专题08 勾股定理常考压轴题训练-【常考压轴题】2024-2025学年八年级数学上册压轴题攻略（苏科版）

专题08 勾股定理常考压轴题训练 一、单选题 1．如图，在中，，，，平分交于点，点，分别是和边上的动点，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 2．如图，在中，，点在的延长线上，且，则的长是（    ）    A． B． C． D． 3．如图，在中，，斜边，分别以的三边长为边任上方作正方形，分别表示对应阴影部分的面积，则（    ）    A．2 B． C．4 D． 4．如图，在中，，以该三角形的三条边为边向外作正方形，正方形和正方形，给出下列结论：① ；② ；③ 过点B作于点I，延长B交于点J，则．④ 若，则．其中正确的结论个数是(　　) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．如图，在中，，，点D、E为BC上两点，，点F为外一点，且，，则下列结论：①；②；③；④，其中正确的是（    ） A．①②③ B．①②③④ C．①③④ D．②③ 6．如图，中，，，点P是内一点，，若，则的值为（    ） A．5 B．4 C． D． 7．勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，是数形结合的重要细带．数学家欧几里得利用如图验证了勾股定理．以直角三角形的三条边为边长向外作正方形，正方形，正方形，连接，，具中正方形面积为1，正方形面积为5，则以为边长的正方形面积为（    ） A．4 B．5 C．6 D． 8．如图，长方形中，，，是的中点，线段在边上左右滑动，若，则的最小值为（    ）    A． B． C． D． 9．大约在公元222年，赵爽为《周髀算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”（如图1）．某数学兴趣小组类比“赵爽弦图”构造出图2：为等边三角形，、、围成的也是等边三角形．已知点、、分别是、、的中点，若的面积为14，则的面积是（    ）    A．1 B．2 C．3 D．4 10．七巧板是我国祖先的一项卓越创造，下列四幅图是爱思考的小红同学用如图所示的七巧板拼成的，则这四个图形的周长从大到小排列正确的是（　　） A．乙＞丙＞甲＞丁 B．乙＞甲＞丙＞丁 C．丙＞乙＞甲＞丁 D．丙＞乙＞丁＞甲 11．如图1，分别以直角三角形三边为边向外作等边三角形，面积分别为，，；如图2，分别以直角三角形三边长为直径向外作半圆，面积分别为，，，其中，，，，则（    ）． A．86 B．61 C．54 D．48 12．如图，透明的圆柱形玻璃容器（容器厚度忽略不计）的高为，在容器内壁离容器底部的点处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，位于离容器上沿的点处，若蚂蚁吃到蜂蜜需爬行的最短路径为，则该圆柱底面周长为（    ） A． B． C． D． 13．如图，长方体的长为15cm，宽为10cm，高为20cm，点B离点C5cm，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B去吃一滴蜜糖，需要爬行的最短距离是（　　）cm． A．25 B．20 C．24 D．10 14．我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”．如图是由弦图变化得到，它是用八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面积分别为S1，S2，S3．若S1+S2+S3＝12，则下列关于S1、S2、S3的说法正确的是（　　） A．S1＝2 B．S2＝3 C．S3＝6 D．S1+S3＝8 15．如图，在中，，以的三边为边分别向外作等边三角形，，，若，的面积分别是10和4，则的面积是(    ) A．4 B．6 C．8 D．9 16．如图，四边形ABCD中，∠ABC＝90°，AC＝BD，AC⊥BD，若AB＝4， AD＝5，则DC的长  （    ）. A．7 B． C． D．2 二、填空题 17．七巧板起源于我国先秦时期，古算书《周髀算经》中有关于正方形的分割术，经历代演变而成七巧板，如图1所示．19世纪传到国外，被称为“唐图”（意为“来自中国的拼图”），图2是由边长为4的正方形分割制作的七巧板拼摆而成的图形，则图中围出的“箭头”（即阴影部分）的面积为 ． 18．四个全等的直角三角形按如图方式拼成正方形，将四个直角三角形的短直角边（如）向外延长，使得，连接得四边形连接．已知是的中点，和的面积之比为，四边形的面积为，则四边形的面积是 ． 19．如图，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，分别以△ABC的三条边为直角边作三个等腰直角三角形：△ABD、△ACE、△BCF，若图中阴影部分的面积S1＝6.5，S2＝3.5，S3＝5.5，则S4＝ ． 20．如图所示是一条宽为1.5m的直角走廊，现有一辆转动灵活的手推车，其矩形平板面ABCD的宽AB为1m，若要想顺利推过 （不可竖起来或侧翻） 直角走廊，平板车的长AD不能超过 m．（精确到0.1，参考数据： ≈1.41， ≈1.73）    21．如图所示，“赵爽弦图”是由8个全等的直角三角形拼接而成的，记图中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面积分别为，已知,则的值是 . 22．如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别为5 dm、3 dm和1 dm，A和B是这个台阶两个相对的端点，A点有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物．请你想一想，这只蚂蚁从A点出发，沿着台阶面爬到B点的最短路程是 dm． 23．我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一副“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”（如图1）．图2由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成．记图中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面积分别为S1，S2，S3，若S1+S2+S3=10，则S2的值是 ． 三、解答题 24．已知和都是等腰直角三角形，． (1)如图1，连接，，求证：； (2)将绕点顺时针旋转，如图2，当点恰好在边上时，求证． 25．2023年7月五号台风“杜苏芮”登陆，使我国很多地区受到严重影响，据报道，这是今年以来对我国影响最大的台风，风力影响半径（即以台风中心为圆心，为半径的圆形区域都会受台风影响），如图，线段是台风中心从C市向西北方向移动到B市的大致路线，A是某个大型农场，且．若A，C之间相距，A，B之间相距． (1)判断农场A是否会受到台风的影响，请说明理由． (2)若台风中心的移动速度为，则台风影响该农场持续时间有多长？ 26．如图，在长方形中，，，点P在长方形的边上由D向C运动，沿直线翻折三角形，形成如下四种情形，设，和长方形重叠部分（阴影）的面积为y． (1)如图1，请写出阴影部分的面积为y与的长x之间关系式（用含x的代数式表示y）； (2)如图2，当翻折后，点正好落在边上，求这时点P与点D的距离； (3)如图4，当点P运动到与C重合时，求重叠部分的面积y． 27．阅读下面材料，并解决问题： (1)如图①等边内有一点P，若点P到顶点A、B、C的距离分别为3，4，5，求的度数．为了解决本题，我们可以将绕顶点A旋转到处，此时，这样就可以利用旋转变换，将三条线段，，转化到一个三角形中，从而求出 ； (2)基本运用 请你利用第（1）题的解答思想方法，解答下面问题： 已知如图②，中，，，E，F为上的点且，求证：； (3)能力提升 如图③，在中，，，，点O为内一点，连接，，，且，求的值． 28．如图所示，已知中，，，，、是的边上的两个动点，其中点从点开始沿方向运动，且速度为每秒，点从点开始沿方向运动，且速度为每秒，它们同时出发，设出发的时间为．根据以上信息，回答下面问题： (1)求的长度； (2)当为何值时，点在边的垂直平分线上？ (3)当点在边上运动时，是否存在的值，使为等腰三角形，若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 29．如图1，在四边形中，，分别是上的点，且，探究图中线段之间的数量关系． (1)提示：探究此问题的方法是延长到点G，使，连接，先证明，再证明．请根据提示按照提示的方法完成探究求解过程． (2)探索延伸： 如图2，若在四边形中，，E，F分别是上的点，且，上述结论是否仍然成立？请说明理由． (3)能力提高： 如图，等腰直角三角形中，，点M，N在边上，，若，则的长为 ． 30．在中，，．点是所在平面内一点，且． (1)如图1，当点在边上，求证； (2)如图2，当点在外部，连接，若，，求线段的长； (3)如图3，当点在内部，连接，若，，求点到的距离． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题08 勾股定理常考压轴题训练 一、单选题 1．如图，在中，，，，平分交于点，点，分别是和边上的动点，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了轴对称最短路径问题，，勾股定理，作点M关于对称的点，使得，连接，可得点在上，，则当三点共线，且时，有最小值，即有最小值，最小值为的长，利用勾股定理求出，再由等面积法求出的长即可得到答案． 【详解】解：如图所示，作点M关于对称的点，使得，连接， ∵平分， ∴点在上，， ∴， ∴当三点共线，且时，有最小值，即有最小值，最小值为的长， ∵在中，，，， ∴， ∵， ∴， ∴，即的最小值是， 故选：D． 2．如图，在中，，点在的延长线上，且，则的长是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了等腰直角三角形的判定和性质，对顶角的性质，勾股定理，过点作的延长线于点，则，由，，可得，，进而得到，，即得为等腰直角三角形，得到，设，由勾股定理得，求出即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：过点作的延长线于点，则， ∵，， ∴，， ∴，， ∴为等腰直角三角形， ∴， 设，则， 在中，， ∴， 解得，（舍去）， ∴， ∴， 故选：．    3．如图，在中，，斜边，分别以的三边长为边任上方作正方形，分别表示对应阴影部分的面积，则（    ）    A．2 B． C．4 D． 【答案】B 【分析】本题考查勾股定理的应用和全等三角形的判定，根据题意过作于，连接，进而结合全等三角形的判定与性质得出进行分析计算即可. 【详解】解：在中，，斜边， ， ， 过作于，连接，    在和中， ， ， 同理，， ，， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是矩形， ， 、、三点共线， ，， ， 图中， ， 在和中， ， ， 同理，， ． 故选：B． 4．如图，在中，，以该三角形的三条边为边向外作正方形，正方形和正方形，给出下列结论：① ；② ；③ 过点B作于点I，延长B交于点J，则．④ 若，则．其中正确的结论个数是(　　) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题考查勾股定理，全等三角形的性质和判定，解题的关键是正确作出辅助线． 首先根据题意证明出，进而得到，即可判断①；过点F作交延长线于点O，证明出，得到，然后利用三角形面积公式即可得到，即可判断②；过点A作交的延长线于点P，过点C作，证明出，得到，同理得到，得到，然后证明出，得到，即可判断③；根据全等三角形的性质得到，然后利用勾股定理证明出，同理得到，然后得到，即可判断④． 【详解】∵在中，，以该三角形的三条边为边向外作正方形，正方形和正方形， ∴，， ∵ ∴ ∴ ∴，故①正确； 如图所示，过点F作交延长线于点O， ∵ ∴ 又∵， ∴ ∴ ∵ ∵， ∴，故②正确； 如图所示，过点A作交的延长线于点P，过点C作 ∵， ∴ 又∵， ∴ ∴ 同理可证， ∴ ∴ ∵， ∴ ∴，故③正确； ∵ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∵ ∵ ∴ ∴ 同理可证， ∴，故④正确． 综上所述，正确的结论个数是4． 故选：D． 5．如图，在中，，，点D、E为BC上两点，，点F为外一点，且，，则下列结论：①；②；③；④，其中正确的是（    ） A．①②③ B．①②③④ C．①③④ D．②③ 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，掌握勾股定理、全等三角形的判定与性质以及等腰直角直角三角形的性质是解题的关键． 根据等腰直角三角形的性质，判断出，即可得出，根据勾股定理与等量代换可得②正确，根据在等腰三角形中，角平分线与中线为一条直线即可得出③，再根据勾股定理即可得出④． 【详解】解：，，， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， 故①正确； 由①中证明， ， ，， ， ， 连接， ， ， ，， ， 故②正确； 设与的交点为， ，， ，， ， 故③正确； ，， ， 故④不正确， 故选：A． 6．如图，中，，，点P是内一点，，若，则的值为（    ） A．5 B．4 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查等腰直角三角形的判定及性质，全等三角形的判定及性质，勾股定理，过点作，交延长线于，连接，由题意可知，证明，可知为等腰直角三角形，易得，再证，则，，可证，易知为等腰直角三角形，得，，即可求解．添加辅助线构造全等三角形和等腰直角三角形是解决问题的关键． 【详解】解：过点作，交延长线于，连接， ∵，， ∴， 设， 则，， ∴，， ∴为等腰直角三角形， ∴，则， ∵， ∴， ∴， 则，， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴，， ∴， 故选：D． 7．勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，是数形结合的重要细带．数学家欧几里得利用如图验证了勾股定理．以直角三角形的三条边为边长向外作正方形，正方形，正方形，连接，，具中正方形面积为1，正方形面积为5，则以为边长的正方形面积为（    ） A．4 B．5 C．6 D． 【答案】D 【分析】此题考查的是勾股定理的证明；过点作于点，交于点，由正方形的性质可知、的长，利用直角三角形面积公式可得的长，再勾股定理可得、的长，最后利用勾股定理可得答案．正确作出辅助线是解决此题的关键． 【详解】解：过点作于点，交于点， 正方形面积为5，正方形面积为1， ，，，， 是直角三角形，， ， ， 即， ， ， ， ， 以为边长的正方形面积为10． 故选：． 8．如图，长方形中，，，是的中点，线段在边上左右滑动，若，则的最小值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将沿着向左平移使与重合，得到，根据动点最值问题“将军饮马”模型，作关于的对称点，连接，此时的最小值为线段长，利用勾股定理求解即可得到答案． 【详解】解：将沿着向左平移使与重合，得到，如图所示：    由平移性质得到， ， 作关于的对称点，连接，如图所示：   由对称性得到， ， 由图可知，，此时，当三点共线时，有最小值，为线段长， ， ， 在长方形中，，，由矩形性质可得， ， 是的中点， ， 与关于的对称， ， 在长方形中，， 在中，，，，由勾股定理得到， 的最小值， 故选：C． 【点睛】本题考查动点最值问题-将军饮马模型，涉及平移性质、对称性质、勾股定理等知识，熟练掌握动点最值问题-将军饮马模型题型的识别及做题方法步骤是解决问题的关键． 9．大约在公元222年，赵爽为《周髀算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”（如图1）．某数学兴趣小组类比“赵爽弦图”构造出图2：为等边三角形，、、围成的也是等边三角形．已知点、、分别是、、的中点，若的面积为14，则的面积是（    ）    A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】连接，由题意知，再由点、、分别是、、的中点，可得，，即可得出即可求解． 【详解】解：连接，如图所示：   点、、分别是、、的中点， ，， 为等边三角形，也是等边三角形， ， ， 是的一个外角， ， 是的一个外角， ， ， 在和中， ， ， 同理，可得， ， ， ， ， ，解得， 故选：B． 【点睛】本题考查求三角形面积，涉及等边三角形的性质，中点性质，全等三角形的判定与性质，三角形外角性质，正确作出辅助线，得出是解题的关键． 10．七巧板是我国祖先的一项卓越创造，下列四幅图是爱思考的小红同学用如图所示的七巧板拼成的，则这四个图形的周长从大到小排列正确的是（　　） A．乙＞丙＞甲＞丁 B．乙＞甲＞丙＞丁 C．丙＞乙＞甲＞丁 D．丙＞乙＞丁＞甲 【答案】A 【分析】设最小的直角三角形的直角边长为1，根据勾股定理，分别表示出七块七巧板各边的长度，计算每个图形中重合的线段和，和越大，周长越小． 【详解】解：设七巧板中最小的边长为1根据勾股定理， 可以得出其余的边长分别为2，，2， 分别求出各图中重合的线段的长度和，和越大，则周长越小； 甲图中重叠的线段和为：7+2； 乙图中重叠的线段和为：5+2； 丙图中重叠的线段和为5+3； 丁图中重叠的线段和为：6+3； ∵， ∴乙＞丙＞甲＞丁 故选：A． 【点睛】本题考查了勾股定理，不规则图形的周长，解题关键是明确总周长一定，重叠的线段和越大，则周长越小． 11．如图1，分别以直角三角形三边为边向外作等边三角形，面积分别为，，；如图2，分别以直角三角形三边长为直径向外作半圆，面积分别为，，，其中，，，，则（    ）． A．86 B．61 C．54 D．48 【答案】C 【分析】设，，对应的边长为，，，根据题意，通过等边三角形和勾股定理的性质，得，从而计算得到；设，，对应的边长为，，，通过圆形面积和勾股定理性质，得，从而计算得到，即可得到答案． 【详解】分别以直角三角形三边为边向外作等边三角形，面积分别为，， 则，，对应的边长设为，， 根据题意得： ∴， ∵ ∴ ∴ 以直角三角形三边长为直径向外作半圆，面积分别为，， 则，，对应的边长设为，， 根据题意得： ∴， ∵ ∴ ∴ ∴ 故选：C． 【点睛】本题考查了勾股定理、等边三角形、圆形面积的知识；解题的关键是熟练掌握勾股定理、等边三角形面积计算的性质，从而完成求解． 12．如图，透明的圆柱形玻璃容器（容器厚度忽略不计）的高为，在容器内壁离容器底部的点处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，位于离容器上沿的点处，若蚂蚁吃到蜂蜜需爬行的最短路径为，则该圆柱底面周长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将容器侧面展开，建立A关于EG的对称点A′，根据两点之间线段最短可知A′B的长度即为最短路径，由勾股定理求出A′D即圆柱底面周长的一半，由此即可解题． 【详解】解：如图，将圆柱展开，为上底面圆周长的一半， 作关于的对称点，连接交于， 则蚂蚁吃到蜂蜜需爬行的最短路径为的长， 即， 延长，过作于， ，， 中，由勾股定理得：， 该圆柱底面周长为：， 故选D． 【点睛】本题考查了平面展开---最短路径问题，将图形展开，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题的关键．同时也考查了同学们的创造性思维能力． 13．如图，长方体的长为15cm，宽为10cm，高为20cm，点B离点C5cm，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B去吃一滴蜜糖，需要爬行的最短距离是（　　）cm． A．25 B．20 C．24 D．10 【答案】A 【分析】分三种情况讨论：把左侧面展开到水平面上，连结AB；把右侧面展开到正面上，连结AB，；把向上的面展开到正面上，连结AB；然后利用勾股定理分别计算各情况下的AB，再进行大小比较． 【详解】把左侧面展开到水平面上，连结AB，如图1 把右侧面展开到正面上，连结AB，如图2 把向上的面展开到正面上，连结AB，如图3 ∵ ∴ ∴需要爬行的最短距离为25cm 故选：A． 【点睛】本题考查了平面展开及其最短路径问题：先根据题意把立体图形展开成平面图形后，再确定两点之间的最短路径．一般情况是两点之间，线段最短．在平面图形上构造直角三角形解决问题． 14．我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”．如图是由弦图变化得到，它是用八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面积分别为S1，S2，S3．若S1+S2+S3＝12，则下列关于S1、S2、S3的说法正确的是（　　） A．S1＝2 B．S2＝3 C．S3＝6 D．S1+S3＝8 【答案】D 【分析】根据八个直角三角形全等，四边形ABCD，EFGH，MNKT是正方形，得出，，再根据三个正方形面积公式列式相加：，求出的值，从而可以计算结论即可． 【详解】解：八个直角三角形全等，四边形ABCD，EFGH，MNKT是正方形， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故选：D． 【点睛】此题主要考查了勾股定理的应用，用到的知识点是勾股定理和正方形、全等三角形的性质，根据已知得出是解决问题的关键． 15．如图，在中，，以的三边为边分别向外作等边三角形，，，若，的面积分别是10和4，则的面积是(    ) A．4 B．6 C．8 D．9 【答案】B 【分析】设AB=c，AC=b，BC=a，用a、b、c分别表示，，的面积，再利用得b2+c2=a2，求得c值代入即可求得的面积的面积. 【详解】设AB=c，AC=b，BC=a， 由题意得的面积=，        的面积=    ∴， 在Rt△ABC中，∠BAC=90°，b2+c2=a2， ∴c2=a2-b2= ∴的面积== 故此题选B 【点睛】此题考查勾股定理的运用，用直角三角形的三边分别表示三个等边三角形的面积，运用勾股定理的等式求得第三个三角形的面积 16．如图，四边形ABCD中，∠ABC＝90°，AC＝BD，AC⊥BD，若AB＝4， AD＝5，则DC的长  （    ）. A．7 B． C． D．2 【答案】B 【详解】解：过D作DF⊥BA交BA的延长线于F．∵BE⊥AC，∴∠EBC+∠BCE=90°，∵∠ABC=90°，∴∠ABD+∠EBC=90°，∴∠ABE=∠BCA．在△BFD和△CBA中，∵∠ABE=∠BCA，∠F=∠ABC=90°，BD=CA，∴△BFD≌△CBA，∴DF=AB=4，BF=BC．在Rt△ADF中，∵AD=5，DF=4，∴AF=3，∴BC=3+4=7．∵∠DEC=90°，∴DC2=DE2+EC2=(BD-BE)2+EC2=(AC-BE)2+EC2 =AC2-2AC•BE+BE2+EC2 = AC2-2AB•BC+BC2 = =58 ∴DC=. 点睛：解答本题的关键是构造全等三角形．在计算时要巧用转换，使计算简单． 第II卷（非选择题） 请点击修改第II卷的文字说明 二、填空题 17．七巧板起源于我国先秦时期，古算书《周髀算经》中有关于正方形的分割术，经历代演变而成七巧板，如图1所示．19世纪传到国外，被称为“唐图”（意为“来自中国的拼图”），图2是由边长为4的正方形分割制作的七巧板拼摆而成的图形，则图中围出的“箭头”（即阴影部分）的面积为 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了七巧板中的图形的构成和面积计算，熟悉七巧板中图形的分类是解题的关键． 先根据七巧板中图形的关系，求得新图形的对角线的长，然后再根据数形集合思想即可解答． 【详解】解：如图：∵正方形的边长为4， ∴， 由题意可得：，， ∴ ∴ ∴ ∴， ， ∴， ∴， ∴阴影部分的面积为：． 故答案为：． 18．四个全等的直角三角形按如图方式拼成正方形，将四个直角三角形的短直角边（如）向外延长，使得，连接得四边形连接．已知是的中点，和的面积之比为，四边形的面积为，则四边形的面积是 ． 【答案】 【分析】根据四个全等的直角三角形，已知是的中点，可得，可得，在根据三角形中线的性质可得，，设，，根据三角形的面积公式可求出的值，可求出的值，根据正方形的面积公式即可求解． 【详解】解：四个全等的直角三角形，即， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∵四个全等的直角三角形， ∴， ∵和的面积之比为，即， ∴，， 已知是的中点， ∴在中，点是的中点， ∴，则， 设，， ∴， ∴，， ∴，解得，， ∴ 在中，， ∵四个全等的直角三角形按如图方式拼成正方形， ∴四个直角三角全等，围成的四边形是正方形， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查直角三角形的性质，全等三角形的性质，三角形中线的性质，面积计算方法，勾股定理的综合，掌握以上知识的运用是解题的关键． 19．如图，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，分别以△ABC的三条边为直角边作三个等腰直角三角形：△ABD、△ACE、△BCF，若图中阴影部分的面积S1＝6.5，S2＝3.5，S3＝5.5，则S4＝ ． 【答案】2.5 【分析】分别交、于点、点；设AB＝BD＝a，AC＝CE＝b，BC＝CF＝c，，，由，可得，由此构建关系式，通过计算即可得到答案． 【详解】如图，分别交、于点、点 ∵△ABD、△ACE、△BCF均是等腰直角三角形 ∴AB＝BD，AC＝CE，BC＝CF， 设AB＝BD＝a，AC＝CE＝b，BC＝CF＝c，，   ∵ ∴ ∵，， ∴ ∴ 故答案为：2.5． 【点睛】本题考查了等腰三角形、直角三角形的知识；解题的关键是熟练掌握等腰三角形、勾股定理的性质，从而完成求解． 20．如图所示是一条宽为1.5m的直角走廊，现有一辆转动灵活的手推车，其矩形平板面ABCD的宽AB为1m，若要想顺利推过 （不可竖起来或侧翻） 直角走廊，平板车的长AD不能超过 m．（精确到0.1，参考数据： ≈1.41， ≈1.73）    【答案】2.2 【分析】先设平板手推车的长度不能超过x米，则得出x为最大值时，平板手推车所形成的三角形CBE为等腰直角三角形．连接EF，与BC交于点G，利用△CBE为等腰直角三角形即可求得平板手推车的长度不能超过多少米． 【详解】试题解析：设平板手推车的长度不能超过x米， 则x为最大值，且此时平板手推车所形成的三角形CBE为等腰直角三角形． 连接EF，与BC交于点G． ∵直角走廊的宽为1.5m， ∴EF=m， ∴GE=EF-FG=-1（m）． 又∵△CBE为等腰直角三角形， ∴AD=BC=2CG=2GE=≈2.2（m）． 故答案为2.2． 【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用以及等腰三角形知识，解答的关键是由题意得出要想顺利通过直角走廊，此时平板手推车所形成的三角形为等腰直角三角形． 21．如图所示，“赵爽弦图”是由8个全等的直角三角形拼接而成的，记图中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面积分别为，已知,则的值是 . 【答案】. 【分析】根据八个直角三角形全等，四边形ABCD，EFGH，MNKT是正方形，得出CG=NG，CF=DG=NF，再根据，，，，即可得出答案. 【详解】∵八个直三角形全等，四边形ABCD，EFGH，MNKT是正方形 ∴CG=NG，CF=DG=NF ∴ ∴ ∴ 故 故答案为. 【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，用到的知识点由勾股定理和正方形、全等三角形的性质. 22．如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别为5 dm、3 dm和1 dm，A和B是这个台阶两个相对的端点，A点有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物．请你想一想，这只蚂蚁从A点出发，沿着台阶面爬到B点的最短路程是 dm． 【答案】13． 【详解】试题分析：将台阶展开，如图， 即蚂蚁爬行的最短线路为 考点：平面展开：最短路径问题． 23．我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一副“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”（如图1）．图2由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成．记图中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面积分别为S1，S2，S3，若S1+S2+S3=10，则S2的值是 ． 【答案】． 【详解】试题解析：将四边形MTKN的面积设为x，将其余八个全等的三角形面积一个设为y， ∵正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面积分别为S1，S2，S3，S1+S2+S3=10， ∴得出S1=8y+x，S2=4y+x，S3=x， ∴S1+S2+S3=3x+12y=10，故3x+12y=10， x+4y=， 所以S2=x+4y=． 考点：勾股定理的证明． 三、解答题 24．已知和都是等腰直角三角形，． (1)如图1，连接，，求证：； (2)将绕点顺时针旋转，如图2，当点恰好在边上时，求证． 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析． 【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握以上知识点并作出辅助线构造直角三角形是解题的关键． （1）由，可得到，再根据等腰三角形的性质可知，，从而推出，即可得到； （2）连接，同（1），根据等腰直角三角形的性质，可证，得，，从而得到，再根据勾股定理，结合线段相等进行代换，即可证明结论成立． 【详解】（1）证明： 即 和都是等腰直角三角形 ， （2）证明：连接， 即 和都是等腰直角三角形 ，， ， 是等腰直角三角形 25．2023年7月五号台风“杜苏芮”登陆，使我国很多地区受到严重影响，据报道，这是今年以来对我国影响最大的台风，风力影响半径（即以台风中心为圆心，为半径的圆形区域都会受台风影响），如图，线段是台风中心从C市向西北方向移动到B市的大致路线，A是某个大型农场，且．若A，C之间相距，A，B之间相距． (1)判断农场A是否会受到台风的影响，请说明理由． (2)若台风中心的移动速度为，则台风影响该农场持续时间有多长？ 【答案】(1)会受到台风的影响，理由见解析； (2) 【分析】（1）作，中，根据勾股定理，求出的长，进而求得的长，即可求解， （2）假设台风在线段上移动时，会对农场A造成影响，所以，根据勾股定理求出的长，即可， 此题考查了勾股定理的应用，应用勾股定理解决实际问题，正确理解题意确定直角三角形利用勾股定理进行计算是解题的关键． 【详解】（1）解：会受到台风的影响. 理由：如图，过点A作，垂足为D， 在中，，，，， ∵， ∴， ∴， ∵， 答：农场A会受到台风的影响， （2）解：如图， 假设台风在线段上移动时，会对农场A造成影响，所以，，由勾股定理，可得 ∵台风的速度是， ∴受台风影响的时间为， 答：台风影响该农场持续时间为． 26．如图，在长方形中，，，点P在长方形的边上由D向C运动，沿直线翻折三角形，形成如下四种情形，设，和长方形重叠部分（阴影）的面积为y． (1)如图1，请写出阴影部分的面积为y与的长x之间关系式（用含x的代数式表示y）； (2)如图2，当翻折后，点正好落在边上，求这时点P与点D的距离； (3)如图4，当点P运动到与C重合时，求重叠部分的面积y． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由长方形的性质可得，，由折叠性质可得：，当落在长方形的内部，再结合三角形的面积公式即可； （2）当落在上，由折叠性质得：，，，，可得，，再利用勾股定理可得答案； （3）当点P运动到与C重合时，结合长方形，证明，可得，再利用勾股定理求解，再进一步求解即可． 【详解】（1）解：∵长方形，，， ∴，，， 由折叠可得：， 当落在长方形的内部，，， ∴； （2）解：当落在上， 由折叠性质得：，，，， ∵， ∴， ∴， ∴， 则， 解得：； ∴点P与点D的距离为； （3）解：当点P运动到与C重合时， ∵长方形， ∴，， ∴， 由折叠性质得， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴； 【点睛】本题考查的是长方形的性质，折叠性质，勾股定理的应用，等腰三角形的判定与性质，熟练的利用折叠性质求解是解本题的关键． 27．阅读下面材料，并解决问题： (1)如图①等边内有一点P，若点P到顶点A、B、C的距离分别为3，4，5，求的度数．为了解决本题，我们可以将绕顶点A旋转到处，此时，这样就可以利用旋转变换，将三条线段，，转化到一个三角形中，从而求出 ； (2)基本运用 请你利用第（1）题的解答思想方法，解答下面问题： 已知如图②，中，，，E，F为上的点且，求证：； (3)能力提升 如图③，在中，，，，点O为内一点，连接，，，且，求的值． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】（1）根据全等三角形的性质以及旋转的性质可证明为等边三角形，再利用勾股定理的逆定理证明，即得答案； （2）把绕点A逆时针旋转得到，根据旋转的性质证明，得到，再利用勾股定理即可得证； （3）将绕点B顺时针旋转至处，连接，先证明，再证明C，O，，四点共线，再利用勾股定理计算得出，由此即得答案． 【详解】（1）解：， ，，， 由题意知旋转角， 为等边三角形， ，， 在中，，，， ， 为直角三角形，且， ； 故答案为：； （2）证明：如图2，把绕点A逆时针旋转得到， 由旋转的性质得， ，，，，， ， ， ， 在和中， ， ， ， ，， ， ， 由勾股定理得，， 即； （3）解：如图3，将绕点B顺时针旋转至处，连接， 在中，，， ， ， 绕点B顺时针方向旋转， ，， ， ， 绕点B顺时针方向旋转，得到， ，，， 是等边三角形， ，， ， ， C，O，，四点共线， 在中， ， ． 【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理及其逆定理，读懂题目信息，理解利用旋转构造出全等三角形和等边三角形以及直角三角形是解题的关键． 28．如图所示，已知中，，，，、是的边上的两个动点，其中点从点开始沿方向运动，且速度为每秒，点从点开始沿方向运动，且速度为每秒，它们同时出发，设出发的时间为．根据以上信息，回答下面问题： (1)求的长度； (2)当为何值时，点在边的垂直平分线上？ (3)当点在边上运动时，是否存在的值，使为等腰三角形，若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)或或 【分析】 （1）由勾股定理即可求解； （2）点在边的垂直平分线上，则，，在中，由即可求解； （3）分、、利用等腰三角形的性质和面积公式即可求解． 【详解】（1） ，， ； （2） 点在边的垂直平分线上， ，， 在中，，即 解得：； （3） 存在值，使为等腰三角形． ①当时，如答图1所示， 则， ， ． ， ， ， ， ， 秒； ②当时，如答图2所示， 则， 秒； ③当时，如答图3所示， 过点作于点， ， ， ， ， 秒． 综上所述：当为11秒或12秒或13.2秒时，为等腰三角形． 【点睛】 本题考查的是中垂线的性质、勾股定理的运用、三角形面积公式的运用及等腰三角形的性质等，其中（3），要注意分类求解，避免遗漏． 29．如图1，在四边形中，，分别是上的点，且，探究图中线段之间的数量关系． (1)提示：探究此问题的方法是延长到点G，使，连接，先证明，再证明．请根据提示按照提示的方法完成探究求解过程． (2)探索延伸： 如图2，若在四边形中，，E，F分别是上的点，且，上述结论是否仍然成立？请说明理由． (3)能力提高： 如图，等腰直角三角形中，，点M，N在边上，，若，则的长为 ． 【答案】(1)见解析 (2)成立，理由见解析 (3)24 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，勾股定理．解题的关键的通过截长补短，构造特殊三角形和全等三角形． （）延长到点，使，连接，证明和，根据全等三角形的性质即可求解； （）（）中的结论仍然成立．如图中，延长至，使，连接，证明和即可求证； （3）过点C作，垂足为点C，截取．连接、，证明，再证明，得到，，再利用勾股定理进行求解即可． 【详解】（1）解：如图，延长到点，使，连接， 在和中， ， ∴， ∴，， ， 即， ∵，， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：（）中的结论仍然成立． 证明：如图中，延长至，使，连接， ∵， ， ∴， 在与中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 即， 在与中， ， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）如图，过点C作，垂足为点C，截取．连接、． ∵， ∴ ∵， ∴， 在和中 ∵ ∴ ∴， ∴， ∴， 在和中 ∵ ， ∴ ∴，， ∴． 故答案为：24． 30．在中，，．点是所在平面内一点，且． (1)如图1，当点在边上，求证； (2)如图2，当点在外部，连接，若，，求线段的长； (3)如图3，当点在内部，连接，若，，求点到的距离． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）先根据等腰三角形的性质求出，根据，求出，得出，证明，即可证明结论； （2）过点作交，垂足为点，证明，得出，根据勾股定理得出，求出即可； （3）过点作，垂足为点，证明，得出，，求出，得出，根据等腰三角形判定得出，根据勾股定理得出，求出， 根据三角形面积得出，求出结果即可． 【详解】（1）解：连接， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． （2）解：过点作交，垂足为点，如图所示： ∵， ∴（三线合一）， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴； （3）解：过点作，垂足为点，如图所示： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， 设点到的距离为d， ∴ ∴即 即点到的距离为． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，三角形面积的计算，勾股定理，点到直线的距离，余角的性质，解题的关键是作出辅助线，勾股全等三角形，熟练掌握三角形全等的判定方法． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$