的坐标考查了数字变化规律，先求出四边形的周长为10，得到的余数为4，由此即可解决问题． 【详解】解：∵， ∴，，，， ∴绕四边形一周的细线长度为， ， ∴细线另一端在绕四边形第203圈的第4个单位长度的位置， 即细线另一端所在位置的点在C处上面1个单位的位置，坐标为． 故选：D． 【变式2-1】如图，在平面直角坐标系中，已知点，，，，动点P从点A出发，以每秒2个单位的速度按逆时针方向沿四边形的边做环绕运动：另一动点Q从点C出发，以每秒3个单位的速度按顺时针方向沿四边形的边做环绕运动，则第2024次相遇点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查点坐标规律探索、行程问题中的相遇问题，通过计算找到坐标变化规律是解答的关键．根据坐标与图形可得四边形的各边长，结合点P、Q的速度求得两点相遇点的坐标，找出坐标变化规律即可求解． 【详解】解：∵点，，，， ∴，， ∴四边形的周长为， 由题意，经过1秒时，两点在点处相遇，随后，两点走的路程和是10的倍数时，两点相遇，相邻两次相遇间隔时间为（秒）， ∴第二次相遇点是边的中点； 第三次相遇点是点； 第四次相遇点为点； 第五次相遇点为点， 第六次相遇点为点，……， 由此发现，每五次相遇点重合一次， ∵， ∴第2024次相遇点与第四次相遇点重合，即， 故选：B． 【变式2-2】如图，在平面直角坐标系中，一只瓢虫从点A出发以2个单位长度/秒的速度沿循环爬行，第2024秒瓢虫在（    ）处． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了点的坐标规律探索，能够找到规律是解题关键． 根据坐标可知，，求出循环爬行一周用时秒，然后计算，根据余数可确定最后的位置． 【详解】解：∵， ∴，， ∵一只瓢虫从点A出发以2个单位长度/秒的速度沿循环爬行， ∴爬行一周所需的时间为：秒， ∵， ∴在第2023秒时，瓢虫在点， ∴到第2024秒时，瓢虫从点往点跑了秒钟，即跑了2个单位长度， 故在第2024秒时，瓢虫的坐标为， 故选：A． 【变式2-3】如图所示，在平面直角坐标系中，，，，．把一条长为2019个单位长度且没有弹性的细线（线的粗细忽略不计）的一端固定在点A处，并按…的规律紧绕在四边形的边上，则细线另一端所在位置的点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是坐标规律的探究，先求解四边形的周长为．结合，从而可得答案． 【详解】解：∵，，，， ∴，， ∴四边形的周长为． ∵， ∴细线另一端所在位置的点的坐标为． 故选A． 【典例3】如图，在平面直角坐标系中，一动点自处向上运动个单位长度至点，然后向左运动个单位长度至点处，再向下运动个单位长度至点处，再向右运动个单位长度至点处，…，按如此规律继续运动下去，当这点运动至处时，点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查坐标系中点的坐标规律探究．解题的关键是找到点的横纵坐标的数字规律．先确定点在第四象限，根据第四象限各点横坐标、纵坐标的数据得出规律，进而得出答案即可． 【详解】解： ，则在第四象限， 由题意，第四象限的点为，，，，， ． 故选：C． 【变式3-1】如图，已知坐标，，，，，，，则的坐标是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了点的坐标规律的探索，发现点的下标和点的坐标之间的关系是解答本题的关键．根据各个点在坐标系中点的位置，寻找出点的下标和各个点的坐标之间的关系，归纳出规律，然后根据规律推理点的坐标即可． 【详解】解：通过观察可得数字是4的倍数的点在第三象限， ， 点在第三象限， ，，， ，，， 依次类推，， 即． 故选D． 【变式3-2】如图，在一个单位面积为1的方格纸上，三角形，三角形，三角形，…是斜边在x轴上，且斜边长分别为2，4，6，…的等腰直角三角形．若三角形的顶点坐标分别为，，，则依图中所示规律，点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了点的坐标规律探索，观察图形可以看出；；每4个为一个循环，的横坐标为2，纵坐标每个循环增加2，由于，则的横坐标为2，纵坐标为，据此即可解答． 【详解】解：观察图形可以看出；；……每4个为一个循环，的横坐标为2，纵坐标每个循环增加2， ∵， ∴的横坐标为2，，纵坐标为， ∴的坐标为． 故选：D． 【变式3-3】如图，在平面直角坐标系中，从点，，，，，……依次扩展下去，则的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查规律型：点的坐标，是一个阅读理解，猜想规律的题目，解答此题的关键是首先确定点所在的象限，该象限内点的规律，然后就可以进一步推出点的坐标．根据各个点的位置关系，可得出下标为4的倍数的点在第一象限，被4除余1的点在第二象限，被4除余2的点在第三象限，被4除余3的点在第四象限，点的在第二象限，再根据第二项象限点的规律即可得出结论． 【详解】解：由规律可得，， ∴点的在第二象限， ∵点，点，点， ∴点． 故选：C． 【典例4】如图，一个粒子在第一象限内及x轴、y轴上运动，在第1分钟后，它从原点运动到点，在第2分钟后，它从点运动到点，而后它接着按图中箭头所示在与x轴，y轴平行的方向上来回运动，且每分钟移动1个单位长度，则在第200分钟后，这个粒子所在位置的坐标是（　　）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是动点坐标问题，解题的关键是找出粒子的运动规律．找出粒子运动规律和坐标之间的关系即可解题． 【详解】解：由题知表示粒子运动了0分钟， 表示粒子运动了（分钟），将向左运动， 表示粒子运动了（分钟），将向下运动， 表示粒子运动了（分钟），将向左运动， …， 于是会出现： 点粒子运动了（分钟），此时粒子是从左边移动过来的，将会向下运动， ∴在第200分钟时粒子是在 点粒子左边个单位长度， ∴粒子的位置为， 故选：B． 【变式4-1】如图，在平面直角坐标系中，有若干个横坐标分别为整数的点，其顺序按图中“→”方向排列，如，，，，，…根据这个规律，第2024个点的横坐标为（    ） A．42 B．43 C．44 D．45 【答案】D 【分析】此题考查的是点的坐标规律题，根据点的坐标变化规律归纳公式是解决此题的关键．根据图形推导出当n为奇数时，第n个正方形每条边上有个点，连同前边所有正方形共有个点，且终点为；当n为偶数时，第n个正方形每条边上有个点，连同前边所以正方形共有点，且终点为．而，由，解得．由规律可知，第44个正方形每条边上有个点，且终点坐标为，由图可知，再倒着推1个点的坐标即可得到答案． 【详解】解：由图可知：第一个正方形每条边上有2个点，共有个点，且终点为； 第二个正方形每条边上有3个点，连同第一个正方形共有个点，且终点为； 第三个正方形每条边上有4个点，连同前两个正方形共有个点，且终点为； 第四个正方形每条边上有5个点，连同前两个正方形共有个点，且终点为； 故当n为奇数时，第n个正方形每条边上有个点，连同前边所有正方形共有个点，且终点为；当n为偶数时，第n个正方形每条边上有个点，连同前边所以正方形共有点，且终点为． 而，， 解得：． 由规律可知，第44个正方形每条边上有个点，且终点坐标为，由图可知，再倒着推1个点的坐标为：． ∴第2024个点的横坐标为45； 故选：D． 【变式4-2】如图，在平面直角坐标系中，有若干个整数点，其顺序按图中箭头方向排列，如，，，，，，，…，根据规律探索可得，第2024个点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了点的坐标规律，根据图形可知第列有个点，点的横坐标为，奇数列点由下到上进行运动，偶数列点从上到下进行运动，进而得到所有列点的总数为，推出第2024个点在第列，即可得到第2024个点的坐标 【详解】解：解：由图知，第一列有1个点，点的横坐标为0， 第二列有2个点，点的横坐标为1， 第三列有3个点，点的横坐标为2， 依次类推， 第列有个点，点的横坐标为，且奇数列点由下到上进行运动，偶数列点从上到下进行运动， 所有列点的总数为， 有， ， ，即第2024个点在第64列， 第2024个点的横坐标为63， ，64为偶数列， 第2024个点的纵坐标为7， 第2024个点的坐标为． 故选：A． 【变式4-3】如图，在平面直角坐标系中，一动点从点出发，其顺序按图中“→”方向排列，如：，，，，，，……按照这样的运动规律，第2023个点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了找规律，由图得第1个点的坐标是，第9个点的坐标是，第25个点的坐标是，，得第个点为奇数）的坐标是，由，得第2025个点的坐标是，故第2023个点的坐标是． 【详解】解：由图得第1个点的坐标是，第9个点的坐标是，第25个点的坐标是，， 得第个点为奇数）的坐标是， 由， 得第2025个点的坐标是， 故第2023个点的坐标是． 故选：B． 【典例5】如图，在平面直角坐标系中，一个点从出发沿图中路线依次经过，，，…，按此一直运动下去，则的值为（    ） A．1006 B．1007 C．1509 D．1511 【答案】D 【分析】本题主要考查了点坐标规律的探索，解题的关键在于能够准确找到相应的规律进行求解．根据题意可得，，，，，，则，，，，，，，，由此可知当n为偶数时；每四个数中有1个负数，且为每组的第三个数，从开始递减，而，可得，由此求解即可． 【详解】解：由题意可知，，，，，， ∴，，，，，，，， 由此可知当n为偶数时 ， ∴，， ∵每四个数中有1个负数，且为每组的第三个数，从开始递减， 而， ∴， ∴， 故选：D． 【变式5-1】如图，在平面直角坐标系上有个点，点A第1次向上跳动1个单位至点，紧接着第2次向右跳动2个单位至点，第3次向上跳动1个单位，第4次向左跳动3个单位，第5次又向上跳动1个单位，第6次向右跳动4个单位，…，依次规律跳动下去，点A第2022次跳动至点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了点的坐标规律探究，根据部分点坐标的变化找出变化规律“，，，，（m为自然数）”是解题的关键． 设第次跳动至点，根据部分点坐标的变化找出变化规律“，，，，（m为自然数）”，依此规律结合即可得出点的坐标． 【详解】解：设第次跳动至点， 观察，发现：，，，，，，，，，，， ，，，，(m为自然数）． ， ，即． 故选：D． 【变式5-2】如图，在平面直角坐标系中有点，点第一次向左跳动至，第二次向右跳动至，第三次向左跳动至，第四次向右跳动至，…，依照此规律跳动下去，点第2024次跳动至点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了点的坐标规律，根据题意可以发现规律，顺序数为偶数的点都在第一象限，且对应点的坐标的纵坐标比横坐标小1，的坐标为，根据规律直接求解即可． 【详解】解：根据题意可以发现规律，顺序数为偶数的点都在第一象限，且对应点的坐标的纵坐标比横坐标小1， ∴的坐标为， ∴点的坐标为， 故选：A． 类型二、平面直角坐标与几何综合 【典例6】如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标，点B的坐标是，将线段向右平移得到线段，点D的坐标为，过点D作轴，垂足为E，动点P以每秒2个单位长度的速度匀速从点A出发，沿着A→E→D的方向向终点D运动，设运动时间为t秒. (1)点C的坐标是______，当点P出发5秒时，则点P的坐标是______； (2)当点P运动时，用含t的式子表示出点P的坐标； (3)当点P在线段上运动时，是否存在点P使得三角形的面积是四边形面积的，若存在，求出此时点P的坐标；若不存在，试说明理由. 【答案】(1)； ； (2)点在上运动时，，点P在上运动时， (3)存在，或. 【分析】本题是平移综合题，考查了三角形的面积，动点问题，解题的关键是分类讨论思想的应用． （1）根据题意，，进而求出点的坐标；由题意得，，，点在上，且，进而表示出点的坐标； （2）当点在上运动时，当点在上运动时，分别表示出点的坐标即可作答； （3）先求出四边形的面积,点在上运动时列方程求解即可． 【详解】（1）解：点的坐标是，点的坐标为， 由平移的性质得， 点的坐标， ； 由题意得，，， 点的运动速度为每秒2个单位长度， 出发5秒时，运动的距离为10个单位长度， 此时点在上，且， 点的坐标为， 故答案为：，； （2）解：当点在上运动时， ， 点的坐标为； 当点在上运动时， ， 点的坐标为， 点的坐标为； （3）解：四边形的面积为， ， 当点在上运动时，边上的高为4， 即， 解得， 点的坐标为或， 【变式6-1】如图，在平面直角坐标系中，已知，点A的坐标是，点B的坐标是且点C在x轴的负半轴上，且． (1)直接写出点B坐标______，点C的坐标______ (2)在x轴上是否存在点P，使，若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由； (3)把点C往上平移3个单位得到点H，作射线，连接，点M在射线上运动(不与点C、H重合)，试探究之间的数量关系，并证明你的结论． 【答案】(1)， (2)或 (3)或或，理由见解析 【分析】本题是几何变换综合题，考查了平移变换的性质，平行线的判定和性质，二次根式有意义的条件等知识； （1）由非负数的性质求a，b的值，求出线段的长即可； （2）设出P点坐标，可分两种情况，根据面积关系，构建方程即可解决问题； （3）分三种情形：①当点M在点H的上方且在直线下方时；②如图，点M在H上方且在直线上方时；③当点M在线段上(不与C，H重合)时，由平行线的性质即可解决问题． 【详解】（1）解：， ， ，， ， ， ， ， ， 点C在x轴的负半轴， ， 故答案为：，； （2）点P在x轴上，设， ， 由题意得：， 解得：或， 或； （3）①当点M在点H的上方且在直线下方时，， 证明：设交于J，   ， ， ， ； ②如图，点M在H上方且在直线上方时， 同理可得． ③当点M在线段上(不与C，H重合)时，，    作， ， ， ， ． 【变式6-2】如图，在平面直角坐标系中，A，B坐标分别为、，且a，b满足：，现同时将点A，B分别向下平移4个单位，再向左平移1个单位，分别得到点A，B的对应点C，D，连接．    (1)求C，D两点的坐标及四边形的面积； (2)点P是线段上的一个动点，连接，当点P在上移动时（不与B，D重合），的值是否发生变化，并说明理由； (3)已知点M在y轴上，且点D在的外部，连接，若的面积与四边形的面积相等，求点M的坐标． 【答案】(1)；四边形的面积为20； (2)不变，，理由见解析； (3)． 【分析】（1）根据条件确定A，B坐标，根据平移得到C，D两点的坐标；由A，B，C，D坐标确定四边形底和高，即可求面积； （2）过点作的平行线，根据平行线的性质可得； （3）设M坐标为，根据，列出方程求出m的值，即可确定M点坐标． 【详解】（1）解： 将点A，B分别向下平移4个单位，向左平移1个单位 故答案为：，四边形的面积为20； （2）由（1）中、，可得； 如下图所示，过点作 ，不发生变化；    （3）如下图所示，过作交于点F，设点 即 解得：，； 故答案为：．      【点睛】本题考查了坐标与图形平移的关系，坐标与平行四边形性质的关系，平行线的性质及三角形、平行四边形的面积公式，关键是理解平移规律，作平行线将相关角进行转化． 【变式6-3】如图，平面直角坐标系中，，，，，． (1)求的面积； (2)如图，点以每秒个单位的速度向下运动至，与此同时，点从原点出发，以每秒个单位的速度沿轴向右运动至，秒后，、、在同一直线上，求的值； (3)如图，点在线段上，将点向右平移个单位长度至点，若的面积等于，求点坐标． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由非负数的性质求出，求出，由三点的坐标可求出答案； （2）根据三角形的面积关系可得出答案； （3）连接，设，由三角形面积关系得出，由平移的性质得出，根据三角形的面积关系可求出答案． 【详解】（1），，， ，， ，， ， ，，， ，， ； （2）由题意知：，， ， ， ． （3）连接，， 设， ， ， ， 点向右平移个单位长度得到点， ， ， ， ， ， 【点睛】本题是三角形综合题，考查了非负数的性质，坐标与图形的性质，平移的性质，三角形的面积等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题． 【变式6-4】如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为A(0，3)，B(6，3)，现同时将点A，B分别向下平移3个单位，再向左平移2个单位，分别得到点A，B的对应点C，D，连接AC，BD，AB． (1)求点C，D的坐标； (2)点M从O点出发，以每秒1个单位的速度向上平移运动．设运动时间为秒，问：是否存在这样的使得四边形OMDB的面积为12？若存在，请求出的值，若不存在，请说明理由． (3)在（2）的条件下，点M从O点出发的同时，点N从D点出发，以每秒2个单位的速度向左平移运动，当点N到达点O时运动停止．设射线BN交轴于点E．设运动时间为秒，问：的值是否会发生变化？若不变，请求出它的值；若变化，请说明理由． 【答案】(1)C（-2,0），D（4,0） (2)t=2 (3)值不变，为6 【分析】（1）根据点的坐标及平移方法即可确定； （2）过B作BH⊥OD的延长线，垂足为H．由（1）中点的坐标得出D=6,DH=2,OD=4，AB=6，设M点坐标为（0，t），连接MB、OB，则四边形的面积等于△OBD的面积加上△OMD的面积等于12，然后解出t即可； （3）设运动时间为秒，OM=t，ON=4-2t(0≤t≤2)，过B作BH⊥OD的延长线，垂足为H，连接MB，OB，结合图形可得=S△ONB+S△OMB，然后代入求解即可． 【详解】（1）解：∵点A，B的坐标分别为A(0，3)，B(6，3)，将点A，B分别向下平移3个单位，再向左平移2个单位 ∴C（-2,0），D（4,0）； （2）解：存在；如图，过B作BH⊥OD的延长线，垂足为H． 由题意得点C和点D的坐标分别为（-2,0）和（4,0）．A(0，3)，B(6，3)， ∴CD=6,DH=2,OD=4，AB=6， 设M点坐标为（0，t），连接MB、OB， ∴OM=t． ∵S四边形OMBD=S△OBD+S△OMB=12， ∴, 即， 解得t=2； （3）解：不变． 理由如下： 如图所示，设运动时间为秒，OM=t，ON=4-2t(0≤t≤2)， 过B作BH⊥OD的延长线，垂足为H，连接MB，OB， ∵=S四边形OMBN，S四边形OMBN=S△ONB+S△OMB， ∴=S△ONB+S△OMB = = =6-3t+3t =6； ∴为定值6，故其值不会变化． 【点睛】本题属于四边形的综合问题，考查了点坐标平移、坐标与图形、动点问题以及图形的面积等知识点，灵活应用所学知识是解答本题的关键． 1．如图，所有正方形的中心均在坐标原点，且各边轴或轴平行，从内到外，它们的边长依次为2，4，6，8，…顶点依次用，，，，…表示，（在第三象限，顺时针依次为，，，在第三象限顺时针依次为，依此类推…）则顶点的坐标是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查点坐标与图形的规律，掌握图形与点坐标的特点，规律是解题的关键． 根据坐标的变化找出变化规律“，为自然数”，依此即可得出结论． 【详解】解：观察发现：，… ∴为自然数． ∵， ∴． 故选：C． 2．如图，在平面直角坐标系上有点，点A第一次向左跳动至，第二次向右跳动至，第三次向左跳动至，第四次向右跳动至…依照此规律跳动下去，点A第2021次跳动至的坐标（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据即，即， 即，即…依照此规律跳动下去，当n为奇数时，当n为偶数时，解答即可． 本题考查了坐标的规律问题，正确发现坐标与序号的规律是解题的关键． 【详解】解：根据即，即， 即，即… 依照此规律跳动下去，当n为奇数时，当n为偶数时， 2021是奇数， 故点A第2021次跳动至的坐标为即． 故选A． 3．如图，在平面直角坐标系中，有若干个整数点，其顺序按图中箭头方向排列，如，，，，，，，…，根据规律探索可得，第2024个点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了点的坐标规律，根据图形可知第列有个点，点的横坐标为，奇数列点由下到上进行运动，偶数列点从上到下进行运动，进而得到所有列点的总数为，推出第2024个点在第列，即可得到第2024个点的坐标． 【详解】解：由图知，第一列有1个点，点的横坐标为0， 第二列有2个点，点的横坐标为1， 第三列有3个点，点的横坐标为2， 依次类推， 第列有个点，点的横坐标为，且奇数列点由下到上进行运动，偶数列点从上到下进行运动， 所有列点的总数为， 有， ， ，即第2024个点在第列， 第2024个点的横坐标为， ，为偶数列， 第2024个点的纵坐标为， 第2024个点的坐标为． 故选：B． 4．在一单位为1的方格纸上，有一列点（其中n为正整数）均为网格上的格点，按如图所示规律排列，点，则的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了坐标的规律探索，根据直角坐标系得出坐标的规律是解题关键．观察坐标系发现，即可得到的坐标． 【详解】解：由直角坐标系可知，，，，…， 以此类推可知， ， 的坐标为，即． 故选：B． 5．如图，在平面直角坐标系中有若干个整数点，其顺序按图中“→”方向排列，依次为，，，，，，，根据这个规律，可得第50个点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题的考查了对平面直角坐标系的熟练运用能力，用“从特殊到一般”的方法入手寻找规律是解答本题的关键．从图中可以看出横坐标为1的有一个点，横坐标为2的有2个点，横坐标为3的有3个点，…依此类推横坐标为n的有n个点，通过加法计算算出第50个点位于第几列第几行，然后对应得出坐标规律，将行列数代入规律式． 【详解】解：在横坐标上，第一列有一个点，第二列有2个点．…第n个有n个点，并且奇数列点数对称而偶数列点数y轴上方比下方多一个， ∵， ∴第50个点在第10列上， ∴奇数列的坐标为 ； 偶数列的坐标为 ， 由加法推算可得到第50个点位于第10列自上而下第6行， 将10代入上式得， 即， 故选A． 6．如图所示，在平面直角坐标系中，，将边长为1的正方形一边与x轴重合，按图中规律摆放，其中相邻两个正方形的间距都是1，则点的坐标为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了点的坐标变化规律问题，根据横坐标，纵坐标的变化规律，每8个点看作一次循环，再根据点在第253个循环中的第7个点的位置，即可得出点的坐标． 【详解】解：由图可得，第一个正方形中，， 各点的横坐标依次为1，1，2，2，纵坐标依次为0，1，1，0； 第二个正方形中，， 各点的横坐标依次为3，3，4，4，纵坐标依次为0，，，0； 根据纵坐标的变化规律可知，每8个点一次循环， ， ∴点在第253个循环中的第7个点的位置，故其纵坐标为， 又的横坐标为3，的横坐标为7，的横坐标为11， … 的横坐标为1012， ∴点的坐标为， 故选：D． 7．如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点出发，沿着箭头所示方向，每次移动1个单位，依次得到点，…，根据这个规律，点的坐标为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了点的坐标规律探索， 根据题意可得规律每四次移到为一个循环，横坐标为1，1，0，0依次出现，纵坐标每2次移到增加1，据此规律求解即可． 【详解】解：，，，，，……， 以此类推可知，每四次移到为一个循环，横坐标为1，1，0，0依次出现，纵坐标每2次移到增加1， ∵， ∴点的横坐标为0，纵坐标为14， ∴点的坐标为， 故选：A． 8．如图，一个机器人从点出发，向正西方向走到达点；再向正北方向走到达点，再向正东方向走到达点，再向正南方向走到达点，再向正西方向走到达点，…按如此规律走下去，当机器人走到点时，点的坐标为 ．    【答案】 【分析】此题考查了点在平面直角坐标系的坐标规律，解题的关键是发现规律，利用规律解决问题． 观察点的坐标规律即可求解． 【详解】观察图象可知，下标为偶数时在二四象限，下标为奇数时在一、三象限， 由，，，… ，，， … ，，， ∵， ∴， 故答案为：． 9．如图，长方形的各边分别平行于x轴或y轴，物体甲和物体乙分别由点同时出发，沿矩形的边作环绕运动，物体甲按逆时针方向以1个单位/秒匀速运动，物体乙按顺时针方向以2个单位/秒匀速运动，则两个物体运动后的第2022次相遇地点的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查坐标规律探究，先求出长方形的周长，求出两物体每次相遇所需的时间，进而得到相应的规律，进行求解即可． 【详解】解：由图可知，长方形的周长为， ∴每次相遇需要的时间为：秒， ∵物体甲按逆时针方向以1个单位/秒匀速运动， ∴每次相遇，甲走的路程为个单位长度， ∴第3次相遇时，两个物体回到起点，即每经过3次相遇，两个物体回到起点， ∵， ∴两个物体运动后的第2022次相遇回到起点； 故答案为：． 10．如图，在平面直角坐标系中，一巡查机器人接到指令，从原点O出发，沿的路线移动，每次移动1个单位长度，依次得到点， ， ， ， ， ， ， ，…，则点的坐标是 ．    【答案】 【分析】本题考查了平面直角坐标系中动点的规律探索，由点的移动确定其位置及坐标的变化规律是解题的关键．根据坐标点的变化规律可知每8个点的位置一循环，由此先确定的坐标与的坐标类似，再由类似位置点的坐标变化规律确定点的坐标即可. 【详解】解：∵， ， ， ， ， ， ， ，… ∴坐标点每8个点的位置一循环， ∵， ∴的坐标与的坐标类似， 与的坐标类似为由， 得． 故答案为：． 11．如图，在平面直角坐标系中，点，的坐标分别为，，现同时将，两点先向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度，分别得到点，的对应点，，连接，，． （1）写出点，的坐标分别是______，______；四边形的面积为______； （2）在轴上是否存在点，连接，，使得三角形面积是三角形面积的2倍，若存在，请求出点的坐标：若不存在，请说明理由； （3）若点是直线上一点，连接，，请你直接写出，与的数量关系． 【答案】（1）；；8；（2）存在，点坐标为或；（3）当点在线段上运动时，；当点在线段延长线运动时，；当点在线段延长线运动时， 【分析】（1）根据点的平移规律可得D、C的坐标以及四边形ABCD的面积； （2）根据四边形的面积是三角形面积的2倍，得,即可求出点P的坐标； （3）分三种情况，当点Q在线段BC上运动时，当点Q在线段BC的延长线上运动时，当点Q在CB的延长线上运动时，分别画图得出答案． 【详解】解：（1）点，的坐标分别为，， 将，两点先向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度，分别得到点，的坐标分别是， AB=CD， 四边形ABCD为平行四边形 四边形的面积为：； （2）存在，理由如下： D ， C ∵AB、CD之间的距离为2，且三角形面积是三角形面积的2倍， ， ∵两个三角形等高，且 又∵ ∴， 点B的坐标为 点P的坐标为或； （3）①当点在线段上运动时，延长DQ交x轴于E点，如图2-1 ； ②当点在线段延长线运动时，如图2-2 ； ③当点在线段延长线运动时，如图2-3 ； 综上所述：当点在线段上运动时，； 当点在线段延长线运动时，； 当点在线段延长线运动时，． 【点睛】本题考查了平行线的性质、三角形外角的性质，以及点的平移的规律，对点Q的位置进行分类讨论时解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$